吉林大学线性代数-线性 习题2
吉林大学2014学年期末《线性代数与解析几何》模拟考试卷二及答案-(A3版)
弟1页/（共4页） 弟2页/（共4页）吉林大学2014学年期末《线性代数与解析几何》考试（考试时间90分钟，满分100分）一、单项选择题(每小题5分,共15分)(1).设A 为三阶方阵,将A 的第2行加到第1行得矩阵B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得矩阵C ，记矩阵110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则(A) 1C P AP -=. (B) 1C PAP -=. (C) T C P AP =. (D) T C PAP =. 【 】 (2). 设有线性方程组(I) :AX O =， (II):T A AX O =,则 (A) (II)的解是(I)的解，(I)的解也是(II)的解; (B) (II)的解是(I)的解，但(I)的解不是(II)的解; (C) (I)的解不是(II)的解，(II)的解也不是(I)的解;(D) (I)的解是(II)的解，但(II)的解不是(I)的解;. 【 】 (3) 若n 阶方阵A 相似于对角阵，则(A) A 有n 个不同的特征值; (B) A 为实对称阵;(C) A 有n 个线性无关的特征向量; (D) n r =)(A . 【 】 二、填空题(每小题5分,共15分)(1). 设2λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .(2). 矩阵2010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则二次型()Tf x x Bx =的矩阵为 .(3).已知123,,ηηη是四元方程组AX b =的三个解，其中()3r A =且1223(1,2,3,4),(4,4,4,4)T T ηηηη+=+=，则方程组AX b =的通解为三、(12分) 证明两直线1:4l x y z ==-,2:l x y z -==异面；求两直线间的距离；并求与12,l l 都垂直且相交的直线方程。
四、(12分)线性方程组123113112112x x x λλλλ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论λ取何值时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.五、(12分). 已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可经过正交变换'''x x y P y z z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦化为柱面方程22'4'4y z +=，求,a b 的值及正交矩阵P.六、(12分) 设101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,矩阵X 满足2AX I A X +=+，其中I 为三阶单位矩阵，求矩阵X .七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1) 矩阵1123130101111432A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥---⎣⎦，线性空间{}4|V b b F Ax =∈，方程组=b 有解求V 的基与维数. (2) 设()3T L R ∈,T在3R 的基123(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα=-=-=下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求T 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T T βββ===下的矩阵.八、(10分)设12,,,n ααα是n 维列向量组，矩阵111212122212T T T n T T T n T T T n n n n A αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦试证明12,,,n ααα线性无关的充要条件是对任意n 维列向量b ，方程组AX b =均有解。
线性代数标准化作业
线性代数标准化作业普通⾼等教育“⼗⼀五”国家级规划教材经济管理数学基础系列线性代数标准化作业(C)吉林⼤学数学中⼼2012年9⽉学院班级姓名学号第⼀章作业（⾏列式）1、计算下列各⾏列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）111122211112221111222D=；（3）112233100110011011b b b D b b b --= ----；（4）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（5）3333333333333333aa Db b+-=+-；（6）11()11nDαβαβαβαβαβαβαβ++=≠++；（7）102201202013 D=.2、设4阶⾏列式的第2列元素依次为2、m、k、1，第2列元素的余⼦式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余⼦式依次为3、1、4、5，且⾏列式的值为2，求m、k的值.3、设a ,b ,c ,d 是不全为零的实数,证明线性⽅程组12341234123412340,0,0,0ax bx cx dx bx ax dx cx cx dx ax bx dx cx bx ax +++=??-+-=??--+=??+--=?仅有零解.4、已知齐次线性⽅程组123123123230,220,50x x x x x x x x x λ++=??+-=??-+=?有⾮零解，求λ的值.学院班级姓名学号第⼆章作业（1）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2；（）（2）若AX =AY ，则X =Y ，其中X 、Y 都是n ×m 矩阵；（）（3）若A 2=O ，则A =O ；（）（4）若AB =O ，则A =O 或B =O ；（）（5）(ABC )T = C T B T A T ；（）（6）(A+B )1- =A 1-+ B 1-。
（） 2、填空题（1）设3阶⽅阵Ｂ≠0，A =13524353t ??，且AB =O ，则t ＝；（2）设A ＝100220345??，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= ；（3）设A 为4阶标量矩阵，且|A |=16，则A ＝，A 1-＝， A *＝；（4）设A , B 均为n 阶⽅阵,且2+=()A B E ，其中A 为对称矩阵且可逆，求1T 1()--+-()A B E B A E ＝；（5）设A＝5200210000120011-，则│A│＝，A1-＝；（6）设实矩阵A33?＝≠)(ija O，0ij ijijA为ija的代数余⼦式），则│A│＝；（7）设A为4阶可逆⽅阵，且│A1-│＝2，则│3(A*)1-－2A│＝；（8）设A为2阶⽅阵，B为3阶⽅阵，且│A│＝1B＝21，则1(2)--O BA O＝；（9）设A＝111222333，则A100＝；（10）设A为5阶⽅阵，且A2 = O，则R(A*)＝__________. 3、选择题（1）若A，B为同阶⽅阵，且满⾜AB＝O，则有（）.（A）A＝O或B＝O；（B）|A|＝0或|B|＝0；（C）(A＋B)2＝A2＋B2；（D）A与B均可逆.（A）(AB)k＝A k B k；（B）|－AB|＝－|AB|；（C ）E 2－(AB )2＝（E －AB ）（E ＋AB ）；（D ）|A ＋B |＝|A |＋|B |.（4）已知A 为任意n 阶⽅阵，若有n 阶⽅阵B 使AB ＝BA ＝A ，则（）. （A ）B 为单位矩阵；（B ）B 为零⽅阵；（C ）B 1-＝A ；（D ）不⼀定.（5）若A ，B ，(B 1-+A 1-)为同阶可逆⽅阵，则(B 1-+A 1-)1-＝（）. （A ）B 1-+A 1-；（B ）B ＋A ；（C ）(B +A )1-；（D ）B (B +A )1-A . （6）设A 为3阶⽅阵，且|A |＝3，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的2，3两⾏得到矩阵B ，则||*BA ＝（）.（A ）27；（B ）－27；（C ）3；（D ）－3. 4、计算题:（1）431112315701-????; （2）()31,2,321??;（3）()211,2,13-??; （4）111213112312222321323333(, , )a a a x x x x a a a x a a a x;（5）12101031 01010121 00210023 00030003----.5、计算下列⽅阵的幂:（1）已知α=（1，2，3），β=（1，－1，2），A=αTβ，求A4 .（2）已知024003000A=轾，求A n.(3) 已知112224112----??A=，求A n .6、设3阶矩阵1122,2,3A=B=αβγγγγ，其中α，β，γ1，γ2均为3维⾏向量，且|A |=18，|B |=2，求|A -B |.7、设121132a b-A=,B=,若矩阵A 与B 可交换，求a 、b 的值.8、求下列矩阵的逆矩阵:（1）A＝1234 1134 1344 0101----；（2）A＝500000 000021 000053 010000 011000 011100.9、已知A＝210121012，C＝123421，求解下列矩阵⽅程：（1）AX=X+C ;(2)AXB=C．10、设矩阵300050,003-A=且满⾜ABA*+BA*+180E=O，求矩阵B.11、设A为n阶可逆矩阵，将A的第i⾏和第j⾏对换后得矩阵B，试证：（1）B可逆；（2）求AB-1。
线性代数习题课吉林大学术洪亮
行标按自然排列，列标排列旳逆序数为
J（1 3 2 4）= 1 J（1 3 4 2）= 2
a11a23a32a44旳项带负号,a11a23a34a42
旳项前带正号。
具有因子 a11a23 旳项为 - a11a23a32a44
a11a23 a34 a42
A44=4
(-1)(-2)+0×4 + 2 ×(- a)+4 ×4=0
a=9
例7：计算行列式
2 4 1 D1 3 6 3
5 10 4
解： D1 2 (6) 4 3101 (4) 3 (5)
1 (6)(5) (4) 3 4 310 2
48 30 60 30 48 60 0
p1 p2 pn
ann
1．行列式与它旳转置行列式相等；
2．互换行列式旳两行（列），行列式变号； 3．某行（列）有公因子能够提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）旳全部元素均为两元素之和，则行
列式可写成两个行列式旳和； 5．行列式某行（列）旳K倍后加到另一行（列）代数习题课
吉林大学 术洪亮
第一讲 行 列 式
前面我们已经学习了关 于行列式旳概念和某些基本 理论，其主要内容可概括为：
行列式
概念 性质 展开定理 计算 应用
概念 性质
排列，逆序数，奇排列与偶排列
行 a11 a12
列 式
a21
a22
旳
定 义
an1
an 2
a1n
a2n
(1)t a1p1 a2 p2 anpn
1 0
4
0
1 0 1 1 0 2
2
2 4
远程线性代数试卷样题(二)
一、填空题（每小题3分，共计15分）（1）设向量组α1=（1，2，3），α2=（1，1，1 ），α3=（1，2，t ），则t ________时线性无关。
2）设A 为四阶方阵，且满足A 2-A =E ，则R （A-E ）= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
3）设A 、B 均为三阶方阵，且|A |=2，|B |=4，则|2A *B -1|= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
4）设三阶方阵A =（ij a ）的特征值为1，3，5，则|A |=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
5）设222121333323λf x x xx x=+++为正定二次型，则λ的取值范围⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
二、单项选择题（每小题3分，共计15分） 1．设ABC =E ,则下面结论正确的是（ ）。
（A ） CAB =E ； （B ）ACB =E ； （C ）CBA =E ； （D ）BAC =E 。
2．已知β可由α1，α2，α3线性表示，而β不能由α1，α2线性表示，则下面结论正确的是（ ）。
（A ）α3 能由α1，α2，β 线性表示，也能由α1，α2线性表示； （B ）α3 能由α1，α2，β 线性表示，但不能由α1，α2线性表示；（C ）α3不能由α1，α2，β 线性表示，也不能由α1，α2线性表示； （D ）α3不能由α1，α2，β 线性表示，但能由α1，α2，线性表示。
3．已知矩阵12111234100010234111010100345456101001,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪A =B =P =P = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则B =（ ）。
（A ） P 1P 2A ； （B ）AP 2P 1； （C ）AP 1P 2； （D ） P 2P 1A 。
4．已知正定矩阵400031013Α=,⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则A 相似的对角矩阵为（ ）。
（A ）156-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（B ）244⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；（C ）460⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛711。
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
吉林大学2019-2020(2)线性代数B考试题
保密★启用前2019-2020学年第二学期期末考试《线性代数B》考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生教学号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写考试科目、考生姓名和考生教学号，并涂写考生教学号信息点。
2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)考生教学号考生姓名第1页（共 3 页）一、选择题：1～6小题，每小题3分，共18分．下列每题给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将答案涂写在答题卡上．1．设同阶方阵,,A B C 满足关系式ABC=E ，则必有( ). (A) =ACB E . (B) CBA=E . (C) =BAC E . (D) BCA=E . 2. 下列选项不是向量组12,,,αααm 线性无关的充分必要条件的是( ).(A) 12,,,αααm 中任意两个向量都线性无关.(B) 12,,,αααm 中没有一个向量能由其余向量线性表示.(C) 向量组12,,,αααm 的秩为m .(D) 任何一组不全为0的数12,,,m k k k ，都使11220ααα+++≠m m k k k .3．设n 元线性方程组0=Ax ，()3−R A =n ，且123,,ααα为线性方程组0=Ax 的三个线性无关的解向量，则方程组0=Ax 的基础解系为( ).(A) 122331,,αααααα−++. (B) 112123,,αααααα+++.(C) 122331,,αααααα−−−. (D) 123123123,,ααααααααα++−+−+−. 4. 设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1,1−，则2=A ( ).(A)100010001−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (B)100010001−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (C)100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (D) 无法确定.5. 设矩阵1110111,21110A B −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦，则A 与B 的关系为( ). (A) 合同且相似. (B) 合同但不相似. (C) 相似但不合同. (D)既不合同也不相似. 6. 线性空间[]3R x 中向量2331α=−+x x 在基21,1,1+−++x x x x 下的坐标为( ).(A) 423−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (B) 323−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (C) 123⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (D)323⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦.第2页（共 3 页）二、填空题：7～12小题，每小题3分，共18分．7. 设矩阵12111001101222,010,010*********⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A P P ，则202012___.=P AP 8. 设三阶矩阵()123,,A ααα=，其中i α为三维列向量，1,2,3i =.且1A =−，则行列式1231,2,3_______.+αααα=9. 设A 是43⨯矩阵，且()2=R A ，而123012001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，则()_______.=R AB 10. 若三阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为111,,234，则行列式1_______.B E −−=11. 已知实二次型2221231231213(,,)222f x x x x x x tx x x x ++++=是正定二次型，则参数t 的取值范围为 ．12. 线性空间3R 中基()T TT123111,0,0,0,,0,0,0,23βββ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1α=()()()T T T231,0,0,1,1,0,1,1,1αα==的过渡矩阵为 .三、解答题：13～19小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13.（本题满分8分）计算行列式1111210030104001的值.第3页（共 3 页）14.（本题满分8分）设三阶方阵,A B 满足关系式16−=+A BA A BA ，若10031041007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，求B . 15.（本题满分10分）求向量组()T 11,3,2,0α=，()T 27,0,14,3α=，()T 32,1,0,1α=−，()T45,1,6,2α= ，()T52,1,4,1α=−的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示. 16.（本题满分8分）设矩阵1335366−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A a b 有二重特征值2λ−=，并且A 可相似对角化，求,a b 的值. 17.（本题满分6分）设12,αα分别是矩阵A 对应于特征值12,λλ的特征向量，而12λλ≠，证明：12αα+不能是A 的特征向量.18．（本题满分12分） 已知向量组1231211,1,2,14510a =b αααβ−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦求：(1)当,a b 为何值时，β能由123,,ααα唯一线性表示？ (2)当,a b 为何值时，β不能由123,,ααα线性表示？(3)当,a b 为何值时，β能由123,,ααα线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式. 19.（本题满分12分）已知实二次型()222123123121323,,222=++−−+f x x x x x x x x x x ax x 经正交变换x Py =可化为标准形22212322=f y +y +by ，求：(1) 常数,a b ；(2) 所用的正交变换矩阵P .。
吉林大学《线性代数》线性代数06课xm2-2第二章
ABCD ( AB)(CD) A(BC)D ACBD ( A B)( A B) AA AB BA BB ( A B)( A B) AA BA AB BB (3A 4B)( A 2B) 3AA 4BA 6AB 8BB
A
1
3
2 1
0
1
1 3
AT
2
1
0 1
转置的性质
(i) ( AT )T A (ii) ( A B)T AT BT
(iii) ( A)T AT
(iv) ( AB)T BT AT
( AB)T BT AT
3 4 5
1
2
1 2
1 2
3 3Biblioteka 4 45 5 9 18
12 24
1 3 1
| 10A | 1000 | A |
第二章 第二节
矩阵的运算
矩阵的加法
❖ 定义2：两个 m n 矩阵A,B
A (aij )
B (bij )
a11 b11
A
B
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1 bm1 am2 bm2 L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn bmn
加法运算规律
cos k
sin
sin
cos
cos k cos sin k cos
sin cos
k k
sin sin
cos k sin sin k cos
sin
k
sin
cos
k
cos
cos(k sin(k
吉林大学 陈殿友,术洪亮--线性代数 习题课
0 0
0 0
n 1 n 1
0 0 1
证：当n=1时，
2 2 D1 结论成立.
当n=2时， 2 2 2 D2 ( ) 1
假设当n≤k时结论成立，证n=k+1时亦成立。
下面我们通过例题演示 来进一步巩固所学内容， 并更好地掌握解题方法 与技巧，本章常见题型 有填空题、计算题、证 明题。
例1：问当i、j如何取值时，排列 2 1 i 3 7 6 j 9 5为偶排列？
解：令i=4，j=8，得排列为
2 1 4 3 7 6 8 9 5
214376895 为奇排列与题矛盾。 应取i=8，j=4 此时排列 218376495
a 4
1 1
0 1
例5： 1 a 0
0
的充分必要条件？
2 解： 展开即有 a -1>0的充分必要条件是
a >1
2
已知四阶行列式D的第2行 例6： 元素分别为： -1，0，2，4； 第四行元素 的余子式依次为：
2, 4, a, 4; 求a ?
由行列式某行元素与另一行元素的代数余 解：
子式乘积之和为零， 而A41= -2 A42=4 A43= -
1
1
1
1 1 0
1 1 2 1 0
c1+（-1）c3
1 0
1 0
1 1
1 1 1
0 0 0 1
0
0
1 1 1 0 0 (1 ) 0
0 0 1
所以当λ 、μ 满足λ =1或μ =0时，
方程组有非零解。
线性代数_课后答案(戴天时_陈殿友_著)_吉林大学数学学院
第一周作业解答 习题1.1(A)2. 设甲省两个城市a 1,a 2和乙省三个城市b 1,b 2,b 3的交通路线如图1,3. 乙省三个城市b 1,b 2,b 3和丙省两个城市c 1,c 2,的交通路线如图2,4. 其中每条线上的数字表示联结该两城市的不同道路的总数.试用矩阵表示甲乙两省及乙丙两省间的通路信息.解 用a ij 表示联结a i 与b j 的不同道路的总数,则甲乙两 省的通路信息可用矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛301213表示;用b ij 表示联结b i 与c j 的不同道路的总数,则乙丙两省 的通路信息可用矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛214312表示.习题1.2(A)1. 计算下列矩阵的乘积:;20411122013143110412)2⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-;11 )5⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a ba mb mab a解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10520876204131********110412 )2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛000011 )5b a b a mb mab a2. 设矩阵,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A ,15421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 求3AB -2A 及A T B.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--150421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=092650850 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2222222220276181502415023A AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111TB A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--15421321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503. 已知A =PQ ,其中()2,1,2,121-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P求 A 及A 100.解()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2124242122,1,2121PQ A()()21212,1,2=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Qp QP Q p Q QP P PQ A)2()2()()(999999100100====A PQ 99992)(2==.212424212299⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---= 第十八周习题解答习题6.4(A)2.判断下列实二次型是否正定32212322213212432),,()1x x x x x x x x x x f ++-+= 32212322213212435),,()2x x x x x x x x x x f --++= 322123222132144543),,()3x x x x x x x x x x f -+++=解: 1)二次型ƒ的矩阵,310122021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A ,0222212<-==A故二次型ƒ非正定.2)二次型ƒ的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=++++10002000310002202511013202512122323r r c c r r c c A 故二次型ƒ正定.3)二次型ƒ的矩阵,520242023⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A ,084223,0321>==>=A A,0245224223>=--=A故二次型ƒ正定.3.设有实二次型3221232221321482),,(x x x ax x x x x x x f ++++=, 试确定实数a 的取值范围,使相应的二次型ƒ正定.解: 二次型ƒ的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=820222/02/1a a A,04222/2/1,01221>-==>=aa a A A ,22<a,021282222/02/12>-==a a a A ,6<a故当6<a时, 二次型ƒ正定.第二周作业解答 习题1.3(A)3. 设矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22020*********A求A 4.解⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22020000340043220200003400432A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4804000025000025⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=480400002500002548040000250000254A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=816401600006250000625习题1.4(A)3. 设A 为反称矩阵，B 是对称阵，试证：(1) A 2是对称阵； (2) AB -BA 是对称阵；(3) AB 是反称阵的充分必要条件是AB =BA .证 (1) ,)()()(222T 2A A A A T =-== ∴ A 2是对称阵.(2)TT T )()()(BA AB BA AB -=-TT T T BA AB -=BA AB )()(---=BAAB -=∴ AB -BA 是对称阵. (3)BAA B A B AB -=-==)()(TT T若AB 是反称阵，则AB AB -=T)(，有AB =BA若AB =BA ，则AB AB -=T)(，AB 是反称阵，∴AB 是反称阵的充分必要条件是AB =BA .第三周习题解答 习题1.4(A)3. 设A 为反称矩阵，B 是对称阵，试证：(1) A 2是对称阵； (2) AB -BA 是对称阵；(3) AB 是反称阵的充分必要条件是AB =BA .证 (1),)()()(222T 2A A A A T =-==∴ A 2是对称阵.(2)TTT)()()(BA AB BA AB -=-TT T T BA AB -=BA AB )()(---=BAAB -=∴ AB -BA 是对称阵. (3)BAA B A B AB -=-==)()(TTT若AB 是反称阵，则AB AB -=T)(，有AB =BA若AB =BA ，则AB AB -=T)(，AB 是反称阵，∴AB 是反称阵的充分必要条件是AB =BA .习题1.5(A)1.把下列矩阵化为行最简形矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-14313021201)1 解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-34313021201−−→−+-+-312132r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---62031001201 −−→−-⨯)1(2r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---62031001201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−→−++-000031005001321222r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------12433023221221134311)3 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------+-+-+-810566300221003431112433023221221134311 41312132r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−−→−-⨯8105663002210034311 )1(2r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−+++-200000002210032011 4232125 3 3r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−↔⨯00000100002210032011 34421r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−+-+00100000210002011 231323 r r r r 第五周习题解答 习题2.1(A)1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式381141102 )1(---解)1()1(03)4(2381141102-⨯-⨯+⨯-⨯=--- 8)1(2310)1()4(1811⨯-⨯-⨯⨯--⨯-⨯-⨯⨯+=-43. 求i 出j 与，使817i 25j 49成为奇排列。
吉林师范大学线性代数课后练习题答案
练习1.21.解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+321111512211213102B A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-705313512211213102B A⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=-191128375122113213102232B A2.解：由XB A X-=-2，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=+=2222211202202121A B X 4.解（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1764134251211123（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛005030200011（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000113020（4）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963642321321321（5）()14321321=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛（6）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---223451873031740215217335216104（7）()()15212315212103110021211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---7.解（1）设与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d cb aX ，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d b c a b ad c b a AX 1101 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d d c b b a d c b a XA 1101由XA AX=得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=dd b d c c a ba a ⎩⎨⎧==⇒d a b 0 故与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c a X 0 （c a ,为任意）（2）设与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222111c b a c b a c b aX ，则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222212121111222111100110011c b a c c b b a a c c b b a a c b a c b a c b a AX ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222211111222111100110011c b b a a c b b a a c b b a ac b a c b a c b a XA 由XA AX =可得⎪⎩⎪⎨⎧======bc c b a b a a 1212210故与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a c b a 000（a ，b ，c 为任意常数）8.证明：由已知有A B AB 11=，A B AB 22=则A B B A B A B AB AB B B A )()(21212121+=+=+=+，故A 与21B B +也可交换。
吉林大学《线性代数》线性代数第二课xmxydluu1-4
a11 a12 L a1i L a1n a11 a12 L a '1i L a1n
D a21 a22 L a2i L a2n a21 a22 L a '2i L a2n
MM
M
M MM
M
M
an1 an2 L ani L ann an1 an2 L a 'ni L ann
1 81 4 1 80 4 1 1 4 2 46 1 2 40 1 2 6 1 3 29 2 3 20 2 3 9 2
ax b y a by x by a b a y x b x y
cz dw c dw z dw c d c w z d z w
1 3 1 2 1 3 1 2
1 3 1 2
1 D
0
5 2
3 1
4 r2 r1 0 8 1 r4 5r1 0 2
4 1
6 1
r2 r3
0 2 1 1
0 8 4 6
5 1 3 3 0 16 2 7
总结行列式变换方式
❖ 换行（列）
12
34
3 4 r1r2 1 2
❖ 提取公因子
12
11
3 4 c2 2 2 3 2
❖ 行列消元
12 1 0 3 4 3 c2 2c1 2
6 11 3 1
11 1 3
1111
r2 r1
r3 r1
0200
r4 r1 6
48
0020
0002
ab
c
d
a ab abc abcd D
a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
ab c
新编文档-线性代数习题课吉林大学术洪亮-精品文档
2．互换行列式的两行（列），行列式变号； 3．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行
列式可写成两个行列式的和； 5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。
展开定理 计算 应用
483060304860 0
0 1 1 2 1 1 0 2 D2 1 2 1 0 2 1 10
0 1 1 2
r3 r2
1 1 0 2 r4 ( 2 ) r2 0 1 1 2
0 3 1 4
0 1 1 2
r3 r1 1 1 0 2
r4 3 r1
0 0
0 0
2 4 2 2
r1 r2
1
0 0
1 1 0
0 1 2
2
2 r4 (1)r3
4
1 0 0
1 0 1 1 0 2
2
2 4
4
0 0 2 2
0 0 0 2
xa
a
例8： D n a x
a
aa
x
解：第2列、第3列直到第n列，
依次乘以 1倍后加到第1列上去，得：
x (n 1)a a a
1a
a
x (n 1)a x a
1x
a
Dn
线性代数习题课
吉林大学 术洪亮
第一讲 行 列 式
前面我们已经学习了关 于行列式的概念和一些基本 理论，其主要内容可概括为：
行列式
概念 性质 展开定理 计算 应用
概念 性质
排列，逆序数，奇排列与偶排列
行 a11 a12
列 式
a21
a22
的
定 义
an1
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3、线性变换复合
x
2
x1 2 y1 y3 2 y1 3 y2
2 y3
x 3 4 y1 y 2 5 y 3
y1 y2
3 z1 2 z1
z2 z3
y 3 z 3 3 z 3
2 0 1 3 1 0 6 1 3
2
3
2
2
0
1
12
4
9
4 1 5 0 1 3 1 0 1 1 6
1 1
A
1
1
1
1
1
E
B
可交换
B
1
1
,
B
2
1
,
B
3
O
An
( E
B )n
( E )n
n ( E )n1 B
C
2 n
(
E
)n2
B
2
C
3 n
(
E
)n3
B
3
L
nE
n n1 B
C
2 n
n
2
B
2
1
1
1
n
1
n
n 1
1
C
2 n
n2
1
n
n n1 n
C
2 n
n2
n n1
A d ia g (1, 2 ,1)
A 1 d ia g (1, 1 ,1) 2
A * | A | A 1 ( 2 ) d ia g (1, 1 ,1) d ia g ( 2 ,1, 2 ) 2
( A * 2 E )1 (d ia g ( 4, 1, 4 ))1 d ia g ( 1 , 1, 1 )
1
X
1
2
0
1
1 1 2 0
1
1
1 1 4 3 1
1
2
0
1
1
1 1 2 0 1
2 0 11
1
4
3
1 2 0
1
1
2 1 0
1
3
4
1 0 2
求行列式
| A | 1 2
A* | A | A1 1 A1 2
| (2 A)1 5 A* || 1 A1 5 A1 || 2 A1 | (2)3 | A1 | 16
对角矩阵的逆
a1
a2
O
1
a11
a21
O
an
an1
解矩阵方程
2
1
5 3
X
4
2
6
1
2 5 1 4 6
X
1
3
2
1
3
1
54
2
2
6
1
2 23
0
8
解矩阵方程
1 1
1 4 3
1
X
1
2
0
1
1 1 1 2 0
1 1 1 4 3 1
M
1 0 5
An
1 6 n1 A
1
6
n
1
2
0
1
0
3 0 1 5
证明对称矩阵
AT A (BT AB)T BT AT (BT )T BT AB BT AB对称
证明对称矩阵
AT A BT B AB BA
( A B )T B T A T B A A B
AB对 称
求逆矩阵
A
反例
AXAY,AO,XY 1 1 1 0 2 1
A1 1,X0 1,Y1 0
高次幂计算
A
1
0 1
,
A
k
?
A
1
B2 O
1
0 1
0
0
E
+
B
可交换
Ak
Ek
k E k1 B
C
2 k
E
k2
2
B
2
L
E k k E k1 B
E kB
1
1
k
0 1
0
0
1 k
0
1
高次幂计算
4
4
B 8diag ( 1 , 1 , 1 ) diag (2, 4, 2) 42 4
伴随矩阵推导原矩阵
| A * | | A |n 1
8 | A |3
A 1 1 A * d ia g ( 1 , 1 , 1 , 4 )
|A |
222
A d ia g (2, 2, 2, 1 ) 4
A B A 1 B A 1 3 E
抽象 逆矩阵
A2 A 2E O
A(A E) 2E A 1 1 ( A E )
2
( A 2 E )( A 3E ) A 2 A 6 E 4 E ( A 2 E )1 1 ( A 3E )
4
伴随和逆
( A * )1 ( A 1 )*
A * | A | A 1 ( A * )1 (| A | A 1 )1 1 A
( A E )B A 1 3 E
B 3( A E )1 A
证明题
Ak O ( E A )1 E A A 2 L A k1
(E A )( E A A 2 L A k1 ) E A A 2 L A k1
A A 2 L A k1 A k E Ak E
A2B2
| A 8 | | A |8 A 4 (A 2 )2
O
B
A O
1
C1
C
3
C2
C
4
O
B
A C1
O
C
3
C C
2 4
E
O
O
E
作业
P55-10 (3) p55-11 (3) P56-20
1 2
2
5
| A | 1
A*
5
2
2
1
A 1
|
1 A
A* |
5
2
2
1
求逆矩阵
co s
s in
1
s
in
cos
cos(
s
in
(
) )
sin ( )
co s(
)
cos
s in
sin
cos
A T A 1(正 定 矩 阵 )
旋转的逆变换 =顺时针旋转变换
求逆矩阵
n
补充一种情况
1
1 0 5
A
2
1
0
5
2
0
10
,
A
n
?
3
3 0 1 5
A abT
A 2 a b T a b T a (b Ta )b T
1
b T a 1
0
5
2
1
6
3
A2 16abT 16 A
A 3 a b Ta b Ta b T a (b Ta )(b Ta )b T 1 6 2 A
习题2
矩阵
计算乘积4 3 1 7源自 35123
2
6
5 7 0 1 49
3
(1, 2 , 3 )
2
10
1
2
2 4
1
(1,
2)
1
2
3
3 6
计算乘积
二次型
a11 a12 a13x1 (x1,x2,x3)a21 a22 a23x2
a31 a32 a33x3 a11x12(a12a21)x1x2(a13a31)x1x3a22x2 2(a23a32)x2x3a33x3 2
|A| ( A 1 )* | A 1 | ( A 1 ) 1 | A |1 A ( A * )1 ( A 1 )*
伴随矩阵的行列式
| A | 0 | A * | 0
1) : A O ,结 论 显 然 2）: A O ,| A | 0
| A | 0 AA* | A | E O
假 设 A *可 逆 ， 则 从 右 侧 乘 以 ( A * )1 , 可 以 得 到 A O ， 矛 盾 ！ 所 以 有 A *不 可 逆 ， 所 以 | A * | 0
| A * | | A |n 1
| A | 0 | A * | 0 | A |n 1 | A | 0 A * | A | A 1 | A * | d e t(| A | A 1 ) | A |n | A 1 | | A |n 1
其他
A1
O
E E
A
2
O
B1 B2
A1 O
A1B1 B 2
交换
1 2 1 0
A
1
3
,
B
1
2
3 4
1 2
AB
4
6
,BA
3
6
AB BA
(A B )2 A 2 2 A B B 2
( A B )( A B ) A 2 B 2
反例
A2 O
AO
A
0
1
0
0
反例
A2 A, A O, A E
1 1
A
2
2
1 2
1 2
2
2
1
验
证
：
A
1
1
2
此题书后答案有误
矩阵方程
AB A 2B (A 2E)B A B ( A 2E )1 A
AB E A2 B ( A E )B A2 E ( A E )( A E ) B AE
矩阵方程
A*BA 2BA 8E
(A* 2E)BA 8E
B 8( A* 2 E )1 A 1