第六章 正弦交流电路的功率

P Re[U I* ]
U
I *
记 S UI* 为复功率，单位VA
S UI* UI( u i ) UI
UIcos jUIsin
P jQ
def
Q UI sinφ
无功功率 单位 : 乏 (var)
6：复功率守恒
b
Sk 0
k 1
b
(Pk jQk ) 0
k 1
b • •*
UkIk 0
并联电容
分析:
I
IC
+
R
I L
U
C
_L
1 2 I
U
IL IC
再从功率这个角度来看 :
有功：UIL cos1 =UI cos2 无功：UILsin1 > UIsin2
并C后
补偿容量的确定：
IC I L sinφ1 I sinφ2
将 I I L cosφ1 P
,
cosφ2 U cosφ2
IC
P U
电容的平均功率也为零，即：
pc
1 T
T p(t)dt 1
0
T
T
0 (UcIc sin 2t)dt 0
电感元件以磁场能量与外界进行能量交换， 电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。
6.2 6.3 6.4 二端网络的功率
1.瞬时功率
在图6-13所示二端电路中，设电 流 i(t) 及 端 口 电 压 u(t) 在 关 联 参 考 方向下，分别为：
视在功率: S=UI
单位：W 单位：var 单位：VA
S P2 Q2
S
Q
Z
X
P
R
功率三角形 阻抗三角形
U
UX
UR 电压三角形
+ UR百度文库_
º+ R +
U_
U_X X
º
5. 复功率
I
+
U_
负 载
U U u , I I i
P UI cos( u i )
UI Re[e j( u i ) ] Re[Ue ju Ie- ji ]
p 1
T
p (t )dt
T0
1 T
T
0 [UI cosu UI cos(2t u )]dt
UI cos Z
式中cosZ 称为二端电路的功率因素，功率因素 的值取决于电压与电流之间的相位差 Z ， Z 也
叫功率因素角。
功率因数提高
2．功率因数的意义 功率因数是电力系统很重要的经济指标。 它关系到电源设
图 6-14 二端RLC电路的瞬时功率
从图上看出，u(t)或i(t)为零时，p(t)为零；当二 者同号时，p(t)为正，电路吸收功率；二者异号 时，p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说 明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量 多，说明电路有能量的消耗。
2. 有功功率（也叫平均功率）和功率因素
(tgφ1
tgφ2 )
C
P ωU
2
(tgφ1
t gφ 2
)
1 2 I
U
IL IC
IL
U
P cosφ1
代入得
补偿容 欠 量不同 全
过
例. 已知：f=50Hz, U=380V, P=20kW, cos1=0.6(滞后)。要
使功率因数提高到0.9 , 求并联电容C。 I
IC
+
U
P=20kW
cos1=0.6
其瞬时功率 的波形图如6-10 所示。由图可见， 电阻元件的瞬时 功率是以两倍于 电压的频率变化 的，而且pR（t） ≥0，说明电阻元 件是耗能元件。
图 6-10 电阻元件的瞬时功率
电阻的平均功率
PR
1 T
T p(t)dt 1
0
T
T 0
U R I R
URIR
cos2t dt
URIR
I 2RR
－ US ＋ RL
当 RL ZS
R2
X
2 L
时， 模匹配， 能获得最大功率，
即
RL 52 52 7.07
.
.
I
U
10 / 0o
10 / 0o
ZS RL 5 j5 7.07 12.7 j5
10 13.06
/ /
0o 22.5o
0.7662 / 22.5
PR max I 2RL 0.7662 7.07 4.15W
U2 R
可见对于电阻元件，平均功率的计算公式
与直流电路相似。
2. 电感元件的功率 在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为
iL t 2IL sin tA
则电感电压为：
uL (t)
2
I
L
X
L
s
in(t
2
)V
2U
L
s
in(t
2
)V
其瞬时功率为
pL (t) uL (t) iL (t)
2U
L
IL
dPL 0 dRL
即
dPL dRL
U
2 S
( RS
RL )2
X
2 S
(RS
RL )RL
( RS
RL )2
X
2 S
2
0
( RS
RL )2
X
2 S
2(RS
RL )RL
RL2
RS2
X
2 S
RL
RS2
X
2 S
ZS
PR max
2
ZS
U
2 S
(1 RS
/
ZS
)
2
ZS
US2
(1 cosS )
(6.8.5) (6.8.6)
设流过电阻元件的电流为
IR (t)=Im sinωt A 其电阻两端电压为
uR(t)=Im R sinωt =Um sinωt V 则瞬时功率为
pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2ωt =URIR（1-cos2ωt）W
由于cos2ωt≤1,故此
pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0
C
_
+
R
I L
U
C
_L
解： 由cosφ1 0.6 得 φ1 53.13o
由cosφ2 0.9 得 φ2 25.84o
1
P C U 2 (tgφ1 tgφ2 )
20 103 314 3802
(tg53.13
tg25.84 )
2 I
IL IC
U
375 F
补偿容量也可以用功率三角形确定：
sin(t
2
)
sin
t
U L I L sin 2t
上式表明，
电感元件的
瞬时功率也
是以两倍于
电压的频率
变化的；且 pL(t)的值可正 可负，其波 形图如图6-11 所示。
图6-11 电感元件的瞬时功率
从图上看出，当uL(t)、iL(t)都为正值时或都为 负值时，pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转 化为磁场能量储存起来；反之，当pL(t) 为负时， 电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替， 说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交
QC
QL
Q
1 2
P
Q QL Q P(tg1 tg 2 )
QC ω CU2
C
P
ωU
2
(tg 1
tg 2 )
3. 无功功率、视在功率 无功功率用Q表示，定义
Q UI sin Z
通常将二端电路电压和电流有效值的乘 积称为视在功率，用S表示，即
S=UI
4.有功，无功，视在功率的关系：
有功功率: P=UIcos 无功功率: Q=UIsin
例 在图 所示的正弦电路中， R和L为损耗电阻和电 感。 实为 电源内阻参数。 已知 us(t) 10 2 sin105tV , R=5 Ω， L=50μH。 RL=5 Ω， 试求其获得的功率。 当RL为多大时， 能获 得最大功率? 最大功率等于多少?
解 电源内阻抗为
ZS R jX S 5 j105 50 106 R
I 2RL
(RS
U
2 S
RL
RL )2 j( X S
X L)2
(6.8.1)
负载获得最大功率的条件与其调节参数的方式有关, 下面分两 种情况进行讨论。
1. 负载的电阻和电抗均可调节
从式(6.8.1)可见， 若RL保持不变， 只改变XL， 当XS+XL=0 时， 即XL=－XS， PL可以获得最大值， 这时
PL
U S2 RL (RS RL )2
再改变RL， 使P L获得最大值的条件是
dPL 0
即
dRL
dPL dPL
U
2 S
(RS
RL )2 2RL(RS (RS RL )4
RL )
0
故
(RS RL )2 2RL (RS RL ) 0
得RL=RS， 因此， 负载获得最大功率的条件为
XL XS
换。
电感消耗的平均功率为：
pL
1 T
T 0
pL
(t)dt
1 T
T
0 U L I L sin 2tdt 0
电感消耗的平均功率为零，说明电感元件 不消耗功率，只是与外界交换能量。
3．电容元件的功率 在电压、电流为关联参考方向下，设流过电 容元件的电流为:
ic (t) 2Ic sintA
则电容电压为 ： uc (t)
5 j5 5 2 / 45o
L
.
设电压源的相量为 U 10 / 0oV
电路中的电流为 .
.
I
US
10 / 0o 10
ZS RL 5 j5 5 10 j5
10 / 0o 11.8 / 26.6o
0.89 / 26.6o
负载获得的功率为
PL I 2RL 0.892 5 4W
负载ZL获得最大功率的条件。
其中
ZL RL jX L
＋ . US
－
ZS
由图可知， 电路中电流相量为
.
.
.
I
US
US
ZS ZL (RS RL ) j( X S X L )
电流的有效值为
I
US
(RS RL )2 j( X S X L )2
负载吸收的功率
. I
ZL
有内阻抗的 交流电源
PL
即 ZL RS
RL RS
(6.8.2)
负载的阻抗与电源的内阻抗为共轭复数的这种关系称为共轭匹
配。
此时最大功率为
Pmax
U
2 S
4RS
2．负载为纯电阻
(6.8.3)
此时， ZL=RL， RL可变化。 这时式(3——47)中的XL=0， 即
PL
(RS
U
2 S
RL )2
X
2 5
RL
(6.8.4)
PL为最大值的条件是
k 1
b
k 1 b
Pk
0
k
1
Qk
0
* 复功率守恒, 不等于视在功率守恒.
一般情况下：
b
S Sk k 1
复功率也可表示为
S U I* Z I I* I 2 Z
S U I* U (UY )* UU *Y * U 2Y *
6.5 正弦交流电路中的最大功率
以如图 所示的电路相量模型为例， 分析在US、 ZS给定的条件下，
PR max
2
ZS
U
2 S
(1 cosS )
25
1002
4.15W
2(1 cos45o )
第六章 正弦交流电路的功率
6. 正弦交流电路的功率
6.1 R、L、C元件的功率、能量 6.2 6.3 6.4 二端网络的功率 6.5 正弦交流电路中的最大功率
6 正 弦 交流电路 的 功 率
6.1 R、L、C元件的功率和能量 1 .电阻元件的功率 设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬 时功率为 pR(t)= u(t)I(t)
ui
i(t) 2I sin tA
u(t) 2U sin(t u )V
图 6-13
则二端电路的瞬时功率为：
p(t) u(t)i(t) 2U sin(t u ) 2I sin t UI[cosu cos(2t u )] UI cosu UI cos(2t u )
上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成， 第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变 化的正弦量。瞬时功率如图6-14所示。
2I
c
X
c
sin(t
2
)V
其瞬时功率为：
2U C
sin(t
2
)V
pc
(t
)
uc
(t
)ic
(t
)
2U
c
I
c
s
in(t
2
)
sin
t
Uc Ic sin 2t
uc (t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图6-12所示。
uiCC
图 6-12 电容元件的瞬时功率
从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电 容元件只与外界交换能量而不消耗能量。
备能否充分利用。 为提高电源设备的利用率， 减小线路压降及 功率损耗， 应设法提高功率因数。 3．提高功率因数的方法
提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容 器。 感性负载并联电容器后， 它们之间相互补偿， 进行一部分 能量交换， 减少了电源和负载间的能量交换.
4. 感性负载提高功率因数的原理可用图说明。