磁场的最小面积

磁场的最小面积

1．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面，在xy 平面上，磁场分布在以O 为中心的一个圆形区域内。一个质量为m 、电荷量为q 的电带粒子，由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 正方向。后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B 的大小和xy 平面上磁场区域的半径R 。

2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1， E 的大小为×103

V/m, B 1

大小为；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界与x 轴重合．一质量m =1×10-14

kg 、电荷量q =1×10-10

C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点沿直线运动，经P 点即进入处于第一象限内的磁场B 2区域．一段时间后，小球经过y 轴上的N 点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出。M 点的坐标为(0，-10)，N 点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，g 取10m/s 2

．

(1)请分析判断匀强电场E 1的方向并求出微粒的运动速度v ； (2)匀强磁场B 2的大小为多大； (3)B 2磁场区域的最小面积为多少

y x

v

3

P

O

3．一个质量为m,带+q 电量的粒子在BC 边上的M 点以速度v 垂直于BC 边飞入正三角形ABC 。为了使该粒子能在AC 边上的N 点垂直于AC 边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：

（1）该粒子在磁场里运动的时间t ； （2）该正三角形区域磁场的最小边长； （3）画出磁场区域及粒子运动的轨迹。

4．如图，ABCD 是边长为a 的正方形。质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为v 0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。不计重力，求：

⑴此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； ⑵此匀强磁场区域的最小面积。

A

B

C

D

答案

1．解：粒子在磁场中受各仑兹力作用，作匀速圆周运动，设其半径为r ，

r

v m qvB 2

= ①

据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C 必在y 轴上，且P 点在磁场区之外。过P 沿速度方向作延长线，它与x 轴相交于Q 点。作圆弧过O 点与x 轴相切，并且与PQ 相切，切点A 即粒子离开磁场区的地点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C ，如图所示。

由图中几何关系得

L=3r ② 由①、②求得

qL

mv

B 3=

③ 图中OA 的长度即圆形磁场区的半径R ，由图中几何关系可得 L R 3

3

=

④ 2．解：(1) 由于重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受电场力和洛仑兹力的作用 ，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛仑兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动．这样，电场力和洛仑兹力大小相等，方向相反，电场E 的方向与微粒运动的方向垂直，即与y 轴负方向成60°角斜向下． (2分)

由力的平衡有

Eq =B 1qv (2分)

∴

(1分)

(2) 画出微粒的运动轨迹如图．

由几何关系可知粒子在第一象限内做圆周运动的半径为

(2分)

微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即

(2分)

解之得

(2分)

(3) 由图可知，磁场B 2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD 内．由几何关系易得

(1分)

(1分)

y x

v

3

P

O

r r Q

R C 6

M O y

x

6

所以，所求磁场的最小面积为 (2分)

3．解：

4．解析：

（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B 。令圆弧 ⌒ AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力

0f ev B =

应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧 ⌒ AEC

的圆心在CB 边或其延长线上。依题意，圆心在A 、C 连线的中垂线上，故 B 点即为圆心，圆半径为a 按照牛顿定律有

2

2

v f m =

联立①②式得 0

mv B ea

=

（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C 点垂直于BC 入射电子在A 点沿DA 方向射出，且自BC 边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC 区域中。因而，圆弧 ⌒ AEC 是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A 点的电子的速度方向与BA 的延长线交角为θ（不妨设02

π

θ≤<

）的情形。该电

子的运动轨迹qpA 如右图所示。图中，圆弧 ⌒ AP

的圆心为O ，pq 垂直于BC 边 ，由③式知，圆弧 ⌒ AP 的半径仍为a ，在D 为原点、DC 为x 轴，AD 为y

轴的坐标系中，P 点的坐标(,)x y 为

sin [(cos )]cos x a y a z a a θθθ==---=-④

⑤

这意味着，在范围02

π

θ≤≤

内，p 点形成以D 为圆心、a 为半径的四分之一圆周 ⌒ AFC

，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。

因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B 和D 为圆心、a 为半径的两个四分之一圆周 ⌒ AEC 和 ⌒ AFC

所围成的，其面积为2

221

122()422

S a a a ππ-=-=