【初中数学精品资料】第二十三章第2-3节中心对称;课题学习图案设计
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4. 图案设计的步骤 （1）整体构思 ①图案的设计要突出主题，即设计图案的意图，要求简捷，自然、别致，具有一定的意
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义．例如：奥运会会徽是由五个两两相联的圆环组成的，分别代表世界上五大洲的人民热爱 体育运动，携手共创美好的未来． ②确定整幅图案的形状（如圆形或正方形）和“基本图案” （不宜太复杂） ． ③构思图案的形成过程： 首先构思该图案由哪几部分构成， 再构思如何运用平移、 旋转、 轴对称等方法实现由“基本图形”到各部分图案的组合，并作出草图． （2）具体作图： 根据草图，运用尺规作图的方法，准确地作出图案． （3）对图案进行适当的修饰（如着色等） ． 三. 重点难点： 本讲重点是中心对称的性质和关于原点对称的两点间的坐标关系． 难点是正确运用中心 对称的性质解决相关问题． 四. 考点分析： 旋转和轴对称、 平移这三种图形变换关系是中考的热点问题， 通常出现一道填空题或选 择题．从近几年各地中考试卷来看，图形变换经常和三角形、四边形相联系以综合题、探究 题的形式出现，相关知识所占分值有所增加．
分析：因为长方形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，根据对称的性 质，经过对称中心的任何一条直线都将长方形的面积二等分，因此，所作的直线必须经过长 方形的两条对角线的交点； 因为圆同样是中心对称图形， 经过圆心的任何一条直线都将圆面 积二等分，所以这条直线必须经过圆的圆心．综上所述，这条直线必须是经过长方形对角线 交点和圆心的直线． 解：作长方形的两条对角线，令交点为 O1，圆的圆心为 O2，过 O1、O2 作直线 l，则这 条直线 l 将长方形和圆的面积二等分（如图所示） ．
二. 知识要点： 1. 中心对称和中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这 两个图形关于这个点对称或中心对称， 这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关 于中心的对称点． 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 这个图形叫做中心对称图形． A D
年
级
初三 安廷玲
学
科
数学
版
本
人教新课标版
内容标题 编稿老师
第二十三章 第 2－3 节 中心对称
【本讲教育信息】
一. 教学内容： 中心对称 1. 2. 3. 4. 中心对称的概念、中心对称与旋转的关系、中心对称的基本性质． 画已知图形关于已知点的对称图形． 两个关于原点对称的点的坐标间的关系． 运用轴对称、平移、旋转等变换关系及组合进行简单的图案设计．
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A
D
y 4 3 2 1 1 2 3 4 x
B
C
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
分析：找点 A 关于原点 O 的对称点 A’的坐标，可以根据关于原点对称的点的坐标的关 系，即坐标的符号相反，得 A’（4，－4） ，同理可得到其他三点的对称点的坐标． 解：由两个点关于原点对称时，它们的符号相反，得到点 A、B、C、D 关于原点对称 的对应点 A’、B’、C’、D’的坐标分别为 A’（4，－4） 、B’（4，0） 、C’（1，0） 、D’（1，－4） ， 分别画出这四个点，顺次连接，得到矩形 ABCD 关于原点 O 对称的矩形 A’B’C’D’．
【典型例题】
例 1. 如图所示， 已知平行四边形 ABCD， 画出平行四边形 ABCD 关于点 C 对称的平行四 边形 A’B’CD’．
A D C
B
分析：画平行四边形 ABCD 关于点 C 的对称图形，只要画出 A、B、D 关于点 C 的对 称点，而点 C 的对称点就是它本身． 解：连接 AC 并延长到 A’，使 CA’＝CA，延长 BC 到 B’使 CB’＝CB，延长 DC 到 D’ 使 CD’＝CD．顺次连接 A’、B’、C、D’就得到平行四边形 ABCD 关于点 C 对称的平行四边 形 A’B’CD’．
A C D B' A'
B D'
评析：画与已知图形关于某点中心对称的图形问题，思路较简单，只要分别画出图形各 个顶点关于对称中心的对称点， 再顺次连接即可， 这样就将问题转化为画点关于点的对称点 的问题． 例 2. 如图所示，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（－4，4） 、B（－4，0） 、C（－ 1，0） 、D（－1，4） ，画出矩形 ABCD，并作出与矩形 ABCD 关于原点对称的图形．
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评析：根据中心对称图形的性质：过对称中心的任一条直线能将其面积两等分，因此， 由两个中心对称图形组合而成的复合图形，经过两个中心对称图形的对称中心画一条直线， 将整个图形的面积两等分，这是等分组合图形面积的基本方法． 例 4. 用 6 根一样长的小棒搭成如图（1）所示的图形，试移动其中两根小棒使组成的图形 是中心对称图形．
A D y 4 3 2 1 B -3 -2 C 0 -1 -2 -3 -4 D' A' C' 2 3 B' x
评析：通过画出关于原点对称的图形可以验证 P（x，y）与 P’（－x，－y）关于原点对 称．如果在图中发现两个点不是关于 O 对称，就要检查改变符号是否有误或描点时是否出 错． 例 3. 如图所示，一个长方形内有任意一圆，请你用一条直线同时将圆和长方形的面积二 等分，并说明作图的道理和方法．
O B C
B A D O C
区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于某一点（对称 中心）对称叫做中心对称． 联系：如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形） ，那么这个图形是中心对 称图形．如果把一个中心对称图形中对称的部分看成两个图形，那么它们是中心对称． 2. 中心对称的性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形； （2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分； （3）如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图 形关于这一点对称； （4）过对称中心的直线把中心对称图形分为面积相等的两部分． 3. 点 P（x，y）关于原点的对称点是 P’（－x，－y） ．
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4. 图案设计的步骤 （1）整体构思 ①图案的设计要突出主题，即设计图案的意图，要求简捷，自然、别致，具有一定的意
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义．例如：奥运会会徽是由五个两两相联的圆环组成的，分别代表世界上五大洲的人民热爱 体育运动，携手共创美好的未来． ②确定整幅图案的形状（如圆形或正方形）和“基本图案” （不宜太复杂） ． ③构思图案的形成过程： 首先构思该图案由哪几部分构成， 再构思如何运用平移、 旋转、 轴对称等方法实现由“基本图形”到各部分图案的组合，并作出草图． （2）具体作图： 根据草图，运用尺规作图的方法，准确地作出图案． （3）对图案进行适当的修饰（如着色等） ． 三. 重点难点： 本讲重点是中心对称的性质和关于原点对称的两点间的坐标关系． 难点是正确运用中心 对称的性质解决相关问题． 四. 考点分析： 旋转和轴对称、 平移这三种图形变换关系是中考的热点问题， 通常出现一道填空题或选 择题．从近几年各地中考试卷来看，图形变换经常和三角形、四边形相联系以综合题、探究 题的形式出现，相关知识所占分值有所增加．
分析：因为长方形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，根据对称的性 质，经过对称中心的任何一条直线都将长方形的面积二等分，因此，所作的直线必须经过长 方形的两条对角线的交点； 因为圆同样是中心对称图形， 经过圆心的任何一条直线都将圆面 积二等分，所以这条直线必须经过圆的圆心．综上所述，这条直线必须是经过长方形对角线 交点和圆心的直线． 解：作长方形的两条对角线，令交点为 O1，圆的圆心为 O2，过 O1、O2 作直线 l，则这 条直线 l 将长方形和圆的面积二等分（如图所示） ．
二. 知识要点： 1. 中心对称和中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这 两个图形关于这个点对称或中心对称， 这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关 于中心的对称点． 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 这个图形叫做中心对称图形． A D
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初三 安廷玲
学
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数学
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内容标题 编稿老师
第二十三章 第 2－3 节 中心对称
【本讲教育信息】
一. 教学内容： 中心对称 1. 2. 3. 4. 中心对称的概念、中心对称与旋转的关系、中心对称的基本性质． 画已知图形关于已知点的对称图形． 两个关于原点对称的点的坐标间的关系． 运用轴对称、平移、旋转等变换关系及组合进行简单的图案设计．
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A
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y 4 3 2 1 1 2 3 4 x
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分析：找点 A 关于原点 O 的对称点 A’的坐标，可以根据关于原点对称的点的坐标的关 系，即坐标的符号相反，得 A’（4，－4） ，同理可得到其他三点的对称点的坐标． 解：由两个点关于原点对称时，它们的符号相反，得到点 A、B、C、D 关于原点对称 的对应点 A’、B’、C’、D’的坐标分别为 A’（4，－4） 、B’（4，0） 、C’（1，0） 、D’（1，－4） ， 分别画出这四个点，顺次连接，得到矩形 ABCD 关于原点 O 对称的矩形 A’B’C’D’．
【典型例题】
例 1. 如图所示， 已知平行四边形 ABCD， 画出平行四边形 ABCD 关于点 C 对称的平行四 边形 A’B’CD’．
A D C
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分析：画平行四边形 ABCD 关于点 C 的对称图形，只要画出 A、B、D 关于点 C 的对 称点，而点 C 的对称点就是它本身． 解：连接 AC 并延长到 A’，使 CA’＝CA，延长 BC 到 B’使 CB’＝CB，延长 DC 到 D’ 使 CD’＝CD．顺次连接 A’、B’、C、D’就得到平行四边形 ABCD 关于点 C 对称的平行四边 形 A’B’CD’．
A C D B' A'
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评析：画与已知图形关于某点中心对称的图形问题，思路较简单，只要分别画出图形各 个顶点关于对称中心的对称点， 再顺次连接即可， 这样就将问题转化为画点关于点的对称点 的问题． 例 2. 如图所示，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（－4，4） 、B（－4，0） 、C（－ 1，0） 、D（－1，4） ，画出矩形 ABCD，并作出与矩形 ABCD 关于原点对称的图形．
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评析：根据中心对称图形的性质：过对称中心的任一条直线能将其面积两等分，因此， 由两个中心对称图形组合而成的复合图形，经过两个中心对称图形的对称中心画一条直线， 将整个图形的面积两等分，这是等分组合图形面积的基本方法． 例 4. 用 6 根一样长的小棒搭成如图（1）所示的图形，试移动其中两根小棒使组成的图形 是中心对称图形．
A D y 4 3 2 1 B -3 -2 C 0 -1 -2 -3 -4 D' A' C' 2 3 B' x
评析：通过画出关于原点对称的图形可以验证 P（x，y）与 P’（－x，－y）关于原点对 称．如果在图中发现两个点不是关于 O 对称，就要检查改变符号是否有误或描点时是否出 错． 例 3. 如图所示，一个长方形内有任意一圆，请你用一条直线同时将圆和长方形的面积二 等分，并说明作图的道理和方法．
O B C
B A D O C
区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于某一点（对称 中心）对称叫做中心对称． 联系：如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形） ，那么这个图形是中心对 称图形．如果把一个中心对称图形中对称的部分看成两个图形，那么它们是中心对称． 2. 中心对称的性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形； （2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分； （3）如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图 形关于这一点对称； （4）过对称中心的直线把中心对称图形分为面积相等的两部分． 3. 点 P（x，y）关于原点的对称点是 P’（－x，－y） ．