理工线代A期末练习题解答
理工大学线性代数考试试卷及参考答案(A)
考试时间：年月日
课程名称：线性代数适用专业年级：
考生学号：考生姓名：
………………………………………………………………………………………………………
一、单项选择（20分＝4分 5）：来自1．（ ） ,( ) ,
( ) , ( ) ．
2．设 为同阶方阵，则（）成立
（ ） ,( ) ,
５．二次型 ，当满足（）时，是正定二次型．
( ) ； （ ） ； （ ） ； （ ） ．
二、填空题（20分＝4分 ）：
6． ，则 _______．
7．设 为四阶方阵，若 ＝ ，则其伴随矩阵 的行列式 =_______．
8．若 ，当 _______时， 2．
9．设 ，其中 ，则 ________．
10．设 为正定矩阵，则 _______．
( ) , ( ) ．
3．设 为 矩阵，齐次线性方程组 仅有零解的充分必要条件是 的（）．
( )列向量组线性无关，（ ）列向量组线性相关，
（ ）行向量组线性无关，（ ）行向量组线性相关．
4．向量 线性无关，而 线性相关，则（）。
( ) 必可由 线性表出，（ ） 必不可由 线性表出，
（ ） 必可由 线性表出，（ ） 必不可由 线性表出．
七、解答题(6分)：
16．解：设 则有
， 的特征值为 2’
对应于 的特征向量可以计算得： 单位化得 1’
对应于 的特征向量可以计算得： 单位化得 1’
作正交变化 得到 ，由正交变化得刚性知面积为 。2’
七、解答题(6分)：
16．求曲线 所围成的图形的面积。
2005级线性代数期末考试参考答案（A卷）
一、单项选择（20分＝4分 5）：
天津大学2021年《线性代数》期末试题A及答案
一、填空题（共75 分每空3分）1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 1 10 2 10 0 1A ，则=-A - 6 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11/3 1/6- 1/6 - 0 1/2 2/10 0 1 1A ，=2A 36 .2．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 10 23 22102111 0 0010101,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12 58 54 1 3 224 3 2 1.3．行列式6 3 3 2 12 1 1 1 = 18 ，行列式=22 02- 1 000 2____12_______. 4． 两个向量)1 ,2 ,1(),0 ,1 ,1(21='='αα的内积为： 3 ， 夹角为：6/π; 把21αα，用施密特正交化方法得: 0,2/1,2/1 '211）（，-==βαβ5．若向量)3,2(),2,1(),7,4(21='='='ααβ，则β用21,αα组合的表达式是212ααβ+=.6．向量组)3,1,3('),0 ,1 ,0(),1 , 1- ,1(),0 ,0 ,2(4321=='='='αααα的线性相关性为： 线性相关，它的秩是 3 .7．已知向量组α1=(1,0,0),α2=(2,5,2),α3=(1,5,k)线性相关,则k =___2__________. 8．若3阶方阵A 的三个根分别是1，2，3，则 方阵A 的行列式6=A9． 设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0 00000 101000101，则矩阵A 的秩为 2 ，线性方程组OX A =的基础解系的向量个数为 3 . 10．给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=++232132132111λλλλx x x x x x x x x ）（,得分则：当λ≠1且λ≠0 时，方程组有唯一解；当λ= 1 时方程组有无穷解； 当λ= 0 时方程组无解.11．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 0 11 2 100 2A 的特征值为： 2 、1，对应于特征值1=λ的特征向量为：0,110≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅k k .12． 设A 设方阵A 满足E A A =',则=A ____1±________.13．二次型23322221213212222),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵的系数矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2 1 01 2 10 1 1A ，该二次型为 正 定二次型.二、计算题（共5分）设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 112, 求矩阵X, 使E A AX 2+= 解 由AX = A +2E 得)2(1E A A X +=- 2’()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5 2- 1 02- 3 0 1~3 1 1 11 4 12 2 E A A 3’ 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5 2-2-3 X三、计算题（共6 分）已知向量组.1222,1343,1121,11114321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=＝ ＝ ＝ αααα业:……线……………………………………得分得分求向量组4321αααα，，，的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示出来.解 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 0 0 01 0 0 00 1 1 0 0 2 0 1~1 1- 1 1-2 3 1 12 4 2 1 2 3 1 14321r αααα，，，由此可知, 421,ααα，为一组极大线性无关向量组, 2132ααα+=四、计算题（共6 分）求非齐次线性方程组⎩⎨⎧=-+--=+--222243214321x x x x x x x x 的通解．解 增广矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2 1- 1 0 00 0 0 1- 1~2 1- 1 222- 1111r B 2’还原成线性方程组⎩⎨⎧+==24321x x x x 1’可得方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020011000011214321c c x x x x ,21,c c 为任意常数. 2’五、限选题（共8分）（经管类学生可选做第1、2小题中的一题，理工类学生仅限做第2小题）(1) (理工类学生不做此小题)已知二次型312322212)(x x x x x x f -++=， a ） 出二次型所对应的矩阵Ab ）用配方法将二次型化为标准型， C)写出相应的可逆线性变换矩阵。
线性代数期末考试 及答案
线性代数期末考试一. 判断题（正确打√，错误打×）1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 解答：因为没有说明01≠⨯n x ，所以错误.2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√) 解答：因为实对称矩阵与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21相似（n λλλ,,,21 是A 的特征值），而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21的秩等于n λλλ,,,21 中非零数的个数, 又因为相似矩阵秩相同, 所以结论正确.3．二次型Ax x T 的标准形的系数是A 的特征值(×)解答：正确结论是： 用正交变换化二次型Ax x T 为标准形的系数是A 的特征值. 4. 若k ααα,,, 21线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (×)解答：虽然k ααα,,, 21都是A 的特征向量，但他们不一定属于A 的同一个特征值，所以他们正交化后不一定是特征向量.5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则 Ax x T不是二次型. (×)解答：对于任意的n 阶矩阵A ，Ax x T都是二次型，只是若不要求A对称，二次型Ax x T中的A 不唯一. 例如取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4421A ，那么21222164x x x x Ax x T ++=，但取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4331A ，仍得到此二次型. 二．单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一个特征值为(C ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 解答：因为n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 a A ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111a A ，所以a 1是1-A 的一个特征值，所以22-a 是12)21(-A 的一个特征值.2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 解答：A 对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数≤λ的重数. 3. 设A 为n 阶非零矩阵，并且O A =3，那么(C ) .(A) A E -不可逆，A E +不可逆； (B) A E -不可逆，A E +可逆；(C) A E -可逆，A E +可逆； (D) A E -可逆，A E +不可逆. 解答：设λ为A 的任意一个特征值，那么3λ是3A 的特征值，但O A =3， 所以0=λ，所以1±=λ不是A 的特征值，所以A E -、A E +都可逆. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为(D ). (A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112； (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112；(D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221.解答：方法1 合同矩阵的行列式符号相同(BC C A T =,那么B C A 2=)，所以选(D) . 方法2 2122214x x x x Ax x T ++=, 令⎩⎨⎧=-=2211y x y x , 那么2122214y y y y Ax x T -+=,而2122214y y y y Ax x T-+=的矩阵就是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221, 所以选(D) . 方法3 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 的特征值是3,1-, 而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221的特征值也是3,1-, 所以两个二次型可化为同一个标准型, 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221合同, 所以选(D) . 三. 填空题1. 若A 为正定矩阵，且E A A T =，则=A E .解答：因为A 为正定矩阵, 所以A A T =, 并且E A +可逆，从而E A =2,即O E A E A =-+))((, 所以E A =.2.设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，01=αA ，2122ααα+=A ，则A 的非零特征值为=λ 1 .解答：方法1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==1020),()2,0(),(),(21212121ααααααααA A A , 而 21,αα线性无关，所以矩阵),(21αα可逆，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020),(),(21121ααααA ， 即A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020相似，所以A 的非零特征值为1. 方法2 因为01=αA ，01≠α，所以0是A 的一个特征值. 因为02212≠+=αααA ，而22122)(ααααA A A A A =+=，所以1是A 的一个特征值, 而A 为2阶矩阵, 所以A 的非零特征值为1.3. 设3阶方阵A 的特征值互不相同，0=A ，则A 的秩= 2 . 解答：因为A 的特征值互不相同，所以A 与对角矩阵相似，所以)(A R 等于A 的非零特征值的个数, 因为A 为3阶方阵, 0=A , 所以A 的特征值 是01=λ，2λ、03≠λ，所以2)(=A R .4. （2011年考研题）若二次曲面的方程4=2+2+2++3+222yz xz axy z y x 经正交变换化为4=4+2121z y ，则=a 1 .解答：由题知二次型的系数矩阵的特征值为4=1=0=321λλλ,, ，于是有0==1111311=321λλλaa A ||，解得1=a . 5. （2011年考研题）设二次型Ax x x x x f T=321),,(的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y解答：因为二次型Ax x x x x f T=321),,(的秩为1，所以非零特征值只有一个，由A 的各行元素之和为3，知3是A 的特征值，故f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y . 6. （2011年考研题）二次型3231212322213212+2+2++3+=x x x x x x x x x x x x f ),,(，则f 的正惯性指数为 2 .解答：方法1 配方得2223213212+++=x x x x x x x f )(),,(，故正惯性指数为2.方法2 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111131111=A 的特征值也可得正惯性指数为2. 7. 设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1，则=--E A 14 3 .解答：因为A 的特征值为2,2,1, 所以-1A 的特征值为2121,1，, 所以E A --14的特征值为11,3，, 所以341=--E A四. 计算题 1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量. 解答：λλλλλλλλλ--------------=-731941521132735946524||列列加到、E A)1(210420521)1(731941521)1(2λλλλλλλλ-=------=------=,所以特征值为11=λ，=2λ03=λ.对于11=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111k x ,对于=2λ03=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312k x , 其中21,k k 是不为零的任意常数.2．求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量. 解答：因为1))(---=-n n EA λλλ（行和相等, 所以0121====-n λλλ ,n n =λ.对应于0121====-n λλλ : 方程组0=Ax 即为021=+++n x x x ,所以特征向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1111n n k k k k x , 其中121,,,-n k k k 不全为零. 对应于n n =λ:因为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-n n n nn n n n nE A00111111111111行 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−101011000101011111行行n, 所以方程组nx Ax =即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-111312x x x x x x n , 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a x , 其中0≠a .3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y xA 与对角阵相似，求x 和y 应满足的条件. 解答：容易求得A 的特征值为11-=λ，132==λλ，因为A 与对角阵相似当且仅当A 有3个线性无关的特征向量，所以对应于132==λλ，应该有两个线性无关的特征向量，所以2)(3=--E A R ，即1)(=-E A R ,而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00000101-1010101y x y xE A 行, 所以0=+y x .4.（2011年考研题）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-0011A . （1） 求A 的特征值与特征向量;（2） 求矩阵A .解答：（1）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-01-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01A A ,, 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-011k ，1k 为任意非零常数； 1也是A 的一个特征值，且属于1的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1012k ，2k 为任意非零常数.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则 ()()0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01321321x x x x x x ,， 即 ⎩⎨⎧0=+0=-3131,,x x x x于是属于0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0103k ，3k 为任意非零常数.（2）令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011-100011=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001-=1-AP P ， 于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001000100=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0102102121-021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-=1-P P A 5．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,（1）求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程1),,(321=x x x f 表示何种曲面. 解答：二次型),,(321x x x f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=91203512c 60091203511224033351315c c c A 行行, 因为 2)(=A R ，所以3=c （或者由0=A 得c ）. 于是)9)(4(363361001)4(33335111)4(333351044333351315||--=------=------=-------=-------=-λλλλλλλλλλλλλλλλλE A所以A 的特征值为9,4,0, 于是二次型),,(321x x x f 通过正交变换化为232221094y y y ++,所以1),,(321=x x x f 表示椭圆柱面. 五．证明题1. 若矩阵A 满足O E A A =+-232，证明A 的特征值只能是1或2.证明: 设λ为A 的任意一个特征值，那么232+-λλ是E A A 232+-的特征值, 所以0232=+-λλ, 所以21或=λ.2. 证明⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010100002A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260010001B 相似. 证明: 容易求得A 、B 的特征值都是2,1,1-, 所以A 、B 都与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001相似, 所以A 与B 相似.3. 已知A 、B 都是n 阶正交矩阵, 且0=+B A , 证明0=+B A .证明 因为TTTTTB A A B B B A A )()(+=+=+, 所以||||||||B A B B A A +=+， 而A B -=，12=A , 所以||||B A B A +=+-, 所以0=+B A . 4. 若矩阵A 正定，证明A 可逆并且1-A 也正定.证明 因为A 正定，所以A A T=且 ||A >0，于是A 可逆.由1-1-1-==A A A T T )()(知1-A 为对称矩阵，由于A 正定，所以A 的特征值n λλλ ,,21全为正，于是1-A 的特征值nλλλ11121,,,. 也全为正，故1-A 正定.5.设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ,试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵.证明 由于B A A E A A E B T T T T =+=+=λλ)(, 所以B 为n 阶实对称矩阵.于是，对于任意的非零列向量x ，有 Ax A x x x x A A E x Bx x T T T T T T +=+=λλ)( )()(Ax Ax x x T T +=λ， 而当0≠x 时，有0>x x T ， 0≥)()(Ax Ax T ， 从而，0>λ时，0>+=)()(Ax Ax x x Bx x TTTλ，即矩阵B 为正定矩阵.。
线性代数(A)及答案详细解析
b a b
b b a
当 2 7 时， （-7I-A ）=0，解得
1 / 2 3 1 ， 3 即为对应于 2 7 的线性无关特征向量。 1
= [a (n 1)b] 三. 解：
= [a (n 1)b] (a b) n1
, 则矩阵 A 的秩 rA
x ty z 0 2 x y z 0 ty 3 z 0
其是否可对角化. ( 10' ) 六. 用合同变换化二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 2 4x1 x2 2x2 x3 为标准型,并求变换 矩阵. ( 10' )
1 2 / 3
0 1 0 0
3 1 1 4 0 11 0 0
故向量组α 1 ,α 2 ， α 3 ， α 4 线性相关， 其一个极大无关组为α 1 ，α 2 ，α 4 或α 1 , α
1
2 2 4 = ( 2) 2 ( 7) =0 2
5 2 0 0 2 0 1 0
2 5 4 1 , B 2 1 ,则 A-2B 1 2
1
四. 判断向量组α 1 =(1,-1,2,4), α 2 =(0,3,1,2),α 3 =(3,0,7,14), α 4 =(1,-2,-2,0)的线性相关性,并求出它的一个极大无关组. ( 10' )
2 1 3 3 3 6
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南 京 理 工 大 学 课 程 考 试 答 案 （ A）
课程名称：
试卷编号： 组卷日期： 2005 年 学生班级： 线性代数 考试方式： 闭卷 学分 2 教学大纲编号： 考试时间： 120 分钟 满分分值： 100 沐雨芳
2013-2014-1线性代数(本科)A卷答案
武汉科技大学2013-2014-1线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1. 设A 是n 阶可逆方阵,则T B A A =-是( D ).A.正交矩阵；B.对称矩阵；C.可逆矩阵；D.反对称矩阵. 2. 向量组12,,,m ααα线性无关，则下列结论不正确的是（ B ）.A. 12,,,m ααα的秩为m ；B. 12,,,m ααα的极大无关组不唯一C. 12,,,m ααα中任意两个向量的分量不对应成比例；D. 12,,,m ααα中任意一个向量都不能由其余1m -个向量线性表示.3. 行列式33332222(1)(2)(3)(1)(2)(3)1231111a a a a a a a a aa a a ---------的值为（ A ）.A ．12; B. 11; C. 13; D. 14.4．设A 为n 阶方阵，()3r A n =- ，且123,,a a a 是0Ax =的三个线性无关的解向量，则0Ax =的基础解系为（ A ）．A ．122331,,a a a a a a +++；B ．213213,,a a a a a a ---；C ．21321312,,2a a a a a a ---； D ．1233213,,2a a a a a a a ++---.5. 下列不是方阵A 可逆的充要条件的是（ C ）A. A 的行向量组线性无关；B. A 的列向量组线性无关;C. 零为A 的特征值;D. 非齐次线性方程组Ax b =有唯一解.6．非齐次线性方程组Ax b =中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则( A ).A.r m =时，方程组Ax b =有解；B. r n =时，方程组Ax b =有唯一解；C.m n =时，方程组Ax b =有唯一解；D. r n <时，方程组Ax b =有无穷多解.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7.A 为3阶方阵，且1A =-,则1*(2)A A --=____278____;8. 若121210021A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1A -= 101212423⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭;9. 01010000A x ⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭，当 1± 时，矩阵A 为正交矩阵;10. 向量组123(2,4,2),(1,2,1),(3,5,2)ααα==---=的秩为 2 ;11. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量组2,,x Ax A x 线性无关，记 ()2,,P x Ax A x =，若有AP PB =，则B =000103011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭;12. 已知20132013001335100010242010100111001A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=--- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，00020002B λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且A 相似于B ，则λ= 6.三、解答题（本大题共4个小题，第13、14、15题，每小题10分，第16题12分，共42分）13. 计算行列式1122100000000011111n n n a a a a D a a +--=-。
线性代数智慧树知到期末考试章节课后题库2024年西安理工大学
线性代数智慧树知到期末考试答案章节题库2024年西安理工大学1.答案:对2.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量（）答案:错3.[2-63] 方阵A的伴随矩阵A* 的逆矩阵为(A* )-1=A. （）答案:错4.答案:对5.[2-53] 方阵A可逆的充要条件是A的行列式不为0. （）答案:对6.n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.（）答案:对7.答案:对8.[2-65] 初等矩阵P与任意矩阵A的乘积矩阵的行列式|PA|=|A|。
（）答案:错9.答案:对10.答案:错11.答案:错12.实对称阵属于不同特征值的特征向量正交.（）答案:对13.[2-57] 等价矩阵有相同的标准形。
（）答案:对14.[1-24] 上三角行列式的值与下三角行列式的值都是对角线元素之积。
（）答案:对15.答案:对16.[1-22] 次对角行列式（只有从右上到左下的元素不为零，其余均为零）行列式的值等于讲这些元素置于对角线上的对角行列式乘以-1。
（）答案:错17.答案:对18.设 .w70364844324s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w70364844324s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w70364844324s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w70364844324s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } x 为n维列向量， .w70364844305s .brush0 { fill: rgb(255,255,255); } .w70364844305s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w70364844305s .font0 { font-size: 406px;font-family: "Times New Roman", serif; } .w70364844305s .font1 { font-style: italic; font-size: 260px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w70364844305s .font2 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w70364844305s .font3 { font-size:373px; font-family: Symbol, serif; } .w70364844305s .font4 { font-weight:bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } 1, T xx =令 .w70364844288s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w70364844288s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w70364844288s .font0 { font-size: 406px;font-family: "Times New Roman", serif; } .w70364844288s .font1 { font-style: italic; font-size: 260px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w70364844288s .font2 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w70364844288s .font3 { font-size:373px; font-family: Symbol, serif; } .w70364844288s .font4 { font-weight:bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } 2, T HExx =-则 .w70364844270s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w70364844270s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w70364844270s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w70364844270s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } H 是对称的正交矩阵。
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。
答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。
答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。
答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。
答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。
答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。
线代期末考试A卷及答案
2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （A ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。
(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．设1111011x x x xx x++=+，则实数x =A ．1 ；B ．-1；C ．0；D ．4. 2.设A 为n 阶方阵，则kA =A ．A k n； B. A k ； C. A k ； D. nA k )(. 3.设B A ,均为n 阶矩阵，且AB =O ，则下列命题中一定成立的是( ) A. A =O 或B =O ； B. A ,B 都不可逆；C. A +B =O ；D. A ,B 至少有一个不可逆.4.下列矩阵中与矩阵123218001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同秩的矩阵是 A ．()456； B.123456⎛⎫⎪⎝⎭； C.12111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； D.122101402⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 5.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A. A 2必为1； B. A 必为1； C. T A A=-1； D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组.6．设非齐次线性方程组Ax =b 的导出组为Ax =0，则下列结论中正确的是（ ）A.若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解；B.若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解；C.若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解；D.若Ax =b 有唯一解，则Ax =0仅有零解。
__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………27．已知λ=3是可逆矩阵A 的一个特征值，则1-A 有一特征值是（ ）A.49； B. 94； C. 13； D. 19 .8．设n 维向量α与β满足α,β()=0，则有（ ）A. α,β 全为零向量；B. α,β中至少有一个是零向量；C. α与β的对应分量成比例；D. α与β 正交. 9.设向量组A 与向量组B 等价，则有（ ）A. B A R R <B. B A R R >C. B A R R =D. 不能确定A R 和B R 的大小.10.设齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 为m n ⨯矩阵，()()R A s s n =<，则此方程组基础解系的秩为A ．m s - ； B. s n - ； C. n s - ； D. m n -.二、填空题。
线代A期末考试题及答案
线代A期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) 线性无关的充分必要条件是：A. 向量组中任意向量不能由其他向量线性表示B. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到C. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到，且向量组中向量个数等于空间的维数D. 向量组中向量个数等于空间的维数答案：A2. 矩阵 \(A\) 可逆的充分必要条件是：A. \(A\) 的行列式不为零B. \(A\) 的秩等于其行数C. \(A\) 的秩等于其列数D. \(A\) 的秩等于其行数且等于其列数答案：D3. 对于实对称矩阵 \(A\)，下列说法正确的是：A. \(A\) 一定可以对角化B. \(A\) 一定可以正交对角化C. \(A\) 的所有特征值都是实数D. \(A\) 的所有特征值都是正数答案：C4. 矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相似的充分必要条件是：A. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征多项式B. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征值C. \(A\) 和 \(B\) 有相同的秩D. \(A\) 和 \(B\) 有相同的迹答案：B5. 矩阵 \(A\) 为正定矩阵的充分必要条件是：A. \(A\) 的所有特征值都大于零B. \(A\) 的所有特征值都大于等于零C. 对于任意非零向量 \(x\)，都有 \(x^TAx > 0\)D. 对于任意非零向量 \(x\)，都有 \(x^TAx \geq 0\)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 若向量 \(\alpha = (1, 2, 3)^T\) 和 \(\beta = (4, 5, 6)^T\)，则向量 \(\alpha + \beta\) 等于 \(\boxed{(5, 7, 9)^T}\)。
7. 矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)的行列式为 \(\boxed{-2}\)。
理工线代A期末练习题
一、选择题：1、设A 为3阶方阵，且2A =，则12-A （ ）； (A )－4 (B ) －1 (C ) 1 (D ) 42、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001021,403124,2311C B A ，则下列运算有意义的是（ ）；(A ) ABC (B ) BAC (C ) ACB (D ) CBA 3、设A 为45⨯矩阵，秩()3A =，则（ ）；(A )A 中4阶子式都不为0； (B )A 中存在不为0的4阶子式； (C )A 中3阶子式都不为0； (D )A 中存在不为0的3阶子式. 4、 若向量组s ααα,...,,21线性相关，则必可推出（ ）； (A )其中至少存在一个向量为零向量； (B )其中至少存两个向量成比例；(C )其中至少存在一个向量可以表示为其他向量的线性组合； (D )其中每个向量都可以表示为其他向量的线性组合.5、若AB=AC ，能推出B=C ，其中A ，B ，C 为同阶方阵，则A 应满足条件（ ）； (A ) 0≠A (B ) 0=A (C )0=A (D ) 0≠A .6、设n 阶可逆方阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x, 则下列等式中不正确的是（ ）；x Ax A 2)(= x x A B 2)(1=- 1()0.5C A x x -= x x A D 4)(2=.7、设3阶矩阵A 与B 相似,A 的特征值为3,2,2. 则1-B （ ）；121)(A 71)(B 7)(C 12)(D . 8、排列134782695的逆序数是（ ） (A)9 ； (B)10 ； (C)1 ； (D)12 . 9、设A 为3阶方阵，且行列式A =21，则A -2的值为（ ） （A ）-4； （B ）4； （C ）-1； （D ）1.10、设n 阶方阵A 满足20A E -=，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（ ）（A ）A E =； （B ）A E =-； （C ）1A A -=； （D ）1A =.11、若向量组123a a a ,,线性无关，向量组234a a a ,,线性相关，则（ ）(A) 1a 必可由234a a a ,,线性表示； (B)2a 必可由134a a a ,,线性表示； © 3a 必可由124a a a ,,线性表示；(D)4a 必可由123a a a ,,线性表示.12、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ132121111的秩为2，则λ=（ ） (A) 2；（B ） 1； (C) 0； （D ） -1.13、设A 是3阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，|A |=21，则()132A A -*-等于（ ） （A ）-12； （B ）43-； （C ）1627-； （D ）432-. 14、设A 为⨯m n 矩阵，且<m n , 则齐次线性方程组0Ax =（ ）.(A) 无解； (B)只有唯一解； (C)一定有无穷多解； (D)不能确定.15、已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）.A .5B .-5C .-3D .316、设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（ ） A ．21+ββB ．()212351ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-17、设A 为三阶矩阵，且3A =，则*A 行列式的值为 ( ) (A) 3 (B)9 (C)27 (D) 8118、已知54⨯矩阵A 的列向量组线性无关，则()Tr A 等于 （ ）(A) 1 (B) 5 (C) 3 (D) 419、设A 、B 都是n 阶方阵, 下面结论正确的是 ( )(A) 若A 、B 均可逆, 则A + B 可逆 (B) 若A + B 可逆, 则A , B 均可逆 (C) 若A + B 可逆, 则A －B 可逆 (D) 若A 、B 均可逆, 则AB 可逆 20、下面说法错误的是 （ ）(A) 两个n 阶矩阵A 和B 相似，必等价； (B) 两个n 阶矩阵A 和B 等价，必相似； (C) 两个n 阶矩阵A 和B 相似，特征值相同； (D) 两个n 阶矩阵A 和B 等价，秩相等.21、已知12ββ、是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12αα、是对应齐次方程组0Ax =的基础解系，则Ax b =的通解是 （ ）(A)1211212()2k k ββααα-+++ (B) 1211212()2k k ββαββ-+++(C) 1211222k k ββαβ+++ (D) 1211222k k ββαα+++22、对于正交矩阵，以下叙述错误的是 （ ） (A)、若A 为正交矩阵，则1±=A (B)、若B A ,为同阶正交矩阵，则AB 为正交矩阵，(C)、若A 为正交矩阵，则1-A 为正交矩阵 (D)、若B A ,为同阶正交矩阵，则B A +为正交矩阵23、若A 相似于B ，则下列命题中错误的是 （ ）（A ）B A ,具有相同的特征值 （B ）B A ,具有相同的行列式 （C ）B A ,具有相同的特征向量 （D ）若B A ,可逆，则1A -相似于1B - 24、设二次型11212235(,)(,)12x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则该二次型的矩阵为 （ ） (A)3512⎛⎫ ⎪⎝⎭(B) 3062⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C)3602⎛⎫ ⎪⎝⎭(D) 3332⎛⎫ ⎪⎝⎭ 25、若二次型232221321)3()2()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则 （ ） (A)1->k (B)1>k (C)2>k (D)3>k二、填空题1、若A 是5阶方阵，且,2=A 则12--A ＝ .2、A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T . 3、设),(21E B A +=则当且仅当=2B 时，.2A A = 4、若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1010101y x A 的秩为1，则x+y= .5、设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 .6、若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则A E += .7、n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A.8、若022150131=---x ，则x =__________. 9、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 .10、已知向量T )4,2,3,1(=α与Tk k )2,3,1,(--=β正交，则=k _.11、在函数211()12xf x xx x x-=--中，3x 的系数是 . 12、k = 时，向量β=（1,k,5）可由向量1(2,1,1)αα==-2（1，-3，2）,线性表示.13、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A ，则1-A = . 14、 设()(1012),0102=-=T αβ，矩阵αβ=A ，则=)(A r .15、设A 为n m ⨯的矩阵，则齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是 . 16、设),(b A A 和是b Ax =的系数矩阵与增广矩阵，则b Ax =有解的充分必要条件是 .17、二次型221231213(,,)224f x x x x x x x =+-的矩阵是 .18、二次型32212221321422),,(x x x x x x x x x f +++=的秩r ＝ . 19、设二次型232221321)3()2()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则k 的取值范围是 .20、矩阵3000401A λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为正定矩阵，则λ的取值范围是 . 三、计算题：1、（1）1113113113113111（2）3111513420111533------（3）nn x n n x n x n x n n D n n121121)1(21121121-+-++-+-=-2、设 101123A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，231122011B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 112211130C ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算 2()T TBA A C -.3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B 求（1）A AB 23-；（2）B A T ； （3）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求1-A . 4、求下列矩阵的逆矩阵022301) 110 2) 000121000 0a cb abc A Bd d a d =-=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦其中不为 5、设矩阵1202041102A a b ⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，讨论A 的秩()r A . 6、已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12111α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=24222α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=16033α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40304α (1)若023321=+-+βααα，求β；(2)求向量组的秩),,,(4321ααααR ；(3)求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组； (4)将其余向量组用此极大无关组线性表示.7、给定向量组()11,1,0,0,Tα=-()21,1,0,1,Tα=--()32,0,1,1,Tα=()40,2,1,1.Tα=---；求（1）求向量组1234,,,αααα的秩1234(,,,)R αααα； （2）求向量组1234,,,αααα的一个最大无关组； （3）将其余向量用此最大无关组线性表示.8、 设1(1,2,1)Tα=，T )4,,2(2λα=，3(1,1,1)T α=-，T)1,1,1(=β，问： （1） 当λ取何值时，β可由321,,ααα线性表示且表示法唯一,并求其线性表示 （2） 当λ取何值时，β不可由321,,ααα线性表示;(说明理由)9、求下列非齐次线性方程组的通解及对应的齐次方程组的基础解系：⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 10、已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+++=+++ax x x x x x x x x x x x 4321432143219105363132（1）a 为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.11、当b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=--=+-+bx x x x a x x x x x x x x x x x 43214321432432153122221、无解；2、有唯一解；3、有无穷解，并在此情况下求出全部解(以解向量的形式给出). 12、若3阶矩阵A 相似于B ，矩阵A 的特征值是1、2、3，求行列式2B 的值.13、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）判断A 是否与对角矩阵相似，说明理由；（3）若可以对角化，写出对角矩阵Λ以及正交矩阵P ，使得1P AP -=Λ.14、设矩阵220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）判断A 是否与对角矩阵相似，说明理由；（3）若可以对角化，写出对角矩阵Λ以及变换矩阵P ，使得1P AP -=Λ.15、已知矩阵相似与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,00030000300011011x B A（1） 求x ； （2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=. 16、 给定二次型2221231122233(,,)2245=++++f x x x x x x x x x x ，（1）把二次型化为标准形，并写出相应的非退化线性变换四、证明题：1、若A 是n 阶方阵，且AA E T=，，1-=A 证明 0A E +=.其中I 为单位矩阵. 2、设n 阶方阵A 满足2A A =， 证明A 的特征值只可能是0和1.3、若n 阶方阵A 满足2240A A E +-=，证明A E -可逆，并求1()A E --.4、设A 是n m ⨯实矩阵,0≠β是m 维实列向量，证明：)()(A A r A r T =；（2）非齐次线性方程组βT T A Ax A =有解.5、设向量432,,,1αααα线性无关,且11234212343123441234,,,αββββαββββαββββαββββ=---=-+--=--+-=---+证明向量组4321,,,ββββ线性无关.。
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\)线性无关的充分必要条件是（）。
A. 它们中任意一个向量不能由其余向量的线性组合表示B. 它们中任意两个向量不能由其余向量的线性组合表示C. 它们中任意三个向量不能由其余向量的线性组合表示D. 它们中任意四个向量不能由其余向量的线性组合表示答案：A2. 矩阵\(A\)的行列式为0，则矩阵\(A\)（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 秩小于行数D. 秩等于行数答案：B3. 矩阵\(A\)和\(B\)满足\(AB = BA\)，则称\(A\)和\(B\)（）。
A. 可交换B. 可逆C. 相似D. 合同答案：A4. 矩阵\(A\)的秩等于其行秩，也等于其列秩，这是矩阵的（）。
A. 秩的性质B. 行列式的性质C. 特征值的性质D. 特征向量的性质答案：A5. 向量\(\beta\)是齐次线性方程组\(Ax = 0\)的解，则\(\beta\)（）。
A. 与矩阵\(A\)的列向量线性无关B. 与矩阵\(A\)的列向量线性相关C. 与矩阵\(A\)的行向量线性无关D. 与矩阵\(A\)的行向量线性相关答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵\(A\)的行列式为1，则\(\det(A^{-1}) = ________\)。
答案：12. 矩阵\(A\)的特征值\(\lambda\)满足方程\(\det(A - \lambda I)= 0\)，其中\(I\)是单位矩阵，\(\lambda\)是矩阵\(A\)的______。
答案：特征值3. 若向量\(\alpha\)和\(\beta\)正交，则它们的点积\(\alpha\cdot \beta = ________\)。
答案：04. 矩阵\(A\)的迹是其主对角线上元素的和，记作\(\text{tr}(A)\)，若\(A\)是\(n \times n\)矩阵，则\(\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}\)，其中\(a_{ii}\)是矩阵\(A\)的第\(i\)行第\(i\)列的元素，\(\text{tr}(A)\)也等于矩阵\(A\)的______。
线性代数A卷 本科(48学时)答案 (1)
a3
1 证明：由 A A 4 E O 可得 A( A E ) 4 E ,且 A [ ( A E )] E ,…………3 分 4
2
an
an
则
1 A ( A E ) 1 0 ,所以 A 0 ,则 A 为可逆矩阵 4
(a1
1 )a2 a3 .....an ..........2分 a k 2 k
根据实际情况可得 0
1 k 3 1 （ k 3 0 ）……………………….…….2 分 0
x1 600 x5 , x 2 200 x5 , x3 400, x 4 500 x5
x5 500 …4
则
A E
1 ( A 2 E ) 1 0 ,所以 A E 0 故 A E 可逆………1 分 2 1 1 E )[ ( A 2 E )] E ,故 ( A E ) 1 ( A 2 E ) ……….1 分 2 2
又因为 ( A
1 0 1 ，求 X . 2、设 A 1 2 0 ，且 AX E A 2 X （期中 E 为 3 阶单位矩阵） 1 0 1
0 1 k1 1 k 2 0 （ k1 , k 2 不同时为零）………………3 分 1 0
② 解 ( A E ) x 0 ,得属于 3 1 的特征向量为：
1 0 0 1 0
得 分
1 1 0 0 0
0 0 800 1 0 1 1 0 300 r 0 0 1 1 500 0 0 1 600 0 1 0 0 400 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
线性代数理科类参考答案
线性代数（理科类）期末考试参考答案2019年01月09日本次考试中，M n (F )为数域F 上n 阶矩阵全体构成的线性空间；F n 为数域F 上所有n 阶列向量构成的线性空间；R 为实数域，C 为复数域；A T 为A 的转置；tr A 为A 的主对角线元素之和；Col (A )为A 的列向量生成的子空间；N (A )为Ax =0的解空间；I n 为n 阶单位阵.第一部分：填空题（每空4分，共48分）(1)设V 1是列向量(1,0,−1,0)T ，(0,1,2,1)T 和(2,1,0,1)T 生成的R 4的子空间，V 2列是向量(−1,1,1,1)T ，(1,−1,−3,−1)T 和(−1,1,−1,1)T 生成的R 4的子空间，则dim (V 1+V 2)=3,dim (V 1∩V 2)=1.(2)设λ是一个非零常数,考虑方程组λx 1+x 2+x 3+x 4=1x 1+λx 2+x 3+x 4=λx 1+x 2+λx 3+x 4=λ2x 1+x 2+x 3+λx 4=λ3，当λ=1,此方程组有无穷解。
此时，方程组的通解是(1000)+k 1(−1100)+k 2(−1010)+k 3(−1001).(3)设A =1000110011101111,则M 4(R )的子空间T (A )={B ∈M 4(R )|BA =AB }的维数是3。
(4)设n 阶方阵A =(I r B0−I n −r ),则存在n 阶可逆方阵P =(I r −12B O I n −r)和对角阵Λ=(I r OO −I n −r)，使得P −1AP =Λ.(5)定义M 2(R )上的线性变换φ满足φ(A )=(1111)A (2001),则Im φ的维数是2，Ker φ的维数是2。
(6)给定矩阵A ∈M 2(R )和4个非零向量α1,α2,α3,α4∈R 2满足这4个向量分别是Col (A T ),N (A ),Col (A ),N (A T )的基。
江西理工13学年线性代数期末考试题(含答案)(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】江西理工大学《线性代数》考题（2011年1月用）(附答案)一、 填空题（每空3分，共15分） 1.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111c b a c b a c b a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ____2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围是______3. A 为3阶方阵，且21=A ，则=--*12)3(A A _____ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是____________5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 __ 二、选择题（每题3分，共15分）6. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322313221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ）(A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解(C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立(A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A8. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则（ ）成立(A)21P AP (B)12P AP(C)A P P 21(D)A P P 129. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B10. 设A 为n n ⨯矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关 (B) 必有某r 个列向量线性无关(C) 任意r 个列向量均构成极大线性无关组(D) 任意1个列向量均可由其余n －1个列向量线性表示 三、计算题（每题7分，共21分）11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300041003A 。
理工线代A期末练习题
5、设 A 为 n 阶可逆矩阵， A* 为 A 的伴随矩阵，若
.
是矩阵 A 的一个特征值，则 A* 的一个
特征值可表示为
.
6、若 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1， 2，3，则 A E
.
7、 n 阶方阵 A 满足 A 2 3 A E 0 ，则 A 1
.
1 31 8、若 0 5 x 0 ，则 x __________.
Ax 0 的基础解系，则 Ax b 的通解是
（
）
(A) k1 1 k2 ( 1
2)
1
2
(B)
2
k1 1 k2 ( 1
2)
1
2
2
(C)
k1 1 k2 2
1
2
2
(D)
22、对于正交矩阵，以下叙述 错误 的是
k1 1 k2 2
1
2
2
（
）
(A) 、若 A 为正交矩阵， 则 A 1 (B) 、若 A, B 为同阶正交矩阵， 则 AB 为正交矩阵，
3、若 n 阶方阵 A 满足 A2 2 A 4E 0 ，证明 A E 可逆，并求 ( A E ) 1.
4、设 A 是 m n 实矩阵 ,
0 是 m 维实列向量，证明： r ( A) r ( AT A) ；（ 2）非齐次线
性方程组 AT Ax A T 有解 .
5、设向量
,
1
2,
3,
4 线性无关 , 且
是
.
30 0
20、矩阵 A 0 4
为正定矩阵，则 的取值范围是
.
0
1
三、计算题：
1113
1131
1、（ 1）
1311
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一、选择题：1、设A 为3阶方阵，且2A =，则12-A （ ）； (A )－4 (B ) －1 (C ) 1 (D ) 42、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001021,403124,2311C B A ，则下列运算有意义的是（ ）；(A ) ABC (B ) BAC (C ) ACB (D ) CBA 3、设A 为45⨯矩阵，秩()3A =，则（ ）；(A )A 中4阶子式都不为0； (B )A 中存在不为0的4阶子式； (C )A 中3阶子式都不为0； (D )A 中存在不为0的3阶子式. 4、 若向量组s ααα,...,,21线性相关，则必可推出（ ）； (A )其中至少存在一个向量为零向量； (B )其中至少存两个向量成比例；(C )其中至少存在一个向量可以表示为其他向量的线性组合； (D )其中每个向量都可以表示为其他向量的线性组合.5、若AB=AC ，能推出B=C ，其中A ，B ，C 为同阶方阵，则A 应满足条件（ ）； (A ) 0≠A (B ) 0=A (C )0=A (D ) 0≠A .6、设n 阶可逆方阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x, 则下列等式中不正确的是（ ）；x Ax A 2)(= x x A B 2)(1=- 1()0.5C A x x -= x x A D 4)(2=.7、设3阶矩阵A 与B 相似,A 的特征值为3,2,2. 则1-B （ ）；121)(A 71)(B 7)(C 12)(D . 8、排列134782695的逆序数是（ ） (A)9 ； (B)10 ； (C)1 ； (D)12 . 9、设A 为3阶方阵，且行列式A =21，则A -2的值为（ ） （A ）-4； （B ）4； （C ）-1； （D ）1.10、设n 阶方阵A 满足20A E -=，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（ ） （A ）A E =； （B ）A E =-； （C ）1A A -=； （D ）1A =. 11、若向量组123a a a ,,线性无关，向量组234a a a ,,线性相关，则（ ）(A) 1a 必可由234a a a ,,线性表示； (B)2a 必可由134a a a ,,线性表示； © 3a 必可由124a a a ,,线性表示；(D)4a 必可由123a a a ,,线性表示.12、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ132121111的秩为2，则λ=（ ） (A) 2；（B ） 1； (C) 0； （D ） -1.13、设A 是3阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，|A |=21，则()132A A -*-等于（ ） （A ）-12； （B ）43-； （C ）1627-； （D ）432-. 14、设A 为⨯m n 矩阵，且<m n , 则齐次线性方程组0Ax =（ ）.(A) 无解； (B)只有唯一解； (C)一定有无穷多解； (D)不能确定.15、已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）.A .5B .-5C .-3D .316、设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（ ） A ．21+ββB ．()212351ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-17、设A 为三阶矩阵，且3A =，则*A 行列式的值为 ( ) (A) 3 (B)9 (C)27 (D) 8118、已知54⨯矩阵A 的列向量组线性无关，则()Tr A 等于 （ ）(A) 1 (B) 5 (C) 3 (D) 419、设A 、B 都是n 阶方阵, 下面结论正确的是 ( )(A) 若A 、B 均可逆, 则A + B 可逆 (B) 若A + B 可逆, 则A , B 均可逆 (C) 若A + B 可逆, 则A －B 可逆 (D) 若A 、B 均可逆, 则AB 可逆 20、下面说法错误的是 （ ）(A) 两个n 阶矩阵A 和B 相似，必等价； (B) 两个n 阶矩阵A 和B 等价，必相似； (C) 两个n 阶矩阵A 和B 相似，特征值相同； (D) 两个n 阶矩阵A 和B 等价，秩相等.21、已知12ββ、是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12αα、是对应齐次方程组0Ax =的基础解系，则Ax b =的通解是 （ ）(A)1211212()2k k ββααα-+++ (B) 1211212()2k k ββαββ-+++(C) 1211222k k ββαβ+++ (D) 1211222k k ββαα+++22、对于正交矩阵，以下叙述错误的是 （ ） (A)、若A 为正交矩阵，则1±=A (B)、若B A ,为同阶正交矩阵，则AB 为正交矩阵，(C)、若A 为正交矩阵，则1-A 为正交矩阵 (D)、若B A ,为同阶正交矩阵，则B A +为正交矩阵23、若A 相似于B ，则下列命题中错误的是 （ ）（A ）B A ,具有相同的特征值 （B ）B A ,具有相同的行列式 （C ）B A ,具有相同的特征向量 （D ）若B A ,可逆，则1A -相似于1B - 24、设二次型11212235(,)(,)12x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则该二次型的矩阵为 （ ） (A)3512⎛⎫ ⎪⎝⎭(B) 3062⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C)3602⎛⎫ ⎪⎝⎭(D) 3332⎛⎫ ⎪⎝⎭ 25、若二次型232221321)3()2()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则 （ ）(A)1->k (B)1>k (C)2>k (D)3>k二、填空题1、若A 是5阶方阵，且,2=A 则12--A ＝ .2、A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T . 3、设),(21E B A +=则当且仅当=2B 时，.2A A =4、若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1010101y x A 的秩为1，则x+y= .5、设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 .6、若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则A E += .7、n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A.8、若022150131=---x ，则x =__________. 9、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 .10、已知向量T)4,2,3,1(=α与Tk k )2,3,1,(--=β正交，则=k _.11、在函数211()12xf x xx x x-=--中，3x 的系数是 . 12、k = 时，向量β=（1,k,5）可由向量1(2,1,1)αα==-2（1，-3，2）,线性表示. 13、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A ，则1-A = . 14、 设()(1012),0102=-=T αβ，矩阵αβ=A ，则=)(A r .15、设A 为n m ⨯的矩阵，则齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是 . 16、设),(b A A 和是b Ax =的系数矩阵与增广矩阵，则b Ax =有解的充分必要条件是 .17、二次型221231213(,,)224f x x x x x x x =+-的矩阵是 .18、二次型32212221321422),,(x x x x x x x x x f +++=的秩r ＝ . 19、设二次型232221321)3()2()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则k 的取值范围是 .20、矩阵3000401A λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为正定矩阵，则λ的取值范围是 . 三、计算题：1、（1）1113113113113111（2）3111513420111533------（3）nn x n n x n x n x n n D n n121121)1(21121121-+-++-+-=-2、设 101123A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，231122011B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 112211130C ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算 2()T TBA A C -.3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B 求（1）A AB 23-；（2）B A T ；（3）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求1-A . 4、求下列矩阵的逆矩阵022301) 110 2) 000121000 0a cb abc A Bd d a d =-=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦其中不为 5、设矩阵1202041102A a b ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，讨论A 的秩()r A . 6、已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12111α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=24222α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=16033α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40304α (1)若023321=+-+βααα，求β；(2)求向量组的秩),,,(4321ααααR ；(3)求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组； (4)将其余向量组用此极大无关组线性表示.7、给定向量组()11,1,0,0,Tα=-()21,1,0,1,Tα=--()32,0,1,1,Tα=()40,2,1,1.Tα=---；求（1）求向量组1234,,,αααα的秩1234(,,,)R αααα； （2）求向量组1234,,,αααα的一个最大无关组； （3）将其余向量用此最大无关组线性表示.8、 设1(1,2,1)T α=，T )4,,2(2λα=，3(1,1,1)T α=-，T)1,1,1(=β，问：（1） 当λ取何值时，β可由321,,ααα线性表示且表示法唯一,并求其线性表示 （2） 当λ取何值时，β不可由321,,ααα线性表示;(说明理由)9、求下列非齐次线性方程组的通解及对应的齐次方程组的基础解系：⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 10、已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+++=+++ax x x x x x x x x x x x 4321432143219105363132（1）a 为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.11、当b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=--=+-+bx x x x a x x x x x x x x x x x 43214321432432153122221、无解；2、有唯一解；3、有无穷解，并在此情况下求出全部解(以解向量的形式给出). 12、若3阶矩阵A 相似于B ，矩阵A 的特征值是1、2、3，求行列式2B 的值.13、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）判断A 是否与对角矩阵相似，说明理由；（3）若可以对角化，写出对角矩阵Λ以及正交矩阵P ，使得1P AP -=Λ.14、设矩阵220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）判断A 是否与对角矩阵相似，说明理由；（3）若可以对角化，写出对角矩阵Λ以及变换矩阵P ，使得1P AP -=Λ.15、已知矩阵相似与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,00030000300011011x B A （1） 求x ； （2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=. 16、 给定二次型2221231122233(,,)2245=++++f x x x x x x x x x x ，（1）把二次型化为标准形，并写出相应的非退化线性变换四、证明题：1、若A 是n 阶方阵，且AA E T=，，1-=A 证明 0A E +=.其中I 为单位矩阵. 2、设n 阶方阵A 满足2A A =， 证明A 的特征值只可能是0和1.3、若n 阶方阵A 满足2240A A E +-=，证明A E -可逆，并求1()A E --.4、设A 是n m ⨯实矩阵,0≠β是m 维实列向量，证明：)()(A A r A r T=；（2）非齐次线性方程组βTTA Ax A =有解.5、设向量432,,,1αααα线性无关,且11234212343123441234,,,αββββαββββαββββαββββ=---=-+--=--+-=---+证明向量组4321,,,ββββ线性无关.。