高中数学必修一和三角函数
人教A版高中数学必修一课件 《三角函数的图象与性质》三角函数(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)
三角函数奇偶性的判断 【例 2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin－12x＋π2； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝1＋s1i＋n xs－in cxos2x.
16
[思路点拨]
17
[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cos12x，
A．－12
B.12
C．－
3 2
D.
3 2
24
[思路点拨] (1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函 数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f53π；再依据f(x)是偶函数和x∈0，π2，f(x) ＝sin x求值．
25
(1)D (2)D [(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝ sinπ2＋2x＝cos 2x是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x是奇函数，根据公 式得其最小正周期T＝π.
32
[提示] (1)×.因为对任意 x，sin23π＋x与 sin x 并不一定相等． (2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数 f(x)＝5 是周期函数， 就不存在最小正周期． (3)×.函数 y＝ sin x的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于 原点对称，故非奇非偶． [答案] (1)× (2)× (3)×
23
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是
() A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin 2x|
C．y＝sinπ2＋2x
D．y＝cos32π－2x
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正
周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sin x，则f53π等于( )
人教A版高中数学必修一课件 《三角恒等变换》三角函数PPT(第5课时简单的三角恒等变换)
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简 ↓
统一化成f（x）＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式 ↓
利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k 的形式，研究其性质
1．已知函数 f(x)＝cos2x－1π2＋sin2x＋1π2－1，则 f(x)(
)
A．是奇函数
＝79×－13－－4
9
2×2
3
2＝13.
本部分内容讲解结束
α ＝cos
α.
(变条件)若本例中式子变为
（1＋sin θ＋cos θ）sin
θ2－cos
θ
2
2＋2cos θ
(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？
2sin 解：原式＝
θ 2cos
θ2＋2cos2
θ
2
sin
θ2－cos
θ 2
4cos2
θ 2
cos ＝
θ2sin2
θ2－cos2
θ 2
θ
cos
2
2sin2
α 2
α
2sin
2
αα
2 ＝－
2sin 2cos
sin
α
2
2.
因为 0＜α＜π，
所以 0＜α2＜π2.所以 sin α2＞0.
所以原式＝－2 2cos α2.
与三角函数性质有关的问题
已知函数 f(x)＝cos(π＋x)cos 32π－x－ 3cos2x＋ 23. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值；
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
最新人教版高中数学必修第一册第5章三角函数5.2.1 三角函数的概念
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°
= ×
+× =
+=
+
.
(2)原式=sin - + +cos +
=sin +cos
·tan 0= .
·tan(4π+0)
提示:与点P的纵坐标和横坐标的符号有关.
？
(2)如何判断正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限
的符号?
提示:由三角函数的定义,可知sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0).
当α为第一象限角时,y>0,x>0,故sin α>0,cos α>0,tan α>0;同理
可得当α在其他象限时三角函数值的符号,如图所示.
？
5.2.1
三角函数的概念
？
课标定位
素养阐释
1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)
的定义.
2.掌握三角函数在各象限的符号.
3.掌握诱导公式一,并会应用.
4.体会数学抽象的过程,提高逻辑推理和直观想
象素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
？
自主预习·新知导学
所以sin θ<0,cos θ<0.所以sin θcos θ>0.
？
反思感悟
判断三角函数值正负的两个步骤
高一数学必修一知识点总结归纳
高一数学必修一知识点总结归纳1500字高一数学必修一知识点总结归纳高一数学必修一是数学学科的重要基础，它为高中数学的学习打下了基础。
必修一主要包含函数、直线与圆、三角函数等内容。
以下是高一数学必修一的知识点总结归纳。
一、函数与方程1. 函数的概念与性质：定义域、值域、图像、奇偶性、周期性等。
2. 函数的运算：加、减、乘、除运算、复合运算等。
3. 函数的图像与性质：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等。
4. 方程与不等式：代数方程、代数不等式、方程的解、一元二次不等式等。
5. 几何应用：线性规划、最值问题等。
二、直线与圆1. 直线方程：斜率截距式、点斜式、两点式、一般式等。
2. 圆的方程：标准式、一般式、切线方程等。
3. 直线与圆的关系：相交、相切、相离等。
4. 几何应用：解析几何的基本定理和方法。
三、三角函数1. 三角函数的定义与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
2. 角度制与弧度制：角度的换算、弧度的定义和换算等。
3. 三角函数的图像与性质：周期、奇偶性、单调性等。
4. 三角函数的运算：和差化积、积差化和、倍角公式等。
5. 三角函数的应用：三角恒等式、解三角方程等。
四、数列与级数1. 数列的概念与性质：通项公式、前n项和等。
2. 等差数列与等比数列：公差、公比、求和等。
3. 级数的定义与性质：等比级数、调和级数等。
4. 几何应用：数列与等差数列的应用等。
五、概率与统计1. 概率的基本概念：随机事件、样本空间、概率等。
2. 事件的运算与概率计算：事件间的关系、事件的计算等。
3. 事件的统计和分析：频率、期望、方差等。
4. 统计图表的使用与分析：频数表、频率分布图、直方图等。
总结：高一数学必修一内容较为基础，但仍有一定难度。
学生需要掌握函数与方程的基本概念与性质，能够解决直线与圆的基本问题，熟悉三角函数的定义与性质，掌握数列与级数的运算规律，以及理解概率与统计的基本概念与方法。
高中数学必修一课件：三角函数的概念
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
高一年级数学必修一5.4.1三角函数的图象与性质
1
-4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
x
练习回顾
x
0
2
3
2
sinx
试着画一画
y
y=sinx的简图
O
x
2
练习回顾
x
-
2
0
2
cosx
试着画一画
y
y=cosx的简图
O
x
例题巩固
例 1：画出下列函数的简图：
（1） y 1 sin x ， x [0, 2]；
（2） y cos x ， x [0, 2]．
3
2
( 2 ,1)
( 2 ,0)
( ,0)
3
( 2,-1)
,-1)
(0,0)
(
( 2 ,0)
(
,0)
(
,-1)
( 2 ,1)
(0,0)
22
五点法——
正弦函数的性质
观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：
y
1
-4
-3
-2
-
o
2
-1
(1) 定义域 xR
(2) 值域
[ －1, 1 ]
山东滨州康养职业中等专业学校
高中部
王金成
学习
目标
1
借助单位圆理解并掌握用“五点法”画正弦
函数、余弦函数的图象。
2
理解正弦、余弦函数图象的简单应用．
3
掌握正弦、余弦函数图象的区别与联系并
准确把握其性质
复习引入
问题1：三角函数是我们学习的一类新的基本初
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
高中数学必修第一册三角函数正弦、余弦函数的图象知识点+例题+习题+解析
正弦函数、余弦函数的图象知识点正弦函数、余弦函数的图象五点法五点法思考为什么把正弦、余弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？答案由诱导公式一知sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z可得．【基础演练】【基础演练】1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是()解析y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.2．用“五点法”画函数y＝1＋12sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是() A．0，π4，π2，3π4，π B．0，π2，π，3π2，2πC．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π3，π2，2π3解析 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.3．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合 B ．形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D ．形状不同，位置不同答案 B解析 根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同． 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．当sin x ＝－32时，x ＝4π3或x ＝5π3， 可知不等式sin x <－32在[0,2π]上的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3.故选C. 5．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4.【典型例题】考点一：正弦函数、余弦函数图象的初步认识 例1 (1)下列叙述正确的个数为( )①y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； ②y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称；③正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．答案 D(2)函数y ＝sin |x |的图象是( )答案 B解析 y ＝sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，结合选项可知选B.反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是( ) A ．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B ．都是对称图形 C ．都与x 轴有无数个交点D ．y ＝sin(－x )的图象与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称 答案 A解析 由正弦、余弦函数图象知，B ，C ，D 正确．考点二：用“五点法”作三角函数的图象 例2 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝－2cos x ＋3，x ∈[0,2π]． 解 (1)列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．(2)列表：描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]的图象．反思感悟作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练2利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图．解列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．考点三：正弦函数、余弦函数图象的应用 例3 不等式2sin x －1≥0，x ∈[0,2π]解集为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6答案 D解析 因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.在同一直角坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象．由函数的图象知，sin π6＝sin 5π6＝12.所以根据图象可知，sin x ≥12的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 延伸探究1．在本例中把“x ∈[0,2π]”改为“x ∈R ”，求不等式2sin x －1≥0的解集． 解 在x ∈[0,2π]上的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.所以x ∈R 时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z . 2．试求关于x 的不等式12<sin x ≤32.解 作出正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，作出直线y ＝12和y ＝32，如图所示．由图可知，在[0,2π]上当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z . 反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x >a (cos x >a )的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象． (2)确定在[0,2π]上sin x ＝a (cos x ＝a )的x 值． (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集． (4)根据公式一写出定义域内的解集．跟踪训练3 求函数y ＝1－2cos x 的定义域． 解 依题意有1－2cos x ≥0，即cos x ≤12.作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z .根据函数图象求范围典例 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________． 答案 (1,3)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.图象如图所示．结合图象可知1<k <3.[素养提升] 关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决，体现了直观想象的核心素养．1．(多选)用五点法画y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，32 B.⎝⎛⎭⎫π2，3 C ．(π，0) D ．(2π，3) 答案 AD解析 五个关键点的横坐标依次是0，π2，π，3π2，2π.代入计算得B ，C 是关键点．2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位长度，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位长度，得g (x )的图象答案 D解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到g (x )的图象．3．在[0,2π]上，函数y ＝2sin x －2的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤3π4，π解析 依题意得2sin x －2≥0，即sin x ≥22.作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象及直线y ＝22，如图所示．由图象可知，满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选B. 4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝12交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝12有2个交点．5．函数f (x )＝sin x －1，x ∈[0,2π]的零点为________． 答案 π2解析 令f (x )＝0，∴sin x ＝1，∴又x ∈[0,2π]，∴x ＝π2.6．已知函数f (x )＝2cos x ＋1，若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π2，m ，则m ＝________；若f (x )<0，则x 的取值集合为________．答案 1 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z 解析 当x ＝π2时，f (x )＝2cos π2＋1＝1，∴m ＝1.f (x )<0，即cos x <－12，作出y ＝cos x 在x ∈[0,2π]上的图象，如图所示．由图知x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 7．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0，2π]． 解 函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.8．(多选)函数y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]与y ＝a 有一个交点，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 答案 BD解析 画出y ＝sin x －1的图象．如图．依题意a ＝0或a ＝－2.9．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 由题意得y ＝⎩⎨⎧2cos x ，0≤x ≤π2或3π2≤x ≤2π，0，π2<x <3π2.10．函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5 解析 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示．结合图象可得x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5.11．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________． 答案 4π解析 如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.12．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根，求a 的取值范围． 解 在同一直角坐标系中作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象，y ＝1－a2的图象，由图象可知，当32≤1－a2<1，即当－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根．。
高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)
(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。
（工 W R ）7Tcos 卯=。
=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。
5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。
最新人教A版高中数学必修一第五章三角函数第4节三角函数的图象与性质第3课正切函数的性质与图象
5．4.3 正切函数的性质与图象教材要点要点 函数y ＝tan x 的图象和性质 y ＝tan x______________ 如何作正切函数的图象(1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线”法“三点”是指⎝⎛⎭⎫－π4，－1 ，(0，0)，⎝⎛⎭⎫π4，1 ；“两线\”是指x ＝－π2 和x ＝π2 .在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2 上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( )(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.( )(4)函数y ＝tan x 为奇函数，故对任意x ∈R 都有tan (－x )＝－tan x ．( )2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 的定义域是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z 3．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ，则函数f (x )的最小正周期为( ) A ．π4 B ．π2C ．πD ．2π4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)正切函数的定义域、周期性、奇偶性例1 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3 的最小正周期为( ) A ．π4 B ．π2C ．πD ．2π(2)函数f (x )＝x ·tan x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数(3)函数y ＝tan x －1tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 的定义域为________________．方法归纳(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2 ＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用正切函数的图象求解．(2)一般地，函数y ＝A tan (ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常利用此公式来求与正切函数有关的周期．(3)函数y ＝tan x 是奇函数，其图象关于原点对称．若函数y ＝tan (ωx ＋φ)是奇函数，则φ＝k π2(k ∈Z ).跟踪训练1 (1)函数y ＝1tan x 的定义域为( )A ．{x |x ≠0}B ．{x |x ≠k π，k ∈Z }C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z (2)(多选)关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3 上单调递减 C ．⎝⎛⎭⎫π6，0 为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π2题型2 正切函数的单调性及应用 【角度1】 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4 的单调区间．方法归纳求函数y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换\”的思想，令k π－π2 ＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan (ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan (－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换\”的思想，求得x 的范围即可．【角度2】 比较大小例3 比较tan 1.5，tan 2.5，tan 3.5的大小．方法归纳运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．跟踪训练2 (1)已知a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c(2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4 的单调增区间为________．正切函数图象与性质的综合应用例4 已知函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 . (1)求f (x )的最小正周期、定义域； (2)若f (x )≥2，求x 的取值范围．方法归纳解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0 (k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．跟踪训练3 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 .(1)求函数f (x )的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3 的解集．易错辨析 不能正确掌握正切函数的对称中心致误例5 函数y ＝tan (2x ＋θ)＋n 的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π6，－1 ，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，则点(θ，n )对应的坐标为________.解析：因为y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0 ，k ∈Z ，所以由y ＝tan (2x ＋θ)＋n 的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π6，－1 可知，n ＝－1，2×π6 ＋θ＝k π2，k ∈Z . 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，所以θ＝π6 . 答案：⎝⎛⎭⎫π6，－1 易错警示课堂十分钟1．函数y ＝tan 35x 是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为5π3 的奇函数C ．周期为5π3的偶函数 D ．周期为π的奇函数2．函数y ＝tan (x ＋π5 )的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z ) B ．⎝⎛⎭⎫－7π10＋k π，3π10＋k π (k ∈Z ) C ．⎝⎛⎭⎫－3π10＋k π，7π10＋k π (k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎫－π5＋k π，π5＋k π (k ∈Z ) 3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋6x 的定义域为________． 4．设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 3－π3 .(1)求函数f (x )的最小正周期、对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．5．4.3 正切函数的性质与图象新知初探·课前预习要点⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z R π 奇函数 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )[基础自测]1．(1)× (2)× (3)× (4)×2．答案：D 3．答案：B4．答案：＜题型探究·课堂解透例1 解析：(1)由T ＝π|ω| ，得T ＝π12 ＝2π.故选D.(2)因为函数f (x )＝x ·tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，且f (－x )＝(－x )·tan (－x )＝(－x )·(－tan x )＝x ·tan x ＝f (x )，所以函数f (x )＝x ·tan x 是偶函数．故选B.(3)由题意知⎩⎨⎧tan x －1≥0，tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≠0，x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧π4＋k π≤x ＜π2＋k π（k ∈Z ），x ≠－π6＋k π（k ∈Z ），x ≠π3＋k π（k ∈Z ）.所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π4＋k π，π3＋k π ∪⎝⎛⎭⎫π3＋k π，π2＋k π (k ∈Z ) 答案：(1)D (2)B(3)⎣⎡⎭⎫π4＋k π，π3＋k π ∪⎝⎛⎭⎫π3＋k π，π2＋k π (k ∈Z )跟踪训练1 解析：(1)函数y ＝1tan x有意义时，需使⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .故选D.(2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3 是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝⎛⎭⎫0，π3 上单调递增，B 错误；因为当x ＝π6 时，tan ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3 ＝0，所以⎝⎛⎭⎫π6，0 为其图象的一个对称中心，C 正确；最小正周期为π2，D 正确．答案：(1)D (2)CD例2 解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4 . 由－π2 ＋k π<3x －π4 <π2 ＋k π(k ∈Z )，得－π12 ＋k π3 <x <π4 ＋k π3 (k ∈Z ).所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π3，π4＋k π3 (k ∈Z ). 例3 解析：tan 2.5＝tan (2.5－π)，tan 3.5＝tan (3.5－π)，又－π2 <2.5－π<3.5－π<1.5<π2 ，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2 上是增函数．故tan (2.5－π)<tan (3.5－π)<tan 1.5，即tan 2.5<tan 3.5<tan 1.5.跟踪训练2 解析：(1)a ＝tan 1>0，b ＝tan 2＝－tan (π－2)<0，c ＝tan 3＝－tan (π－3)<0，∵π2>π－2>π－3>0，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2 上单调递增，∴tan (π－2)>tan (π－3)>0，∴－tan (π－2)<－tan (π－3)<0，故a >0>c >b .故选C.(2)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4 ，由k π－π2 <12 x －π4 <k π＋π2 ，k ∈Z ，得2k π－π2 <x <2k π＋3π2 ，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4 的递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2 ，k ∈Z . 答案：(1)C (2)⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2 ，k ∈Z 例4 解析：(1)对于函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 ，它的最小正周期为π12 ＝2π，由x 2 －π3≠k π＋π2 ，求得x ≠2k π＋5π3 ，故它的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . (2)f (x )≥2，即tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 ≥1，故π4 ＋k π≤x 2 －π3 <k π＋π2 ，解得2k π＋7π6 ≤x <2k π＋5π3 ，故x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫2k π＋7π6，2k π＋5π3 ，k ∈Z . 跟踪训练3 解析：(1)由x 2 －π3 ≠π2 ＋k π(k ∈Z ).得x ≠5π3 ＋2k π(k ∈Z ).所以f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .因为ω＝12 ，所以最小正周期T ＝πω ＝π12 ＝2π.由－π2 ＋k π<x 2 －π3 <π2 ＋k π(k ∈Z )，得－π3 ＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z ).所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π (k ∈Z ). 由x 2 －π3 ＝k π2 (k ∈Z )，得x ＝k π＋23 π(k ∈Z )，故函数f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0 ，k ∈Z .(2)由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 ≤3 ，得－π4 ＋k π≤x 2 －π3 ≤π3 ＋k π(k ∈Z )，解得π6 ＋2k π≤x ≤4π3 ＋2k π(k ∈Z ).所以不等式－1≤f (x )≤3 的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z . [课堂十分钟]1．答案：B2．答案：B3．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π6＋π24，k ∈Z 4．解析：(1)f ()x ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 3－π3 ，T ＝π13 ＝3π， 令x 3 －π3 ＝k π2 ，k ∈Z ，解得x ＝π＋32 k π，k ∈Z ， 故对称中心为⎝⎛⎭⎫π＋32k π，0 ()k ∈Z . (2)令x 3 －π3 ＝0，解得x ＝π，令x 3 －π3 ＝π4 ，解得x ＝7π4 ， 令x 3 －π3 ＝－π4 ，解得x ＝π4 ， 令x 3 －π3 ＝π2 ，解得x ＝5π2 ， 令x 3 －π3 ＝－π2 ，解得x ＝－π2， 所以函数f ()x ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 3－π3 的图象与x 轴的一个交点坐标为()π，0 ，图象上的点有⎝⎛⎭⎫7π4，1 、⎝⎛⎭⎫π4，－1 两点， 在这个⎝⎛⎭⎫－π2，5π2 周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为x ＝－π2 和x ＝5π2 ， 从而得到函数f ()x 在一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，5π2 内的简图(如图).。
高中数学必修一第五章知识点
高中数学必修一第五章知识点
摘要：
一、三角函数的定义和分类
二、三角函数的性质
三、三角函数的公式
四、三角函数的应用
正文：
高中数学必修一第五章知识点主要涉及三角函数的定义、性质、公式及应用。
一、三角函数的定义和分类
三角函数是指以角度为自变量，以正弦、余弦、正切等为函数值的函数。
在平面直角坐标系中，对于任意角θ，都可以定义一个正弦函数sinθ、一个余弦函数cosθ和一个正切函数tanθ。
根据角度的不同，三角函数可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数等。
二、三角函数的性质
三角函数具有一些重要的性质，如周期性、奇偶性、单调性等。
正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π。
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正切函数是奇函数。
此外，三角函数在不同区间上的单调性也有所不同。
三、三角函数的公式
三角函数之间存在着一些重要的关系式，如三角函数的和差公式、倍角公
式、半角公式等。
这些公式可以帮助我们快速计算三角函数的值，是三角函数计算中的重要工具。
四、三角函数的应用
三角函数在物理学、工程学、数学等领域中都有着广泛的应用。
在物理学中，三角函数可以用来描述周期性现象；在工程学中，三角函数可以用来设计电路、控制系统等；在数学中，三角函数可以用来解方程、求极限等。
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件1：5.2.1 三角函数的概念(一)
答案
(1)34或－34
(2) －1123
5 13
－152
[方法总结] 求任意角的三角函数值的两种方法 方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点 P 的坐标，然后利用定义得出 该角的正弦、余弦、正切值． 方法二：第一步，取点：在角 α 的终边上任取一点 P(x，y)，(点 P 与原点不重合)； 第二步，计算 r：r＝|OP|＝ x2＋y2； 第三步，求值：由 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝xy(x≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．
第五章 三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念(一)
课程标准
核心素养
通过对三角函数概念的学
借助单位圆理解三角函数(正 习，提升“直观想象”、
弦、余弦、正切)的定义.
“逻辑推理”、“数学运
算”的核心素养.
Байду номын сангаас目索引
课前自主预习 课堂互动探究 随堂本课小结
课前自主预习
知识点 三角函数的定义
3 3
课堂互动探究
探究一 已知角的终边上一点求三角函数值
例 1 (1)在平面直角坐标系中，角 α 的终边与单位圆交于点 A，点 A 的纵坐标为35，则 tan α＝________. (2)若角 α 的终边经过点 P(5，－12)，则 sin α＝________，cos α＝ ________，tan α＝________.
[跟踪训练 1] 如果 α 的终边过点 P(2sin 30°，－2cos 30°)，那么
sin α 的值等于( )
A．12
B．－12
C．－
3 2
D．－
3 3
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第五章三角函数章末复习课
(2)由题意知，cos α＝xr≤0，sin α＝yr>0， 即x≤0，y>0， 所以3mm＋－29>≤0，0， 所以－2<m≤3，即实数m的取值范围为(－2，3].
【训练 1】 已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝－45，则 m
的值为( )
A.－12
B.12
(3)正切曲线：
6.三角函数的性质(表中k∈Z)
y＝sin x
定义域
R
y＝cos x R
y＝tan x {x|x∈R，且 x≠π2＋kπ}
增区间：[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]， 单调性
减区间：[π2＋2kπ，32π＋2kπ]
增减区区间间：：[[2－kππ，＋π2＋kπ，2kπ2]kπ]，增区间：(－π2＋kπ，π2＋kπ)
章末复习课
[网络构建]
[核心归纳] 1.任意角与弧度制 (1)与角 α 终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. (2)角度与弧度的互化：1°＝1π80 rad，1 rad＝(1π80)°. (3)弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.
2.任意角的三角函数 设任意角 α 的终边上任意一点 P(x，y)，r＝ x2＋y2，则 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).
C.－
3 2
D.
3 2
解析 由题意知 P(－8m，－3)且 cos α＝－45，∴r＝ 64m2＋9，∴cos α＝
6－4m82m＋9＝－45，且 m>0，∴m2＝14，∴m＝12.故选 B.
答案 B
要点二 同角三角函数基本关系式的应用 同角三角函数基本关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现 α 的正弦、余弦的转化，利用csoins αα＝tan α 可 以实现角 α 弦切互化. (2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－ sin2α，(sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α. (3)sin α，cos α 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次 式或含有 sin2α，cos2α 及 sin αcos α 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”， 利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.
2024-2025学年高一数学必修第一册(湘教版)配套课件第5章-5.2.1任意角三角函数的定义
以上三种函数都称为α的三角函数
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教材引入&任意角的三角函数定义
【总结】三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以
角
单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
（1）正弦函数：
（2）余弦函数：
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6.设0<α< 2 ，证明：sin α<α<tan α.
证明 如图所示，角α的终边交单位圆于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，过x轴的正半轴与单位圆的交点A作单
位圆的切线AT，交角α的终边于 点T，连接AP，
则有MP＝sin α，AT＝tan α，且S△OAP<S扇形OAP<S△OAT .
值 ， ， 与α的终边上的点P的位置无关.我们规定：
（1）比值叫作α的正弦（sine），记作sin α，即sin α＝ ；
（2）比值叫作α的余弦（cosine），记作cos α，即cos α＝ ；
（3）比值（x≠0）叫作α的正切（tangent），记作tan α，即tan α＝ .
Θ为第三象限角.
再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0， cosθ＞0，
所以必要性成立，即充要性成立.
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即时巩固
【1】求证：角θ为第三象限角的充要条件为
【证明】首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.
因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和
人教版高中数学必修1《同角三角函数的基本关系》PPT课件
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形
请问 sin tan 与sin tan cos cos
这两个式子等价吗？
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形
（2） sin tan; cos sin tan cos.
学以致用
例2
已知
sin
3 5
,
为第三象限角，求cos ，tan 的值.
问题3： （2）可以利用公式一，把这些终边相同角 的三角函数值转化为同一个角的三角函数值， 这时就可以将这个问题进一步转化为“研究 同一个角的三个三角函数值之间的关系” ．
sin
探究二：同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题4：给一个角 ，在单位圆中你能找到与点P坐标 对应的线段吗？从而建立 sin与 cos关系吗？
探究二：同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题4：给一个角 ，在单位圆中你能找到与点P坐标 对应的线段吗？从而建立 sin与 cos关系吗？
探究二：同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题4：给一个角 ，在单位圆中你能找到与点P坐标 对应的线段吗？从而建立 sin与 cos关系吗？
探究二：同一个角的不同三角函数值之间的关系
2
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解 （1）只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式都成立，
（1） sin2 cos2 1．
（2） sin tan , π +kπ k Z.
cos
2
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解 （2）关系式中的角要相同，与角的形式无关.
sin2 15 cos2 15 1；
sin 2 tan 2； cos 2
高中数学必修一知识点总结
高中数学必修一知识点总结高中数学必修一是初中数学的进一步深入和拓展，主要涉及的内容包括函数、立体几何、三角函数、向量等。
每一项知识点都需要学生们认真学习，掌握基本的知识和技能。
下面将对高中数学必修一的知识点进行总结，以供同学们参考。
一、函数函数是高中数学必修一中最核心的概念之一，它是数学中最重要的工具之一。
函数是一种映射关系，通俗地讲，就是将输入的自变量x通过某种规则映射到目标变量y上。
在学习函数的过程中，我们需要了解函数的概念、函数的图像、函数的性质等。
二、立体几何立体几何是高中数学必修一中相对较复杂的部分，它涉及到空间中的物体、点、线、面等概念。
在学习立体几何的时候，我们需要了解到体积、表面积、正交、相似等概念。
同时还需要掌握立体几何中的一些基本公式，如立方体、圆柱、圆锥、球等的体积、表面积公式。
三、三角函数三角函数是高中数学必修一中比较重要的知识点之一，它主要涉及到正弦、余弦、正切、余切等概念。
在学习三角函数的时候，我们需要了解三角函数基本概念，如正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等，以及它们之间的相互关系。
四、向量向量是高中数学必修一中比较抽象的概念之一，它是一种有大小和方向的几何对象，可以用来描述物体在空间中的方向或运动。
在学习向量的时候，我们需要了解向量的基本概念、向量的加法和减法、向量在空间中的投影等知识。
以上几个知识点是高中数学必修一中较为重点的部分，每个知识点都需要学生们通过多次练习巩固和掌握，才能真正掌握。
在学习数学的过程中，我们还需要多思考、多做题，通过不同的方法掌握数学，提高数学解题的能力。
同时，学习数学需要培养耐心和毅力，不要轻易放弃，坚持下去一定会有所收获。
人教A版高中数学必修一课件《三角函数的图象与性质》三角函数(第一课时正弦函数、余弦函数的图象)
观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x≤π3或23π≤x＜56π时，不等式12＜sin
x≤ 23成立，
所以12＜sin x≤ 23的解集为
xπ6＋2kπ＜x≤π3＋2kπ
或
23π＋2kπ≤x＜56π＋2kπ，k∈Z
.
34
1．用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法 (1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象． (2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值． (3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集． 2．利用三角函数线解sin x＞a(或cos x＞a)的方法 (1)找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在的位置． (2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
6
思考：y＝cos x(x∈R)的图象可由 y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原 因是什么？
提示：因为 cos x＝sinx＋π2，所以 y＝sin x(x∈R)的图象向左平移π2个 单位可得 y＝cos x(x∈R)的图象．
7
A [五个关键点的横坐标依次
1．用五点法画 y＝3sin x， x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是
[0,2π]上简图的步骤
(1)列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x (或cos x)
0(或1)
－1 1(或0) 0(或－1)
(或0)
0(或1)
b
A＋b
b
－A＋b
b
y
(或A＋b) (或b) (或－A＋b) (或b) (或A＋b)
23
(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，π2，y2，(π， y3)，32π，y4，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算 得到的．
全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)
全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，tanx 等于（ ） A ．1B ．−1C ．√32D ．−√32答案：A分析：由正弦函数的性质，先求出当y 取得最小值时x 的取值，从而求出tanx . 函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，有x +π4=2kπ+3π2，故x =2kπ+5π4，k ∈Z ．∴tanx =tan (2kπ+5π4)=tan (π4)=1，k ∈Z ． 故选：A ．2、中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇而的面积为（ ）A ．704cm 2B ．352cm 2C ．1408cm 2D ．320cm 2 答案：A解析：设∠AOB =θ，OA =OB =r ，由题意可得：{24=rθ64=(r +16)θ ，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解．如图，设∠AOB =θ，OA =OB =r ， 由弧长公式可得：{24=rθ64=(r +16)θ ， 解得：r =485，所以，S 扇面=S 扇形OCD −S 扇形OAB =12×64×(485+16)−12×24×485=704cm 2．故选：A ．3、将x 轴正半轴绕原点逆时针旋转30°，得到角α，则下列与α终边相同的角是（ ） A ．330°B ．−330°C ．210°D ．−210° 答案：B分析：写出终边相同的角α的集合，进而选出正确答案. 由题意得：{α|α=30°+k ⋅360°,k ∈Z }，当k =−1时，α=−330°，B 正确，其他选项经过验证均不正确. 故选：B4、要得到函数y =sin (2x +π6)的图象，可以将函数y =cos (2x −π6)的图象（ ） A ．向右平移π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度答案：A分析：利用诱导公式将平移前的函数化简得到y =sin (2x +π3)，进而结合平移变换即可求出结果.因为y =cos (2x −π6)=sin (2x −π6+π2)=sin (2x +π3)，而y =sin [2(x −π12)+π3]，故将函数y =cos (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度即可， 故选：A. 5、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（ ）A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57.又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时， sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β) =2√67×√105−57×√155=−√1535， ∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去； 当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A .小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.6、时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20°C 时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C 时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T （单位：°C ）与时间t （单位：h ）近似满足关系式T =20−10sin (π8t −π8)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（ ）(sin 3π10≈0.8)A ．1.4hB ．2.4hC ．3.2hD ．5.6h 答案：B分析：由函数关系式T =20−10sin (π8t −π8)分别计算出花开放和闭合的时间，即可求出答案.设t 1时开始开放，t 2时开始闭合，则20−10sin (π8t 1−π8)=20,又t 1∈[5,17]，解得t 1=9，20−10sin (π8t 2−π8)=28，∴sin (π8t 2−π8)=−45,由sin 3π10≈0.8得sin 13π10≈−45，∴π8t 2−π8=13π10,∴t 2=575,∴t 2−t 1=125=2.4.故选：B.7、已知角α的终边与单位圆的交点P (45,35)，则sin (π−α)=（ ） A ．−35B ．−45C ．35D ．45答案：C分析：首先根据三角函数的定义求得sinα，然后根据诱导公式求得正确结果. 依题意sinα=35√(35)2+(45)2=35，sin (π−α)=sinα=35.故选：C8、已知扇形的圆心角为3π4，半径为4，则扇形的面积S 为（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．2π 答案：C解析：利用S =12αr 2即可求得结论.由扇形面积公式得：S =12×3π4×42=6π.故选：C.9、如图，为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始1min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m )与时间x (s )满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有（ ）A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5答案：A分析：根据最大值及半径求出A ，根据周期求出ω. 由题目可知最大值为5，∴ 5＝A ×1＋2⇒A ＝3． T =604=15，则ω=2πT=2π15．故选:A10、要得到函数y =3sin(2x +π4)的图象，只需将函数y =3sin2x 的图象（ ）. A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度答案：C分析：根据函数图象平移的性质：左加右减，并结合图象变化前后的解析式判断平移过程即可. 将y =3sin2x 向左移动π8个单位长度有y =3sin2(x +π8)=3sin(2x +π4)，∴只需将函数y =3sin2x 的图象向左平移π8个单位长度，即可得y =3sin(2x +π4)的图象.故选：C 填空题11、已知tanθ=2，则sinθ−cosθ2sinθ+cosθ=___．答案：15##0.2分析：分子分母同除以cosθ，弦化切，进行求解. 分子分母同除以cosθ得：sinθ−cosθ2sinθ+cosθ=tanθ−12tanθ+1=2−14+1=15所以答案是：1512、已知120°的圆心角所对的弧长为4πm ，则这个扇形的面积为_________m 2． 答案：12π分析：选求出半径，再用扇形面积公式计算即可. 由题意，120°=2π3，且圆心角所对的弧长为4πm ，∴2π3R =4π，解得R =6，∴扇形的面积为S =12×4π×6=12π(m 2)．所以答案是：12π．13、若tan2α=14，则tan (α+π4)+tan (α−π4)=______． 答案：12解析：将tan (α+π4)+tan (α−π4)展开代入tan2α=14即可.tan (α+π4)+tan (α−π4)=tanα+tan π41−tanα⋅tan π4+tanα−tan π41+tanα⋅tan π4=tanα+11−tanα+tanα−11+tanα=(tanα+1)2−(tanα−1)2(1−tanα)(1+tanα)=4tanα1−tan 2α=2×2tanα1−tan 2α=2tan2α因为tan2α=14，所以tan (α+π4)+tan (α−π4)=12. 所以答案是：12．解答题14、函数f (x )=Asin (2ωx +φ)(A >0,ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示.(1)求A ，ω，φ的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，若α∈[0,π]，且g (α)=√2，求α的值.答案：(1)A =2，ω=1，φ=π6 (2)5π24或11π24分析：（1）根据函数f (x )的部分图象即可求出A ，ω，然后代入点(5π12,0)，由|φ|<π2即可求出φ的值； （2）根据三角函数的图象变换先求出函数g (x )的解析式，然后利用g (α)=√2，结合α∈[0,π]即可确定α的值. （1）解：由图可知，A =2，34T =5π12+π3，所以T =π，即2π2ω=π，所以ω=1. 将点(5π12,0)代入f (x )=2sin (2x +φ)得5π6+φ=2k π+π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，所以φ=π6； （2）解：由（1）知f (x )=2sin (2x +π6)，由题意有g (x )=2sin [2(x −π6)+π6]=2sin (2x −π6)，所以g (α)=2sin (2α−π6)=√2，即sin (2α−π6)=√22， 因为α∈[0,π]，所以2α−π6∈[−π6,11π6]， 所以2α−π6=π4或3π4，即α=5π24或α=11π24，所以α的值为5π24或11π24.15、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a =√3c ，b =2√7，求△ABC 的面积； （2）若sin A +√3sin C =√22，求C . 答案：（1）√3；（2）15°.分析：（1）已知角B 和b 边，结合a,c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出a,c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）方法一 ：将A =30°−C 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.（1）由余弦定理可得b 2=28=a 2+c 2−2ac ⋅cos150°=7c 2， ∴c =2,a =2√3,∴△ABC 的面积S =12acsinB =√3； （2）[方法一]：多角换一角 ∵A +C =30°，∴sinA +√3sinC =sin(30°−C)+√3sinC=12cosC +√32sinC =sin(C +30°)=√22， ∵0°<C <30°,∴30°<C +30°<60°， ∴C +30°=45°,∴C =15°. [方法二]：正弦角化边由正弦定理及B =150°得2R =asinA =csinC =bsinB =2b ．故sinA =a2b ,sinC =c2b ．由sinA+√3sinC=√2，得a+√3c=√2b．2又由余弦定理得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2+√3ac，所以(a+√3c)2=2(a2+c2+√3ac)，解得a=c．所以C=15°．【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.。
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高中数学必修一和三角函数高一（上）模块数学试卷（必修1和三角函数）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合P={x|0≤x＜3}，M={x|x2≤9}，则P∩M=（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|0≤x＜3} C．{x|0＜x≤3} D．{x|0≤x≤3} 2．（5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（）对称．A．y轴B．x轴C．坐标原点D．直线y=x3．（5分）在区间（0，1）上单调递减的函数是（）（x+1）C．y=2x+1D．y=|x﹣1|A．y=B．y=log24．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）5．（5分）函数y=sin（2x+）的图象是由函数y=sin2x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平单位 D．向右平移单位6．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）7．（5分）设a=log2，b=log，c=（）0.3，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c8．（5分）同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在（﹣，）上是增函数．”的一个函数是（）A．y=sin（）B．y=cos（）C．y=cos（2x+）D．y=sin（2x﹣）9．（5分）函数f（x）=，则f[f（）]=（）A．﹣B．﹣1 C．﹣5 D．10 ．（5分）已知α为锐角，且，则cos（π﹣α）=（）A． B．C． D．11．（5分）已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限12．（5分）函数图象中的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）2log510+log50.25= ．14．（5分）已知函数若f（f（0））=4a，则实数a= ．15．（5分）函数的定义域为．16．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）= ．三、解答题．（本大题共5小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（14分）（1）已知tanα=2，计算的值；（2）化简：（3）已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．18．（14分）已知集合A={x||x﹣a|＜4}，B={x|x2﹣4x﹣5＞0}且A∪B=R，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数（1）函数f（x）的单调增区间．（2）求函数f（x）取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值是什么？．20．（14分）已知函数f（x2﹣1）=logm（1）求f（x）的解析式并判断f（x）的奇偶性；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．21．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，f（1）=﹣．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．．．2014-2015学年广东省梅州市梅县高级中学高一（上）模块数学试卷（必修1和必修4）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合P={x|0≤x＜3}，M={x|x2≤9}，则P∩M=（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|0≤x＜3} C．{x|0＜x≤3} D．{x|0≤x≤3}【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，则P∩M={x|0≤x＜3}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）（2015春•潮州期末）函数f（x）=﹣x的图象关于（）对称．A．y轴B．x轴C．坐标原点D．直线y=x【分析】先求出函数为奇函数，再根据奇函数的性质即可得到答案【解答】解：因为f（x）=﹣x的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以函数f（x）的图象关于坐标原点对称，故选：C【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题3．（5分）（2017春•南昌县校级月考）在区间（0，1）上单调递减的函数是（）A．y=B．y=log（x+1）C．y=2x+1D．y=|x﹣1|2【分析】运用常见函数的单调性，即可得到在区间（0，1）上单调递减的函数．【解答】解：对于A．函数y在[0，+∞）是递增，则A不满足条件；对于B．由对数函数的底数大于1，为增函数，可得函数y在（0，1）上递增，则B不满足条件；对于C．由指数函数的底数大于1，为增函数，可得函数y在（0，1）上递增，则C不满足条件；对于D．函数关于x=1对称，且在（﹣∞，1）递减，则在（0，1）递减，则D 满足条件．故选D．【点评】本题考查函数的单调性的判断，考查常见函数的单调性，考查判断能力，属于基础题．4．（5分）（2008•江西）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．5．（5分）（2015•温州三模）函数y=sin（2x+）的图象是由函数y=sin2x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平单位 D．向右平移单位【分析】根据函数的平移变化，，分析选项可得答案．【解答】解：要得到函数的图象可将y=sin2x的图象向左平移．或向右平移单位故选D．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．6．（5分）（2010•天津）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b 为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．7．（5分）（2011秋•温州校级期中）设a=log2，b=log，c=（）0.3，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c【分析】利用对数的性质和运算法则求解．【解答】解：a=log2＜log1=0，b=log＞=1，0＜c=（）0.3＜（）0=1，∴a＜c＜b．故选：A．【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．8．（5分）（2015•张掖模拟）同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在（﹣，）上是增函数．”的一个函数是（）A．y=sin（）B．y=cos（）C．y=cos（2x+）D．y=sin（2x﹣）【分析】根据三角函数的周期公式，得ω=2，排除A、B两项．再根据在（﹣，）上是增函数，得函数在x=﹣时取得最小值，x=时取得最大值，由此排除C，得到D项符合题．【解答】解：∵函数的最小正周期为π，∴=π，得ω=2，答案应该在C、D中选，排除A、B两项∵在（﹣，）上是增函数∴当x=﹣时，函数有最小值，当x=时，函数有最大值．对于C，f（﹣）=cos（﹣+）=1为最大值，不符合题意；而对于D，恰好f（﹣）=sin（﹣）=﹣1为最小值，f（）=sin=1为最大值．而x=时，y=sin（2x﹣）有最大值，故象关于直线x=对称，②也成立．故选D【点评】本题给出三角函数满足的条件，求符合题的函数，考查了三角函数的周期性、单调性和图象的对称性等知识，属于基础题．9．（5分）（2009•天津）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选C【点评】此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关．10．（5分）定义*=|a|×|b|sinθ，θ为与的夹角，已知点A（﹣3，2），点B（2，3），O是坐标原点，则*等于（）A．5 B．13 C．0 D．﹣2【分析】运用向量的坐标运算和向量的数量积的定义和坐标表示和向量的模，可得向量的夹角，再由新定义，计算即可得到所求值．【解答】解：由点A（﹣3，2），点B（2，3），O是坐标原点，则=（﹣3，2），=（2，3），||==，||==，由=||•||cos＜，＞，即有﹣3×2+2×3=×cos＜，＞，即cos＜，＞=0，由0≤＜，＞≤π，则sin＜，＞=1，即有*=||•||sin＜，＞=××1=13．故选B．【点评】本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，主要考查新定义*的理解和运用，运用同角的平方关系是解题的关键．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2016•雅安模拟）2log510+log50.25= 2 ．【分析】根据对数运算法则nloga b=logab n和logaM+logaN=loga（MN）进行求解可直接得到答案．【解答】解：∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故答案为：2．【点评】本题主要考查对数的运算法则，解题的关键是对对数运算法则的熟练程度，属于基础题．12．（5分）（2013•淇县校级一模）已知函数若f（f（0））=4a，则实数a= 2 ．【分析】给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．【解答】解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．【点评】本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性13．（5分）（2013秋•让胡路区校级月考）在Rt△ABC中，C=90°，AC=4，则•等于16 ．【分析】由题意可得•=||•||•cosA=||•||，由此可得结果．【解答】解：Rt△ABC中，C=90°，AC=4，则•=||•||•cosA=||•||==16，故答案为 16．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的投影，属于中档题．14．（5分）（2013秋•新田县校级期末）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）= ﹣2 ．【分析】利用函数周期是4且为奇函数易于解决．【解答】解：因为f（x+4）=f（x），所以4为函数f（x）的一个周期，所以f（7）=f（3）=f（﹣1），又f（x）在R上是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，即f（7）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，属基础题．三、解答题．（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）15．（12分）（1）已知tanα=2，计算的值；（2）化简：（3）已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．【分析】（1）将所求的关系式中的“弦”化“切”，代入计算即可；（2）利用诱导公式化简即可；（3）利用扇形的面积公式S=lr计算即可．【解答】解：（1）∵tanα=2，∴原式==…．（4分）（2）原式==﹣tanα…．（8分）（3）设扇形的弧长为l，因为，所以，所以…．（12分）【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查运用诱导公式化简求值及扇形的面积公式的应用，属于中档题．16．（12分）已知集合A={x||x﹣a|＜4}，B={x|x2﹣4x﹣5＞0}且A∪B=R，求实数a的取值范围．【分析】先求出集合A，B，并集的定义，求出a的范围【解答】解：A={x||x﹣a|＜4}={x|a﹣4＜x＜a+4}…．（3分）B={x|x2﹣4x﹣5＞0}={x|x＞5或x＜﹣1}…．（6分），由A∪B=R知：，…．（10分），解上不等式组得：1＜a＜3，故实数a的取值范围为{a|1＜a＜3}…．（12分）【点评】本题主要考查了不等式的求解，集合之间并集的基本运算，属于基础试题17．（14分）（2008•佛山二模）已知函数f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0），f（x）图象相邻最高点和最低点的横坐标相差，初相为．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．【分析】（Ⅰ）依题意，可求得数f（x）的周期为π，从而可求得ω，初相φ=，从而可得f（x）的表达式；（Ⅱ）由x∈[0，]，可得≤2x+≤，利用正弦函数的单调性即可求得函数的值域．【解答】解：（I）依题意函数f（x）的周期为π，∴ω==2，又初相为，∴φ=；…（4分）从而f（x）=sin（2x+），…（6分）（II）因为x∈[0，]，所以≤2x+≤，…（9分）∴﹣≤sin（2x+）≤1；∴函数f（x）=sin（2x+）的值域为[﹣，1]…（12分）【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查复合三角函数的单调性与最值，属于中档题．18．（14分）（2015秋•天津校级期中）已知函数f（x2﹣1）=logm（1）求f（x）的解析式并判断f（x）的奇偶性；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．【分析】（1）利用换元法以及函数奇偶性的定义即可求f（x）的解析式并判断f（x）的奇偶性；（2）利用对数函数的性质即可解不等式f（x）≥0．【解答】解：（1）设x2﹣1=t（t≥﹣1），则x2=t+1，，∴…（3分）设x∈（﹣1，1），则﹣x∈（﹣1，1），∴，∴f（x）为奇函数…（6分）（2）由可知当m＞1时，（*）可化为，化简得：，解得：0≤x＜1；…（9分）当0＜m＜1时，（*）可化为，此不等式等价于不等式组，解此不等式组得，∴﹣1＜x≤0…（13分）∴当m＞1时，不等式组的解集为{x|0≤x＜1}当0＜m＜1时，不等式组的解集为{x|﹣1＜x≤0}…（14分）【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的判断，根据对数函数的性质是解决本题的关键．19．（14分）（2007秋•黄冈期末）设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1．（1）求f（1）的值；（2）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值；（3）如果f（x）+f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．【分析】（1）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，即可求得f（1）的值；（2）根据题意，，令x=y=，f（xy）=f（x）+f（y）=2；有可求得m的值；（3）f（x）+f（2﹣x）=f[x（2﹣x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．【解答】解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（2）∵，∴∴m=（3）∴f（x）+f（2﹣x）=f[x（2﹣x）]＜，又由y=f（x）是定义在R+上的减函数，得：解之得：．【点评】考查函数的单调性，及根据函数的单调性转化不等式，求抽象函数的有关命题，常采用赋值法求解，体现了转化的思想方法，属中档题．20．（14分）（2011秋•岳阳县校级月考）已知向量，，，，k，t为实数．（Ⅰ）当k=﹣2时，求使成立的实数t值；（Ⅱ）若，求k的取值范围．【分析】先求出，（Ⅰ）利用向量共线的条件建立方程，可求实数t值；（Ⅱ）利用向量垂直的条件建立方程，可得k的函数，进而可求k的取值范围．【解答】解：∵∴，=（）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（Ⅰ）当时，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）化简，得，当k=﹣2时，即t3+t﹣2=0．∴t=1，使成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）若，则，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）整理，得．t≠0时，，∴或（12分）【点评】本题考查向量知识的运用，考查向量共线、垂直的条件，考查基本不等式的运用，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：maths；whgcn；双曲线；wsj1012；wdnah；zlzhan；ywg2058；邢新丽；minqi5；刘长柏；caoqz；wyz123；wfy814；394782（排名不分先后）菁优网2017年7月27日。