高考数学创新型试题浅析

高考数学创新型试题浅析

创新意识的激发，创新思维的训练，创新能力的培养，是素质教育中最具

活力的课题。自从1999年教育部明确提出高考命题“要遵循教学大纲，又不

拘泥于大纲”，在试题设计上要“增加应用型和能力型的题目”，要“更加注重

对考生能力和素质的考查”。近几年来，特别是2001年，为了考查学生在新情

况中的迁移能力、创新能力、灵活应用所学知识的能力，出现了不受大纲字句

约束，然而所考内容大体在高中数学范围内的问题。我们暂称为创新性问题。

如2001年高考试题中的第12题的设计就是如此，这类试题的设计既不超越数

学大纲，又不拘泥于大纲，情景新颖，富有时代气息，有科学依据，切合实际，

贴近生活。这类试题，对于培养学生创新意识，创造性思维极为有利。因此在

研究高考和指导高考复习中，实在不能轻视和放松对这类试题的研究。下面通

过的对近几年的高考试题中出现的此类试题的分析，谈一下对这类试题的认

识，不当之处，请批评指正。

一、近几年高考中创新型题的特点与趋向

1.突出数学思想和能力的考查，富有时代生活气息。

由于不再将知识点的覆盖面作为命题追求的指标，这就给试题的更新解除了束

缚。一些看来与高中数学内容没有太多联系，却能分辩出学生能力高下的好题，

都纳入了命题人员的视野。如

【例1】（2001年高考试题第12题）如图，

示他们有网络相连，连线标注的数字表示该

段网线单位时间内可以通过的最大信息量。

现从结点A向结点B传递信息可以分开沿不

同的路线同时传递，则单位时间内传递的最

１

大信息量为

（A）26 （B）24 （C）20 （D）19

分析：该题有很多考生不理解题意，利用常规不等式或函数最值的解法不易找到突破口，且易走入误区，其实根据直觉只要类比成“水流量”的最大值即可。也可以理解为“木桶效应”原理，木桶盛水的多少不取决于长的木板，而取决于最短的木板，就是取每条线路的最小值之和，也就是从上到下最小值和：3+4+6+6＝19。

本题从立意上具有四个特点：（1）时代性。随着科学技术的发展，21世纪是一个信息时代，信息量的传播快慢、大小与人民的生产、生活息息相关。（2）接受性。学生具有解答它的知识和能力，它不同于难题和怪题，面向全体学生。（3）障碍性。学生不能马上得出结论，必须经过思考、完全理解后，方可通过口算得出答案、（4）延伸性：如果仔细探究，发现其数学背景是图论课程中网络最大流问题的简单再现。充分体现了初等数学与高等数学的衔接关系。从考察能力上（1）考察创新能力。此题立意切合时代特点，语言叙述中涉及到现代社会许多术语，如“信息”、“网络”等，立意新，创意好。

（2）考察阅读理解能力。本题要求学生认真阅读。理解题意，提取解题所需的相关信息点，如“最大信息量”、“从结点A到结点B传递信息”、“单位时间传递的最大信息量，学生必须都对题中所给的信息量加工、提炼，寻找突破口。（3）考察了学生的心理承受能力。此题位置放在选择题的最后一个位置，对于学生来说，突然出现一个新颖题目，往往措手不及。这就要求学生沉着、冷静，不要想得太多，要认真阅读、理解题意。

（4）考察了学生分析问题解决问题的能力。此题不能用数学常规解法解答，考察学生阅读、分析、理解能力。

本题对学生的理解、分析、判断能力提出了较高要求，却不一定落在大纲所规定的具体知识点范围内。

２

３

又如【例2】（1999年的第14题）某电脑用户计划不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有： （A ）5种（B ）6种（C ）7种（D ）8种

本题背景是购买时额定资金的分配方式。考察学生运用数学知识分析和解决简单应用问题的能力。解答本题可用列式法、列表法或格点法等多种方法，不同的选购方式表现在所购买的软件数与磁盘数的取值上，取值如何受制于资金及商品的单价。

解法一：设所购买的软件数为x ,磁盘数为y ,依据题意可知：x 、y 是正整数。

应满足下列各式 ⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≥≤+23

500

7060y x y x 问题转化为求该不等式组的整数解组个数问题。

解法二：将购买x 件软件与y 件磁盘所需资金列成下表（表中金额以不大于500元为限，且x ≥3, y ≥2）

由此即得合乎题意的不同选购方式共为7种。 解法三：在平面直角坐标系内作

3

条直线：

４

在这三条直线所围成的区域（含边界）中，格点（坐标为整数的点）的个数即为合乎题意的不同选购方式的种数。由图即可知：不同的选购方式共有7种。 还有1999年的第10题：如图在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB, EF 与面AC 的距离是2，则该多面体的体积是 A.

2

9 B. 5 C.6 D.

2

15

此题为基本多面体的组合。计算其体积时不是套用现成的公式便可做到，还得作割补处理。灵活

运用有关公式进行运算或估算才能求得正确答

案。

还有1999年的第16题（作物的选垄问题），也可用画图、列表，不等式的整数解等方法来解决。如2000年的第6题（由个人所得税的税金估算月薪的问题）都是高考中考察能力的创新题型成功的例子。 2.注意学生的继续学习能力，对“高观点”题目青睐。

“高观点题”是指对于后续学习作用大，而用初等数学知识又可以解决的一类

B

C

５

问题。这一类问题的名词、术语可以通过阐述或定义的方法予以补充，从而扫清学生在阅读中的障碍。

【例3】已知函数

)]([)(,66)(12

x f f x f x x x f n n -=-=记

(n ≥ 2),且)()(1x f x f =

（1）求证：如果存在一个实数0x ，满足00)(x x f =，那么对一切的n ∈N,

00)(x x f n =都成立；

（2）若实数0x 满足

00)(x x f n =，则称0x 为“稳定不动点”

试求出这些稳定不动点； （3）若n ≥ 2，

0)(0

本题就是以函数迭代与不动点理论作为素材的。本题略解如下： （1）

可用数学归纳法证明：

1. n=1时，0001)()(x x f x f ==

2. 设00k )(x x f =则00001)()]([)(x x f x f f x f k k ===+

∴

00)(x x f n =

（2）由（1）知，要使

00)(x x f n =,只要00)(x x f =就

有

00)(x x f n =，∴只须02

0066x x x =-

即得0x ＝0,或0x ＝6

5

（3） 使0

)(0