运用完全平方公式进行因式分解一ppt课件
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4.3.2 完全平方公式 北师大版八年级数学下册授课课件
知2－练
2 下列各式能用完全平方公式进行因式分解的 是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
知2－练
3 (中考·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
4 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( C )
(2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2 ＝(a2－2－a2)2 ＝(－2)2＝4.
知2－讲
总结
知2－讲
利用完全平方公式分解因式在计算或化简中应 用广泛且巧妙，要注意灵活运用，往往能获得意想 不到的解题效果．
1 把下列各式因式分解： (1)x2－12xy＋36y2； (2)16a4＋24a2b2＋9b4； (3)－2xy－x2－y2； (4)4－12(x－y)＋9(x－y)2.
( A) A．64 C．32
B．48 D．16
知1－练
4 已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值
为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
知1－练
5 给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个 完全平方式，则加上的单项式是 __4_x_4(_答__案__不__唯__一__)__(写出一个即可)．
错解解析： 错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间 项的符号是负的情况，产生漏解．
正确解法： 因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22， x2＋(m－3)x＋4是完全平方式， 所以(m－3)x＝±2x·2. 所以(m－3)x＝±4x. 因此m－3＝±4. 所以m＝7或m＝－1.
因式分解(完全平方公式)精选教学PPT课件
ab2 a2 2ab b2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
人教版 完全平方公式PPT课件1
2.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
3.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12.
2 b
(a -
2 b) =
2 =x -4xy
+4y2
针对训练
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (3)(－3a＋b)2.
(2)(－3m－4n)2；
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
a- (b+c) = a - b – c. 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添 括号： a + b + c = a + ( b + c) ;
a–b–c = a–(b+c).
知识要点
添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的
各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里
的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）.
例3
计算：
2 2 3 32 a + b ) 2 3
(1) (－
3 3 2 22 解：原式= ( 2 b － 3 a ) 9 6 4 4 2 3 = 4b -2a b +9a
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
运用完全平方公式进行因式分解一市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
（6） 16x4-8x2＋1 解： 原式 (4x2 )2 2 (4x2 ) 112 (4x2 1)2
(2x)2 12 2
(2x 1)(2x 1)2
(2x 1)2 (2x 1)2
判断因式分解正误。
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
(x y)2
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1= 1 2
分解因式：
1. x2 8x 16 =-(x+4)2
2. 4x2 x y2 4x x y =(3x+y)2
3. ax2 2a2 x a3 =a(x+a)2
把下列各式因式分解
平方式
各表达 2或（a－b）
是
a表什达么x， b表达1/2
(2x 1 )2 2
9a2b2 3ab 1
否
1 m2 3mn 9n2 4
是
a表达1
2
m
，
(
1
m
3n)
2
b表达3n 2
x6 10x3 25
否
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1 ) 2
（4）n2-2n+ 1 =( n-1) 2
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
（2）a2-2ab+ b2 = (a-b) 2
(2x)2 12 2
(2x 1)(2x 1)2
(2x 1)2 (2x 1)2
判断因式分解正误。
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
(x y)2
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1= 1 2
分解因式：
1. x2 8x 16 =-(x+4)2
2. 4x2 x y2 4x x y =(3x+y)2
3. ax2 2a2 x a3 =a(x+a)2
把下列各式因式分解
平方式
各表达 2或（a－b）
是
a表什达么x， b表达1/2
(2x 1 )2 2
9a2b2 3ab 1
否
1 m2 3mn 9n2 4
是
a表达1
2
m
，
(
1
m
3n)
2
b表达3n 2
x6 10x3 25
否
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1 ) 2
（4）n2-2n+ 1 =( n-1) 2
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
（2）a2-2ab+ b2 = (a-b) 2
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
111111完全平方公式进行因式分解一ppt课件
2
2 2
2
(2) 49b a 14ab (3) a 10a 25
2 3 2 2 3
(4) 4 x y 4 x y xy
例2：因式分解
(1) x 18 x 81
4 2
(2)
(2 x y ) 6(2 x y ) 9
2
（３）
1 2 2 x 3xy 9 y 4
2 2
(x 7)
2
(2)
(m n) 6(m n) 9
2
原式 (m n) 2 2 (m n) 3 32 解：
(m n 3) 2
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式： 2 2 1 x 4 x 4 原式 x 2 2 2 2 a 6a 9 原式 x 3 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
2
a表示：2x+y b表示：3
(2 x y) 2 2 (2 x y) 3 32
( 2 x y 3) 2
填一填
多项式
x2 6x 9
是否是完全 平方式
是
是
4 y 4 y 1
2
a、b各表 表示（a+b）2 示什么 或（a－b）2 a表示x， ( x 3) 2 b表示3 a表示2y， ( 2 y 1) 2 b表示1
9a b 3ab 1
2 2
是否是完全 平方式
a、b各表 示什么
表示（a+b）2 或（a－b）2
是 否
a表示x， b表示1/2
1 2 (x ) 2
2 2
2
(2) 49b a 14ab (3) a 10a 25
2 3 2 2 3
(4) 4 x y 4 x y xy
例2：因式分解
(1) x 18 x 81
4 2
(2)
(2 x y ) 6(2 x y ) 9
2
（３）
1 2 2 x 3xy 9 y 4
2 2
(x 7)
2
(2)
(m n) 6(m n) 9
2
原式 (m n) 2 2 (m n) 3 32 解：
(m n 3) 2
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式： 2 2 1 x 4 x 4 原式 x 2 2 2 2 a 6a 9 原式 x 3 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
2
a表示：2x+y b表示：3
(2 x y) 2 2 (2 x y) 3 32
( 2 x y 3) 2
填一填
多项式
x2 6x 9
是否是完全 平方式
是
是
4 y 4 y 1
2
a、b各表 表示（a+b）2 示什么 或（a－b）2 a表示x， ( x 3) 2 b表示3 a表示2y， ( 2 y 1) 2 b表示1
9a b 3ab 1
2 2
是否是完全 平方式
a、b各表 示什么
表示（a+b）2 或（a－b）2
是 否
a表示x， b表示1/2
1 2 (x ) 2
因式分解ppt课件
方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末
两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这
两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以
是“－”.
感悟新知
知5－讲
2. 完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数
的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负
平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，
其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所
得的商；
(3)写成积的形式.
感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形
式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多
项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
例 5 把下列多项式分解因式：
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
知1－练
例题：已知把x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x
＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
＝－，
＋＝－，
所以
解得
＝－.
914公式法(2)完全平方公式精品PPT课件
注意：用差的平方公式还是和的平方公式
用完全平方公式分解因式时，可以按照两数 积的两倍前面的符号来选择运用哪一个完全平方 公式。
思考:分解因式
例题1:分解因式 例题2:分解因式
注意：这里把（x+y）看作一个整体，相当于公式当中的a
1.因式分解的完全平方公式：
注意：字母意义和区分两个公式
2.多项式能利用完全平方公式因式分解的条件： 多项式是三项式，且其中两项是两个数的平方和，另 外一项是这两个数的积的2倍。
9.14 公式法(2)
------完全平方公式
和的平方： 完全平方公式：
差的平方： 因式分解的完全平方公式
我们可以利用这个公式对多项式进行因式分解
我们把这种能够化成两个数的和（或差的）的多项式
叫做完全平方式
如
因式分解的完全平方公式
判断下列多项式能否利用完全平方公式分解因式？
思考:什么样的多项式可以利用完全平方公式分解因式？
思考:该公式的特征？
注意：公式当中的a、b的意义
公(1)式多左项边式有是三三项项，式其；中两项是两个数的平方和，另一项 是(2)这其两中个两数项的是乘两积个的数2的倍平。方公和式，右另边外是一这项两是个这数两的个和数 （的或积差的）2倍的。平方。即
思考:分解因式
因式分解的完全平方公式
注意：公式当中的a、b的意义
3.因式分解注意问题：
(1) 有公因式时，一般要先提取公因式； (2) 因式分解结果要分解到不能再分解为止。
课后题
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
完全平方公式PPT精品课件1
1、想要体面生活，又觉得打拼辛苦；想要健康身体，又无法坚持运动。人最失败的，莫过于对自己不负责任，连答应自己的事都办不到，又何必抱怨这个世界都和你作对？人生的道理很简单，你想要什么，就去付出足够的努力。 2、时间是最公平的，活一天就拥有24小时，差别只是珍惜。你若不相信努力和时光，时光一定第一个辜负你。有梦想就立刻行动，因为现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 3、无论正在经历什么，都请不要轻言放弃，因为从来没有一种坚持会被辜负。谁的人生不是荆棘前行，生活从来不会一蹴而就，也不会永远安稳，只要努力，就能做独一无二平凡可贵的自己。 4、努力本就是年轻人应有的状态，是件充实且美好的事，可一旦有了表演的成分，就会显得廉价，努力，不该是为了朋友圈多获得几个赞，不该是每次长篇赘述后的自我感动，它是一件平凡而自然而然的事，最佳的努力不过是：但行好事，莫问前程。愿努力，成就更好的你！ 5、付出努力却没能实现的梦想，爱了很久却没能在一起的人，活得用力却平淡寂寞的青春，遗憾是每一次小的挫折，它磨去最初柔软的心智、让我们懂得累积时间的力量；那些孤独沉寂的时光，让我们学会守候内心的平和与坚定。那些脆弱的不完美，都会在努力和坚持下，改变模样。 6、人生中总会有一段艰难的路，需要自己独自走完，没人帮助，没人陪伴，不必畏惧，昂头走过去就是了，经历所有的挫折与磨难，你会发现，自己远比想象中要强大得多。多走弯路，才会找到捷径，经历也是人生，修炼一颗强大的内心，做更好的自己！ 7、“一定要成功”这种内在的推动力是我们生命中最神奇最有趣的东西。一个人要做成大事，绝不能缺少这种力量，因为这种力量能够驱动人不停地提高自己的能力。一个人只有先在心里肯定自己，相信自己，才能成就自己！ 8、人生的旅途中，最清晰的脚印，往往印在最泥泞的路上，所以，别畏惧暂时的困顿，即使无人鼓掌，也要全情投入，优雅坚持。真正改变命运的，并不是等来的机遇，而是我们的态度。 9、这世上没有所谓的天才，也没有不劳而获的回报，你所看到的每个光鲜人物，其背后都付出了令人震惊的努力。请相信，你的潜力还远远没有爆发出来，不要给自己的人生设限，你自以为的极限，只是别人的起点。写给渴望突破瓶颈、实现快速跨越的你。 10、生活中，有人给予帮助，那是幸运，没人给予帮助，那是命运。我们要学会在幸运青睐自己的时候学会感恩，在命运磨练自己的时候学会坚韧。这既是对自己的尊重，也是对自己的负责。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠， 其实都是祝愿。
2018秋人教版八年级数学上册作业课件：14.3.2.2 运用完全平方公式分解因式 (共22张PPT)
D 12．下列各式分解因式错误的是( ) A．9－6(x－y)＋(x－y)2＝(3－x＋y)2 B．4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2＝(a＋2b)2 C．(a＋b)2－2(a＋b)(a－c)＋(a－c)2＝(b＋c)2 D．(m－n)2－2(m－n)＋1＝(m－n＋1)2
13．在实数范围内分解因式： (1)x3－2x＝__x_(_x_＋___2_)_(x_－____2_)_______； (2)x4－6x2＋9＝__(x_＋____3_)_2(_x_－___3_)_2____．
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．3 因式分解 14.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式分解因式
知识点1：完全平方公式
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．下列二次三项式是完全平方公式的是( )
A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16
C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16
2．已知x2＋16x＋k是完全平方公式，则常数k等于( A ) A．64 B．48 C．32 D．16
11．已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为14. (1)求此长方形的面积； (2)求ab3＋2a2b2＋a3b的值． 解：(1)∵a＋b＝8，∴a2＋2ab＋b2＝64，∵a2＋b2＝14，∴ab＝25， 答：长方形的面积为25 (2)ab3＋2a2b2＋a3b＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ ab(a＋b)2＝25×82＝1600
易错提示： 1．对完全平方公式的特征理解不透而出错． 2．分解不彻底而出错．
9．分解因式： (1)9＋12m＋4m2； 解：原式＝(3＋2m)2 (2)4x2＋y2－4xy； 解：原式＝(2x－y)2 (3)(a＋b)2－6(a＋b)＋9. 解：原式＝(a＋b－3)2
2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.3第2课时用完全平方公式分解因式课件浙教版
4.3 用乘法公式分解因式
勤反思
小结
完 全 平 方 公 式
特征
运用完全平方公式分解因式
运用完全平方公式简化运算
4.3 用乘法公式分解因式
反思
判断下面分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．
a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)．
解：不正确．改正：a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)＝ab(a－1)2.
4.3 用乘法公式分解因式
筑方法
类型一 用完全平方公式分解因式
例1 教材例3变式题用完全平方公式进行因式分解：
(1)9m2＋24mn＋16n2；(2)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4.
解： (1)9m2＋24mn＋16n2＝(3m＋4n)2.
(2)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4＝(x－2)2－4(x－2)＋4＝(x－2－2)2＝(x－4)2.
解：(1)x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2. (2)16a4－8a2＋1＝(4a2)2－2×4a2×1＋12＝(4a2－1)2＝(2a＋1)2(2a－1)2.
4.3 用乘法公式分解因式
【归纳总结】因式分解的一般步骤 (1)观察多项式是否存在公因式； (2)若提取公因式后的式子是两项或三项，则考虑是否符合平 方差公式或完全平方公式的特点； (3)检查每个因式是否分解彻底．
第4章
4.3
分解因式
用乘法公式分解因式
第4章 因式分解
第2课时
用完全平方公式 分解因式
学知识 筑方法
勤反思
4.3 用乘法公式分解因式
学知识
知识2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
平方和 ，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数 即两数的________
用完全平方公式进行因式分解
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
1.3因式分解-完全平方公式 课件(八年级湘教版下册)
2
2
2
(2) (a b) 2m(a b) m (b a)
你当小法官 下列因式分解的过程哪些是正确的，哪 些是错误的？请分别说明理由。
(1)
x 5x 4 ( x 2)
2
2
(2) a 2ab b (a b)
2 2
2
(3) x 2x y xy x( x 2xy y )
2
2
趁热打铁
判断下列各式能否用完全平方公式进行 因式分解:
(5) 4 x 4 xy y
2
2
(6) 6x 12xy 4 y
2
2
2
2
(7) 4x 12xy 9 y
2
(8) ( x y) 2( x y) 1
例题讲解
例1：分解因式：
x 12x 36
解：原式＝x2＋2· x· 6＋ 6 2 ＝（x＋6）2
2
2
(1)
(a b) a 2ab b
2 2
2
(2)
在昨天的课上,我们将(1)反过来,可以 应用它来进行因式分解.
那么对于(2)是否也可以呢?
a 2ab b (a b)
2 2
2
这是不是因式分解?
小组讨论:请同学们仔细观察这个公式 的左边具有什么特点 ? 运用完全平方公因式分解的条件：
2 2
2 2 2 2
2
2
(4) ( x y ) 4x y
4 x ( x 1)
2 2 2
(1) (2a b) 2(2a b) 1
2
(2) (a b) 10(a b) 25
2
2
2
(2) (a b) 2m(a b) m (b a)
你当小法官 下列因式分解的过程哪些是正确的，哪 些是错误的？请分别说明理由。
(1)
x 5x 4 ( x 2)
2
2
(2) a 2ab b (a b)
2 2
2
(3) x 2x y xy x( x 2xy y )
2
2
趁热打铁
判断下列各式能否用完全平方公式进行 因式分解:
(5) 4 x 4 xy y
2
2
(6) 6x 12xy 4 y
2
2
2
2
(7) 4x 12xy 9 y
2
(8) ( x y) 2( x y) 1
例题讲解
例1：分解因式：
x 12x 36
解：原式＝x2＋2· x· 6＋ 6 2 ＝（x＋6）2
2
2
(1)
(a b) a 2ab b
2 2
2
(2)
在昨天的课上,我们将(1)反过来,可以 应用它来进行因式分解.
那么对于(2)是否也可以呢?
a 2ab b (a b)
2 2
2
这是不是因式分解?
小组讨论:请同学们仔细观察这个公式 的左边具有什么特点 ? 运用完全平方公因式分解的条件：
2 2
2 2 2 2
2
2
(4) ( x y ) 4x y
4 x ( x 1)
2 2 2
(1) (2a b) 2(2a b) 1
2
(2) (a b) 10(a b) 25
2
优选教育秋人教版八年级数学上册作业课件：运用完全平方公式分解因式.ppt
11．已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为14. (1)求此长方形的面积； (2)求ab3＋2a2b2＋a3b的值． 解：(1)∵a＋b＝8，∴a2＋2ab＋b2＝64，∵a2＋b2＝14，∴ab＝25， 答：长方形的面积为25 (2)ab3＋2a2b2＋a3b＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ ab(a＋b)2＝25×82＝1600
(4)p2－2pq＋q2－k2； 解：原式＝(p－q＋k)(p－q－k) (5)(x＋3)(x＋5)＋x2－7. 解：原式＝2(x＋2)2
16．利用因式分解计算： (1)2022＋982＋202×196； 解：原式＝(202＋98)2＝3002＝90000 (2)8002－1600×798＋7982. 解：原式＝(800－798)2＝4
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．3 因式分解 14.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式分解因式
知识点1：完全平方公式
B
1．下列二次三项式是完全平方公式的是( )
A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16
C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16
2．已知x2＋16x＋k是完全平方公式，则常数k等于( A ) A．64 B．48 C．32 D．16
14．如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，长、宽 分别为a，b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，用这16 张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___a_＋__3_b__．
15．分解因式： (1)－x3＋x2－14x；
解：原式＝－x(x－12)2
(2)(a－b)2＋4ab； 解：原式＝(a＋b)2 (3)(x2＋1)2－4x2. 解：原式＝(x＋1)2(x－1)2
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2
13
练一练 因式分解：
（5）-a3b3+2a2b3-ab3 3 2 2 解：原式=-ab (a -2a×1+1 ) 3 2 =-ab (a-1) （6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2 2 解:原式=3 -2×3×2(a-b)+[2(a b)]2
=
3 2(a b)
2
2
错。此多项式不是完全平方式
2013年8月22日5时29分 12
练一练 因式分解：
(3)49a b 14ab
2 2
解:原式=（7a) +2×7a×b+b =(7a+b)
2 2
2
2
（4）-a2-10a -25
解:原式=-（a +2×a×5+5 ) =-(a+5)
2013年8月22日5时29分
2
2 2
2013b(3a b) 9a 12ab 4b (3a 2b)
2
2 2
2
(6)3ax 6axy 3ay 3a( x 2 2xy y 2 ) 3a( x y)2
2 2
(7)(a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)2=(a+1-a+1)2=4
2
是
填一填
多项式
1 x x 4
2
是否是完全 平方式
a、b各表 示什么
表示（a+b）2 或（a－b）2
是 否
a表示x， b表示1/2
1 2 (x ) 2
9a b 3ab 1
2 2
1 2 m 3mn 9n 2 4
是
a表示1 m ， 1 2 b表示3n
( m 3n) 2 2
x 10x 25
2 原式即可用完全平方公式进行因式分解.
2
= 3 x-1 2
2013年8月22日5时29分
8
例6
把-4x2+12xy-9y2 因式分解.
解
-4x2+12xy-9y2 = -(4x2-12xy+9y2) = -[(2x)2-2· 3y+(3y)2] 2x· = -(2x-3y)2
6 3
2013年8月22日5时29分
否
6
填空：
（1）a2+
2ab
+b2=(a+b)2 b2 =(a-b) 2 =( m+1 ) 2 =( n-1 ) 2
（2）a2-2ab+ （3）m2+2m+ （4）n2-2n+
1
1
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2
（6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
解: 由a(a+1)-(a2-b)=a2+a-a2+b=a+b=-2得
a b a b 2ab (a b) (2) ab 2 2 2 2 2
2 2
2013年8月22日5时29分 19
3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。
解：由x +4x+y -2y+5=(x +4x+4)+(y -2y+1) =(x+2) +(y-1) =0得 x+2=0,y-1=0 ∴x=-2,y=1
16
2013年8月22日5时29分
作业
P67 B组 A组 2 4（4） 3 5
6
2013年8月22日5时29分
17
2013年8月22日5时29分
18
1.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全
平式，则k=
2.已知 的值。
2 2 2 2
±12
a2+b2 +ab 求 2
a(a+1)-(a2-b)=-2,
2013年8月22日5时29分
2
15
总结与反思：
• 1:整式乘法的完全平方公式是：
a b
2
a 2ab b
2
2
• 2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是： 2 2 2
a 2ab b a b
• 3:完全平方公式特点：
含有三项； 两平方项的符号同号； 首尾2倍中间项。
1 4a 2
1 1 x x 2 4
2
否
否
x2 4x 4 y 2
4 y 12xy 9x
2 2
否
是
a表示2y， (2 y 3x) 2 b表示3x a表示(a+b)， (a b 1) 2 5 b表示1
(a b) 2(a b) 1 2013年8月22日5时29分
(8)9(a b) 12(a b ) 4(a b) 2 3(a b) 2(a b)
2 2 2
2013年8月22日5时29分
2
(5a b)
2
23
因式分解：
解 : 原式 ( y x 2 xy)( y x 2 xy)
2 2 2 2
(y2 + x2 )2 - 4x2y2
=(3-2a+2b)
2013年8月22日5时29分
14
分解因式：
（1）x -12xy+36y =(x-6y)
2 2 4 2 2 4
2
(2)16a +24a b +9b =(4a +3b ) (3)-2xy-x -y
2 2
2
2 2
=-(x+y)
2
2
(4)4-12(x-y)+9(x-y) =(2-3x+3y)
2013年8月22日5时29分
9
例7
解
把a4+2a2b+b2因式分解. a4+2a2b+b2
= (a2)2 + 2 · 2 · + b2 a b = (a2+b)2.
2013年8月22日5时29分
10
例8 把x4-2x2+1 因式分解.
解 = = = = x4-2x2+1 (x2)2-2·2· 2 x 1+1 (x2-1)2 [(x+1)(x-1)]2 (x+1)2(x-1)2
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)
的平方,另一项为这两个数(或整式 )的乘积的2倍.
从符号看： 平方项符号相同 （即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项） 4 2013年8月22日5时29分
填一填
多项式
x2 6x 9
是否是完全 平方式
是
是
4 y 4 y 1
2
a、b各表 表示（a+b）2 示什么 或（a－b）2 a表示x， ( x 3) 2 b表示3 a表示2y， (2 y 1) 2 b表示1
3
a 2ab b a b 2 2 2 a 2ab b a b
2 2 2
完全平方式
熟知公式特征！ 用公式法正确分解因式关键是什么？ 完全平方式 2 a a2 ± b + b2 = （ a ± b ）2 从项数看： 都是有 3 项
(一数) 2 ± 2(一数)(另一数)+(另一数)2=(一数±另一数)2
2 2 2 2 2 2
1 ∴x =(-2) = 2
-y -1
2013年8月22日5时29分 20
分解因式：
1. x 8x 16
2
2 2
=-(x+4)
2
2. 4 x x y 4 x x y =(3x+y)2
3.
ax 2a x a
2 2
3
=a(x+a)
2
2013年8月22日5时29分
21
把下列各式因式分解
(1)9 x 4 y (3x 2 y)(3x 2 y)
2 2
(2) 9x 4 y (2 y 3x)(2 y 3x)
2 2
(3)9 x 12xy 4 y (3x 2 y)
2 2
2
(4) 9 x 12xy 4 y (3x 2 y)2
武冈三中
2013年8月22日5时29分 1
课前复习：1、学了哪些分解因式方法
提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
运用公式法： ① a2-b2=(a+b)(a-b)
练习
①
4
把下列各式分解因式
2
ax ax
2 2
② x4-16 解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)
=(y+x) (y-x)
2 2
简便计算： 56
2
68 56 34
2 2
2
解：原式=（56+34） =90 =8100
2013年8月22日5时29分 24
2013年8月22日5时29分 7
例5 把
解
2-3x+ 1 9x
4 因式分解.
9x2-3x+ 1 4
2
2
1 1 2 = =(3 x) -2 3 x + 2· 2， 1 分析 9x (3x) = 1 ，3x = 2 3x· 1， 4 2 2 2
2013年8月22日5时29分
11
练一练
判断因式分解正误。
(1）