吉林大学线性代数-线性 习题2

4
4
B 8diag ( 1 , 1 , 1 ) diag (2, 4, 2) 42 4
伴随矩阵推导原矩阵
| A * | | A |n 1
8 | A |3
A 1 1 A * d ia g ( 1 , 1 , 1 , 4 )
|A |
222
A d ia g (2, 2, 2, 1 ) 4
A B A 1 B A 1 3 E
对角矩阵的逆
a1
a2
O
1
a11
a21
O
an
an1
解矩阵方程
2
1
5 3
X
4
2
6
1
2 5 1 4 6
X
1
3
2
1
3
1
54
2
2
6
1
2 23
0
8
解矩阵方程
1 1
1 4 3
1
X
1
2
0
1
1 1 1 2 0
Leabharlann Baidu
1 1 1 4 3 1
1
X
1
2
0
1
1 1 2 0
1
1
1 1 4 3 1
1
2
0
1
1
1 1 2 0 1
2 0 11
1
4
3
1 2 0
1
1
2 1 0
1
3
4
1 0 2
求行列式
| A | 1 2
A* | A | A1 1 A1 2
| (2 A)1 5 A* || 1 A1 5 A1 || 2 A1 | (2)3 | A1 | 16
| A * | | A |n 1
| A | 0 | A * | 0 | A |n 1 | A | 0 A * | A | A 1 | A * | d e t(| A | A 1 ) | A |n | A 1 | | A |n 1
其他
A1
O
E E
A
2
O
B1 B2
A1 O
A1B1 B 2
抽象 逆矩阵
A2 A 2E O
A(A E) 2E A 1 1 ( A E )
2
( A 2 E )( A 3E ) A 2 A 6 E 4 E ( A 2 E )1 1 ( A 3E )
4
伴随和逆
( A * )1 ( A 1 )*
A * | A | A 1 ( A * )1 (| A | A 1 )1 1 A
1 1
A
1
1
1
1
1
E
B
可交换
B
1
1
,
B
2
1
,
B
3
O
An
( E
B )n
( E )n
n ( E )n1 B
C
2 n
(
E
)n2
B
2
C
3 n
(
E
)n3
B
3
L
nE
n n1 B
C
2 n
n
2
B
2
1
1
1
n
1
n
n 1
1
C
2 n
n2
1
n
n n1 n
C
2 n
n2
n n1
交换
1 2 1 0
A
1
3
,
B
1
2
3 4
1 2
AB
4
6
,BA
3
6
AB BA
(A B )2 A 2 2 A B B 2
( A B )( A B ) A 2 B 2
反例
A2 O
AO
A
0
1
0
0
反例
A2 A, A O, A E
1 1
A
2
2
1 2
1 2
A2B2
| A 8 | | A |8 A 4 (A 2 )2
O
B
A O
1
C1
C
3
C2
C
4
O
B
A C1
O
C
3
C C
2 4
E
O
O
E
作业
P55-10 (3) p55-11 (3) P56-20
A d ia g (1, 2 ,1)
A 1 d ia g (1, 1 ,1) 2
A * | A | A 1 ( 2 ) d ia g (1, 1 ,1) d ia g ( 2 ,1, 2 ) 2
( A * 2 E )1 (d ia g ( 4, 1, 4 ))1 d ia g ( 1 , 1, 1 )
M
1 0 5
An
1 6 n1 A
1
6
n
1
2
0
1
0
3 0 1 5
证明对称矩阵
AT A (BT AB)T BT AT (BT )T BT AB BT AB对称
证明对称矩阵
AT A BT B AB BA
( A B )T B T A T B A A B
AB对 称
求逆矩阵
A
2
2
1
验
证
：
A
1
1
2
此题书后答案有误
矩阵方程
AB A 2B (A 2E)B A B ( A 2E )1 A
AB E A2 B ( A E )B A2 E ( A E )( A E ) B AE
矩阵方程
A*BA 2BA 8E
(A* 2E)BA 8E
B 8( A* 2 E )1 A 1
反例
AXAY,AO,XY 1 1 1 0 2 1
A1 1,X0 1,Y1 0
高次幂计算
A
1
0 1
,
A
k
?
A
1
B2 O
1
0 1
0
0
E
+
B
可交换
Ak
Ek
k E k1 B
C
2 k
E
k2
2
B
2
L
E k k E k1 B
E kB
1
1
k
0 1
0
0
1 k
0
1
高次幂计算
1 2
2
5
| A | 1
A*
5
2
2
1
A 1
|
1 A
A* |
5
2
2
1
求逆矩阵
co s
s in
1
s
in
cos
cos(
s
in
(
) )
sin ( )
co s(
)
cos
s in
sin
cos
A T A 1(正 定 矩 阵 )
旋转的逆变换 =顺时针旋转变换
求逆矩阵
( A E )B A 1 3 E
B 3( A E )1 A
证明题
Ak O ( E A )1 E A A 2 L A k1
(E A )( E A A 2 L A k1 ) E A A 2 L A k1
A A 2 L A k1 A k E Ak E
|A| ( A 1 )* | A 1 | ( A 1 ) 1 | A |1 A ( A * )1 ( A 1 )*
伴随矩阵的行列式
| A | 0 | A * | 0
1) : A O ,结 论 显 然 2）: A O ,| A | 0
| A | 0 AA* | A | E O
假 设 A *可 逆 ， 则 从 右 侧 乘 以 ( A * )1 , 可 以 得 到 A O ， 矛 盾 ！ 所 以 有 A *不 可 逆 ， 所 以 | A * | 0
3、线性变换复合
x
2
x1 2 y1 y3 2 y1 3 y2
2 y3
x 3 4 y1 y 2 5 y 3
y1 y2
3 z1 2 z1
z2 z3
y 3 z 3 3 z 3
2 0 1 3 1 0 6 1 3
2
3
2
2
0
1
12
4
9
4 1 5 0 1 3 1 0 1 1 6
n
补充一种情况
1
1 0 5
A
2
1
0
5
2
0
10
,
A
n
?
3
3 0 1 5
A abT
A 2 a b T a b T a (b Ta )b T
1
b T a 1
0
5
2
1
6
3
A2 16abT 16 A
A 3 a b Ta b Ta b T a (b Ta )(b Ta )b T 1 6 2 A
习题2
矩阵
计算乘积
4 3 1 7 35
1
2
3
2
6
5 7 0 1 49
3
(1, 2 , 3 )
2
10
1
2
2 4
1
(1,
2)
1
2
3
3 6
计算乘积
二次型
a11 a12 a13x1 (x1,x2,x3)a21 a22 a23x2
a31 a32 a33x3 a11x12(a12a21)x1x2(a13a31)x1x3a22x2 2(a23a32)x2x3a33x3 2