佳木斯大学本科生毕业论文(设计)任务书
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毕业论文题目学生姓名佳木斯大学教育科学学院********专业2014年6月目 录摘要Abstract (Ⅱ)引言........................................................................ 1 一、虚拟现实技术概述 (1)（一）虚拟现实技术的概念 ................................................ 2 （二）虚拟现实技术的基本特征 ............................................ 3 （三）虚拟现实系统的一般组成及类型..................... 错误！未定义书签。
（四）虚拟现实技术在我国的研究现状 ..................................... 10 二、虚拟现实技术在远程教学中的应用 (10)（一）虚拟现实技术在远程教学中的作用 ................................... 11 （二）虚拟现实技术在远程教学中的应用 ................................... 11 三、虚拟现实技术在远程教学中的应用展望.. (12)（一）知识学习 ......................................................... 12 （二）探索学习 ......................................................... 13 （三）虚拟实验 (13)结论 .......................................................................19 注释........................................................................20 参考文献....................................................................21 致谢........................................................................22 附录一......................................................................23 附录二. (24)摘 要摘要应扼要叙述本论文的主要内容、特点，文字要精炼，是一篇具有独立性和完整性的短文，应包括本论文的主要成果和结论性意见。
普通本科毕业论文(设计)开题报告及任务书
4.论文（设计）的进程安排：
5.指导教师意见及建议：
是否同意开题： 指导教师签字： 年
注：此表前四项由学生填写后交指导教师签I
江西财经大学普通本科毕业（论文）设计
III
江西财经大学普通本科毕业（论文）设计
普通本科毕业论文（设计）开题报告及任务书
论文（设计）题目 学生姓名 指导教师 1.选题目的和意义： 专业 职 称 学号
2.主要研究内容(含论文提纲)：
I
江西财经大学普通本科毕业（论文）设计
3.完成论文（设计）的条件、方法及措施，包括实验设计、调研计划、资料收集、参考文献等内 容：
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文档编号：0000 108优秀毕业设计佳木斯大学毕业论文任务书目录目录 (2)佳木斯大学（设计）论文任务书 (模板一) (2)佳木斯大学（设计）论文任务书 (模板二) (6)佳木斯大学（设计）论文任务书 (模板三) (9)佳木斯大学（设计）论文任务书 (模板四) (10)佳木斯大学（设计）论文任务书 (模板五) (12)佳木斯大学（设计）论文任务书 (模板六) (14)佳木斯大学（设计）论文任务书 (模板七) (15)佳木斯大学（设计）论文任务书 (模板八) (17)佳木斯大学（设计）论文任务书 (模板九) (19)佳木斯大学（设计）论文任务书 (模板十) (21)本文精选了佳木斯大学各个学院毕业（设计）论文任务书，总共10个不同类别的任务书模板范文，都选自佳木斯大学同学的优秀毕业论文，包含各个专业类别的任务书，适合各个学院同学们撰写毕业设计论文时参考和研究。
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大学生在毕业前都必须完成毕业论文的撰写任务。
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佳木斯大学（设计）论文任务书 (模板一) （包括原始数据、技术要求、工作要求）佳木斯大学（设计）论文任务书 (模板二)编号： 2014230302112论文（设计）题目：分块矩阵及其应用学院：数理学院专业：数学与应用数学班级： 2013级2班学生姓名：杜宗飞学号： 2013511523 指导教师：刘欢欢职称：讲师1、论文（设计）研究目标及主要任务研究目标：总结分析分块矩阵在计算和证明中的应用。
主要任务：利用矩阵分块解决线性代数中的相关问题，给出相应定理、证明及实例，体现分块矩阵在线性代数中的重要性。
2、论文（设计）的主要内容本论文重点就分块矩阵在计算行列式、证明相关矩阵秩的不等式、求矩阵的逆、分块矩阵在解线性方程组的应用等方面的应用进行了分析总结，通过引入实例说明对矩阵进行适当的分块可以使高等代数中的许多计算和证明问题迎刃而解。
二次型的化简
佳木斯大学（ 2014 ）届毕业论文（设计）开题报告
毕业论文（设计）题目 二次型的化简
学院 理学院 专业 数学与应用数学
学号 1001014214
学生 姓名
郑智荣
班级 数学（2）班ຫໍສະໝຸດ 指导 教师康兆敏开题
日期
教师 职称
副教授
本
二次型讨论的对象是多元 二元齐次函数，这 种函数在屋里， 统计，规划，极值 等的问题中有广
课 泛的应用。
题
的
研
究
意
义
本课题主要介绍了二次型及其标准型的定义及其表示方法，以及简单介绍了几种对二次型化简的
本 方法。最后谈及二次型在其他学科上的应用。 课 题 的 基 本 内 容 简 介
第1章 绪论
第2章 二次型与它的标准型
第3章 化简二次型的方法
3.1 化简二次型的正交基变换法
论 文
3.2 化简二次型的初等变换法
年 月日
提 3.3 化简二次型的配方法 纲 3.4 化简二次型的偏导法
3.5 化简二次型的雅克比法
第 4 章 二次型的应用
结论
主 要 参 考 文 献
论 序号
文1
进 度
2
安3
排 4
工作任务
起止日期 序号 5 6 7 8
工作任务
起止日期
审意 阅见
指导教师(签名)：
注：学生查阅资料的参考文献应在 10 篇及以上，其中外文参考文献不少于 2 篇。
【VIP专享】大学毕业论文(设计)任务书
xx 大学毕业设计(论文)任务书院系: xxxx学院专业: xxxxxxxxxxx班级: xxxx学生姓名: xxxx同组学生: xxxx指导教师: xxxx下发日期: 2011 年 3 月 2 日本科生毕业设计(论文)须知1、认真学习理解《 xx大学毕业设计（论文）工作管理条例》。
2、努力学习、勤于实践、勇于创新，保质保量的完成任务书规定的任务。
3、遵守纪律、保证出勤，因事因病离岗，应事先向导师请假，否则按旷课处理。
凡随机抽查三次不到，评分时降低10分起评；学生缺勤（包括病、事假）累计超过毕业设计（论文）时间1/3以上者，取消答辩资格，不予评定成绩，须重新补做。
4、独立完成规定的工作任务，不弄虚作假，不抄袭和拷贝别人的工作内容。
否则毕业设计（论文）成绩作不及格处理。
5、毕业设计（论文）必须符合《xx大学毕业设计（论文）基本规范要求》，否则不能取得参加答辩资格。
6、毕业设计（论文）成果、资料应予答辩结束后及时交指导教师并转交院系收存，学生不得擅自带离学校。
7、严格遵守学校的有关管理制度和操作规程，保持良好的学习和工作环境。
8、妥善保管《xx大学毕业设计（论文）任务书》，设计（论文）完成后，将任务书及设计（论文）一同交指导教师。
xx大学毕业论文（设计）任务书毕业论文（设计）课题方向：高粘度液体混合搅拌设备的设计题目：多用途搅拌设备设计完成日期：2011年6月10号一、题目来源：混合搅拌设备在实际生产中应用十分广泛，尤其是在化学工业中使用最多。
此次将设计一种在化工、食品、制药等行业中使用的高粘度液体混合搅拌设备，通过设备的搅拌加快互溶液体的混合。
在实际生产中，一些液体的工业原材料需要经过充分的混合搅拌，才能更好地用于产品的生产制造，因此设计一种性能优良并且价格合理的混合搅拌设备对于改善生产工艺、提高生产质量有着非常重要的意义。
本次设计旨在设计一种用于混合高粘度液体的混合搅拌设备，并且这种设备应该具有较高的使用性与经济性。
开题报告(2018届)
8
优秀毕业论文推选，总结
6.23-6.27
意见审阅
指导教师(签名)：年月日
教研室主任(签名)：年月日
论文提纲
主要参考文献
论文进度安排
序号
工作任务
起止日期
序号
工作任务
起止日期
1
查阅资料，撰写开题报告
2.26-3.11
5
结题验收，论文评阅
6.4-6.10
2
论文开题答辩
3.12-3.18
6
论文答辩
6.11-6.17
3
撰写初稿，修改论文
3.19-5.20
7
上交成绩单，论文整理归档
6.18-6.22
4
论文查重，打印论文初稿
附件3
佳木斯大学本科生毕业论文（设计）开题报告
毕业论文（设计）题目学院Biblioteka 理学院学号班级
2014级*班
开题日期
2018年3月*日
专业
学生姓名
指导教师
教师职称
本课题的研究意义
（选题依据,课题来源,学术价值及对社会、经济发展和科技进步的意义）：
本课题的基本内容简介
（拟解决的主要学术或技术问题和关键技术及难点,拟采取的技术手段及实施方案、预计可获得的成果,可能取得的创新之处）：
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大学本科生毕业设计（论文）任务书电磁近场扫描系统的设计与实现题目名称学院专业班级姓名学号指导老师一、毕业设计（论文）的内容与要求（课题内容应明确、详细，难度适中、工作量饱满；强调通过文献研究，找出多个解决方案并进行多方案对比；强调解决复杂工程问题；强调对现代工具的使用及局限性分析，强调对实验结果分析等；明确应用工程管理原理和经济决策方法，分析和评价解决方案对社会、健康、安全、法律以及文化的影响）电磁兼容是指“设备或系统在电磁环境中能够正常工作且不对该环境构成不能承受的电磁骚扰的能力”。
随着电子产品向着小型化和智能化发展，电路的频率越来越高，结构越来越复杂，使得电磁兼容问题越来越严重，解决电磁兼容问题逐渐成为电路设计过程中最重要的一个环节，电磁兼容测试系统也应运而生。
为测试电子产品电磁兼容性，本课题设计并实现一种电磁近场探测的扫描系统并结合探头进行测试。
二、毕业设计（论文）应完成的工作（文献研究，方案比较，解决方案对社会等其他领域的影响分析，深入原理，现代工具使用及局限，方案实施，结果分析，本课题工程经济、管理、伦理方面的考虑。
）（1）文献研究：调研国内外关于近场扫描系统相关文献，了解相关领域专家学者对近场扫描系统设计和实现的最新研究成果。
（2）方案比较分析：现有的近场扫描系统有：1.加拿大容向公司的Emscan 扫描系统。
该系统拥有 1218 个小型电流环探头阵列，优点在于探头数多，数据采集速度快，通过软件实时观测电磁场分布，具有强大的后台分析和处理能力；缺点在于价格昂贵，由于探头是固定的，所以无法更换测试频率更高或性能更好的探头，扫描测试的精确度无法调整，有一定的局限性，无法达到预期的效果。
2.STCSTC是专业钻研EMI近场量测技术与杂讯量测系统整合制造的公司. 同步国际上EMI相关法规、前瞻性专业设计相关技术与系统仪器.EMI-sight提供给丰富经验的电路开发设计工程师与相关应用工程人员使用,于产品设计开始就能快速有效且准确的找出“EMI ”通讯源.让设计工程人员快速控制，确认分析研究与对策改善本课题将利用现有硬件环境搭建一个电磁场近场扫描系统，结合探头对被测试物进行精准扫描。
凸函数
毕业论文（设计）课题名称指数凸函数的性质及应用学院理学院专业数学与应用数学（S）班级2011级2班指导教师黄金莹学生姓名肖坤佳木斯大学教务处指数凸函数的性质及应用肖坤佳木斯大学理学院数学系2015年6月摘要指数凸函数是一类重要的函数，对于凸函数的研究，目前已近很深入。
指数凸函数与凸函数之间存在着平行关系，对于指数凸函数的研究，我们可以类比凸函数的概念、性质及内容进行研究。
首先本课题主要研究了指数凸函数的概念、性质和指数凸函数在不等式中的应用；其次根据指数凸函数的判定定理及概念、性质判断一些基本初等函数的指数凸性；最后建立一些关于指数凸函数的不等式，以方便后面研究Jensen不等式、Hadamard不等式及不等式的证明, 我们可以根据指数凸函数的概念和性质建立一些新的不等式，并对此进行研究，例如可以建立均值不等式。
对指数凸函数的研究，无疑将大大扩充我们研究不等式的范畴，同时，也是对凸分析理化的一种有益的深化和推广。
关键词:凸函数；指数凸函数；判定定理；Hadamard不等式AbstractIndex convex function is a kind of important function.Scientists have so far conducted very in-depth researches into convex function.More or less,a sort of parallel relationship exists between different convex functions.we can carry out our researches on the analogy of the concept,nature and content of convex function.firstly,this research project mainly fouses on the concept and properties of convex function and the application of convex function in inequalities.Secondly,some basic elementary function's index convexity is judged based on the decision theorem of index convex function as well as its concept and properties.Finally,some inequalities about index convex function are established to facilitate futher researches into Jensen inequality,Hadaard inequalities and inequality certification,we can according to the index of the concept and properties of convex function,set up some new inequalities and in study,for example, we can build the mean inequality.Undoubtedly,research into the index convex function will greatly expand our research scope of inequalities,and at the same time,it also contributes to deepening and promoting the convex analysis of physicochemistry.Key words: convex function; index of convex function; decision theorem; Hadamard inequalities目录摘要 (I)Abstract (Ⅱ)第1章绪论 (1)第2章凸函数的基础知识 (2)2.1凸函数的概念和性质 (2)2.1.1凸函数的概念 (2)2.1.2凸函数的性质 (3)2.2凸函数的一些结论 (6)2.2.1凸函数的判定定理 (6)2.2.2与凸函数相关的不等式 (8)第3章指数凸函数的性质及应用 (11)3.1指数凸函数的概念和性质 (11)3.1.1指数凸函数的概念 (11)3.1.2指数凸函数的性质 (13)3.2. 常见函数的指数凸性 (17)3.2.1 指数凸函数的判定定理 (17)3.2.2 基本初等函数的指数凸性 (19)3.3 指数凸函数的Hadamard不等式 (25)结论 (28)致谢 (29)参考文献 (30)附录1 (31)附录2 (35)第1章绪论在数学学科中，研究生产、生活中的多快好省这类问题的理论被称为最优化理论，更宽泛的称谓叫做运筹学与控制论，其在经济、工程、管理、规划等方面有着广泛的应用，本课题《指数凸函数的性质及应用》是这一重要应用数学方向的基础性研究.最优化理论的诞生以1970年Rockafellar所写的《凸分析》为标志.多快好省问题在数学中被抽象为变量的最值问题，凸分析就是用凸集与凸函数作为工具讨论最值的存在性与唯一性的一门学问.凸分析的一个简单而典型的例子是面积固定的矩形铁板制作开口水箱，怎样裁剪使得容积最大.2f 是最典型的凸函数.x(x)随着最值问题研究的深入和现实问题的复杂化，人们发现问题并不总是以凸性的形式呈现的，大量的非凸优化问题等待解决.解决方式要么是将非凸向凸归结，要么将凸向非凸推广.在将凸推广到非凸过程中，国内外学者在近二十年内把凸函数做了各种推广，创建了大量的具体广义凸函数，解决了一些非凸优化问题.我们课题组注意到了上述各类广义凸函数的共有特征，将它们进行抽象化处理，率先开展了指数凸函数的研究.首先，介绍了凸函数的基础知识，从凸函数的概念和性质，以及凸函数的Jensen不等式和Hadamard不等式等不等式方面的一些结论开始研究，让读者对凸函数有了大致的了解.其次，开始介绍的是本课题的主要研究内容，根据开始对凸函数方面的研究，由指数凸函数与凸函数之间存在的平行关系，类比推理到指数凸函数的概念、性质及在不等式方面的应用上.首先研究的是指数凸函数的概念和性质，我们又该如何判断一个函数是指数凸函数的方法.最后,研究指数凸函数的Jensen不等式和Hadamard不等式以及常见基本初等函数的指数凸性，根据指数凸函数的Jensen不等式建立一些新的不等式.第2章 凸函数的基础知识本章主要介绍了凸函数的概念、性质、判定定理以及凸函数在不等式中的应用，但对于凸函数的研究，目前已经很深入了，尤其是在不等式方面的研究备受关注.2.1 凸函数的概念和性质为了更好的研究本课题要研究的指数凸函数内容，我们可以依据指数凸函数与凸函数之间存在的平行关系，先深入了解一下凸函数的概念和性质，进而研究指数凸函数.下面我们将给出凸函数的概念和计算方面的性质.2.1.1 凸函数的概念函数2)(x x f =图像的特征是：曲线2)(x x f =上任意两点间的弧段总在这两点线的下方.我们可以这样定义：设函数)(x f 在区间[]b a ,上有定义，若曲线)(x f y =上任意两点间的弧段总位于连接两点的直线之下，则称函数)(x f 是凸函数.以上定义只是对凸函数作了直观的描述，下面给出精确的定义.定义2.1.1 设)(x f 在区间I 上有定义，若对I 上的任意两点21,x x 和任意的实数 )1,0(∈λ，总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ (2-1) 则称f 为I 上的凸函数.若对I 上的任意两点21,x x 和任意的实数)1,0(∈λ，总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+ (2-2) 则称f 为I 上的凹函数.]1[2.1.2 凸函数的性质性质2.1.1 若函数)(x f 为凸函数，则)(x f -为凹函数.反之亦然. 证明：因)(x f 是凸函数，由凸函数的定义 2.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+在上式两边同时乘以-1得：)]()[1(])([])1()([2121x f x f x x f --=-≥-+-λλλλ 故)(x f -为凹函数.同理可得)(x f 为凹函数，则)(x f -为凸函数.]2[ 性质2.1.2 若函数)(x f 为凸函数，则：1）若0≥α，则)(x f α为凸函数；2）若0≤α，则)(x f α为凹函数.证明：因)(x f 是凸函数，由凸函数的定义 2.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+1）当0≥α时，在上式两边同时乘以α得：)]()[1()]([)]()1()([])1([212121x f x f x f x f x x f αλαλλλαλλα-+=-+≥-+ 即)(x f α为凸函数.2）当0<α时，在上式两边同时乘以α得：)]()[1()]([)]()1()([])1([212121x f x f x f x f x x f αλαλλλαλλα-+=-+≤-+ 即)(x f α为凹函数.性质2.1.3 若函数)(),(x g x f 为凸函数，则函数)()()(x g x f x h +=为凸函数.证明：因函数)(),(x g x f 是凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ )()1()(])1([2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+则])1([])1([])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-++-+=-+)()1()()()1()(2121x g x g x f x f λλλλ-++-+≤ )]()()[1()]()([2211x g x f x g x f +-++=λλ )()1()(21x h x h λλ-+=即)()()(x g x f x h +=为凸函数. 性质2.1.4 设)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增（递减）的凸函数，则 )()()(x g x f x h =是[]b a ,上的凸函数. 证明：因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，则对任意的[]b a x x ,,21∈，有0)]()()][()([1212≥--x g x g x f x f整理得 )()()()()()()()(22111221x g x f x g x f x g x f x g x f +≤+ (2-3) 又因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的凸函数，由指数凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ，有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ )()1()(])1([2121x g x g x x g λλλλ-+≥-+所以])1([])1([])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-+-+=-+)]()1()()][()1()([2121x g x g x f x f λλλλ-+-+≤)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= 再由（2-3）式可知])1([])1([])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-+-+=-+)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= )()()1()]()()()()[1()()(2222211112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+≤)()())1()(1()()())1((2211x g x f x g x f λλλλλλ-+-+-+=)()()1()()(2211x g x f x g x f λλ-+=)()1()(21x h x h λλ-+=即)()()(x g x f x h =是[]b a ,上的凸函数.]3[性质2.1.5 若函数)(),(x g x f 为凸函数，则)}()(max{)(x g x f x h =亦为凸函数. 证明：因为函数)(),(x g x f 为凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()()()1()(])1([212121x h x h x f x f x x f λλλλλλ-+≤-+≤-+)()1()()()1()(])1([212121x h x h x g x gf x x g λλλλλ-+≤-+≤-+从而有]})1([],)1([max{])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-+-+=-+)()1()(21x h x h λλ-+≤所以)]}(),(max{[)(x g x f x h =为凸函数.]4[性质2.1.6 若函数)(x f 为凸函数，11:R R →ϕ为单调增长的凸函数，则))((x f ϕ亦为 凸函数.证明：因函数)(x f 为凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+又11:R R →ϕ为单调增加的凸函数，所以))(()1()(())()1()(()))1(((212121x f x f x f x f x x f ϕλλϕλλϕλλϕ-+≤-+≤-+ 即))((x f ϕ为凸函数.2.2 凸函数的一些结论如果给定一个函数，要判断是凸函数还是凹函数，我们讲依据什么结论来判断？这里将给出凸函数的判定定理，用来判断一个函数是否是凸函数.2.2.1 凸函数的判定定理定理2.2.1 （凸性判别法）设函数)(x f 是区间I 上的可导函数，则下列论断相互等价1）函数)(x f 是区间I 上的凸函数；2）函数)(x f '是区间I 上的增函数；3）对区间I 上任意的两点21,x x ，有))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥证明：)2)1⇒在区间I 上的任取两点)(,2121x x x x <，对充分小的正数h ，由于h x x x h x +<<<-2211，有hx f h x f x x x f x f h h x f x f )()()()()()(22121211-+≤--≤--因)(x f 是区间I 上的可导函数，令+→0h 时可得)()()()(212121x f x x x f x f x f '≤--≤' 所以)(x f '是区间I 上的增函数. )3)2⇒在以)(,2121x x x x <为端点的区间上，用拉格朗日中值定理和)(x f '是区间I 上的增函数得))(())(()()(1211212x x x f x x f x f x f -'≥-'=-ξ移项后的))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥且当21x x >时仍可得相同的结论.)1)3⇒任取区间I 上的两点)(,2121x x x x <， )10()1(213<<-+=λλλx x x ，由3）并利用))(1(2131x x x x --=-λ与))(1(1232x x x x --=-λ得))(()1()())(()()(213331331x x x f x f x x x f x f x f -'-+=-'+≥λ))(()())(()()(123332332x x x f x f x x x f x f x f -'+=-'+≥λ分别用λ和λ-1乘以上述两式并相加.使得))1(()()()1()(21321x x f x f x f x f λλλλ-+=≥-+则)(x f 是区间I 上的凸函数.定理2.2.2 （凸性判别法）设函数)(x f 在区间I 上具有二阶导数，则1）当0)(≥''x f 时，函数)(x f 为区间I 上的凸函数；2）当0)(≤''x f 时，函数)(x f 为区间I 上的凹函数.定理2.2.3 设函数)(x f 是区间I 上的二阶可导函数，则在I 上的)(x f 为凸函数的充要 条件是I x x f ∈≥,0)(证明：1）必要性：因为函数)(x f 为I 上的凸函数，则)(x f '是区间I 上的增函数，即I x x f ∈≥'',0)(2）充分性：因为I x x f ∈≥'',0)(， 所以)(x f '是区间I 上的增函数，即)(x f 为I 上的凸函数.]5[2.2.2 与凸函数相关的不等式定理2.2.4 （凸函数的Jensen 不等式）若函数)(x f 在区间I 上有定义，且对于任意的I x i ∈及满足∑==ni i 11λ，0>i λ ,n i ,,2,1 =，有∑∑==≤ni i i n i i i x f x f 11)()(λλ 成立那么称)(x f 在区间I 上凸函数.证明：当1=n 时，等式显然成立；假设当k n =时成立，即对任意的)2,1(0,k i x I x i i =≥∈且满足∑==ki i x 11，此时有)()(11i ki i i k i i x f x f ∑∑==≤λλ不等式成立；此时我们要证明当1+=k n 时，∑∑==≤ni i i n i i i x f x f 11)()(λλ成立，即 )()(11111++=+=+=∑∑k k i ki i k i i i x x f x f λλλ)()(111++=+≤∑k k k i i i x f x f λλ)()(111++=+≤∑k k i ki i x f x f λλ∑+==11)(k i i i x f λ即1+=k n 时不等式成立，结论正确.]6[定理2.2.5 （凸函数的Hadamard 不等式）若函数)(x f 为[]b a ,上的凸函数，则2)()()(1)2(b f a f dx x f a b b a f b a +≤-≤+⎰]7[证明：由题意知，函数)(x f 在[]b a ,上可积.一方面，根据定积分概念和凸函数的Jensen 不等式，有∑⎰=∞→--+-=-n i n b a n a b a b n i a f a b dx x f a b 1))((lim 1)(1 ∑=∞→-+=ni n a b ni a f n 1))((1lim )))((1(lim 1∑=∞→-+≥n i n a b ni a n f ∑=∞→--+-=n i n na b a b n i a a b f 1)))((lim 1( )2()1(b a f x d x a b f b a +=-=⎰ 另一方面，我们令b a x )1(λλ-+=，解得ab x b --=λ 即b ab a x a a b x b x b a x --+--=∈∀],,[ 于是⎰⎰--+---=-b a b a dx b ab a x a a b x b f a b dx x f a b )(1)(1 ))()((1⎰⎰--+---≤b a b a dx a b a x b f dx a b x b a f ab 2)()(b f a f += 综上所述的两个方面，结论成立.例2.2.1 设523≤≤x ，证明1923153212<-+-++x x x 证明：由于函数x y =在区间[)+∞,0上是凸函数，由凸函数的定义2.1.1，我们有 x x x x x x x 31532113153212-+-++++=-+-++ 431532114x x x x -+-++++≤ 142+=x由于x x x 315,32,1--+不可能同时取等号，从而有1921423153212≤+<-+-++x x x x例2.2.2 证明不等式c b a cb ac b a abc ≤++3)(.证明：设0,ln )(>=x x x x f ，由x x f 1)(='可见x x x f ln )(在0>x 时为严格的凸函数，由凸函数的定义2.1.1，我们有)]()()([313(c f b f x f c b a f ++≤++ 从而)ln ln ln (313ln 3c c b b a a c b a c b a ++≤++++ 即有c b a c b a c b a c b a ≤++++3(又因为不等式33c b a abc ++≤成立，所以c b a c b a abc c b a ≤++3)(.]8[ 以上内容就是对凸函数的性质与应用的一些研究，接下来开始研究本课题的核心内容，利用指数凸函数和凸函数之间存在的平行关系，类比出指数凸函数的性质与应用.第3章 指数凸函数的性质及应用本章主要介绍了指数凸函数的概念、性质、判定定理以及在不等式中的应用.从本章的内容来看，不仅让我们了解指数凸函数的基本知识和内容，也让我们理解了研究指数凸函数的数学意义.指数凸函数是凸函数的分支，内容上存在着平行关系.指数凸函数和凸函数一样，可以广泛的应用于其它领域，特别是在不等式中的应用.3.1 指数凸函数的概念和性质对于指数凸函数而言，并没有给出严格的定义，以及相关的性质与应用，但是我们可以根据凸函数的定义、性质及应用，类比建立一个新的不等式模型，定义为指数凸函数.那么我们该如何建立呢？接下来将研究指数凸函数的概念和性质.3.1.1 指数凸函数的概念我们在研究指数凸函数的概念时，先来关注余弦函数x cos 在区间)2,0(π上的不等式链. 我们根据凸函数的性质可以知道x cos 在区间2,0(π是递减的凹函数，同时它也是对数凹函数和几何凹函数.可以得到如下结果：33cos 3cos 3cos cos cos cos cos cos ABC C B A C B A C B A ≤++≤++≤ 其中3c o s c o s c o s c o s 3C B A C B A ++≤可由x c o s 作为对数凹函数直接得到，33cos cos cos cos ABC C B A ≤可由x cos 作为几何凹函数直接得到]9[，那么对于正弦函数x sin 在区间2,0(π会有怎样的情况呢？接下来我们会慢慢进行研究. 由正弦函数x sin 在区间2,0(π是递增的凹函数也是几何凹函数，借助于均值不等式，可以得到如下两组结果：3sin 3sin sin sin sin sin sin 3C B A C B A C B A ++≤≤3sin sin sin sin sin 33C B A ABC C B A ++≤≤ 因此我们想要形成类似于余弦函数x cos 在区间)2,0(π上的不等式链，那么我们就需要研究上述两组不等式中的中间两项3sin sin sin C B A ++与3sin ABC 的大小关系，如何来比较这两者之间的大小关系，我们就需要建立指数凸函数的概念、性质知识. 下面我们给出指数凸函数的定义与指数凸函数的Jensen 不等式. 定义3.1.1 设函数)(x f 为区间),0(+∞⊆I 上的函数，称函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-设函数)(x f 为区间),0(+∞⊆I 上的函数，称函数)(x f 是区间I 上的指数凹函数，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥-类比凸函数的Jensen 不等式（定理2.2.4）我们可以得到指数凸函数的Jensen 不等式. 定理3.1.1 （指数凸函数的Jensen 不等式）函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数当且仅当,,2,1,),1,0(n i I x q i i =∈∀∈∀， ∑==n i i q11，有)()()()(22112121n n q n q q x f q x f q x f q x x x f n +++≤ ]10[注：定义3.1.1是定理3.1.1的一个特例，对于定理3.1.1可以利用数学归纳法证明. 证明：当1=n 时，不等式显然是成立.假设当k n =时成立，即)()()()(22112121k k q k q q x f q x f q x f q x x x f k +++≤只需证1+=k n 时成立))(()(11111211211121121++++++-+++-+=k k k q k q k q k q k q k q k k q q k k q k q q q k q q x x x x x f x x x f))()()(()()(111112211++++++++++++≤k k k k k k k k k k x f q q q x f q q q q q x f q x f q i n i i x q ∑==1即1+=k n 时也成立，结论得以证明.3.1.2 指数凸函数的性质对于指数凸函数的性质，我们可以类比凸函数的一些计算性质，得出相应的指数凸函数在计算方面的性质.性质3.1.1 若函数)(x f 为指数凸函数，则)(x f -为指数凹函数，反之亦然. 证明：函数)(x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对区间I 上任意的两点21,x x 和正数)1,0(∈λ，总有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-在上式的两边同时乘以1-，不等式方向改变，则有))()(1())(()(21121x f x f x x f --+-≥--λλλλ故)(x f -为指数凹函数.同理有函数)(x f 指数凹函数，则)(x f -为指数凸函数. 性质3.1.2 若函数)(x f 为指数凸函数，则1）若0≥α，则)(x f α为指数凸函数；2）若0≤α，则)(x f α为指数凹函数.证明：因函数)(x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对区间I 上任意的两点21,x x 和正数)1,0(∈λ，总有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-1）当0≥α时，在上式两边同时乘以一个正数α，有))()(1())(())()1()(()(2121121x f x f x f x f x x f αλαλλλααλλ-+=-+≤- 即0≥α时，)(x f α为指数凸函数.2）当0≤α时，在上式两边同时乘以一个负数α，有))()(1())(())()1()(()(2121121x f x f x f x f x x f αλαλλλααλλ-+=-+≥- 即0≤α时，)(x f α为指数凹函数. 性质3.1.3 若函数)(),(x g x f 为指数凸函数，则函数)()()(x g x f x h +=为指数凸函数. 证明：因函数)(),(x g x f 是指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤- )()1()()(21121x g x g x x g λλλλ-+≤-则)()()(121121121λλλλλλ---+=x x g x x f x x h )()1()()()1()(2121x g x g x f x f λλλλ-++-+≤ =)]()()[1()]()([2211x g x f x g x f +-++λλ =)()1()(21x h x h λλ-+ 即)()()(x g x f x h +=为指数凸函数. 性质3.1.4 设)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增（递减）的指数凸函数，则 )()()(x g x f x h =是[]b a ,上的指数凸函数. 证明：因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，则对任意的[]b a x x ,,21∈，有0)]()()][()([1212≥--x g x g x f x f整理得)()()()()()()()(22111221x g x f x g x f x g x f x g x f +≤+ （3-1） 又因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-)()1()()(21121x g x g x x g λλλλ-+≤-所以)()()(121121121λλλλλλ---+=x x g x x f x x h)]()1()()][()1()([2121x g x g x f x f λλλλ-+-+≤)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= 再由（3-1）式可知)()()(121121121λλλλλλ---+=x x g x x f x x h)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= )()()1()]()()()()[1()()(2222211112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+≤)()())1()(1()()())1((2211x g x f x g x f λλλλλλ-+-+-+=)()()1()()(2211x g x f x g x f λλ-+= )()1()(21x h x h λλ-+=即)()()(x g x f x h =是[]b a ,上的指数凸函数.性质3.1.5 若函数)(),(x g x f 为指数凸函数，则)}()(max{)(x g x f x h =亦为指数凸函数. 证明：因为函数)(),(x g x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()()()1()()(2121121x h x h x f x f x x f λλλλλλ-+≤-+≤-)()1()()()1()()(2121121x h x h x g x g x x g λλλλλλ-+≤-+≤-从而有}{)()1()(][],[max )(121121121x h x h x x g x x f x x h λλλλλλλλ-+≤=--- 所以)}()(max{)(x g x f x h =亦为指数凸函数.性质3.1.6 若函数)(x f 为指数凸函数，11:R R →ϕ为单调增长的指数凸函数，则 ))((x f ϕ亦为指数凸函数.证明：因函数)(x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-又11:R R →ϕ为单调增加的指数凸函数，所以))(()1()(())()1()(()((2121121x f x f x f x f x x f ϕλλϕλλϕϕλλ-+≤-+≤-即))((x f ϕ为指数凸函数.性质3.1.7 函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数当且仅当)(x e f 为区间I 上的凸函数. 证明：（充分性）已知函数)(x e f 是区间I 上的指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-对于)1,0(,ln ,21∈∀∈∀λI u u 则I x x ∈∃21,，使得2211ln ,ln x u x u ==，我们有)()()(121ln )1(ln )1(2121λλλλλλ--+-+==x x f e f e f x x u u)()1()(21x f x f λλ-+≤)()1()(21ln ln x x e f e f λλ-+=)()1()(21u u e f e f λλ-+=即 )()1()()(2121)1(u u u u e f e f e f λλλλ-+≤-+故函数)(x e f 为区间I 上的凸函数.（必要性）已知函数)(x e f 是区间I 上的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+对于)1,0(,ln ,21∈∀∈∀λI u u ，则I x x ∈∃21,，使得2211ln ,ln x u x u ==，有))1(())1((2121ln ln x x u u e e f e e f λλλλ-+=-+))1((21x x f λλ-+=)()1()(21x f x f λλ-+≤)()1()(21ln ln x x e f e f λλ-+=)()1()(21u u e f e f λλ-+=即 )()1()()1((2121u u u u e f e f e e f λλλλ-+≤-+故函数 )(x e f 为区间I 上的指数凸函数.3.2 常见函数的指数凸性本节将给出一些常见的一元基本初等函数的指数凸性，首先需要了解判别函数指数凸性的判定定理.3.2.1 指数凸函数的判定定理定理3.2.1 设函数)(x f 在区间),0(+∞⊆I 上有定义，)(x f 在区间I 上具有二阶导数，则1）当0)()(≥''+'x f x x f 时，)(x f 为区间I 上的指数凸函数；2）当0)()(≤''+'x f x x f 时，)(x f 为区间I 上的指数凹函数.证明：1）由于0)()(≥''+'x f x x f 时，I x ∈∀，故对I x ln ∈∀，有0)]()([))(())((≥''+'=''=''x x x x x x x e f e e f e e f e e f根据定理2.2.2知，)(x e f 为区间I 上的凸函数，再由性质3.1.7知，)(x f 为区间I 上的指数凸函数.2）由于0)()(≤''+'x f x x f 时，I x ∈∀，故对I x ln ∈∀，有 0)]()([))(())((≤''+'=''=''x x x x x x x e f e e f e e f e e f ，根据凸函数的定理2.2.2知，)(x e f 为区间I 上的凹函数，由性质3.1.7知，从而)(x f 为区间I 上的指数凹函数.]11[现在我们有了指数凸函数的概念、性质和判定定理，就可以回答本章开始提出的问题了.对于正弦函数x x f sin )(=，我们可以根据指数凸函数的判别方法，只需要判断)(co t sin sin cos )()(x x x x x x x f x x f -=-=''+'与零的大小关系.令0)(cot )(=-=x x x g ，可以得到在区间)2,0(π上有唯一一个实数根，设为α，由01)(sin )(cot )(21<--='-='-x x x x g 恒成立.那么函数x x x g -=cot )(在区间)2,0(π是单调递减的，即有当),0(α∈x 时，0sin cos ≥-x x x ；当)2,(πα∈x 时，0sin cos ≤-x x x .由指数凸函数的判定定理3.2.1知正弦函数x x f sin )(=在),0(α∈x 为指数凸函数，在)2,(πα∈x 为指数凹函数，于是 当),0(,,α∈C B A 时，有3sin 3sin sin sin sin sin sin sin 33C B A C B A ABC C B A ++≤++≤≤当)2,(,,πα∈C B A 时，有 3sin sin 3sin sin sin sin sin sin 33C B A ABC C B A C B A ++≤≤++≤ 3.2.2 基本初等函数的指数凸性在前面的研究中，我们了解了正弦函数的指数凸性，那么我们常见的基本初等函数中，又有怎样的指数凸性呢？下面我们来慢慢研究.我们主要研究常数函数、一次函数、幂函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等等.例3.2.1 函数k x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数k x f =)(在区间 ),0(+∞⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有0)()(=''+'x f x x f此时，函数k x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上既是指数凸函数也是指数凹函数.]12[ 例3.2.2 函数b ax x f +=)(在在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数b ax x f +=)(在在区间),0(+∞⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有a x f x x f =''+')()(当0≥a 时，即0)()(≥=''+'a x f x x f ，此时，有函数b ax x f +=)(在在区间),0(+∞⊆I 上为指数凸函数.当0≤a 时，即0)()(≤=''+'a x f x x f ，此时，有函数b ax x f +=)(在在区间),0(+∞⊆I 上为指数凹函数.例3.2.3 函数αx x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数αx x f =)(在区间 ),0(+∞⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有)()()(11'+=''+'--ααααx x x x f x x f))(1(2--+=αααααx x x))(1(11---=αααααx x))1(1(1-+=-αααx12-=ααx即0)()()(1211≥='+=''+'---ααααααx x x x x f x x f 恒成立（α为任意取值都成立）. 此时，有函数αx x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上为指数凸函数.我们可以根据指数凸函数的定义3.1.1知，函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数当且仅当n i I x q i i ,2,1,),1,0(=∈∀∈∀， ∑==n i i q11，有)()()()(22112121n n q n q q x f q x f q x f q x x x f n +++≤我们可以建立如下的不等式：3)(33αααααααC B A ABC C B A ++≤=（此时的312,0(,,=+∈λπC B A ）. 由上式变换可以有3)(3213321ααααx x x x x x ++≤]13[我们应该很熟悉，这就是均值不等式.那么我们可以证明正弦函数x sin 在区间)2,0(π上为指数凸函数来间接证明均值不等式的成立，这是指数凸函数在不等式的应用中远大前景，更多的内容等待着我们去挖掘与研究.51273321333<+≤-++x x x x例3.2. 4 函数x x f ln )(=在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数x x f ln )(=在区间 ),0(+∞⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有1(1)()('+=''+'xx x x f x x f 1(12x x x -+= 011=-=xx 此时，有函数x x f ln )(=在区间),0(+∞⊆I 上既是为指数凸函数也是指数凹函数. 根据指数凸函数和指数凹函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥- 令31,,,321=∈λI x x x ，我们可以建立如下不等式： 3ln ln ln ln 3213321x x x x x x ++≤ 或者 3ln ln ln ln 3213321x x x x x x ++≥例3.2.5 设函数x e x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数x e x f =)(在区间 ),0(+∞⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有x x xe e x f x x f +=''+')()(0)1(>+=x e x 恒成立.则函数x e x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上是为指数凸函数. 根据指数凸函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和),0(+∞∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤- 令31,,,321=∈λI x x x ，我们可以建立如下不等式33213321x x x x x x e e e e ++≤ 例3.2.6 证明na a a nx x x +++ 21与 ,2,1(,021=≥⋅⋅⋅n a n n x x x ）的大小关系. 证明：令函数 ,2,1,)(==x a x f x ，根据指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有)ln (ln )()('+=''+'a a x a a x f x x f x x2)(l n ln a a x a a x x ⋅+=)ln 1(ln a x a a x +=1）当10<<a 时，0ln ,0,0ln <><a x a a xi ）当0ln 1<+a x 时，即ax ln 1-<，函数)(x f 为指数凹函数. 根据指数凹函数的定义3.1.1知，有33213321x x x x x x a a a a ++≥ 即有na a a a n n n x x x x x x +++≥ 2121 ii ）当0ln 1<+a x 时，即ax ln 1-≥，函数)(x f 为指数凸函数. 根据指数凸函数的定义3.1.1知，有33213321x x x x x x a a a a ++≤ 即有na a a a n n n x x x x x x +++≤ 2121 3）当1≥a 时，0)ln 1(ln )()(≥+=''+'a x a a x f x x f x 恒成立，所以函数)(x f 为指数凸函数.根据指数凸函数的定义3.1.1知，有33213321x x x x x x a a a a ++≤ 即有na a a a n n n x x x x x x +++≤ 2121 综上所述，当0<a 时，an ln 1-<，有 n a a a an n n x x x x x x +++≥ 2121 当an a ln 1,0-≥<和1≥a 时，有 na a a a n n n x x x x x x +++≤ 2121 例3.2.7 函数x x f cos )(=在区间)2,0(π⊆I 上有定义，试判断函数x x f cos )(=在区间 2,0(π⊆I 上的指数凸性. 证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有)(cos )()()(''+'=''+'x x cox x f x x f )(sin sin '--=x x xx x x c o s s i n--= )c o t 1(s i nx x x +-= 由函数x cos 与函数x sin 在区间2,0(π⊆I 都是大于0的，即有 0)cot 1(sin )()(<+-=''+'x x x x f x x f此时，函数x x f cos )(=在区间)2,0(π⊆I 上是为指数凹函数. 根据指数凹函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥-令31,,,321=∈λI x x x ，我们可以建立如下不等式： 3cos cos cos cos 3C B A ABC ++≥ 例3.2.8 函数x x f arcsin )(=在区间)1,1(-⊆I 上有定义，试判断函数x x f arcsin )(=在 区间)1,1(-⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有)(arcsin )(arcsin )()(''+'=''+'x x x x f x x f)2()1)(21()1(232212x x x x ---+-=-- 2322232)1()1(---+-=x x x )1(2122232)1()1(-+---+-=x x x ))1(1()1(122212---+-=x x x当)1,1(-∈x 时，0)1(212>--x ，0))1(1(122>-+-x x所以 0)1(1()1()(arcsin )(arcsin )()(122212>-+-=''+'=''+'--x x x x x x x f x x f 此时，函数x x f arcsin )(=在区间)1,1(-⊆I 上是为指数凸函数. 根据指数凸函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤- 令31,,,321=∈λI x x x ，可以建立如下不等式 3arcsin arcsin arcsin arcsin arcsin arcsin 3C B A C B A +≤++ 例3.2.9 函数x x f arccos )(=在区间)1,1(-⊆I 上有定义，试判断函数x x f arccos )(=在 区间)1,1(-⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有)2)()1()(21()1()(arccos )(arccos )()(232212x x x x x x x x f x x f ----+--=''+'=''+'--))1(()1(2322232----+--=x x x ))1(()1()1(2122232-----+--=x x x)))1((1()1(122212----+--=x x x当)1,1(-∈x 时，0)1(212<---x ，0)))1((1(122<--+-x x .所以0)))1((1()1()(arccos )(arccos )()(122212<--+--=''+'=''+'--x x x x x x x f x x f此时，函数x x f arccos )(=在区间)1,1(-⊆I 上是为指数凹函数.根据指数凹函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥-令31,,,321=∈λI x x x ，可以建立如下不等式3arccos arccos arccos arccos arccos arccos 3CB AC B A +≥++3.3 指数凸函数的Hadamard 不等式类比凸函数的Hadamard 不等式（定理2.2.5）我们可以得到指数凸函数的Hadamard 不等式.例3.3.1 设),0(],[+∞⊆b a ，函数)(x f 为],[b a 上连续的指数凸函数，则)(ln ln 1()(ln ln 1()(1)(1(1b f ab a b b a f a b a a b dx x f a b a b e f b a a b a b ---+---≤-≤⎰-]14[ （3-1） 证明：1）先来证明不等式的左边，由题意知，根据定积分的定义和函数)(x f 的指数凸性，有∑-+=-=∞→⎰n i n b a a b nia f n dx x f ab 1))((1lim )(1∏-+≥=∞→ni n n a b nia f 11))(((lim )(lim 1))(ln(1∑==-+∞→n i a b nia n n ef)(1))(ln(1∑==-+n i a b nia n ef)(ln 1⎰=-baxdx a b ef)(1(1ab a b ab e f -=故⎰-≤-baa b a b dx x f a b a b e f )(1))(1(1成立. 2）接下来证明不等式的右边.令λλλ-=1),,(y x y x F ，则有)()(1))(1,,(x x a b x a b F λλλ-=-，当],[b a x ∈时，则ab x b ab xb bax ln ln ln ln ln ln ln ln ----=即⎰⎰----=baab x b ab x b badx baf dx x f )()(ln ln ln ln ln ln ln lndx b f ab ax a f a b x b ba ))(ln ln ln ln )(ln ln ln ln (--+--≤⎰⎰⎰--+--=b a b a dx a x ab b f x b a b a f )ln (ln ln ln )()ln (ln ln ln )( )](ln ln [ln ln )()](ln ln [ln ln )(a b a b b b a b b f a b b a a a a b a f ----+-+--= )()()ln ln ()()(ln ln b bf b f ab a b a af a f a b a b +---+---= 所以))()()ln ln ()()(ln ln (1)(1b bf b f ab a b a af a f a b a b a b dx x f a b b a +---+----≤-⎰)(ln ln 1()()ln ln 1(b f ab a b b a f a b a a b ---+---= 故)(ln ln 1()(ln ln 1()(1b f ab a b b a f a b a a b dx x f a b b a ---+---≤-⎰成立.因此由以上1），2）可得当)ba，函数)f为](x⊆[+∞],0(,a上连续的指数凸函数时，则（3-1）式成立.]15[,[b结论几乎所有的分析类数学分支（实分析、泛函分析、测度论、凸分析等）,其理论框架的基础和出发点都是对函数、泛函、映射等赖以存在的集合或空间的研究,这一特点在凸分析中表现的尤为明显.在优化理论研究中,凸分析起到基石作用,凸分析以研究凸集为出发点,建立凸集与凸函数的密切联系,给出凸函数的一些结果及应用.本课题的研究方向为指数凸函数，研究内容可概括为凸函数的性质及应用与指数凸函数的性质及应用，二者之间存在着平行关系，是运筹学与控制论的一个研究分支.通过对相关文献的大量研究(见国内外研究现状) ，我们发现该方向的研究目前有如下特点：1.从应用层面上的指数凸函数,多属平行推广，论证方法和技巧仅仅是形式上的改变，并没在本质上的进行深入探讨.2.就目前对凸分析理化的研究虽然很深入，但是对于指数凸函数的研究，还没有形成专门的理论.3. 指数凸函数理论并不完善，关于指数凸函数及其相应的指数凸集的内在联系方面还没有形成一般性理论，基本上处于空白阶段,这在一定程度上制约了优化理论的发展.基于上述该方向的目前研究特点，并注意到凸分析等分析类数学分支的研究模式，为了给非凸优化问题的应用提供强有力的基础理论支撑,和新的发展动力，使之向着理论化和科学化方向持续发展，在已有凸函数理论和指数凸集的初步研究基础上，将指数凸函数与凸函数概念到性质有机地结合起来，开展二者的结构理论研究是十分必要和切实可行的.致谢从开始进入论文的开课到论文的顺利完成，整整经过了四个多月的时间.在这几个月里，有很多的老师、同学、朋友给了我无数的帮助，在这里我真心的谢谢他们！首先感谢我要感谢我的父母，是他们的辛苦劳作的血汗钱，和对我的教导才让我考上佳木斯大学.四年来对我的培养，是他们教会我学习方法、锻炼了我的思考能力，指明了我未来奋斗的方向，使我进一步明确人生的目标.其次，我要感谢我的指导老师-黄金莹老师，他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我学习、工作中的榜样；黄老师循循善诱的教导和不拘一格的思路给与我无尽的启迪.在撰写整个毕业论文的过程中，黄老师为我们考虑到了每一个细节，尤其是在开题报告和毕业论文的拟定修改上，黄老师更是不厌其烦的为我们做好每一步的细心指导.没有黄老师，我的论文也不可能这么顺利的完成.最后，我要感谢每一位给过我帮助的老师和同学，在我撰写论文的过程中同样给了我大量有益的建议，再次向他们表示衷心地感谢，感谢他们对我的支持和帮助.肖坤2015年6月。
本科生毕业论文任务书
商昌丸竽本科生毕业论文任务书（文理科使用）题目：___________ 中小企业融资问题研究___________________ 题目来源：□省部级以上□校级□横向□自选题目性质：□理论研究□应用与理论结合研究□实际应用研究学院：经济与管理学院专业：会计学班级：09会计双学位学号：1100080075姓名：涂敏之起讫日期：_______ 2010年12月——2011年5月指导教师：彭继增职称: 教授系分管主任：___________________________________________审核日期：_____________________________________________•、毕业论文的要求和内容毕业设计（论文）应重视培养学生的创新意识和创新精神，并完成以下基本能力的培养（1）资料、信息的获取及分析、综合的能力。
（2）方案论证、分析比较的能力。
（3）实验、动手的能力。
（4）使用网络和计算机（包括索取信息、计算机绘图、数据处理、基本应用等）的能力。
（5）论文撰写、答辩的能力。
［、研究方案、目标本课题研究方案1.收集信用证的有关文献资料2.扩充查阅范围或实地调查3.分析、筛选已有的信息资料4.构思论文框架，编写论文提纲5.完成开题报告6.开始撰写论文并反复修改7.定稿，最终完成论文写作研究目标：鉴于中小企业在国民经济和社会发展中的重要作用，中小企业融资问题已经成为社会关注的焦点。
对于处于发展阶段的我国中小企业，企业融资结果直接决定着企业能否持续发展壮大，因此改善我国中小企业融资环境、拓宽中小企业融资渠道已经成为解决中小企业融资困境、促进中小企业发展的当务之急。
本文研究的主要目的就是旨在通过对我国中小企业融资现状及融资难的成因分析，总结发达国家融资经验对我国的借鉴作用，为建立健全和完善我国中小企业融资体系提出相应的对策和建议三、阅读书目清单1.郭跃显，李惠军•中小企业融资结构与模式研究[M] •哈尔滨工程大学出版社，2007年2.胡小平•中小企业融资[M] •经济管理出版社，2000年3.汤洪波•中小企业信贷融资缺口分析[M]，南方经济，2006年4.俞建国.中国中小企业融资[M].中国计划出版社，2007年第十五、十六周（月日至月日）第十七、十八周（月日至月日）学生主要工作:签名：学生主要工作:签名:指导教师审查意见: 指导教师审查意见:七、其他（学生提交）1.开题报告1份2.外文资料译文1份（2000字以上，并附资料原文）3.论文1份（理科8000字以上，文科12000字以上）指导教师：_____________________________学科组负责人： _____________________学生开始执行任务书日期： _______________________ 学生姓名： __________________________送交毕业设计日期:。
5佳木斯大学开题报告样例
附件3
佳木斯大学
毕业论文(设计)开题报告
论文题目：浅谈如何促进幼儿语言能力
学院：继续教育学院专业：学前教育
学生姓名：学号:
指导教师：职称：教授
2014 年 2 月 10 日
开题报告填写要求
1．开题报告作为毕业设计（论文）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。
此报告应在指导教师指导下，由学生在毕业设计（论文）工作前期内完成，经指导教师签署意见审查后生效。
2．开题报告内容必须按文档标准格式打印或用黑墨水笔工整书写，禁止打印在其它纸上后剪贴，完成后应及时交给指导教师签署意见。
3．学生查阅资料的参考文献应在10篇及以上，其中外文参考文献不少于2篇（不包括辞典、手册），开题报告的字数要在1000字以上。
4．有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 7408—94《数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法》规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。
如“2008年9月16日”或“2008-09-16”。
佳木斯大学论文规范
毕业论文（设计）课题名称___石墨烯的性能与应用研究___学院理学院 _专业 X X X （S）班级2009 级X班指导教师 X X X学生姓名 X X X佳木斯大学教务处强预不变凸函数的性质及其判别准则（题目黑体二号居中）张明（名字黑体三号居中）佳木斯大学理学院数学系（黑体三号居中）2013年6月（黑体三号居中）(论文打印从内封开始全部应用教务处的毕业论文(设计)用纸膜版打印)（空格黑体小二号）目录（黑体小二居中）（空格黑体小二号）摘要（一级目录摘要及其各章都是黑体小四，二级三级目录均为宋体小四） (I)Abstract（Times New Roman 小四） (Ⅱ)（宋体小四空一行）第1章绪论 (1)第2章强预不变凸函数及其性质 (2)2.1广义凸函数的定义 (3)2.2强预不变凸函数的运算性质 (5)2.3强预不变凸函数与其它凸函数的相关性 (6)2.3.1 强预不变凸函数与强凸函数的相关性 (6)2.3.2 强预不变凸函数与严格强预不变凸函数的相关性 (7)结论(黑体小四) (31)致谢 (32)参考文献 (33)附录1 (35)附录2 (38)注：一、整篇论文中所有黑体字都要加黑二、“目录”二字使用黑体小二号字，隔行书写内容。
目录中各章题序及标题用小四号黑体，其余用小四号宋体。
所有正文部分均为1.5倍行间距。
（黑体小二号空格居中）摘要（黑体小二居中）（黑体小二号空格居中）（宋体小四）预不变凸函数是凸函数的重要推广函数之一，它在数学规划中有许多的应用。
并讨论了在一定条件下，f是强预不变凸函数，当且仅当f是预不变凸函数且f满足中间点强预不变凸性；我们也证明了，在一定条件下，f是强预不变凸函数当且仅当f是严格预不变凸函数且f满足中间点强预不变凸性；在一定条件下，f是强预不变凸函数，当且仅当f是半严格预不变凸函数且f满足中间点强预不变凸性等，在中间点强预不变凸函数条件下，分别给出预不变拟凸性和半严格预不变拟凸性的两种强预不变凸函数的特征。
汪隆鑫任务书
佳木斯大学（2015）届毕业论文（设计）任务书
毕业论文（设计）题目
小型包子机设计
学院
机械工程
学号
11090140234
班级
110901402
下达日期
2015．03．01．
专业
机械设计制造及其自动化
学生姓名
汪隆鑫
指导教师
臧克江
教师职称
教授
毕业论文（设计）的主要内容与要求
完成一种小型包子机设计，技术要求：体积小、重量轻、220V50Hz交流供电。设计内容主要包括：
参考资料
[1]成大先主编.机械设计手册（第四卷第五版）.化学工业出版社
[2]吴宗泽，罗圣国.机械课程设计手册.北京：高等教育出版社，2006.5
[3]濮良贵，纪明刚.机械设计（第八版）.北京：高等教育出版社，2010.5
[4]吴振彪主编.机电综合设计指导.中国人民大学社.2000.
[5]黄调，赵松年主编.机电一体化技术基础及应用.机械工业出版社.1999.
论文进度安排
序号
工作任务
起止日期
序号
工作任务
起止日期
1
文献收集、现场考察
3.1—3.24
5
毕业论文撰写
5.26—6.15
2
包子成形原Hale Waihona Puke 分析3.25—4.56
3
包子机功能及结构设计、包子机控制系统设计
4.6—5.15
7
4
虚拟样机设计及仿真
5.16—5.25
8
教研室主任（签字）
年月日
1.包子成形原理分析；
2.包子机功能及结构设计；
3.包子机控制系统设计；
4.虚拟样机设计及仿真；
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8
教研室主任（签字）
年月日
[9]张海云,赵玉刚,侯仰海.微型教学型三坐标数控铣床的研制[J].机床与液压, 2009, 37(324): 52-53
[10]王兴义.机电一体化设计手册[M].北京:机械工业出版社, 2000. 600-609
[11]机械设计手册编委会.机械设计手册[M].北京:机械工业出版社, 2004. 1145-1161
[5]胡友德.伺服系统原理与控制[M].北京:北京理工大学出版社, 1993. 109-122
[6]张建民.机电一体化系统设计[M].北京:高等教育出版社, 2007. 49-53
[7]熊世河.机电一体化原理与应用[M].北京:国防工业大学出版社, 1992. 78-81
[8]邱时前,陈志同.五坐标微铣削机床的研制[J].机械制造, 2007, 45(509): 30-31
论文进度安排
序号
工作任务
起止日期
序号
工作任务
起止日期
1
查资料，与老师交流初定选题
3.10~3.20
5
修改论文，完成初步定稿。
5.11~5.31
2
在老师指导下，填写开题报告
3.21~4.02
6
完成定稿，准备答辩
6.01~6.10
3
根据提纲，撰写初稿
4.02~4.30
7
论文答辩
6.11~6.14
4
查找外文，撰写外文翻译
[12]濮良贵.机械设计[M].北京:高等教育出版社, 2012. 309-315
[13]张信义.经济型数控机床设计[M].北京:机械工业出版社, 2006. 45-47
[14]赵松年.数控工作台简明设计手册[M].北京:中国铁道出版社, 2007. 89-91
[15]余军. Creo基础教程[M].西安:西安交通大学出版社, 2012. 90-94
附件0
佳木斯大学（2015）届毕业论文（设计）任务书
毕业论文（设计）题目
三轴联动机械手臂机械结构设计
学院
机械工程学院
学号
11090040122
班级
机制四班
下达日期
2015.3.2
专业
机械设计制造及其自动化
学生姓名
张ห้องสมุดไป่ตู้奇
指导教师
周海波
教师职称
教授
毕业论文（设计）的主要内容与要求
论文内容：首先简单介绍研究背景，国内外研究现状，研究的目的和意义；并提出两种设计方案，方案一采用液压缸作为执行元件，方案二选择滚珠丝杠作为执行元件，最后选择采用丝杠螺母副的直角坐标系机械手臂；分析运动情况，选择合适的伺服电机，并对控制系统做简要介绍；对整个机械臂上选要安装的零部件进行设计选型；将所设计的机械臂的零部件采用Creo绘制，并将所绘制的零部件进行模拟装配。
论文要求：论文题目不应超过20字，不设副标题，不得使用标点符号，尽量不用英文缩写单词；
论文应包括题目、摘要与关键词、目录、正文、致谢、参考文献和附录等几部分；参考文献数量一般不少于15篇；正文字数一般不少于10000字。
关于论文内容，应包含一下几个方面
1、课题研究背景、现状、意义。
2、简述电气方面设计内容。
[3]谭亚明.电机及拖动[M].北京:机械工业出版社, 2006, 44-48
[4] Chi-Sheng, Ton-Tai. A Heavy Duty Servo M otor Design in Robot Applications[J]. Automation and Mechatronics of Agricultural and Bioproduction Systems, 2009, 88(605): 60-68
3、详细叙述机械结构方面内容。
4、对机械结构进行三维模型绘制并写入论文。
参考资料
[1]陈瑜.工业机器人[M].北京:机械工业出版社, 2012. 6-9
[2] LI, YanBiao. Design of a novel 3-DOF hybrid mechanical arm[J]. Technological Sciences, 2009, 52(12): 3592-3600