2013年福建省普通高中毕业班质量检查(理科)

2013年福建省普通高中毕业班质量检查(理科)
D
2013年福建省普通高中毕业班质量检查
理 科 数 学
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150
分．考试时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：
样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式
V =
3
1Sh 其中x 为样本平均数
其中S 为底面面积，h 为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V =Sh
24S R =π，343
V R =
π 其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是
A ．
1i z =-- B ．1+i z =- C ．2z = D ．z =
点，PA l ⊥，垂足为A ．如果APF ∆为正三角形，那么||PF 等于
A
． B ．
3
6 C ． 6 D ． 12
8．在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，P 为矩形内一点，
且AP =.
若
μλ+=()
,λμ∈R
，则λ+
的最大值为
A. 32
B. 2
C.
34
+
9．若函数
2,0,()1
ln ,
0x
kx x f x x x x ⎧-≤⎪
=-⎨⎪>⎩有且只有2个不同的零点，则
实数k 的取值范围是 Ａ．
(4,0)
- Ｂ．
(,0]
-∞ Ｃ．
(4,0]
-
Ｄ．(,0)-∞
10．设数集{}d c b a ,,,S =满足下列两个条件：
（1）,,S y x ∈∀xy S ∈；（2）,,,S z y x ∈∀若,y x ≠则yz xz ≠． 现给出如下论断：
①d c b a ,,,中必有一个为0； ②d c b a ,,,中必有一个为1；
③若S ∈x 且1=xy ，则y S ∈；④存在互不相等的,,x y z S ∈，使得2
2,x
y y z
==．
其中正确论断的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
11．4
(2)x +展开式中含2
x 项的系数等于 ．
12．若变量,x y 满足约束条件
310,3110,2,--≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
x y x y y 则2=+z x y 的最大值
为 ． 13．已知直线l ：3(1)
y x =-
-与圆O ：2
21
x
y +=在第一象限内
交于点M ，且l 与y 轴交于点A , 则MOA ∆的面积等于 ． 14．如图，1
2
1,,
,-m A A A ()
2≥m 为区间[]0,1上的m 等
分点，直线0x =，1x =，0y =和曲线x
y e =所围成的区域为1
Ω，图中m 个矩形构成的阴
影区域为2
Ω，在1
Ω中任取一点，则该点
取自2
Ω的概率等于 ．
15．定义两个实数间的一种新运算“*”：()lg 1010,x
y
x y *=+,x y ∈R .
当y x x =*时，y x *=.对任意实数,,a b c ，给出如下结论： ①()()c b a c b a ****=； ②()()()**a b c a c b c +=++； ③a b b a **=； ④2
**
b a b a +≥
.
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分) 某几何体1
1
1
C B A ABC -的三视图
和直观图如图所示． （Ⅰ）求证：1
1
1
C AB C A 平面⊥；
（Ⅱ）求二面角C
AB C --11
的
余弦值．
17．(本小题满分13分)
国Ⅳ标准规定：轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过
80/mg km
．根据这个标准，检测单位从某出租车公司运营
的A 、B 两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量进行检测，检测结果记录如下（单位：/mg km ）
A 85 80 85 60 90
B 70 x
95
y
75
由于表格被污损，数据,x y 看不清，统计员只记得A 、B 两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相
等.
（Ⅰ）求表格中x 与y 的值；
（Ⅱ）从被检测的5辆B 种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过80/mg km ”的车辆数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 18. (本小题满分13分)
如图，我海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东
2
14海里处 .
（Ⅰ）求此时该外国船只与D 岛的距离；
（Ⅱ）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行. 为了将该船拦截在离D 岛12海里处，不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值. （参考数据：sin 3652'0.6o
≈，sin 5308'0.8o
≈）
19. (本小题满分13分) 如图1，椭圆
()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左、右焦点
分别为1
2
,F F ，左、右顶点分别为1
2
,A A ，31,2
T ⎛⎫
⎪⎝
⎭
为椭圆上一点，且2
TF 垂直于x 轴.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）给出命题：“已知P 是椭圆E 上异于1
2
,A A 的一点，直
线1
2
,A P A P 分别交直线l ：x t =（t 为常数）于不同两点M N 、，
点Q 在直线l 上. 若直线PQ 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，则Q 为线段MN 的中点”，写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明;
（Ⅲ）试研究（Ⅱ）的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双曲线有且只有一个公共点S 的直线m ，并写出作图步骤.
注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行. 20．(本小题满分14分) 已知函数
()b
x ax x f +=
22
的图象在点()()2,2f 处的切线方程为2=y .
(Ⅰ)求b a ,的值及()x f 的单调区间；
(Ⅱ)是否存在平行于直线12y x =且与曲线()x f y =没有公共点的直线？证明你的结论； (Ⅲ)设数列{}n
a 满足()11
≠=λλa
,()
n n a f a =+1,若{}n
a 是单调数列，求
实数λ的取值范围. 21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选
题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵432
1M -⎛⎫=
⎪-⎝
⎭
，向量75
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
α． (Ⅰ) 求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （Ⅱ）求3
M α．
（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐
标与参数方程
如图，在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为()1,0，半径为1. （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.已知直线l 的参数方程为1cos ,6sin 6x t y t ππ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参
数），试判断直线l 与圆C 的位置关系.
（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 已知函数()2
5f x x x
=+-.
（Ⅰ）求证：()5f x ≤,并说明等号成立的条件；
（Ⅱ）若关于x 的不等式|2|)(-≤m x f 恒成立，求实数m 的取
值范围.
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理科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．D ； 2．A ； 3．C ； 4．C ；5．A ；6．D ；7．C ；8．B ；9．B ；10．C ．
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．
11．24； 12．9； 13．3
； 14．
11(1)
m
m e ；
15．①②③④．
三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.本小题主要考查简单几何体的三视图，直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．
解法一：
（Ⅰ）由三视图可知，在三棱柱1
1
1
C B A ABC -中，
1
111
C B A AA 底面⊥，
1
111C A C B ⊥,且
4
1==AC AA ，
3
=BC ．…………………………………2分
以点C 为原点，分别以CA 、CB 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得
()()()()()()
4,0,0,4,3,0,4,0,4,0,0,0,0,3,0,0,0,4111C B A C B A ，
()()()
0,3,0,4,0,4,4,0,41111=-==∴B C C CA ．………………4分
1111144004(4)0,4003(4)00
CA C A CA C B ∴⋅=⨯+⨯+⨯-=⋅=⨯+⨯+-⨯=，
1
1111,B C CA A C CA ⊥⊥∴
又
1
111C B C A C = ，
1
11C AB C A 平面⊥∴．……………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()()4,3,0,0,0,41
==CB ， 设平面
C
AB 1的法向量为
(),
,,z y x =n 则
,,1n n ⊥⊥CB 10,0,CB CA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩n n ⎩⎨⎧=+=∴,
043,
04z y x
令
4
=y ，得平面
C
AB 1的一个法向量为(),
3,4,0-=n ………………………10分
由（Ⅰ）知，
1
CA 是平面
1
1C AB 的法向
量，…………………………………11分
111
cos 1020CA CA CA ⋅=
=
=-
n n n ，．
故
二面角
C
AB C --11的
余
弦
值
为
．……………………………13分
解法二：（Ⅰ）由三视图可知，在三棱柱1
1
1
C B A ABC -中，
1
111C B A AA 底面⊥，1
111C A C B ⊥,且4
1==AC AA ，
3
=BC ．………………………………………2分
1111C B A AA 平面⊥ ，1111111
1
,C B AA C B A C
B ⊥∴⊂平面，
11111111,A C A AA C A C B =⊥ ，
1
11
1
ACC A C B 平面⊥∴， (4)
分
111ACC A C A 平面⊂ ，
1
11C B C A ⊥∴．…………………………………………5分
由正方形
1
1ACC A 可得，
1
1AC C A ⊥，又
1111
AC B C C =，
1
11C AB C A 平面⊥∴．………………7分
（Ⅱ）同解法一．
17．本题主要考查概率统计中数据平均值与方差、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解:(Ⅰ)依题意得A
B
x
x =，22A B
s
s =，
又1=+80+85+60+90=805x A
（85），1
=95+y+755
x x +B
（70+），
21=+0+25+400+100=1105A ，s （25）222
1=100+80+225+80+255
x y ⎡⎤--⎣⎦B s （）（），
∴
160
x y +=
∴ 22160,80+80=200,x+y =x y ⎧
⎨--⎩
（）（） 解得
70,
90,
x y =⎧⎨
=⎩或
90,70.
x y =⎧⎨
=⎩ (6)
分
（Ⅱ）由(Ⅰ)可得B 种轻型汽车不会被惩罚的车辆数为3,随机变量0,1,2ξ=．
222
5C 1
(0)C 10
P ξ===，
11
23
25C C 6(1)C 10
P ξ===
，
2
325C 3
(2)C 10
P ξ===
．…………9分
故ξ的分布列为
ξ
0 1
2
P
110
610
310
……………………………………… 11分
∴1636
0121010105
E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………13分
18.本小题主要考查余弦定理等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分． 解法一：（Ⅰ）依题意，在AB D ∆中0
45DAB =∠，
由余弦定理：
DAB
cos AB DA 2AB DB DB 222∠⋅⋅-+=
2002
2
162142-1621422
=⋅
⋅⋅+=）（
即此时该外国船只与D
岛距离
2
10DB =海里
5分
（Ⅱ）在AB D ∆中作DA C B ⊥于点C 。

在B CD ∆Rt 中285
4
210
BDA sin BD BC =⋅=∠=
265
3
210BDA cos BD DC =⋅
=∠=
7分
1428262
DC AD AC =-=-=
以D 为圆心，12为半径作圆交BC 于E 连接,AE DE ， 在CED ∆Rt 中，∴26=CE ， ∴22-BC EB ==CE ， 故在C
AE Rt ∆中，
2
10EA =，
E 3
sin EAC AE 5
C ∠=
=
EAC 3652'
o ∴∠≈
9分
又该外国船只到达点E 的时间2
2
4
224BE ===t 小时。

10分
则我海监船速度202
2
2
10AE ==≥
t v 海里/小时。

12分
∴我海监船要以北偏东'
00853'5236-90
o o
=，速度的最小值为每
小时20海里。

13分 解法二： 以A 点为原点，以AD 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，如
图。

（Ⅰ）依题意，）
，02D(14，0
45BAD 16|AB |=∠=，,
所以），282B(8
,
200
2828-214|DB |2
22=+=）（）（.
此时该外国船只距与D 岛距离210DB =海里 5分 （Ⅱ）以点D 为圆心，以12为半径作圆D ，则圆D 的
方程为：
144
)214-22=+y x （
在AB D ∆中作DA C B ⊥于点C ，则直线C B 的方程为：28=x 7分
设直线C B 与圆D 在第一象限的交点为点E ，联接EA 。

联立
⎪⎩⎪⎨⎧==+，
，（28144)214-2
2x y x 解得
)
26,28(E ，
8分 所以2
10)26()28(|AE |22=+=
，2
226-28
|BE |==，
所以43
2
826EAC tan =
=
=∠AC
k
，所以'5236EAD ,53
EAD sin 0
≈∠=∠。

国为该外国船只到达点E 的时间2
2
4
224|BE |===t 小时，
10分
所以我海监船速度202
2
2
10|AE |==≥
t v 海里/小时。

12分
所以我海监船要以北偏东'
00853'5236-90o o
=的航向和至少每
小时20海里的速度前往拦截。

13分
19．本小题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．
解法一：（Ⅰ）因为31,2
T ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
为椭圆上一点，2
TF 垂直于x 轴，所以在1
2
TF F ∆中，1
52
TF
=
，2
32
TF
=
，12
2
F F
=，又因为1
2
12
2,
2,
TF TF a F F c ⎧+=⎪⎨
=⎪⎩
所以
2,
1,
a c =⎧⎨
=⎩
所以b = 所
以
椭
圆
E
的方程为
22
143
x y +=.…………………………………………4分
（Ⅱ）逆命题：“已知P 是椭圆E 上一点，直线1
2
A P A P 、分别交直线l ：x t =（t 为常数）于M N 、两点，若Q 为线段MN 的中点，则直线PQ 与椭圆E 有且只有一个公共点P ”，为真命题.……………6分 证明如下：设()0
,P x y ，则
22
00
143
x y +=， 又
()
10
0:22
A P y l y x x =++，
()
20
0:22
A P y l y x x =--，所以
()002,2y t M t x +⎛⎫
⎪
+⎝
⎭，
()002,2y t N t x -⎛⎫ ⎪
-⎝⎭
，
设MN 的中点1
1
(,)Q x y ，则1
x
t
=，
()()
000012222
2y t y t x x y -++
-+=()00
2044
y x t x -=-，
又因为
2
20
443y x --=
，所以
()()
00012
00
43444y x t x t y x y ---=
=-，即点
()0034,4x t Q t y --⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，………8分
所以()
000
344PQ
x t y y k t x ---=
-()()200003444x t y y t x ---=-()2
0000334x x t y t x -=-0034x y -=，
则()0
00
3:4PQ x l
y x x y y -=
-+，即00
334
x
y x y
y =-+
.
联立方程
22
0001,4333,4x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
，消y
并化简得：
20222
000
3331042x x x y y y -+-=， ……………9分
所
以
2
02220003334124x y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22
004
09123604x y y +-==，
所以直线PQ 与椭圆E 有且只有一个公
共点P .…………………10分
（Ⅲ）如图，①任作一条直线n 垂直于实轴；②作直线
12A S A S
、分别交直线n 于I J 、两点；③作线段IJ 的中点V ，则直
线
SV
即为所求的直线
m
.………………………………………………………13分
解法二：（Ⅰ）因为31,2
T ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
为椭圆上一点，2
TF 垂直于x 轴， 所以222
21,3121,c a b =⎧
⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪
⎪⎝⎭+=⎪⎩即
2222221,
3121,a b a
b ⎧-=⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎪⎝⎭
+=⎪⎩ 解得
22
4,
3,
a b ⎧=⎨=⎩ 所
以椭圆E
的
方
程
为
22
143
x y +=. …………………………4分
（Ⅱ）（Ⅲ）同解法一.
20．本题考查函数的导数、导数的应用、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、分类讨论思想等.满分14分. 解
法一：(Ⅰ)依题意，
2/
2
22()(2)ax abx f x x b +=
+，…………………………………………1分
由/(2)0,
(2)2,
f f ⎧=⎨
=⎩可得
2
840,(4)42,4a ab
b a b
+⎧=⎪+⎪⎨
⎪=⎪+⎩解得1,
2.
a b =⎧⎨
=-⎩
所
以
()2
22
x f x x =
-，
2/
2
24()(22)x x
f x x -=
-.…………………………………………3分
当x 变化时，/
()
f x 与()f x 的变化情况如下表：
所以，函数)(x f 的单调递增区间为(,0)-∞，(2,)+∞，单调递减区间为(0,1)，(1,2). ………5分
(Ⅱ)与直线12y x =平行的直线设为1
2
y x m =+，
由(),12
y f x y x m =⎧⎪⎨=+⎪⎩得
1
()2
f x x m
=+，即()()
122021m x m x -+=- ① (6)
分
当12m ≠时，方程①有唯一解212m
x m
=
-，此时曲线与直线有公共点；
当12m =时，方程①无解，此时直线与曲线没有公共点. 故存在直线
2
121+=
x y 与曲线
()
x f y =没有公共
点. ……………………………………8分
(Ⅲ)2
1
22n
n n
a a a +=-，
下面先用数学归纳法证明：当2λ>时，2
n
a >.
证： ①当n=1时，1
a λ
=>2不等式成立.
② 假设当n=k 时，不等式成立，即2
k
a
>.
则
22
1(2)220
2222
k k k k k a a a a a +--=-=>--，于是1
2
k a
+>.
故当n=k+1时，不等式成立. 根
据①②
可
知
，对于
*
n N ∈,有
2
n a >.…………………………………………10分
于是2
1
(2)
02222
n
n
n
n n
n
n
n
a a a a a a a a +--=-=<--， 所以1
n n
a a +<，即}{n a 是单调递减数列.
当12λ<<时，1
a λ=，由（Ⅰ）知，2
1
()()(2)2a f a f f λ==>=,
于是有3
2
a
a <，故}{n
a 不是单调数列.
当01λ<<时，1a λ=<0，2
2022a λλ=<-.
所以22322(2)
22
a a a
a a --=
>-，于是3
2
a
a >，故}{n
a 不是单调数列.
当0λ<时，1a λ=，22022a λλ=<-，又因为2
122n
n n
a a a +=-，于是0n a <.
所以1(2)
22
n n n n n a a a
a a +--=
>-，故1
n n
a
a +>。

故}{n
a 是单调递增数列.
当0λ=时，0n
a =.故}{n
a 不是单调数列.
当2λ=时，2
n
a
=.故}{n
a 不是单调数列.
综
上
，
λ
的取值范围是
(,0)(2,)
-∞+∞.…………………………………………14分
解法二：（Ⅰ）、(Ⅱ)同解法一 （Ⅲ）当λ＞1时，由于()
n n a f a a ==+11
,λ，
由（Ⅰ）知：当x ＞1时，有()2≥x f ，且()2,22≠=x f 时，()x f ＞
2.
所以，当2=λ时，有2
=n
a
，数列{}n
a 不单调；当2≠λ且2≥n 时，
n
a ＞2.
因为
()()
()
122122
1--=--=-+n n n
n n n n n a a a a a a a a ，
则当2≥n 时，有1
+n a ＜n
a .
又()()
12212
--=
-λλλa a
， 当1＜λ＜2时，有2
a ＞1
a ，数列{}n
a 不单调； 当λ＞2时，有2
a ＜1
a ，数列{}n
a 单调递减.
所以，当λ＞2时，数列{}n
a 单调递减；
当1＜2≤λ时，数列{}n
a 不单调.
当λ＜1时，同理可证：当λ＜0时，数列{}n
a 单调递增；
当λ≤0＜1时，数列{}n
a 不单调.
综上可知：当λ＜0或λ＞2时，数列{}n
a 是单调数列；
当λ≤0＜1或1＜2≤λ时，数列{}n
a 不是单调数列.
21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．
解法一 : (Ⅰ)矩阵M 的特征多项式为2
()32
f λλλ=-+，
令()0f =λ，解得1
2
1,2
λλ
==,
当
11
λ=时，得11
1⎛⎫
= ⎪
⎝⎭α,当
22
λ=时，得
322⎛⎫
= ⎪⎝⎭
α. ………………………3分
（Ⅱ）由m n 1
2
+α=αα得
3725
m n m n +=⎧⎨
+=⎩，解得1,2m n ==.
所以3
3
3333
3121349(2)22221233M M
M M λλ121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ααααααα
………………………7分 解法二: (Ⅰ)同解法一.
（Ⅱ）因为2
4343109212165M ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,
310943222165211413M ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所
以
322217491413533M α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…………………………………7分
（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分． 解：（Ⅰ）如图，设圆C 上任意一点的极坐标()θρ,D .连结OD ，BD ，在OBD Rt ∆中，因为cos OD OB BOD =∠,所以2cos ρθ=.……………3分 （Ⅱ）由
1cos ,6sin ,6x t y t ππ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
得直线l 的普通方程为()13
3
+=x y , 即直线l 的普通方程为
13=+-y x ，
由θρcos 2=，得圆C 的直角坐标方程为()1
122
=+-y x ，
因为圆心到直线l 的距离为1
2
1
0311=+⨯-⨯=
d ，
所以直线l 与圆C 的相切.…………7分
（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分． 解：（Ⅰ）由柯西不等式得2
2
222
(21)[
]25
≤++=，
所以
()5
f x =≤.
当且仅当
21
=，即
4
x =时，等号成
立. ………………………………………3分.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()5f x ≤，又不等式|2|)(-≤m x f 恒成立， 所以|2|5m -≥， 解得7m ≥或3m ≤-.
故m 的取值范围为(,3][7,)-∞-⋃+∞. …………………………7分。