分组分配问题
10.2排列组合中的分组分配问题
2 10
2 8
2 6
4 4
4 4
2、有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
(1) (2) (3) 2 2 C6C4 1 2 C6C5 2 C2 3 C3 3 A3 (4) (5)
3 3 3 9 3 6
种．
3 ⑤先分3件为一堆有 C9 种方法，然后6件平均分配应有
3 2 2 2 C C C C C C C 9 6 4 2 1260 种． 种方法，故共有 3 A3 A
2 6
2 4 3 3
2 2
三：部分均分有分配对象的问题 例3 .12支笔按3：3：2：2：2再任意分给A、B、 C、D、E五个人有多少种不同的分法？
3 4 5 3 C 12 C 9 C 5 A 3 (2) C 3 C 4 C 5 9 5 12 5 5 2 (3) C 12 C 10 C 5 5 5 1 2 (4) A 3 C 12 C 10 C 5
12! 8! 4!· 8! 4!· 4!
1 3!
5775
• 练习1：把10人平均分成两组，再从每组中
选出正、副组长各一人，共有多少种选法?
解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副 组长． 5 5 C10 C5 分组有 种方法， 2 A2
每组中选正、副组长都有 A 种方法． 由分步计数原理共有
5 5 C10 C5 2 2 A A 种． 5 5 50400 2 A2
2 5
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？
数学中的分组分配问题
分配中的最优化问题
总结词
分配中的最优化问题是指通过优化分配方式，使得某 个特定的目标函数达到最优值。
详细描述
在分配中的最优化问题中，需要找到一种最优的分配 方式，使得某个特定的目标函数达到最优值。这个目 标函数可以是总和最大、总和最小、平均值最大等。 例如，将一定数量的苹果分给若干个孩子，目标是使 得所有孩子获得的苹果数量之和最大，同时还要满足 每个孩子至少获得一个苹果的条件。这个问题可以通 过引入约束条件和目标函数进行求解。
解决这些冲突需要综合考虑各种因素 ，如资源的可用性、需求的紧迫性、 公平性等，通过协调各方利益，寻找 最优的解决方案。
分组与分配的解决方案
分组与分配问题的解决方案通常 需要运用数学方法和逻辑推理，
如线性规划、整数规划等。
解决方案需要满足一定的条件， 如资源的有限性、需求的合理性 等，同时还需要考虑方案的可行
总结词
固定数量的分配问题是指每个组分得固定数量的物品或资源，目标是使所有组的总和达到最大或最小 。
详细描述
在固定数量的分配问题中，每个组分得的物品或资源数量是固定的，目标是寻找一种分配方式，使得 所有组的总和达到最大或最小。例如，将一定数量的苹果平均分给若干个孩子，使得每个孩子获得的 苹果数量相等。
04
分组与分配的结合问 题
分组与分配的关联性
01
分组与分配在数学中常常是相互 关联的，分组是为了更好地进行 分配，而分配则需要在分组的基 础上进行。
02
分组与分配的关联性体现在它们 的目标上，即通过合理的分组和 分配，使得每个对象都能得到满 足其需求的资源或服务。
分组与分配的冲突与协调
在分组与分配的过程中，可能会出现 各种冲突，如资源不足、需求不均等 问题。
6.2 分组分配问题 -高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
考察
选2个
ab ab cd cd ef ef
再选2
cd ef ab ef ab cd
又选2个
ef cd ef ab cd ab
剩下四个
ghij ghij ghij ghij ghij ghij
分组方法数
这A33种只 能算一种
C120C82C62C44
A33
部分平均分组：在 分组时，每组的个 数是不均等的，而 是有一部分个数相 同.需要除以相同的 组的“全排列”，
C
61C 52C
3 3
A33
（1）非均分问题无分配对象只要按比例分完再用乘法原理作积
（2）非均分组有分配对象要把组数当作元素个数再作排列。
变式：按1:2:3依次分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？
C
61C
52C
3 3
☆ 方法归纳
分组分配问题
解题思想：先分组、后分配 1.完全平均分组：在分组时，每组元素的个数都相等.
解：
(1)
C122C120C82C66 A33
(2)
C132C93C62C42C22 A33 A22
A55
.
☆ 不平均分组问题
例3 现有6本不同的书. (1) 按1:2:3分成三堆有多少种不同的分法？ (2) 按1:2:3分给三个不同人有多少种不同的分法？
解：
注意：
(1)
C
61C52C
3 3
；
(
2)
①只分组无分配时，需要除以这几组的“全排列”，以确保消
去重复；
②分组且分配时，一种方法是先分组再分配；另一种方法是可
以用分步乘法计数原理解题.
☆ 部分均匀分组问题
问题2 将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有2个、2个、2个、4个，
计数原理分组分配问题
计数原理分组分配问题
计数原理（Counting Principle）是组合学的一个基本原理，它用于计算某个事件中可能发生的不同情况数。
其中，分组分配问题是计数原理的重要应用之一。
在分组分配问题中，我们需要将n个物品分配给k个组，每个组中至少分配一个物品，而不同组之间的物品是可以相同的。
这种问题在实际中有很多应用，比如将n个人分配到k个房间、将n个球分配到k 个篮子等等。
在解决分组分配问题时，我们可以使用组合数公式来求解。
具体来说，设n个物品要分配到k个组中，每个组至少分配一个物品，则可以得到如下公式：
C(n-1, k-1)
其中，C表示组合数，n-1是因为每个物品都必须被分配到某个组中，因此总共要减去k个物品，再加上一个物品，即n-1+1=n。
k-1是因为每个组至少分配一个物品，在分配第一个物品后，剩下的物品就可以看作是n-1个物品分配到k-1个组中，因此组数为k-1。
例如，如果有8个人要分配到4个房间中，每个房间至少有一个人，则可以使用上述公式进行计算：
C(8-1, 4-1) = C(7, 3) = 35
因此，共有35种不同的分配方案。
需要注意的是，在实际问题中，有时可能会出现一些限制条件，比如某些物品不能被分配到某些组中，或者某些组必须分配到特定的物品等等。
在这种情况下，我们需要对上述公式进行适当的调整，以满足特定的限制条件。
排列组合中分组分配问题
分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。
该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。
解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。
下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。
一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。
这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。
具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。
2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。
设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。
其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。
3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。
二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。
在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。
多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。
具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。
通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。
2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。
利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。
3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。
分组分配问题
把n个不同的元素分成无序的m组，每组r个元素，
则共有
CC C A
r n
r nr
r n2r m m
C
r r
种分法.(其中mr=n)
(2)均匀、有序分组:
把n个不同的元素分成有序的m组，每组r个元素， 则共有
r r r r Cn Cn C C r n2r r种分法.(其中mr=n)
1
mk m1 m2 Am A A m2 mk 1
种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)
练习1:将12个人分成2，2，2，3，3的5个 组，则分组的种数是多少？
C C C C C 2 A A2
2 12 2 10 3 3 2 8 3 6
3 3
练习2:将5个人分成4个组，每组至少1人， 则分组的种数是多少？
（6）分给5个人，每人至少一本；
C A
2 6
5 5
例2:有6本不同的书，分成4堆. （1）如果一堆3本，其余各堆各1本，有多 少种分法？
CCCC 20 3 2 1 3 20 或C 6 20 3 A3 6
3 6 1 3 1 2 1 1
（2）如果每堆至多2本，至少1本，有多少 种分法？
1 2 3 C6 C5 C3
（2）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
CC C A
（3）分给甲、乙、丙3人，甲1本，乙2本，丙3本；
2 2 C62C4 C2 3 A3
1 6
2 5
3 3
3 3
1 2 3 C6 C5 C3
（4）分成三份，每份两本；
（5）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
计数原理分组分配问题
计数原理分组分配问题问题描述计数原理分组分配问题是一个经典的组合数学问题，涉及到如何将一组元素分配到不同的组中，以满足一定的条件。
这个问题在实际生活中有很多应用，比如任务分配、车站排队等。
问题背景在讨论计数原理分组分配问题之前，先来了解一下计数原理。
计数原理是组合数学中的一项基本原理，通过这个原理，我们可以计算出某个情况下的可能性数量。
在计数原理中，有两个常用的方法，分别是排列和组合。
排列指的是从给定的元素中选择若干个进行排列，考虑了元素的顺序。
组合则是从给定的元素中选择若干个，不考虑元素的顺序。
对于计数原理分组分配问题，我们通常使用组合的方法来求解。
问题分析计数原理分组分配问题可以形式化地表述为：将n个元素分配到k个组中，每个组中至少要有m个元素，求解满足条件的分组方法数量。
这个问题的关键在于如何选择元素放置的位置，以及如何限制分配的条件。
在前面给出的问题描述中，我们已经知道了元素的总数量n、分组的数量k以及每个组中至少要有的元素数量m。
不妨假设将每个组看作是一个盒子，将元素看作是小球。
我们需要通过计数原理来确定如何将小球放入盒子中，并且满足每个盒子至少有m个小球的要求。
算法设计为了解决计数原理分组分配问题，我们可以使用递归的算法。
具体步骤如下：1.设定一个变量count，用于记录满足条件的分配方法的数量。
2.如果n < k * m，表示元素的数量不足以满足每个组至少有m个元素的要求，直接返回0。
3.如果k = 1，表示只有一个组，这时无论元素数量如何，都只有一种分配方法，即所有元素都放入这个组中，所以count = 1。
4.否则，我们需要依次考虑将一个元素放入第一个组、放入第二个组等等情况下的分配方法数量。
5.对于将一个元素放入第i个组的情况，我们需要求解剩下的n-1个元素分配到k-1个组中，每个组至少有m个元素的分配方法数量，即递归调用算法。
6.将所有情况下的分配方法数量相加，得到最终的结果，即为count。
数学中的分组分配问题
一 二三四五 六 七 班 班班班班 班 班
结论：一般地，将n个相同的元素分成m份，每份
至少1个元素，可以用m-1块隔板插入n个元素排成
一排的n-1个空隙中，所有分发数为
C m-1 n-1
拓展延伸：建模求解排列组合问题
例题：一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点 O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈ N*)，记可能的爬行方法总数为 f(m，n)，则 f(m，n)＝ __C_mm_＋_n ___.
引入新课
问题1：将a、b、c、d四件物品平均分给甲、乙两人，
共有多少种分法？
C C 2g 2 6 42
问题2：把a、b、c、d平均分成两组有多少种分法？
ab
cd
ac
bd
ad
bc
2 2
C C 4 2 2 3 A2
想一想为什么？
这两个在分组时只能算一个
bc
ad
解 : 对问题2设有x种分法，则有
方法：先分再排法。（1）先将12支笔按3：3： 2：2：2分成五组（2）再将这五组看成是五个 元素在五个位置上作排列
C
132C
3 9
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
变式:将6本不同的书分给3个人，一人4本其余各
A 1本，有多少种分法 C64C21C11 3
A22
3
（五）不平均分组无分配对象的问题
C142AC3384C44
12! 8! 1 5775 4!·8! 4!·4! 3!
结论:n个不同元素平均分成m组，每组k
个元素，则分组的方法为: CnkCnkkCnk2k Ckk Amm
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题是一类常见的组合优化问题，其目标是将一组对象分配到不同的组中，并满足一定的条件或限制。
在实际应用中，这类问题常常涉及到资源分配、任务调度、人员安排等方面。
1. 贪心算法：贪心算法是一种简单而常用的解法，它根据问题的特点每次选择当前最优的解决方案，并逐步构建最终的解。
在分组分配问题中，贪心算法可以从初始状态开始，每次选择满足一定条件的对象，并将其分配到符合要求的组中，直到所有对象都被分配完毕或达到某种终止条件。
2. 动态规划：动态规划是一种使用备忘录或状态转移方程的方法，通过将原问题分解为若干个子问题，并记录子问题的解，最终通过子问题的解构造出原问题的解。
在分组分配问题中，可以使用动态规划求解最优解。
具体方法是定义一个状态转移方程来描述每个子问题的最优解，然后采用自底向上的方式逐步计算出最终解。
3. 回溯算法：回溯算法是一种逐步试探的算法，通过不断尝试所有可能的解，并及时剪枝来找到最优解。
在分组分配问题中，回溯算法可以通过递归的方式遍历所有可能的分组分配方案，并通过剪枝操作来减少搜索空间。
具体方法是定义一个递归函数，在每一步选择一个对象并加入到某个组中，直到所有对象被分配完成或达到某个终止条件。
4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的启发式算法，通过模拟蚂蚁找到食物的行为，来寻找问题的最优解。
在分组分配问题中，蚁群算法可以通过定义蚂蚁的移动规则、信息素的更新规则等，来模拟蚂蚁在不同组中选择对象的过程，并通过信息素的增强来引导蚂蚁选择更优的解。
排列组合分组分配问题公式
排列组合分组分配问题公式排列组合分组分配问题，这可是数学里挺有意思的一块呢！咱先来说说排列。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，有多少种排法？这就是排列问题。
排列的公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
再讲讲组合。
还是从 5 个水果里选 3 个，不考虑顺序，这就是组合问题。
组合的公式是 C(n, m) = n! / [m!(n - m)!] 。
那分组分配问题又是什么呢？给您举个例子，有 6 本不同的书，分成 3 组，每组 2 本，这就是分组问题。
如果再把这 3 组书分别分给 3 个人，这就是分配问题啦。
我记得有一次，学校组织活动，要从班里选几个同学去参加不同的项目。
这可就用到了排列组合分组分配的知识。
当时老师说要从 20 个同学里选 5 个参加绘画比赛，选 8 个参加歌唱比赛，剩下的 7 个参加朗诵比赛。
这可把我难住了，我就在心里默默算着。
先算选 5 个参加绘画比赛，用组合公式 C(20, 5) 得出结果，再算选 8 个参加歌唱比赛的组合数 C(15, 8) ，最后选 7 个参加朗诵比赛的组合数 C(7, 7) 。
然后把这三个结果乘起来，就是总的分组方案数啦。
分组问题里还有平均分组的情况，要注意除以重复的组数的阶乘。
比如说把 8 个人平均分成 4 组，那就要先算出总的分组数 C(8, 2)×C(6,2)×C(4, 2)×C(2, 2) ，然后再除以 A(4, 4) ，这样才能得到不重复的分组方案数。
分配问题也有不同的情况，比如相同元素的分配，可以用隔板法。
比如说把 10 个相同的苹果分给 3 个小朋友，每人至少一个，那就在 9 个空隙里插 2 个隔板，方案数就是 C(9, 2) 。
总之，排列组合分组分配问题，看起来挺复杂，但是只要咱把公式弄明白，多做几道题，其实也不难。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，在实际生活中也有很多应用。
这类问题通常涉及将一定数量的对象分配到一定数量的组中，而且每组对象的数量有限制。
解决这类问题需要运用排列组合的知识，有时也需要借助图论等数学工具。
下面将介绍一些有效的解法。
一、基本概念在讨论排列组合中的分组分配问题之前，先来了解一下相关的基本概念。
在排列组合中，排列是指不同元素按照一定规则排成的一列，而组合是指从给定的元素中取出一定数量的元素组成的一个集合。
分组分配问题则是指将一定数量的对象分配到一定数量的组中的问题。
在分组分配问题中，通常会遇到一些特殊的情况，比如分组中的对象需要满足一定的条件，或者每个对象只能分配到某个特定的组中。
这些特殊情况需要根据具体问题进行分析，选择合适的解法。
二、贪心算法贪心算法是解决分组分配问题的一种常用方法。
贪心算法的基本思想是每一步都选择当前最优的解，从而希望最终得到全局最优的解。
在分组分配问题中，贪心算法通常可以通过排序来实现。
以将一定数量的对象分配到一定数量的组中，每组对象数量固定为例，贪心算法的解法如下：1. 将所有对象按照一定的规则排序，比如按照对象的重要性、价值等；2. 依次将对象分配到各个组中，每次都选择当前剩余空间最大的组，并将对象放入其中；贪心算法的优点是简单易实现，但并不是对所有分组分配问题都有效。
有些情况下，贪心算法得到的解并不一定是最优解，因此在使用贪心算法时需要谨慎选择排序规则和验证算法的有效性。
三、动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种常用方法。
动态规划的基本思想是将原问题分解成若干个子问题，然后依次求解这些子问题，最终得到原问题的解。
1. 定义状态dp[i][j]表示将前i个对象分配到前j个组中的方案数；2. 根据分组条件，构造状态转移方程dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]*j；动态规划的优点是能够得到全局最优解，但需要分析问题的子结构并构造合适的状态转移方程，整个过程相对复杂。
分组分配问题
结论
1、平均分组问题：
n个不同元素平均分成m组，每组k个元
素，则分组的方法为:
Cnk
Cnk
Ck
k n2k
Ckk
Amm,
2、平均分配问题：
n个不同元素平均分给m个不同对象，
每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk
应用：
1、某校高二年级有 6 个班级，现从外地转入 4 名学生，
二、非平均分组与分配问题
1、非平均分组问题
m m
（2）先分成3组，分别有1、2、3本书，再分配各三个 人，则有
2、非平均分配问题
包括两种：
（1）定向的非平均分配与非平均分组的分法种数一样
（2）非定向的非平均分配的分法种数
三、部分平均分组与分配问题
1
应用：
A3 3
应用：
四、分组分配与概率的综合问题
结论:n个不同元素平均分成m组，每组k
个元素，则分组的方法为:
Cnk
Cnk
Ck
k n2k
Ckk
Amm
2、平均分配问题：n个不同元素平均分给m个不同对
象，每个对象k个元素，则分配的方法:
结论：n个不同元素平均分给m个不同对 象，每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk
要安排到该年级的 2 个班里且每班安排 2 名，则不
同的安排方案有多少种？
C 2C 2 42
A2
A2
6
2
2、6 名护士，3 名医生，分成三组，到甲、乙、丙 三村去下乡，每组两名护士，1 名医生，共有多少 种不同的分法？
C2C2C2 C1C1C1
Hale Waihona Puke 6423 21C62C42C22 A33
分组分配问题课件
分组与分配的结合策略
先分组后分配策略
总结词
先对任务进行分组，再对每组任务进行分配。
详细描述
先根据任务的相似性、紧急性、重要性等因素将任务分成若干组， 然后对每组任务进行分配，确保每组任务都能得到合适的处理。
适用场景
适用于任务数量较多、需要精细化管理的情况。
先分配后分组策略
总结词
总结词
资源分配公平性
详细描述
资源分配公平性是资源分配问题的一个重要 原则。公平性意味着每个成员都应该得到相 对平等和公正的资源分配，这样可以保证成 员的权益和积极性。在实践中，可以根据成 员的能力和贡献来确定资源的分配方式，以
确保资源的针对性和有效性。
实例三：资源分配Βιβλιοθήκη 题要点一总结词资源优先级划分
分配策略
最小化最大组间差异
01
02
03
目标
将对象分配到不同的组中， 使得各组之间的差异最小 化。
方法
计算各组之间的差异，并 选择能够最小化最大组间 差异的分配方案。
应用场景
当需要平衡不同组之间的 差异时，例如在资源分配、 任务分配等场景中。
最大化组内一致性
目标
将对象分配到不同的组中， 使得每个组内的对象尽可 能一致。
问题的应用场景
任务调度
计划安排
在生产、物流、服务等领域中，需要 对任务进行合理调度，以满足时间、 成本和质量等要求，分组分配问题可 以应用于任务调度中。
在项目管理、会议组织等领域中，需 要对活动进行合理安排，以满足参与 者的需求和目标，分组分配问题可以 应用于计划安排中。
资源分配
在军事、医疗、教育等领域中，需要 对资源进行合理分配，以满足不同需 求和目标，分组分配问题可以应用于 资源分配中。
排列组合中的分组分配问题
排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点.某些排列组合问题看似非分配问题,实际上可运用分配问题的方法来解决.一、提出分组与分配问题,澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象,称为分配问题,分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组,称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况.分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同,但因对象不同,仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列.二、基本的分组问题例1 六本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法1每组两本.2一组一本,一组二本,一组三本.3一组四本,另外两组各一本.分析：1分组与顺序无关,是组合问题.分组数是624222C C C=90种 ,这90种分组实际上重复了6次.我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码,考察以下两种分法：1,23,45,6与3,41,25,6,由于书是均匀分组的,三组的本数一样,又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法.以上的分组方法实际上加入了组的顺序,因此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数33A,所以分法是22264233C C CA=15种.2先分组,方法是615233C C C,那么还要不要除以33A我们发现,由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的分法,即共有615233C C C=60种分法.3分组方法是642111C C C=30种 ,那么其中有没有重复的分法呢我们发现,其中两组的书的本数都是一本,因此这两组有了顺序,而与四本书的那一组,由于书的本数不一样,不可能重复.所以实际分法是41162122C C CA=15种.通过以上三个小题的分析,我们可以得出分组问题的一般方法.结论1：一般地,n个不同的元素分成p组,各组内元素数目分别为m1,m2,…,mp,其中k组内元素数目相等,那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯.三、基本的分配的问题 一定向分配问题例2 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法 (1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.分析：由于分配给三人,每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题,由分布计数原理不难解出：分别有222642C C C =90种,615233C C C =60种, 411621C C C =30种.二不定向分配问题例3六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法 (1) 每人两本.2 一人一本、一人两本、一人三本.3 一人四本、一人一本、一人一本.分析：此组题属于分配中的不定向分配问题,是该类题中比较困难的问题.由于分配给三人,同一本书给不同的人是不同的分法,所以是排列问题.实际上可看作“分为三组,再将这三组分给甲、乙、丙三人”,因此只要将分组方法数再乘以33A ,即22264233C C C A 33A =90种, 615233C C C 33A=360种 41162122C C C A 33A =90种.结论 2. 一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制,那么实际上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘以不同对象数的全排列数.通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列. 例4 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种分法分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”,即书要分完,人不能空手.因此,考虑先分组,后排列.先分组,六本书怎么分为三组呢有三类分法1每组两本2分别为一本、二本、三本3两组各一本,另一组四本.所以根据加法原理,分组法是22264233C C C A +615233C C C +41162122C C C A =90种.再考虑排列,即再乘以33A .所以一共有540种不同的分法.四、分配问题的变形问题例5 四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多少种 分析：恰有一个空盒,则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2.实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组,两组各1个,另一组2个,分组方法有11243222C C C A 种,然后将这三组即三个不同元素分配给四个小盒不同对象中的3个的排列问题,即共有11243222C C C A 34A =144种.例6有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法有多少种分析：先考虑分组,即10人中选4人分为三组,其中两组各一人,另一组二人,共有112109822C C C A 种分法.再考虑排列,甲任务需2人承担,因此2人的那个组只能承担甲任务,而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务,所以共有112109822C C C A 22A =2520种不同的选法.例7设集合A={1,2,3,4},B={6,7,8},A 为定义域,B 为值域,则从集合A 到集合B 的不同的函数有多少个分析：由于集合A 为定义域,B 为值域,即集合A 、B 中的每个元素都有“归宿”,而集合B 的每个元素接受集合A 中对应的元素的数目不限,所以此问题实际上还是分组后分配的问题.先考虑分组,集合A 中4个元素分为三组,各组的元素数目分别为1、1、2,则共有11243222C C C A 种分组方法.再考虑分配,即排列,再乘以33A,所以共有11243222C C C A 33A =36个不同的函数. 总之,掌握上述两个结论,就能顺利解决任何分配问题.而且,学会了分配问题,还能将一些其他的排列组合问题转化为分配问题来解决.练习：把编号为1,2,3,4,5的五个球完全放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中至少放一个球,则不同放法的总数是： A60B150C300D540。
分组分配问题的解法
例2 六本不同旳书，分给甲、乙、丙三人求在下条 件下各有多少种不同旳分配措施？
（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙 两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.
(1)C
62C
42C
2 2
90
(2)C16C
52C
3 3
60
(3)C
64C
12C
1 1
30
分组分配题旳一般原则：先分组后排列
1、有六本不同旳书分给甲、乙、丙三名同学， 按下条件，各有多少种不同旳分法？
一、基本旳分组问题
• 例1 六本不同旳书，分为三组，求在下列 条件下各有多少种不同旳分配措施？
• (1)每组两本. (2)一组一本，一组二本， 一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.
(1)
C
62C
42C
2 2
15
A33
(2)C16C
52C
3 3
60
(3)
C
64C
12C
1 1
15
A22
二、基本旳分配旳问题
例2、将一种四棱锥旳每个顶点染上一 种颜色，并使同一条棱旳两端点异色， 假如只有5种颜色可供使用，那么不同 旳染色措施旳总数是多少？
. 【2023浙江高考理第14题】在8张奖券中有一、 二、三等奖各1张，其他5张无奖.将这8张奖券 分配给4个人，每人2张，不同旳获奖情况有 _____种（用数字作答）。
将n个一相排同。旳相元邻素名提额成之m间份形（成n，９m个为空正隙整。数C）96,
每份至少一种元素,能够用m-1块隔板，插入n
个元素排成一排旳n-1个空隙中，全部分法数
C 为
m1
n1
七班 六班 五班 四班 三班 二班 一班
高中数学专题排列组合中的分组分配问题
高中数学专题排列组合中的分组分配问题Ⅰ.概述分组分配问题是排列、组合问题的综合，是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题，实际上也可运用分配问题的方法来解决。
解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。
分组分配问题特征：（1）分组分配特征：问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；（2）分组的类型：整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组，都应注意只要有元素的个数相等的组存在，就需要考虑均分的现象（即：整体平均分组；或部分平均分组）；（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等，则存在重复出现的情况，作为分组只能计为一种。
Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题一.分组与分配有关概念1.将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。
2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置），称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；3.分组问题和分配问题的区别：前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是有区分的，对于分配问题必须先分组后分配，而分组通常与组合相关，分配通常与排列相关。
二．基本的分组问题（一）分组问题的基础题例【题例1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.【分析】：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
注意，这里6个元素，分3组，每组2个元素，所求的分组种类：不是“从6个元素中取2个元素的组合数”，而是“6选2，选3次，分成3组，所得的组数”；在这样的分组中，由于要选3次，且平均选取，就存在选取的顺序，故所得组中出现重复的组，重复的种数即所分组的全排列数。
若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（3，4）（1，2）（5，6），则这样的两组只能算一组，不能算作两组；若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（1，3）（2，4）（5，6），则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1，2）（3，4）（5，6）与（1，3）（2，4）（5，6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个，且其中的组合（5，6）只能算作1个计数；三．基本的分配问题（一）定向分配问题：将所给元素按要求分配到指定对象【题例2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题：将所给元素按要求分配到非指定对象【题例3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究一．分组问题的基本类型--思想方法（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）：“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。
分组分配问题
分组分配问题贵州省毕节市第四中学 林波分组分配问题是排列组合中的一类常见问题，这类问题分为均匀分组与非均匀分组两种，在这两种分组中又分别含有有序分组和无序分组。
这里说的有序和无序指的是组与组之间的序，而不是组中元素的序，平均分组的情况又分为全平均分组和部分平均分组。
所以在解决分组问题时要先明确分组对象、是否为平均分组、是否为局部平均分组、组与组之间是否有序。
下面就一些实例谈谈这类问题的处理。
例1．8本各不相同的书，分给4人，各得2本，则分法种数共有多少？解：从8本书中选2本分给第一人，有C28种；从剩下的8本中选2本分给第二人，有C26种；依此分下去。
分法共有C 28C 26C 24C22=2520种。
说明：将相异的mn 个元素等分给m 个有序的组，各得n 个，其分法的种数为C n mnCn nmn -Cnnmn 2-……C nn2Cn n例2．8本各不相同的书，平均分为4堆（堆与堆间无序），每堆2本，则分法种数共有多少？解：将8本书平均分配到4个有序的堆，有C 28C 26C 24C22种。
但由于堆与堆间无序，所以平均分为4堆的方法为ACC C C 4422242628=105种。
说明：将相异的mn 个元素等分为无记号或无顺序的m 堆其分法的种数为AC C C C C m mnnn n nn mn n n mn n mn 22.......--例3.将8本各不相同的书分给甲、乙、丙、丁四人，甲得1本，乙得2本，丙得3本，丁得2本，共有多少种分法？解：从8本中选1本给甲，从剩下的7本中选2本给乙，再从剩下的5本中选3本给丙，最后剩下2本给丁，由乘法原理可得分法种数为C 18C 27C 35C22=1680说明：将相异的p 个元素分给m 个有序的堆，第1堆n 1个元素，第2堆n 2个元素，……第m 堆有nm个元素（n 1+n 2+……+nm=p ）,其分配方法种数为C C C C n n n n nn n n m m p p p (3)21211---例4．将8本各不相同的书分为5堆，有两堆各1本，另三堆各2本，共有多少种不同的分法？解：将8本各不相同的书分为指定的5堆，如A 堆、B 堆、C 堆、D 堆、E 堆分别有1本、1本、2本、2本、2本，分法为C 18C 17C 26C 24C22种，但由于堆与堆之间无序，个数相同的堆实际上出现重复，只看为一种，所以分法种数共有AA CC C C C 33222224261718=420说明：将相异的p （n 1+n 2+……+nm=p ）个元素分给m 个无序的堆，使得一堆有n1个元素，另一堆有n 2个元素，……，另一堆有nm个元素，在n 1，n 2，…，nm这m 个数中，有a 个相等，另外有b 个相等，另外有c 个相等，……则分配方法的种数为... (3)21211A A A C C C C c cb ba ap pn nn n n p n n n m m---例5．将6本各不相同的书分给3个人，（1） 一人得1本，一人得2本，一人3本，共有多少种不同的分法？ （2） 有两人各得1本，另一人得4本，共有多少种不同的分法？ 解：（1）先将6本书分为三组，一组1本，一组2本，一组3本，有CC C 332516种分组方法；将不同的三组分给三个人，有A33种分法；所以分法种数为C C C 332516A33=360种（2）先将6本书分为3组，一组4本，两组各一本，共有AC C C 22111246种不同分法；将不同的三组分给三个人，有A 33种分法；所以分法种数为AC C C 22111246A33=90种说明：将相异的p （n 1+n 2+……+nm=p ）个元素分给m 个有序的堆，这m 堆有的n1个元素，有的n 2个元素，……，有的nm个元素，则分配方法的种数分为两种情况：①当n 1，n 2，…，nm这m 个数彼此不相等时，则分配方法的种数为C C C Cn n n n n n n n mmp p p (3)21211---Am m种②当n 1，n 2，…，nm这m 个数中，有a 个相等，另外有b 个相等，另外有c 个相等，……则分配方法的种数为A AA A C C C C mm c cb ba ap p n n n n n p n n n m m (3)21211---。
高中数学课件 6-2排列组合之专题三：分组分配问题
巩固练习
3. 9件不同的玩具，按下列方案有几种分法？
(1)甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法？
C92C73C44 1260
(2)有分配对象: 把 n 个不同的元素分成 m 组，其中 m1 个组有 r1 个元素，m2
个组有 r2 个元素，……， mk 个组有 rk 个元素，并且分配给 m 人，则共有
C C r1 r1 n nr1
C C r1
r2
n(m1 1)r1 nmr1
A A m1 m2 m1 m2
Amk mk
C rk rk
除以
A
m m
，即m!，其中m表示组数.
2.平均分组问题以有无分配对象分成两类：
(1)无分配对象: 把 n 个不同的元素分成无序的 m 组，每组 r 个元素，
则共有
Cnr
Cr nr
Cr n2r
Crr 种分法.(其中 mr = n)；
Amm
(2)有分配对象: 把 n 个不同的元素分成有序的 m 组，每组 r 个元素，
Amm 种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)
小试牛刀
1. 六本不同的书分成3组，一组4本其余各1本，有多少种分法？
部分平均分组无分配对象的问题
C64C21C11 A22
C64
15
2. 12支笔按3 : 3 : 2 : 2 : 2分给A, B, C, D, E五个人有多少种不同的分法？
A22
C64C21C11
30
(5)分给三个人，一人四本，其余两人各一本；
C64
C21C11 A22
A33
C64 A33
90
(6)分给甲乙丙三人，每人至少一本.
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分组分配问题
营山二中数学组龚玉伦
分组分配问题是组合中的典型问题，弄清分组分配问题的基本类型，并采取相应的处理方法是解决分组问题的关键。
在排列、组合中分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除其他途径。
在分组时要区分是平均分组还是非平均分组或部分平均分组，在分配时要区分是定向分配还是非定向分配。
“分组”是指把若干个不同的元素分成几组，组与组之间除了元素数目外不加以区分；“分配”是指将元素配给到相应的对象，对象与对象之间是有区别的。
一、只分组不分配
例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法
(1)分成三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(2)平均分成三份；
(3)分成三份，一份四本，另两份各一本。
解：（1）属“非平均分组”,各组间数目不同，直接依次选取元素，方法数为123
65360
C C C=
(2)属“平均分组”,各组间数目完全相同，组与组之间实际是无区别的，分步产生每一
组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数，方法数为
222
642
3
3
15 C C C
A
=
（3）属“部分平均分组”，对其中的“均匀”部分应消去平均分组时步骤上造成的重复计
数，方法数为
411
621
2
2
15 C C C
A
=
二、既分组又分配
1、配给对象或配给数目确定
当配给对象与相应的配给数目确定时，简单的方法是“依次选取”例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法
（1）分给甲、乙、丙三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（2）分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙各得一本；
（3）平均分给甲、乙、丙三个人；
解：（1）属“非平均定向分配”，等同于“非平均分组”，方法数为123
65360
C C C=
（2）属“部分非平均定向分配”，均匀部分要分配：
411
2
621
2
2
2
30
C C C
A
A
=，也可理解为甲、
乙、丙依次选择: 411
62130
C C C=
（3）属“平均分配”，分组后再分配：
222
3
642
3
3
3
90
C C C
A
A
=，也可理解为甲、乙、丙依次
选择: 222
64290
C C C=
2、配给对象或配给数目不确定
问题处理的方法主要有两种：一是先分组再分配，即先根据需要对元素进行分组，再用排列的方法进行分配；二是边选对象边分配。
例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法
（1）分给甲、乙、丙三个人，一人得一本，一人得两本，一人得三本；
（2）分给甲、乙、丙三个人，一人得四本，另两人各得一本；
解：（1）属“非平均不定向分配”，分组后再分配：1233
6533360
C C C A=
(2)属“部分非平均不定向分配”，分组后再分配：
411
3
621
3
2
2
90 C C C
A
A
=
小结：（1）分组时应注意消去平均部分的重复计数。
（2）分组分配时为使思路明了，一般按照“先分组再分配”的原则。
（3）定向分配时可理解为依次选择。
练习：1、将9本不同的书按以下要求处理，各有几种分法？
（1）分成三份，其中一份1本，一份3本，一份5本；
（2）平均分成三份，每份3本；
（3）按照数目“1，1，2，2，3”分成5份。
2、将5本不同的书分给甲、乙、丙三个人，其中甲1本，、乙、丙各2本，有几种分配方法？
3、将4名新生分配到6个班中的两个班，每班2人，有几种分配方法？
4、把5个不同的小球放入四个不同的盒子，恰有一个空盒的放法有多少种？
（答案：1（1）504，（2）280，（3）3780；2、30；3、90；4、600 . ）。