集合的基本运算

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集合的基本运算

交集的运算性质：
（1） ∩ = ，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身；
（2） ∩ ∅ = ∅，即任何集合与空集的交集等于空集.
若A B，则A B A.
若A B A，则A B.
探究三：补集
思考3：求方程 ሺ − 2)ሺ 2 − 3) = 0 在有理数范围内的解集，在
2 ，，，，
3 4 5 6 ，A {1，，
2 3}，B 5 ，，，
6 7 8 ，则
B
U
A 中元素的个数为( B )
A.4
B.5
解析：
为 5.故选 B.
U
A {4 ，，
5 6} ，B
C.6
U
A {4 ，，
5 6，
7，
8} ，所以 B
D.7
U
A 中元素的个数
4. 已知集合 A 1，
试用集合的运算表示 1 ， 2 的位置关系.
解：平面内直线 1 ， 2 可能有三种位置关系，即相交于一点、平
行或重合.
（1）直线 1 ， 2 相交于一点 P 可表示为 1 ∩ 2 = { 点 ሽ；
（2）直线 1 ， 2 平行可表示为 1 ∩ 2 = ∅；
（3）直线 1 ， 2 重合可表示为 1 ∩ 2 = 1 = 2 .
2. 已知集合 M {x | x 2} ，N {x | 1 x 1 1} ，则( D )
A. M N
B. M
NN
C. M
N R
解析：由题知，集合 N x | 0 x 2 ，所以 M
D. M
NN
N {x | 0 x 2} .故选 D.
3. 已知集合 U 1，
（CU A） B {x | 3 x 4} .

集合的基本运算

记作： CU A x x U ,且x A .
补集可用Venn图表示为:
U A
CU A
对于任意的一个集合A都有
（1） A (CU A) U
（2） A (CU A)
（3） CU (CU A) A U
CU A
A
例8 设U={x|x是小于7的正整数},A={1，2，3}， B={3，4，5，6}, 求CUA, CUB.
C={x ∣x是实数}；
x是有a,理b 数
x是无c,d理数
xa是,b实,c,数d
集合A
集合B
集合C
集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.
知识要点
1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读
作“A并B”),即 A∪B={x | x∈ A, 或x∈ B}
解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6}, 所以 CUA={4,5,6} CUB={1,2} .
例9 设U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},
B={x|x是钝角三角
解：A∩B=Φ
形},求A∩B，C∪(A∪B)
A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}
C∪(A∪B)={x|x是直角三角形}
例
设平面内直线l1上的点的集合为L1
,
直线l
上点
2
的集合为L2 , 试用集合的运算表示l1, l2的位置关系.
解 : (1)直线l1, l2相交于一点P可表示为
L1∩L2 = {点P};
(2)直线l1
,
l
平行可表示为
2
L1∩L2 = ;
(3)直线l1

第10讲集合的运算 (解析版)

第10讲集合的基本运算一、集合的运算 (一)交集文字语言对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }图形语言阴影部分为A ∩B .例如(1){}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,8A B ==,{}3,4,5AB =(2)}31|{<<=x x A ,}42|{<<=x x B ,}32|{<<=x x B A性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A【例1】交集（1）已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{－1,2}，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{2}C ．{－1,2}D ．{1,2,3} 【答案】B【解析】由题得A ∩B ＝{}2（2）已知A ＝{y |y ≤1}，B ＝{x|x ≥0}，则集合A ∩B 等于( )A ．∅B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1} 【答案】C,利用数轴，容易得到答案。

这里注意，不少同学会认为是A 答案，为什么不对？（3）已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z}，则A ∩B ＝________. 【答案】{(0,1)，(－1,2)}【解析】A ，B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．(4)集合A ＝{x |2k <x <2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |1<x <6}，求A ∩B ； (4)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}．【变式1】(1)设集合{1,2,3,4}A =，{2,4}B =，则集合A B = .答案：(1)AB ={2,4}(2)集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≤0或x >5}，求A ∩B ；答案：(2)A ∩B ＝{x |－2<x ≤0}．(3)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，求A ∩B . 答案：(3)A ∩B ＝∅.(4)设集合{}{}290,30A x x B x x a =-≤=+≥，且{}13A B x x ⋂=≤≤，则a =（）A ．1-B ．3-C ．1D ．3【答案】B 【分析】求出集合A ，B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】{}{}29033A x x x x =-≤=-≤≤，3a B x x ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭,由{}13A B x x ⋂=≤≤，所以13a-=，即3a =-. 故选：B.（二）并集，阴影部分为A ∈B例如(1){}{}{}1,3,52,3,4,62,3,4,5,6=(2)}31|{<<=x x A ,}42|{<<=x x B ,}41|{<<=x x B A性质A ∈B ＝B ∈A ，A ∈A ＝A ，A ∈∅＝∅∈A ＝A ，如果A ∈B ，则A ∈B ＝B .【例2(1) 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B =( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4} D ．{1,3,4} 【答案】A【解析】∈A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，∈A ∈B ＝{1,2,3,4}．故选A. (2) A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x ≤1或x >3}，求A ∈B . 【解析】如图：由图知A ∈B ＝{x |x <2或x >3}．(3)已知集合2{|20}A x x x =-≥，{|}B x x a =<，且A B =R ，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≥ 【分析】先求出集合A ，然后由条件A B =R 结合数轴可得答案. 【详解】由220x x -≥解得0x ≤或2x ≥，则{|0,A x x =≤或}2x ≥，又{|}B x x a =<，若A B =R ，则2a ≥.故选：D .(4)A ＝{(x ，y )|x ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝2}．求A ∈B ，并说明其几何意义．【解析】A ∈B ＝{(x ，y )|x ＝2或y ＝2}，其几何意义是直线x ＝2和直线y ＝2上所有的点组成的集合．【变式2】(1)已知集合{}=23A x x -≤≤，{}240B x x x =-≤，则AB = .A ．[]2,4-B ．[]2,0-C ．[]0,3D ．[]4,3-【答案】A 【分析】先解出集合B ,再求A B .【详解】由{}240B x x x =-≤解得：{}04B x x =≤≤，所以A B =[]2,4-.故选：A(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B .解解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1得m <2，则B ＝{m |m <2}．用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．（三）补集（1）全集定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U . （2）补集例如(1)}{1,2,3,4,5=U ，{3,4}=A ，{1,2,5}=A C U(2)}51|{<<=x x U ,}32|{<<=x x B ,,21|{≤<=x x A C U 或}53<≤x性质A ∈∈A ＝U ；A ∩∈A ＝∈；∈(∈A )＝A .【例3】(1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则A C U ＝________. 【答案】{3,4,5}(2)若全集U ＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|－2≤x ≤0}，求A C U 【解析】∈U ＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|－2≤x ≤0}， ∈A C U ＝{x ∈R|0<x ≤2}.(3)设全集U ＝{x |x 是三角形}，A ＝{x |x 是锐角三角形}，B ＝{x |x 是钝角三角形}，求A ∩B ，)(B A C U ．【解析】根据三角形的分类可知，A ∩B ＝∈，A ∈B ＝{x |x 是锐角三角形或钝角三角形}，)(B A C U ＝{x |x 是直角三角形}．【变式3】(1)设U ＝{x |x 是小于9的正整数}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3，4,5,6}，求A C U ，B C U .【解析】根据题意可知，U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以A C U ＝{4,5,6,7,8}，B C U ＝{1,2,7,8}． (2)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2≥0}，则A C R ＝________. 【答案】{x |－1<x <2}（四）集合运算的综合【例4】（1）已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝______，(∁U A )∩(∁U B )＝________. 答案 {x |0<x <1} {x |0<x <1}解析 A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．∁U A ＝{x |x >0}，∁U B ＝{x |x <1}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{x |0<x <1}．（2）设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－1 【答案】D【解析】因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a >－1.故选D 。

集合间的基本运算(交集,并集,补集)非常全面的题型分类

集合间的基本运算一、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集.(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言；如图所示.二、交集交集的三种语言表示：(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集.(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：如图所示.三、并集与交集的运算性质题型一并集及其运算例1 (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}(2)已知集合P ＝{x |x ＜3}，Q ＝{x |－1≤x ≤4}，那么P ∪Q 等于( ) A.{x |－1≤x ＜3} B.{x |－1≤x ≤4} C.{x |x ≤4}D.{x |x ≥－1} (3).已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x变式练习1 已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}2.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（）A .1个B .2个C .3个D .4个题型二交集及其运算例2 (1)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}(2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) A.{x |2<x ≤3} B.{x |x ≥1} C.{x |2≤x <3} D.{x |x >2}变式练习2(1)设集合A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，则A ∩B ＝________. (2)集合A ＝{x |x ≥2或－2<x ≤0}，B ＝{x |0<x ≤2或x ≥5}，则A ∩B ＝________.（3）.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1-（4）.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.题型三已知集合的交集、并集求参数例3已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围变式练习3设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.例4设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a 的取值范围.变式练习4设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的取值范围.例5 (1)设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B 等于( )A.∅B.{53，13}C.{(53，13)} D.{x＝53，y＝13}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B.变式练习5（1）设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；（2）设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }，求A ∩B .6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．课后练习一、选择题1.设集合A ＝{－1,0，－2}，B ＝{x |x 2－x －6＝0}，则A ∪B 等于( ) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}2.已知集合M ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A.{1} B.{－1,1} C.{0,1}D.{－1,0,1}3.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个4.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于( )A.{x|x<－5或x>－3}B.{x|－5<x<5}C.{x|－3<x<5}D.{x|x<－3或x>5}三、解答题5.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.6.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.7.(1)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值；(2)若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.四、全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.五、补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言为六、补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ).题型一补集运算例1 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A 等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________.变式练习 1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则A C U ＝________.2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.题型二补集的应用例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.变式练习2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.题型三并集、交集、补集的综合运算例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).变式练习3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.题型四利用Venn图解题例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.变式练习4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.变式练习5已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围.课后作业一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于( )A.{4,5}B.{2,4,5,7}C.{1,6}D.{3}3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁N)等于( )UA.∅B.{d }C.{a ，c }D.{b ，e }4.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤1}B.{a |a <1}C.{a |a ≥2}D.{a |a >2}5.设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N 等于( )A.{x |x <－2}B.{x |－2<x <1}C.{x |x <1}D.{x |－2≤x <1}6.已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}，若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，则a 的取值范围为________.7.设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5,6}，则集合A ＝________，B ＝________.8.已知全集U ＝R ，A ＝{x ||3x －1|≤3}，B ＝{x |⎩⎨⎧ 3x ＋2>0，x －2<0}，求∁U (A ∩B ).9.已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}.(1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.10.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }.(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围.11.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.12.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．。

3集合的基本运算

§3.集合的基本运算
3.1 交集与并集 3.2 全集与补集
ＡＡ∪用ＢＢVenＡn∪A图∩ＢB表Ｂ示两Ａ个ＡＡ＝∪∩集（ＢＢＢ合）的ＡＡＡ关∪∩ＢＢ系
Ｂ
由属于A且属于B的元素组成的集合, 叫A与B的交集.记作:
由属于A或属于B的元素组成集合,A与B的并集.记作:
设ＵU是全集A U.由U
⑴（Ａ∩Ｂ）∩Ｃ与Ａ∩（Ｂ∩Ｃ） ⑵（Ａ∪Ｂ）∪Ｃ与Ａ∪（Ｂ∪Ｃ） ⑶（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）与Ａ∪（Ｂ∩Ｃ） ⑷（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）与Ａ∩（Ｂ∪Ｃ） ⑸Ａ（Ａ∪Ｂ）与Ａ∪（Ａ∩Ｂ）
答案：是相等请把这些相等的式子写在笔记本中
这些等式依次为（归纳）：
(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)＝A∩B∩C
(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)＝
中所有不属于A的元
素C组ｕ成Ａ的集合Ａ叫U中
子集A的补集.记作:
A∩ B =
{x|x∈A且x∈B}
ＣuＡ=
{x|x∈ U且∈A}
很显然
A B A A B; A B B A B
若A B A则A B；若A B A则B A.反之亦真。
填写两张表
第一张
第二张
∩ φ Α Β Cu ∪ φ Α Β Cu
A∪B∪C
（结合律）
A∩(A∪B)＝A∪(A∩B)＝A（吸收律）
应用二：p13例4题略.解略.
归纳 (反演律、狄·摩根定理De Morgan）
略
图形验证
Ｕ
Ａ
Ｂ
Ｕ
Ａ
Ｂ
可以用维恩图验证其他定律（课外完成）
应用三Ｐ16Ｂ组２题略
文字语言图形语言符号语言
９
ＡＡ∩ＢＢ
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第八讲集合的基本运算(精讲)(解析版)

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第八讲集合的基本运算（精讲）（解析版）【知识点透析】一、交集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”2、符号语言：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }3、图形语言：阴影部分为A ∩B4、性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。

二、并集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”2、符号语言：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }3、符号语言：阴影部分为A ∪B4、性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，如果A ⊆B ，则A ∪B ＝B .5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U .2、补集（1）文字语言：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作A C U .（2）符号语言：}|{A x U x x A C U ∉∈=且（3）符号语言：（4）性质：A ∪∁U A ＝U ；A ∩∁U A ＝∅；∁U (∁U A )＝A .【注意】并不是所有的全集都是用字母U 表示，也不是都是R，要看题目的。

四、利用交并补求参数范围的解题思路1、根据并集求参数范围：=⇒⊆ A B B A B ，若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 2、根据交集求参数范围：=⇒⊆ A B A A B 若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 【知识点精讲】题型一并集、交集、补集的运算【例题1】（2022·浙江·杭十四中高一期中）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，则S T ⋃=（）A ．{}3,5B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5,6【答案】C【分析】根据并集的定义直接求解即可.【详解】因为{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，所以S T ⋃={}1,2,3,4,5，故选：C【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合{|1}A x x =<，{|22}B x x =-<<，则(A B = )A ．{|21}x x -<<B ．{|2}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{|1}x x <【答案】B【解析】{|1}A x x =< ，{|22}B x x =-<<，{|2}A B x x ∴=< ．故选B．【例题3】．（2022·江苏·高二期末）已知集合{}1,2A =，{}21,2B a a =-+，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为{}1A B ⋂=，所以11a -=或221a +=，解得：2a =．故选：C．【例题4】．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合{}21A x x =-<≤，{}0B x x a =<≤，若{|23}A B x x =-<≤ ，A B = （）【例题5】．（2021·北京昌平区·高二期末）已知全集，集合，{3,4}B =，则()U A B = ð___________.【答案】．{}3,4,5【解析】解：{0U = ，1，2，3，4，5}，{0A =，1，2，3}，{3B =，4}，{4U A ∴=ð，5}，(){3U A B ⋃=ð，4，5}.故答案为：{3，4，5}.【例题6】．（2022·四川南充高一课时检测）已知全集{}16A x x =≤≤，集合{}15B x x =<<，则A B =ð（）．A ．{}5x x ≥B ．{1x x ≤或}5x ≥C ．{1x x =或}56x <≤D ．{1x x =或}56x ≤≤【例题7】．41．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若4m =，求A B ；（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．【答案】．（1）{}27x x -≤≤；（2）{2m m <或}4m >.【解析】（1）当4m =时，{}57B x x =≤≤，故{}27A B x x ⋃=-≤≤；（2）当121m m +>-时，即当2m <时，B =∅，则A B =∅ ；当121m m +≤-时，即当2m ≥时，B ≠∅，因为A B =∅ ，则212m -<-或15m +>，解得12m <-或4m >，此时有4m >.综上所述，实数m 的取值范围是{2m m <或}4m >.【变式1】．（2022·河北邢台高二期末）若集合{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，则A ．M N⊆B ．{}4M N = C ．M N⊇D ．{}26|M N x x =-<< 【答案】B【分析】利用集合的交并运算求M N ⋂、M N ⋃，注意,M N 是否存在包含关系，即可得答案.【详解】因为{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，所以{}4M N = ，{}|26M N x x =-<≤ ，,M N 相互没有包含关系.故选：B【变式2】．（2022·江苏常州高三开学考试）设集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B ⋃=（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．[)0,1D ．(]0,1【变式3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知集合{}1,1,2M =-，{}2N x x x =∈=R ，则M N ⋃=（）A ．{}1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,2-【答案】C【解析】{}{}20,1N x x x =∈==R ，{}1,0,1,2M N ∴=- .故选：C.【变式4】．（2022·浙江·三模）已知集合{}{}25,36P x x Q x x =≤<=≤<，则P Q = （）A ．{}25x x ≤<B ．{}26x x ≤<C ．{}35x x ≤<D ．{}36x x ≤<【答案】C【解析】由题意知：P Q = {}35x x ≤<.故选：C.题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用【例题8】．（2022·河南洛阳高一课时检测）已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8U C A =，{}1,4,6,8,9U C B =，则集合B =（）A ．{}1,5,7B ．{}3,5,7,9C ．{}2,3,5,7,9D ．{}2,3,5,7【答案】D【分析】根据集合补集的运算法则进行求解.【详解】集合{}=1,3,5,79A ，，{}2468U C A =，，，{}=1,2,3,4,5,6,7,8,9U ∴又{}=1,4,6,8,9U C B {}=2,3,5,7B 故选：D【例题9】．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知集合{}|10A x ax =-=，{}*|14B x x =∈≤<N ，且A B B ⋃=，则实数a 的所有值构成的集合是（）A ．11,2⎧⎫⎨⎬B ．11,23⎧⎫⎨⎬C ．111,,23⎧⎫⎨⎬D ．110,1,,23⎧⎫⎨⎬【例题10】．（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试）已知集合(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【答案】D【分析】依题意可得1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得即可.【详解】解：因为(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+且A B =R ，所以1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a ≤≤，即[]1,2a ∈；故选：D【例题11】．（2022·云南昆明一中高一检测）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉ ．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【例题12】．（2021·江苏高一专题练习）已知集合{}42A x x =-<<，{}110B x m x m m =--<<->，．（1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3m ≥；（2）0m >.【解析】：（1）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，014312m m m m >⎧⎪∴--≤-⇒≥⎨⎪-≥⎩；（2）若A B = ∅，则014m m >⎧⎨-≤-⎩或012m m >⎧⎨--≥⎩，不等式组无解，所以A B ⋂≠∅时，所以0.m >【变式1】（2022·辽宁沈阳高一课前预习）集合{}2320A x x x =-+=，{}2220B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】．{}44a a -<≤由题意，知{}1,2A =，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.（1）若1B ∈，则1是方程2220x ax -+=的根，所以4a =.当4a =时，{}1B A =⊆，符合题意.（2）若2B ∈，则2是方程2220x ax -+=的根，所以5a =.当5a =时，{}2125202,2B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，此时不满足B A ⊆，所以5a =不符合题意.（3）若B =∅，则2160a ∆=-<，解得44a -<<，此时B A ⊆.综上所述，a 的取值范围为{}44a a -<≤.【变式2】．（2023·浙江高二开学考试）已知R a ∈，设集合{}22210A x x ax a =-+-<，{}2B x x =>，（1）当2a =时，求集合A ．（2）若R A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}13A x x =<<；（2）32a ≤．【解析】（1）当2a =时，有2430x x -+<，解得13x <<，故{}13A x x =<<．（2）∵{}2B x x =>，∴{}2R B x x =≤ð，不等式22210x ax a -+-<可以表示成()()1210x x a ---<⎡⎤⎣⎦，当1a <时，{}211A x a x =-<<，此时R A B ⊆ð成立，当1a =时，A =∅，R A B ⊆ð成立，当1a >时，{}121A x x a =<<-，若此时R A B ⊆ð成立，则212a -≤，解得32a ≤，故312a <≤．综上所述，32a ≤．【变式3】．（2022·四川乐山市高一单元测试）已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤．(1)在①1a =-，②0a =，③1a =这三个条件中任选一个作为已知条件，求A B ；(2)若R A B A ⋂=ð，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)(][),11,-∞-⋃+∞【分析】（1）代入a 的值求出集合A ，再求并集可得答案；（2）求出B R ð，根据A B A ⋂=R ð可得A B ⊆R ð，分A =∅、A ≠∅讨论可得答案.（1）选择条件①：因为1a =-，所以()3,0A =-，又[]0,1B =，所以(]3,1A B ⋃=-；选择条件②：因为0a =，所以()1,1A =-，又[]0,1B =，所以(]1,1A B ⋃=-；选择条件③：因为1a =，所以()1,2A =，又[]0,1B =，所以[)0,2A B ⋃=；（2）因为[]0,1B =，所以()(),01,B =-∞⋃+∞R ð，因为A B A ⋂=R ð，所以A B ⊆R ð，当A =∅时，满足R A B ⊆ð，此时211a a -≥+，即2a ≥，当A ≠∅时，则2 10a a <⎧⎨+≤⎩或2211a a <⎧⎨-≥⎩，解得1a ≤-或12a ≤<，综上，a 的取值范围为(][),11,-∞-⋃+∞．题型三Venn 图的应用【例题13】．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【答案】．B【解析】233y x =+≥，所以[)3,A =+∞，图象表示集合为()U A B ⋂ð，()U ,3A =-∞ð，()()U 2,3A B ⋂=-ð.故选：B【例题14】．（2021·全国高三其他模拟）已知全集U x y ⎧=∈=⎨⎩Z ，集合{}13M x x =∈-<Z ，{}4,2,0,1,5N =--，则下列Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}0,1B ．{}3,1,4-C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【答案】．C【解析】{}{}50,565,4,3,2,1,0,1,2,3,4,560x U x x x x ⎧+⎧⎫⎪=∈=∈-≤<=-----⎨⎨⎬->⎩⎭⎪⎩ZZ ，集合{}{}{}313241,0,1,2,3M x x x x =∈-<-<=∈-<<=-Z Z ．因为集合{}4,2,0,1,5N =--，所以{}5,3,1,2,3,4U N =---ð，所以Venn 图中阴影部分表示的集合为(){}1,2,3U M N ⋂=-ð，故选：C．【例题15】．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）A ．8B ．10C ．12D ．15【答案】A【分析】根据集合的运算可得答案.【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为2320358+-=.故选：A.【变式】．（2021·广东·广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A 项公益活动的有28人，参加B 项公益活动的有33人，且A ，B 两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A 项不参加B 项的有（）【例12】．（2021·全国高一单元测试）已知对于集合A 、B ，定义{|}A B x x A x B -=∈∉，且，()()A B A B B A ⊕=-⋃-.设集合{123456}M =，，，，，，集合{}45678910N =，，，，，，，则M N ⊕中元素个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】．D【解析】∵{123456}M =，，，，，，{}45678910N =，，，，，，，∴{}{|}123M N x x M x N -=∈∉=，且，，，{}{|}78910N M x x N x M -=∈∉=，且，，，，∴{}{}{}()()1237891012378910M N M N N M ⊕=-⋃-=⋃=，，，，，，，，，，，，其中有7个元素，故选D.（2021·湖北·葛洲坝中学高一期中）已知集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{},A B x x A x B -=∈∉，若集合11|,13A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，{}2|1,12B y y x x ==--≤≤，则B A -=（）A ．{}11x x -≤≤B ．{}11x x -≤<C ．{}01x x ≤≤D ．{}01x x ≤<【变式1】（2022·山西太原高三专题检测）设{}1,2,3,4,I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,3A B = ，则称(,)A B 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”的个数是（）A ．16B ．9C ．8D ．4【答案】B【解析】由题意，对子集A 分类讨论：当集合{}1,3A =，集合B 可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3}，共4中结果；当集合{}1,2,3A =，集合B 可以是{1,3,4},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,3,4A =，集合B 可以是{1,2,3},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,2,3,4A =，集合B 可以是{1,3}，共1种结果，根据计数原理，可得共有42219+++=种结果.故选：B.【变式2】．（2023·四川成都高三专题模拟）对于两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊙”如下，当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }中元素的个数是_____.【答案】13【解析】∵当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，∴集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，共13个元素，故答案为：13。

集合间的基本运算

集合间的基本运算一、知识概述1交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A, B的交集记作 A ' B （读作‘ A 交B'），即卩 A 1 B= {x|x 已A,且B} 2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A, B的并集.记作：A」B （读作’A并B'），即卩A」B ={x|x三A,或B}.3、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即…=1 ）,由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作。

貝, 即［/ ={小胡且入¥ 2}性质：％/）二月“J©乓0二用全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用S, U表示+4、运算性质：（1） I I 「I 'I ；（2）I — -「'；（3）I . ；（4）T __「T 1 -；（5）、二一匚 _「丄一「* 二：.（6）「厂_「；：「：冷」'J'：,二、例题讲解例1、设集合A={ —4, 2m- 1, m2} , B={9, m-5, 1 —m},又A B={9}，求实数m的值.解：I A B={9}，二2m—1=9或m2=9,解得m=5或m=3或m=—3.若m=5 贝U A={—4, 9, 25} , B={9, 0,—4}与A B={9}矛盾；若m=3则B中元素m—5=1—m=—2,与B中元素互异矛盾；若m=-3,则A={ —4,—7, 9} , B={9,—8, 4}满足 A B={9}.二m=- 3.例2、设A={x|x 2+ ax+ b=0}, B={x|x 2+ ex + 15=0},又A B={3, 5} , A A B={3}, 求实数a , b , e的值.解：v A A B={3}，二3 € B，二32+ 3e+ 15=0,••• e= —8,由方程x2—8x+ 15=0 解得x=3 或x=5.••• B={3 , 5}.由A二（A」B）={3 , 5}知,3€ A, A （否则5€ A A B,与A G B={3}矛盾)故必有A={3},.••方程x2+ ax+ b=0有两相同的根3.由韦达定理得3+ 3=—a, 3 3=b,即a=—6, b=9, c=—8.例3、已知A={x|x 3+ 3x2+ 2x >0} , B={x|x 2+ ax+ b< 0},且A G B={x|0 v x< 2}, A U B={ x | x > —2},求a、b 的值.解：A={x| —2v x v—1 或x>0},设B= [x i, X2]，由A G B= (0, 2]知X2= 2,且—1<xW 0,①由A U B= (—2 ,+x)知一2w X1w —1. ②由①②知X i =—1, X2 = 2,a=—( X1+ X2)=—1, b= X1X2= —2.例4、已知A={x|x 2—ax+ a2—19=0}, B={x|x 2—5x + 8=2}, C={x|x 2+ 2x —8=0}. 若E =A G B,且A G C=] , 求a 的值.解：—3)(x —2)=0}={3 , 2},•- B={x|(xC={x|(x + 4)(x —2)=0}={ —4 , 2},又••• E =AG B,又••• A G C==,•可知-4^A, 2^A, 3€ A.• •由9—3a+ a —19=0 ,解得a=5或a=—2.①当a=5 时，A={2, 3}，此时A H C={2} ，矛盾，二a^ 5;②当a=—2时，A={—5, 3}，此时A H C山，A H B={3}工它，符合条件.综上①②知a=—2.例5、已知全集U={不大于20的质数} ,M N是U的两个子集，且满足MA （•门）={3，5},（「r）H N={7，19},（」'）H（ •「）={2，17}，求M N.解：用图示法表示集合U, M N （如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内，由图可知：M={3, 5, 11, 13}, N={7, 11, 13, 19}.点评：本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素.特别提示：下列四个区域:对应的集合分别是:①一q : ::②一-r 二：③―_ 5 ■':④一I一、选择题1下列命题中，正确的是（）A. 若U=R 祐u,匸B. 若U为全集，①表示空集，则-①=①；C. 若A=｛1，①,｛2｝｝，则｛2｝二A;D. 若A=｛1，2，3｝，B=｛x|x 二A｝，则A€ B.3 IM= ｛工 |畝迄忑€ 血¥_｝= （x l 也｝『2、设数集 ' - …且MN都是集合｛x|0 < x< 1｝的子集，如果把b—a叫做集合｛x|a <x< b｝的“长度”，那么集合Mn N 的“长度”的最小值是（）1 2A. - B .」丄5C. 1- D .一3、设M N是两个非空集合，定义M与N的差集为M—N=｛x|x € M且x己N｝，则M—（M—N）等于（）A. N B . MA NC. MU N D . M 4、已知全集：=R，集合朴11"弔刀和严砂亠■“ L的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，贝U阴影部分所示的集合的元素共有（）B . 2个 D .无穷个1、 - ••匚 I -①=U, {2} € A, {2}单独看是一个集合，但它又是A 中的一个元素.3 £2、集合M 的“长度”为-，集合N 的“长度”为」，而集合—+ — — 1{x|0 <x < 1}的“长度”为1,故MAN 的“长度”最小值为4」3、M-N={x|x €“且x^N}是指图（1）中的阴影部分.同样M-（ M- N ）是指图（2）中的阴影部分.4、t 图形中的阴影部分表示的是集合 =；，由；解得集合‘"一—二一，而N 是正奇数的集合；-「，故选B.二、填空题 5、已知集合A={x|x 2— 3x + 2=0}，集合B={x|ax — 2=0}（其中a 为实数），且A U B=A 则集合 C={a|a 使得 A U B=A}= ______________ . 5、｛0, 1, 2｝解析：A=｛1, 2｝，由 A U B=A 得匪 A.••• 1€ A,即得 a=2;或 2€ A,即得 a=1 ;或 B=©，此时 a=0.••• C=｛0, 1, 2｝.A. 3个C. 1个⑴6、非空集合S^｛1 ,2,3,4,5｝，且若a€ S,则6-a€ S,这样的S共有________ 个.6、6解析：S=｛1, 5｝或｛2 , 4｝或⑶，或｛1 , 3, 5｝，或｛2 , 4 , 3｝，或｛1 , 5 , 2 , 4｝.三、解答题7、设集合卫=｛込加7-①，吕―^ —另1—^,9｝(1)若■■-丄)，求实数a的值.(2)若.''■,求实数a的值.7、解：(1)：9 三’1 '',二9 A.则a2=9或.解得a=±3或5.当时，'' ■' ■ ' - '-（舍）当a =—3时，卫={9,一兀一4},£=〔一出4,9〕(符合)当a = 5时，乂={25,9, —= {0,—4,9〕(符合).综上知一 ?或“一-.(2)由(1)知•，一二8已知全集U= R,叮•二•….丄v 0・，_ = “ V呗亠」或x >5 —「一：,，若- J，求实数⑴的取值范围8解：依题设可知全集】=三且打丨■■-0 =0月=缶1一2三工W5)，「月=仗冲+1=工w2喘_1}，由题设分类如下：①若'，贝U m^ 1>2mn 1= mV 2.②若加工0，则m^ i<2mn 1,且I®用一1« 5，解得2< 3.由①②可得：me 3.•••实数m的取值范围为{m|mc 3}.9、已知全集U={|a -1|，(a - 2)(a -1)，4，6}.(1)若-八「•求实数a的值;(2)若：4 '求实数a的值.9、解：(1)t L •厂一；' 且多U,•••|a - 1|=0,且(a - 2)(a - 1)=1 ,或|a -1|=1 ,且(a - 2)(a -1)=0 ;第一种情况显然不成立，在第二种情况中由|a -1|=1得a=0或a=2, --a=2.(2)依题意知|a - 1|=3 ,或(a - 2)(a - 1)=3,若|a -1|=3 ,则a=4, 或a=-2；若(a —2)(a —1)=3，贝U -经检验知a=4时，(4 —2)(4 —1)=6，与元素的互异性矛盾.二a=- 2或亠 .10、设集合A =｛：：广「二1｝, B 屮 | ...... - ,*｝，若A B=B求实数二的值.10、解：先化简集合A=J '.由A】B=B则F A,可知集合B可为二:，或为｛0｝，或｛- 4｝，或".(i) 若B』：，则贝:，解得立＜-：；(ii) 若- - B,代入得-- =0=应=1 或：'=一-,当丸=1时，B=A符合题意；当：』=-1时，B=｛0｝二A,也符合题意.（iii）若一4^B,代入得工上L = 口=7或“ =1,当：』=1时，已经讨论，符合题意；当屯=7时，B={- 12,—4}，不符合题意.综上可得，^ =1或立€-1.11、已知集合A={x|x —4m灶2计6=0}，B={x|x V 0}，若A A B M，求实数m的取值范围.= ^ | A = (-4jK)3-4(2^ 4-5)^ 0} = (/w | 或朋11、解：设全集 ' 」m皂U,< 珂4- x- = 4^ 鼻0,若方程X2—4mx+ 2m^ 6=0的两根x’，x?均非负，贝卩山忑八载以―D胆沖一••• {m|- }关于U的补集是{m|m<—1}，二实数m的取值范围是{m|m<—1}.1、（全国I，1）设集合A={4，5, 7,9}，B={3,4,乙8, 9}，全集U=A U B，则集合・⑺厂启）中的元素共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个答案：A解析：2、（福建，2）已知全集U=R,集合A={x|x2—2x>0}，则干」等于（）A. {x|0 < x< 2}B. {x|0<x<2}C. {x|x<0 或x>2} D . {x|x < 0 或x > 2}答案：A解析：■/ x2—2x>0，二x（x —2）>0，得x<0 或x>2,••• A={x|x<0 或x>2}，[ 4 ；. ■ i•.3、（山东，1）集合A={0 , 2, a}, B={1 , a2}.若A U B={0, 1, 2, 4, 16}，则a 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 4答案：D解析：T A U B={0, 1, 2, a, a2}，又A U B={0, 1, 2, 4, 16}, • {a , a2}={4 , 16} , • a=4 ,故选D.集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。

集合的基本运算总结

集合的基本运算总结集合是数学中一个非常重要的概念，它是由一些确定的元素所构成的整体。

在数学中，我们经常会进行各种集合的运算，以便更好地理解和研究数学问题。

本文将对集合的基本运算进行总结，包括并集、交集、差集和补集。

一、并集并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个集合。

表示为A∪B，其中A和B为集合。

并集的定义可以表示为：对于任意的元素x，如果x属于集合A或者x属于集合B，那么x属于集合A∪B。

例如，假设有集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}，则集合A∪B={1, 2, 3, 4}。

二、交集交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的新集合。

表示为A∩B，其中A和B为集合。

交集的定义可以表示为：对于任意的元素x，如果x既属于集合A又属于集合B，那么x属于集合A∩B。

例如，假设有集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}，则集合A∩B={2, 3}。

三、差集差集是指从一个集合中去除另一个集合中的所有元素后所得到的集合。

表示为A-B，其中A和B为集合。

差集的定义可以表示为：对于任意的元素x，如果x属于集合A且x不属于集合B，那么x属于集合A-B。

例如，假设有集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}，则集合A-B={1}。

四、补集补集是指在一个给定的全集中，与某个集合不相交的元素组成的新集合。

表示为A'，其中A为集合。

补集的定义可以表示为：对于任意的元素x，如果x属于全集且x不属于集合A，那么x属于补集A'。

需要注意的是，补集是相对于一个全集来定义的。

同一个集合可以在不同的全集下有不同的补集。

例如，假设全集为自然数集合N，集合A={1, 2, 3}，则补集A'=N-A={0, 4, 5, ...}。

在集合的运算中，我们可以利用Venn图进行直观的表示和分析。

Venn图是一种用圆形或椭圆形来表示集合及其运算关系的图形。

通过集合的基本运算，我们可以更好地理解和分析数学问题。

集合的基本运算(讲义)

集合的基本运算（讲义）➢知识点睛一、集合的基本运算、无序性．二、并集、交集向集合间基本关系的转化A∪B=B⇔A⊆B；A∩B=B⇔B⊆A．三、集合的运算律1.交换律A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A2.结合律A∪(B∪C)＝(A∪B)∪CA∩(B∩C)＝(A∩B)∩C3.分配律A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)4.德-摩根定律C U(A∪B)=_________________C U(A∩B)=_________________四、Venn图的应用1.抽象集合之间的基本关系和基本运算．2.集合交集、并集、补集的混合运算．➢精讲精练1.（1）已知集合M={x|-2<x≤5}，N={x|x<-5或x>5}，则M∪N=（）A．{x|x<-5或x>-2} B．{x|-5<x<5}C．{x|-2<x<5} D．{x|x<-3或x>5}（2）已知集合{|03}=-≤≤，M y yP x xZ≤，{|33}=∈<则P∩M=（）A．{1，2} B．{0，1，2}C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}（3）已知集合2==-==，，，，那A x y y xB x y y x{()|32}{()|}么集合A∩B=__________________．（4）若集合{|1}{|1}，，则====A x yB y yA∪B=___________，A∩B=___________.2.（1）若全集{|22}A x x=-≤≤的=-≤≤，则集合{|20}U x x补集C U A为_________．（2）已知全集{|15}A=，，，Z≤≤，{125}=∈-U x xN，则B∩(C U A)= ________．=∈-<<{|14}B x x3.设A={0，2，4，6}，C U A={-1，-3，1，3}，C U B={-1，0，2}，则集合B=_______________________．4.（1）设集合S={x|x>5或x<-1}，T={x|a<x<a+8}，若S∪T=R，则实数a的取值范围是__________________．（2）已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|x≥4或x≤1}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是__________________．（2）已知集合A={x|2≤x≤6}，B={x|2m≤x≤m+3}，若B∩A=B，则m的取值范围是__________________．（3）已知A={1，2，3}，B={x∈R|x2－ax＋1=0}，当A∩B=B时，则a的取值范围是_______________．≤C．{x|-2≤x≤2} D．{x|1<x≤2}D．(M∩P)∪(C U S)9.已知全集合S={ x∈N+ |-2<x<9}，M ={3，4，5}，P={1，3，6}，那么{2，7，8}是（）A．M∪P B．M∩PC．(C S M)∪(C S P) D．(C S M)∩(C S P)10. 设A ，B ，U 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆U ，则下列各式错误的是（）A ．(C U A )∪B =UB ．(C U A )∪(C U B )=UC ．A ∩(C U B )=∅D ．(C U A )∩(C U B )= C U B11. 设全集U =M ∪N ={1，2，3，4，5}，M ∩(C U N )={2，4}，则N =_________．12. 设全集U ={x |0<x <10，x ∈N +}，若A ∩B ={3}，(C U A )∩(C U B )={9}，A ∩(C U B )={1，5，7}，则集合A =___________，B =___________．【参考答案】➢ 知识点睛三、4．()()()()U U U U A B A B ，➢ 精讲精练1. （1）A ；（2）B ；（3）{(2，4)，(1，1)}；（4）{|0}x x ≥，{|1}x x ≥2. （1）{|02}x x ≤；（2）{0，3}3. {4，6，-3，1，3}4. （1）{|31}a a -<<-；（2）{|1}a a <5. （1）0或3；（2）{|1}m m ≥；（3）{|22}a a -<≤6. {2,8}7. D8. C9. D 10. B11. {1，3，5}12. {1，3，5，7}，{2，3，4，6，8}集合的基本运算（随堂测试）1. 已知集合{|20}P x x x =≥≤或，{|12}Q x x =<≤，则(C R P )∩Q =___________．2. 已知集合{}|21A x a x a =+≤≤，{}|23B x x =-≤≤，若A ∪B =B ，则实数a 的取值范围是_________________．3. 设全集U ={x |0<x <10，x ∈N }，A ⊆U ，B ⊆U ，若A ∩B ={2，3}，C U (A ∪B )={4，6，9}，(C U A )∩B ={1，8}，则集合A =________，B =__________．【参考答案】1. {|12}x x <<2. {|1}a a -≥3. {2，3，5，7}，{1，2，3，8}。

3.集合的基本运算

高考真题 1.（2010 江西理）若集合 A= x | x 1， x R ，
B= y | y x ， x R ，则 A B =（
2
）
A. C.
x | 1 x 1 x | 0 x 1
B.
x | x 0
2
D.
2.集合 P { x Z 0 x 3}, M { x Z x 9} ，则P I M = (A) {1,2} (C){x|0≤x<3} (B) {0,1,2} (D) {x|0≤x≤3}
练习： 1．设全集U＝{1,3,5,7,9}, A={1,|a-5|,9}, CUA={5,7},则a=______
2.已知 A { x | 7 x 2 x 0}, B { x | m 1 x 2 m 1},
若 A B A，求的取值范围。
练习3：如右图所示，I为全集，M、 P、S为I的子集。则阴影部分所表示的集合为（） A．(M∩P)∪S B．(M∩P)∩S C．(M∩P)∩(CI S) D．(M∩P)∪(CI S)
二、交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B. 符号语言：
图形语言：口答： 3、乐清中学开运动会，设 A={x|x是乐中高一年级参加百米赛跑的同学}, B={x|x是乐中高一年级参加跳高比赛的同学}, 求：A∩B。交集的性质：（1）（2）（3）(4)
• 关于补集的几点说明： 1）一个集合A的补集是相对于某一个全集而言的； 2）对于同一个集合A，如果考虑的全集不同，那么集合A的补集也会不同的； 3） CUφ=U； CUU=φ。
例题分析
例 1.设 U={x x是小于 9的正整数 },

集合的基本运算

对于给定的两个集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{5,8,12}， C＝{8}．
问题1：集合A、B与C中的元素之间有什么关系？
提示：C是由集合A和集合B的公共元素组成．问题2：集合C与集合A、B的关系各是什么？提示：C A，C B.
1．交集的定义
一般地，由既属于集合A又属于集合B 的所有元
a的不等式求解；(2)借助数轴，在数轴上画出集合A和集合A∩B就可以看出a的值．
[精解详析] (1)如图所示，有两类情况，一类是B≠∅，首先a >0. ①B在A的左边，②B在A的右边．
B的位置均使A∩B＝∅成立，即3a≤2或a≥4，
2 解得 a∈(0，3]∪[4，＋∞)；另一类是 B＝∅，即 a≤0 时，显然 A∩B＝∅成立． 2 综上所述，a 的取值范围是(－∞，3]∪[4，＋∞)；
解：(1)∵B＝{x|x≥2}， ∴A∩B＝{x|2≤x<3}． a (2)∵C＝{x|x>－2}， B∪C＝C⇔B⊆ C， ∴a>－4.
[例3]
已知集合A＝{x|2< x<4}，B＝{x|a< x<3a}．
(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围； (2)若A∩B＝{x|3< x<4}，求a的取值范围． [思路点拨] (1)就B＝∅和B≠∅分类讨论，列出关于
形结合的思想．
点击下列图片进入应用创新演练
A∪B＝B，则m的取值范围是________．解析：∵A∪B＝B，∴A⊆B，如图所示，
2m－1≤－3， ∴ 2m＋9≥5，
解得－2≤m≤－1.
答案：－2≤m≤－1
1．并集的性质 (1)①A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；②A＝A∪A，A＝A∪∅； ③A∪B＝B∪A. (2)若A⊆B，则A∪B＝B；反之若A∪B＝B，则A⊆B.由于A＝A∪∅，因此，A∪B＝B中的A可以为空集，这一点是

集合的基本运算(全集、补集)

重要性及应用领域
集合的基本运算是数学逻辑和集合论中的基础，对于理解更高级的数学概念和解决实际问题至关重要。
在计算机科学、统计学、概率论等领域中，全集和补集的概念被广泛应用，它们是理解和处理数据的基础。
02 全集的概念
定义
全集是指包含所有研究对象（元素）的集合，通常用大写字母U表示。
在数学中，全集被视为一个默认的参照框架，用于定义和比较其他集合。
在逻辑推理中，全集与补集的概念可以帮助我们更好地理解和分析命题的真假关系。
在计算机科学中，全集与补集的概念可以用于数据分析和处理，例如在数据库查询和数据挖掘中。
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通过全集和补集，可以研究集合的并、交、差等运算，以及集合的基数、
势等属性。
02
实数理论
在实数理论中，全集通常表示所有的实数，而补集则用于描述某个特定
子集以外的实数。例如，考虑全体实数集合，非正实数集合的补集就是
正实数集合。
03
拓扑学
在拓扑学中，全集通常表示某个拓扑空间中的所有点，而补集则用于描
述该空间中某个子集以外的点。通过研究全集和补集的性质，可以深入
查询、更新等操作。
06 总结
全集与补集的基本概念回顾
全集
一个集合中所有元素的集合，通常用大写字母U表示。
补集
一个集合中不属于某一子集的所有元素的集合，通常用大写字母A 和B表示。
对全集与补集的理解和掌握的重要性
理解全集与补集的概念是学习集合论的基础，有助于更好地理解集合之间的关系和性质。
补集运算的优先级
在进行集合运算时，应优先处理补集运算。
先求出各个集合的补集，再进行其他集合运算，如交集、并集等。

离散数学---集合的基本运算

E
A
B
广义的并集
集合的并(union)：集合A和B的并AB定义为：AB = {x | xA或者xB}，集合的并可推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的并定义为：
A1A2∪…An = {x | 存在某个i，使得xAi}
广义的交集
集合的交(intersection)：集合A和B的并AB定义为：AB = {x | xA而且xB}，集合的交也可推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的交定义为：
集合的化简
化简((ABC)(AB))-((A(B-C))A) 证明:原集合=(AB)-A(吸收律)
=(AB)A =(AA)(BA)(分配律)
=(BA) =BA
(互补律) (同一律)
集合包含的性质
• AE •如果ABC，则AC •ABAA∪B •AB A∪B=B AB=A ~B ~A
利用集合等式证明
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
(A-B)∩(A-C)＝A∩~B∩A∩~C =A∩~B∩~C =A∩~(B∪C) =A-(B∪C)
证明吸收律A（AB）=A
证明：A（AB） =（A）（AB） =A（B） =A =A
已知AB=AC,AB=AC,求证B=C
6、零一律 A∩=，A∪E=E
（A∩B）=A∪B
7、补余律 A∩A=，A∪A=E
10、双重否定律（A）=A
8、吸收律 A∪（A∩B）=A
注：A-B=A∩B
A∩（A∪B）=A
集合相等的证明的方法
一、利用集合的定义证明；二、利用集合等式证明；（常用）三、利用谓词公式证明；四、用集合成员表。（略）
即AB={xxA且x BxB且x A}

集合间的基本运算

集合间的基本运算一、知识概述1、交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x A，且x B｝．2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x A，或x B}．3、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即=．性质：.全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用S，U表示4、运算性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；．二、例题讲解例1、设集合A={－4，2m－1，m2}，B={9，m－5，1－m}，又A B={9}，求实数m的值．解：∵A B={9}，∴2m－1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=－3．若m=5，则A={－4，9，25}，B={9，0，－4}与A B={9}矛盾；若m=3，则B中元素m－5=1－m=－2，与B中元素互异矛盾；若m=－3，则A={－4，－7，9}，B={9，－8，4}满足A B={9}．∴m=－3．例2、设A={x|x2＋ax＋b=0}，B={x|x2＋cx＋15=0}，又A B={3，5}，A∩B={3}，求实数a，b，c的值．解：∵A∩B={3}，∴3∈B，∴32＋3c＋15=0，∴c=－8，由方程x2－8x＋15=0解得x=3或x=5．∴B={3，5}．由A（A B）={3，5}知，3∈A，5A（否则5∈A∩B，与A∩B={3}矛盾）.故必有A={3}，∴方程x2＋ax＋b=0有两相同的根3．由韦达定理得3＋3=－a，33=b，即a=－6，b=9，c=－8．例3、已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值．解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，且－1≤x1≤0，①由A∪B=（－2，＋∞）知－2≤x1≤－1. ②由①②知x1＝－1，x2＝2，∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2．例4、已知A={x|x2－ax＋a2－19=0}，B={x|x2－5x＋8=2}，C={x|x2＋2x－8=0}.若A∩B，且A∩C=，求a的值．解：∵B={x|(x－3)(x－2)=0}={3，2}，C={x|(x＋4)(x－2)=0}={－4，2}，又∵A∩B，∴A∩B≠．又∵A∩C=，∴可知－4A，2A，3∈A．∴由9－3a＋a2－19=0，解得a=5或a=－2．①当a=5时，A={2，3}，此时A∩C={2}≠，矛盾，∴a≠5；②当a=－2时，A={－5，3}，此时A∩C=，A∩B={3}≠，符合条件．综上①②知a=－2．例5、已知全集U={不大于20的质数}，M，N是U的两个子集，且满足M∩（）={3，5}，（）∩N={7，19}，（）∩（）={2，17}，求M、N．解：用图示法表示集合U，M，N（如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内，由图可知：M={3，5，11，13}，N={7，11，13，19}.点评：本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素．特别提示：下列四个区域：对应的集合分别是：①—；②—；③—；④—．一、选择题1、下列命题中，正确的是（）A．若U=R，A U，；B．若U为全集，Φ表示空集，则Φ=Φ；C．若A={1，Φ，{2}}，则{2}A；D．若A={1，2，3}，B={x|x A}，则A∈B．2、设数集且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N 的“长度”的最小值是（）A． B．C． D．3、设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M－N={x|x∈M且x N}，则M－（M－N）等于（）A．N B．M∩NC．M∪N D．M4、已知全集，集合M和的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A．3个 B．2个C．1个 D．无穷个1、Φ=U，{2}∈A，{2}单独看是一个集合，但它又是A中的一个元素．2、集合M的“长度”为，集合N的“长度”为，而集合{x|0≤x≤1}的“长度”为1，故M∩N的“长度”最小值为3、M－N={x|x∈M且x N}是指图（1）中的阴影部分．同样M－（M－N）是指图（2）中的阴影部分．4、∵图形中的阴影部分表示的是集合，由解得集合，而N是正奇数的集合，∴，故选B．二、填空题5、已知集合A={x|x2－3x＋2=0}，集合B={x|ax－2=0}（其中a为实数），且A ∪B=A，则集合C={a|a使得A∪B=A}=_____________．5、{0，1，2}解析：A={1，2}，由A∪B=A，得B A．∵1∈A，即得a=2；或2∈A，即得a=1；或B=Φ，此时a=0.∴C={0，1，2}．6、非空集合S{1，2，3，4，5}，且若a∈S，则6－a∈S，这样的S共有___________个．6、6解析：S={1，5}或{2，4}或{3}，或{1，3，5}，或{2，4，3}，或{1，5，2，4}．三、解答题7、设集合.（1）若，求实数a的值．（2）若，求实数a的值．7、解：（1）∵9，∴9 A.则a2=9或.解得a=±3或5.当时，（舍）；当时，（符合）；当时，（符合）.综上知或.（2）由（1）知.8、已知全集U＝R，＜0，＜或x＞，若，求实数的取值范围8、解：依题设可知全集且≥0≤≤5，≤≤，由题设可知.分类如下：①若，则m＋1＞2m－1m＜2.②若，则m＋1≤2m－1，且，解得2≤m≤3.由①②可得：m≤3.∴实数m的取值范围为{m|m≤3}.9、已知全集U={|a－1|，(a－2)(a－1)，4，6}．（1）若求实数a的值；（2）若求实数a的值．9、解：（1）∵且B U，∴|a－1|=0，且(a－2)(a－1)=1，或|a－1|=1，且(a－2)(a－1)=0；第一种情况显然不成立，在第二种情况中由|a－1|=1得a=0或a=2，∴a=2.（2）依题意知|a－1|=3，或(a－2)(a－1)=3，若|a－1|=3，则a=4，或a=－2；若(a－2)(a－1)=3，则经检验知a=4时，(4－2)(4－1)=6，与元素的互异性矛盾．∴a=－2或．10、设集合A ={|}，B ={|，}，若A B=B，求实数的值．10、解：先化简集合A=. 由A B=B，则B A，可知集合B可为，或为{0}，或{－4}，或．(i)若B=，则，解得＜；(ii)若B，代入得=0=1或=，当=1时，B=A，符合题意；当=时，B={0}A，也符合题意．(iii)若－4B，代入得=7或=1，当=1时，已经讨论，符合题意；当=7时，B={－12，－4}，不符合题意．综上可得，=1或≤．11、已知集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0}，B={x|x＜0}，若A∩B≠，求实数m 的取值范围．11、解：设全集．若方程x2－4mx＋2m＋6=0的两根x1，x2均非负，则解得．∵{m|}关于U的补集是{m|m≤－1}，∴实数m的取值范围是{m|m≤－1}．1、（全国I，1）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个答案：A解析：2、（福建，2）已知全集U=R，集合A={x|x2－2x>0}，则等于（）A．{x|0≤x≤2} B．{x|0<x<2}C．{x|x<0或x>2} D．{x|x≤0或x≥2}答案：A解析：∵x2－2x>0，∴x(x－2)>0，得x<0或x>2，∴A={x|x<0或x>2}，.3、（山东，1）集合A={0，2，a}，B={1，a2}．若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．4答案：D解析：∵A∪B={0，1，2，a，a2}，又A∪B={0，1，2，4，16}，∴{a，a2}={4，16}，∴a=4，故选D．集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。

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