江西省上饶市余干县沙港中学2020-2021学年八年级上学期竞赛数学试题

1/ 6初二数学竞赛题

一、单选题（共4题；共12分）

1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为（）

A. 13

B. 14

C. 15

D. 21

2.如图，在△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作EG∥BC分别交于点AB、AC于点E、G．若AB=9，BC=10，AC=11，则△AEG的周长为（）

A. 15

B. 20

C. 21

D. 19

3.如图，AE平分△ABC外角∠CAD，且AE∥BC，给出下列结论：①∠DAE=∠CAE；②∠DAE=∠B；

③∠CAE=∠C；④∠B=∠C；⑤∠C+∠BAE=180°，其中正确的个数有（）

A. 5个

B. 4个

C. 3个

D. 2个

4.如图，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN是等边三角形.下列结论：

①AN=BM;②CE=CF;③△CEF是等边三角形;④∠ECF=60°∘.其中正确的是（）

A. ①

B. ①②

C. ①②③

D. ①②③④

二、填空题（共4题；共12分）

5.已知等腰三角形的两边长分别为5cm、11cm，则其周长为________.

6.如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是________°.

7.如图，在△ABC 中，已知点D、E、F 分别是边BC、AD、CE 上的中点，且S△ABC=4，则

S△BFF=________．

8.在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝________度.

三、计算题（共5题；共30分）

9.设a,b,c为△ ABC的三边，化简

10.在△ABC中，∠A=38°，∠B=70°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，DP⊥CE于点P，求∠CDP的度数．

11.已知，，

（1）求的值；

（2）求的值.

12.如图，∠A=∠D=90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：BC=AB+CD。

13.已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长.

四、解答题（共2题；共16分）

14.某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB 的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）

15.如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF．

16（9’）.问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与

的大小是否满足某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若，则________度，________度，________度；

（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；

（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．

17. （9’)

（1）计算并观察下列各式：

________；

________；

________；

（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格.

________；

（3）利用该规律计算：.

18（12’）.如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为ts.

（1）出发2s后，求△ABP的周长.

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形?

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?

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答案解析部分

一、单选题 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】D

二、填空题 5.【答案】27cm 6.【答案】100 7.【答案】1 8.【答案】315

三、计算题9.【答案】解：由三角形三边关系(两边之和大于第三边），

原式=a+b+c+b+c-a+a+c-b+a+b-c=2(a+b+c)

10【答案】解：∵∠A=38°，∠B=70°，∴∠BAC=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣38°﹣70°=72°，∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE= ∠ACB= ×72°=36°，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD=90°﹣∠A=90°﹣38°=52°，

∴∠DCE=∠ACD﹣∠ACE=52°﹣36°=16°，

∵DP⊥CE，

∴∠CDP=90°﹣∠DCE=90°﹣16°=74°．

11.【答案】（1）解：∵，，

∴= =

（2）解：∵，，∴，

∴，即，

∴xy=x+y

∴=

四、解答题

12.【答案】证明：过点E作EF⊥BC于点F，则∠EB=∠A=90°，

又∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠FBE，∵BE=BE，

∴△ABE≌△FBE(AAS)，

∴AE=EF，AB=BF

又点E是AD的中点，

∴AE=ED=EF

Rt△CDE≌Rt△CFE(HL)，

∴CD=CF，

∴BC=CF+BF=AB+CD．13.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACD，

∵AE=CD，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴AD=AE，∠DAC=∠ABE，

∵∠BPQ=∠PAB+∠PBA，

∴∠BPQ=∠PAB+∠DAC=∠PAC=60°，

∴∠PBQ=180°-∠PQB-∠BPQ=180°-90°-60°=30°，

∴BP=2PQ=6，

∴BE=BP+PE=6+1=7.

∴AD=BE=7.

14.【答案】解：如图所示：

，

点P的位置就是饭馆的位置．

15.【答案】证明：连接BD、CD，

∵∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，DE⊥AB，DF⊥AC，∴BD=CD，DE=DF．

∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），

∴BE=CF．

五、综合题

16.【答案】（1）125；90；35

（2）解：猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；

证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，

∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，

∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，

∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，

又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，

∴∠PBC+∠PCB=90°，

∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，

∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．

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