知识讲解_ 一次函数和二次函数
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一次函数和二次函数
【学习目标】
1.掌握一次函数的图象和性质,二次函数的图象和性质,会判断函数的单调性; 2.会求函数的最大值、最小值,能利用配方法解决二次函数的问题; 3.了解待定系数法的概念,会用待定系数法求函数的解析式。 【要点梳理】
要点一、一次函数的性质与图象 1.一次函数的概念
(1)深刻理解斜率这个概念.
①定义:一次函数y =kx+b (k ≠0)的图象是一条直线,以后简写为直线y =kx+b ,其中k 叫做该直线的斜率.
②用运动的观点理解斜率k .
函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k .
③从对图象的单调性的影响上理解斜率k .
当k >0时,一次函数是增函数;当k <0时,一次函数是减函数. (2)深刻理解截距b 的含义.
①定义:一次函数y =kx+b (k ≠0)的图象是一条直线,以后简写为直线y =kx+b ,其中b 叫做该直线在y 轴上的截距.
②b 的取值范围:b ∈R .
③b 的几何意义:直线y =kx+b 与y 轴的交点的纵坐标.
④点(0,b )是直线y =kx+b 与y 轴的交点.当b >0时,此交点在y 轴的正半轴上;当b <0时,此交点在y 轴的负半轴上;当b =0时,此交点在原点,此时的一次函数就是正比例函数.
一次函数
(0)y kx b k =+≠
图象
性质
单调性
奇偶性
k >0
b =0
增函数 奇函数
b ≠0
增函数 非奇非偶函数
k <0 b =0
减函数 奇函数
b ≠0
减函数 非奇非偶函数
.
(2)图象的画出:因为两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两个点,再连成直线即可.
(3)图象的特点:
①正比例函数y =kx 的图象是经过原点(0,0)的一条直线.
②一次函数y =kx+b 的图象是经过y 轴上点(0,b )的一条直线. (4)画法技巧:
①画正比例函数y =kx 的图象,通常取(0,0)、(1,k )两点连线.②画一次函数y =kx+b 的图象,通常取它与坐标轴的交点(0,b )、,0b k ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
两点连线,原因是上述两点在坐标轴上,描点较准确.但由于b k -多
数情况下是分数,故在描点时,我们也可以取x 和y 都是整数的情形.
3.一次函数性质的应用
(1)函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k .
(2)当k >0时,一次函数是增函数;当k <0时,一次函数是减函数.
(3)当b =0时,一次函数变为正比例函数,是奇函数;当b ≠0时,它既不是奇函数,也不是偶函数. (4)直线y =kx+b 与x 轴的交点为,0b k ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
,与y 轴的交点为(0,b ). 要点诠释:
一次函数y =kx+b (k ≠0)的性质可从两方面来理解: ①图象与坐标轴的交点,大家知道x 轴、y 轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0,所以在解析式y =kx+b 中分别令x =0,y =0,得y =b ,b x k =-
,从而得出直线y =kx+b 与x 轴、y 轴的交点分别是,0b A k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
、B (0,b ),这是要熟记的,另外还要知道y =kx+b 与正比例函数y =kx 的图象的平行关系.
②函数的增减性,也就是:当k >0时,y 随x 增大而增大;当k <0时,y 随x 的增大而减小.其含义是:当k >0时,如果x 越来越大,那么y 的值也越来越大;当k <0时,如果x 越来越大,那么y 的值越来越小. 对于直线y =kx+b (k ≠0)而言:当k >0,b >0时,直线经过一、二、三象限;当k >0,b <0时,直线经过一、三、四象限;当k <0,b >0时,直线经过一、二、四象限;当k <0,b <0时,直线经过二、三、四象限.
4.一次函数的最值问题
求一次函数y =kx+b (k ≠0)在某一区间[a ,c ]上的值域的方法是:由于一次函数在某一区间[a ,c ]上是单调的,所以它在区间的两个端点上取得最值,当k >0时,它的值域为[f (a ),f (c )],当k <0时,它的值域为[f (c ),f (a )].
5.一次函数的保号性及应用
性质1:已知函数()f x kx b =+,如果有()0(0)f α><,()0(0)f β><,则对任意(,)x αβ∈都有
()0(()0)f x f x ><.这个性质称为函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上的保号性.同样,()f x kx b =+在
区间[,]αβ,[,)αβ,(,]αβ上也具有保号性.
性质2:若一次函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上有()()0f f αβ 要点二:二次函数的性质与图象 1.函数2 (0)y ax a =≠的图象和性质 关于二次函数2 (0)y ax a =≠的性质,主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究,下面结合图象将其性质列表归纳如下: 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 单调性 最大(小)值 y =ax 2(a >0) 向上 (0,0) y 轴 在区间(,0]-∞上是减函数, 在区间[0,)+∞上是增函数 当x =0时, min 0y = y =ax 2(a <0) 向下 (0,0) y 轴 在区间(,0]-∞上是增函数, 在区间[0,)+∞上是减函数 当x =0时, max 0y = 要点诠释: 函数2 (0)y ax a =≠中的系数a 对函数图象的影响: (1)当a >0时,开口向上,a 越小,开口越大,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增; (2)当a <0时,开口向下,a 的绝对值越小,开口越大,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)单调递减. 2.二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象和性质 (1)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质如下表: 函数 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠ 图象 a >0 a <0