江西省上饶市余干县沙港中学2020-2021学年八年级上学期竞赛数学试题

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1/ 6初二数学竞赛题

一、单选题(共4题;共12分)

1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为()

A. 13

B. 14

C. 15

D. 21

2.如图,在△ABC中,BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB,过点F作EG∥BC分别交于点AB、AC于点E、G.若AB=9,BC=10,AC=11,则△AEG的周长为()

A. 15

B. 20

C. 21

D. 19

3.如图,AE平分△ABC外角∠CAD,且AE∥BC,给出下列结论:①∠DAE=∠CAE;②∠DAE=∠B;

③∠CAE=∠C;④∠B=∠C;⑤∠C+∠BAE=180°,其中正确的个数有()

A. 5个

B. 4个

C. 3个

D. 2个

4.如图,点C为线段AB上一点,△ACM和△CBN是等边三角形.下列结论:

①AN=BM;②CE=CF;③△CEF是等边三角形;④∠ECF=60°∘.其中正确的是()

A. ①

B. ①②

C. ①②③

D. ①②③④

二、填空题(共4题;共12分)

5.已知等腰三角形的两边长分别为5cm、11cm,则其周长为________.

6.如图,已知∠MON=40°,P为∠MON内一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长取最小值时,∠APB的度数是________°.

7.如图,在△ABC 中,已知点D、E、F 分别是边BC、AD、CE 上的中点,且S△ABC=4,则

S△BFF=________.

8.在如图所示的4×4正方形网格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=________度.

三、计算题(共5题;共30分)

9.设a,b,c为△ ABC的三边,化简

10.在△ABC中,∠A=38°,∠B=70°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACB,DP⊥CE于点P,求∠CDP的度数.

11.已知,,

(1)求的值;

(2)求的值.

12.如图,∠A=∠D=90°,BE平分∠ABC,且点E是AD的中点,求证:BC=AB+CD。

13.已知,如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1,求AD的长.

四、解答题(共2题;共16分)

14.某地有两条相交叉的公路,计划修建一个饭馆:希望饭馆点P既在MN这条公路上,又到直线OA、OB 的距离相等.你能确定饭馆应该建在什么位置吗?(保留作图痕迹)

15.如图,△ABC中,∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,求证:BE=CF.

16(9’).问题情景:如图1,在同一平面内,点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边,上,点A与点P在直线的同侧,若点P在内部,试问,与

的大小是否满足某种确定的数量关系?(1)特殊探究:若,则________度,________度,________度;

(2)类比探索:请猜想与的关系,并说明理由;

(3)类比延伸:改变点A的位置,使点P在外,其它条件都不变,判断(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出,与满足的数量关系式.

17. (9’)

(1)计算并观察下列各式:

________;

________;

________;

(2)从上面的算式及计算结果,你发现了什么?请根据你发现的规律直接填写下面的空格.

________;

(3)利用该规律计算:.

18(12’).如图,△ABC中,∠C=Rt∠,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为ts.

(1)出发2s后,求△ABP的周长.

(2)问t为何值时,△BCP为等腰三角形?

(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P,Q两点同时出发,当P,Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?

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答案解析部分

一、单选题 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】D

二、填空题 5.【答案】27cm 6.【答案】100 7.【答案】1 8.【答案】315

三、计算题9.【答案】解:由三角形三边关系(两边之和大于第三边),

原式=a+b+c+b+c-a+a+c-b+a+b-c=2(a+b+c)

10【答案】解:∵∠A=38°,∠B=70°,∴∠BAC=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣38°﹣70°=72°,∵CE平分∠ACB,

∴∠ACE= ∠ACB= ×72°=36°,

∵CD⊥AB,

∴∠ACD=90°﹣∠A=90°﹣38°=52°,

∴∠DCE=∠ACD﹣∠ACE=52°﹣36°=16°,

∵DP⊥CE,

∴∠CDP=90°﹣∠DCE=90°﹣16°=74°.

11.【答案】(1)解:∵,,

∴= =

(2)解:∵,,∴,

∴,即,

∴xy=x+y

∴=

四、解答题

12.【答案】证明:过点E作EF⊥BC于点F,则∠EB=∠A=90°,

又∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠FBE,∵BE=BE,

∴△ABE≌△FBE(AAS),

∴AE=EF,AB=BF

又点E是AD的中点,

∴AE=ED=EF

Rt△CDE≌Rt△CFE(HL),

∴CD=CF,

∴BC=CF+BF=AB+CD.13.【答案】解:∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC,∠BAC=∠ACD,

∵AE=CD,

∴△ABE≌△ADC(SAS),

∴AD=AE,∠DAC=∠ABE,

∵∠BPQ=∠PAB+∠PBA,

∴∠BPQ=∠PAB+∠DAC=∠PAC=60°,

∴∠PBQ=180°-∠PQB-∠BPQ=180°-90°-60°=30°,

∴BP=2PQ=6,

∴BE=BP+PE=6+1=7.

∴AD=BE=7.

14.【答案】解:如图所示:

点P的位置就是饭馆的位置.

15.【答案】证明:连接BD、CD,

∵∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D,DE⊥AB,DF⊥AC,∴BD=CD,DE=DF.

∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL),

∴BE=CF.

五、综合题

16.【答案】(1)125;90;35

(2)解:猜想:∠ABP+∠ACP=90°-∠A;

证明:在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,

∵∠ABC=∠ABP+∠PBC,∠ACB=∠ACP+∠PCB,

∴(∠ABP+∠PBC)+(∠ACP+∠PCB)=180°-∠A,

∴(∠ABP+∠ACP)+(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A,

又∵在Rt△PBC中,∠P=90°,

∴∠PBC+∠PCB=90°,

∴(∠ABP+∠ACP)+90°=180°-∠A,

∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A.

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