传热学-第二章 导热基本定律及稳态导热第三讲-动力工程
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h2 A0 (Tw2 Tf 2 ) h2 Af f (Tw2 Tf 2 ) h2 A2t (Tw2 Tf 2 ) [W]
t
Baidu Nhomakorabea
A0
Aff
A2
A0 Af f
A0 Af
t — 肋壁效率 f — 肋片效率
• 对于高肋：高度远大于肋片间距
A0 Af
t
A0 Af f
A0 Af
加到一定程度，再继续增加 H f
th(mH )
f
mH
m hP
A
mH 的数值较小时， f 较
高。在高度H一定时，较
小的 m 有利于提高 f
肋片应选用热导率较大的材料；当 和 h 都给定时 m
随P/A的降低而增大。P/A取决于肋片几何形状和尺寸
f >80%的肋片经济实用
变截面肋片：保持散热量基本不变并减轻肋片重量、 节省材料
m 1 0
m
1 H
H
dx
0
1 H
H
0
0
ch[m(H x)] ch(mH )
dx
0
mH
th(mH )
th(mH )
f
mH
th(mH)的数值随mH的增
加而趋于一定值（mH 3）
hPA0 th(mH)
th(mH )
f
mH
m hP
A
当m数值一定时，随着肋片高度H增加，先迅速增大，
但逐渐增量越来越小，最后趋于一定值。说明：当H增
第二章
导热基本定律及 稳态导热
Foundation of Heat Conduction &
Steady Conduction
上一讲要点回顾
理论解析的基本思路
简化
物理问题
数学模型
求解
热流量
温度场
导热定律
控制方程 定解条件
q -grad T [W m2 ]
积分解的基本过程
2-6 变截面导热问题
一、问题的引出
Aff
Af
f
1
Tf1 Tf 2
1
k1A1 Tf 1 Tf 2
h1A1 A1 h2t A1
k1
1
1
1
— 以光壁面面积为 基准的传热系数
h1 h2t
• 热阻图：
肋片导热在航空发动机中的应用
实心涡轮叶片
叶片端面
叶片根部
例题2-5
用热电偶测量管道内的气流温度。已知热接点温度=650℃，
d 2T dx2
hP A
T Tf
0
从物理意义上分析，肋片通过周边表面与周围流
体之间进行的热量交换 （C 相当于肋片吸热或放热） 相当于内热源的作用
qv
C dV
h(T
Tf )Pdx Adx
h(T
Tf A
)P
式中暗示了肋片对流体是放热的。根据内热源的
定义，吸热为正，故负号的出现是有明确的物理概
T0
T
c、更换套管材料16W/(mK)；
l
d、若气流与套管之间的对流
换热系数10W/(m2K) ；
Tf
Tj
e、若在安装套管的壁面处包以热绝缘层以减小热量的导出，
此时套管根部温度=600℃。
• 二、等截面直肋的稳态导热
已知:
（1）等截面直肋 （2）肋根温度T0，且T0>T∞ （3）肋片与周围流体的对流换热系数h （4）λ，h和截面积Ac不变 求：肋片的温度场和通过肋片的热流量
1、数学模型
严格地说，肋片中的温度 场是三维的。其温度分布取
决于内部x、y、z三个方向的
导热热阻以及表面与流体之 间的对流换热热阻。
A2
A1
q
A1
1
Tf1 Tf 2
1
h1 h2 ( A2 / A1)
q
Tf1 Tf 2
1 1
h1 h2
肋化系数越大：传热热阻越小，传热系数越大
肋化系数增大的途径：
(1) 采用薄肋，缩小肋间距， 增加肋数目
(2) 采用长肋，扩大每一肋片 的表面面积
问题：上述结论是在什么前提下得到的？ 有什么不妥之处？
(a为常数)，在小头处温度为T1， 在的大头处温度为T2，材料导热 系数为常数。假设侧表面是理想
绝热的，试求塞子内的温度分布，
及通过塞子的热流量。
利用傅里叶定律：
Φ A(x) dT a2x2 dT
dx
4 dx
分离变量并积分
4Φ
a 2
xx1
1 x2
dx
TT1 dT
得到
T
T1
4Φ
a 2
1 x1
肋片散热量的计算方法：
（1）由图线或计算公式得到 f （2）计算出理想情况下的散热量 0=hPH(T0- T) （3）由式 = f 0 计算出实际散热量
设计肋片：选择形状、计算；考虑质量、制造的难 易程度、价格、空间位置的限制等
研究性学习 ☺
对于肋壁，传热方程的表达式推导
T Tf1
Tw1
Q
1
H
ch(mH )
0
肋片表面的散热量：
稳态条件下肋片表面的散热量=通过肋基导入肋片的热量
Φ
A d
dx
x0
A0m th(mH)
hPA0 th(mH)
ch(mH ) emH emH ; th(mH ) emH emH
2
e e mH
mH
双曲余弦函数
双曲正切函数
几点说明：
（1）上述推导中忽略了 肋端的散热（认为肋端绝 热）。对于一般工程计算， 尤其高而薄的肋片，足够 精确。若必须考虑肋端散
上面介绍的是求解导热问题的 一般方法，即通过求解导热微分方 程确定温度分布，然后根据傅里叶 定律获得热流量。
对于一维导热问题，也可以不 通过求解微分方程而直接应用傅里 叶定律得出导热热流量的计算式， 而且对于变导热系数和变截面的情 形更为有效。
二、示例
x2
x1
x
耐温塞子的直径随 x 变化，D ax
Tf1 Tf 2
1 1
h1 h2
整个肋表面的温度与基础面温度相等，即肋 片效率等于1。
过高地估计了肋化增强传热的作用
引入肋片效率和肋壁效率的概念
• 2、肋壁效率
•A0 — 肋间面积
•Af — 肋片面积
• 平壁右侧总面积：
A2 A0 Af
• 假设：传热过程处于稳态
h1A1(Tf 1 Tw1) [W] A1(Tw1 Tw2) [W]
热电偶套管根部温度500℃，套管长度100 mm，壁厚1mm，
外直径=10mm，导热系数=25W/(mK)，气流与套管之间的对
流换热系数50W/(m2K)。试求：①热电偶温度与气流真实温
度之间的误差；②分析在下列条件改变下测量误差的大小：
a、改变套管长度为150 mm； b、改变套管壁厚为0.5mm；
念的
2、微分方程求解
d 2T dx2
hP
A
(T
T )
0
边界条件：
x 0,
T
T0;
x H,
-
dT dx
H
0
令：hP m2 ,
A
T T — 过余温度
d 2 m2 0
dx2
x 0, T T 0;
x H,
d 0
dx
二阶线性常微分齐次方程，其通解为：
c emx c emx
求解三维、二维问题较复杂；将问题进行简化：
（1） 大、 <<H，认为温度沿厚度变化很小； （2）宽度 l >>，认为肋片温度只沿高度方向变化
简化为一维温度场
方法1：根据导热微分方程
三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微 分方程：
c T
( T ) (
x x y
T ) (
y z
T z
)
qv
l
微元体：截面积A， 周长P，换热面积 Pdx
[P 2(l ), A l ]
热平衡方程：
x xdx c
x
A
dT dx
c hPdx (T T )
xdx
x
d x dx
dx
A dT
dx
d dx
(A
dT dx
)dx
导热微分方程：（假设 与A为定值）
d 2T dx2
hP (T
A
T )
0
边界条件： x 0, T T0 x H, - dT 0 dx H
1
2
由边界条件，得到
c1
0
emH emH emH
;
c2
0
emH emH emH
等截面直肋内的温度分布：
e e m(Hx)
m( H x )
ch[m(H x)]
e e 0
mH
mH
0 ch(mH )
ch[m(H x)]
0 ch(mH )
肋端的过余温度：
1
H 0 ch(mH )
Tw2 T f 2
能否写成如下形式
Tf1 Tf 2
1 1
h1A1 A1 h2 A2
该式成立的条件是什么？
Q
Tf1
Tw1
Tw2
Tf 2
四、 肋化系数、肋壁效率
肋化系数、肋片效率和肋壁效率是如何定义的？ 在选用和设计肋片时有何用途？
• 通过肋壁的传热
• 平壁右侧肋化
•A0 — 肋间面积
•Af — 肋片面积
1 x
由x=x2的边界条件，确定
温度分布
Φ a2(T1 T2 )
4(1 x1 1 x2 )
T
T1
1 1
x x1
1 1
x1 x2
(T1
T2)
2-8 通过肋壁的导热
一、问题的提出
第三类边界条件下通过平壁的一维 稳态导热---传热过程
Tf1 Tf 2
1 1
W
h1A A h2 A
为了增加传热量，可以采取哪些措施?
热，取：Hc=H+ /2
(a) 肋端对流换热
A P
(b) 肋端等效绝热
（2）上述分析近似认为肋片温度场为一维。
当Bi=h/ 0.05 时，误差小于1%。对于短而厚的肋
片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表 面上表面传热系数h不是均匀一致的 — 数值计算
l
（3）敷设肋片不一定就能强化传热，只有满足一定 的条件才能增加散热量。设计肋片时要注意这一点。 （参考有关书）
一维稳态有内热源的导热微分方程：
d dx
(
dT dx
) qv
0
d 2T dx 2
qv
0
是否可以构造一个内热源？
微元体：截面积A， 周长P，换热面积
Pdx
qv
C dV
h(T Tf )Pdx Adx
h(T Tf )P A
d 2T dx2
hP (T
A
T ) 0
方法2：根据能量守恒
• 平壁右侧总面积：
A2 A0 Af
1、肋化系数 假设：整个肋表面的温度与基础面温度相等， 即肋片效率等于1。
h1A1(Tf 1 Tw1) [W]
A1(Tw1 Tw2) [W]
h2 A2 (Tw2 Tf 2 ) [W]
Tf1 Tf 2
1 1
h1A1 A1 h2 A2
肋化系数：加肋表面与光侧表面表面积之比
三、肋片效率 从散热的角度评价加装肋片后换热效果
肋片效率：肋片的实际散热量 与假定整个肋片表 面都处在肋基温度T0时的理想散热量 0 的比值
f
0
hPH (Tm T ) hPH (T0 T )
m 1 0
Tm T0时， f 1 — 相当于热导率 的情况
f
0
hPH (Tm T ) hPH (T0 T )
（1）增加温差（Tf1 - Tf2），但受工艺条件限制 （2）减小热阻：
a) 金属壁一般很薄（ 很小）、热导率很大，
故：导热热阻一般不大，可忽略
b) 增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的
c) 增大换热面积 A 也能增加传热量
在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换 热量的重要手段
肋片：直肋、环肋；等截面、变截面
t
Baidu Nhomakorabea
A0
Aff
A2
A0 Af f
A0 Af
t — 肋壁效率 f — 肋片效率
• 对于高肋：高度远大于肋片间距
A0 Af
t
A0 Af f
A0 Af
加到一定程度，再继续增加 H f
th(mH )
f
mH
m hP
A
mH 的数值较小时， f 较
高。在高度H一定时，较
小的 m 有利于提高 f
肋片应选用热导率较大的材料；当 和 h 都给定时 m
随P/A的降低而增大。P/A取决于肋片几何形状和尺寸
f >80%的肋片经济实用
变截面肋片：保持散热量基本不变并减轻肋片重量、 节省材料
m 1 0
m
1 H
H
dx
0
1 H
H
0
0
ch[m(H x)] ch(mH )
dx
0
mH
th(mH )
th(mH )
f
mH
th(mH)的数值随mH的增
加而趋于一定值（mH 3）
hPA0 th(mH)
th(mH )
f
mH
m hP
A
当m数值一定时，随着肋片高度H增加，先迅速增大，
但逐渐增量越来越小，最后趋于一定值。说明：当H增
第二章
导热基本定律及 稳态导热
Foundation of Heat Conduction &
Steady Conduction
上一讲要点回顾
理论解析的基本思路
简化
物理问题
数学模型
求解
热流量
温度场
导热定律
控制方程 定解条件
q -grad T [W m2 ]
积分解的基本过程
2-6 变截面导热问题
一、问题的引出
Aff
Af
f
1
Tf1 Tf 2
1
k1A1 Tf 1 Tf 2
h1A1 A1 h2t A1
k1
1
1
1
— 以光壁面面积为 基准的传热系数
h1 h2t
• 热阻图：
肋片导热在航空发动机中的应用
实心涡轮叶片
叶片端面
叶片根部
例题2-5
用热电偶测量管道内的气流温度。已知热接点温度=650℃，
d 2T dx2
hP A
T Tf
0
从物理意义上分析，肋片通过周边表面与周围流
体之间进行的热量交换 （C 相当于肋片吸热或放热） 相当于内热源的作用
qv
C dV
h(T
Tf )Pdx Adx
h(T
Tf A
)P
式中暗示了肋片对流体是放热的。根据内热源的
定义，吸热为正，故负号的出现是有明确的物理概
T0
T
c、更换套管材料16W/(mK)；
l
d、若气流与套管之间的对流
换热系数10W/(m2K) ；
Tf
Tj
e、若在安装套管的壁面处包以热绝缘层以减小热量的导出，
此时套管根部温度=600℃。
• 二、等截面直肋的稳态导热
已知:
（1）等截面直肋 （2）肋根温度T0，且T0>T∞ （3）肋片与周围流体的对流换热系数h （4）λ，h和截面积Ac不变 求：肋片的温度场和通过肋片的热流量
1、数学模型
严格地说，肋片中的温度 场是三维的。其温度分布取
决于内部x、y、z三个方向的
导热热阻以及表面与流体之 间的对流换热热阻。
A2
A1
q
A1
1
Tf1 Tf 2
1
h1 h2 ( A2 / A1)
q
Tf1 Tf 2
1 1
h1 h2
肋化系数越大：传热热阻越小，传热系数越大
肋化系数增大的途径：
(1) 采用薄肋，缩小肋间距， 增加肋数目
(2) 采用长肋，扩大每一肋片 的表面面积
问题：上述结论是在什么前提下得到的？ 有什么不妥之处？
(a为常数)，在小头处温度为T1， 在的大头处温度为T2，材料导热 系数为常数。假设侧表面是理想
绝热的，试求塞子内的温度分布，
及通过塞子的热流量。
利用傅里叶定律：
Φ A(x) dT a2x2 dT
dx
4 dx
分离变量并积分
4Φ
a 2
xx1
1 x2
dx
TT1 dT
得到
T
T1
4Φ
a 2
1 x1
肋片散热量的计算方法：
（1）由图线或计算公式得到 f （2）计算出理想情况下的散热量 0=hPH(T0- T) （3）由式 = f 0 计算出实际散热量
设计肋片：选择形状、计算；考虑质量、制造的难 易程度、价格、空间位置的限制等
研究性学习 ☺
对于肋壁，传热方程的表达式推导
T Tf1
Tw1
Q
1
H
ch(mH )
0
肋片表面的散热量：
稳态条件下肋片表面的散热量=通过肋基导入肋片的热量
Φ
A d
dx
x0
A0m th(mH)
hPA0 th(mH)
ch(mH ) emH emH ; th(mH ) emH emH
2
e e mH
mH
双曲余弦函数
双曲正切函数
几点说明：
（1）上述推导中忽略了 肋端的散热（认为肋端绝 热）。对于一般工程计算， 尤其高而薄的肋片，足够 精确。若必须考虑肋端散
上面介绍的是求解导热问题的 一般方法，即通过求解导热微分方 程确定温度分布，然后根据傅里叶 定律获得热流量。
对于一维导热问题，也可以不 通过求解微分方程而直接应用傅里 叶定律得出导热热流量的计算式， 而且对于变导热系数和变截面的情 形更为有效。
二、示例
x2
x1
x
耐温塞子的直径随 x 变化，D ax
Tf1 Tf 2
1 1
h1 h2
整个肋表面的温度与基础面温度相等，即肋 片效率等于1。
过高地估计了肋化增强传热的作用
引入肋片效率和肋壁效率的概念
• 2、肋壁效率
•A0 — 肋间面积
•Af — 肋片面积
• 平壁右侧总面积：
A2 A0 Af
• 假设：传热过程处于稳态
h1A1(Tf 1 Tw1) [W] A1(Tw1 Tw2) [W]
热电偶套管根部温度500℃，套管长度100 mm，壁厚1mm，
外直径=10mm，导热系数=25W/(mK)，气流与套管之间的对
流换热系数50W/(m2K)。试求：①热电偶温度与气流真实温
度之间的误差；②分析在下列条件改变下测量误差的大小：
a、改变套管长度为150 mm； b、改变套管壁厚为0.5mm；
念的
2、微分方程求解
d 2T dx2
hP
A
(T
T )
0
边界条件：
x 0,
T
T0;
x H,
-
dT dx
H
0
令：hP m2 ,
A
T T — 过余温度
d 2 m2 0
dx2
x 0, T T 0;
x H,
d 0
dx
二阶线性常微分齐次方程，其通解为：
c emx c emx
求解三维、二维问题较复杂；将问题进行简化：
（1） 大、 <<H，认为温度沿厚度变化很小； （2）宽度 l >>，认为肋片温度只沿高度方向变化
简化为一维温度场
方法1：根据导热微分方程
三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微 分方程：
c T
( T ) (
x x y
T ) (
y z
T z
)
qv
l
微元体：截面积A， 周长P，换热面积 Pdx
[P 2(l ), A l ]
热平衡方程：
x xdx c
x
A
dT dx
c hPdx (T T )
xdx
x
d x dx
dx
A dT
dx
d dx
(A
dT dx
)dx
导热微分方程：（假设 与A为定值）
d 2T dx2
hP (T
A
T )
0
边界条件： x 0, T T0 x H, - dT 0 dx H
1
2
由边界条件，得到
c1
0
emH emH emH
;
c2
0
emH emH emH
等截面直肋内的温度分布：
e e m(Hx)
m( H x )
ch[m(H x)]
e e 0
mH
mH
0 ch(mH )
ch[m(H x)]
0 ch(mH )
肋端的过余温度：
1
H 0 ch(mH )
Tw2 T f 2
能否写成如下形式
Tf1 Tf 2
1 1
h1A1 A1 h2 A2
该式成立的条件是什么？
Q
Tf1
Tw1
Tw2
Tf 2
四、 肋化系数、肋壁效率
肋化系数、肋片效率和肋壁效率是如何定义的？ 在选用和设计肋片时有何用途？
• 通过肋壁的传热
• 平壁右侧肋化
•A0 — 肋间面积
•Af — 肋片面积
1 x
由x=x2的边界条件，确定
温度分布
Φ a2(T1 T2 )
4(1 x1 1 x2 )
T
T1
1 1
x x1
1 1
x1 x2
(T1
T2)
2-8 通过肋壁的导热
一、问题的提出
第三类边界条件下通过平壁的一维 稳态导热---传热过程
Tf1 Tf 2
1 1
W
h1A A h2 A
为了增加传热量，可以采取哪些措施?
热，取：Hc=H+ /2
(a) 肋端对流换热
A P
(b) 肋端等效绝热
（2）上述分析近似认为肋片温度场为一维。
当Bi=h/ 0.05 时，误差小于1%。对于短而厚的肋
片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表 面上表面传热系数h不是均匀一致的 — 数值计算
l
（3）敷设肋片不一定就能强化传热，只有满足一定 的条件才能增加散热量。设计肋片时要注意这一点。 （参考有关书）
一维稳态有内热源的导热微分方程：
d dx
(
dT dx
) qv
0
d 2T dx 2
qv
0
是否可以构造一个内热源？
微元体：截面积A， 周长P，换热面积
Pdx
qv
C dV
h(T Tf )Pdx Adx
h(T Tf )P A
d 2T dx2
hP (T
A
T ) 0
方法2：根据能量守恒
• 平壁右侧总面积：
A2 A0 Af
1、肋化系数 假设：整个肋表面的温度与基础面温度相等， 即肋片效率等于1。
h1A1(Tf 1 Tw1) [W]
A1(Tw1 Tw2) [W]
h2 A2 (Tw2 Tf 2 ) [W]
Tf1 Tf 2
1 1
h1A1 A1 h2 A2
肋化系数：加肋表面与光侧表面表面积之比
三、肋片效率 从散热的角度评价加装肋片后换热效果
肋片效率：肋片的实际散热量 与假定整个肋片表 面都处在肋基温度T0时的理想散热量 0 的比值
f
0
hPH (Tm T ) hPH (T0 T )
m 1 0
Tm T0时， f 1 — 相当于热导率 的情况
f
0
hPH (Tm T ) hPH (T0 T )
（1）增加温差（Tf1 - Tf2），但受工艺条件限制 （2）减小热阻：
a) 金属壁一般很薄（ 很小）、热导率很大，
故：导热热阻一般不大，可忽略
b) 增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的
c) 增大换热面积 A 也能增加传热量
在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换 热量的重要手段
肋片：直肋、环肋；等截面、变截面