高等代数第六章自测题
习题答案(第六章)
1、R n 中分量满足下列条件的全体向量1(,,)n x x 的集合，是否构成R n的子空间？①10n x x ++= ；②120n x x x ⋅⋅⋅= ；③2211n x x ++= 。
解：①是，设(){}111,,|0nnV x x x x=++= ，显然V 1≠∅，1,,,a b F V ξη∀∈∀∈，设1212(,,),(,,)x x y y ξη== ，则()()()1111,,,,,,n n n n a b a x x b y y ax by ax by ξη+=+=++ ，而 1111()()()()000n n n n ax by ax by a x x b y y a b ++++=+++++=+=所以1a b V ξη+∈，所以V 1是R n 的子空间；②不是，取(1,0,,0),(0,1,,1)αβ== ，则(){}11,,,|0nnV x x x xαβ∈=⋅⋅= ，但(1,1,,1)V αβ+=∉ ，所以V 不是R n 的子空间；③不是，取(1,0,,0),(0,1,0,,0)αβ== ，则(){}2211,,,|1nn V x x xx αβ∈=++= ，但(1,1,0,,0)V αβ+=∉ ，所以V 不是R n 的子空间。
2、子集{}1|,,V X AX XB A B n ==为已知的阶矩阵是否是()n M F 的子集？解：是()n M F 的子集；证：显然1V ≠∅，1,,,X Y V a b F ∀∈∈，有()()A aX bY aAX bAY aXB bYB aX bY B +=+=+=+，所以1aX bY V +∈，所以1V 是()n M F 的子集。
3、设12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-，求含12,αα的R 4的一组基。
解：因为101010101010112001100010⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 取34(0,0,1,0),(0,0,0,1)αα==，所以{}1234,,,αααα为R 4的一组基。
高数A上第六章测验题答案
第六章 定积分应用 测验题
1、设平面图形A 由22
2x y x +≤与y x ≥所确定，
求图形A 绕直线x =2旋转一周所得旋转体的体积。
2、一个高为l 的柱形贮油罐，底面是长轴2a 、短轴为2b 的椭圆。
现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为32
b 时， 计算油的质量（长度单位为m ，质量单位为kg ，油的密度为为常量ρ，单位为kg/m3）。
3、已知星形线33cos (0)sin x a t a y a t
⎧=⎪>⎨=⎪⎩， 求（1）它所围成的面积；（238
a π） （2）它的弧长；（6a ） （3）它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积及表面积。
（332105a π）
4、边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处， 设a >b ，液体的密度为ρ，试求薄板每面所受的压力。
答案：1(2sin )2
gab h b ρα+
5、设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒，在棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力。
答案：取y 轴通过细直棒，
1(y x F Gm F a μ==
6、以每秒a 的流量往半径为R 的半球形水池内注水。
（1）求在池中水深h （0<h <R ）时水面上升的速度； （2）若再将满池水全部抽出，至少需做功多少？ （ ； ）
2(2)dh a dt Rh h π=-44R π。
高数(AT)第六章自测试卷
高等数学（A 下）第六章自测试卷一、 单项选择题1、0)(=+'y x p y 的通解为( )A x ce y =B x ce y -=C ⎰=-dx x p ce y )(D ⎰=dx x p c y )(2、032=-'-''y y y 有两个不等实根1-与3，则通解为（ )A c x y ++-=3B c x y +-=13C xx e c e c y 321+=- D xe c c y 221= 3、0322=+'+''y y y 有二共轭复根i 52121±-，则两无关特解( ) A x y 21±= B x y 521±= C i y 521±= D x e y x e y xx 25sin ,25cos 2121--==4、22x y y y =+'-''的一个特解是( )A 0=yB 1=yC 642++=x x yD x y =5、x Ae qy y p y α=+'+''的特解形式（ )A x K e Bx y α=B Ax y =C 2Ax y =D K Bx y =6、已知x y x y 3sin 2,3sin 21==是09=+''y y 的特解，则2211y c y c y +=是() A 通解 B 特解 C 一般解 D 全不对7、物体作直线运动，,2)(,0)0(t t v s ==则)(t s 为( )A 23tB 22tC c t +2D 2t8、y x e y -='2，则通解为( )A c x y +=21B c e e x y +=221C x y e e 221= D x y 2=9、设21,y y 是齐次方程两特解，则2211y c y c y += ( )A 是通解B 是特解C 是解D 全不对10、0=-'y y 且1)0(=y 的解为( 难 A)A x e y =B x ce y =C 0=yD 1=y11、过(1,2)点，xy 1='的曲线方程是 ( ) A 2ln +=x y B c x y +=ln C x y ln = D 2=y12、常数变易法是把常数C 变为 ( )A x eB x cosC x lnD 待定函数)(x c13、02=+'-''y y y 的特征根是 ( )A 1±B 1,2C 重根1D 0,114、)(2)(t v mg t v m -='是 ( )A 线性的B 非齐次的C 一阶的D 都不全面二、 填空题1、22e x y y =+'是__________________微分方程。
高数答案（全集）第六章参考答案
高数答案（全集）第六章参考答案第六章常微分方程1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性3. (1)-(3)均为微分方程0222=+y dxy d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得dx ydy cos 2= 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1c x y +-=此外,还有解0=y(2)分离变量,得dx x x y y d xx dx dy y y )111(1)1(2112222+-=+++=+或两边积分,得cx x y ln )1ln(ln )1ln(212++-=+即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2x(3)将变量分离,得1122=-+-yydy xxdx积分得通解21x -+)20(12还有使因子21x -?012=-y 的四个解.x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2)ex2dx-[]0)1( )e y +(1y=+-dy yex2dx=dy y y ??++-2y11 (e 积分得--=y e e y x arctan 212)1ln(212y +-21(5)令 z=x+y+1,z dx dz sin 1+=分解变量得到dx zdz=+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到dz z z z se dz zzdz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 1222-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c22z-∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(214++-∏y x )6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0分离变量得du x dx 1)-u(u u 22-=,即得y 3=c(2y -2x ) 7. 令xy u =,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2222cx x x y +=由定解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y +=8. 将方程化为x y xyy +-='2)(1，令x yu =，得,u u x y +'=代入得dx x du u 1112=- 得c x u ln ln arcsin +=，cx xyln arcsin= 9．化为x e x y dx dy x =+，解得)(1xe c xy +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)()(-+=-x ce y x ??11.化为x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令xyu =,则原方程化为dx dy y dx du 2--= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得12])(ln 21[1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x yu =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x解得1122+-=-x cey x13．23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dxdy-=- 22212+-=-y ce z y ，得通解1)2(2212=+--y cex y14．令x y N x y M +-=-=4,32有xNy M ??==??1，这是全微分方程0=duxy x y dy x y dx x y u y x +--=---=?32),()0,0(22)4()3(，即方程得通解为c y x xy =--232 15．化为0122=+-+xdx yx xdy ydx ，得通解为c x xy xy =+-+211ln 16．该方程有积分因子221y x +，)(arctan ))ln(21(2222x y d y x d y x ydx xdy xdy ydx ++=+-++ 17．1c e xe dx e xe e xd dx xe y xx x xx x+-=-==='?21211)2()(c x c x e c e xe x c e dx c e xe y x x x x x x ++-=+-++-=+-=?18．xx x dx x x y x1ln 32ln 12--=+=''? 2ln ln 213)1ln 3(21---=--='?x x x dx x x x y x 21ln 2223)2ln ln 213(2212+--=---=?x x x x dx x x x y x19．令y z '=，则xz z =-'，xx x dxdx e c x c e x e c dx xe e z 111)1(])1([][++-=++-=+??=--?即x e c x y 1)1(++-='得2121c e c x y x ++--=20．令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''所以0)(2323=+-=+-p p dy dp y p p p dy dp p y 则得p=0或02=+-p p dy dp y，前者对应解，后者对应方程y dy p p dp =-)1(积分得y c pp11=-即y c y c p dx dy 111+==两边积分得21||ln c x y c y '+='+，因此原方程的解是21||ln c x y c y '+='+及y=c 。
(人教版A版)高中数学必修第二册 第六章综合测试试卷02及答案
第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（ ）2.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60°，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB u u r u u rg 取最小值时，P 点的坐标是（ ）A.(2,0)B.(4,0)C.10,03æöç÷èøD.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=u u r u u u r u u u r ，圆O 的半径为2，则OB CB =u u u r u u rg （ ）A.1-B.2-C.1D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +ÎR u u r u u u r的最小值为（ ）A.B.5C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（ ）A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（ ）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+×-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角q 为（ ）A.34p B.4pC.3pD.23p 9.已知sin 1sin cos 2a a a =+，且向量(tan ,1)AB a =u u u r ，(tan ,2)BC a =u u u r ，则AC u u u r 等于（ ）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0u u r u u r u u u r，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sl ==，则23l l ×取到最大值时，2x y +的值为（ ）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c p=+=，则ac=（ ）A.2B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=u u r u u u r u u r u u u r u u r，则ABC △的形状不可能是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12×=12e e .若向量b 满足1×=×=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-≤a b ，则×a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ^，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB l m =+u u r u u u r u u u r，则l =________，m =________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==u u r u u u r a b 为邻边作OADB Y ，11,33BM BC CN CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，用,a b 表现,,OM ON MN u u u r u u u r u u u r.18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =.（1）若4b =，求sin A 的值；（2）若4ABC SD =，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-，（1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4p +，试求AC BC u u u r u u u rg 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明：（1）BE CF ^；（2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x p æöæö=-ç÷ç÷èøèøb ，函数()2f x =×a b ，()4g x f x pæö=ç÷èø.（1）求()f x 在,2p p éùêúëû上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++L 的值；（3）已知t ÎR ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a \=可化为sin sin A B =又sin 22sin cos 2,sin sin B B B A B B B =\==，cos B \=.2.【答案】A【解析】由已知可得111122×=´´=a b ，211()122-×=-×=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-××=a b a a a a .3.【答案】D【解析】Q 点P 在x 轴上，\设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x \=--=-u u r u u r，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x \×=---=-+=--u u r u u r ，\当3x =时，PA PB ×u u r u u r 取最小值.P \点的坐标是(3,0).4.【答案】D【解析】OA OC OB +=u u r u u u r u u u rQ ，OA OC =u u r u u u r ，\四边形OABC 是菱形，且120AOC Ð=°，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB \×=´´°=u u u r u u r.5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++u u r u u u r，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t \+=+++=++=++u u r u u u r ≥，\当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +u u r u u u r取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ÐÐÐ，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ì+-=ï´´ïï+-=í´´ïï+-=ï´´î＞即()()222100,280,680,a a a a a ì-ïï-íï+ïî＞＞＞解得a ，故选B .7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====Q，sin 8cC \=，1sin 216ABC abc S ab C D \====.8.【答案】C【解析】22(2)(54)5680+×-=+×=-Q a b a b a a b b ，又11,63,cos 2q ==\×=\=a b a b ，又[0,],3pq p q Î\=，故选C .9.【答案】D【解析】sin 1sin cos 2a a a =+Q ，cos sin a a \=，tan 1a \=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC a \=+==u u u r u u u r u u u r .故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P \到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S l l ++===.由此可得223231216l l l l +æö×=ç÷èø≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF \+=u u r u u u r .由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=u u r u u r u u r ，2PA PC PF +=u u r u u u r u u u r ，两式相加，得20PA PB PC ++=u u r u u r u u u r.0PA xPB yPC ++=u u r u u r u u u r Q ，\根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=.二、11.【答案】AC 【解析】3B p=Q，a c +=，2222()23a c a c ac b \+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb p+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c æöæö-+=ç÷ç÷èøèø，解得2a c =或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD【解析】P Q 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=u u r u u u r u u r u u u r u u r，|||()()|0CB PB PA PC PA \--+-=u u r u u r u u r u u u r u u r，即||||CB AC AB =+u u r u u u r u u u r ，||||AB AC AC AB \-=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方并化简得0MC AB ×=u u u r u u u r ，AC AB \^u u u r u u u r，90A °\Ð=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为q .1cos cos 2q q \×=×==1212e e e e ，又0q °°≤≤180，60q \=°.()0×-=Q 12b e e ，\b 与,12e e 的夹角均为30°，从而1||cos30°=b .14.【答案】52【解析】|4|-==a b ，52×≥a b ，即×a b 的最小值为52.15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=u u r u u u r u u u r，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB l m l m =+\-=-+u u r u u u r u u u rQ ，22,22,l m l m -+=-ì\í+=î解得6,52.5l m ì=ïïíï=ïî16.km /h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE Ð=°，150EAC Ð=°.在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AEEAC C=Ð，sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x°Ð\===g .在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC=°，sin sin120BC C AB \===°g 在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE AB AE °=+-=+-=g g，故BE =.\船速的大小为/h)BEt==.四、17.【答案】解：BA OA OB =-=-u u r u u r u u u rQ a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA \=+=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r a b .又OD =+u u u r a b ，222333ON OC CN OD \=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，221511336626MN ON OM \=-=+--=-u u u r u u u r u u u r a b a b a b .18.【答案】解：3cos 05B =Q ，且0B p ＜＜，4sin 5B \==.由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a BA b´\===.（2）1sin 42ABC S ac B D ==Q ，142425c \´´´=，5c \=.由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-´´´=，b \=.19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C=-，sin 02C Q ＞，1cos sin 222C C \-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =.（2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C p\＞，2C p\＞，cos C \==.易得2sin c R C =，22294sin (44c R C \==，由余弦定理得，2229(42214c a b ab ab ææ=+=+-+ççççèè≥g g ，902ab \＜≤，cos AC BC ab C éö\=Î÷ê÷ëøu u u r u u u r g g ，即AC BC u u u r u u u r g的取值范围是éö÷ê÷ëø.20.【答案】解：如图所示，设ACD a Ð=，CDB b Ð=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD b +-+-===-´´g，sin b \==()11sin sin 60sin cos60sin 60cos 27a b b b °°°æö\=-=-=--=ç÷èøg在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin AD a=°，21sin 15sin 60AD a \==°（千米）.\这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F .（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-u u r u u u r u u u r Q ，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--u u u r u u u r u u u r ，(1)(2)2(1)0BE CF \×=-´-+´-=u u r u u u r ，BE CF \^u u r u u u r ，即BE CF ^.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-u u r ，(2,)BP x y =-u u r ，由（1）知(2,1)CF =--u u u r ，(1,2)BE =-u u r ，FP CF u u r u u u r Q ∥，2(1)x y \-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE u u r u u r ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-ì\í=-+î解得6,58,5x y ì=ïïíï=ïî即68,55P æöç÷èø.222268455AP AB æöæö\=+==ç÷ç÷èøèøu u u r u u u r ，||||AP AB \=u u u r u u u r ，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x p ö=×=-+=+=÷øab 1sin 22sin 223x x x p æö-+=-+ç÷èø,2x p p éùÎêúëûQ，252333x p p p \-≤，1sin 23x p æö\--ç÷èø≤，\当3232x p p -=，即1112x p =时，()f x 取得最小值1，当2233x p p -=，即2x p =时，()f x .（2）由（1）得()sin 23f x x p æö=-+ç÷èø()sin 423g x f x x p p p æöæö\==-ç÷ç÷èøèø4T \=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g \+++=+++==+++L .又(1)(2)(3)(4)g g g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g \++++=´++=L=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ÎZ 时，由图象可知，sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++ÎZ ＜≤时，sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++ÎZ ≤≤时，sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。
高等代数第六章9第六章课堂练习题太原理工大学
2) L(1 , 2 ) L( 1 , 2 ) L(1 , 2 , 1 , 2 )
对以 1 , 2 , 1 , 2 为列向量的矩阵A作初等行变换
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1 2 A 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 0 1 0
2 1 0 1 2 2 1 2
从而
V1=V2.
证毕.
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五.在R2×2中证明向量组
1 2 3 1 4 3 2 4 3 4 , 4 2 , 2 1 , 1 3 线性相关. 证明 由 1 2 3 1 4 3 2 k1 3 4 k2 4 2 k3 2 1 k4 1 k1 3 k 2 4 k 3 2 k 4 0 即有 2 k1 k 2 3 k 3 4 k 4 0 3 k1 4 k 2 2 k 3 k 4 0 4k1 2k 2 1k 3 3k 4 0
即
x1 x1 x1 x 2 x1 2 x 2
解得x2=-2x1，令x1 =k，得所求向量为
x= k(1, -2)T.
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1 1 2 2 ， 七.已知 A ， W X AX XA , X R 0 1 证明W是R2×2的子空间；求W的基与维数；写出W 中矩阵的一般形式.
第六章 课堂练习题
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一.单项选择题
1. 下列各向量集合不构成线性空间的是（ D ）.
V x x1 , x2 , , xn x1 x2 xn 0, xi R
2 2 2
(A)
高等代数第六章——线性空间测试题2004年11月
高等代数第六章——线性空间测试题一、填空题（1） 已知R 3的两组基Ⅰ)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα； Ⅱ)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ那么由Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵为 。
（2）在22⨯P 中，已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01112A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00113A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014A 是22⨯P 的基，那么，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A 在该基下的坐标为 。
（3）设1W 是方程组04321=+++x x x x 解空间，2W 是方程组⎩⎨⎧=+-+=-++0043214321x x x x x x x x 那么1W ∩2W 是方程组 的解空间。
（4）设()()()()()()3,2,1,1,1,0,1,0,1,0,1,121L W L W == ()=+21dim W W 。
（5）设1W 、2W 都是V 的子空间，且1W +2W 为直和，那么()=⋂21dim W W 。
二、判断题：（1）一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。
（ ）（2）实数域R 上的全体n 几级可逆矩阵做成n n P ⨯的子空间。
（ ）（3）齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。
（ ）（4）线性空间V 中任意两个子空间的并集仍是V 的子空间。
（ ）（5）在子空间的和1W +2W 中，如果),(0221121w w ∈∈+=αααα，且这种表示形式唯一，那么1W +2W 为直和。
（ ）三、在22⨯P 中，,1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a G ,111,11132⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a G a G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a G 1114当a 为何值时，4321,,,G G G G 线性相关？当a 为何值时，4321,,,G G G G 线性无关？四、设}{P a a a x a x a a x P o o ∈++=212213,,|][（1）证明1，1,12--x x 是3][x P 的基，并求由该基到基1,,2x x 的过渡矩阵。
线性代数同步练习册第六章+答案
第六章线性空间与线性变换1、下列集合对指定的加法与数量乘法不能构成实数域R上的线性空间的是( B ).(A) 全体n阶对称矩阵所成集合; 运算: 矩阵的加法与矩阵的数量乘法;(B) 全体n阶可逆矩阵所成集合; 运算: 矩阵的加法与矩阵的数量乘法;(C) 闭区间[,]a b上全体连续函数所成集合; 运算: 函数的加法和实数的乘法;(D) 矩阵A的属于其特征值λ的全部特征向量的全体; 运算: 向量加法和数乘向量.2、记实数域R上的二阶方阵所构成的线性空间为22R⨯, 下列方阵组能构成为22R⨯的一个基的是( D ).(A)111 00e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,21001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31101e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(B)100 01e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,20000e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31111e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,40110e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C)111 11e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,22121e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,42002e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(D)11001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,20100e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,30010e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,40001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦3、在三维向量空间3R中求向量(3,7,1)α=在基1135α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2632α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,331α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦下的坐标.解由112233x x xαααα++=, 得线性方程组. 对增广矩阵施以行的初等变换得1633100333317010825201001154⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得α在基123,,ααα下的坐标为(33,82,154)-.4、在3维向量空间中, 求任一向量α在基1(1,2,1)α=,2(2,3,3)α=,3(3,7,1)α=和基1(3,1,4)β=,2(5,2,1)β=,3(1,1,6)β=-下的坐标变换公式.解设向量α在两个基下的坐标分别为123(,,)x x x和123(,,)y y y,从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为112335127714123712192091314164128P ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭故坐标变换公式为11223327714192094128x y x y x y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 5、已知3R 的两组基123{,,}ααα与123{,,}βββ，且123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵为211112113⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，向量α在基123{,,}ααα下的坐标为(1,1,3)T. 试求α在基123{,,}βββ下的坐标. 解：由于()()123123211,,,,112113βββααα⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,()1231,,1,3αααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以()11232111,,11211133αβββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1235239991153,,199********βββ⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎝⎭()()1231235232999311535,,1,,9993321329993ββββββ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此α在基123{,,}βββ下的坐标为252(,,)333T -. 6、已知向量空间4R 的两组基： ( I ) 1234(1,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2)αααα==== ( II )1234(2,1,0,0),(3,1,0,0),(0,0,2,3),(0,0,1,2)ββββ====(1) 求由基( I )到基( II )的过渡矩阵;(2) 求向量12342αββββ=++-在基( I )下的坐标. 解：取4R 的自然基1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)εεεε====，则有1234123412341234(,,,)(,,,),(,,,)(,,,),A B ααααεεεεββββεεεε==其中1100230012001100,0011002100120032A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是112341234(,,,)(,,,),A B ββββαααα-= 故由基( I )到基( II )的过渡矩阵为1210023003500110011001200002100210010001100320011P A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---⎪⎪⎪=== ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2) 123412(,,,)11αββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭1234123411325(,,,)(,,,)1110P αααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故向量12342αββββ=++-在基(I)下的坐标是(13,5,1,0)T -. 7、已知向量组123(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,4),T T T ααα===4(0,0,0,2)T α=是R 4的一组基, 设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),T T εε==34(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T εε==为自然基. 试求由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵，并求3ε在基1234,,,αααα下的坐标. 解：由基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵为1010100001000142A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵为 1010000101100112222A -⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪ ⎪--⎪⎝⎭, 故向量3ε在基1234,,,αααα下的坐标为 1(0,1,0,)2T-.8、下列变换T 中, 那些是3R 的线性变换, 哪些不是线性变换? (1) 123123(,,)(,0,0)T x x x x x x =++; (2) 123123(,,)(,0,0)T x x x x x x =;(2) 222123123(,,)(,,)T x x x x x x =.解 (1) T 是线性变换. 事实上, 设123(,,)x x x x =, 123(,,)y y y y =, 则112233()(,,)T x y T x y x y x y +=+++112233(()()(),0,0)x y x y x y =+++++ 123123(,0,0)(,0,0)x x x y y y =+++++()()T x T y =+同理, ()()T kx kT x =, 其中k R ∈.(2) T 不是线性变换. 事实上, 设(1,0,0)x =, (0,1,1)y =, 则()(1,1,1)(1,0,0)T x y T +==, 而()()(0,0,0)T x T y +=, 即 ()()()T x y T x T y +≠+.(3) T 不是线性变换. 事实上, 取2a =, (1,1,1)x =, 则()(2,2,2)(4,4,4)T ax T ==, ()2(1,1,1)(2,2,2)aT x T ==, 即 ()()T ax aT x ≠.9、在3R 中, T 表示将向量投影到xoy 平面的线性变换:12312()T xe ye ze xe ye ++=+其中T 1(1,0,0)e =, T 2(0,1,0)e =, T 3(0,0,1)e =. (1) 求T 在基123,,e e e 下的矩阵. (2) 取一个基1e α=, 2e β=, 123e e e γ=++, 求T 在,,αβγ下的矩阵. 解 (1) 由于11223()()()0T e e T e e T e =⎧⎪=⎨⎪=⎩即123123100((),(),())(,,)010000T e T e T e e e e ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以T 在基123,,e e e 下的矩阵为100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (2) 由于112212312()()()()()()T T e e T T e e T T e e e e e ααββγαβ===⎧⎪===⎨⎪=++=+=+⎩即101((),(),())(,,)011000T T T αβγαβγ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故T 在基,,αβγ下的矩阵为101011000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 10、设3R 内的线性变换T 在基本单位坐标向量123,,e e e 为基下的矩阵211121112A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭(1) 求T 在基123,,βββ下的矩阵, 其中1111β⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 2110β-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 3101β-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2) 设向量123α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求()T α在基123,,βββ下的坐标T 123(,,)y y y 及()T α.解 (1) 先求出由基123,,e e e 到基123,,βββ的过渡矩阵P , 根据123123(,,)(,,)e e e P βββ=得 111110101P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 111111213112P -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭故T 在基123,,βββ下的矩阵为1000030003B P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 先求()T α在基123,,e e e 下的坐标. 根据线性变换在向量空间中的表示有21113()1222011233T A αα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()T α在基123,,βββ下的坐标为112331113010121003311233y y P y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==--= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 在123,,βββ下, ()T α为33()303T αβ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.第六章 线性空间与线性变换 自测题一、填空 (1) 22R⨯的维数22dim R⨯= 4 .(2) 3R 中, 向量(1,2,3)α=在基1(1,1,1)α=, 2(1,1,0)α=,3(1,0,0)α=下的坐标为(3,1,1)--.(3) 已知123,,ααα是线性空间中的元素, V 中任一元素都能由123,,ααα线性表示, 则123,,ααα必须 线性无关 时就成为V 的一个基.(4) 设3R 中, 123,,e e e 为基本单位坐标向量,11e α=, 212e e α=+,3123e e e α=++为3R 的一个基, 则由基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵P =111011001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(5) 设3R 内的线性变换为(,,)(,0,0)T x y z x =, 其中(,,)x y z 为3R 中的任一向量, 则T 在基123,,e e e 下的变换矩阵A =100000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、在4维向量空间中, 求向量(1,2,2,1)ξ=--在基1(1,1,1,1)ε=, 2(1,1,1,1)ε=--, 3(1,1,1,1)ε=--, 4(1,1,1,1)ε=--下的坐标.解: 设11223344x x x x ξεεεε=+++, 则得12341234123412341221x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+--=⎪⎨-+-=-⎪⎪--+=-⎩ 解此方程组得1234310,,,022x x x x ===-=.所以ξ在1234,,,εεεε下的坐标为31(0,,,0)22-.三、设向量组:(I) 1111α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 2101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 3101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (II) 1121β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 2234β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 3343β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 证明向量组(I)与向量组(II)都是3维向量空间一个基;(2) 求由基(I)到基(II)的过渡矩阵;(3) 求向量12323ββββ=+-在基(I)下的坐标.解: (1)12311110020111A ααα===-≠-, 所以12,,ααα线性无关. 对于3维向量空间的任意一个向量α, 由于123,,,αααα线性相关, 故α可以由123,,ααα唯一线性表示. 所以它们可以作为3维向量空间一个基.类似可证得123,,βββ也是3维向量空间一个基. (2) 由过渡矩阵的定义, 有123123(,,)(,,)P βββααα=所以过渡矩阵1123123234(,,)(,,)010101P αααβββ-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭.(3) 由(2)有123123(,,)(,,)P βββααα=, 所以123123123(,,)23βββββββ⎛⎫⎪=+-= ⎪ ⎪-⎝⎭1231(,,)23P ααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭1232341(,,)01021013ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭123422ααα=--+故β在基123,,ααα下的坐标为T (4,2,2)--.四、在4R 中求向量v , 使它在标准基1234,,,εεεε和基T 1(2,1,1,1)β=-,T 2(0,3,1,0)β=, T 3(5,3,2,1)β=, T 4(6,6,1,3)β=下有相同的坐标.解 由题设知12341234(,,,)(,,,)A ββββεεεε=, 其中过渡矩阵A 为20561********13A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭设所求向量T1234(,,,)v x x x x =, 则它关于标准基的坐标为1234(,,,)x x x x , 从而它关于基1234,,,ββββ的坐标也为1234(,,,)x x x x .于是, 由坐标变换公式有v Av =, 即()0A E v -=. 解之得T (1,1,1,1)v k =-, k 为任意实数.五、在22R⨯中, 定义变换()T A A ααα=-, 22Rα⨯∈, A 是22R ⨯中一个固定的二阶方阵. 证明T 是22R ⨯内的一个线性变换.证 设22,R αβ⨯∈,12,R λλ∈, 则有121212()()()T A A λαλβλαλβλαλβ+=+-+1212A A A A λαλβλαλβ=+-- 12()()A A A A λααλββ=-+- 12()()T T λαλβ=+故T 是22R⨯内的一个线性变换.六、在3R 内的线性变换T 关于基123,,ααα的矩阵是1511520158876A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求T关于基11223βααα=++,212334βααα=++,312322βααα=++的矩阵.解 由题设, 123123(,,)(,,)B βββααα=, 其中231342112B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 即B是从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵. 又T 关于基123,,ααα的矩阵是A , 故T 关于基123,,βββ的矩阵为1100020003C B AB -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.。
高等代数单元自测题6
高等代数单元自测题(第六章)姓名___________学号____________一. 选择题(20分)1. 把复数C 看作R 上的线性空间，这个空间的维数是( )A 、一维B 、二维C 、三维D 、四维2．设线性空间V 的向量组p βββ ,2,1可由向量组q ααα ,,21线性表出，则1β，,2βp β, 线性相关的充分条件是（ ）A ．p>q B.p=q C.p<q D. 互素3.设有的两个子空间(){},02,,3213211=+-=x x x x x x V (){},023,0,,321213212=+-=+=x x x x x x x x V 则子空间21V V ⋂的维数为( )A.一维B.二维C.三维D.零维4.设有3P 的两个子空间( )(){}(){},02,02,,,02,,312132123213211=+=+==-+=x x x x x x x V x x x x x x V则子空间21V V +的维数为( )A.一维B.二维C.三维D.零维5.线性空间[]3x P 的向量()256x x x f +-=在基1,()21,1--x x 下的坐标是( )A.(6,5,1)B.(1,-5,6)C.(1,-3,2)D.(2,-3,1)6. XOY 平面上向量的集合,对于通常的向量加法,数量乘法定义为k αα= 则它是( )A. Q 上的线性空间B. R 上的线性空间C. C 上的线性空间D. 不构成线性空间二． 判断题:（２０分）1.设M,N 是两个集合,如果,N M N M ⋃=⋂，那么M=N.2.设V 是n 维线性空间，V n ∈ααα ,,21且V 中的任一向量均可由nααα ,,21线性表出，则n ααα ,,21是V 的一组基3．设21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V ⋃也是V 的子空间。
4．设4321,,αααα是空间V 的一组线性无关向量，则()()().,,,,43214321ααααααααL L L +=5．设21,V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，且维（V ）=维()1V +维()2V ，则21V V ⊕（⊕表示直和）。
高等代数第六章
- 1 -4．设12,V V 是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：在V 中存在α，使12,V V ∈∈αα同时成立． 证明 由于12,V V 是V 的非平凡子空间，故必有12,αα，使得11V ∈α，22V ∈α． ①如果12V ∈α，那么1α即为所求；如果21V ∈α，那么2α即为所求．②如果12V ∈α且21V ∈α，那么令12=+ααα，则必有12,V V ∈∈αα．否则，若1V ∈α，而21V ∈α，于是121V =-∈ααα，这与11V ∈α矛盾；同样，2V ∈α也是不可能的．『方法技巧』这个题目只是下一个题目中2s =的情形．5．设12,,,s V V V 是线性空间V 的s 个非平凡的子空间，证明：V 中至少有一向量α不属于12,,,s V V V 中任何一个．证明 对子空间的个数s 采用数学归纳法． 当2s =时，上题已经证明了命题成立．假设对于1s -命题已经成立，即存在V ∈β，使得i V ∈β，1,2,,1i s =- ． ①如果s V ∈β，那么β即为所求．②若s V ∈β，由于s V 也是非平凡子空间，故存在s s V ∈α，且对于任意的数k ，都有s s k V +∈αβ．否则，若s s k V +∈αβ，而s V ∈β，所以()s s s k k V =+-∈ααββ，与s s V ∈α矛盾．另外，对于不同的数12,k k ，必有1s k +αβ与2s k +αβ不属于同一个i V ，1,2,,1i s =- ．否则，若1s k +αβ与2s k +αβ同属于某一个i V （1,2,,1i s =- ），那么，由1212()()()s s i k k k k V +-+=-∈αβαββ知，i V ∈β，这与i V ∈β矛盾．于是，取互不相同的s 个数12,,,s k k k ，那么1s k +αβ，2s k +αβ， ，s s k +αβ这s 个向量中至少存在一个不属于i V （1,2,,1i s =- ）中的每一个．不妨设1s i k V +∈αβ，1,2,,1i s =- ，而s s s k V +∈αβ，于是s s k +αβ即为所求向量．『特别提醒』这个题目的结论说明：有限多个非平凡子空间的并不能覆盖整个空间．。
第六章 高数习题详细解答
习 题 6—11、在平行四边形ABCD 中, 设−→−AB =a , −→−AD =b . 试用a 和b 表示向量−→−MA 、−→−MB 、−→−MC 、−→−MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点.解： 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以a +b −→−−→−==AM AC 2, 即 -(a +b )−→−=MA 2, 于是 21-=−→−MA (a +b ).因为−→−−→−-=MA MC , 所以21=−→−MC (a +b ). 又因-a +b −→−−→−==MD BD 2, 所以21=−→−MD (b -a ).由于−→−−→−-=MD MB , 所以21=−→−MB (a -b ).2、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.证： AM =MC ,BM =MD ，∴AD =AM +MD =MC +BM =BC与 平行且相等,结论得证.3、 求起点为)1,2,1(A ，终点为)1,18,19(--B 的向量→AB 与12AB −−→-的坐标表达式.解：→AB =j i k j i 2020)11()218()119(--=-+--+--={20,20,0}--, 12AB −−→-={10,10,0}4、 求平行于a ={1，1，1}的单位向量.解：与a 平行的单位向量为{}1,1,131±=±a a .5、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),A - (1,1,1),B -(1,1,1),C -- (1,1,1).D -- 解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.6、 求点),,(z y x M 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标.解：),,(z y x M 关于x 轴的对称点为),,(1z y x M --，关于xOy 平面的对称点为),,(2z y x M -，关于原点的对称点为),,(3z y x M ---.7、已知点A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）. 解：分别为),0,0(),0,,0(),0,0,(),,0,(),,,0(),0,,(c b a c a c b b a .8、过点(,,)P a b c 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？ 解：平行于z 轴的直线上面的点的坐标：x a,y b,z R ==∈；平行于xOy 面的平面上的点的坐标为z c,x,y R =∈.9、求点P (2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.解：到原点的距离为x y 轴的距离为,到z10、 求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：222212(74)(13)(21)14M M =-+-+-=,222223(57)(21)(32)6M M =-+-+-=222213(45)(32)(13)6M M =-+-+-=，即1323M M M M =，因此结论成立.11、 在yoz 坐标面上，求与三个点A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标. 解：设yoz 坐标面所求点为),,0(z y M ，依题意有||||||MC MB MA ==，从而222)2()1()30(-+-+-z y 222)2()2()40(++++-=z y222)2()1()30(-+-+-z y联立解得2,1-==z y ，故所求点的坐标为)2,1,0(-.12、 z 轴上，求与点A(-4, 1, 7), 点B(3, 5,-2)等距离的点. 解：设所求z 轴上的点为),0,0(z ，依题意：222)7()10()40(-+-++z 222)2()50()30(++-+-=z ，两边平方得914=z ，故所求点为)914,0,0(.13、 求λ使向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行. 解：由b a //得5051012==λ得51=λ.14、 求与y 轴反向，模为10的向量a 的坐标表达式. 解：a =j j 10)(10-=-⋅={0,10,0}-.15、求与向量a ={1，5，6}平行，模为10的向量b 的坐标表达式. 解：}6,5,1{6210==a a a ,故 {}6,5,16210100±=±=a b .16、 已知向量6410=-+a i j k ，349=+-b i j k ，试求： （1）2+a b ； （2）32-a b ．解：（1） 264102(349)1248i a b i j k i j k j k +=-+++-=+-; （2）323(6410)2(349)=122048a b =i j k i j k i j k --+-+--+.17、已知两点A 和(3,0,4)B ，求向量AB的模、方向余弦和方向角．解：因为(1,1)AB =- , 所以2AB =,11cos ,cos 22αβγ===-,从而 π3α=,3π4β=,2π3γ=.18、设向量的方向角为α、β、γ．若已知其中的两个角为π3α=，2π3β=．求第三个角γ． 解： π3α=,2π3β=,由222cos cos cos 1αβγ++=得21cos 2γ=.故π4γ=或3π4.19、 已知三点(1,0,0)=A ，(3,1,1)B ，(2,0,1)C ，求：（1） BC 与CA 及其模；（2） BC 的方向余弦、方向角；（3）与 BC 同向的单位向量.解：（1）由题意知{}{}23,01,111,1,0,BC =---=-- {}{}12,00,011,0,1,CA =---=--故==BC CA （2）因为{}1,1,0,=--BC 所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：cos 0αβγ===，方向角为：3,42ππαβγ===. （3）与 BC 同向的单位向量为：oa=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭BC BC .20、 设23,23,34,m i j k n i j k p i j k =++=+-=-+和23a m n p =+-求向量在x 轴上的投影和在y 轴上的分向量.解：2(23)3(23)(34)5114a i j k i j k i j k i j k =++++---+=+-.故向量a 在x 轴上的投影5=x a ，在y 轴上的投影分量为11y a j =.21、一向量的终点为点B(-2,1,-4),它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为3，-3和8，求这向量起点A 的坐标.解：设点A 为（x, y, z ）,依题意有：84,31,32=---=-=--z y x ， 故12,4,5-==-=z y x ，即所求的点A （-5， 4，-12）.22、 已知向量a 的两个方向余弦为cos α=72 ,cos β=73, 且a 与z 轴的方向角是钝角.求cos γ. 解：因222cos cos cos 1,αβγ++=22223366cos 1cos 77497γγ=-==±故（）—（），，又γ是钝角，所以76cos -=γ.23、设三力1232234F ,F ,F i j i j k j k =-=-+=+作用于同一质点，求合力的大小和方向角.解： 合力123(2)(234)()F F F F i k i j k j k =++=-+-+++323i j k =-+，因此，合力的大小为|F |合力的方向余弦为,222cos ,cos 223cos -===βγα因此παγβ===-习 题 6—21、 {}0,0,1=a ，{}0,1,0=b ，)1,0,0(=c ，求⋅a b ，c a ⋅，c b ⋅，及a a ⨯，b a ⨯，c a ⨯，c b ⨯. 解：依题意，i a =，j b =，k c =，故0=⋅=⋅j i b a ，0=⋅=⋅k i c a ，0=⋅=⋅k j c b .0=⨯=⨯i i a a ，k j i b a =⨯=⨯，j k i c a -=⨯=⨯，i k j c b =⨯=⨯.2、 }}{{1,2,2,21,1==b a ,，求b a ⋅及b a ⨯ .a 与b 的夹角余弦.解：（1）121221⋅=⨯+⨯+⨯=a b 6, 112221⨯==i j k a b }{3,3,0-.(2)cos a b a b a b θ++==3、 已知 π5,2,,3∧⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b a b ，求23a b - 解：()()2232323-=-⋅-a b a b a b 22412976=-⋅+=a a b b ，∴ 23-=ab4、 证明下列问题：1）证明向量}{1,0,1=a 与向量}{1,1,1-=b 垂直. 2） 证明向量c 与向量()()a c b b c a ⋅-⋅垂直. 证：1）01110)1(1=⨯+⨯+-⨯=⋅b a ,^π(,)2a b ∴=，即a 与b 垂直.2） [()()]⋅-⋅⋅ a c b b c a c [()()]=⋅⋅-⋅⋅a c b c b c a c ()[]=⋅⋅-⋅c b a c a c 0=[()()]∴⋅-⋅⊥a c b b c a c .5、 求点)1,2,1(M 的向径OM 与坐标轴之间的夹角.解：设OM 与x 、y 、z 轴之间的夹角分别为γβα,,，则211)2(11cos 22=++==α, 22cos ==β,21cos ==γ. 3π=∴α, 4π=β, 3π=γ.6、 求与k j i a ++=平行且满足1=⋅x a 的向量x .解：因x a //, 故可设{}λλλλ,,==a x ，再由1=⋅x a 得1=++λλλ，即31=λ，从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31x .7、求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量. 解：=⨯=xy z xyzij kc a b a a a b b b 324112=--i j k =105+j k，||= c 0||∴=c c c=.⎫±+⎪⎭j8、 在顶点为)2,1,1(-A 、)2,6,5(-B 和)1,3,1(-C 的三角形中，求三角形ABC 的面积以及AC 边上的高BD .解：{0,4,3},{4,5,0}AC AB =-=- ,三角形ABC 的面积为,22516121521||21222=++=⨯=A S ||||21,5)3(4||22BD S ==-+= ||521225BD ⋅⋅= .5||=∴BD9、 已知向量≠0a ，≠0b ，证明2222||||||()⨯=-⋅a b a b a b .解 2222||||||sin ()∧⨯=⋅a b a b ab 222||||[1cos ()]∧=⋅-a b ab 22||||=⋅a b 222||||cos ()∧-⋅a b ab 22||||=⋅a b 2().-⋅a b10、 证明：如果++=0a b c ，那么⨯=⨯=⨯b c c a a b ，并说明它的几何意义.证： 由++=0a b c , 有()++⨯=⨯=00a b c c c , 但⨯=0c c ，于是⨯+⨯=0a c b c ,所以⨯=-⨯=⨯b c a c c a . 同理 由()++⨯=0a b c a , 有 ⨯=⨯c a a b ,从而 ⨯=⨯=⨯b c c a a b .其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.11、 已知向量23,3=-+=-+a i j k b i j k 和2=-c i j ，计算下列各式：（1）()()⋅-⋅a b c a c b （2）()()+⨯+a b b c （3）()⨯⋅a b c （4）⨯⨯a b c解： （1）()()8(2)8(3)⋅-⋅=---+=a b c a c b i j i j k 824--j k .(2) 344,233+=-++=-+a b i j k b c i j k ，故()()+⨯+a b b c 344233=-=-i jk--j k . （3）231()231(2)(85)(2)11311312-⨯⋅=-⋅-=--+⋅-=-=--i jk a b c i j i j k i j 2. （4）由（3）知85,()851120⨯=--+⨯⨯=--=-i jka b i j k a b c 221++i j k .习 题 6—31、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA =()()()222321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=z y x化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)M x y z C MA z∈⇔= 亦即z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .3、 求下列各球面的方程：（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-；（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+=R ，所以球面方程为49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为：21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .4、将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解：222x y z +=(旋转抛物面) .5、将zOx 坐标面上的双曲线12222=-c z a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解： 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得122222=-+cz a y x .6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）221x z += ；（4）22220x y z x ++-=； （5）222y x z +=；（6）22441x y z -+=；（7）221916x y z ++=； （8）222149x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2223122z y x +=+.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1）1+=x y ；（2）422=+yx ；（3）122=-y x ；（4）22x y =.解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面； （2）422=+yx 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；（3）122=-yx 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）y x 22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22149+=x z 绕x 轴旋转而成 （2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线2214-=y z 绕y 轴旋转而成 （3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成（4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.9、 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42=+-=y x x z 及三坐标平面所围成； （3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围. 解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成； （4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.习 题 6—41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）⎩⎨⎧==21y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=0422y x y x z ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222az x ay x解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线；（2）上半球面z 与平面0x y -=的交线为14圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.2、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解：消去x 坐标得16322=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；消去y 坐标得：162322=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.3、求在出三种不同形式的方程）.yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1122222z y z y x .4、试求平面20x -=与椭球面222116124x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点. 解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：221932y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程 （1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩；（2）⎩⎨⎧==+++-04)1()1(22z z y x解：（1）原曲线方程即：⎪⎩⎪⎨⎧=+=199222z x xy ，化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤==tz t ty t x sin 3)20(cos 23cos 23π；（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z y x .6、求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ；⎪⎩⎪⎨⎧==0cosy b z a x .7、指出下列方程所表示的曲线（1）222253⎧++=⎨=⎩x y z x （2）⎩⎨⎧==++13094222z z y x ；（3）⎩⎨⎧-==+-3254222x z y x ； （4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y ； （5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z y . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.8、 求曲线⎩⎨⎧==-+3222z x z y 在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：⎩⎨⎧=-=3922z x y ，是位于平面3=z 上的抛物线，在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧=-=0922z x y9、 求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,4322=+y x 在xOy 面上的投影为,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原点，半径为23的圆周.（2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z （3）同理在yOz 面上的投影也为线段..23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z10、 求抛物面x z y =+22与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解： 交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x x z y ，（1）消去z 得投影,04522⎩⎨⎧==-++z x xy y x（2）消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，（3）消去x 得投影2220y z y z x ⎧++-=⎨=⎩.习 题 6—51、写出过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .2、求过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面方程.解：设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .3、求过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .4、求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解：平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.5、求过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程.解：},1,1,1{1-=n }12,2,3{2-=n 取法向量},5,15,10{21=⨯=n n n所求平面方程为化简得:.0632=-++z y x6、设平面过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直，求此平面方程.解： 设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，{1,1,1},n ⊥-0A B C ∴-+=,0A C B ⇒=-=，所求平面方程为0.x z -=7、写出下列平面方程：（1）xOy 平面；（2）过z 轴的平面；（3）平行于zOx 的平面；（4）在x ，y ，z 轴上的截距相等的平面.解：（1）0=z ,（2）0=+by ax （b a ,为不等于零的常数）, （3）c y = (c 为常数), （4） a z y x =++ (0)a ≠.8、 求平行于0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.解: 设平面为,1=++cz b y a x ,1=V 111,32abc ∴⋅=由所求平面与已知平面平行得,611161c b a == 化简得,61161c b a ==令tc t b t a t c b a 61,1,6161161===⇒===代入体积式 11111666t t t ∴=⋅⋅⋅ 1,6t ⇒=±,1,6,1===∴c b a 或1,6,1,a b c =-=-=-所求平面方程为666x y z ++=或666x y z ++=-.9、分别在下列条件下确定n m l ,,的值：（1）使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面； （2）使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面； （3）使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：168339133-=--=-+=+-l n n m m l 即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+092072032n l m n l m ，解之得 97=l ，913=m ，937=n . （2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：6362-=-=m l ，所以4-=l ，3=m . （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：7230l ++=所以： 57l =-.10 、求平面011=-+y x 与083=+x 的夹角； 解：设011=-+y x 与083=+x 的夹角为θ，则cos θ==∴ 4πθ=.11、 求点(2,1,1)到平面2240x y z +-+=的距离. 解：利用点到平面的距离公式可得933d ===.习 题 6—61、求下列各直线的方程：（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线； （2） 过点()1,1,1且与直线433221-=-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线； （4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程. （5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线； （6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线. 解：（1）所求的直线方程为：015323-=-=++z y x 即：01553-=-=+z y x ，亦即01113-=-=+z y x .（2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为413121-=-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=︒︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为： 132511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s −−→==所求直线方程.440322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-，所以，直线方程为：22111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为： 235635x y z -++==--.2、求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程.解 在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,063020000⎩⎨⎧=--=++⇒z y z y 解2,000-==z y .所求点的坐标为)2,0,1(-,取直线的方向向量{}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kj i 34312111--=-=,所以直线的点向式方程为：,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧--=+==212t z t y tx 与142475x y z --+==-. 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：4343223z y x =-=--43227-=--=-z y x 234234-==-- ∴二直线平行.又点)0,43,23(与点（7，2，0）在二直线上，∴向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-，从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即0919225=++-z y x .（2）因为121475-≠≠-，所以两直线不平行，又因为0574121031=--=∆，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-⨯-，∴二直线所决定的平面的方程为：330x y z -++=.设两直线的夹角为ϕ，则cos ϕ==4、判别下列直线与平面的相关位置： （1）37423z y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）723zy x =-=与8723=+-z y x ； （3）⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 与07734=-+-z y x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x .解（1） 0)2(3)2()7(4)2(=-⨯+-⨯-+⨯-，而017302)4(234≠=-⨯--⨯-⨯，所以，直线与平面平行.（2） 0717)2(233≠⨯+-⨯-⨯,所以，直线与平面相交，且因为772233=--=，∴直线与平面垂直. （3）直线的方向向量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--⨯-， 0179354=⨯+⨯-⨯，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为{}9,2,1-， 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯∴直线与平面相交但不垂直.5、验证直线l ：21111-=-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 相交，并求出它的交点和交角. 解： 032111)1(2≠-=⨯-⨯+-⨯∴直线与平面相交.又直线的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y tx 211设交点处对应的参数为0t ，∴03)21()1()(2000=-+-++-⨯t t t ∴10-=t ，从而交点为（1，0，-1）.又设直线l 与平面π的交角为θ，则：21662111)1(2sin =⨯⨯-⨯+-⨯=θ，∴6πθ=.6、确定m l ,的值，使： （1）直线13241zy x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行； （2）直线⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=135422t z t y t x 与平面076=-++z my lx 垂直.解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：015334=⨯-⨯+l 即1l =-. （2）欲使所给直线与平面垂直，则须：3642=-=m l ，所以：8,4-==m l .7、求下列各平面的方程： （１）通过点)1,0,2(-p ，且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面； （２）通过直线115312-+=-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=--+=---052032z y x z y x 平行的平面； （３）通过直线223221-=-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面； （4）. 求过点(2,1,0)M 与直线2335x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩垂直的平面方程.解：（１）因为所求的平面过点)1,0,2(-p 和)2,0,1(-'p ，且它平行于向量{}3,1,2-，所以要求的平面方程为：03331212=--+-z y x , 即015=-++z y x .（２）已知直线的方向向量为{}{}{}2,1,11,2,13,1,5--⨯-=，∴平面方程为：2311510315x y z -++--=,即3250x y z +--= （３）所求平面的法向量为{}{}{}13,8,11,2,32,3,2-=-⨯-，∴平面的方程为： 0)2(13)2(8)1(=--+--z y x ，即09138=+--z y x .（4）.所求平面的法向量为{}2,3,1，则平面的方程为：2(2)3(1)(0)0x y z -+-+-=, 即 2370x y z ++-=.8、求点(4,1,2)M 在平面1x y z ++=上的投影.解： 过点(4,1,2)M 作已知平面的垂线，垂线的方向向量就是已知平面的法向量(1,1,1)，所以垂线方程为412111x y z ---==，此垂线与已知平面的交点即为所求投影.为了求投影，将垂线方程化为参数方程412x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，代入平面方程求得2t =-，故投影为(2,1,0)-. 9、求点)1,3,2(-p 到直线⎩⎨⎧=++-=++-0172230322z y x z y x 的距离.解：直线的标准方程为：2251211-+==-z y x 所以p 到直线的距离 1534532025)2(1212392292421243222222===-++-+--+-=d .10、设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上一点，且直线的方向向量为 ，试证：点0M 到直线L 的距离为d =.证：设0M M与L 的夹角为θ，一方面由于0sin d M M θ= ；另一方面，00sin M M s M M s θ⨯= ，所以d =.11、求通过平面0134=-+-z y x 和025=+-+z y x 的交线且满足下列条件之一的平面： （1）通过原点； （2）与y 轴平行；（3）与平面0352=-+-z y x 垂直. 解： （1）设所求的平面为：0)25()134(=+-++-+-z y x z y x λ 欲使平面通过原点，则须：021=+-λ，即21=λ，故所求的平面方程为 0)25()134(2=+-++-+-z y x z y x 即：0539=++z y x .（2）同（1）中所设，可求出51=λ.故所求的平面方程为 0)25()134(5=+-++-+-z y x z y x 即：031421=-+z x .（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面0352=-+-z y x 垂直，则须：0)3(5)51()4(2=-++--+λλλ从而3=λ，所以所求平面方程为05147=++y x .12、求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程．解：应用平面束的方法．设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束方程为0)1()1(=++-+--+z y x z y x λ即01)1()1()1(=-++-+-++λλλλz y x这平面与已知平面0=++z y x 垂直的条件是01)1(1)1(1)1(=⋅+-+⋅-+⋅+λλλ,解之得1-=λ代入平面束方程中得投影平面方程为10y z --=，所以投影直线为⎩⎨⎧=++=--001z y x z y .13、请用异于本章第五节例7的方法来推导点到平面的距离公式.证：设),,(0000z y x P 是平面π：0+++=Ax By Cz D 外的一点，下面我们来求点0P 到平面π的距离. 过0P 作平面π的垂线L ：000x x y y z z A B C---==，设L 与平面π的交点为(,,)P x y z ，则P 与0P 之间的距离即为所求.因为点(,,)P x y z 在L 上，所以000x x Aty y Bt z z Ct-=-=-=⎧⎪⎨⎪⎩，而(,,)P x y z 在平面π上，则000()()()0A x At B y Bt C z Ct D ++++++=000222Ax By Cz A B t DC ⇒=-+++++，故000222Ax By Cz Dd t A B C+++===++=.习 题 6—7飞机的速度：假设空气以每小时32公里的速度沿平行y 轴正向的方向流动，一架飞机在xoy 平面沿与x 轴正向成π6的方向飞行，若飞机相对于空气的速度是每小时840公里，问飞机相对于地面的速度是多少？解：如下图所示，设OA 为飞机相对于空气的速度，AB 为空气的流动速度，那么OB就是飞机相对于地面的速度.840cos 840sin 420,3266OA i j j AB j ππ=⋅+⋅=+=所以, 2452,856.45OB j OB =+=≈千米／小时.复习题A一 、判断正误:1、 若c b b a ⋅=⋅且≠0b ，则c a =； ( ⨯ )解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，k c =，有⋅=⋅=0a bbc ，但c a ≠．2、 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ )解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则k j i b a =⨯=⨯，k j i j c b =+-⨯=⨯)]([，c b b a ⨯=⨯，但c a ≠．3 、若0=⋅c a ，则=0a 或=0c ； ( ⨯ ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、 a b b a ⨯-=⨯． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．图6-1 空所流动与飞机飞行速度的关系二、选择题:1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ．解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．3 、在空间直角坐标系中，方程2221y x z --=所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．解析 对于曲面2221y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；(A)722=+y x ； (B)⎩⎨⎧==+5722z y x ； (C) ⎩⎨⎧==+0722z y x ；(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z解析 曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0722z y x ．5 、直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4-．解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ⋅=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行．三、填空题:1、若2=b a ，π()2= a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a 0 ；解 =⨯b a b a sin() a,bπ2=2，=⋅b a b a cos() a,bπ2=0．2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{66-±； 解 平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n =411++=6，所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{66-±．3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；解 已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有{20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得 05157=+--D Dz Dy ，即 057=-+z y ．4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为z yx -==20； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为z yx -==20 ．5、曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 ⎩⎨⎧==+.0,1222z y x解: 投影柱面为 1222=+y x ，故 ⎩⎨⎧==+0,1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、 已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ⨯； (b) ()()-⋅+2a b a b ； (c) 2b a -；解: (a) b a ⨯=211121-kj i1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ，所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=．(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2b a -10)19(2=+=．2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位向量．解: (1) }2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ；74926)3(222==++-=；(3) 21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos ,cos ,cos 777αβγ=-==；(4)k j i k j i 7276737263)(21++-=++-==P P．3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.解： 令{}1110,2,2111=⨯=-=-i j kc a b，01⎧==⎨⎩c c c ，故与a 、b都垂直的单位向量为0⎧±=±⎨⎩c .4、向量d垂直于向量]1,3,2[-=a和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，求向量d解： d垂直于a与b ，故d平行于b a⨯，存在数λ使()b a d⨯=λ⨯-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--=因6-=⋅c d，故6)7(1)7()1(72-=-⨯+-⨯-+⨯λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d.5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P ；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为π3． 解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为0241003211201210=---------z y x ，即01345=+--z y x ． 解2：}1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为k j i kj i n 452131113121--=--=⨯=P P P P ，又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即01345=+--z y x ．解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可．因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{0,320,A B C A B C +-=-+=解得A C AB 4,5-=-=，于是所求平面方程为 0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为π1cos 32=≠=，所以0≠B ），令C B C '=，则有0='+z C y ，由题设得 22222212)5(10121503cos ++'++⨯'+⨯+⨯=πC C ， 解得3='C 或13C '=-，于是所求平面方程为03=+z y 或03=-z y ．6、 一平面过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 且与平面01284=+--z y x 垂直，求该平面方程；解法1： 直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 在平面上，令x =0，得 54-=y ，z =4，则（0，-54，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为n =},,{C B A ，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 1n ={1，5，1}，2n ={1，0，-1}，则直线的方向向量s =1n ⨯2n =101151-kj i={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即⋅n s ={-5，2，-5}•},,{C B A =C B A 525-+-=0，因为所求平面与平面01284=+--z y x 垂直，则}8,4,1{},,{--⋅C B A =C B A 84--=0，解方程组{5250,480,A B C A B C -+=--= ⇒ 2,5,2A CBC =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所求平面方程为 0)4()54(25)0(2=-++---z C y C x C ，即012254=+-+z y x ．解法2： 用平面束（略）7、求既与两平面1:43x z π-=和2:251x y z π--=的交线平行，又过点(3,2,5)-的直线方程.解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =⨯=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为325431x y z +--==---，即325431x y z +--==. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为32543x y z p p p+--==，即325431x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ⋅++⋅--⋅-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为423025330x z x y z -+=⎧⎨--+=⎩．8、 一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线11231:+==-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；解： 设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为 p z n y m x 121-=-=-，联立121,①,②320,③x y z m n p x y z m n p ---⎧==⎪⎨==⎪++=⎩由①，令λ=-=-=-p z n y m x 121，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,1,2,1p z n y m x λλλ代入方程②有{12,11,m n m p λλλλ+=++=+可得p m =，代入③解得p n 2-=， 因此，所求直线方程为112211-=--=-z y x ．9、 指出下列方程表示的图形名称：(a) 14222=++z y x ；(b) z y x 222=+；(c) 22y x z +=；(d) 022=-y x ；(e) 122=-y x ； (f) ⎩⎨⎧=+=222z yx z ．解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面． (d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形． 解： 将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程122=+y x ，所以柱面与x O y 平面的交线⎩⎨⎧==+'01:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．复习题B1、设4=a ，3=b ， ()6π=a,b，求以2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.解：(2)(3)326A =+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯a b a b a a a b b a b b325=-⨯-⨯=-⨯a b a b a b 15sin()543302=⋅=⨯⨯⨯=a b a,b.2、设(3)(75)+⊥-a b a b ，(4)(72)-⊥-a b a b ，求 ()a,b. 解： 由已知可得：(3)(75)0+⋅-=a b a b ，(4)(72)0-⋅-=a b a b 即 22715160-+⋅=a b a b ，2278300+-⋅=a b a b ．这可看成是含三个变量a 、b 及⋅a b 的方程组，可将a 、b 都用⋅a b 表示，即==a b 1cos()22⋅⋅===⋅a b a b a,ba b a b ， ()3π=a,b .3、求与}3,2,1{-=a 共线，且28=⋅b a 的向量b ．解 由于b 与a 共线，所以可设}3,2,{λλλλ-==a b ，由28=⋅b a ，得28}3,2,{}3,2,1{=-⋅-λλλ， 即2894=++λλλ，所以2=λ，从而}6,4,2{-=b ．4、 已知}0,1,1{},2,0,1{=-=b a ，求c ，使b c a c ⊥⊥,且6=c ．解法1: 待定系数法．设},,{z y x =c ，则由题设知0,0=⋅=⋅b c a c 及6=c ，所以有①20②③6x z ⎧-=⎪= 由①得2xz = ④，由②得x y -= ⑤，将④和⑤代入③得62)(222=⎪⎭⎫⎝⎛+-+x x x ，解得2,4,4±==±=z y x ，于是 }2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ．解法2: 利用向量的垂直平行条件，因为b c a c ⊥⊥,，所以c ∥b a ⨯．设λ是不为零的常数，则k j i kj i b a c λλλλλ+-=-=⨯=22011201)(，因为6=c ，所以6]1)2(2[2222=+-+λ，解得2±=λ，所以}2,4,4{-=c 或{4,4,2}=--c ．解法3: 先求出与向量b a ⨯方向一致的单位向量，然后乘以6±．k j i kj i b a +-=-=⨯22011201，31)2(2222=+-+=⨯b a ，故与b a ⨯方向一致的单位向量为}1,2,2{31-．于是}1,2,2{36-±=c ，即}2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ．5、求曲线222x y R x y z ⎧+=⎨++=⎩的参数式方程.解： 曲线参数式方程是把曲线上任一点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 都用同一变量即参数表示出来，故可令cos ,sin x R t y R t ==，则(cos sin )z R t t =-+．6、求曲线22:2z L x y x⎧⎪=⎨+=⎪⎩xOy 面上及在zOx 面上的投影曲线的方程．解： 求L 在xOy 面上的投影的方程，即由L 的两个方程将z 消去，即得L 关于xOy 面的投影柱面的方程222x y x +=则L 在xOy 面上的投影曲线的方程为2220x y x z ⎧+=⎨=⎩． 同理求L 在zOx 面上的投影的方程，即由L 的两个方程消去y ，得L 关于zOx 面的投影柱面的方程z =L 在zOx面上的投影曲线方程为0z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩7、已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线1211:201x y z L ---==，求平面π的方程． 解法1： 设平面π的法向量为n ，直线1L 的方向向量1(2,0,1)=s ，由题意可知1⊥n s ，(2,1,1)M 是直线1L 上的一点,则0(1,1,2)M M = 在π上，所以0MM ⊥ n ,故可取10MM =⨯n s (1,3,2)=--．则所求平面的点法式方程为 1(1)3(0)2(1)0x y z ⋅-+⋅--⋅+=，即3230x y z +--=为所求平面方程．解法2： 设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意可知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+=, （1） 在直线1L 上任取两点12(2,1,1),(4,1,2)M M ，将其代入平面方程，得20A B C D +++=, （2） 420A B C D +++=, （3）由式（1）、（2）、（3）解得3,2,3B A C A D A ==-=-,故平面π的方程为3230x y z +--=.解法3： 设(),,M x y z 为π上任一点．由题意知向量0M M 、01M M和1s 共面，其中()12,1,1M 为直线1L 上的点，1(2,0,1)=s 为直线1L 的方向向量．因此0011()0M M M M ⨯⋅=s ，故平面π的方程为1012110110201x y z --+--+=，即3230x y z +--=为所求平面方程．8、求一过原点的平面π，使它与平面0:π4830x y z -+-=成4π角，且垂直于平面1:π730x z ++=． 解： 由题意可设π的方程为0Ax By Cz ++=，其法向量为(,,)A B C =n ，平面0π的法向量为0(1,4,8)=-n ，平面1π的法向量为1(7,0,1)=n ，由题意得00||cos 4||||π⋅=⋅n n n n ，即=（1） 由10⋅=n n ，得70A C +=，将7C A =-代入（1=解得20,B A =或10049B A =-，则所求平面π的方程为2070x y z +-= 或 491003430x y z --=．9、求过直线1L ：0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线2L ：23x y z ==的平面π的方程．解法1： 直线1L 的方向向量为1=s 111(4,1,3)213==---i j k，直线2L 的对称式方程为632x y z==，方向向量为2(6,3,2)=s ，依题意所求平面π的法向量1⊥n s 且2⊥n s ，故可取12=⨯n s s ，则413(7,26,18)632=--=-i j kn ，又因为1L 过原点，且1L 在平面π上，从而π也过原点，故所求平面π的方程为726180x y z -+=．解法2： 设所求平面π为 (23)0x y z x y z λ+++-+=，即(12)(1)(13)0x y z λλλ++-++=， 其法向量为(12,1,13)λλλ=+-+n ，由题意知2⊥n s ，故26(12)3(1)2(13)0λλλ⋅=++-++=n s ， 得1115λ=-，则所求平面π的方程为726180x y z -+=．另外，容易验证230x y z -+=不是所求的平面方程．10、求过直线L ：⎩⎨⎧=+-+=+-+0185017228z y x z y x 且与球面1222=++z y x 相切的平面方程解： 设所求平面为 ()018517228=+-+++-+z y x z y x λ，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，由题意：球心)0,0,0(到它的距离为1，即1)2()828()51(17222=--+++++λλλλ解得：89250-=λ 或 2-=λ 所求平面为：42124164387=--z y x 或 543=-y x11、求直线L ：11111--==-z y x 在平面π：012=-+-z y x 上投影直线0L 的方程，并求直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程.解： 将直线L ：11111--==-z y x 化为一般方程 ⎩⎨⎧=-+=--0101y z y x ，设过直线L 且与平面π垂直的平面方程为()011=-++--y z y x λ，则有02)1(1=+--λλ，即2λ=-，平面方程为0123=+--z y x ，这样直线0L 的方程⎩⎨⎧=-+-=+--0120123z y x z y x 把此方程化为：⎩⎨⎧--==)1(221y z yx ，因此直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程为：22221(2)(1)2x z y y ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭即 0124174222=-++-y z y x .。
高等数学：高等数学第六章自测题答案
《高等数学》单元自测题第六章 常微分方程专业 班级 姓名 学号一、填空题：1、微分方程212y x y -='的通解为 C x y +=2arcsin 。
2、微分方程y y x y ln sin ='满足初始条件e y x ==2π的特解为2tan x e y =。
3、微分方程0222=+-y dx dy dxy d 的通解为x x xe C e C y 21+=。
4、已知x y =1，xy 12=是微分方程0222=-'+''y y x y x 的解，则此方程的通解为 xC x C y 121+=。
二、选择题：1、下列微分方程中，通解为)2sin 2cos (21x C x C e y x +=的微分方程是（ B ）。
A.032=-'-''y y y ；B.052=+'-''y y y ；C.02=-'+''y y y ；D. 0136=+'+''y y y .2、微分方程x xe y y y 265=+'-''的特解形式（其中a ，b 为常数）为( A )。
A. ()x xe b ax y 2*+=；B. ()x e b ax y 2*+=；C. b e ax y x +=22*；D. b ae y x +=2*. 3、微分方程1+=-''x e y y 的特解形式（其中a ，b 为常数）为（ B ）A. b e a x +；B.b xe a x +；C. x b e a x+； D.x b xe a x +. 三、求解下列微分方程的通解：1、y dxdy x +=⋅1tan ； 解：根据可分离变量的方法，可解得方程的通解为1sin -=x C y 。
2、x yy y sin 1cos +='；解：根据可分离变量的方法，可解得方程的通解为()C x y +=+2sin 1ln .3、xy e dx dy x y +=； 解：令xy u =，可将原方程化为u e x dx du =，根据可分离变量可得 ()x C u ln ln --=， 从而解得通解为()x C x y ln ln --=。
高等代数第六章自测题
高等代数第六章自测题第六章 线性空间自测题一、选择题1． 设M 是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义σ(A )=|A |,A ∈M ，则σ是M 到R 的一个（ ）.A ．单射B ．满射C ．双射D ．既非单射也非满射2．把复数域C 看成R 上的线性空间，这个空间的维数是（ ）.A ．一维B ．二维C ． 三维D ．无限维3．R 是复数域，P 是任一数域，则集合R ∩P 对于通常的数的加法与乘法是（ ）.A ．C 上的线性空间B ．R 上的线性空间C ．Q 上的线性空间D ．不构成线性空间4．已知P 2的两组基：112(,)a a ε= ()212,b b ε=与()112,c c η=，()212,,d d η=则由基1ε、2ε1η到基、2η的过渡矩阵为（ ）.A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-221112211d c d c b a b a B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-221112211b a b a dcd c C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-212112121d d c c b b a a D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212112121b b a a d d c c5．全体正实数集集合R +中，加法与数乘定义为：a ⊕b=ab , k 。
a =a k ，其中a 、b ∈ R +，k ∈R ，则R +构成R 上的线性空间，它的维数与基为（ ）.A ．维数=0，没有基B ．维数=1，1是基C ．维数=1，2是基D ．维数=2，3、5是基6. 按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P 上线性空间的是（ ）.A．{}1n n W A P A A ⨯'=∈= B ．{}2n nW A P A ⨯=∈为上三角形矩阵C ．{}30n nW A P A ⨯=∈= D ．{}4n nW A PA A ⨯'=∈=-7. 数域P 上线性空间V 的维数为12,,,n r Vααα∈，，且V 中任意向量可由12,,,nααα线性表出，则下列结论成立的是（ ）.A ．n r =B ．n r ≤C ．n r < D ．n r > 8. 设1324[],[]W P x WP x ==，则=+)dim (21W W（ ）.A ．2B ．3C ．4D ．5 9. 已知{}R a a a a W ∈=)3,2,(在R 上构成线性空间，则W 的基为（ ）.A ．)3,2,1( B ．),,(a a a C ．)3,2,(a a aD ．)3,0,0()0,2,0()0,0,1(10. 若21,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等式成立的是（ ）.A ．21211)(W W W W W =+ B ．21211)(W W W W W +=+C ．1211)(W W W W=+ D ．2211)(W W W W=+11．已知123(,,)x x x α'=，下列集合中是3R 的子空间的为（ ）.A ． {}30xα≥ B ．{}123230x xx α++= C ．{}31x α=D ．{}123231x xx α++=12．下列集合有（ ）个是nR 的子空间. 11212{(,,)|,0}n i n w x x x x R x x x =∈+++=；21212{(,,)|,}n i n w x x x x R x x x =∈===；3{(,,,,,,)|,}w a b a b a b a b R =∈；412{(,,)|}n i wx x x x =为整数；A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个13. 设123123,,,,αααβββ与都是三维向量空间V 的基，且112123123,,βαβααβααα==+=++，则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001011P 是由基123,,ααα到（ ）的过渡矩阵.A ．213,,βββ B ．12,3,βββ C ．231,,βββD ．321,,βββ二、判断题1．设V 是n 维线性空间， 12nVααα∈，，，，且V 中的每一个向量均可由它们线性表示，则12n ααα，，，V 是的一组基. （ √ ）2．1α=（1，1，1），2α=（1，-1，1），3α=（-1，1，1）是三维空间R 3的一组基.（ √ ） 3．若V 1,V 2为有限维线性空间V 的子空间，则V 1⋃V 2也是V 的子空间. （ × ） 4．设1234αααα，，，是线性空间V 的一组线性无关向量，则L （1234αααα，，，）=L （1α，2α）⊕ L （3α，4α）.（ √ ）5．设V 1、V 2、V 3是线性空间V 的三个子空间，且V 1∩V 2={}0，V 2∩V 3={}0，V 1∩V 3={}0，则和V 1+V 2+V 3是直和. （ × ） 6. nR 中的子集{}1,1,(0,...0,)n n a a a a R∈，为子空间.（ √ ）7.nR中的子集{}1,21(,...,)1nnii i a a a aa R ==∈∑，为子空间.（ × ） 8.nR中的子集{}1,21(,...,)0nn i i a a a a ==∑为子空间.（ √ ） 9. 3R 的向量123(3,1,4),(2,5,1),(4,3,7)ααα==-=-线性相关.（ × ）10. 3R 的向量123(1,2,3),(2,1,0),(1,7,9)ααα=-==-线性相关.（ √ ） 11. 3R 的向量123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)ααα===的线性相关.（ × ）12. 设12,W W 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的和12+W W 也是V 的一个子空间.（√ ）13. 设12,W W 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交12WW 也是V 的一个子空间.（√）14. 设12,W W 都是数域P 上的线性空间V 的有限维子空间，那么12W W +也是有限维的，并且121212dim()dim()dim()dim()W W W W W W +=+-.（ √ ） 三、填空题1．设 则是一双射,:M M '→σσσ-1= . 2．设V 是三维线性空间，则V 的二维子空间有 无数 个.3．设有P 2的一组基()()121,2,0,1ηη=-=，则向量α=（a ，b ）在这组基下的坐标为 . 4. 1α=（1，2，3），2α=（3，-1，2），3α=（2，3，x ）, 则x = 5 时，1α、2α、3α线性相关.5．向量组1α=（1，0，0），2α=（0，1，0），3α=（3，-1，0）的极大无关组是 . 6. 向量空间V 的基12,nααα，，到基11,,,nn ααα-,的过渡矩阵为 .7. 复数域作为实数域上的向量空间，则dim =,它的一个基为 . 复数域作为复数域上的向量空间，则dim=,它的一个基为 .8. 设12{,,,}n ααα是向量空间V 的一个基，由该基到21{,,,}n ααα的过渡矩阵为.9. 设V 与W 都是P 上的两个有限维线性空间，则⇔≅W V .10. 数域P 上任一n 维向量空间都与nP .（不同构，同构）11. 任一有限维的向量空间的基是 的，但任两个基所含向量个数是 . 12. 令S 是数域P 上一切满足条件A A '=的n 阶矩阵A所成的线性空间，则S dim = . 13. 令S 是数域P 上一切满足条件A A '=-的n 阶矩阵A所成的线性空间，则S dim = .14. 令S 是数域P 上一切n 阶上三角形矩阵所成的线性空间，则S dim = .四、简答题1．证明：x 2+x ，x 2-x ，x +1是线性空间R [x ]3的一组基，并求2x 2+7 x +3在这组基下的坐标. 2. 证明：22{,,1}x xx x ++是3[]C x 的一个基，并求多项式12++x x 与122--x x在该基下的坐标. 3. 已知123(1,1,1),(1,1,2),(1,2,3)ξξξ===,(6,9,14)α=，求α在基123,,ξξξ下的坐标.4. 已知()()()1231,1,1,1,2,4,1,3,9ε=ε=ε=是线性空间3P 的一组基，求向量()1,1,3ξ=在基123,,εεε下的坐标.5．设有P 4的两个子空间，(){}02,02,,,312143211=+=+=x x x x x x x x W ，(){}02,,,32143212=-+=x x x x x x x W ，求2121W WW W +⋂与的基与维数. 6．设12(1,2,1,0),(1,1,1,1),αα==-1(2,1,0,1),β=-2(1,1,3,7)β=，112212(,),(,)W L W L ααββ==，求)dim (21W W+及)dim (21W W.7．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A(1) 证明：22P ⨯中与可以交换的矩阵集合W 是22P ⨯的子空间；(2) 求W 的基和维数； (3) 写出W 中矩阵的一般形式. 8．设n nA P ⨯∈(1)证明：全体与A 可交换的矩阵组成n nP ⨯的一子空间，记作()C A ; (2)当A =E 时，求()C A ; (3)当100002000A n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，求()C A 的维数与一组基.9．设U 与W 分别 n 阶对称集合与n 阶反对称集合构成的n nP ⨯的子空间，证明：n nP ⨯ =U ⊕W .10．已知n nP ⨯的两个子空间{}1n n V A P A A ⨯'=∈=，{}2n n V A P A A ⨯'=∈=-，证明：12n nPV V ⨯=⊕．11．在线性空间4P 中，求由线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+0111353033304523432143214321x x x x x x x x x x x x 所确定的4P 的子空间W 的一组基和维数. 12. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--032030432143214321x x x x x x x x x x x x 解空间的一组基与维数.13. 求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202232143214321x x x x x x x x x x x x 解空间的一组基与维数.14. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+=-+-0793083032054321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解空间的一组基与维数.15．设在线性空间4R 中，有向量组1(2,2,2,2)α=， 2(0,2,2,2)α=，3(0,0,2,2)α=,4(4,2,0,0)α=，求1234(,,,)L αααα的一组基与维数.16. 已知向量组1β=(1,1,0,-1), 2β=(1,2,3,4)，3β=(1,2,1,1)，4β=(2,4,2,2)，试求它们的生成子空间L (1β, 2β, 3β, 4β)的维数和一组基.17. 考虑3R 中以下两组向量 123{(3,1,2),(1,1,1),(2,3,1)}ααα=--=-=-；123{(1,1,1),(1,2,3),(2,0,1)}βββ===，（1）证明123{,,}ααα和123{,,}βββ都是3R 的基；（2）并求出由基123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵.18. 已知3R 中的两向量组123(1,0,1)(2,1,1)(1,1,1)ααα=-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ，123(0,1,1)(1,1,0)(1,2,1)βββ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩（1）证明它们都是3R 的基；（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵；（3）如果ξ在基123{,,}βββ下的坐标为（3，1，2），求ξ在基123{,,}ααα下的坐标.19．设3中的两组基分别为()11,0,1α=,()20,1,0α=，()31,2,2α=,()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1βββ===.（1）求由基123123,,,,αααβββ到基。
高等代数 第六章 特征值
第六章 特征值习题精解1.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩阵为:1)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543 2)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00a a 3)A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111111111111111 4)A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121101365 5)A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 6)A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---031302120 7)A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----284014013解 1)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A,且A 的特征多项式为A E -λ=2543----λλ=2λ-5λ-14=(7-λ)(2+λ)故A 的特征值为7,-2. 先求属于特征值λ=7的特征向量.解方程组⎩⎨⎧=+-=-0550442121x x x x它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛11,因此A 的属于特征值7的全部特征向量为k 1ξ (k 0≠),其中1ξ=1ε+2ε再解方程组⎩⎨⎧=--=--0450452121x x x x它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-54,因此A 的属于特征值-2的全部特征响向量为k 2ξ(k 0≠), 其中2ξ=41ε-52ε2)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A,且当a=0时,有A=0.所以A E -λ=λλ00=2λ 故A 的特征值为1λ=2λ=0 解方程组⎩⎨⎧=+=+0000002121x x x x它的基础解系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪⎪⎭⎫⎝⎛10因此A 的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1ξ=1ε,2ξ=2ε,故A 以V 的任一非零向量为其特征向量. 当a ≠0时A E -λ=λλa a -=2λ+a 2=(ai +λ)(ai -λ)故A 的特征值为1λ=ai 2λ= -ai当1λ=ai 时,方程组⎩⎨⎧=+=-002121aix ax ax aix 的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1i ,故A 的属于特征值ai 的全部特征向量为k 1ξ(k 0≠),其中1ξ=-1εi +2ε 当2λ= -ai方程组⎩⎨⎧=-=--02121aix ax ax aix 的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1i ,故A 的属于特征值-ai 的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠),其中2ξ=1εi +2ε3)设A 在 给定基1ε,2ε,3ε,4ε下的矩阵为A 因为AE -λ=(2-λ)3(2+λ)故A 的特征值为1λ=2λ=2,243-==λλ当2=λ时,相应特征方程组的基础解系为X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,0101,0011321X X故A 的属于特征值2的全部特征向量为 11εk +k22ξ+k33ε (k 321,,k k 不全为零),其中1ξ=1ε+2ε,2ξ=1ε+3ε,3ξ=1ε+4ε当2-=λ时,特征方程组的基础解系为X =4⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111故A 的属于特征值-2的全部特征向量为 k 4ξ (k 0≠),其中4ξ=1ε-2ε-43εε-4)设A,在给定基321,,εεε下的矩阵为 A.因A E -λ==+-----12111365λλλ43-λ422++λλ=(2-λ)(31--λ)(31+-λ) 故A 的特征值为1λ=2,2λ=1+,3=3λ1-,3当1λ=2时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+=+--032020363321321321x x x x x x x x x的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-012故A 的属于特征值2的全部特征向量为 k 1ξ (k 0≠),其中1ξ=12ε-2ε当λ=1+3时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++=+-+-0)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3213故A 的属于特征值1+3的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠),其中2ξ=13ε-2ε+(23-)3ε当λ=1-3时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=--+=+---0)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-3213故A 的属于特征值13-的全部特征向量为 k 3ξ (k 0≠),其中3ξ=13ε-2ε+(23+)3ε5) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A.因A E -λ=λλλ101010---=(1-λ)2(1+λ)故A 的特征值为1,1321-===λλλ当121==λλ,方程组⎩⎨⎧=+-=-003131x x x x 的基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛故A 的属于特征值1的全部特征向量为),,(212211不全为零k k k k ξξ+,其中311εεξ+=,22εξ=当13-=λ时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--002031231x x x x x 的基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-故A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0(3≠k k ξ,其中313εεξ-=6)设A在给定基321,,εεε下的矩阵为 A.因A E -λ==---λλλ313212)14(2+λλ=)14)(14(i i +-λλλ故A 的特征值为i i 14,14,0321-===λλλ当01=λ时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=--0303202213132x x x x x x 的基础解系为,213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-故A 的属于特征值0的全部特征向量为)0(1≠k k ξ,其中321123εεεξ+-=当i 142=λ时,该特征方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+101432146ii,故A 的属于特征值i 14的全部特征向量为)0(2≠k k ξ,其中321210)1432()146(εεεξ-+-++=i i当i 14-=λ时,该特征方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----101432146ii ,故A 的属于特征值i 14-的全部特征向量为)0(3≠k k ξ,其中321310)1432()146(εεεξ---+-=i i 7) 设A在给定基321,,εεε下的矩阵为A.因A E -λ=28401413+-+--λλλ=(1-λ)2(2+λ) 故A 的特征值为2,1321-===λλλ当121==λλ,该特征方程组的基础解系为,2063⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-故A 的属于特征值1的全部特征向量为)0(1≠k k ξ,其中32112063εεεξ+-=当23-=λ,该特征方程组的基础解系为,100⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛故A 的属于特征值-2的全部特征向量为)0(2≠k k ξ,其中32εξ=2.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下,写出相应的基变换的过度矩阵T,并验算T1-AT.解 已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是必有n 个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T. 1) 因为(21,εε)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5141 所以过渡矩阵T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5141 2) 且T 1-AT=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-91919495⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2007.,0)2已是对角型时当=a⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=≠11),(),(,02121i i a εεξξ有时当即过渡矩阵 T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11i i且 T 1-AT=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ai ai i i a a i i0011002122123)因为 (4321,,,ξξξξ)=(4321,,,εεεε)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100101010011111即过渡矩阵 T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100101010011111 且 T 1-AT=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2222 4)因为 (),,321ξξξ=(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----32320111332),,321εεε即过渡矩阵T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----32320111332且 T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-313121AT 5)因为 (),,321ξξξ=(321,,εεε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010101即过渡矩阵 T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-10001000110101010100101010021021010210211AT T 且6)因为 (⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+---+=101021432143211461463),,(),,321321i i i i εεεξξξ即过渡矩阵为 T=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+---+101021432143211461463i i i i且T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-i i AT 1400014013.在P[x]n (n>1)中,求微分变换D 的特征多项式,并证明,D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵.解 取P[x]n 的一组基1,x,,)!1(,...,212--n x x n 则D 在此基下的矩阵为D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0 (00)01...000...............0...1000 (010)从而n D E λλλλλ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-...0001 (00)0...............0...100 01 故D 的特征值是n (0=λ重),且D 的属于特征值0的特征向量ξ只能是非零常数.从而线性无关的特征向量个数是1,它小于空间的维数n,故D 在任一组基下的矩阵都不可能是对角形.4.设 A=,340430241⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-求A .k解:因为=---+---=-34430241λλλλA E ()5)(5)(1+--λλλ故A 的特征值为5,5,1321-===λλλ且A 的属于特征值1的一个特征向量为X '1)0,0,1(= A 的属于特征值5的一个特征向量为 X '2)2,1,2(= A 的属于特征值-5 的一个特征向量为X '3)1,2,1(-=于是只要记 T=(X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=120210121),,321X X则 T B AT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-5000500011且 B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k kk )5(00050001 于是A ==-1TTB k k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5152052510101)5(00050001120210121k k =[][][][][][]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅--+⋅-+⋅⋅-+-+---+-k K k k k k k k k k k k )1(45)1(1520)1(152)1(41501)1(45)1(15211111111115.设εεε,,2143,ε是四维线性空间V 的一个基,线性变换A 在这组基下的矩阵为A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=7113102529213231334251) 求A 的基432112εεεεη+++=321232εεεη++=33εη=44εη=下的矩阵;2) 求A 的特征值与特征向量; 3) 求一可逆矩阵T,使TAT 1-成对角形.解 1)由已知得(X ),,,(10010*******0021),,,(),,,432143214321εεεεεεεεηηηη=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 故求得A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为B=X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-2500232700450056001AX 2) A 的特征多项式为=)(λf )1)(21(2--=-=-λλλλλB E A E所以A 的特征值为1,21,04321====λλλλ A 的属于特征值0=λ的全部特征向量为2211ξξk k +，其中21,k k 不全为零，且21=ξ,3321εεε++4212εεεξ+--=，A 的属于特征值21=λ的全部特征向量为33ξk ，其中 03≠k ，且321324εεεξ+--=+64εA 的属于特征值1=λ的全部特征向量为44ξk ,其中04≠k ，且4321423εεεεξ-++=3）因为（⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2610110112133412),,,(),,,43214321εεεεξξξξ所求可逆阵为 T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2610110112133412 且 T ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121001AT 为对角矩阵.6.1)设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值,21,εε是分别属于21,λλ的特征向量,证明:21εε+不是A 的特征向量;2)证明:如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量,那么A 是数乘变换.证 1)由题设,知A 111)(ελε=, A 222)(ελε=, 且21λλ≠若21εε+是A 的特征向量，则存在0≠λ使 A （21εε+）=)(21εελ+=21λελε+ A （21εε+）=2211ελελ+=21λελε+ 即 0)()(2211=-+-ελλελλ再由21,εε的线性无关性，知021=-=-λλλλ，即21λλλ==，这是不可能的。
高数(上)第五、六章单元测试
--------------------------------------------装-----------------------------------订-------------------------------------线---------------------------------------------------------
C
d f ( x)dx f ( x)dx D dx
）
10、列命题中正确的是（
） （其中 f ( x) ， g ( x) 均为连续函数） 。
b
班级
4、设 f (x) 在 , 上有连续的导数，则下面等式成立的是（
f ( x)dx A.在 [a, b] 上若 f ( x) g ( x) ，则 a
I1 I 2
e 1
B
I1 I 2
） C
I1 I 2
I1 I 2
D
3、下列等式中正确的是（
）
ln xdx （
0 B 1
A
d f ( x)dx f ( x) d f ( x)dx f ( x)dx
B
d f ( x)dx f ( x) C dx
A
e
D
e 1
《高等数学》第五、六章单元测试
题号 得分 一 二 三 总分
ln 3 dx （ 5、
x ln
A
x
） 。
x 3x c 3
x xc 3
2
x ln
B
x 9x c 3
排课编号
x ln
C 6、 （ ） A
x ln
x x c 3 3
一、单选题（每题 2 分，共 30 分） 。
六章综合测试题及答案高一
六章综合测试题及答案高一一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于函数f(x)=x^2-4x+3的图像，说法正确的是（）。
A. 函数图像开口向上B. 函数图像开口向下C. 函数图像关于x轴对称D. 函数图像关于y轴对称2. 已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2-3x+2，下列关于f(x)和g(x)的复合函数，说法正确的是（）。
A. (f∘g)(x)=2x^2-5x+5B. (g∘f)(x)=x^2C. (f∘g)(x)=2x^2-7x+5D. (g∘f)(x)=x^2-x3. 函数y=x^3-3x的导数是（）。
A. y'=3x^2-3B. y'=3x^2+3C. y'=x^2-3D. y'=x^3-34. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 函数f(x)=|x|的值域是（）。
A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 0)∪(0, +∞)6. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点是（）。
A. x=2B. x=-1C. x=1D. x=37. 函数f(x)=x^3-3x的二阶导数是（）。
A. y''=6xB. y''=6x+3C. y''=6x-3D. y''=6x^28. 函数f(x)=|x|在x=0处的连续性是（）。
A. 连续B. 间断C. 可导D. 不可导9. 函数f(x)=x^2-4x+3的单调递增区间是（）。
A. (-∞, 2)B. (2, +∞)C. (-∞, 1)D. (1, +∞)10. 函数f(x)=x^3-3x的拐点是（）。
A. x=0B. x=1C. x=-1D. x=2二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值是_________。
12. 函数f(x)=|x|在x=0处的导数是_________。
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高等代数第六章自测题第六章 线性空间自测题一、选择题1． 设M 是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义σ(A )=|A |,A ∈M ，则σ是M 到R 的一个（ ）.A ．单射B ．满射C ．双射D ．既非单射也非满射2．把复数域C 看成R 上的线性空间，这个空间的维数是（ ）.A ．一维B ．二维C ． 三维D ．无限维3．R 是复数域，P 是任一数域，则集合R ∩P 对于通常的数的加法与乘法是（ ）.A ．C 上的线性空间B ．R 上的线性空间C ．Q 上的线性空间D ．不构成线性空间4．已知P 2的两组基：112(,)a a ε=r()212,b b ε=r 与()112,c c η=r，()212,,d d η=r则由基1εr 、2εr 1ηr 到基、2ηr 的过渡矩阵为（ ）.A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-221112211d c d c b a b a B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-221112211b a b a dcd c C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-212112121d d c c b b a a D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212112121b b a a d d c c5．全体正实数集集合R +中，加法与数乘定义为：a ⊕b=ab , k 。
a =a k ，其中a 、b ∈ R +，k ∈R ，则R +构成R 上的线性空间，它的维数与基为（ ）.A ．维数=0，没有基B ．维数=1，1是基C ．维数=1，2是基D ．维数=2，3、5是基6. 按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P 上线性空间的是（ ）.A．{}1n n W A P A A ⨯'=∈= B ．{}2n nW A P A ⨯=∈为上三角形矩阵C ．{}30n nW A P A ⨯=∈= D ．{}4n nW A PA A ⨯'=∈=-7. 数域P 上线性空间V 的维数为12,,,nr Vααα∈r r r L ，，且V 中任意向量可由12,,,nαααr rrL 线性表出，则下列结论成立的是（ ）.A ．n r =B ．n r ≤C ．n r < D ．n r > 8. 设1324[],[]W P x WP x ==，则=+)dim (21W W（ ）.A ．2B ．3C ．4D ．5 9. 已知{}R a a a a W ∈=)3,2,(在R 上构成线性空间，则W 的基为（ ）.A ．)3,2,1( B ．),,(a a a C ．)3,2,(a a aD ．)3,0,0()0,2,0()0,0,1(10. 若21,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等式成立的是（ ）.A ．21211)(W W W W W I I =+ B ．21211)(W W W W W +=+IC ．1211)(W W W W=+I D ．2211)(W W W W=+I11．已知123(,,)x x x α'=r，下列集合中是3R 的子空间的为（ ）.A ． {}30xα≥rB ．{}123230x xx α++=rC ．{}31x α=rD ．{}123231x xx α++=r12．下列集合有（ ）个是nR 的子空间. 11212{(,,)|,0}nin w x x x x R x xx =∈+++=L L ；21212{(,,)|,}n i n w x x x x R x x x =∈===L L ；3{(,,,,,,)|,}w a b a b a b a b R =∈L ；412{(,,)|}n i wx x x x =L 为整数；A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个 13. 设123123,,,,αααβββr r r r r r与都是三维向量空间V 的基，且112123123,,βαβααβααα==+=++rr r r r r r r r，则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001011P 是由基123,,αααr r r到（ ）的过渡矩阵. A ．213,,βββr r r B ．12,3,βββr r r C ．231,,βββr r rD ．321,,βββr r r二、判断题1．设V 是n 维线性空间， 12nVααα∈r r rL ，，，，且V 中的每一个向量均可由它们线性表示，则12n αααr r rL ，，，V 是的一组基. （ √ ）2．1α=r （1，1，1），2αr =（1，-1，1），3αr=（-1，1，1）是三维空间R 3的一组基.（ √ ） 3．若V 1,V 2为有限维线性空间V 的子空间，则V 1⋃V 2也是V 的子空间. （ × ）4．设1234ααααr r r r，，，是线性空间V 的一组线性无关向量，则L （1234ααααr r r r ，，，）=L （1αr ，2αr ）⊕ L （3αr ，4αr）. （ √ ）5．设V 1、V 2、V 3是线性空间V 的三个子空间，且V 1∩V 2={}0，V 2∩V 3={}0，V 1∩V 3={}0，则和V 1+V 2+V 3是直和. （ × ） 6. nR 中的子集{}1,1,(0,...0,)n n a a a a R∈，为子空间.（ √ ）7.nR中的子集{}1,21(,...,)1nnii i a a a aa R ==∈∑，为子空间.（ × ） 8.nR中的子集{}1,21(,...,)0nn i i a a a a ==∑为子空间.（ √ ）9. 3R 的向量123(3,1,4),(2,5,1),(4,3,7)ααα==-=-rr r线性相关.（ × ）10. 3R 的向量123(1,2,3),(2,1,0),(1,7,9)ααα=-==-rr r线性相关.（ √ ）11. 3R 的向量123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)ααα===rr r的线性相关.（ × ）12. 设12,W W 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的和12+W W 也是V 的一个子空间.（√ ）13. 设12,W W 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交12W W I 也是V 的一个子空间.（√）14. 设12,W W 都是数域P 上的线性空间V 的有限维子空间，那么12W W +也是有限维的，并且121212dim()dim()dim()dim()W W W W W W +=+-I .（ √ ）三、填空题1．设 则是一双射,:M M '→σσσ-1= . 2．设V 是三维线性空间，则V 的二维子空间有 无数 个.3．设有P 2的一组基()()121,2,0,1ηη=-=r r，则向量αr=（a ，b ）在这组基下的坐标为 .4. 1α=r （1，2，3），2αr =（3，-1，2），3αr=（2，3，x ）, 则x = 5 时，1αr 、2αr 、3αr 线性相关.5．向量组1α=r （1，0，0），2αr =（0，1，0），3αr=（3，-1，0）的极大无关组是 .6. 向量空间V 的基12,nαααr r r L ，，到基11,,,nn ααα-r rrL ,的过渡矩阵为 .7. 复数域C1作为实数域R 上的向量空间，则dim =C ,它的一个基为 . 复数域C 作为复数域C 上的向量空间，则dim =C ,它的一个基为 .8. 设12{,,,}nαααr r rL 是向量空间V 的一个基，由该基到21{,,,}n αααr r r L 的过渡矩阵为.9. 设V 与W 都是P 上的两个有限维线性空间，则⇔≅W V .10. 数域P 上任一n 维向量空间都与nP .（不同构，同构）11. 任一有限维的向量空间的基是 的，但任两个基所含向量个数是 . 12. 令S 是数域P 上一切满足条件A A '=的n 阶矩阵A所成的线性空间，则S dim = . 13. 令S 是数域P 上一切满足条件A A '=-的n 阶矩阵A所成的线性空间，则S dim = .14. 令S 是数域P 上一切n 阶上三角形矩阵所成的线性空间，则S dim = .四、简答题1．证明：x 2+x ，x 2-x ，x +1是线性空间R [x ]3的一组基，并求2x 2+7 x +3在这组基下的坐标. 2. 证明：22{,,1}x xx x ++是3[]C x 的一个基，并求多项式12++x x 与122--x x在该基下的坐标. 3. 已知123(1,1,1),(1,1,2),(1,2,3)ξξξ===rrr,(6,9,14)α=r ，求αr 在基123,,ξξξr r r下的坐标.4. 已知()()()1231,1,1,1,2,4,1,3,9ε=ε=ε=r rr是线性空间3P 的一组基， 求向量()1,1,3ξ=r在基123,,εεεr r r下的坐标.5．设有P 4的两个子空间，(){}02,02,,,312143211=+=+=x x x x x x x x W ，(){}02,,,32143212=-+=x x x x x x x W ，求2121W WW W +⋂与的基与维数. 6．设12(1,2,1,0),(1,1,1,1),αα==-rr1(2,1,0,1),β=-r2(1,1,3,7)β=r，112212(,),(,)W L W L ααββ==r r r r，求)dim (21W W+及)dim (21W WI .7．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A(1) 证明：22P ⨯中与可以交换的矩阵集合W 是22P ⨯的子空间；(2) 求W 的基和维数； (3) 写出W 中矩阵的一般形式. 8．设n nA P ⨯∈(1)证明：全体与A 可交换的矩阵组成n nP ⨯的一子空间，记作()C A ; (2)当A =E 时，求()C A ; (3)当10000200000A n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L时，求()C A 的维数与一组基.9．设U 与W 分别 n 阶对称集合与n 阶反对称集合构成的n nP ⨯的子空间，证明：n nP ⨯ =U ⊕W .10．已知n nP ⨯的两个子空间{}1n n V A P A A ⨯'=∈=，{}2n n V A P A A ⨯'=∈=-，证明：12n nPV V ⨯=⊕．11．在线性空间4P 中，求由线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+0111353033304523432143214321x x x x x x x x x x x x 所确定的4P 的子空间W 的一组基和维数. 12. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--032030432143214321x x x x x x x x x x x x 解空间的一组基与维数.13. 求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202232143214321x x x x x x x x x x x x 解空间的一组基与维数.14. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+=-+-0793083032054321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解空间的一组基与维数.15．设在线性空间4R 中，有向量组1(2,2,2,2)α=r， 2(0,2,2,2)α=r ，3(0,0,2,2)α=r,4(4,2,0,0)α=r ，求1234(,,,)L ααααr r r r的一组基与维数.16. 已知向量组1βr =(1,1,0,-1), 2βr=(1,2,3,4)，3βr =(1,2,1,1)，4βr=(2,4,2,2)，试求它们的生成子空间L (1βr , 2βr , 3βr , 4βr)的维数和一组基.17. 考虑3R 中以下两组向量 123{(3,1,2),(1,1,1),(2,3,1)}ααα=--=-=-r r r；123{(1,1,1),(1,2,3),(2,0,1)}βββ===r r r，（1）证明123{,,}αααr r r和123{,,}βββr r r 都是3R 的基；（2）并求出由基123{,,}αααr r r到123{,,}βββr r r 的过渡矩阵.18. 已知3R 中的两向量组123(1,0,1)(2,1,1)(1,1,1)ααα=-⎧⎪=⎨⎪=⎩r rr ，123(0,1,1)(1,1,0)(1,2,1)βββ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩rrr（1）证明它们都是3R 的基；（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵； （3）如果ξr在基123{,,}βββr r r下的坐标为（3，1，2），求ξr在基123{,,}αααr r r下的坐标. 19．设3R 中的两组基分别为()11,0,1α=r,()20,1,0α=r，()31,2,2α=r,()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1βββ===r r r.（1）求由基123123,,,,αααβββr r r r r r到基的过渡矩阵；（2）已知向量γr 在基123,,αααr r r 下的坐标为()1,3,0，求γr 在基123,,βββr r r下的坐标.。