双曲线的几何性质
2.2.2双曲线的简单几何性质
b y=±－ ax
a y=±－ bx
半轴长
离心率 a,b,c的关系
半实轴长为a, 半虚轴长为b. c e a c2=b2+a2
例3 求双曲线9y2–16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、 离心率及渐进线方程.
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋 转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口 半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线 的方程。
4.渐近线:
b 0 ，即y=±－ ax
y
B2 A1
O
当a=b时，双曲线叫做等轴双曲线。 5.离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率，
c 用e表示，即 e a
a
B1
A2
b
x
[1]离心率的取值范围：e>1
[2]离心率对双曲线形状的影响：
渐近线与双曲 线永不相交
e越大，c就越大，从而b就越大，双曲线就开口越阔。
(3)焦点为(0, 6)，(0, -6)，且过点(0, 4)
2.2.2 椭圆的简单几何性质
x y - 2 =1 2 a b
1.范围： 两直线x=±a的外侧 2.对称性：
A1
O
2
2
y
B2
a
B1
A2
b
x
双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。坐 标轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心。 双曲线的对称中心叫双曲线的中心。 3.顶点: A1(-a，0)，A2(a，0)叫做双曲线的顶点。 线段A1A2叫做双曲线的实轴，ห้องสมุดไป่ตู้B1B2 叫做双曲线 的虚轴。它们的长分别为2a和2b。
F(±c，0)
双曲线的简单几何性质课件
1(λ≠0，－b2<λ<a2).
x2 y2
x2 y2
(4) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 － b2 ＝
λ(λ≠0).
(5)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，过点(1，2)；
b
b
b2
程求解，另一种方法是消去 c 转化成含a 的方程，求出a 后利用 e＝ 1＋a2 求
离心率．
2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立 a，b，c 的不等式． (2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围．
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？ x2 y2
提示：以双曲线a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)为例．
c
a2＋b2
b2
b
b
e＝a ＝ a ＝ 1＋a2 ，故当a 的值越大，渐近线 y＝a x 的斜率越大，双
曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心
率越大，它的开口就越大．
巧设双曲线方程的方法与技巧
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
x2
y2
x2
y2
(3) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 共 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2－λ － b2＋λ ＝
B．y＝±34 x
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线是几何学中非常有趣的一类曲线，它形状十分壮观，常被广泛应用到许多不同的领域，例如机械设计、工业设计和计算机图形学等。
双曲线之所以能受到人们的独特关注，是因为它具有着独特的几何性质，这些性质具体如下：
1、双曲线无论在何处取一点，边缘上总是相同的准则来决定它的方向，因此称之为曲线的确定性性质。
这种性质决定了双曲线的方向跟某一点的距离是固定的，任何时候对曲线做相同的位移等价于对某一点做相同的位移，因而看起来双曲线的每一段都是一模一样的。
2、双曲线的另一种性质是它的宽度性质。
在双曲线上确定一点，然后在此点向两方平行平移某一个距离，不可能让它离原点越来越远，如果再加上长度性质，可以发现双曲线不会变宽。
3、另外，双曲线是没有重复部分的，也就是说双曲线是一种不局限的曲线，具有无限性质，永远不会重复。
4、双曲线具有反射性，这就是说可以以一个定点作为基准点，以这个点左右对称地折叠，双曲线的两端点可以映射到另一条线上。
5、最后，双曲线的斜率具有渐变性质，斜率逐渐增加，直到极限是无穷大。
双曲线拥有非常独特的几何性质，而这些性质也使得双曲线在很多不同的领域有着重要的应用价值。
根据上述描述可以知道，双曲线不仅独特，而且还有多种优越的特性，有很大的实用价值。
《双曲线几何性质》课件
生活中的双曲线应用
总结词
双曲线在日常生活中也有很多应用，如建筑设计、工程制造和艺术创作等。
详细描述
在建筑设计中，双曲线用于构建优美的曲线形状，如桥梁、建筑物的外观和内部结构。在工程制造中 ，双曲线用于制造各种零部件和工具，如机械零件、光学仪器等。在艺术创作中，双曲线用于创作优 美的图案和造型，如绘画、雕塑和音乐作品等。
双曲线的轴对称性
总结词
双曲线的轴对称性是指以通过双曲线中心的直线为对称轴，双曲线上的任意一 点关于该对称轴的对称点也在双曲线上。
详细描述
对于双曲线上的任意一点P，关于通过双曲线中心的直线（称为对称轴）的对称 点P'也在双曲线上。这种对称性使得双曲线在对称轴两侧保持一致的形状和方 向。
04
双曲线的面积与周长
这两个定点称为双曲线的焦点，焦点之间的距离称为焦距。
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
VS
焦点在y轴上
$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线的面积
总结词
详细描述
总结词
详细描述
双曲线的面积可以通过特定 的公式进行计算，该公式基 于双曲线的参数方程和定义 域。
双曲线的面积计算公式为 (A = piab)，其中 (a) 和 (b) 分 别是双曲线的实半轴和虚半 轴长度。这个公式基于双曲 线的参数方程和定义域，通 过积分运算得出。
双曲线的简单几何性质课件
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线
双曲线的标准方程及其几何性质
2 2
x y
解析：由题意，设双曲线方程为2—2=
a a
例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-.2)，离心率e5
2
⑵F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且
F1PF260，SpRF212 3.
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下.
A.4
2
x
m212
1表示双曲线，则
k的取值范围是
B.
C.
D.
2
y
2
4 mB.2双Fra bibliotek线学a1的焦距是
C.
D.
m有关
2
_
k b2k
1与双曲线笃
a
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上•
3.双曲线的简单几何性质:
标准方程
2 2
xy‘
——1(a0,b0)ab
yx2
—2-21(a 0, b 0)
ab
图象
9
I
a, b,c关系
2 . 2 2a b c
范围
|x| a,y R
| y | a, x R
个数来确定。
(1)通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一
元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与
双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点.
(2)若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平 行于双曲线的一条渐近线.
双曲线的几何性质
x±
解：
的双曲线方程。 3 y = 0 的双曲线方程。 椭圆的焦点在x轴上， 椭圆的焦点在 轴上，且坐标为 轴上
∴ 双曲线的焦点在x轴上，且c = 2 2
3 ∵ 双曲线的渐近线方程为 y = ± x 3 b 3 ∴ = ， 解出 a 2 = 6， b 2 = 2 2 2
F1 ( − 2 2，)， F 2 2 2，） 0 （ 0
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。 双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。
5、离心率 、 c 双曲线的焦距与实轴长 的比 e = ,叫做 （1）定义： ）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围 ） 的范围：
∵ c>a>0 ∴
2
e >1
思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线 思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度， 的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢？ 的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢？ e是用来刻画双曲线开口大小的一个量, e越大开口越大。
等轴双曲线的离心率为
2
，反之成立. 反之成立
焦点在y 焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
双曲线标准方程： 双曲线标准方程： 双曲线性质： 双曲线性质： 1.范围： 范围： 范围
y2 x2 − 2 =1 2 a b
y A2 B1 o A1 B2 x
y≥a或y≤-a 或
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称 对称性： 对称性 3.顶点： 顶点： 顶点 A1(0，-a),A2(0,a) ， A1A2为实轴，B1B2为虚轴 为实轴，
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
F1
x y − 2 =1 2 a b
2
2
双曲线的简单几何性质
(2)∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， c 2 ∴c＝4.∵e＝ ＝2，∴a＝2，∴b ＝12， a ∴b＝2 3. ∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(± 4,0)， b 渐近线方程为 y＝± x，即 y＝± 3x，化 a 为一般式为 3x± y＝0.
【答案】 (1)D (2)(± 4,0) 3x± y＝0
双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程也是从“定形”“定
式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是
指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况
下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”
设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定
义法或待定系数法确定a，b的值．
根据下列条件，求双曲线的标准方程． 5 (1)虚轴长为 12，离心率为 ； 4 3 (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝± x； 2 (3)过点(2，－2)且与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近 线．
【规律方法】 若不能明确双曲线的焦点在哪 条坐标轴上，可设双曲线方程为： mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六
点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)、“四 线”(两条对称轴、两条渐近线)、“两形”(中心、 焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和 两焦点构成的三角形)来研究它们之间的相互联系， 明确a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，简 化解题过程．
变式练习
1．(2010 年高考安徽卷)双曲线方程为 x2－2y2＝1， 则它的右焦点坐标为( C ) 2 5 A. B. ，0 2 2 ，0 6 C. D．( 3，0) ，0 2
2．(教材习题改编)已知双曲线的离心率为 2， 焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线的方程为( x 2 y2 A. － ＝1 4 12 x y C. － ＝1 10 6
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线是二次曲线的一种，其几何性质如下：
1. 双曲线有两个分支，分布在两侧于中心对称的轴线上。
轴线与曲线没有交点。
2. 双曲线的两个分支无限延伸，没有端点。
两个分支之间的距离称为双曲线的焦距，记作2c。
3. 双曲线具有对称性质，即关于x轴、y轴及原点对称。
4. 双曲线的两个分支与其对称轴之间的距离称为双曲线的半轴长，记作a。
半轴长的大小决定了双曲线的形状。
5. 双曲线具有渐近线性质，即两个分支无限接近于直线，称为双曲线的渐近线。
渐近线的方程为y = ±(a/c)x。
6. 双曲线与椭圆和抛物线不同，它没有顶点或焦点。
7. 双曲线的离心率（eccentricity）为大于1的实数，其值决定了曲线的形状。
离心率越大，曲线越扁平。
8. 双曲线的方程一般形式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为实数，且满足
B^2 - 4AC < 0，且A和C异号。
这些性质描述了双曲线的形状、对称性、渐近线以及与其他曲线的区别。
双曲线在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
3、双曲线概念及几何性质
双曲线的概念与几何性质一、知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质3.重要结论1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a . 2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )(2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( ) 解析 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.解析 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.答案 x 28－y 28＝13.已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝17－1，故|PF2|＝6.答案64.(2018·浙江卷)双曲线x23－y2＝1的焦点坐标是()A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).答案B5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝35x x，则a＝________.解析由题意可得3a＝35，所以a＝5.答案56.(2018·北京卷)若双曲线x2a2－y24＝1(a>0)的离心率为52，则a＝________.解析由题意可得，a2＋4a2＝⎝⎛⎭⎪⎫522，即a2＝16，又a>0，所以a＝4.答案4考点一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________. 解析 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝c a ＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10. 答案 (1)B (2)B考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )81045C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 解析 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 答案 (1)B (2)C规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值. 2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝132332(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________.解析 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.答案 (1)C (2)y 243－x 23＝1考点三 双曲线的性质 角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x解析 法一 由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x . 答案 A角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D.2(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233. 答案 (1)C (2)A角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 答案 A【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.解析 (1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)，则|b －2a |a 2＋b2＝1，得3a ＝4b ， 所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝2516， 又e >1，故e ＝54.(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2). 答案 (1)B (2)(0，2)三、课后练习1.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±12x C.y ＝±22xD.y ＝±2x解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩⎨⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案 D2.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[2，2＋6] B.[2，3＋1] C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]解析 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32， ∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]. 又e >1，∴e ∈[2，3＋1].答案 D3.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.解析 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 答案3－1 24.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 5.已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.解析 由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ，即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m 4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点， 则⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2.解得⎩⎨⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.答案 0 3。
双曲线的几何性质
21
练习 P53
x2 y2 3．求以椭圆 1 的焦点为顶点，以椭圆 8 5
的顶点为焦点的双曲线的方程．
22
练习 P53
4．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个 焦点是 F1 (6, 0) ，求它的标准方程和渐近线方程． 5．求下列直线和双曲线的交点坐标：
x2 y2 （1） 2 x y 10 0 ， 1 ； 20 5 x2 y 2 （2） 4 x 3 y 16 0 ， 1 ． 25 16
与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比
c ，叫做双曲线的离心率，因为 c a 0 ，所以 a c 双曲线的离心率 e 1 ， 即双曲线的离心率的 a
范围是 e (1, ) .
8
双曲线的几何性质
标准 方程
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y
y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
解 ：设椭 圆上 两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 关 于直 线 显然 x1 x2 ， 线段 AB 中点 M ( x0 , y0 ) 则 y 4 x m 对称，
x12 y12 1 4 3
①
2 2 x2 y2 1 4 3
②
31
3.点差法
①－②整理得 k AB
复习提问
类比椭圆几何性质的研究方法，我们根据双曲线
x2 y 2 的标准方程 2 2 1(a 0, b 0) a b
①
研究它的几何性质.
2
本节内容
一、范围 二、对称性 三、顶点
四、渐近线 五、离心率
3
一、范围
观察双曲线，可以看出它在不等式 x a 与 x a 表示的区域内.下面利用双曲线的方程求出它的范围. 这说明双曲线在不等式 x a 与 x a 表示的区 域内.
双曲线的简单几何性质
2.椭圆的图像与性质:
标 准 x2 y2 方 程 a2 b2 1
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
顶点
关于X,Y轴, 原点对称
±a,0 , 0,±b
焦点
±c,0
A1 F1
长轴、
短轴 A1A2 ; B1B2
离心率
e c a
Y
B2
o
B1
A2
F2
X
课堂新授
一、研究双曲线
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
或设
x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
y2 x2 a2b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1 - a,0 ,A2 a,0
离心率 渐近线
e c (e 1) a
y b x a
A1 0,-a ,A2 0,a
e c (e 1) a
顶A 点 1 ( a ,0 )、 是 A 2 (a ,0 )
（2）线段 A 1 A 2 叫双曲线的实轴，长为2a，a为实半轴长；
线段B 1 B 2叫双曲线的虚轴，长为2b，b为虚半轴长 y
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线，即a=b
双曲线的几何性质课件
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记为2c。
性质
焦距是双曲线几何量中最基本的量 之一，它决定了双曲线的形状和大 小。
计算
焦距2c可以通过半长轴a和半短轴b 计算得出，c = sqrt(a^2 + b^2)。
焦点距离公式
定义
焦点距离公式是指双曲线上的任 意一点P到两个焦点的距离之差
的绝对值等于常数2a。
离心率的计算公式
离心率 = 根号下(分母的 平方 - 分子) / 分母。
离心率的物理意义
离心率越大，双曲线开口 越大，反之则越小。
离心率与双曲线的关系
当离心率大于1时，双曲线的开口方向为水平方向；当离心率小于1时，双曲线的 开口方向为垂直方向。
离心率的大小决定了双曲线的形状和开口大小，是双曲线几何性质中非常重要的 一个参数。
实轴与虚轴
总结词
实轴是双曲线与x轴的交点形成的线段，虚轴是双曲线与y轴的交点形成的线段 。
详细描述
实轴是双曲线与x轴的交点形成的线段，长度为 $2a$。虚轴是双曲线与y轴的交 点形成的线段，长度为 $2b$。
渐近线
总结词
双曲线有两条渐近线，它们是连接顶点和原点的线段。
详细描述
双曲线的渐近线方程是 $y = pm frac{b}{a} x$。这些线是连接顶点和原点的线段 ，随着x的增大或减小，双曲线会逐渐接近这些线，但永远不会与其相交。
离心率的变化范围
对于给定的双曲线，离心率有一 个变化范围。这个范围取决于双
曲线的标准方程和焦点位置。
在标准方程下，离心率的变化范 围是大于0小于等于根号下2。
当离心率等于根号下2时，双曲 线成为一条直线；当离心率等于 0时，双曲线成为以原点为中心
双曲线的简单几何性质 课件
题型1 双曲线的几何性质
例1：求双曲线 9y2－16x2＝144 的半实轴长、半虚轴上、
焦点坐标、离心率和渐近线方程．
题型2 利用几何性质求标准方程
思维突破：双曲线焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上．
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴
实轴长 2a，虚轴长 2b
离心率
渐近线
续表
a
a
实轴和虚轴
y＝±x
双曲线
双曲线的准线
【要点1】椭圆与双曲线几何性质的比较．
【剖析】(1)双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，这 与椭圆不同．不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． (2)椭圆的焦点总在长轴上，双曲线的焦点总在实轴上． (3)椭圆离心率越大(即越接近于 1)，椭圆就越扁平；而双曲 线的离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，就是说 双曲线的“张口”逐渐增大．
解答时要分两类情况．
题型3 求双曲线的离心率
双曲线的简单几何性质Fra bibliotek 标准 方程图形
性 质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c(c2＝a 2＋b 2)
1．双曲线的几何性质.
标准 方程
性 质
范围
|x|≥____，y∈R
|y|≥______，x∈R
对称
关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
双曲线的几何性质课件
双曲线的
标准方程
为
：
x^2/a^2 -
y^2/b^2 =
1
a和b是双 曲线的半 轴长， a>b
双曲线的
标准方程
可以表示
为
：
x^2/a^2 -
y^2/b^2 =
1
双曲线的
标准方程
可以表示
为
：
x^2/a^2 -
y^2/b^2 =
1
双曲线的
双曲线关于x轴对称
双曲线关于原点对称
添加标题
添加标题
双曲线关于y轴对称
添加标题
添加标题
双曲线关于直线y=x对称
顶点：双曲线有两个顶点，分 别位于x轴和y轴上
中心：双曲线的中心位于顶点 连线的中点
顶点坐标：顶点的坐标可以通 过双曲线的方程求解得到
中心坐标：中心的坐标可以通 过顶点的坐标和双曲线的方程 求解得到
双曲线的离心率与焦点距离成反比 离心率越大，焦点距离越短 离心率越小，焦点距离越长 双曲线的离心率决定了焦点距离的大小
离心率：双曲线 的离心率是双曲 线的性质之一， 决定了双曲线的 形状和位置
开口大小：双曲 线的开口大小是 指双曲线的两个 焦点之间的距离， 与离心率有关
关系：双曲线的 离心率越大，开 口越小；离心率 越小，开口越大
双曲线的渐近 线与直线的交 点称为渐近线 与直线的交点
渐近线与直线 的交点性质是 双曲线的几何
性质之一
渐近线与直线 的交点性质决 定了双曲线的
形状和位置
渐近线与直线 的交点性质是 双曲线的重要
特征之一
确定双曲线的渐近线方程 计算渐近线与直线的交点坐标 判断交点是否在双曲线上 应用交点坐标求解双曲线的参数
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y
x
P
M(-2,0)
1 2
x O N(2,0)
(II) 设P（x,y），因|PN|≥1知 |PM|=2|PN|2≥2|PN|>|PN|, 故P在双曲线右支上，所以x≥1 又双曲线方程有y2=3x2-3. 因此，
| PN | ( x 2) 2 y 2 ( x 2) 2 3 x 2 3 4 x 2 4 x 1.
y M x F2 (c,0)
双曲线的对称中心，双曲线的对
称中心叫双曲线的中心.
3.顶点：
双曲线和x轴的两个
B2 A1 b A2 F1 O a F2 B1
交点A1(-a,0)，A2(a,0)叫做
双曲线的顶点.
2.3-6 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长 等于2a，a叫做双曲线的半长实轴；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长
例3：
双曲线的中心为原点O,焦点
在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F,垂 直于l1的直线分别交l1，l2于A,B两点. OA 、 AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向 (Ⅰ)求双曲线的离心率； (Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4, 求双曲线的方程.
解：（1）设OA=m-d，AB=m，OB=m+d 由勾股定理可得： (m-d)2+m2=(m+d)2
M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组
y kx m， 2 x y2 1. 4 5 ① ,将①式代入②式， ②
得
整理,得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0
此方程有两个不等实根，于是5-4k2 ≠0 ，且
x 2 (kx m) 2 1 4 5
|MF1|-|MF2|=±2a
c>a>0 c2 - a2=b2(b>0)
x2 y 2 2 1 2 a b
2 2
y x + =1 2 2 a b
2
2
（a>b>0）
y x 2 1 2 a b
（a>0, b>0）
高考链接
(2008重庆文) 如图，M（-2，0）和N（2，0）
PM PN 2. 是平面上的两点，动点P满足：
线段A1A2叫做双曲线的
实轴，它的长等于2a，a叫 做双曲线的半长实轴； 线段B1B2叫做双曲线的 虚轴，它的长等于2b，b叫 做双曲线的半虚轴长.
B2
A1 b A2 F1 O a F2 B1
2.3-6
4.渐近线
可以发现，点M的横 坐标xM越来越大，d =MQ 越来越小，但永远不等于0.
B2 Q A1 b A2 M
双曲线的离心率.因为c>a>0 ,
>1.
2.3-6
离心率可以刻画椭圆的扁
平程度，双曲线的离心率刻画
双曲线的什么几何特征？
例1：
已知：F1，F2是双曲线的两个焦点P
为双曲线上一点， 若PF1⊥PF2且∠PF1F2= 30°
则双曲线的离心率为多少？
解：由题设|F1F2|=2c，|PF2|=2c，
|PF1|= 3c ，根据双曲线的定义 | PF2 |- |PF1|=2a，即 ( 3 - 1)c = 2a
d1
∠APB=2θ，且存在常数
λ(0<λ<1)，使得d1d2sin2θ=λ
证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C
的方程.
解：在△PAB中,|AB|=2 即 22=d12+d22-2d1d2cos2θ， 4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ，即
32 5b 2 28b 2 4 5 4 5 15
,
x2 y 2 最后求得双曲线方程为： 36 9 1
课堂小结
1.范围：x≤-a，x≥ a 2.对称性：双曲线关于x，y 轴和原点都是对称的，这时，坐 标轴是双曲线的对称轴，原点是 F1 (-c,0) O
由椭圆的第一个性质出发，首先来 学习双曲线的第一个性质—范围.
1.范围：
观察双曲线，可以看出它在
y M
不等式 x≤-a，x≥ a的区域里
下面利用双曲线的标准方程：
x2 y 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0) ① 2 a b
F1 (-c,0) O
x F2 (c,0)
2 x 求出它的范围：将方程①化为 2 ≥ 1 a 即x≤-a，x≥ a.
2.对称性：
x2 y2 类比研究椭圆 2 + 2 =（ 1 a>b>0） a b 对称性的方法，容易得到，
双曲线关于x，y轴和原点都
是对称的，这时，坐标轴是 双曲线的对称轴，原点是双 曲线的对称中心，双曲线的 对称中心叫双曲线的中心.
y M
F1 (-c,0) O
x F2 (c,0)
3.顶点：
在方程①里，令y=0，得
． ．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为
9km 0， 9m ， 0 2 2 5 4 k 5 4 k
1 9km 9m 81 由题设可得 2 2 2 5 4k 5 4 k 2
2 2 (5 4 k ) 2 k0 整理得 m k
(5 4k 2 )2 将上式代入③式得 5 4k 2 0 k
F1 Oa
F2
如图作虚线辅助线，围成一
个虚线矩形，矩形的对角线所在
x y 的直线的方程： ± = 0 . a b
B1
若将双曲线的各支向外延伸，与这两 条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做 双曲线的渐近线.
在方程
x2 y 2 - 2 =1 2 a b
中，
F1
如果a=b，那么双曲线的方 程为x2-y2=a2，它的实轴和虚 轴的长都等于2a.这时，四条 直线x =±a，y =±b围成正
△=(-8km)2+4(5-4k2)
整理得m2+5-4k2>0③
由根与系数的关系可知 线段MN的中点坐标(x0,y0)满足
x1 x2 4km x0 2 5 4k 2
， ，
5m y0 kx0 m 5 4k 2
从而线段MN的垂直平分线的方程为
y 5m 1 4km x 5 4k 2 k 5 4k 2
(x - 5) + y 5 = . 16 4 | -x| 5
2
2
将上式两边平方，并简化， 得 9x2-16y2 =144 y
x2 y 2 即 - =1 16 9 所以，点M的轨迹是实轴、
虚轴长分别为8，6的双曲线 （如图2.3-9）
H
O
M
F x
2.3-9
本例与书上2.2的例6比较， 你有什么发现？
x2 y 2 2 1(a 0，b 0) 2 a b
由题设得
a 2 b 2 9，解得 b 5 . 2 a
2 a 4， 2 b 5.
2 2 x y 所以双曲线C的方程为 1 4 5
（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)，点
A． x2 y2 10x 9 0
2 2 x y 10 x 16 0 B．
2 2 x y 10 x 16 0 C．
D． x2 y2 10x 9 0
二、填空题
2 2 x y 1.已知双曲线 C : 1 （a>0,b>0）， a 2 b2
15 2 8 5 代入，化简有 x x 21 0 c 5b 2 4b b
2 2 a a 2 4 1 x1 x2 1 ( x x ) 4 x1 x2 1 2 b b
将数值代入，有 解得，b=3
x=±a，因此双曲线和x轴有
B2
A1 b A2 两个交点A1(-a,0)，A2(a,0). F1 O a F2 B1 因为x轴是双曲线的对称轴，
所以双曲线和它的对称轴有
2.3-6
两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
令x=0，得y2=-b2，这个方程没有实数根说 明双曲线和y轴没有交点，但我们也把 B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上.（图2.3-6）
得： d 1 m , tan AOF
4
，
b a
，
AB 4 tan AOB tan 2AOF OA 3
由倍角公式
b 2 4 a 2 3 b 1 a
b 1 ，解得 , a 2
5 则离心率 e 2
.
a （2）过F的直线方程为 y ( x c ) , b x2 y 2 与双曲线方程 2 2 1 联立，将a=2b， a b
等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长.
4.渐近线
如图作虚线辅助线，
围成一个虚线矩形，矩形
的对角线所在的直线的方 程：x y 0 .
a b
B2 Q A1 b A2 M
F1 Oa
F2
B1
若将双曲线的各支向外延伸，与这两 条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做 双曲线的渐近线.
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 5.离心率 双曲线的焦距与实轴长 的比
以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切
b 的圆的半径是________
x2 y 2 2. 已知双曲线 2 2 1(a 0，b 0) 的 a b
左、右焦点分别为F1,F2,P是准线上一点，
且
4ab PF1 PF2 PF1 PF2 ，则双曲线的离
心率是____ 3
三、解答题. 设动点P到点A(-1,0)和B(1,0) 的距离分别为d1和d2， P d2 A O B