高中数学-空间点线面位置关系(2)
人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系 知识点
位置关系
交点个数图形Βιβλιοθήκη 言符号语言直线在平面内
无数个
直线在平面外
直线与平面相交
只有一个
直线与平面平行
没有
2、直线和平面平行
1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．
2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
(3)异面直线所成角的范围是 ．
2.求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．
七、直线、平面的位置关系
5．直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，
如图：
(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，
如图：
6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结(供参考)
aβ
bβ
a∩b = Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
aβa∥b
高中空间点线面之间位置关系知识点总结
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1平面含义：平面是无限延展的
2平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
4注意点：
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；
②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；
③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
高中数学-空间点线面位置关系
高中数学-点线面位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示(1) 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长(如 图)(2) 平面通常用希腊字母a 、B 、丫等表示，如平面a 、平面B 等，也可以用表示平面的平行四边形的 四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 平面ABCD 等。
3 三个公理：(1) 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A € LB € L l=> L A €a B €a -公理1作用：判断直线是否在平面内(2) 公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使 A €a 、B €a 、C €a 。
公理2作用：确定一个平面的依据。
(3) 公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 符号表示为：P €aA3 => aA3 =L ,且P € L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 r2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设 a 、b 、c 是三条直线a //bc // b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由 a 、b 的相互位置来确定，与 0的选择无关，为简便，点 0 —般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角9€(0 , ;③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a 丄b ;④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
高三数学 空间点线面之间的位置关系
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【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
点线面位置关系例题与练习(含答案)
点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
高中数学必修2：点线面的关系
必修Ⅱ点、线、面的位置关系
一、有关平面的公理
1、公理1：（直线在平面内）
2、公理2：（确定一个平面）
推论1：
推论2：
推论3：
3、公理3：（两平面相交）
4、空间中两直线的位置关系：
5、空间中两平面的位置关系：
6、空间中直线与平面的关系：
二、空间中的平行关系
1、平行线公理：（平行线的传递性）
等角定理：
2、线面平行的判定定理：
线面平行的性质定理：
3、面面平行的判定定理：
面面平行的性质定理：
三、空间中的垂直关系
1、两直线垂直的定义：（异面垂直于相交垂直）
直线与平面垂直的定义：
两平面垂直的定义：
2、线面垂直的判定定理：
线面垂直的性质定理：
线面垂直的性质1：（一垂面两垂线）线面垂直的性质1：（一垂线两垂面）3、面面垂直的判定定理：
面面垂直的性质定理：
4、三垂线定理：
三垂线逆定理：
四、空间中的角
1、异面直线所成的角定义（线线角）：
2、斜线与平面所成的角定义（线面角）：
3、二面角的平面角的定义（面面角）：
4、求空间中的角的步骤：
①做：由定义做出相应的角②证：证明做出的角为所求③算：在相应的三角形中运算。
高中数学空间点线面之间的位置关系讲义
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面1 平面含义：2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
二、三个公理：三、空间直线、平面之间的位置关系D C BA α四、等角定理：五、异面直线所成的角1.定义：2.范围：3.图形表示4.垂直： 六、典型例题1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα∉⇒∈A l A l ,//（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）（A ）1个或3个 （B ）1个或4个 （C ）3个或4个 （D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ）（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。
高中数学-空间点线面位置关系
高中数学-点线面位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L ∈ α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
高中数学(人教B版)必修第四册：空间中点、线、面的位置关系【精品课件】
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
两平面平行，则平面ADD₁A₁与
平面BCC₁B₁ 之间的距离即为
AB=4.
小 结
点在线上
点与线
共面
两条直线
点不在线上
异面
平行
相交
小 结
点在面上
点与面
相交
1.点与直线
2.两条直线
3.点与平面
4.直线与平面
5.两个平面
空间中的直线可看成这条直线上所有点组成的集合.
位置关系
符号表示
图形表示
位置关系
符号表示
a // l
图形表示
空间中的两条直线既不平行也不相交，则称这
两条直线异面.
两条直线异面，则它们不同
在任何一个平面内.
用平面衬托的方法表示
两直线异面.
α//β, ∀A∈ α, 过A作AB⊥ β于B,
则线段AB的长为与的距离.
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（1）求点A到平面BCC₁B₁的距
离；
（2）求直线AB到平面A₁B₁C₁D₁的
距离；
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
反例：
)
例 判断下列命题的正误：
(2)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
线都平行.
反例：
(
×
)
例 判断下列命题的正误：
(3)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3（1）公理符号表示为公理1（2）公理使A ∈α、公理2（3）公理公理32.1.212公理4强调：公理公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点D CBAα 共面直线2（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：=>a∥α2.2.212（1（2（32.2.3—1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
高中数学复习课件-.4空间点线面的位置关系
考试要求
1. 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的 位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了 解如下可以作为推理依据的公理和定理.
题型5．作截面
即作出截面与几何体每个面的交线(两个公共点).
例.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4. M为
AA1的中点, N是CC1上的点, 且CN=1，P是BC上
一点，且CP=2.请作出平面MNP截此三棱柱所得的
截面.
A1
C1
截面MNPQ为所求. M
B1
N
A
C
G
QP
B
形状 三角形 四边形
1. 对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点； ②三条直线两两平行； ③三条直线共点； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
B 其中，使三条直线共面的充分条件有（ ）
( A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
2.空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
高中数学 经典资料 第42课--空间点、线、面的位置关系
有 B1E ^ 面 ABHF ，此时 B1E
32 +( 3 )2 3 5 .
2
2
6. 如图，在四棱锥 E ABCD 中，平面 EAB ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形， EA ⊥ EB ， M , N 分别为 AE,CD 的中点.
求证：（1）直线 MN ∥平面 EBC ；（2）直线 EA ⊥平面 EBC . 答案：（1）见解析；（2）见解析 解析： （1）取 BE 中点 F，连结 CF，MF，
故选 C.
4. 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 1 ， AA1 3 ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为（ ）.
A. 1 5
答案：C
B. 5 6
C. 5 5
D. 2 2
解 析 ： 以 D 为 坐 标 原 点 ， DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则
则 ANG 或其补角为异面直线 AN,CM 所成的角，显然 NG 1 MC 2
2, AN 2 2 ，∵ AB BD ，∴ BM AD ，
在直角 AMG 中，AG
AM 2 MG 2
3
，在
ANG
中，cos ANG
8 22
23 2
2
7 8
，即异面直线
AN , CM
所成的角的余弦值为
7 8
D0,0,0, A1,0,0, B1 1,1, 3 , D1 0,0, 3 ，所以 AD1 1,0, 3 , DB1 1,1, 3 ，
因为 cos
AD1, DB1
AD1 DB1 1 3
AD1 DB1 2 5
5 5
，所以异面直线
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2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
①柱体的体积 V S底 h
②锥体的体积
V
1 3 S底
h
③台体的体积
V 13（S上上 S S下下 S ) h
④球体的体积V 4 R3 3
1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a
画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
β
P
α ·L
3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
共面直 平行直线：同一平面内，没有公共点；
4.斜二测法：在坐标系 x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于 x
的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
3 三个公理：
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直 （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（1）若 A1B2 A2B1 0 ，两直线相交；
（2）若 A1B2 A2B1 0 ，两直线平行或重合；
（3）若 A1A2 B1B2 0 ，若两直线垂直。
10.点 (x1, y1)和(的x2中, y点2 ) 坐标是
高中数学必修二-空间点、线、面之间的位置关系
空间点、线、面之间的位置关系知识集结知识元文字语言、图形语言、符号语言的相互转化知识讲解平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l例题精讲文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1.下面说法中(其中A ，B 表示点，a 表示直线，α表示平面)：①因为A ⊂α，B ⊂α，所以AB ⊂α；②因为A∈α，B∈α，所以AB∈α；③因为A∉a，a⊂α，所以A∉α；④因为A∉α，a⊂α，所以A∉a.其中正确的说法的序号是()A．①④B．②③C．④D．③例2.用符号语言表示下列语句，正确的个数是()(1)点A在平面α内，但不在平面β内：A⊂α，A⊄β.(2)直线a经过平面α外的点A，且a不在平面α内：A∈a，A∉α，a⊄α.(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P：α∩β=l，P∈l.(4)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：P∈l，l∩α=M.A．1B．2C．3D．4例3.AB，AD⊂α，CB，CD⊂β，E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，若直线EH与FG相交于点P，则点P必在直线________上.点、线共面问题知识讲解平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l例题精讲点、线共面问题例1.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是__________.例2.'如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH 交于一点P，求证：点P在直线BD上.'例3.下列说法中正确的是()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内例4.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上点共线与线共点问题知识讲解平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，么这条直线在此平面内B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l例题精讲点共线与线共点问题例1.如图，平面α∩平面β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AB ∩l ＝D ，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A ．点AB ．点BC ．点C ，但不过点D D ．点C 和点D例2.'如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.'例3.'求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．'例4.'在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图. (1)求证：D、B、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．'空间两直线位置关系的判定知识讲解空间中直线与直线之间的位置关系1．异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)2．空间两条直线的位置关系平行、相交、异面直线例题精讲空间两直线位置关系的判定例1.所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．例2.如图，E，F是AD上互异的两点，G，H是BC上互异的两点，由图可知，①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是()A．①③B．②④C．①④D．①②例3.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④公理4、等角定理的应用知识讲解空间中直线与直线之间的位置关系1．公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⇒a∥c.2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．例题精讲公理4、等角定理的应用例1.'如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.'例2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是()A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD垂直例3.'如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC AD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形.(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？'求异面直线所成的角知识讲解空间中直线与直线之间的位置关系1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.例题精讲求异面直线所成的角例1.如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别为AB，CD的中点，EF=，则AD与BC所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°例2.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所的θ角的取值范围是()A．0<θ<B．0<θ≤C．0≤θ≤D．0<θ≤例3.'已知A是△BCD外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线.(2)若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.'直线与平面的位置关系知识讲解空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示平面与平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线)例题精讲直线与平面的位置关系例1.下列说法中，正确的个数是()(1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线.(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面.(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线.(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β.A．0B．1C．2D．3例2.'如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交.'例3.两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：(1)a与β内的所有直线平行；(2)a与β内无数条直线平行；(3)直线a与β内任何一条直线都不垂直；(4)a与β无公共点．其中正确命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个例4.'如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，在图中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“平面的基本性质和推论”的题目补充.例题精讲备选题库例1.下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．过一条直线的平面有无数多个C．两条直线确定一个平面D．两条相交平面的交线是一条线段例2.已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC 所成角的大小为（）A．B．C．D．例3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=1，AA1=，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为（）A．B．-C．D．-例4.已知α，β是相异两个平面，m，n是相异两直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，则n∥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∩B=m，n∥m，则n∥β当堂练习单选题练习1.下列说法中错误的是（）①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③练习2.已知两个平行平面α，β，直线l⊂α，过l上一点P作与l所成角为40°的直线m，则直线m与β的交点M的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．双曲线D．圆练习3.已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条练习4.已知l、m为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若l∥m，l∥α，则m∥αB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥β，α⊥β，则l∥αD．若l⊥m，l⊥α，且m⊥β，则α⊥β练习1.在△ABC中，D为AB的中点，AC=2CD=4，△ABC的面积为6，BE⊥CD且BE交CD于点E，将△BCD沿CD翻折，翻折过程中，AC与BE所成角的余弦值取值范围是_____．练习2.如图，点M为正方形ABCD边DC上异于点C，D的动点，将△ADM沿AM翻折成△PAM，使得平面PAM⊥平面ABCM，则下列说法中正确的是________．（填序号）（1）在平面PBM内存在直线与BC平行；（2）在平面PBM内存在直线与AC垂直（3）存在点M使得直线PA⊥平面PBC（4）平面PBC内存在直线与平面PAM平行．（5）存在点M使得直线PA⊥平面PBM练习3.若平面α与平面β平行，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是_______．练习1.'长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点。
高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系
5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面 有__0_或__1___个．
解析 当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足 条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】 由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】 由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异 面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间 考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1； 和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不 共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③， 若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？ 答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质的应用① 公理1：公理1② 公理2：公理2③ 公理3：2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .3、公理 2 三推论：① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；② 两条平行直线唯一确定一个平面；③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .4、点共线、线共点、点线共面问题① 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .② 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 .③ 证明点线共面问题的常用方法：方法一：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；方法二：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β 重合 .【例题1】如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，BC ∥且= ½ AD，BE ∥且= ½ FA，G , H 分别为 FA , FD 的中点 .(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2) C , D , F , E 四点是否共面？请说明理由 .例题1图【解析】(1) 证明：∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点，∴ GH 是△FAD 的中位线，∴ GH ∥且= ½ AD ，又∵ BC ∥且= ½ AD，∴ GH ∥且 = BC，∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .(2) 证明：方法一：证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .∵ BE ∥且= ½ FA，点 G 为 FA 的中点，∴ BE ∥且= FG，则四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG .由 (1) 可知BG∥CH，∴ EF∥CH，即 EF 与 CH 共面，又∵ D∈FH，∴ C , D , F , E 四点共面 .方法二：分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，在证点 M 和 M’重合，从而 FE 和 DC 相交 .如上图所示，分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，∵ BE ∥且= ½ FA，∴ 点 B 为 MA 的中点，∵ BC ∥且= ½ AD，∴ 点 B 为 M''A 的中点，∴ M 与 M'' 重合，即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,∴ C , D , F , E 四点共面 .二、异面直线的判定（方法）1、定义法（不易操作）；2、反证法先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交；再由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面 .假设法在异面直线的判定中会经常用到 .3、常用结论过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点(A) 的直线是异面直线 .【例题2】如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .(1) AM 和 CN 是否是异面直线？请说明理由；(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线？请说明理由 .例题2图【解析】（注：先给结论，再给理由，注意答题规范！）(1) AM 和 CN 不是异面直线 .理由：如图上图所示，分别连接 MN , A1C1 和 AC，∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点，∴ MN∥A1C1 ,又∵ AA1∥且=CC1 ,∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形，∴ A1C1∥AC，∴ MN∥AC，∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .证明：∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体，∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .假设 D1B 和 CC1 不是异面直线，则存在平面α，使 D1Bㄷ平面α，CC1ㄷ平面α，∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，∴ 假设不成立，∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .三、异面直线所成的角1、求异面直线所成角的方法关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交 .2、求异面直线所成角的步骤① 通过作出平行线，得到相交直线；② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③ 通过解三角形求出该角的大小 .【例题3】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为30°，点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小 .例题3图【解析】要求 EF 与 AB 所成的角，可以经过某一点作两条直线的平行线，因为 E，F 都是中点，所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .取 AC 的中点，平移 AB 和 CD，使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .【解答过程】取 AC 的中点 G，分别连接 EG 和 FG ，则有EG∥AB，FG∥CD，∵ AB = CD ,∴ EG = FG ,∴ ∠GEF （或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为 AB 与 CD 所成的角，又∵ AB 与 CD 所成的角为30°，∴ ∠EGF = 150° 或30°，由 EG = FG , 可知△GEF为等腰三角形，当∠EGF = 30° 时，∠GEF = 75°，当∠EGF = 150° 时，∠GEF = 15°，∴ EF 与 AB 所成的角为15° 或75° .。
高中数学 1.2点线面之间的位置关系课件 新人教A版必修2
文字语言 点P在直线AB上 （或直线AB经过点P）
符号语言
图形语言
P AB
P A C A B M A1 A A C A C B
A
A1 平面AC
AB BC B
C
B
C B
AB 平面AC
AA1 平面AC
A
A A A1
A C A A1
C
练习．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B1 , B1C1，分别记作 、、 ，试用适当的 符号填空． (1) A1 _______ ∈ , B1 _______ ∈
（5）、经过空间任意三点有且只有一个平面；
（6）、如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就 重合为一个平面。
思考：
1、当线段AB在平面内时，直线AB是否 在此平面内？说明理由。
公理2 经过不在同一条直线上 的三点有且只有一个平面
•A
B• •C
现在，你能回答下列问题了吗？
用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定， 为什么？ 将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能 检查桌面是否平整，为什么？ 照相机支架为什么只需三条腿就够了？ 为什么许多自行车后轮旁只安装一只撑脚？
练习：画两个相交的平面，并标上字母。
1．根据下列符号表示的语句，说出 有关点、线、面的关系，并画出图形． (1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q
空间几何中的点线面的位置关系
空间几何中的点线面的位置关系在空间几何学中，点、线和面是最基本的几何元素。
它们在空间中的位置关系对于理解和解决几何问题至关重要。
本文将讨论点线面在空间中的常见位置关系以及它们之间的相互作用。
一、点与线的位置关系1.1 点在直线上当一个点位于一条直线上时，称该点在直线上。
点在直线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上。
1.2 点在直线上的延长线上当一个点位于直线的延长线上时，称该点在直线上的延长线上。
点在直线延长线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上，包括线的两个端点。
1.3 点在线段上当一个点位于一条线段上时，称该点在线段上。
点在线段上的特点是它位于线段的两个端点之间。
1.4 点在线段的延长线上当一个点位于线段的延长线上时，称该点在线段的延长线上。
点在线段延长线上的特点是它位于线段的两个端点之外。
二、点与面的位置关系2.1 点在平面上当一个点位于一个平面上时，称该点在平面上。
点在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
2.2 点在平面上的延长线上当一个点位于平面的延长线上时，称该点在平面上的延长线上。
点在平面延长线上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上，包括平面的边界和内部点。
2.3 点在平面外当一个点不在平面上时，称该点在平面外。
点在平面外的特点是它无法与平面上的任意两个点构成一条直线。
三、线与面的位置关系3.1 线在平面上当一条线位于平面内时，称该线在平面上。
线在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
3.2 线平行于平面当一条线与平面上的所有点都不相交时，称该线平行于平面。
平行于平面的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都平行。
3.3 线与平面相交于一点当一条线与平面上的某个点相交时，称该线与平面相交于一点。
线与平面相交于一点的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都相交于同一点。
四、面与面的位置关系4.1 平行面当两个面的法向量平行时，称这两个面为平行面。
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3. 一条直线和一个平面所成的角为 600,则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是
ABD 的距离是（ 、选择题
1设m,n 是两条不同的直线， ③若 m / / , n / / 其中正确命题的序号是 A.①和② B.②和③ 高中数学-点线面位置关系 ,,是三个不同的平面, 给出下列四个命题: ，则m n ，则 m//n （）
C.③和④ 2.若长方体的三个面的对角线长分别是 A . .. a 2 b 2 c 2 3 .在三棱锥A ②若 //
， // , m ，则 ④若 ，则 //
D.①和④ a,b,c ，则长方体体对角线长为（ B .詁2八c 2 C 「Sa 2 b 2 c 2 2 D a 2 b 2 2 c 2
BCD 中，AC 底面 BCD, BD
DC, BD DC, AC a, ABC 300,则点 C 到平面 A . y a B 卫a C 」a D 5 5 15
a
3 4•在正方体ABCD A i B i C i D i 中，若E 是AG 的中点，则直线CE 垂直于（
A. AC B . BD C . AD D . AD i
5•三棱锥P ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则 H ABC 的（ ）
A .内心
B .外心
C .垂心
D .重心
6.在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为,2，其余各棱长都为i ，则二面角A CD B 的余弦值为（）
A.
7.四面体S ABC 中，各个侧面都是边长为 a 的正三角形，E,F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线 EF 与SA 所成的角等于（
） A. 900 B . 600 C . 450 D . 30°
二、填空题
i .点A, B 到平面 的距离分别为4cm 和6cm ,则线段AB 的中点M 至U 平面的距离为
2.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为
4•正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为2 6，则侧面与底面所成的二面角等于______ 。
5.在正三棱锥P ABC （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB 4, PA 8,过A作与PB,PC分别交于D和E的截面，则截面ADE的周长的最小值是_________
三、解答题
1 •正方体ABCD AB i C i D i中，M是AA的中点.求证：平面MBD 平面BDC .
2.求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
3.在三棱锥S ABC中，△ ABC是边长为4的正三角形，平面SAC 平面ABC, SA SC 2 3 , M、
N分别为AB, SB的中点。
（I）证明：AC丄SB ;
（n）求二面角N - CM - B的大小;
（川）求点B到平面CMN 的距离。
课后作业参考答案：
一、1. A ③若m / / , n / / ，则m//n，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系
④若，则// ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交
2. C 设同一顶点的三条棱分别为 2 2 2 2 2 ,2 2 2 2
x, y, z，贝V x y a , y z b ,x z c
得x2y2 z2 2(a
2
2 2 2 1 2
2b2c2)，则对角线长为，.£ (a
b2 c2)
3
.
作等积变换V A BCD V C ABD 4 .B BD垂直于CE在平面ABCD上的射影5
.
BC PA BC AH
6. 取AC的中点E，取CD的中点 F , EF -,BE
2 f BF cos
2
EF
BF 3
7 . 取SB的中点G，则GE GF
a
-，在△ SFC 中,
2
EF
厶,EFG
2 450
二、填空题
1. 5cm或1cm 分代B在平面的同侧和异侧两种情况
2. 48 每个表面有4个，共6 4个; 每个对角面有4个，共6 4个
3. 90°垂直时最大
4. 300底面边长为2、. 3 ,高为1,
tan
5. 11 沿着PA将正三棱锥P ABC侧面展开，则A, D,E, A'共线，且AA' // BC
三、解答题：略。