通信网技术基础 ch06通信网理论分析

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假设，当系统中有n 个顾客时，称此系统处于 状态n，与此对应出现该状态的概率为Pn。由 此，我们可以用下图表示系统的状态转移关系。
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在系统状态图中，有顾客到达时，状态以λ速 率向右转移一步；有顾客完成服务时状态以速 率μ向左移动一步。在系统处于统计平衡状态 下，可列出系统统计平衡方程： λP0 =μP1 (λ+μ)P1 =λP0 +μP2 ┇ (λ+μ)Pn =λPn-1+μPn+1
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M/M/m特例3

有限服务机但无存储器的情况M/M/m(m)

在这个系统中， i ,
概率归一化条件为， 于是
m n 0
n n
n

P
1

Pn
/ n!
n l / l! l 0 m
当n=m时出现阻塞，因此阻塞概率PB 和系统效率（每线利用率）分别为：
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模型及状态转移图
μ1 λ ┇ μm
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系统平衡方程
0 P0 1 P1
(1 1 ) P 1 0 P 0 2 P 2
(n n ) Pn n1 Pn1 n1 Pn1
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在M/M/1排队系统的存储容量为无穷大时，可以利用 概率归一性条件:
Pn
0

1
求得：
P0 1 (队列空的概率 )
于是，可以得到无限存储容量M／M／1排队的平衡状 态概率：
Pn (1 ) n ( 1)
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根据所得到的状态概率Pn，可以求得不同的排队统计 特性。根据随机变量平均值的定义，排队系统中的平 均顾客数(包括正在被服务的一个)可以表示为：
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排队论基础


排队模型 泊松过程 M/M/1排队 M/M/m排队
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M/M/1排队
泊 松 到达 λ 无限大 缓存器 μ 负 指 数 服 务 系统服务强度ρ＝λ/μ

利用此模型来分析该系统的相关统计特性：系 统中的平均顾客数E(n)、平均排队长度E(q)、 顾客在系统中的平均逗留时间E(T)和平均等待 时间E(w)等。
E(q) E(w) / E(n)
这四个统计量可以归纳为与λ、μ的关系：
E(n)
(系统中平均顾客数)
E(q)
(平均等待顾客数)
1 E (T ) (顾客平均逗留wk.baidu.com间)
E(w)

(平均等待时间)
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某电话局忙时平均呼叫率为1000次，则平均来 话时间间隔为多少？平均来话间隔小于等于10 秒的概率是多少？
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泊松过程的附加特性

假定有m个独立的泊松流，它们的到达率分 别为λ1 λ2 ……λn，则复合流本身也是泊松流， 其速率参数
i
i 1 m
（证明略）
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提纲

排队论基础 电路交换网分析
E(k ) T
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泊松过程和负指数分布的关系

如果到达是个泊松过程，则到达的时间间隔服从负 指数分布，反之亦然。

证明：设 是一个随即变量，代表任一时间起点与第一次到 达之间的时间，取任一值t，则
P( t ) prob(在（0, t）中到达数 0) P(0) e t P( t ) 1 e t
第八章 通信网理论分析
参考教材第十一章
提纲

排队论基础 电路交换网分析 分组交换网分析
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排队论基础


排队模型 泊松过程 M/M/1排队 M/M/m排队
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基本排队模型
排队系统 输入 过程 顾客 队列 服务机构 服务完离开
排队系统的三个基本组成部分. •输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); •排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务); •服务机构 (服务机构的设臵,服务员的数量,服务 的方式,服务时间分布等)
E (n) nP n
0


1
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M/M/1排队的平均队长
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Little公式

Little公式是排队论中的一个重要公式，它说明了平 均到达率λ、平均时延E(T)和平均队长E(n)三者之间 的关系，这一关系式对所有排队系统，包括具有优 先级排队规则的系统都是适用的。
E (n) E (T )
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应用Little公式，M／M／1排队的平均时延E(T)可以表 示为：
E (T )
E ( n)

1/ 1 1
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平均等待时间E(w)和平均等待 顾客数量E(q)
E (T ) E ( w) 1 /
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M/M/1/N(推广到存储容量为N的有限队
列排队系统)
N对应的状态概率的归一性条件为：
我们可以求得：
P0 (1 ) 1 N 1
P
n 0
N
n
1
(1 ) 所以有限队列M／M／1排队的状态概率为： Pn 1 N 1
排队系统全满的概率，即系统阻塞概率为：
♂
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常见排队模型

M/M/1 排队

表示泊松到达、服务时间服从负指数分布、单服务员的排队 系统。

M/M/m 排队

表示泊松到达、服务时间服从负指数服务分布、m个服务员的 排队系统。
表示泊松到达、服务时间服从一般分布的单服务员排队系统。 表示泊松到达、服务时间为常数的单服务员排队系统。

M/G/1 排队


M/D/1 排队

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排队论基础

排队模型 泊松过程

定义 性质

M/M/1排队 M/M/m排队
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泊松过程定义

用下面三个条件来对泊松过程进行定义。


平稳性:在区间[a，a+△t] 内有k个顾客到来的概率与 起点a无关，只与时间区间的长度有关。 无后效性：两顾客到达时刻相互独立。 稀疏性：在足够小的时间间隔△t内，到达两个或两 个以上的顾客的概率为0。
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大群化效应

以PB ≤ 0.1为例，传10爱尔兰业务量，要由10个m=3 系统分散处理，共需30条线，系统效率η=0.31：
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也可用一个M/M/13即拒系统传，同样传10爱尔 兰，保证PB≤0.1，比方案一省17条线，η提高一 倍多（0.31→0.705）。

可见集中器，复用器的必要性！
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M/M/m(m)模型在实际系统的意义

顾客以泊松过程到达，并总能找到一条中继线，直 到全部中继线占完。这时，顾客就不允许再进入了。 这一模型常用于电路交换网的分析，由于系统不允 许排队（无存储），所以被称为呼损系统，其主要 的性能参数是呼损概率。
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M/M/m特例2

M/M/


相当于在分组交换或电路交换两种情况下，传输 线或中继线的数量总是满足需要传输的分组或呼 叫数，因而永远不会有阻塞的可能性。 证明： n, n n
Pn P0 n / n! P0 e Pn n e / n! （也是泊松分布）
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在系统稳态平衡条件下，脱离n状态与进入n状态 保持平衡，所有等式两边相等。根据此平衡方程， 我们可以得到：
P P0 P0 1 2 P ( 1 ) P P P 2 1 0 0
依此类推，
Pn P0
n
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n P 0 n! Pn n P 0 m!m n m
m 1
1 k 1 1 m P0 m! 1 - k 0 k!
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( / )
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M/M/m特例1

比较M/M/1和M/M/2系统性能，说明“使传输 能力加倍”与“增加第二条与原来能力相同的 中继线”，谁更有效？
解平衡方程，可以求得系统的平衡概率：
Pn P0

i 1 i 0 n
n 1
i
i
式中， P0 为概率常数，可以利用概率归一性条件来求 解。
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i
i i (i m) i m (i m)
(n m) (n m)
1
利用上述条件可以得到平衡概率：
第一次到达

时间起点
t
这正是随机变量 的概率分布函数：
F (t ) 1 e t (负指数分布) 概率密度函数f (t ) e t E ( ) f ( ) d 1 /
0
2 1 / 2
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例题1
(1 ) N PN 1 N 1
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例题2

有一个集中器被模型化为一个M/M/1排队，输 出线的容量为1200bps，平均报文长度为100bit。 它有N个输入端。每个平均输入率为0.1个报文/ 秒。计算：


如果要求报文在集中器中平均延时小于1秒，最多 可容纳多少个输入端？ 假设有60个输入端，系统的业务强度是多少？缓冲 器中存储的报文数有多少？
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基本排队模型 － 输入过程


主要考察的是顾客到达服务系统的规律。 可以用一定时间内顾客数或相继到达的间隔 时间描述，一般分为确定型和随机型。 随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n(t) 服从某一概率分布，如泊松分布。 一般用λ表示单位时间顾客平均到达率，1/λ为 平均间隔时间。
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总结


网络的性能分析在网络管理中具有重要作用。 排队论是通信网性能分析中的常用工具。 在通信网络中，最常用的排队模型是M/M/m， 其中呼叫（分组）到达和离去过程都服从泊松 分布。 电路交换系统的基本设计模型是M/M/m(m)。
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排队论基础


排队模型 泊松过程 M/M/1排队 M/M/m排队
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M/M/m排队

M/M/m排队系统是一个多服务员指数排队系统， 属于到达率和离开率依赖于系统状态的排队系 统。例如没有“顾客等候室”的电路交换系统 属于这一种。
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基本排队模型－排队规则

不拒绝方式（等待制系统）

先到先服务（FIFO） 后到先服务（LIFO） 优先制服务

即时拒绝方式（损失制系统） 延时拒绝方式（混合制系统）
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基本排队模型－服务机构

服务机构
服务设施， 服务渠道与服务员 服务员数量 服务时间分布 确定型 随机型（如：负指数分布）
Δt t a a+Δt
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利用上述三点，我们可以求得在T间隔内有k个顾客 到达的概率p(k)：
p(k ) (T ) k e T / k! (k 0,1,2......)
其平均值E(k) 和方差：
E (k ) kp(k ) T
k 0

k2 E(k 2 ) E 2 (k )
PB
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m / m!

l 0
m
( / )

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(1 PB )
m
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l
/ l!
B
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由上表（M/M/m(m)）可知，若要求PB ≤ 0.1， 则:

当a=1爱尔兰时， 须m≥3, η=0.31 当a=10爱尔兰时， 须m≥13, η=0.705 当a=100爱尔兰时，须m≥96, η=0.94 业务量↑―线路m↑―效率η↑