b样条曲线

t ti t ik 1 t i
Ni,k1 (t)
tik t tik ti1
Ni1,k1 (t),
k 2
该递推公式表明：欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t)，需要用 ti ,ti+1 ,…ti+k 共k+1个节点，称区间[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间。
曲线方程中，n+1个控制顶点Pi (i=0,1,…n) 要用到n+1个k阶B样条 基 Ni,k(t) 。 支 撑 区 间 的 并 集 定 义 了 这 一 组 B 样 条 基 的 节 点 矢 量 T=[t0 ,t1 ,…tn+k ]。
Ni 1,k 1(t )
其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的k阶多项式，这个多项式 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 分k个部分，即ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k-1<=t<ti+k, 每个区间对应一段k阶多项式。在t的其余区间为0。
3.3.2 B样条曲线的性质
1. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为 t [ti , ti1] 的一点P(t)至多与k个控制顶点
Pj(j=i-k+1,…i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控 制顶
点Pi至多影响到定义在区间(ti,ti+k) 上那部分曲线的形状, 对曲线的 其余
1 Ni,1(t) 0
ti t ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
tik t tik ti1
Ni1,k 1(t)
and t0, t1 , , tk1, tk , , tn , tn1, , tnk1, tnk
0 0 0
3.3.1 B样条的递推定义和性质
4. B样条曲线类型的划分
假定控制多边形的顶点为Pi(i=0,1…,n),阶数为k(次数为k-1)，则节 点矢量是T=[t0,t1,…,tn+k]。B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况， 可划分为4种类型：
均匀B样条曲线 节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度
Δi=ti+1-ti=常数>0(i=0,1,…n+k-1)。这样的节点矢量定义了均匀的B样条 基。例如:T=(0,1,2,3,4,5,6,7)
图3.1.24 准均匀三次B样条曲线
3.3.1 B样条的递推定义和性质
4. B样条曲线类型的划分
分段Bezier曲线 节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这
样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立 性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲 线段的形状没有影响。例如:T=(0,0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,4)
B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定 的k阶分段多项式，也即为k阶（k-1次)多项式样条。
3.3.1 B样条的递推定义和性质
2. B样条定义
de Boor-Cox递推定义：
1 Ni,1(t) 0
ti t ti1 t ti 或 t ti1
，
k=1
约定：
0 0
0
Ni,k (t)
1）逼近特征多边形的精度更高. 2）多边形的边数与基函数的次数无关。 3）具有局部修改性.
3.3.1 B样条的递推定义和性质
2. B样条定义
设有控制顶点P0,P1,…,Pn,则k阶(k-1次)B样条曲线的数学表达式为:
n
P(t)
Pi Ni,k (t)
i0
其中Ni,k(t)是k-1次B样条曲线的基函数，也称Ｂ样条分段混合函 数，其中每一个称为B样条。
N2,3 (t)
1 2
(t
2)(4
t)
1 2
(t
3)(5
t)
1 2
(5
t
)2
2t3 3 t 4 4t5
3.3.1 B样条的递推定义和性质
Bk,3(t)
1
B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t)
1
2
3
4
5
t
图8-11 四均段匀二2次次(B三样阶条)均匀B样条基函数
3.3.1 B样条的递推定义和性质
3.3.1 B样条的递推定义和性质
4. B样条曲线类型的划分
准均匀B样条曲线 与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k，这样的节点
矢量定义了准均匀的B样条基。 均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲
线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲 线解决了这个问题。例如:T=(0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,7,7)
例如：
t k1 多项式1
Ni,k
(t
)
tkΒιβλιοθήκη 1多项式2......
t k1 多项式k
ti t ti 1 ti 1 t ti 2
ti k 1 t ti k
例如：N2,3是控制点P2的3阶调和函数，在区间2<=t<5内分为3段，每 一段的3阶多项式都不同。
1 2
(t
2) 2
3.3.1 B样条的递推定义和性质
4. B样条曲线类型的划分
非均匀Bezier曲线 任意分布的节点矢量 T=[t0,t1,…,tn+k]，只要在数学上成立（节点
序列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。这 样的节点矢量定义了非均匀B样条基。例如:T=(0,0,2,2,3,5,8,11,16)
B样条曲线
3.3.1 B样条曲线的定义和性质
1. B样条曲线的引入
Bezier曲线是通过逼近特征多边形而获得曲线的，存在的不足是： 1）缺乏局部修改性, 即改变某一控制点对整个曲线都有影响. 2）n较大时，特征多边形的边数较多,对曲线的控制减弱。 3）幂次过高难于修改。
1972 年 ， Riesenfeld 等 提 出 了 B 样 条 曲 线 。 用 B 样 条 基 函 数 代 替 Bernstein基函数；
3. B样条的性质
(1) 局部支撑性
Ni,k (t) 0, Ni,k (t) 0,
t [ti , tik ] t [ti , tik ]
(2) 权性
n
Ni,k (t) 1
i0
(3) 微分公式
t [t k 1 , tn1 ]
Ni,k (t)
k 1 tik1 ti
Ni,k1(t) -
k 1 tik ti1