定积分在几何学上的应用(比赛课教案).doc

定积分在几何学上的应用 ( 比赛课教案 )

教学题目：

选修 2-2 1.7.1定积分在几何中的应用

教学目标：

一、知识与技能：

1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微

积分的基本定理；

2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法

3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法

二、过程与方法：

1.探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

三、情感态度与价值观：

探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；

教学重点：

应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的

价值。

教学难点：

如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

课型、课时：

新课，一课时

教学工具：

常用教具，多媒体， PPT课件

教学方法：

引导法，探究法，启示法

教学过程

当 f(x) 0 时，积分 b y=f (x)、

f (x)dx 在几何上表示由x

a

a、x b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。

y f (x)

O a b x

O a b x

y f (x)

当 f ( x) b f (x)dx 在几何上表示y f ( x)、x a、x b 与 x 轴

0时由积分

a

b

f ( x ) dx c

f ( x ) dx

b

f ( x ) dx 。

所围成的曲边梯形面积的负值 a S a c

类型 1. 求由一条曲线 y=f(x) 和直线 x=a,x=b(a

面图形的面积 S

y

y y f (x)

y f (x)

o a b x o a c b x

(1) b

f ( x) dx

S

a

(2) S

b

f ( x)dx

a

(3) c f ( x) dx |

b f (x)dx

c b

S |

c f (x)dx f ( x) dx

a

a

c

由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解

练习 . 求抛物线 y=x 2-1 ，直线 x=2，y=0 所围成的图形的面积。

解：如图：由 x 2-1=0 得到抛物线与 x 轴的交点坐标是 (-1,0) ， (1,0). 所求面积

如图阴影所示：

y

2

( x 2

1

所以：S

1)dx

(x 2 1)dx

b c

1

1

a f ( x ) dx a f ( x )

( x 3

2 ( x 3

1

8

x)

x)

3

1

3

1

3

类型 2 ：由两条曲线 y=f(x) 和 y=g(x) ，直线 x=a,x=b(a

所围成

平面图形的面积 S

x

y

y

f ( x)

y

f ( x )

o

a

b x

y g ( x)

(1)

y g ( x ) (2)

总结：当 x ∈ [ a ，b]有 f(x)>g(x)时，由直线

x ＝ a ，x ＝b(a ≠ b)和曲线 y ＝ f(x)， y ＝ g(x)围

b

g x dx

成的平面图形的面积 f x

.

S ＝ a

不分割型图形面积的求解步骤：

(1)准确求出曲线的交点横坐标；

(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；

(3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；

(4)计算得所求面积．