江西省上饶市余干县沙港中学2020-2021学年八年级上学期竞赛数学试题
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1/ 6初二数学竞赛题
一、单选题(共4题;共12分)
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为()
A. 13
B. 14
C. 15
D. 21
2.如图,在△ABC中,BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB,过点F作EG∥BC分别交于点AB、AC于点E、G.若AB=9,BC=10,AC=11,则△AEG的周长为()
A. 15
B. 20
C. 21
D. 19
3.如图,AE平分△ABC外角∠CAD,且AE∥BC,给出下列结论:①∠DAE=∠CAE;②∠DAE=∠B;
③∠CAE=∠C;④∠B=∠C;⑤∠C+∠BAE=180°,其中正确的个数有()
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
4.如图,点C为线段AB上一点,△ACM和△CBN是等边三角形.下列结论:
①AN=BM;②CE=CF;③△CEF是等边三角形;④∠ECF=60°∘.其中正确的是()
A. ①
B. ①②
C. ①②③
D. ①②③④
二、填空题(共4题;共12分)
5.已知等腰三角形的两边长分别为5cm、11cm,则其周长为________.
6.如图,已知∠MON=40°,P为∠MON内一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长取最小值时,∠APB的度数是________°.
7.如图,在△ABC 中,已知点D、E、F 分别是边BC、AD、CE 上的中点,且S△ABC=4,则
S△BFF=________.
8.在如图所示的4×4正方形网格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=________度.
三、计算题(共5题;共30分)
9.设a,b,c为△ ABC的三边,化简
10.在△ABC中,∠A=38°,∠B=70°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACB,DP⊥CE于点P,求∠CDP的度数.
11.已知,,
(1)求的值;
(2)求的值.
12.如图,∠A=∠D=90°,BE平分∠ABC,且点E是AD的中点,求证:BC=AB+CD。
13.已知,如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1,求AD的长.
四、解答题(共2题;共16分)
14.某地有两条相交叉的公路,计划修建一个饭馆:希望饭馆点P既在MN这条公路上,又到直线OA、OB 的距离相等.你能确定饭馆应该建在什么位置吗?(保留作图痕迹)
15.如图,△ABC中,∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,求证:BE=CF.
16(9’).问题情景:如图1,在同一平面内,点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边,上,点A与点P在直线的同侧,若点P在内部,试问,与
的大小是否满足某种确定的数量关系?(1)特殊探究:若,则________度,________度,________度;
(2)类比探索:请猜想与的关系,并说明理由;
(3)类比延伸:改变点A的位置,使点P在外,其它条件都不变,判断(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出,与满足的数量关系式.
17. (9’)
(1)计算并观察下列各式:
________;
________;
________;
(2)从上面的算式及计算结果,你发现了什么?请根据你发现的规律直接填写下面的空格.
________;
(3)利用该规律计算:.
18(12’).如图,△ABC中,∠C=Rt∠,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为ts.
(1)出发2s后,求△ABP的周长.
(2)问t为何值时,△BCP为等腰三角形?
(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P,Q两点同时出发,当P,Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?
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答案解析部分
一、单选题 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】D
二、填空题 5.【答案】27cm 6.【答案】100 7.【答案】1 8.【答案】315
三、计算题9.【答案】解:由三角形三边关系(两边之和大于第三边),
原式=a+b+c+b+c-a+a+c-b+a+b-c=2(a+b+c)
10【答案】解:∵∠A=38°,∠B=70°,∴∠BAC=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣38°﹣70°=72°,∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE= ∠ACB= ×72°=36°,
∵CD⊥AB,
∴∠ACD=90°﹣∠A=90°﹣38°=52°,
∴∠DCE=∠ACD﹣∠ACE=52°﹣36°=16°,
∵DP⊥CE,
∴∠CDP=90°﹣∠DCE=90°﹣16°=74°.
11.【答案】(1)解:∵,,
∴= =
(2)解:∵,,∴,
∴,即,
∴xy=x+y
∴=
四、解答题
12.【答案】证明:过点E作EF⊥BC于点F,则∠EB=∠A=90°,
又∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠FBE,∵BE=BE,
∴△ABE≌△FBE(AAS),
∴AE=EF,AB=BF
又点E是AD的中点,
∴AE=ED=EF
Rt△CDE≌Rt△CFE(HL),
∴CD=CF,
∴BC=CF+BF=AB+CD.13.【答案】解:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ACD,
∵AE=CD,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴AD=AE,∠DAC=∠ABE,
∵∠BPQ=∠PAB+∠PBA,
∴∠BPQ=∠PAB+∠DAC=∠PAC=60°,
∴∠PBQ=180°-∠PQB-∠BPQ=180°-90°-60°=30°,
∴BP=2PQ=6,
∴BE=BP+PE=6+1=7.
∴AD=BE=7.
14.【答案】解:如图所示:
,
点P的位置就是饭馆的位置.
15.【答案】证明:连接BD、CD,
∵∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D,DE⊥AB,DF⊥AC,∴BD=CD,DE=DF.
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL),
∴BE=CF.
五、综合题
16.【答案】(1)125;90;35
(2)解:猜想:∠ABP+∠ACP=90°-∠A;
证明:在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC,∠ACB=∠ACP+∠PCB,
∴(∠ABP+∠PBC)+(∠ACP+∠PCB)=180°-∠A,
∴(∠ABP+∠ACP)+(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A,
又∵在Rt△PBC中,∠P=90°,
∴∠PBC+∠PCB=90°,
∴(∠ABP+∠ACP)+90°=180°-∠A,
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A.
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