高等代数第六章自测题
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高等代数第六章自测题
第六章 线性空间自测题
一、选择题
1． 设M 是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义
σ
(A )=|A |,A ∈M ，则σ是M 到R 的一个（ ）.
A ．单射
B ．满射
C ．双射
D ．既非单射也非满射
2．把复数域C 看成R 上的线性空间，这个空间的维数是（ ）.
A ．一维
B ．二维
C ． 三维
D ．无限维
3．R 是复数域，P 是任一数域，则集合R ∩P 对于通常的数的加法与乘法是（ ）.
A ．C 上的线性空间
B ．R 上的线性空间
C ．Q 上的线性空间
D ．不构成线性空间
4．已知P 2的两组基：
1
1
2
(,)a a ε=r
()212,b b ε=r 与()112,c c η=r
，
()2
12
,,d d η=r
则由基1
εr 、2
εr 1
ηr 到基、2
ηr 的过渡矩阵为（ ）.
A ．
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-22
11
1
2211
d c d c b a b a B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211
1
2211
b a b a d
c
d c C ．
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-2121
1
21
21d d c c b b a a D ．
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-21
211
21
21b b a a d d c c
5．全体正实数集集合R +中，加法与数乘定义
为：a ⊕b=ab , k 。a =a k ，其中a 、b ∈ R +，
k ∈R ，则R +构成R 上的线性空间，它的维数与基为（ ）.
A ．维数=0，没有基
B ．维数=1，1是基
C ．维数=1，2是基
D ．维数=2，3、5是基
6. 按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P 上线性空间的是（ ）.
A
．
{}
1n n W A P A A ⨯'=∈= B ．{}2
n n
W A P A ⨯=∈为上三角形矩阵
C ．{}3
0n n
W A P A ⨯=∈= D ．{}
4
n n
W A P
A A ⨯'=∈=-
7. 数域P 上线性空间V 的维数为1
2
,,,n
r V
α
αα∈r r r L ，，
且V 中任意向量可由
12,,,n
αααr r
r
L 线性表出，则下列结论成立的是
（ ）.
A ．n r =
B ．n r ≤
C ．
n r < D ．n r > 8. 设1
3
2
4
[],[]W P x W
P x ==，则=
+)dim (21
W W
（ ）.
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 9. 已知{}R a a a a W ∈=)3,2,(在R 上构成线性空间，则W 的基为（ ）.
A ．
)
3,2,1( B ．
)
,,(a a a C ．
)
3,2,(a a a
D ．)3,0,0()0,2,0()0,0,1(
10. 若2
1
,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等
式成立的是（ ）.
A ．2
1
2
1
1
)(W W W W W I I =+ B ．2
1
2
1
1
)(W W W W W +=+I
C ．1
211
)(W W W W
=+I D ．2
211
)(W W W W
=+I
11．已知1
2
3
(,,)x x x α
'=r
，下列集合中是3
R 的子空间的为（ ）.
A ． {}
30x
α≥r
B ．{}
1
23230x x
x α++=r
C ．{}3
1x α=r
D ．{}
1
2
3231x x
x α++=r
12．下列集合有（ ）个是n
R 的子空间. 1
1
2
1
2
{(,,)|,0}
n
i
n w x x x x R x x
x =∈+++=L L ；
2
1212{(,,)|,}n i n w x x x x R x x x =∈===L L ；
3
{(,,,,,,)|,}w a b a b a b a b R =∈L ；
4
12{(,,)|}
n i w
x x x x =L 为整数；
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4个 13. 设
123123
,,,,αααβββr r r r r r
与都是三维向量空间V 的基，且
112123123
,,βαβααβααα==+=++r
r r r r r r r r
，则矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=1110
0101
1
P 是
由基1
2
3
,,α
ααr r r
到（ ）的过渡矩阵. A ．213
,,βββr r r B ．
12,3
,βββr r r C ．
231
,,βββr r r
D ．
321
,,βββr r r
二、判断题
1．设V 是n 维线性空间， 1
2
n
V
ααα
∈r r r
L ，，，，且V 中