《数列》竞赛知识小结
数列知识点总结反思文案
一、数列的定义和基本概念数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每一个数字都被称为数列的项，而数列的位置被称为项数。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列中的项可以是整数、分数、甚至是无理数，它们之间可以有各种不同的关系和规律。
数列的通项公式可以用来表示数列中的每一项，也可以用来求解数列中的任意项。
数列也可以用数学符号和记号进行表示和描述，例如用a_n表示数列中的第n项，用{a_n}表示整个数列。
在数列中，有一些基本概念和性质是非常重要的，例如首项、公差、项数、等差数列、等比数列等。
首项是数列中的第一个项，通常用a_1表示；公差是数列中相邻两项之间的差值，通常用d表示；项数是数列中的项的总数目，通常用n表示。
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数，等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数。
这些基本概念和性质不仅可以帮助我们更好地理解数列的规律和特点，还可以为我们求解数列中的各种问题提供便利。
二、数列的应用和意义数列理论在数学中有着非常广泛的应用和意义。
首先，数列理论可以帮助我们更好地理解数学规律和性质。
数列中的各种规律和特点可以帮助我们更好地理解数学中的各种问题和定理，例如等差数列、等比数列、等差级数、等比级数等，这些都是数学中非常重要的概念和工具。
其次，数列理论还可以通过数学模型来描述和解决一些实际问题，例如经济学、物理学、工程学等领域中的一些问题都可以用数列模型来描述和求解。
最后，数列理论还可以帮助我们培养逻辑思维能力、数学分析能力和问题解决能力，这对我们的数学学习和工作生活都有着非常重要的意义。
三、数列的具体应用案例数列理论在我们的日常生活中有着许多具体的应用案例。
以下是一些典型的数列应用案例：1.经济学中的利润增长模型：假设某公司每年的利润都以5%的比率增长，我们可以通过数列理论来描述和分析其利润增长的规律，帮助公司制定未来的经营策略。
2.物理学中的运动模型：假设某物体做等加速直线运动，我们可以通过数列理论来描述和分析其位置、速度和加速度之间的关系，帮助我们更好地理解和预测物体的运动规律。
数列大题知识点归纳总结
数列大题知识点归纳总结数列是数学中一个重要的概念，数列大题是考察数列相关知识的一种形式。
本文将对数列的相关知识点进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
常用的表示方法为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，第n项的值等于首项加上项数减1再乘以公差。
在计算等差数列时，可以利用常用公式：等差数列前n项和Sn=n/2(a1+an)，等差数列的前n项和等于项数乘以首项和末项的和再除以2。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列。
常用的表示方法为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，第n项的值等于首项乘以公比的n-1次方。
在计算等比数列时，可以利用常用公式：等比数列前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，等比数列的前n项和等于首项乘以1减去公比的n 次方，再除以1减去公比。
三、求和公式在一般的数列中，求解前n项和的问题较为复杂。
但对于等差数列和等比数列，可以利用求和公式快速计算前n项和。
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，等差数列的前n项和等于项数乘以首项和末项的和再除以2。
等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，等比数列的前n项和等于首项乘以1减去公比的n次方，再除以1减去公比。
四、常用性质在数列的研究中，常用的一些性质也很重要。
1. 首项与末项之和等于相邻两项之和的一半。
即a1+an=an-1+an。
2. 首项与末项之和等于中间任意两项之和的一半。
即a1+an=ak+ak+1。
3. 对于等差数列，如果求出了它的前n项和Sn，那么其后m项和Sm等于Sn减去前m项的和。
即Sm=Sn-(S1+S2+...+Sm-1)。
4. 对于等比数列，如果求出了它的前n项和Sn，那么其后m项和Sm等于Sn乘以公比的m次方减去1，再除以公比减去1。
数列的大题知识点归纳总结
数列的大题知识点归纳总结数列作为数学中的重要概念之一，在各类数学题中都有广泛的应用。
它的研究对象是具有一定规律的数值序列。
数列的研究既有其自身的基本理论，又涉及到与其他数学分支的交叉应用。
在这篇文章中，我们将对数列的大题知识点进行归纳总结。
一、数列的概念数列是由一列有序的数按照一定规律排列而形成的序列。
数列中的每个数称为数列的项，用a₁，a₂，a₃，⋯表示。
根据数列的项之间的关系不同，可以分为等差数列、等比数列、奇数列、偶数列等等。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差始终相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
其中n为项数。
等差数列的前n项和公式为Sn = n/2(a₁ + aₙ)。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比始终相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，那么数列的通项公式为aₙ = a₁q^(n-1)。
等比数列的前n项和公式为Sn = a₁(q^n - 1)/(q - 1)。
四、倒数数列倒数数列是指数列中每一项都是其前一项的倒数。
倒数数列的通项公式为aₙ = 1/(a₁ + (n-1)d)，其中a₁为首项，d为公差。
五、数列的性质1. 数列的有界性：如果一个数列的所有项都在一个范围内，那么称该数列是有界数列。
有界数列分为上有界和下有界两种情况。
2. 数列的单调性：如果数列中的每一项都比其前一项大（或小），那么称该数列是递增（或递减）数列。
3. 数列的极限：数列的极限是指随着项数的增加，数列的值趋向于一个确定的常数。
数列极限的存在性以及求解方法是数列研究的重要内容之一。
4. 数列的递推公式和通项公式：数列可以通过递推公式或通项公式来描述其项之间的关系。
5. 数列的前n项和：数列的前n项和是指数列中从首项到第n项的所有项的和。
六、数列的应用数列在数学和其他学科中有广泛的应用。
在数学中，数列应用于数学归纳法、级数等知识点的证明和计算中。
数列知识小结
数列知识小结数列是一种按照一定规则排列的数的集合。
数列是数学中非常基础且重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
数列的研究可以帮助我们了解数的规律，计算数的和、平均值等，并且在代数、微积分、概率论等各个数学分支中都有重要的应用。
数列的定义：数列是按照一定规则排列的数的集合。
数列中的每一个数称为这个数列的项，数列中的第一个项称为首项，数列中的第n个项称为第n项，数列中任意一项与它前面的项之间的差称为公差。
数列可以用通项公式表示，通项公式是关于n的函数，用来表示数列中第n项的表达式。
数列的分类：1. 等差数列：等差数列指的是数列中任意相邻两项之间的差是一个常数，这个常数称为公差。
等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项，a1是首项，d是公差。
2. 等比数列：等比数列指的是数列中任意相邻两项之间的比值是一个常数，这个常数称为公比。
等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中an是第n项，a1是首项，r是公比。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项是1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式可以表示为an = an-1 + an-2，其中an是第n项。
数列的性质：1. 数列的前n项和：数列的前n项和表示的是数列中从第一项到第n项之间所有项的和。
等差数列的前n项和可以用公式Sn = (a1+an)*n/2表示，其中a1是首项，an是第n项，n是项数。
等比数列的前n项和可以用公式Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)表示，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
2. 数列的通项和递推关系：数列的通项公式可以通过递推关系定义，即通过已知的前几项推导出通项公式。
递推关系通常是一个递归表达式，其中前几项的关系用于推导出下一项的值。
3. 数列的极限：数列的极限表示的是当项数趋于无穷大时，数列的值趋于的一个实数。
数列存在极限的条件是数列既有上界又有下界，并且数列的公差或公比在一定的条件下满足特定的约束。
奥数数列知识点归纳总结
奥数数列知识点归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是奥数中常见的考点之一。
掌握数列的相关知识点对于解题非常有帮助。
本文将对奥数中常见的数列知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用数列的概念。
一、数列的定义数列是一组按照一定顺序排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为该数列的项。
通常用字母表示数列的项，如a₁、a₂、a₃等。
二、等差数列1. 定义：在等差数列中，从第二项开始，每一项与前一项之差都相等。
这个公差用d表示。
2. 常见公式：- 第n项通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d- 前n项和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2三、等比数列1. 定义：在等比数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等。
这个比值用q表示。
2. 常见公式：- 第n项通项公式：aₙ = a₁ × q^(n - 1)- 前n项和公式（当|q| < 1）：Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) ÷ (1 - q)四、特殊的数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。
- 常见公式：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁五、常见数列问题解析1. 求特定项的值：利用等差数列或等比数列的通项公式，可以直接计算出特定项的值。
2. 求前n项的和：利用等差数列或等比数列的前n项和公式，可以很方便地求得前n项的和。
3. 求公差或公比：已知数列的前几项，可以通过求项与项之间的差或比值，从而推断出公差或公比的值。
4. 求满足条件的项数：已知数列的某些项或数列的前n项和，可以通过代入公式，求解满足条件的项数。
六、实例分析例1：已知等差数列的公差为3，第5项为10，求该等差数列的第10项和前10项的和。
解析：根据已知信息，可得到a₁ = 10 - 4 × 3 = -2，代入通项公式可计算得到第10项的值为82，代入前n项和公式可计算得到前10项的和为202。
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结一、定义数列是由一列有限或无限多个数按照一定的规律排列而成的集合。
其中，每个数称作数列的项，每项之间的间隔称作公差。
二、等差数列1. 定义等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
2. 性质（1）首项 a1，公差 d（2）第 n 项 an = a1 + (n-1)d（3）前 n 项和Sn = (a1 + an) × n ÷ 2 = n[a1 + a(n-1)/2]3. 求和（1）连续求和法若已知数列的首项、尾项及项数，则可以使用连续求和法求和。
公式如下：S = (a1 + an)× n ÷ 2（2）差数求和法若已知数列的首项、公差及项数，则可以使用差数求和法求和。
公式如下：S = n[a1 + a(n-1)/2]4. 应用（1）找公差通过两个连续的数的差来求得公差。
（2）求某一项通过公式 an = a1 + (n-1)d 来求某一项。
（3）求和通过公式 Sn = n[a1 + a(n-1)/2] 来求和。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
2. 性质（1）首项 a1，公比 q（2）第 n 项an = a1 × q^(n-1)（3）前 n 项和 Sn = a1 (q^n - 1) ÷ (q - 1)3. 求和（1）分步求和法将等比数列分为两个等差数列求和。
将等比数列的第一项乘上公比 q，得到一个新的等比数列，其首项为a1 × q，公比为 q，使用等差数列求和公式求和。
两次求和结果相加即为等比数列的和。
（2）直接求和法使用公式 Sn = a1 (q^n - 1) ÷ (q - 1) 直接求和。
四、通项公式1. 概念通项公式是指数列中任意一项的计算公式。
通过通项公式，可以方便地计算数列中的任何一项。
2. 求法根据已知条件，列出数列的一般式或递推式，然后解出通项公式。
五、等差数列与等比数列的比较1. 不同点（1）等差数列中相邻两项的差相等，等比数列中相邻两项的比相等。
数列考试知识点总结
数列考试知识点总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合，数列中的每个数称为数列的项。
数列可以是无限项或有限项。
1.2 数列的表示方法数列可以用通项公式、递推公式和数列的前n项求和公式来表示:（1）通项公式： $a_n=f(n)$（2）递推公式： $a_{n+1}=f(a_n)$（3）数列的前n项求和公式： $\sum_{k=1}^{n} a_k$1.3 等差数列等差数列是指相邻两项之差保持不变的数列，通项公式为:$a_n=a_1+(n-1)d$其中，$a_1$为首项，$d$为公差。
等差数列的性质包括：任意项与它对应的倒数项之和相等；任意项与它对应的中项之和相等；前n项和公式等。
1.4 等比数列等比数列是指相邻两项之比保持不变的数列，通项公式为:$a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$其中，$a_1$为首项，$q$为公比。
等比数列的性质包括：任意项与它对应的倒数项之积相等；任意项与它对应的中项之积相等；前n项和公式等。
1.5 通项公式与递推公式的相互转化对于等差数列或等比数列，可以通过已知通项公式求递推公式，或者通过已知递推公式求通项公式。
1.6 数列的基本操作（1）对数列进行加减乘除：对数列中的每一项进行相应的运算；（2）对数列进行平移操作：将数列中的每一项加上（或减去）相同的数值；（3）对数列进行伸缩操作：将数列中的每一项乘以（或除以）相同的数值。
二、数列求和2.1 数列的前n项和对于数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其前n项和为$S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k$，可以通过直接求和或利用数列的特殊性质来求解。
2.2 等差数列前n项和公式等差数列前n项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$a_n$是数列的第n项。
2.3 等比数列前n项和公式等比数列前n项和公式为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比。
数列知识点总结
数列知识点总结一、数列的定义数列是按照一定顺序排列的一列数。
例如，1，2，3，4，5……就是一个自然数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的首项，通常用\（a_1\）表示。
二、数列的分类1、按项数分有限数列：项数有限的数列。
无限数列：项数无限的数列。
2、按项之间的大小关系分递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它前面的一项。
递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它前面的一项。
常数列：各项都相等的数列。
摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项。
三、数列的通项公式如果数列\（＼｛a_n\｝＼）的第\（n\）项\（a_n\）与\（n\）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式。
通项公式可以帮助我们直接求出数列中的任意一项。
例如，数列 2，4，6，8，10……的通项公式为\（a_n ＝ 2n\）。
四、数列的递推公式如果已知数列的第 1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项\（a_n\）与它的前一项\（a_{n 1}＼）（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。
比如，斐波那契数列\（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ＼cdots\），其递推公式为\（a_{n ＋ 2} ＝ a_{n ＋ 1} ＋ a_n\），＼（a_1 ＝ a_2 ＝ 1\）。
五、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用\（d\）表示。
2、通项公式＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）例如，在等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 3\），＼（d ＝ 2\），则\（a_5 ＝ 3 ＋（5 1)×2 ＝ 11\）。
3、等差中项若\（a\），＼（b\），＼（c\）成等差数列，则\（b\）叫做\（a\），＼（c\）的等差中项，且\（b ＝＼frac{a ＋ c}｛2}＼）4、前\（n\）项和公式＼（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2} ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）六、等比数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用\（q\）表示（＼（q ＼neq 0\））。
数列知识点总结反思
数列知识点总结反思一、数列的概念和性质1. 数列的概念数列是按照一定的顺序排列的数的集合，通常用{ }或者a1, a2, a3, …, an 的形式表示。
其中a1为数列的第一项，an为数列的第n项。
数列中的每个数称为数列的项，数列一般用n表示项数，称为数列的通项。
数列通常用递推关系式表示，即通过前一项来求后一项。
2. 数列的常见类型常见的数列类型有等差数列、等比数列、费波那契数列等。
其中等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，费波那契数列的递推关系式为an = an-1 + an-2。
另外，数列还可以分为有限数列和无限数列，有限数列指的是数列中的项数是有限个，无限数列指的是数列中的项数是无限个。
3. 数列的性质数列有许多特殊的性质，比如若数列a1, a2, a3, …, an是等差数列，则n个数的和Sn为Sn = (a1 + an) * n / 2；若数列a1, a2, a3, …, an是等比数列，则n个数的和Sn为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
另外，我们还可以通过导数的概念来求等差数列的前n项和，以及等比数列的前n项和。
二、数列的应用1. 数列在数学中的应用数列在数学中有广泛的应用，比如在微积分中，我们可以用数列的概念来定义极限，重要的数学定理中也包含了数列的相关内容，比如数列极限定理、等比数列求和公式等；在代数学中，数列可以用来表示数学公式的一般形式以及研究多项式的性质等；在组合数学中，数列通常用来解决排列组合等问题。
2. 数列在物理中的应用物理中很多问题都可以用数列来描述，比如匀速直线运动问题中的位置数列、速度数列、加速度数列等。
另外，阻尼振动问题中的位移数列、速度数列、加速度数列等也都可以通过数列来描述。
3. 数列在经济学中的应用在经济学领域中，数列也有着广泛的应用。
比如经济学家通过对某一地区某一产业的生产情况进行调查，可以得到一个数列数据，这个数列可以反映某一产业的发展趋势。
小学数学知识竞赛的数列与函数掌握技巧
小学数学知识竞赛的数列与函数掌握技巧数学是一个重要的学科，而在小学数学知识竞赛中，数列与函数是一个常见的题型。
为了在竞赛中取得好成绩，掌握数列与函数的技巧非常关键。
本文将为大家介绍小学数学知识竞赛中数列与函数的基本概念，以及掌握这些技巧的方法。
一、数列的基本概念与性质数列是由一列数字构成的有序集合。
在数学竞赛中，常见的数列有等差数列和等比数列。
等差数列是指相邻两项之差都相等的数列，而等比数列是指相邻两项之比都相等的数列。
了解数列的基本概念对于解题非常重要。
1.1 等差数列的性质对于等差数列，有以下几个重要的性质：1. 公差：等差数列相邻两项之差称为公差，通常用字母d表示。
2. 通项公式：对于等差数列an，若已知首项a1和公差d，则第n项可表示为：an = a1 + (n-1)d。
3. 前n项和公式：对于等差数列an，前n项和Sn可表示为：Sn = (a1 + an) * n / 2。
1.2 等比数列的性质对于等比数列，有以下几个重要的性质：1. 公比：等比数列相邻两项之比称为公比，通常用字母q表示。
2. 通项公式：对于等比数列an，若已知首项a1和公比q，则第n项可表示为：an = a1 * q^(n-1)。
3. 前n项和公式：对于等比数列an，若公比q不等于1，则前n项和Sn可表示为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
二、数列题型解题技巧在小学数学知识竞赛中，常见的数列题型有填空题、计算题和推理题。
掌握解题技巧对于有效解决这些题目非常重要。
2.1 填空题填空题是指在给定的数列中，求特定项的值。
在解决填空题时，首先需要明确数列的类型（等差数列还是等比数列），并根据已知条件逐步推导出未知项的值。
常用的方法有代入法、通项公式以及观察规律法。
例如，给定等差数列的首项a1和公差d，求第n项的值an。
可以通过代入法计算an = a1 + (n-1)d。
2.2 计算题计算题是指给定数列的前n项和或者数列中的某几项，求解其他未知项或者其他相关数值。
关于数列的知识点总结归纳
关于数列的知识点总结归纳【关于数列的知识点总结归纳】一、数列的定义和基本概念数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的序列。
其中，每个数字称为数列的项，项的位置称为项数。
二、数列的分类1.等差数列等差数列是指数列中各项之间的差值相等的数列。
其中，差值称为公差。
常用符号表示为an=a1+(n-1)d。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2.等比数列等比数列是指数列中各项之间的比值相等的数列。
其中，比值称为公比。
常用符号表示为an=a1*r^(n-1)。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和的数列。
其中，首项和次项为1，即F1=F2=1，第n项的值为Fn=Fn-1+Fn-2。
4.等差减数列等差减数列是指数列中各项之间的差值递减的数列。
例如，1，2，4，7，11就是一个等差减数列。
5.等差倍数数列等差倍数数列是指数列中各项之间的差值递增的数列，并且差值是递增的倍数关系。
例如，1，2，6，15，31就是一个等差倍数数列。
三、数列的性质和定理1.递推公式递推公式是指通过前面几个项计算后面项的公式。
根据不同数列的特点，可以得到相应的递推公式。
2.通项公式通项公式是指通过项数n直接计算出第n项的公式。
根据不同数列的特点，可以得到相应的通项公式。
3.前n项和公式前n项和公式是指数列前n项的和的公式。
通过该公式，可以快速计算数列前n项的和。
例如等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2。
4.数列的求和法则根据数列的性质，可以得到各类数列的求和法则。
例如，等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2，等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
5.数列的性质和规律数列中的项之间存在着一定的性质和规律，比如等差数列的项与项之差相等，等比数列的项与项之比相等等。
《数列》竞赛知识小结
《数列》竞赛知识总结【不动点法】一阶分式型递推数列()10n n n ax b x ad bc cx d++=-≠+以及给定1a的统一求法：对于函数)(x f ，满足)(00x f x =的点))(,(00x f x 称作函数)(x f 的不动点.而我们称满足dcy b ay y ++=的y 为具有递推公式dcx b ax x n n n ++=+1的数列的不动点.（1）当d cx bax x n n n ++=+1有两个不动点21,y y 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21y x y x n n 成等比数列，且11111222n n n n x y x y a cy x y a cy x y ++---=⋅---. （2）当d cx bax x n n n ++=+1只有有一个不动点y 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-y x n 1成等差数列.且1121n n c x y a d x y+=+-+-.【特征根法】一般地，我们称由初始值12k a a a ⋯，，，及递推关系()1122n k n k n k k n a c a c a c a f n ++-+-⋯=++++所确定的数列为k 阶常系数线性递归数列，其中1c ，2c ，…，k c 为常数，且0k c ≠．当()0f n =时，称为常系数齐次线性递归数列（又称为k 阶循环数列）．我们把对应于常系数齐次线性递归数列1122n k n k n k k n a c a c a c a ++-+-⋯=+++①的方程1212k k k k x c x c x c --⋯=+++②称为其特征方程，方程的根称为{}n a 的特征根．下面不加证明地引进两个定理．定理1 若递推关系①对应的特征方程②有k 个不同的单根1x ，2x ，…，k x ，那么1122n n nn k k a A x A x A x ⋯=+++，其中1A ，2A ，…，k A 是待定系数，可由初始值确定．定理2 若递推关系①对应的特征方程②有不同的特征根1x ，2x ，…，()s x s k <，其中()1i x i s ≤≤是②的i t 重根，12s t t t k ⋯+++=，那么()()()1122n nn n s s a A n x A n x A n x ⋯=+++，其中()()()()112s i i i i t i t A n B B n B n -⋯=+++，12i =，，…，s ．这里的()1i B ，()2i B ，()i it B （12i =，，…，s ）是待定系数，可由初始值确定．二阶线性递推数列n n n qa pa a +=++12,（1.1）以及给定初始项21,a a 的统一求法：我们称方程q px x+=2为具有递推形式n n n qa pa a +=++12的二阶线性递推数列n n n qa pa a +=++12的特征方程.(1)若(1.1)的特征方程有两个不同的根βα,，则nnn y x a βα⋅+⋅=，式中的y x ,由n=1,2时给定的21,a a 确定;(2)若特征方程有两个相同的根α，则令nn y xn a α)(+=，其中y x ,由给定的21,a a 确定;(3)特征方程有两个虚根，则.【数学归纳法】⑴第一数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果①当00()n n n =∈N 时，()P n 成立；②假设(,)n k k n k =≥∈N 成立，由此推得1n k =+时，()P n 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，()P n 成立．⑵第二数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当00()n n n =∈N 时，()P n 成立；②假设(,)n k k n k ≤≥∈N 成立，由此推得1n k =+时，()P n 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，()P n 成立．【求和公式法】1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。
数列知识点竞赛
数列知识点竞赛数列是数学中重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
数列知识点竞赛将考察参赛者对数列的理解和运用能力。
在这篇文章中，我们将逐步介绍数列的基础知识、常见类型以及解题技巧。
第一步：了解数列的定义和基本性质数列是按照一定的顺序排列的一组数，其中每个数被称为数列的项。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
我们通常用字母表示数列的项，例如：a1, a2, a3, …，其中ai表示第i个项。
数列的基本性质包括首项、公差和通项公式。
首项是数列中的第一个数，通常用a1表示；公差是相邻两项的差值，通常用d表示；通项公式是通过首项和公差来计算数列中任意一项的公式。
第二步：熟悉常见的数列类型在数列知识点竞赛中，常见的数列类型包括等差数列、等比数列和斐波那契数列。
1.等差数列：等差数列中相邻两项之差是常数，这个常数就是公差d。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数。
2.等比数列：等比数列中相邻两项的比是常数，这个常数就是公比q。
等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。
3.斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
即F1 = F2 = 1，Fn = Fn-1 + Fn-2。
第三步：掌握解题技巧在数列知识点竞赛中，解题技巧非常重要。
以下是一些常用的解题技巧：1.求和公式：对于等差数列和等比数列，有特定的求和公式。
等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，等比数列的前n项和公式为Sn =a1(1 - q^n)/(1 - q)。
2.找规律：观察数列中的项之间的关系，尝试找到规律。
有时候，规律可以帮助我们快速计算数列中的某一项或某几项。
3.利用已知条件：有时候题目中已经给出了数列的一些条件，我们可以利用这些条件来解题。
例如，已知数列的首项和公差，可以计算出数列的任意一项。
数列必考知识点总结
数列必考知识点总结一、数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数，数列中的每个数称为数列的项。
数列通常用字母a1, a2, a3, ... 或者 {an} 来表示。
例如，1, 3, 5, 7, ... 就是一个数列，其第n个项为2n-1。
数列也可以是无穷的，例如1, 2, 3, 4, ... 就是一个无穷数列。
二、数列的性质1.有界数列：如果存在一个常数M，使得对于数列{an}中的每一个项都有|an|≤ M，那么称{an}是有界的。
2.单调数列：如果对于数列{an}中的每一个项都有an≤ an+1或者an≥ an+1，那么称{an}是单调的。
3.等差数列：如果数列{an}的相邻两项之差是一个常数d，即an+1 - an = d ，那么称{an}是等差数列，这个常数d称为公差。
4.等比数列：如果数列{an}的相邻两项之比是一个常数q(不等于0)，即an+1 / an = q，那么称{an}是等比数列，这个常数q称为公比。
三、数列的通项公式通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。
有界等差数列、无穷等差数列、有界等比数列、无穷等比数列都有特定的通项公式。
有界等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d无穷等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d有界等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)无穷等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)四、数列的求和公式求和公式用来表示数列前n项的和。
有界等差数列、无穷等差数列、有界等比数列、无穷等比数列都有特定的求和公式。
有界等差数列的前n项和公式为：Sn = n(a1 + an) / 2无穷等差数列的前n项和公式为：Sn = n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2有界等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)无穷等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 / (1 - q)五、常见问题类型1.已知数列的通项公式，求第n项；2.已知数列的通项公式，求前n项和；3.已知数列的前n项和，求通项公式；4.已知数列的性质，如有界性、单调性、等差等比，求相关参数。
数学数列题型知识点总结
数学数列题型知识点总结一、数列的定义和基本概念1. 数列的定义数列是由一系列按照一定规律依次排列的数字组成的序列。
数列中的每一个元素都有一个确定的位置，用自然数表示，这个位置称为该元素的序号或索引。
2. 数列中的相关名词（1）一般数列：按照某种规律排列的数据组成的序列称为一般数列。
（2）等差数列：如果一个数列中任意两个相邻的数之差都是同一个常数d，那么这个数列就是等差数列。
（3）等比数列：如果一个数列中任意两个相邻的数之比都是同一个常数q，那么这个数列就是等比数列。
（4）递推关系式：数列中相邻两项之间的关系式称为递推关系式。
通过递推关系式可以求出数列中的任意一项。
（5）通项公式：能够通过数列的位置n和数列中前n项的关系来表达数列中任意一项的式子称为数列的通项公式。
二、等差数列1. 等差数列的性质（1）公式：an=a1+(n-1)d（2）前n项和：Sn=n*(a1+an)/2（3）通项公式：an=a1+(n-1)*d（4）任意三项的关系：an=a1+(n-1)d，an-1=a1+(n-2)d，an-2=a1+(n-3)d2. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有着广泛的应用，比如物理学、经济学、工程学等领域。
通过等差数列的概念和性质，我们可以方便地进行一些实际问题的分析和计算。
三、等比数列1. 等比数列的性质（1）公式：an=a1*q^(n-1)（2）前n项和：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)（3）通项公式：an=a1*q^(n-1)（4）任意三项的关系：an=a1*q^(n-1)，an-1=a1*q^(n-2)，an-2=a1*q^(n-3)2. 等比数列的应用等比数列在实际问题中同样有着广泛的应用，比如金融领域中的复利计算、生物领域中的生长规律、物理领域中的振动规律等。
通过等比数列的概念和性质，我们可以方便地进行一些实际问题的分析和计算。
四、数列的递推关系式1. 递推关系式的定义数列中相邻两项之间的关系式称为递推关系式。
数学竞赛中的数列知识点总结
数学竞赛中的数列知识点总结数学是一门非常重要的学科，在人们的生活中发挥着重要的作用。
而数学竞赛，则是数学中的一项重要活动，许多学生都对数学竞赛充满了热情。
数列作为数学竞赛中的重要知识点，不仅需要我们掌握基本概念和定义，还需要我们掌握应用技巧和解题方法，才能在数学竞赛中取得好成绩。
本文将对数学竞赛中的数列知识进行总结和归纳，给广大学生提供一些帮助。
一、数列的基本概念和定义1. 数列的定义数列是指按照一定规律排列在一起的一组数，通常用$a_1,a_2, ..., a_n$表示，其中$a_i$表示数列中的第$i$个数。
例如：$1,3,5,7,9$就是一个数列，其中$a_1=1,a_2=3,a_3=5,a_4=7,a_5=9$。
2. 数列的公式数列的一般形式可以用通项公式来表示。
通项公式是指数列中每一项都可以用一个公式来表示。
例如数列$1,3,5,7,9$的通项公式为$a_n=2n-1$，其中$n$是数列中的项数。
3. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差相等的数列，这个相等的差叫做等差数列的公差。
例如数列$1,3,5,7,9$就是一个公差为$2$的等差数列，其通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。
4. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比相等的数列，这个相等的比叫做等比数列的公比。
例如数列$1,2,4,8,16$就是一个公比为$2$的等比数列，其通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$n$是项数。
二、数列的应用技巧和解题方法1. 等差数列求和等差数列的和可以用以下公式来求得：$$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$$其中$S_n$表示前$n$项的和，$a_1$表示首项，$a_n$表示第$n$项。
这个公式可以有效地解决等差数列求和的问题。
2. 等比数列求和等比数列的和可以用以下公式来求得：$$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$$其中$S_n$表示前$n$项的和，$a_1$表示首项，$q$表示公比，$n$表示项数。
高中数学竞赛专题精讲11数列(含答案)
11数列一、数列的基础知识1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ；2．递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。
常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =Aαn +Bβn ，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
二、等差数列与等比数列1．定义：2．通项公式与前n 项和公式：函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。
可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。
三．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？数列问题的综合性主要表现在1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换．数列问题的灵活性表现在：1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算．2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系．例题讲解1．已知(b －c )log m x +(c －a )log m y +(a －b )log m z ＝0 ①(1) 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差不为0，求证x 、y 、z 成等比数列；(2) 若x 、y 、z 依次成等比数列，且公比不为1，求证a 、b 、c 成等差数列．2. 数列｛a n ｝的 前 n 项 和S n ＝a · 2n + b （n ∈N ），则｛a n ｝为等比数列的充要条件是________．3.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S7＝56，S n＝420，a n－3＝34，则n＝________．4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S135. 各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为S n，若S10=10，S30=70，求S40。
小学数学竞赛中的数列与函数知识点
小学数学竞赛中的数列与函数知识点数学竞赛在小学阶段发展迅速，数列与函数是其中重要的知识点之一。
本文将介绍小学数学竞赛中的数列与函数知识点，帮助读者更好地理解和应用。
一、数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一组数，有时也称为序列。
数列中的每个数称为项，用字母a、b、c等表示。
数列的一般形式可以写作{a₁，a₂，a₃，……}。
对于数列来说，以下几个重要的性质需要掌握：1. 公式：数列中的每一项都可以通过某个确定的公式计算得到。
2. 公差：数列中相邻两项之间的差值，称为公差。
常使用d表示公差。
3. 首项和末项：数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。
4. 通项公式：数列中任意一项的计算公式，表示为aₙ = f(n)，其中n代表项数。
5. 等差数列：如果一个数列中相邻两项之间的差值相等，则称该数列为等差数列。
6. 递推公式：等差数列中，通过已知的前一项计算下一项的公式，称为递推公式。
二、常见数列及其应用在小学数学竞赛中，常见的数列包括等差数列、等比数列和斐波那契数列。
了解这些数列的性质和应用，能够更好地解决与数列相关的问题。
1. 等差数列等差数列是最基础的一种数列。
它的每一项与前一项之差都相等。
常用公式表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d为公差。
2. 等比数列等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。
常用公式表示为：aₙ = a₁ * r^(n - 1)，其中a₁为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是由0和1开始，后面的每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为：Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂。
三、函数的概念和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在数学竞赛中，常见的函数包括一次函数、二次函数和绝对值函数。
1. 一次函数一次函数的表达式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
一次函数的图像为一条直线，通过两个点就可以确定一条直线。
数列大题知识点总结
数列大题知识点总结一、数列的定义：数列是指用一对大括号括起来的按一定顺序排列的数的有限或无限集合，其中，每一个数叫做这个数列的项。
例子：1、1，2，3，4，5……这是一个从1开始的正整数数列；2、-1，2，-3，4，-5……这是一个交错数列，每一个项都是符号与前一项相反的整数；3、1，2，4，8，16……这是一个等比数列，它的每一项是前一项的2倍；4、1，1，2，3，5，8……这是一个斐波那契数列，它的每一项都是前两项之和。
二、数列常用的表示方法：1、通项公式：数列的第n项与n之间的关系式；2、递推公式：数列中的项之间的关系式；3、数列表示：将数列写在一起；4、数列的四则运算：数列之间的加减乘除运算。
三、等差数列的性质：1、n项和公式：$S_n=n(a_1+a_n)/2$;2、通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$四、等比数列的性质：1、n项和公式：$S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)$;2、通项公式：$a_n=a_1*q^{n-1}$五、数列的和：1、有限项和：将数列的前n项相加；2、无限项和：如果数列的项依次增大或减小，并且绝对值趋近于0，那么这个数列的和称为无穷级数的和。
六、常见的数列：1、等差数列：数列中任意两个相邻项的差是一个相同的常数，这个常数叫做公差，通常用字母d表示；2、等比数列：数列中任意两个相邻项的比是一个相同的常数，这个常数叫做公比，通常用字母q表示；3、斐波那契数列：数列中的每一项都是前两项之和的数列，通常用字母f(n)表示，即$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$七、数列的应用：数列是数学中重要的基本概念，它在各个领域都有广泛的应用，比如：1、金融领域：等比数列和等差数列的应用；2、物理学：数学原理的推导；3、计算机科学：编程中的算法设计；4、经济学：模型的构建；5、统计学：数据分析和预测。
综上所述，数列是数学中的一个重要概念，它在数学和其他学科中都有重要的应用，掌握数列的基本概念和性质，能够帮助我们更好地理解和运用数学知识，解决实际问题。
省考数列知识点归纳总结
省考数列知识点归纳总结数列是数学中常见的一种数学对象，在省考中也是一个重要的考点。
本文将对数列的知识点进行归纳总结，以帮助考生更好地理解和掌握数列的概念、性质和求解方法。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按一定规律排列的一列数，数列中的每个数称为项。
2. 数列的通项公式：如果数列的第n项可以用n的某个函数来表示，我们就称这个函数为数列的通项公式。
3. 数列的递推关系：数列的递推关系指的是通过前一项或几项来确定下一项的关系式。
4. 等差数列：等差数列指的是数列中任意两个相邻项的差都相等的数列。
- 等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
- 等差数列的前n项和：Sn = (a1 + an)n/2二、等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，常见的应用场景包括：1. 平均数的性质：一个等差数列的首项、末项和中间项的平均数相等。
2. 等差数列的长度：给定等差数列的首项、末项和公差，可以通过等差数列的通项公式计算出数列的长度。
3. 某项的值：已知等差数列的首项、公差和项数，可以通过递推关系计算出任意一项的值。
4. 求和问题：给定等差数列的首项、末项和项数，可以通过等差数列的前n项和公式计算出数列的和。
三、等比数列的性质和应用1. 等比数列的定义：等比数列指的是数列中任意两个相邻项的比值都相等的数列。
2. 等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 等比中项的概念：等比数列中两个连续项的平方根称为等比数列的等比中项。
4. 等比数列的前n项和：Sn = (a1 * (1 - r^n))/(1 - r)，其中a1为首项，r为公比。
四、数列求和的方法1. 等差数列求和：根据等差数列的前n项和公式，可直接计算等差数列的和。
2. 等差数列求和的变形：当等差数列的首项、末项和和项数中两个已知，可以通过求解方程或利用性质进行计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【不动点法】一阶分式型递推数列()10n n n ax b x ad bc cx d++=-≠+以及给定1a的统一求法：对于函数)(x f ，满足)(00x f x =的点))(,(00x f x 称作函数)(x f 的不动点.而我们称满足dcy b ay y ++=的y 为具有递推公式dcx b ax x n n n ++=+1的数列的不动点.（1）当d cx bax x n n n ++=+1有两个不动点21,y y 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21y x y x n n 成等比数列，且11111222n n n n x y x y a cy x y a cy x y ++---=⋅---. （2）当d cx bax x n n n ++=+1只有有一个不动点y 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-y x n 1成等差数列.且1121n n c x y a d x y+=+-+-. 【特征根法】一般地，我们称由初始值12k a a a ⋯，，，及递推关系()1122n k n k n k k n a c a c a c a f n ++-+-⋯=++++所确定的数列为k 阶常系数线性递归数列，其中1c ，2c ，…，k c 为常数，且0k c ≠．当()0f n =时，称为常系数齐次线性递归数列（又称为k 阶循环数列）．我们把对应于常系数齐次线性递归数列1122n k n k n k k na c a c a c a ++-+-⋯=+++①的方程1212k k k kx c x c x c --⋯=+++②称为其特征方程，方程的根称为{}n a 的特征根．下面不加证明地引进两个定理．定理1 若递推关系①对应的特征方程②有k 个不同的单根1x ，2x ，…，k x ，那么1122n n nn k k a A x A x A x ⋯=+++，其中1A ，2A ，…，k A 是待定系数，可由初始值确定．定理2 若递推关系①对应的特征方程②有不同的特征根1x ，2x ，…，()s x s k <，其中()1i x i s ≤≤是②的i t 重根，12s t t t k ⋯+++=，那么()()()1122n nn n s s a A n x A n x A n x ⋯=+++，《数列》竞赛知识总结其中()()()()112s i i i i t i t A n B B n B n -⋯=+++，12i =，，…，s ．这里的()1i B ，()2i B ，()i it B （12i =，，…，s ）是待定系数，可由初始值确定．二阶线性递推数列n n n qa pa a +=++12,（1.1）以及给定初始项21,a a 的统一求法：我们称方程q px x+=2为具有递推形式n n n qa pa a +=++12的二阶线性递推数列n n n qa pa a +=++12的特征方程.(1)若(1.1)的特征方程有两个不同的根βα,，则nnn y x a βα⋅+⋅=，式中的y x ,由n=1,2时给定的21,a a 确定;(2)若特征方程有两个相同的根α，则令nn y xn a α)(+=，其中y x ,由给定的21,a a 确定; (3)特征方程有两个虚根，则.【数学归纳法】⑴第一数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果①当00()n n n =∈N 时，()P n 成立；②假设(,)n k k n k =≥∈N 成立，由此推得1n k =+时，()P n 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，()P n 成立．⑵第二数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果①当00()n n n =∈N 时，()P n 成立；②假设(,)n k k n k ≤≥∈N 成立，由此推得1n k =+时，()P n 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，()P n 成立． 【求和公式法】1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：（1）1q =，1n S na =；（2）1q ≠，()111n n a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21n k k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)nk k =-=∑2135(21)n n ++++-=.【倒序相加法】如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.【错位相减法】适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b ⋅叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和.【裂项相消法】即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
这是分解与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 适用于1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭，其中{}n a 是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
其基本方法是()()1n a f n f n =+-. 常见裂项公式： （1）111(1)1n n nn ++=-，1111()()n n k k nn k++=-；111111()n n n n a a d a a ++=-⋅（{}n a 的公差为d ）；（21d=.（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）； （3）1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-；（4）1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+；)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ； （5）nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则； （6）nn n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+； （7）11(1)!!(1)!n n n n ++=-；（8）常见放缩公式：212=.nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 111)1(111)1(11111211212)12)(12(4144441111121)1)(1(1111222222--=-<⋅=<+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+=-<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+=-<（9）()1!!!n n n n ⋅+-=（10）()()()1112n n n n n =⋅+--⋅()()()()()()1121131n n n n n n n n =⋅+⋅+--⋅⋅+⋅+()()()()()()()()()1123112412n n n n n n n n n n n =⋅+⋅+⋅+--⋅⋅+⋅+⋅+⋅+（11）()()2arccot1arctan 1arctan nn n n++=+-（12） （13） （14） （15）2221cos sin 2cos cos2sin 2sin 2sin 2ααααααα+-==cos cos 2cot cot 2sin sin 2αααααα=-=-111c o t c o t 2s i n 2s i n 4s i n 2n n x x x x x ⋯+++=-，n 是正整数，实数π2k x λ≠（012k n λ⋯=，，，，，是整数）， （16）()()cos 12cos cos cos 1l l l αααα+=⋅--（17）()()2sin sin 21cos 22cos2x k x k x kx-=--【分组求和法】有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 【几种常见类型的周期数列】形如()111n n a n N a ++=-∈+；形如111n na a +=-()n N +∈；形如()21n n n a a a n N +++=-∈；形如()111nn na a n N a +++=∈-；形如()11n n a a n N ++=-∈（等和数列）【斐波那契数列】11n n n f ++⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦【无穷级数等式,欧拉常数】22116n n π∞==∑【无穷等比数列求和】无穷等比数列{}n a 首项为1a ，公比为()1q q <，则无穷项之和11a S q=-. 212n n-<；221n n >-11(1)()n a b a a b -≤>≥-；1n na b -11(1).()n a b a a b -≤>≥-1n a b-。