《电路》第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱资料

∞
2 Ik
正交性质
1 ∞ T k= 1
S
T
0
2Ikmcos(k1t+k) Iqmcos(q1t+q)dt = 0
整理上述结果得到：
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非正弦周期电流的有效值与各分量的关系为
I=
2 I0 +
结论 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分 量有效值平方和的方根。 同理，非正弦周期电压u(t)的有效值为 U= U02 +
p
2p 0
-T/2
f(t) sin(k1t) dt
f(t)d(1t)
积分区间也可以是 [0～2p] 或 [-p～p ]，例如： ak=
1 p
2p
0
f(t)cos(k1t)d(1t) =
1 p
-p p
f(t)cos(k1t)d(1t) f(t)sin(k1t)d(1t)
8
1 bk= p
o
T 2
T
t
正弦量的平均值：
T 1 Iav = | Imcost | dt T 0 0.637Im 0.898I
在实际应用中，对非 正弦周期电流或电压 的平均值也同样定义 为绝对值的平均值。 Uav= 1 T
T 0
24
相当于正弦电流经全 波整流后的平均值。
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|u(t)| dt
结束
1. 非正弦周期函数的分解
根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t)
满足“狄里赫利条件”，就能展开成一个 收敛的傅里叶级数。
f ( t) = a 0 +
∑ [a cos(k t) + b sin(k t)]
k=1
k 1 k 1
∞
1 系数 a0、ak、 bk 分别为：a0= T
T
0
T 0
f ( t) d t
②sin2、cos2 在一个周 期内的积分为p；
2p 0
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2p 0
sinkt sinqt d(t) =0
cos2kt d(t) = p
20
1.有效值 若 i( t) = I 0 + 则 I= i ( t ) 2= 1 T I S k= 1
T 0
∞
km cos(k1t
则 f(t) = A0+
∑A
k=1
∞
kmcos
(k1t + k)
2 ak + 2 bk
式中： A0 = a0
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Akm=
- bk k = arctg a k
9
f(t) = A0+
∑A
k=1
∞
kmcos
(k1t +k)
① A0 是 f(t) 的恒定分量， 或称为直流分量。 ② k=1的项 Amcos(1t +1)
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2 ak +
2 bk
2 Im = bk = ( k 为奇数 ) kp
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I m 2 Im (sint + 1 sin3t + 1 sin5t + „) i( t) = + 5 p 3 2
i(t) i( t)
结束
o
t o
取到5次谐波的情况 直流分量 基波分量 三次谐波 五次谐波
反映了各频率成份的振幅所占的“比重”，因 k是 正整数，故频谱图是离散的，也称线频谱。
相位频谱：指k与 的关系。
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锯齿波的振幅频谱图 i
I
-T/2
Ikm 2
I p
结束
o -I
T/2
T
t
o
I 2p
I 3p
I 4p
1 21 31 41 51

锯齿波的傅里叶级数展开式为 i(t) = 2I cos(1t-90o) + 1 cos(21t+90o) + p 2 1 cos(3 t-90o) + 1 cos(4 t+90o) + 1 1 3 4 今后若无说明，均指振幅频谱。
14
(4)若 f(t)为半波对称 即满足 f(t) = f(t±T/2) 则a2k+1 = b2k+1 = 0 即展开式中不含奇次谐波。
-T/2
u
T 是整流 电源周期
结束
o
T/2
T
t
对某些 f(t)，适当移动纵坐标(另选一个计时起 点)，就变为偶函数或奇函数。
关，所以k与计时起点有关，但各次谐波的相对 位置不变。 也可以先移坐标轴，待求得系数后，再找到原 函数的系数。
(k1t +k)
结束
2. 非正弦周期信号的频谱
f(t)中各次谐波的幅值和初相不同，对不同的 f(t)，
正弦波的频率成份也不一定相同。为形象地反映各 次谐波的频率成份，以及各次谐波幅值和初相与频 率的关系，引入振幅频谱和相位频谱的概念。
振幅频谱： f(t)展开式中Akm与 (=k1)的关系。
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§13-3 有效值、平均值和平均功率 回忆三角函数的性质 ①sin、cos在一个周期 内的积分为0； 例如(k为整数,下同)
2p 0
结束
③正交性质 (k≠q)
2p 0
coskt sinqt d(t) =0
coskt d(t) = 0
2p 0
coskt cosqt d(t) =0
i o
实践中常见的非正弦周期信号（续） u 尖顶波 三角波
结束
t
T 2
控制 电压
T
o
t
T 2
T
正弦电压在铁心线圈 中产生的电流波形
u
PWM调制器的时 间基准信号波形 阶梯波 T
i o
整流波
t
T 2
o
t
T
半波
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由数字电路或计算 机产生的正弦信号
6
§13-2 周期函数分解为傅里叶级数
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3. 波形特征及其与级数分解的关系 u (1) 若f(t)是偶函数 即满足 f(t)= f(-t)
则 b k= 0 。 2 A0 = T
T/2
结束
-T/2
o i
T/2
t
0
T/2
f ( t) d t
-T/2
ak = 4 T
来自百度文库
f(t) cos(k1t)dt
0
o
T/2 T
a k= 2 T
T 0
f(t) cos(k1t) dt
bk= 2 T
f(t) sin(k1t) dt
7
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根据给定 f(t) 的形式，积分区间也可以改为：
结束
1 a0= T 2 bk= T
T/2
f(t) dt
-T/2 T/2
2 ak= T
T/2
-T/2
f(t) cos(k1t) dt a0 = 1 2p
结束
2018年10月18日星期四
3
§13-1 非正弦周期信号
结束
生产实际中，会碰到许多非正弦信号，原因有：
①激励本身是非正弦信号；
在电气工程、电子信息、自动控制、计算机等技 术领域中经常用到非正弦信号，例如交流发电机 的输出电压严格地说是非正弦量。 ②电路中含有非线性元件。例如整流电路等。
非正弦周期交流信号的特点 ①不是正弦波； ②按周期规律变化。
(2) 若f(t)是奇函数 即满足 f(-t) = - f(t)
t
4 则 ak= 0，只求bk即可： bk = T
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T/2
0
f(t) sin(k1t)dt
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(3)若f(t)为“镜”对称 满足 f(t) = - f(t±T/2) 则a2k = b2k = 0, 展开式中
第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
结束
知识结构框图
非正弦 周期信号 分解为傅 里叶级数
非正弦周期 信号稳态电 路的分析
对称三相 电路的高 次谐波
瞬时值、 有效值、 平均功率
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分析计算 (谐波分 析法)
对称分量 分析法
1
重点
1. 非正弦周期电流和电压的有效值、平均值;
i(t) sin(kt) d(t)
直流分量: I0 = 1
T
i(t)dt
=1
Im Im dt = 2 T 0
T /2
基波、谐波分量:
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1 I sin(kt) d(t) =p m 0 Im [1-cos(kp)] = kp 0 k 为偶数 = 2 Im k 为奇数 kp
2. 非正弦周期电流电路的平均功率； 3. 非正弦周期电流电路的计算(谐波分析法)。
结束
难点
1. 响应的叠加； 2. 电路中LC对不同次谐波的谐振。
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2
与其它章节的联系
本章主要讨论在非正弦周期电流、电压信号 的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。 非正弦周期信号可以分解为直流分量和一系 列不同频率的正弦量之和，对每一信号单独作 用下的响应，与直流电路及交流电路的求解方 法相同，应用叠加定理将各分量的响应叠加得 最后结果，是前面内容的综合。
21
[ = +
S k= 1
∞ ∞
∞
Ikm cos(k1t+k)]2 Ik2mcos2(k1t+k)
kmcos(k1t+k) Iqmcos(q1t+q)
结束
S k= 1
2I S k= 1
(k q)
三角函数的性质
1 ∞ T k= 1
S
T 0
Ik2mcos2(k1t+k) dt
=
S k= 1
对同一非正弦量,不同类型的仪表测量结果不同:
结束
直流仪表(磁 电系仪表)表 针的偏转角
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f (t) = f (t + nT)
4
实践中常见的非正弦周期信号 u
方波
i t
结束
锯齿波
o u
T
o i
t
T 2T
通过显像管偏转 线圈的扫描电流 尖顶脉冲
数字电路、计算机的CP等 整流波
o
t
T 桥式或全波整流 电路的输出波形
o
t
T
晶闸管的触发脉冲等
5
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p
ak = 1 p
p
0
i(t) Im o
结束
Im cos(kt)d(t)
p Im sin(kt) = 0 = kp 0
p
T/2
2p
T
t t
代入 f(t) = a0+
[a cos(k t) + b sin(k t)] ∑ k= 1
k 1 k 1
∞
得 i(t) 的展开式为 Im 2 Im 1 1 sin5t + „) sin3 t + (sint + i( t) = + 5 p 3 2 谐波振幅 Ikm=
f(t)sin(k1t)d(1t) = 1 p 0
2p
-p
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f(t) = a0+
[a cos(k t) + b sin(k t)] ∑ k= 1
k 1 k 1
∞
结束
展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不 同信号的对比时不方便，而且数 ak、bk的意
义也不明确。将展开式合并成电工技术中更 为适用的形式 — 余弦级数： 令 ak= Akmcos k bk= -Akmsink
+k)
结束
i2(t)dt Ikmcos(k1t+k)+[
2 I0 + 2 I0
S k= 1
T
∞
S k= 1
∞
Ikmcos(k1t+k)]2
1 第一项 T 第二项 1 T
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0
2 I0 dt = I02
三角函数的性质
T
0
2I0 Ikmcos(k1t+k) dt = 0
S k= 1
∞
结束
2 Ik
S k= 1
∞
2 Uk
当给出的电流或电压是展开的级数形式时，
可分别用以上两式计算有效值。
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2.平均值
Iav
def 1
T
0 T 0
|i|
结束
T
| i( t) | d t
Iav
0.637Im
直流量的平均值： Iav = 1 T I0 dt = I0
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Akm与计时起点无关，由于ak、bk与计时起点有
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例：求右图方波的傅里叶 级数展开式及频谱。 解： 矩形波电流在一个周 期内的表达式为: i( t) = Im ， 0＜t＜T/2
i(t) Im o
结束
p
2p
0
T/2
2p
T
t t
0 ， T/2＜t＜T
T
0
1 bk = p
t
实用中，根据展开式的收
敛速度和误差要求取前几项， 高次谐波可以忽略。
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矩形波的幅度频谱
2Im
矩形波的相位频谱
k

3 5 7
结束
p
1 1 3
k
o
1 5 1 7
k
-90o
o

3 5 7
2 Im Akm= bk = kp
- bk k = arctg a = -90o k
①无直流分量； ②不含偶次谐波。 又称奇谐函数。 由 A0 = 1 T
T 0
移动半个周期，得 f(t) 另半个周期的镜像
A o t1
T/2 T
结束
t
所以即使 f(t)不是“镜”
f ( t) d t
知 A0是 f(t) 在一 个周期内与横轴 围成的面积。
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对称，只要它的正、负 半周与横轴围成的面积 相等，就有 A0 =0。另 外，对某些 f(t)，求 A0 时也可以不用积分。
2 Akm= ak2 + bk - bk k = arctg a k
结束
具有与 f(t) 相同的频率，称基波分量。
基波占f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。
③ k≥2的各项，分别称为二次谐波，三次谐波等。
统称高次谐波。
2018年10月18日星期四
10
f(t) = A0+
∑A
k= 1
∞
kmcos