数列求和之错位相减法

什么样的数列求和可以用“错位相减法”
{bn } 为等比数列，由 } 若数列 {an为等差数列，数列 这两个数列的对应项乘积组成的新数列 {an bn } 求 和时，常采用“错位相减”法
问:下面可以用错位相减法求数列的前n项和的有哪些？
(1)an n.2
n
1 1 1 (2)1 ,3 ,5 2 4 8
9 第二步，上式左右两边乘以等比数列公比 10
2 3 n1 n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
9 Sn 10
9 9 9 9 9 2 3 4 ... n n 1 10 10 10 10 10
2018/6/18
解：第一步，写出该数列求和的展开等式
9 9 9 9 9 S n 2 3 4 ...... n n 1 10 10 10 10 10
例题解析
二、写出求和的展开式 三、 ① 式两边乘以公比，得②式
1 例：求数列{n n }的前n项和 2 1 1 1
解：设s n 1 +2 2 +3 3 2 2 2
1 sn 2
① - ② 得 五、化简整理得
1 n n 2
1 1 n 2n 2n 1
①
四、两式先错位后相减
2
3
4
n
n 1
第三步，两式进行错位相减得：
1 9 9 9 9 9 S n 2 ...... n 1 10 10 10 10 10 10
2 3 n n 1
9 化简整理得: S n 99 10n 11 10
1
1 1 +2 2 3 2 2
(n 1)
②
1 1 1 1 sn 2 + 3 2 2 2 2
1 n 2 n 1 2 n n2 22n
1 1 n n n 1 2 2
s n =2化简整理，得：
sn
小技巧:验证n=1
小结：“错位相减法”的解题步骤
第一步：观察通项是否满足 {an bn} 的 形式， 其中数列 {an } 为等差数列，数列 {bn } 为公比为q等比数列，由这两个数列的对应 项乘积组成的新数列 {an bn } 第二步：写出 {an bn } 前n项和的展开式，即 第三步在 第二步所得式子的两边同乘以公比q，
人教B版必修5第二章——数列
错位相减法
学校：昌邑市文山中学 主讲人：于新伟
学习目标
能理解错位相减法，并能够正确地应用错位相 减法求数列的前n项和。
等比数列前n项和公式的推导
①
②
① - ②
得
这种推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法，注意“ 错位”、“相减”的含义，它蕴含了化无限为有限的数学 思想方法。
sn a1b1 a2b2 a3b3 anbn
第四步：第2步与第3步所得的两式相减。相减之后，撇开第一项和最后一项，中 间的所有项组成了一个公比为q的等比数列，对其使用等比数列求和公式求和。
第五步：化简整理得 n
s
9 n 已知数列 a n (n 1) ( ) , 求{a n }的前 n项和 S n . 10
n 1
1 (2n 1 n ) 2
2n 1 (3) an n 3
(4)an 2 n
n
答案（1） (3)
例题解析
一、观察：是否符合使用
1 求数列{n n }的前n项和 2
1 1 分析：设an n n , 其中{n}为等差数列， { n }为等比数列， 2 2 1 公比为 ，可用错位相减法。 2