知识讲解_ 一次函数和二次函数

一次函数和二次函数

【学习目标】

1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性； 2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题； 3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。 【要点梳理】

要点一、一次函数的性质与图象 1．一次函数的概念

(1)深刻理解斜率这个概念．

①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中k 叫做该直线的斜率．

②用运动的观点理解斜率k ．

函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．

③从对图象的单调性的影响上理解斜率k ．

当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数． (2)深刻理解截距b 的含义．

①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中b 叫做该直线在y 轴上的截距．

②b 的取值范围：b ∈R ．

③b 的几何意义：直线y ＝kx+b 与y 轴的交点的纵坐标．

④点(0，b )是直线y ＝kx+b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．

一次函数

(0)y kx b k =+≠

图象

性质

单调性

奇偶性

k ＞0

b ＝0

增函数 奇函数

b ≠0

增函数 非奇非偶函数

k ＜0 b ＝0

减函数 奇函数

b ≠0

减函数 非奇非偶函数

．

(2)图象的画出：因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．

(3)图象的特点：

①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0，0)的一条直线．

②一次函数y ＝kx+b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (4)画法技巧：

①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0，0)、(1，k )两点连线．②画一次函数y ＝kx+b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )、,0b k ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于b k -多

数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的情形．

3．一次函数性质的应用

(1)函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．

(2)当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数．

(3)当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b ≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数． (4)直线y ＝kx+b 与x 轴的交点为,0b k ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

，与y 轴的交点为(0，b )． 要点诠释：

一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的性质可从两方面来理解： ①图象与坐标轴的交点，大家知道x 轴、y 轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式y ＝kx+b 中分别令x ＝0，y ＝0，得y ＝b ，b x k =-

，从而得出直线y ＝kx+b 与x 轴、y 轴的交点分别是,0b A k ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

、B (0，b )，这是要熟记的，另外还要知道y ＝kx+b 与正比例函数y ＝kx 的图象的平行关系．

②函数的增减性，也就是：当k ＞0时，y 随x 增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．其含义是：当k ＞0时，如果x 越来越大，那么y 的值也越来越大；当k ＜0时，如果x 越来越大，那么y 的值越来越小． 对于直线y ＝kx+b (k ≠0)而言：当k ＞0，b ＞0时，直线经过一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过二、三、四象限．

4．一次函数的最值问题

求一次函数y ＝kx+b (k ≠0)在某一区间[a ，c ]上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[a ，c ]上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k ＞0时，它的值域为[f (a )，f (c )]，当k ＜0时，它的值域为[f (c )，f (a )]．

5．一次函数的保号性及应用

性质1：已知函数()f x kx b =+，如果有()0(0)f α><，()0(0)f β><，则对任意(,)x αβ∈都有

()0(()0)f x f x ><．这个性质称为函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上的保号性．同样，()f x kx b =+在

区间[,]αβ，[,)αβ，(,]αβ上也具有保号性．

性质2：若一次函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上有()()0f f αβ

要点二：二次函数的性质与图象 1．函数2

(0)y ax a =≠的图象和性质

关于二次函数2

(0)y ax a =≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：

函数

图象

开口方向

顶点坐标

对称轴

单调性

最大(小)值

y ＝ax 2(a ＞0)

向上 (0,0) y 轴

在区间(,0]-∞上是减函数，

在区间[0,)+∞上是增函数

当x ＝0时，

min 0y =

y ＝ax 2(a ＜0)

向下 (0,0) y 轴

在区间(,0]-∞上是增函数，

在区间[0,)+∞上是减函数

当x ＝0时，

max 0y =

要点诠释：

函数2

(0)y ax a =≠中的系数a 对函数图象的影响：

(1)当a ＞0时，开口向上，a 越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；

(2)当a ＜0时，开口向下，a 的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减．

2．二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质 (1)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质如下表： 函数 二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠

图象

a ＞0

a ＜0