高等代数第六章自测题

高等代数第六章自测题

第六章 线性空间自测题

一、选择题

1． 设M 是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义

σ

(A )=|A |,A ∈M ，则σ是M 到R 的一个（ ）.

A ．单射

B ．满射

C ．双射

D ．既非单射也非满射

2．把复数域C 看成R 上的线性空间，这个空间的维数是（ ）.

A ．一维

B ．二维

C ． 三维

D ．无限维

3．R 是复数域，P 是任一数域，则集合R ∩P 对于通常的数的加法与乘法是（ ）.

A ．C 上的线性空间

B ．R 上的线性空间

C ．Q 上的线性空间

D ．不构成线性空间

4．已知P 2的两组基：

1

1

2

(,)a a ε=r

()212,b b ε=r 与()112,c c η=r

，

()2

12

,,d d η=r

则由基1

εr 、2

εr 1

ηr 到基、2

ηr 的过渡矩阵为（ ）.

A ．

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-22

11

1

2211

d c d c b a b a B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211

1

2211

b a b a d

c

d c C ．

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-2121

1

21

21d d c c b b a a D ．

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-21

211

21

21b b a a d d c c

5．全体正实数集集合R +中，加法与数乘定义

为：a ⊕b=ab , k 。a =a k ，其中a 、b ∈ R +，

k ∈R ，则R +构成R 上的线性空间，它的维数与基为（ ）.

A ．维数=0，没有基

B ．维数=1，1是基

C ．维数=1，2是基

D ．维数=2，3、5是基

6. 按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P 上线性空间的是（ ）.

A

．

{}

1n n W A P A A ⨯'=∈= B ．{}2

n n

W A P A ⨯=∈为上三角形矩阵

C ．{}3

0n n

W A P A ⨯=∈= D ．{}

4

n n

W A P

A A ⨯'=∈=-

7. 数域P 上线性空间V 的维数为1

2

,,,n

r V

α

αα∈r r r L ，，

且V 中任意向量可由

12,,,n

αααr r

r

L 线性表出，则下列结论成立的是

（ ）.

A ．n r =

B ．n r ≤

C ．

n r < D ．n r > 8. 设1

3

2

4

[],[]W P x W

P x ==，则=

+)dim (21

W W

（ ）.

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 9. 已知{}R a a a a W ∈=)3,2,(在R 上构成线性空间，则W 的基为（ ）.

A ．

)

3,2,1( B ．

)

,,(a a a C ．

)

3,2,(a a a

D ．)3,0,0()0,2,0()0,0,1(

10. 若2

1

,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等

式成立的是（ ）.

A ．2

1

2

1

1

)(W W W W W I I =+ B ．2

1

2

1

1

)(W W W W W +=+I

C ．1

211

)(W W W W

=+I D ．2

211

)(W W W W

=+I

11．已知1

2

3

(,,)x x x α

'=r

，下列集合中是3

R 的子空间的为（ ）.

A ． {}

30x

α≥r

B ．{}

1

23230x x

x α++=r

C ．{}3

1x α=r

D ．{}

1

2

3231x x

x α++=r

12．下列集合有（ ）个是n

R 的子空间. 1

1

2

1

2

{(,,)|,0}

n

i

n w x x x x R x x

x =∈+++=L L ；

2

1212{(,,)|,}n i n w x x x x R x x x =∈===L L ；

3

{(,,,,,,)|,}w a b a b a b a b R =∈L ；

4

12{(,,)|}

n i w

x x x x =L 为整数；

A ．1 个

B ．2 个

C ．3 个

D ．4个 13. 设

123123

,,,,αααβββr r r r r r

与都是三维向量空间V 的基，且

112123123

,,βαβααβααα==+=++r

r r r r r r r r

，则矩阵

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=1110

0101

1

P 是

由基1

2

3

,,α

ααr r r

到（ ）的过渡矩阵. A ．213

,,βββr r r B ．

12,3

,βββr r r C ．

231

,,βββr r r

D ．

321

,,βββr r r

二、判断题

1．设V 是n 维线性空间， 1

2

n

V

ααα

∈r r r

L ，，，，且V 中