21.(3)因式分解法
九年级上册数学人教版21.2.3 解一元二次方程-因式分解法
学科
初中数学
主备人
节次
第 周
第 节
课题
21.2.3 解一元二次方程-因式分解法
课时
1
课型
新授课
教学目标
1.能用因式分解法解一些一元二次方程；
2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
教学重点
能用因式分解法解一些一元二次方程.
教学难点
能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.
4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
第五步：
师友反馈
环节1：师友检测
1.用公式法解下列方程：
环节2：教师评价
一、本节课最佳师友是…
二、
二、课后作业
必做：
选做：
板书设计
教学后记
课 堂 教 学 设 计
教学环节
教学过程
二次备课
第一步：
交流预习
环节1：教师提问
1、什么是一元二次方程
2、一元二次方程的一般形式是什么吗？
3、二次项、一次项、常数项分别是什么？
环节2:师友释疑
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
(1)解：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0m，
即10x－4.9x2＝0.
思考：除了配方法或公式法之外，能找到更简单的方法吗？
第二步：
互助探究
环节1:师友探究
一元二次方程因式分解法的四种方法
一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。
本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。
二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。
在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。
通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。
四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。
2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。
3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。
4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。
五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。
六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。
21.2.3 因式分解法 课件(共21张PPT)
( + )( − )
−
( − )( + )
情境引入
对于方程 − = ，除了可以用配方法或公式法求
解，还可以怎样求解呢？
观察和分析小亮的解法，你认为他的解法有没有道理？
小亮的思考及解法
解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程，因此，
可将方程的左边分解因式.于是，得( − ) = .
那么这两个因式中至少有一个等于0;
（3）用因式分解法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边
化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；
（4）解一元二次方程时，如果能用因式分解法进行解题，那么它是
首选.
知识点2：换元法解一元二次方程（难点）
1. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使
0,解得y₁=2,y₂=-1(不合题意,舍去),∴|x|=2,∴x₁=2,x₂=-2.
变式：已知(x+y-3) (x+y+4)=-10, 求x+y的值.
解：整理，得( − ) = ，
直接开平方，得 − = 或 −
= −，
解得 = ， = −.
（） + − = .
解： = , = , = −,
− = + = > ,
所以 =
−±
= − ± ，
21.2.3 因式分解法
1.通过阅读课本 ， 学生会用因式分解法解某些简单的数字系
数的一元二次方程，提高了学生的运算能力．
2.通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生
分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二
次方程转化为两个一元一次方程的转化思想．
九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法(听课)课
21.2.3 因式分解法
解：(1)原方程可化为(x－5)2＝4， ∴x－5＝±2，∴x1＝7，x2＝3. (2)∵b2－4ac＝22－4×3×(－3)＝4＋36＝40，
－2± 40
－1＋ 10
－1－ 10
∴x＝ 2×3 ， ∴x1＝
3
，x2＝
3
.
(3)原方程可化为(x＋ 2)(x＋ 3)＝0，
∴x＋ 2＝0 或 x＋ 3＝0，∴x1＝－ 2，x2＝－ 3.
21.2.3 因式分解法
目标二 能选择合适的方法解一元二次方程
例 2 教材补充例题 选择合适的方法解一元二次方程：
(1)4(x－5)2＝16; (2)3x2＋2x－3＝0； (3)x2＋ 2x＝－ 3(x＋ 2)．
[解析] 根据方程的不同特点选取最简便的方法．(1)可以用直接开平方法； (2)可以用公式法；(3)可以用因式分解法．
21.2.3 因式分解法
【归纳总结】一元二次方程的解法选择： 1．选择顺序：直接开平方法——因式分解法——公式法(或配方 法)． 2．若方程为(mx＋n)2＝p(p≥0)型，则用直接开平方法． 3．若方程右边为0，而左边易于分解成两个一次因式的积，则可用 因式分解法． 4．若方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则可用配方法． 5．公式法和配方法可解任意的一元二次方程．
21.2.3 因式分解法
解：(1)因式分解，得 x(3x－5)＝0，于是得 x＝0 或 3x－5＝0， 5
所以 x1＝0，x2＝3. (2)因式分解，得(x－3)(x＋4)＝0，于是得 x－3＝0 或 x＋4＝0， 所以 x1＝3，x2＝－4.
21.2.3 因式分解法
(3)因式分解，得(x－5＋4)(x－5－4)＝0， 于是得 x－1＝0 或 x－9＝0，所以 x1＝1，x2＝9. (4)移项，得 16(2x－1)2－25(x－2)2＝0. 因式分解，得[4(2x－1)＋5(x－2)][4(2x－1)－5(x－2)]＝0， 所以 13x－14＝0 或 3x＋6＝0，
21.2.3 因式分解分解法 课件 2022-2023学年人教版数学九年级上册
x 50 50
2a
2 4.9
49 49
x1
100， 49
x2
0
x1
100 49
，
x2
0
探究
10x 4.9x2 0
如果a ·b = 0，
因式分解
那么 a = 0或 b = 0。
x 10 4.9x 0
两个因式乘积为 0，说明什么 降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
1.将方程右边等于0;
2. 将方程左边因式分解为A×B;
3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程 的根.
解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
九年级-上册-第21章
21.2 解一元二次方程
因式分解分解法解一元二次方程（1）
1
教学目标
一、知识技能 1、了解因式分解法的概念. 2、会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方
程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从 而降次解方程. 二、过程方法
1、经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合 情合理的推理能力.
10x-4.9x2 =0 ①
10x-4.9x2 =0 ①
因式分解
x(10-4.9x) =0 ②
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
降次，化为两个一次方程
x1 0,
x2
100 49
人教版数学九年级上册21 因式分解法课件
直接开平方法适用于哪种形式的方程？ x2=p 配方法适用于哪种形式的方程？ (mx+n)2=p 公式法适用于哪种形式的方程？ ax2+bx+c=0(a≠0) 因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0
状元成才路
随堂演练
1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（ D ）
6. 若一个三角形的三边长均满足方程x2-7x+12=0，
求此三角形的周长.
解：x2-7x+12=0，则(x-3)(x-4)=0. ∴x1=3，x2=4.
∵三角形三边长均为方程的根. ①三角形三边长为4、3、3，周长为10； ②三角形三边长为4、4、3，周长为11； ③三角形三边长为4、4、4，周长为12； ④三角形三边长为3、3、3，周长为9.
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层 叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷 叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的 。它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
21.2.3 因式分解法
R·九年级上册
状元成才路
新课导入
根据物理学规律，如果把一个物体 从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经 过x s后物体离地面的高度（单位：m） 为：10x-4.9x2.
(完整版)因式分解知识点归纳
n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。
(含答案)九年级数学人教版上册课时练第21章《21.2.3 因式分解法》
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第21章一元二次方程21.2.3因式分解法一、选择题（共10小题，3*10=30）1．方程x2－5x－6＝0左边化为两个一次因式的乘积为（）A．（x－2）（x－3）＝0B．（x－2）（x＋3）＝0C．（x－1）（x＋6）＝0D．（x＋1）（x－6）＝02．下列一元二次方程能用因式分解法解的有（）①x2＝x；②x2－x＋14＝0；③x－x2－3＝0；④（3x＋2）2＝16．A．1个B．2个C．3个D．4个3．用因式分解法解方程，下列过程正确的是（）A．（2x－3）（3x－4）＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0 B．（x＋3）（x－1）＝1化为x＋3＝1或x－1＝1 C．（x－2）（x－3）＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3 D．x（x＋2）＝0化为x＋2＝04．一元二次方程x2＋2x＋1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝x2＝1C．x1＝x2＝－1D．x1＝－1，x2＝25．一元二次方程x（x－2）＝x－2的解是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝2D．x1＝1，x2＝26．在解方程（x＋2）（x－2）＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，得方程的根为x1＝－1，x2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，即（x＋3）（x－3）＝0，得方程的根为x1＝－3，x2＝3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是（）A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误7．解方程2（x－1）2＝3x－3，最适当的方法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法8．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或49．方程9（x＋1）2－4（x－1）2＝0的正确解法是（）A．直接开平方得3（x＋1）＝2（x－1）B．化成一般形式为13x2＋5＝0C．分解因式得[3（x＋1）＋2（x－1）][3（x＋1）－2（x－1）]＝0D．直接得x＋1＝0或x－1＝010．已知x为实数，且满足（x2＋x＋1）2＋2（x2＋x＋1）－3＝0，那么x2＋x＋1的值为（）A．1B．－3C．－3或1D．－1或3二．填空题（共8小题，3*8=24）11．用因式分解法解一元二次方程，其依据是若ab＝0，则a＝________或b＝_________12．方程（2x－1）（3x－3）＝0可转化为两个一元一次方程：_____________或________________．13．方程（x－2）（x＋3）＝0的解是__________________．14．小明在解方程（x－7）2＝x－7时，只得出一个根为x＝8，其错误原因是________________，漏掉的一个根是_______．15．已知x＝1是一元二次方程（m－2）x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值为__________．16．解一元二次方程（y＋2）2－2（y＋2）－3＝0时，最简单的方法是__________．17．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，则二次三项式x2＋px＋q 可分解为__________________．18．若一元二次方程式x2－8x－3×11＝0的两根为a，b，且a＞b，则a－2b的值为_________．三．解答题（共6小题，46分）19．（6分）解下列方程：（1）x2－2x－3＝0；（2）x2－（2＋3）x＋6＝0．20．（7分）已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x（x－7）－10（x－7）＝0的一个根，求这个三角形的周长．21．（7分）用因式分解法解下列方程：（1）3x （x －2）＝9（x －2）；（2）（2x －1）2－x 2－4x －4＝0．22．（8分）若菱形ABCD 的一条对角线长为8，边CD 的长是方程x 2－10x ＋24＝0的一个根，求该菱形ABCD 的周长．23．（8分）已知实数a ，b 满足关系式：（a 2＋3b 2）（a 2＋3b 2－2）＝8，求a 2＋3b 2的值．24．（10分）已知关于x ，y ＋23y ＝－103，＋y ＝4－y ＝2，＋by ＝15的解相同．（1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．参考答案1-5DCACD6-10ADACA11．0，012．2x －1＝0，3x －3＝013．x 1＝2，x 2＝－314．未考虑x －7＝0，x ＝715．－116．因式分解法17．（x －3）（x ＋4）18．1719．（1）解：x 2－2x －3＝0，（x －3）（x ＋1）＝0，x －3＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝3，x 2＝－1．（2）解：x 2－（2＋3）x ＋6＝0，（x －2）（x －3）＝0，x －2＝0或x －3＝0．∴x 1＝2，x 2＝3．20．解：解方程得x 1＝7，x 2＝10，当x ＝10时，3＋7＝10，不合题意，舍去；当x ＝7时，符合题意，∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝1721．（1）解：x 1＝2，x 2＝3（2）解：x 1＝3，x 2＝－1322．解：如图所示．假设BD ＝8．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝A D ．解方程x 2－10x ＋24＝0，得x ＝4或x ＝6．分两种情况：（1）当AB ＝AD ＝4时，4＋4＝8，不能构成三角形；（2）当AB ＝AD ＝6时，6＋6>8，∴菱形ABCD 的周长为4AB ＝24．23．解：由已知，得（a 2＋3b 2）2－2（a 2＋3b 2）－8＝0，（a 2＋3b 2－4）（a 2＋3b 2＋2）＝0，∴a 2＋3b 2－4＝0或a 2＋3b 2＋2＝0，∴a 2＋3b 2＝4或－2，∵a 2＋3b 2≥0，∴a 2＋3b 2的值为424．（1）解：由题意得，关于x ，y ＋y ＝4，－y ＝2的解，解＝3，＝1.把x ＝3，y ＝1代入ax ＋23y ＝－103，得3a ＋23＝－103，解得a ＝－43；把x ＝3，y ＝1代入x ＋by ＝15，得3＋b ＝15，解得b ＝12．（2）解：当a＝－43，b＝12时，关于x的方程x2＋ax＋b＝0即为x2－43x＋12＝0，∴（x－23）2＝0，解得x1＝x2＝23．又∵（23）2＋（23）2＝（26）2，∴以23，23，26为三边长的三角形是等腰直角三角形．。
人教版数学九年级上册第21章解一元二次方程21.2.3因式分解法教学设计课件
21.2.3因式分解法1.认识因式分解法的观点.2.会用因式分解法解一元二次方程.3.能依据一元二次方程的特色,选择合适的解一元二次方程的方法.1.经历研究用因式分解法解一元二次方程的过程,发展合情推理的能力,领会“降次”化归的思想方法.2.经过灵巧选择解方程的方法,领会解决问题的灵巧性和多样性.1.经过研究因式分解法解一元二次方程,学会与别人合作,能与别人沟通思想的过程和结果的能力.2.经历研究知识的形成过程,培育学生主动研究的精神与踊跃参加的意识.【要点】用因式分解法解一元二次方程.【难点】依据一元二次方程的特色,选择合适的解一元二次方程的方法.【教师准备】预料学生解一元二次方程中选择灵巧方法的困难.多媒体课件1和课件2.【学生准备】复习总结学过的解一元二次方程的方法.导入一:复习发问:1.因式分解的方法有几种?【师生活动】教师发问,学生回答,教师评论.2.将以下各式分解因式.(1)5x2-4x;2-4x+4;(2)x(3)4x(x-1)-2+2x;(4)x2-4;2-x2.(5)(2x-1)【师生活动】学生独立达成,小组内沟通答案,对出现的错误组长帮忙解决,老师评论易错点.导入二:(教材问题2)依据物理学规律,假如把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地2面的高度(单位:m)为10x-4.9x,依据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保存小数点后两位)?学生口答所列方程为10x-4.9x2=0,思虑怎样解这个方程.(配方法、公式法)[设计企图]经过复习有关知识,有益于学生娴熟正确地将多项式进行因式分解,进而降低本节课的难度,为学习新知识打下基础;以与物理学有关的实质问题导入新课,让学生领会各学科知识之间的联系,感觉数学与生活之间的联系,激发学生学习的兴趣.[过渡语]除配方法和公式法之外,可否找到更简单的方法解这个方程?一、共同研究2=0?思虑:还有什么方法解问题中的一元二次方程10x-4.9x思路一教师指引学生思虑回答以下问题.(1)上边方程中有没有常数项?(2)等式左侧的各项有没有同样因式?能不可以分解因式?(3)假如AB=0,那么;假如(x+1)(x-1)=0,那么x+1=0或,即x=-1或. (4)试试将方程左侧分解因式,看能不可以达到降次的目的.【师生活动】学生在教师的指引下逐个思虑回答以下问题,教师实时增补,而后让学生勇敢试试解方程,对出现的问题教师有针对性地解决.思路二复习发问:假如AB=0,那么.方程能不可以化成这类形式?小组合作沟通,勇敢试试,教师对解决问题有困难的学生实时赐予帮助,并将小组沟通结果展现,对学生展示结果教师提出怀疑,并指引学生解决.解:将方程左侧分解因式,得x(10-4.9x)=0,∴x=0或10-4.9x=0,∴x1=0,x2=≈2.04.∴物体经过2.04秒落回地面.[设计企图]经过小组议论或教师指引,察看方程的特色,而后找到解决的门路,让学生亲身经历知识的形成过程,培育学生察看问题、剖析问题的能力和研究精神.二、思虑(1)上述解方程的方法第一步是怎样变形的?(2)上述解法是怎样达到降次的目的的?(3)什么样的方程适适用这类方法求解?【师生活动】小组议论沟通,教师实时指引,师生共同得出结论.第1页我们能够发现,上述方程的解法不是用开平方降次,而是先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,进而实现降次,这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法.[过渡语]依据方才解方程的思路和因式分解法解方程的观点,你能不可以总结因式分解法解方程的步骤是什么?【师生活动】学生思虑回答,教师增补,归纳后以课件展现.【课件1】因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右侧化为0;(2)将方程的左侧进行因式分解;(3)令每一个因式为0,转变为两个一元一次方程;(4)解一元一次方程,得原方程的解.[设计企图]以问题的形式指引学生思虑,降低了新知识的难度,小组的议论沟通,让学生体验知识的形成过程,在讲堂上发挥主体作用,体验成功的快乐,使本节课要点进一步获取加强,同时研究过程培育了学生疏析问题的能力和归纳总结的能力.三、例题解说【课件2】(教材例3)解以下方程.(1)x(x-2)+x-2=0;2-2x-=x2-2x+.(2)5x【师生活动】学生独立达成后小组沟通答案,教师课件展现,规范做题格式.解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0,即x-2=0或x+1=0,∴x1=2,x2=-1.2-1=0,(2)移项、归并同类项,得4x因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0,即2x+1=0或2x-1=0,∴x1=-,x2=.[知识拓展]1.当方程的左侧能分解因式,方程的右侧为0时,经常用因式分解法解一元二次方程,因式分解法是解一元二次方程的一种简易方法,要会灵巧运用.2.解一元二次方程时,四种解法的使用次序是:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,一般先考2=b(b≥0),用直接开平方法,最一般方法是公式法,配方法在题目没有特虑用因式分解法,假如是特别形式(x+a)殊要求时一般不用.因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右侧化为0;(2)将方程的左侧进行因式分解;(3)令每一个因式为0,转变为两个一元一次方程;(4)解一元一次方程,得原方程的解.1.方程x(x+2)=0的根是()A.x=2B.x=0C.x1=0,x2=-2D.x1=0,x2=2分析:由题意可得x=0或x+2=0,解得x1=0,x2=-2.应选C.2.方程(x-5)(x-6)=(x-5)的解是()A.x=5B.x=5或x=6C.x=7D.x=5或x=71=5,x2=7.分析:移项,得(x-5)(x-6)-(x-5)=0,方程左侧提公因式得(x-5)(x-6-1)=0,即x-5=0或x-7=0,解得x 应选D.3.用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0,可把其化为两个一元一次方程,求解.分析:方程左侧提公因式得(x+3)(5-2x)=0,因此x+3=0或5-2x=0.答案:x+3=05-2x=02-16=0的解是.4.方程x分析:方程左侧用平方差公式分解因式得(x+4)(x-4)=0,因此x+4=0或x-4=0,解得x1=4,x2=-4.故填x1=4,x2=-4.5.用因式分解法解以下方程.2+x=0;(1)x2-2x=0;(2)x2-6x=-3;(3)3x(4)4x2-121=0;(5)3x(2x+1)=4x+2;第2页2=(5-2x)2.(6)(x+4)解:(1)将方程左侧分解因式,得x(x+1)=0,∴x=0或x+1=0.∴x1=0,x2=-1.(2)将方程左侧分解因式,得x(x-2)=0,∴x=0或x-2=0.∴x1=0,x2=2. 2-6x+3=0,将方程左侧分解因式,得3(x-1)2=0∴x(3)移项,得3x1=x2=1.(4)将方程左侧分解因式,得(2x+11)(2x-11)=0,∴2x+11=0或2x-11=0.∴x1=-,x2=.(5)移项,得3x(2x+1)-(4x+2)=0,将方程左侧分解因式,得(2x+1)(3x-2)=0,∴2x+1=0或3x-2=0.∴x1=-,x2=.2-(5-2x)2=0,(6)移项,得(x+4)将方程左侧分解因式,得(x+4+5-2x)(x+4-5+2x)=0,∴-x+9=0或3x-1=0.∴x1=9,x2=.21.2.3因式分解法一、共同研究二、思虑因式分解法解一元二次方程的步骤三、例题解说一、教材作业【必做题】教材第14页练习的1题.【选做题】教材第14页练习的2题.二、课后作业【基础稳固】2-2x=0的解是()1.一元二次方程5xA.x1=0,x2=B.x1=0,x2=-C.x1=0,x2=D.x1=0,x2=-2.方程3x(x+1)=3x+3的解为()A.x=1B.x=-1C.x1=0,x2=-1D.x1=1,x2=-13.若对于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程能够为()A.(x+5)(x-7)=0B.(x-5)(x+7)=0C.(x+5)(x+7)=0D.(x-5)(x-7)=04.方程(x+4)(x-5)=1的根为()A.x=-4B.x=5C.x1=-4,x2=5D.以上结论都不对5.方程x(x-1)=x的解是.6.将二次三项式x2+20x-96分解因式的结果为;假如令x2+20x-96=0,那么它的两个根是. 7.方程(x-1)(x+2)=2(x+2)的根是.第3页8.若(m+n)(m+n+5)=0,则m+n=. 9.若(2x+3y)2+4(2x+3y)+4=0,则2x+3y的值为. 10.用因式分解法解以下方程.(1)(x-1)(x-2)=0;2-3x=0;(2)x2-4x+4=0;(3)x2-5x+4=0.(4)x【能力提高】的长方形养鸡场. 为了节俭资料 ,养鸡场的一边靠着原有的一面墙 ,墙211. 某养鸡专业户建一个面积为 150 m长a m,另三边用篱笆笆围成,假如篱笆的长为35 m,那么养鸡场的长与宽各为多少?(此中a≥20)2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0便可转变为(x-a)(x-b)=0,请你用上边的方法解下12.我们知道x列方程.(1)x2-3x-4=0;2-7x+6=0;(2)x2+4x-5=0.(3)x【拓展研究】2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们能够将x2-1视为一个整体,而后设x2-1=y,则y2=(x2-1)213.为解方程(x,原方程化为22222y-5y+4=0,解此方程,得y1=1,y2=4.当y=1时,x-1=1,x=2,∴x=±.当y=4时,x-1=4,x=5,∴x=±.∴原方程的解为x1=-,x2=,x3=-,x4=.以上方法就叫换元法,达到了降次的目的,表现了转变的思想.4-3x2-4=0;(1)运用上述方法解方程x2-1看作一个整体,你能直接运用因式分解法解(1)中的方程吗?(2)既然能够将x【答案与分析】1.A(分析:将方程左侧分解因式,得x(5x-2)=0,∴方程的解为x1=0,x2=.应选A.)2.D(分析:由已知得3x(x+1)-3(x+1)=0,∴3(x+1)(x-1)=0,∴x+1=0或x-1=0,∴x1=1,x2=-1.应选D.)3.A(分析:∵(x+5)(x-7)=0,∴x+5=0或x-7=0,∴x1=-5,x2=7.应选A.)2-x=21,∴=,∴x=.应选D.)4.D(分析:∵(x+4)(x-5)=1,∴x5.x1=0,x2=2(分析:∵x(x-1)=x,∴x(x-1)-x=0,∴x(x-1-1)=0,即x=0或x-2=0,∴x1=0,x2=2.)6.(x+24)(x-4)-24,4(分析:x2+20x-96=(x+24)(x-4).∵x2+20x-96=0,∴(x+24)·(x-4)=0,∴x+24=0或x-4=0,∴x1=-24,x2=4.)7.x1=3,x2=-2(分析:移项,得(x-1)(x+2)-2(x+2)=0,∴(x+2)(x-1-2)=0,∴x1=3,x2=-2.故填x1=3,x2=-2.)8.0或-5(分析:由题意得m+n=0或m+n+5=0,∴m+n=0或m+n=-5.故填0或-5.)2=0,因此2x+3y+2=0,即2x+3y=-2.故填-2.)9.-2(分析:把2x+3y当作一个整体,有(2x+3y+2)2=0,∴x10.解:(1)x-1=0或x-2=0,∴x1=1,x2=2.(2)x(x-3)=0,∴x=0或x-3=0.∴x1=0,x2=3.(3)(x-2)1=x2=2.(4)(x-1)(x-4)=0,∴x-1=0或x-4=0.∴x1=1,x2=4.11.解:设养鸡场垂直于墙的一边长为x m,则与墙相对的边的长为(35-2x)m,依题意,得x(35-2x)=150,即2-35x+150=0,因此(2x-15)·(x-10)=0,因此x=7.5或x=10,当x=7.5时,35-2x=20,当x=10时,35-2x=15,由于a≥ 2x20,因此两根都知足条件.答:养鸡场的长与宽分别为20 m,7.5 m或15 m,10 m.212.解:(1)∵x-3x-4=(x-4)(x+1),∴(x-4)·(x+1)=0,∴x-4=0或x+1=0,∴x1=4,x2=-1.2-7x+6=(x-6)(x-1),∴(x-6)(x-1)=0,∴x-6=0或x-1=0,∴x(2)∵x1=6,x2=1.2+4x-5=(x+5)(x-1),∴(x+5)(x-1)=0,∴x+5=0或x-1=0,∴x(3)∵x1=-5,x2=1.4-3x2-4=0.设x2=y,则y2=x42-3y-4=0,解此方程,得y2=4,∴x=±2.13.解:(1)x,原方程化为y1=-1,y2=4.当y=4时,x2=-1,无实数解.∴原方程的解为x2+1)(x2-4)=0,∴x2+1=0或当y=-1时,x1=-2,x2=2.(2)因式分解,得(xx1=2,x2=-2.2-4=0,x2+1=0无解,∴原方程的解为x在本节课的教课过程中,先对因式分解进行复习,而后由实质问题引出新方程,解决这个实质问题需要学习新知识,激发了学生的学习动机,而新知识与旧知识一元一次方程有内在联系,指引学生用比较、归纳的方法获取新知识.整节课都是以问题形式层层深入,在老师的指引下,学生自主研究结论,因此学生在讲堂上发挥了主体作用,老师在讲堂上不过指挥家、引领者的身份,这样有益于培育学生剖析问题、解决问题的能力和创新精神.后边的例题稳固提高了本节课的要点,例题的解决不是老师解说达成的,而是学生在独立思虑的基础上由小组合作、共同沟通达成,提高了学生解决问题的灵巧性,建立了学习的信心.在讲堂中有时办理问题过于焦躁,过分关注学生的学习结果,而忽视了过程,办理有些知识点时,给学生留有思虑的时间太少,造成练习解方程时,部分学生出现计算错误许多.并且对于学生出现的问题不过实时的加以加强,没有再出近似的问题让学生解决,不可以更有效地表现讲堂教课的实效性.不可以关注到每一位学生,在讲堂上比较活跃的仍是部分学生,应当让人人学到有价值的数学.第4页数学教课的真理是数学思想过程的教课,因此教课方案要着重培育学生正确运用所学新知识来剖析问题、解决问题,用新方法解方程时,给学生足够思虑时间,同时重视指引学生思虑怎样对所学新知识加以复习、稳固,进一步认识这部分知识在解决问题时所起的作用.教课自己就是一个动向生成的过程,在解题过程中, 尽量让有典型问题的学生进行展现,这样正好是教师的第一手资料,以使教课更能有效进行.练习(教材第14页)1.解:(1)x1=0,x2=-1.2+x=0,x(x+1)=0,∴x2- 2 x=0,x(x- 2 )=0,∴x 2- 6x=-3,x2- 2x+1=0,(x- 1) (2)x 1=0,x2=2 . (3)3x 2=0,∴x1=x2=1.1=x2=1.2-121=0,(2x-11)·(2x+11)=0,∴x(4)4x1=,x2=-.(5)3x·(2x+1)=4x+2,3x(2x+1)-2(2x+1)=0,(2x+1)(3x-2)=0,∴x1=-,x2=.2=(5- 2x)2 (6)(x- 4) ,(x- 4) 2- (5- 2x)2=0,(x- 4+5- 2x)·(x- 4- 5+2x)=0,(1-x )( 3x- 9)=0,∴x 1=1,x2 =3.1=1,x2=3.2.解:设小圆形场所的半径为R m,则大圆形场所的半径为(R+5)m,依题意得2=π(R+5)2 2=(R+5)2 2πR ,2R ,( R) 2- (R+5)2 =0,( R+R+5)( R-R-5)=0,∴R 1=5- 5 (舍),R2=5+5 . 答:小圆形场所的1=5- 5 (舍),R2=5+5 . 答:小圆形场所的半径为(5+5)m.1.本节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程,解法的基本思路是将一元二次方程转变为一元一次方程,而达到这一目的,我们主要利用了因式分解“降次”,经过本节课的学习,要指引学生逐渐深入、领悟、掌握“转变”这一数学思想方法.2.在教课过程中,对配方法和公式法进行复习,再由实质问题引入新方程,要解决这个实质问题需要学习新知识,激发了学生的学习动机,把本节课的要点内容设计成问题串的形式,指引学生自主研究、合作沟通,自然地掌握了本节课的要点,同时培育了学生剖析问题、解决问题的能力及合作和研究精神.3.因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法,在解一元二次方程时,应依据方程的构造特色,选择合适的方法去解,这是本节课的难点,并且直接开平方法与因式分解法中都包含着由二次方程向一次方程转变的思想方法.一般状况下,独自使用这类方法,学生运用的比较娴熟,但假如综合在一同,学生运用的就不太娴熟,因此在练习中,给学生足够的时间沟通,共同研究方程知足什么特色能够用什么方法,达到顺利打破难点的目的.用因式分解法解方程x(x-1)=2.有学生给出以下解法:∵x(x-1)=2=1×2=(-1)×(-2),∴或或或解上边第一、四个方程组,无解;解第二、三个方程组,得x=2或x=-1.∴x=2或x=-1.请问:这个解法对吗?试说明你的原因.假如你感觉这个解法不对,请你求出方程的解.解:解法不对.原因:用因式分解法解一元二次方程,方程左侧一定为两个一次因式的乘积,而方程右侧一定为0,明显这位同学的做法不切合这样的要求,故解法错误.正确解法以下:2-x-2=0,原方程可化为x即(x-2)(x+1)=0,则x-2=0或x+1=0,1=2,x2=-1.解得x第5页。
初中数学一元二次方程的解法(三)因式分解法(学生版)九年级数学上册同步精品讲义(人教版)
第04课 一元二次方程的解法（三）--因式分解法课程标准课标解读1.掌握因式分解法解方程的原理和常见方法；2.掌握基础的十字相乘法解方程的简便算法。
掌握一元二次方程的简便算法；知识点01 因式分解法解一元二次方程因式分解法的原理为：如果0a b ，那么0a或0b；推广到一元二次方程中：若一元二次方程()()0ax b mx n ，那么或，解得两个实数根。
1.c 特殊因式分解法解一元二次方程： 我们已知20(0)axbx c a 中，c=0时，方程必有一根为0：因此，当一元二次方程中常数项c=0时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。
2.常用的因式分解法提公因式分法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 提公因式法 2()()0ax b ax b 使用场景：有公因式，可将多项式化为乘积方式； 完全平方公式法2222()a abb ab使用场景：等号一侧为完全平方式（即计算△=0） 平方差公式法22()()a b a b a b使用场景：平方减平方形式：例如22()-()0axb mx n十字相乘法2121212()=()()x x x x x x x x x x使用场景：前两种方法都不能用时；【知识拓展】（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的知识精讲目标导航积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点02十字相乘法解一元二次方程若一元二次方程20axbx c有两个实数根12,x x ，那么可以将一元二次方程写成：12()()0xx x x ，化简得21212()0x x x xx x ；有对应相等得：22221212121200()0()0b c x x ax bx c a axx x xx x x x x x x x可得：当二次项系数为1时，一次项系数b 为两实数根和的相反数；常数项c 为两实数根的积； 对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。
21.2.3因式分解法教案—2021-2022学年人教版数学九年级上册
21.2.3 因式分解法一、教学目标1.了解因式分解法的概念.2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.二、教学重难点重点用因式分解法解一元二次方程.难点针对不同形式的一元二次方程选择适当的解法.重难点解读1.用因式分解法解一元二次方程的关键：①要将方程的右边化为0；②熟练掌握多项式因式分解的方法；③切忌方程两边同时除以含有未知数的整式.2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①1将方程的右边化为0；②2将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③3令这两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程；④4解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3.选择一元二次方程解法的一般顺序：直接开平方法→因式分解法→公式法，一般没有特别说明不用配方法.三、教学过程活动1 旧知回顾1.解下列方程：（1）2x2+2x-1=0（用配方法）；（2）3x2+6x+2=0（用公式法）.2.将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？（1）提取公因式法：am+bm+cm=m（___________）；（2）公式法：a2-b2=__________；a2±2ab+b2=__________.活动2 探究新知1.教材第12页问题2.提出问题：（1）你能根据上述规律求出物体经过多少s落回地面吗？（2）设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.（3）你能用配方法或公式法解这个方程吗？仔细观察方程的特征，除配方法或公式法，你还能找到其他更简单的解法吗？2.解方程：（1）4x2-x=0；（2）7x-3x2=0.提出问题：（1）这两个方程中有没有常数项？等式左边的各项有没有共同因式？这两个方程中都没有常数项，左边都可以怎样？（2）这两个方程都可以写成怎样的形式？（3）如何用因式分解法解一元二次方程？活动3 知识归纳提出问题：（1）教材第12～13页“问题 2”所列方程10x-0.49x2=0是怎样求解的？运用了什么方法？（2）如何利用“由ab=0，得a=0或b=0”使二次方程降为一次方程？（3）由ab=1得a=1或b=1是否成立？说明理由.（4）什么叫做因式分解法？1.先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0 ，从而实现降次 .这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.提出问题：（1）解一元二次方程都有哪些方法？（2）探究新知第2题中的两个方程可以用配方法或公式法来求解吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.（3）用因式分解法解一元二次方程需注意哪些细节问题？2.配方法要先配方，再降次，通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为 0 ，再分别使各一次因式等于 0 .配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次 .活动4 典例赏析及练习例1 教材第14页例3.例2 若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足a2-ac-ab+bc=0，试判断△ABC的形状. 【答案】解：由a2-ac-ab+bc=0得（a-b）（a-c）=0.∴a=b或a=c.∵三角形的三边长只能为正数，∴当a=b或a=c时，△ABC是等腰三角形；当a=b=c时，△ABC是等边三角形.综上所述，△ABC是等腰三角形或等边三角形.练习：1.二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为（x+12）（x+8）；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是 x1=-12，x2=-8 .2.方程x（x+2）=-x（x+2）的根是（ B ）A.x1=0，x2=2B.x1=0，x2=-2C.x=0D.x=23.教材第14页练习第1题.4.教材第14页练习第2题.活动5 课堂小结1.这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”.在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法.2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？3.归纳解一元二次方程不同方法的优缺点.四、作业布置与教学反思。
第21章 一元二次方程——一元二次方程的解法(复习课) 2022—2023学年人教版数学九年级上册
课题：《一元二次方程的解法》复习教案一、教材分析：解一元二次方程是人教版九年级上册第21章第二节的内容，本节的主要内容是一元二次方程的解法（直接开方法、因式分解法、配方法、公式法）。
解一元二次方程在课标中的要求是：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
一元二次方程的解法是中学方程教学的重要环节，又是后续内容学习解决实际问题的基础和工具。
一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备。
学好这部分内容，对增强学生学习代数的信心具有十分重要的意义。
二、学情分析：学生已经学习了一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法后的一节复习课，已经掌握了学生的薄弱点：1.易错点：直接开平方法中，学生容易只取正的这一个根；2.配方法中，学生容易把一次项系数不除以2直接平方，个别学生会忘记平方，方程左边加了常数项，右边忘记加；公式法中，学生容易把公式中的-b记错成b,个别学生再代入系数的时候会忘记前面的负号；等等。
2.不能灵活选择解法，由于不会根据方程系数的特征找到最优解法，造成错误率提高，用时过长的弊端，从而影响到了少数学生对数学的自信心。
三、教学目标：（一）知识与技能：1.掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当的方法解方程。
2.避免易错点，提高解方程的正确率。
（二）过程与方法通过观察方程的特征选择不同解法，培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力，同时还培养学生化归的思想。
（三）情感态度价值观通过对一元二次方程解法的复习，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。
通过小组合作的形式，培养合作的习惯，提高分析的能力。
四、教学重点：掌握解一元二次方程的四种方法。
五、教学难点：会根据方程的特征灵活选用适当的方法解方程。
六、教学过程：（一）全班纠错，激发热情：教材P17习题21.2 6（3）3(1)2(1)x x x -=-作业完成中的不同解法展示：A ：解：32x =∴ 23x = ∴原方程的解是：23x = B ：解：23322x x x -=- C ：解： 23322x x x -=-235+2=0x x - 235+2=0x x -252=33x x -- 252=33x x -- 22552+()=363x x -- 2225525+()=+()3636x x -- 252()=63x -- 251()=636x - ∴原方程无解 51=66x -∴=1x∴原方程的解为：=1xD ：解：23322x x x -=-235+2=0x x -3,5,2a b c ==-=224(5)4321b ac ∆=-=--⨯⨯=21,2451223b b ac x a ±--±==⨯ ∴12213x x =-=-， ∴原方程的解是：12213x x =-=-，E ：解：3(1)2(1)0x x x ---= (1)(32)0x x --=12213x x ==， ∴原方程的解是：12213x x ==， 提出问题，小组讨论：1.以上几位同学的解法是否正确，如果不正确请指出并改正，并小组内总结出哪些地方是易错点。
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第21章 一元二次方程 21.2.3 因式分解法
快乐预习感知
1
2
3
4
5
1.方程x2-x=0的根是( C )
A.x=0
B.x=1
C.x1=0,x2=1
D.x=-1
快乐预习感知
1
2
3
4
5
2.用因式分解法把方程(x-1)(x-2)=12分解成两个一元一次方程,下
列分解中正确的是( A )
A.x-5=0,x+2=0 B.x-1=3,x-2=4
C.x-1=2,x-2=6 D.x+5=0,x-2=0
1±8
2x-1=±8,2x=1±8,x= 2 ,
9
7
所以 x1=2,x2=-2.
4
1
(2)将原方程移项,得 3x2+4x=-1,方程两边同时除以 3,得 x2+3x=-3,
4
2 2 1
2 2
配方,得 x +3x+ 3 =-3 + 3 ,
2 2
1
2
1
2
1
即 + 3 = 9,x+3=±3,x=-3 ± 3.
x2+2x=0,
因式分解得x(x+2)=0,
解得x=0或x+2=0.
即x1=0,x2=-2.
(2)整理,得(3x-1)2-[2(2x+3)]2=0,
[3x-1+2(2x+3)][3x-1-2(2x+3)]=0,
(3x-1+4x+6)(3x-1-4x-6)=0,
(7x+5)(-x-7)=0,
于是得7x+5=0或-x-7=0.
(x-1)(x+1-3)=0,
人教版九年级数学上册知识点总结：第二十一章一元二次方程
人教版九年级数学上册知识点总结第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
典型例题：1、已知关于x的方程（）x21m-+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。
21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计4
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计4一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册的教学内容，属于代数知识范畴。
通过学习因式分解法，学生能更好地理解多项式的运算，提高解决问题的能力。
本节课的内容是在学生已经掌握了多项式、单项式、同类项等基本概念的基础上进行教学的。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握因式分解法的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和独立思考的能力，对于新的知识有较强的求知欲。
但是，由于因式分解法较为抽象，部分学生在理解上可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解法的基本概念和方法，能够独立进行因式分解。
2.过程与方法：通过教师的引导和学生的实践，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极向上的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法的基本概念和方法。
2.难点：如何运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入因式分解法，让学生感受数学与生活的联系。
2.启发式教学法：教师引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣。
3.小组合作学习法：学生分组讨论，培养团队合作意识。
4.实践教学法：让学生通过动手操作，加深对因式分解法的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示因式分解法的例题和练习题。
2.教学素材：准备一些与生活相关的实例，用于导入和巩固环节。
3.教学设备：多媒体设备、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如分配律，引入因式分解法。
让学生思考：如何将一个多项式分解成几个单项式的乘积？2.呈现（10分钟）讲解因式分解法的基本概念和方法，通过例题展示因式分解的过程。
让学生跟随教师一起动手操作，加深对因式分解法的理解。
2021年因式分解所有方法归纳总结
因式分解所有方法归纳总结因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x-2x-x(201*淮安市中考题)x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b(201*南通市中考题)解a+4ab+4b=（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析1-3722-21=-19解7x-19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
湖南省吉首市河溪中学九年级数学：21.2.3因式分解法教案
（1）多项式分解的思路：学生容易在多项式分解时找不到合适的因式，需要引导他们通过观察、试错等方法找到正确的因式。
举例：多项式x^2 - 5x + 6，需要引导学生尝试分解为(x - 2)(x - 3)。
（2）平方差公式和完全平方公式的应用：学生在应用这两个公式进行因式分解时，容易混淆公式结构，需要通过对比、练习等方式加强理解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了因式分解的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对因式分解的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《因式分解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在解数学题时，是否遇到过需要将一个复杂的表达式简化的情况？”（如解二次方程时需要先因式分解）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索因式分解法的奥秘。
3.重点难点解析：在ห้องสมุดไป่ตู้授过程中，我会特别强调提公因式法、平方差公式和完全平方公式这三个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与因式分解相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的练习，让学生们尝试运用因式分解解决实际问题。
五、教学反思
在今天的因式分解法教学中，我发现学生们对于这个概念的理解程度不尽相同。有的学生能够迅速掌握因式分解的思路和方法，而有的学生则在分解过程中感到困惑。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，采取更加多样化的教学方法。
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21.（3）因式分解法
教学目的
使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．
教学重点、难点
重点：用因式分解法解一元二次方程．
难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解．
教学过程
复习提问
1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？
2．方程x2=4的解是多少？
引入新课
方程x2=4还有其他解法吗？
新课
众所周知，方程x2=4还可用公式法解．
此法要比开平方法繁冗．本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．
我们仍以方程x2=4为例．
移项，得 x2-4=0，
对x2-4分解因式，得 (x+2)(x-2)=0．
我们知道：
∴ x+2=0，x-2=0．
即 x1=-2，x2=2．
由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．
例1 解下列方程：
(1)x2-3x-10=0； (2)(x+3)(x-1)=5．
在讲例1(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；
讲例1(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．
例2 解下列方程：
(1)3x(x+2)=5(x+2)； (2)(3x+1)2-5=0．
在讲本例(1)时，要突出讲移项后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；
再利用平方差公式因式分解后求解．
注意：在讲完例1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”． 例3 解下列方程：
(1)3x 2-16x+5=0 ；(2)3(2x 2-1)=7x ．
练习：···
归纳总结
对上述三例的解法可做如下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是
1．将方程化为一般形式；
2．把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；(用初一学过的分解方法)
3．使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；
4．解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根．
布置作业：···
达标测试
1.对方程(1)(2x-1)2=5,(2)x 2-x-1=0,(3)x x x -=-3)3(选择合适的解法是
A.分解因式法、公式法、分解因式法
B.直接开平方法、公式法、分解因式法
C.公式法、配方法、公式法
D.直接开平方法、配方法、公式法
2．方程2x(x-3)=5(x-3)的根为 A.25=
x B.x=3 C.3,2521==x x D.52=x 3.若x 2-5∣x ∣+4=0,则所有x 值的和是
A ．1 B.4 C.0 D.1或4
5.若方程x 2
+ax-2a=0的一根为1,则a 的取值和方程的另一根分别是
A.1,-2
B.-1,2
C.1,2
D.-1,-2
5．已知3x 2y 2-xy-2=0，则x 与y 之积等于
6．关于x的一元二次方程(m+2)x2+x-m2-5m-6=0有一根为0，则m= 。
7．方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1,x2，且x1>x2,则x1-2x2的值是。
8．方程x2=∣x∣的解是
9.用因式分解法解下列方程:
(1).(2x-1)2+3(1-2x)=0 (2).(1-3x)2=16(2x+3)2 (3).x2+6x-7=0
10.选用适当的方法解下列方程:
(1).(3-x)2+x2=9 (2).(2x-1)2+(1-2x)-6=0
(3).(3x-1)2=4(1-x)2 (4).2(x-1)2=(1-x)
根据以上各方程的特点,选择解法的思路是:先特殊后一般.选择解法的顺序是:直接开平方法—因式分解法—公式法或配方法.
配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.
课后反思：。