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2019高考数学压轴小题及答案解析

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2019上海高考压轴卷数学附答案解析

2019上海高考压轴卷数学附答案解析

2019上海高考压轴卷数学一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为A. B. C. D.2.已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3.已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.4.定义：若整数满足：，称为离实数最近的整数，记作．给出函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数是周期函数，最小正周期为；③函数在上是增函数；④函数的图象关于直线∈对称.其中所有的正确命题的序号为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.若=0，则x=______．6.已知双曲线=1的离心率为，则m=______．7.（-）6的展开式中常数项为______ ．8.函数f（x）=4x-2x+2（-1≤x≤2）的最小值为______ ．9.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是______．10.若数列{a n}满足a11=，-=5（n∈N*），则a1= ______ ．11.已知，＜，是R上的增函数，则a的取值范围是______ ．12.已知圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是______ ．13.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为______．14.已知各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，则数列{log2a n}的前四项和等于______．15.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是16.函数f（x）=lg（x≠0，x∈R），有下列命题：①f（x）的图象关于y轴对称；②f（x）的最小值是2；③f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；④f（x）没有最大值．其中正确命题的序号是______ ．（请填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=k（x+1）与C相切于点A，|AF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线l交C于M，N两点，T是MN的中点，若|MN|=8，求点T到y轴距离的最小值及此时直线l的方程．18.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一个零点为，其图象距离该零点最近的一条对称轴为x=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解，求实数k的取值范围．19.某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量件与单价元之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．根据周销售量图写出件与单价元之间的函数关系式；写出利润元与单价元之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．21.各项均为正数的数列中，前n项和．求数列的通项公式；若恒成立，求k的取值范围；是否存在正整数m，k，使得，，成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】由题意方程可知，A（-a，0），B（a，0），设M（x0，y0），∴，则，整理得：，又，得，即，联立，得，即，解得e=．故选D．2.【答案】A【解析】a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．3.【答案】D【解析】如图所示，直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D，过D作面ABC的垂线，球心O在该垂线上，过O作球的弦SC的垂线，垂足为E，则E为SC中点，球半径R=OS=∵，SE=3，∴R=5棱锥的外接球的表面积为4πR2=100π，故选：D．4.【答案】B【解析】∵ 中，由题意知，{x}-{x}+，则得到f（x）=x-{x}∈（-]，故错误；中，由题意知函数f（x）=x-{x}∈（-]的最小正周期为1，，故正确；中，由于{x}-{x}+则得f（x）=x-{x}为分段函数，且在上是增函数，，故命题正确；中，由题意得，所以函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）不对称，故命题错误；由此可选择，故选B.5.【答案】1【解析】=4x-2×2x=0，设2x=t，t＞0，则t2-2t=0，解得：t=2，或t=0（舍去）则2x=t=2，则x=1，故答案为：1．6.【答案】2或-5【解析】双曲线-=1，当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，可得c2=a2+b2=3+2m，∵双曲线-=1的离心率为，∴，即，解得m=2，当焦点在y轴时，a2=-m-1，b2=-m-2，可得c2=a2+b2=-3-2m，∵双曲线-=1的离心率为，∴，可得，即12+8m=7m+7，可得m=-5．故答案为2或-5．7.【答案】60【解析】（-）6的展开式中的通项公式：T r+1==（-1）r26-r，令-6=0，解得r=4．∴（-）6的展开式中常数项==60．故答案为60．8.【答案】-4【解析】f(x)=(2x)2-4•2x，令t=2x，∵-1≤x≤2，∴t∈[，4]，则y=t2-4t=(t-2)2-4，y在t∈[，2]上递减，在t∈[2，4]上递增，所以当t=2时函数取得最小值-4．故答案为-4．9.【答案】【解析】复数z=（1+i）（1+2i）=1-2+3i=-1+3i，∴|z|==．故答案为：．10.【答案】【解析】-=5，∴{}是以5为公差的等差数列，∴=+5（n-1），∵a11=，∴=+5（11-1）=52，即=2，∴a1=.故答案为．11.【答案】[2，+∞）【解析】首先，y=log a x在区间[1，+∞）上是增函数且函数y=（a+2）x-2a区间（-∞，1）上也是增函数∴a＞1 (1)其次在x=1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a+2）-2a≤log a1⇒a≥2 (2)联解（1）、（2）得a≥2．故答案为[2，+∞）．12.【答案】6【解析】∵圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，∴圆心坐标为M（1，1），半径r=3．∵P（2，2）是该圆内一点，∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．∵|PM|==，∴由垂径定理，得|BD|=2．因此，四边形ABCD的面积是S=|AC|•|BD|=×6×2=6．故答案为613.【答案】【解析】口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=．故答案为：．从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数，由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率．14.【答案】8【解析】各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，可得a1a4=a2a3=16，即有log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2（a1a2a3a4）=log2256=8．故答案为：8．15.【答案】（4，8）【解析】当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=-x2，得a=-，设g（x）=-，则g′（x）=-=-，由g′（x）＞0得-2＜x＜-1或-1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜-2，此时递减，即当x=-2时，g（x）取得极小值为g（-2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得-x2+2ax-2a=ax，得x2-ax+2a=0，得a（x-2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为（4，8）16.【答案】①④【解析】f（-x）=lg=f（x），∴函数f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故正确；2，∴f（x）=lg≥lg2，∴f（x）的最小值是lg2，故不正确；函数g（x）=在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故函数f（x）=lg在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故不正确；由知，f（x）没有最大值，故正确故答案为：．17.【答案】（Ⅰ）设A（x0，y0），直线y=k（x+1）代入y2=2px，可得k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，由△=（2k2-2p）2-4k4=0，解得p=2k2，解得x0=1，由|AF|=1+=2，即p=2，可得抛物线方程为y2=4x；（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程可得y2-4my-4n=0，△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，|AB|=•=8，可得n=-m2，=2m，==2m2+n=+m2=+m2+1-1≥2-1=3，当且仅当=m2+1，即m2=1，即m=±1，T到y轴的距离的最小值为3，此时n=1，直线的方程为x±y-1=0..【解析】（Ⅰ）设A（x0，y0），联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，结合抛物线的定义，可得抛物线方程；（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程．本题考查抛物线的方程的求法，注意运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）由题意，f（）=2sin（•ω+φ）=0，即•ω+φ=kπ，∈①，即T=，得ω=2，代入①得φ=，∈，取k=1，得φ=，∴f（x）=2sin（2x）；（Ⅱ）∵x∈[，]，∴∈[，]，，得f（x）∈[-2，1]，由f（x）+log2k=0，得log2k=-f（x）∈[-1，2]，∴k∈[，4]．【解析】本题考查函数与方程的应用，三角函数的最值，周期及解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．（Ⅰ）由函数的零点列式得到•ω+φ=kπ，，再由已知求得周期，进一步求得ω，则φ可求，函数解析式可求；（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步求出函数值域，再由方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解即可求得k的范围．19.【答案】（1）由题设知，当12≤x≤20时，设p=ax+b，则,解得a=-2，b=50.∴p=-2x+50，同理得，当20＜x≤28时，p=-x+30，所以;（2）当12≤x≤20时，销售利润,因此当时,;当20＜x≤28时，销售利润,∵函数在（20,28]上单调递减，∴y<75，∴该消费品销售价格为时，周利润最大，最大周利润为.【解析】本题考查了函数的表示方法,分段函数,待定系数法和一次函数、二次函数模型.（1）利用函数图象,结合分段函数的概念,运用待定系数法计算得结论;（2）利用二次函数模型，分段求最值得结论.20.【答案】（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2-c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=-，直线l2的方程y=-（x-1），直线PF1的斜率=，则直线l2的斜率k1=-，直线l1的方程y=-（x+1），联立，解得：，则Q（-x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02-1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=-，=-，直线l1的方程y=-（x+1），①直线l2的方程y=-（x-1），②联立解得：x=-m，则Q（-m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2-n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【解析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2-c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02-1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】（1）∵，∴，，两式相减得，，整理得（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n-a n-1=2，n≥2，∴{a n}是公差为2的等差数列，又得a1=1，∴a n=2n-1；（2）由题意得＞，∵，∴=＜，∴；（3）∵a n=2n-1．假设存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列，即即（2m+9）2=（2m-1）•（2k-1），∵（2m-1）≠0，∴，∵2k-1∈Z，∴2m-1为100的约数，∴当2m-1=1，m=1，k=61,当2m-1=5 , m=3 , k=23,当2m-1=25, m=13, k=25.故存在.【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（1）利用递推关系得（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，数列{a n}的各项均为正数，可得a n-a n-1=2，n≥2，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由题意得，利用，“裂项求和”方法即可得出；（3）a n=2n-1．假设存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列，即．可得，进而得出．。

全国卷Ⅱ2019年高考数学压轴卷文含解析20190514018

全国卷Ⅱ2019年高考数学压轴卷文含解析20190514018

（全国卷Ⅱ）2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}06M x x =≤≤， {}232x N x =≤，则M N ⋃=（ ） A. (],6-∞ B. (],5-∞ C. []0,6 D. []0,53.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ）A.65 B.611 C. 35 D. 310 5.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n+=的离心率是（ ）A ．32 B ．5 C ．32或52 D ．32或5 【答案】D6． 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．4B ．642+C ．442+D ．27.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 1sin 2B C =，()2213cos2a b B BA BC-=⋅u u u v u u u v，则角C=（）A.6πB.3πC.2πD.3π或2π8. 如图为函数()y f x=的图象，则该函数可能为()A．sin xyx=B．cos xyx=C．sin||xyx=D．|sin|xyx=9．执行如图所示程序框图，若输出的S值为20-，在条件框内应填写（）A．3?i>B．4?i<C．4?i>D．5?i< 10．已知抛物线()220y px p=>的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线l的对称点为点B，BP交y轴于点M，若BP a BM=，23OM d=，则实数a的值是（）A.34B.12C.23D.3211．已知不等式组2024x yx yyx y m-≥+≤≥⎧⎪+⎨≤⎪⎪⎪⎩表示的平面区域为M，若m是整数，且平面区域M内的整点(),x y恰有3个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则m的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 412．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()32123f x x ax bx =+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ）A. [)64ln3,++∞B. [)5ln5,++∞C. [)66ln6,++∞D. [)4ln2,++∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_______．14．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则点P 横坐标的取值范围为 ． 15．已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为94的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的边长为2，则点A 到平面PBC 的距离是__________．16．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在一点P 满足以OP 为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c π（其中O 为坐标原点， c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小满分题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列； （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.18.（本小题满分12分）进入11月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加自主招生考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率．19.（本题满分12分）如图，在三棱锥P ADE -中， 4AD =， 22AP =， AP ⊥底面ADE ，以AD 为直径的圆经过点E .（1）求证： DE ⊥平面PAE ；（2）若60DAE ∠=︒，过直线AD 作三棱锥P ADE -的截面ADF 交PE 于点F ，且45FAE ∠=︒，求截面ADF 分三棱锥P ADE -所成的两部分的体积之比.20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，且椭圆C 过点P (3，2)． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）与直线OP 平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为2-．（1）求a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）设()231g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立． 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+=+⎧⎨⎩（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】设复数i z a b =+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a bb a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫-⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ．2【答案】A【解析】 因为{}06M x x =≤≤， {}232{|5}x N x x x =≤=≤， 所以{|6}M N x x ⋃=≤，故选A. 3.【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．4.【答案】C【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。

江苏省2019年高考数学压轴卷含解析201905140158

江苏省2019年高考数学压轴卷含解析201905140158

【解析】解：P（3，4）为 C 上的一点， 所以 9 - 16＝1 ，解得 m＝1，
m2 所以 A（﹣1，0）B（1，0），
设△PAB 的外接圆的圆心（0，b），
则 1+b2＝32+（b﹣4）2，解得 b＝3，
则△PAB 的外接圆的标准方程为 x2+（y﹣3）2＝10．
故答案为：x2+（y﹣3）2＝10．
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2019 江苏省高考压轴卷 数学 1．【答案】{1，2，4，5}
【解析】解：A∩B＝{3}，
则∁U（A∩B）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}，
2．【答案】1．
【解析】解：∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i＝2，
a 1 2 ∴ 1 a 0 ，即 a＝1．
| PA PB | 的最小值是 ．
2
12．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，∠ABC＝ ，∠ABC 的平分线交 AC 3
于点 D，BD＝1，则 a+c 的最小值为 ．
13．如图，点 D 为△ABC 的边 BC 上一点， BD 2DC ，En（n∈N）为 AC 上一列点，且满
的外接圆的标准方程为 ． 9．已知 f（x）是 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f（x）＝|x2﹣3x|，则不等式 f（x﹣2）≤ 2 的解集为 ．
10．若函数 f（x）＝a1nx，（a∈R）与函数 g（x）＝ x ，在公共点处有共同的切线，则 实数 a 的值为 ．
11．设 A，B 在圆 x2+y2＝4 上运动，且 AB ＝2 3 ，点 P 在直线 3x+4y﹣15＝0 上运动．则
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天津市2019年高考数学压轴卷文含解析

天津市2019年高考数学压轴卷文含解析

天津市2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为A.73 B. 94 C. 76 D. 98 4．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为()1,3，则a 的取值范围为（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()(),11,-∞+∞ D ．(]1,0-5.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒6.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（ ）A ．23B．3CD．7.已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-8.已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b C a =，12n n T c c c =+++，()n ∈*N ，则当2019n T <时，n 的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点)2,2(),2,0(-N M 以线段MN 为直径的圆的方程为________________.10.已知函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，则ϕ等于_____．11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________． 12.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值 ．13.已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为__________．14.函数()()ln 2e 4e x a a x f x x x --=-+++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()03f x =成立，则实数a 的值为三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且B A c b 2,1,3=== (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求)62cos(π+A 的值.16(本小题满分13分)某工厂连续6天对新研发的产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组数据()()12,,,,6i i x y i =如下表所示（1）试根据4月2日、3日、4日的三组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测4月6日的产品销售量m ；（2）若选取两组数据确定回归方程，求选取得两组数据恰好是不相邻两天的事件B 的概率． 参考公式：ˆˆˆybx a =+， 其中()()1122211(ˆ)n niii i i i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-， 17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AB BC CD DA ====，1PA =，120BAD ∠=︒，E 为BC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PAD ；（2）若F 为CD 的中点，求点D 到平面PEF 的距离． 18.（本小题满分13分）已知抛物线C 的方程()220y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1． （1）试求出抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在两动点M ，N （M ，N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于A ，B 两点，若AB MN ∥，线段MN 上是否存在定点E ，使得4EM EN AB⋅=恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由．19.(本小题满分14分)数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和nS ()n N *∈，{}nb 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *∈，（i ）求n T ； （ii ）证明：()21121311<⋅-∑=+++++ni i i i i i b b b b T .20.（本小题满分14分）已知函数()()22e ,0xx f x x m m m=+-∈≠R ，（1）求函数()f x 的单调区间和()f x 的极值；（2）对于任意的[]1,1a ∈-，[]1,1b ∈-，都有()()e f a f b -≤，求实数m 的取值范围． 1【答案】C【解析】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()5Z AB =．故选C ．2【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得：，，满足条件，，满足条件，， 满足条件，，不满足条件，退出循环，输出S 的值为．故选：A ． 4【答案】A【解析】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则1a -<，此时a 的范围为(]1,0-，当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ． 5【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ． 设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ， 又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒． 6【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -和三棱锥111B A B C -后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等边三角形，所以其表面积为22161232⨯⨯+=+B ．所以其表面积为22161232⨯⨯+=+B ．7【答案】C【解析】由π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1s i n 5α=，又由2123cos212sin 122525αα=-=-⨯=．故选C ．8.【答案】A 【解析】{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，112121242n n n n b b b T c c c a a a a a a a -∴=+++=+++=++++()()()()()1121122124122121242n n n --=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-=++++-11222212nn n n +-=⨯-=---，2019n T <，1222019n n +∴--<，解得9n ≤．则当2019n T <时，n 的最大值是9，故选A ． 9【答案】【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为：10【答案】π3-【解析】函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，2π6πk ϕ∴⨯+=，因为π22πϕ-<<，求得3πϕ=-，故答案为π3-． 11【答案】【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.12【答案】32a =或3211． 【解析】 圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为：22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的倍，∴3812522aa d -==⋅，整理得23165a a -=，利用平方法解得32a =或3211131【解析】因为F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，所以(),0F c -，又点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，00AB b bk a a-==--， 所以可得直线l 的方程为()ay x c b=+， 又A ，B 中点在直线l 上，所以22b a a c b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得222b a ac =+，又222b c a =-，所以22220c ac a --=，故2220e e --=，解得1e =1e >，所以1e =+故答案为1e =+ 14【答案】ln21--【解析】由()()ln 2e 4e x a a x f x x x --=-+++，可令()()ln 2g x x x =-+， ()11122x g x x x +'=-=++，故()()l n 2g x x x =-+在()2,1--上是减函数，()1,-+∞上是增函数，故当1x =-时，()g x 有最小值()11g -=-，而e 4e 4x a a x --≥+，（当且仅当e 4e x a a x --=，即ln2x a =+时成立）， 故()3f x ≥（当且仅当等号同时成立时，等式成立）， 故ln21x a =+=-，即ln21a =--．15(Ⅰ) 解:由B A 2=，知B B B A cos sin 22sin sin ==，由正、余弦定理得acb c a b a 22222-+⋅=.因为1,3==c b ，所以122=a ,则32=a .(Ⅱ) 解:由余弦定理得31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A . x§]由于π<<A 0，所以322911cos 1sin 2=-=-=A A故7sin 2cos29A A ==- 1837246sin2sin 6cos2cos )62cos(-=-=+πππA A A16【答案】（1）41；（2）23．【解析】（1）由题设可得111012113x ++==，322935323y ++==， 则()()()()()31322221ˆ0013133011iii ii x x y y bx x ==--⨯+-⨯-+⨯===++-∑∑．所以32ˆ11ˆ31ay bx =-=-⨯=-， 则回归直线方程为ˆ31yx =-，故314141m =⨯-=．（2）从6天中随机取2天的所有可能结果为：{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}16,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}26,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A 共15种，其中相邻两天的结果为{}12,A A ，{}23,A A ，{}34,A A ，{}45,A A ，{}56,A A 共5种， 所以选取的两组数据恰好是不相邻两天的事件B 的概率()521153P B =-=．17【答案】（1）详见解析；（2 【解析】（1）如图，连接AC ．由条件知四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒，∴ABC △为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥． 又∵AD BC ∥，∴AE AD ⊥．又∵PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PA AE ⊥． ∵PAAD A =，∴AE ⊥平面PAD ．（2）设AC 交EF 于点G ，连接PG ，DE ，则G 为EF 的中点．易知AE AF =，则Rt Rt PAE PAF ≅△△，∴PE PF =，∴PG EF ⊥． 连接BD ，∵2AB BC CD DA ====，1PA =，∴BD ==3342AG AC ==，∴12EF BD =PG ==∴12PEF S EF PG =⋅=△．1111sin1202442DEF CDE BCD S S S BC CD ===⨯⨯⨯︒=△△△设点D 到平面PEF 的距离为h ，又PA ⊥底面ABCD ， 由P DEF D PEF V V --=，得11133h =，解得h =故点D 到平面PEF18【答案】（1）24y x =；（2）存在，E 的坐标为()4,0．【解析】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义12p=， 所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）由题意0MN k ≠，设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()22221,4y N y y y ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，由O M O N ⊥，得1216y y =-，直线124:MN k y y =+， 2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，整理可得()1244y x y y =-+， 直线:AB ①若斜率存在，设斜率为k ，()1y k x =-，与C 联立得2440ky y k --=，2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，01EM EN y y ⋅=-()2120120211y y y y y y k ⎛⎫⎡⎤=+--++ ⎪⎣⎦⎝⎭200241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4EM EN AB⋅=时，2041616y y k-+=， 解得00y =或04y k=（不是定点，舍去） 则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上， ②若斜率不存在，则4AB =，4416EM EN ⋅=⨯=，此时点()4,0E 满足题意，综合上述，定点E 为()4,0．19【答案】（Ⅰ）12n n a =，1n b n =-（Ⅱ）（i ）112n n T n =-+ 【解析】（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q （0q >）121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，21120q q --=，=-1q （舍）或=2q ，12n n a = 设数列{}nb 的公差为d111182(4)1116316b d b d⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩ 101b d =⎧⎨=⎩ ，1n b n =-. （Ⅱ）解：112212(1)1112n n n S -==-- 211111(111)()(1)122222n n n n T n n =+++-+++=--=-+ 111132112()(2)()(2)(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==⋅⋅+⋅+⋅1112(1)2i i i i +=-⋅+⋅ 1132231112()111111()()()122222322(1)2n i i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑ 11112(1)22n n +=-<+⋅ 20【答案】（1）见解析；（2）2,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 【解析】（1）∵()22e 1x f x x m =+-'，()22e x f x m''=+，其中()f x ''是()f x '的导函数． 显然，()0f x ''>，因此()f x '单调递增，而()00f '=，所以()f x '在(),0-∞上为负数，在()0,+∞上为正数，因此()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，当0x =时，()f x 取得极小值为()01f =，无极大值．∴()f x 的极小值为1，无极大值．单增区间为()0,+∞，单减区间为(),0-∞．（2）依题意，只需()()max min e f x f x -≤，由（1）知，()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增，∴()f x 在[]1,1-上的最小值为()01f =，最大值为()1f 和()1f -中的较大者，而()()22111111e 11e 20e e f f m m ⎛⎫⎛⎫--=+--++=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此()()11f f >-，∴()f x 在[]1,1-上的最大值为21e 1m +-，所以21e 11e m +--≤，解得m ≥或m ≤∴实数m 的取值范围是2,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．。

2019年天津市高考压轴卷数学理科Word版含解析

2019年天津市高考压轴卷数学理科Word版含解析

2019天津理科数学压轴卷一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A xx =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I （ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为A.73 B. 94 C. 76 D. 98 4.不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（ ）A ．32 B.23 C. 43 D.345.下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是（ ） A ．()()ln 1f x x =+B ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩C．()()()() 20 0,012,,xxxf x xx⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪->⎪⎪⎝⎭⎩D．()1f x x-=6.()834132x xx⎛⎫+-⎪⎝⎭展开式中2x的系数为（）A．1280-B．4864 C．4864-D．12807.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（）A．23B．33+C93+D．238．函数()2ln0f x x x ax=-+≤恰有两个整数解，则实数a的取值范围为（）A．ln2212a-<≤-B．21a-<≤-C．31a-<≤-D．ln3ln23232a-<≤-二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点)2,2(),2,0(-NM以线段MN为直径的圆的方程为________________.10.学校艺术节对A、B、C、D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A、D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_________．11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________．12.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，求a 的值 ．13.如图，在ABC △中，23AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数t 的值为14.设函数()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且B A c b 2,1,3=== (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求)62cos(π+A 的值.16． (本小题满分13分)田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发现他们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：田忌的马获胜概率公子的马 上等马 中等马 下等马上等马 0.5 0.8 1 中等马 0.2 0.5 0.9 下等马0.050.4比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望． 17．（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2222PC BC AD CD ====，2PA =．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由． 18.（本小题13分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆13222=+y a x ()3>a 的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1=-OF OA ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率e ；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点()轴上不在x B B ，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围. 19.(本小题满分14分)数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和nS ()n N *∈，{}nb 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *∈，（i ）求n T ； （ii ）证明：()21121311<⋅-∑=+++++ni i i i i i b b b b T .20. (本小题满分14分)设函数)0()(≠=k xe x f kx .(Ⅰ) 求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (Ⅱ) 讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅲ) 设42)(2+-=bx x x g ,当1=k 时,若对任意的R x ∈1，存在[]2,12∈x ，使得)(1x f ≥)(2x g ，求实数b 的取值范围.参考答案：1【答案】C【解析】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3.【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得：，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，不满足条件，退出循环，输出S 的值为．故选：A ． 4.【答案】【解析】由340340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得(1,1)C ，如图7-8所示，故12ABC C S AB x ∆=14(4)123=⨯-⨯43=5【答案】B【解析】对于A ，()()ln 1f x x =+，有()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，则函数()f x 为偶函数，不符合题意；对于B ，()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，有()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，且在R 上的单调递增，符合题意；对于C ，()()()()200,0102,,xxx f x x x ⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩，有()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，但在R 上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，()11f x x x-==，()f x 的定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，不符合题意； 故选B ． 6.【答案】A【解析】根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者340x y +-=340x y +-=yx(1,1)C BA O第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x，具体为()231742688C C 11322x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，化简得到21280x -，故答案为A ． 7.【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -和三棱锥111B A B C -后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为2的等边三角形， 所以其表面积为()22136122332⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．8.【答案】D【解析】函数()2ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解，即ln xa x x≤-恰有两个整数解， 令()ln xg x x x =-，得()221ln x x g x x--'=，令()21ln h x x x =--，易知()h x 为减函数． 当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减．()11g =-，()ln 2222g =-，()ln3333g =-． 由题意可得：()()32g a g <≤，∴ln3ln 23232a -<≤-．故选D ． 9【答案】【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为：10【答案】B【解析】若A 为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 综上所述，故B 获得一等奖． 11【答案】【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.12【答案】32a =或3211． 【解析】 圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为：22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，∴3812522aa d -==⋅，整理得23165a a -=，利用平方法解得32a =或321113.【答案】16【解析】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又23AN NC =u u u r u u u r ，∴25AN AC =u u u r u u u r ，∴()215AP mAC m AB =+-u u u r u u u r u u u r ，又13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得56m =，16t =.14【答案】()(),0e,-∞+∞U 【解析】如图所示：可得()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的图像与1y =的交点分别为()0,1，()e,1，∴()1f m >，则实数m 的取值范围是()(),0e,-∞+∞U ，可得答案()(),0e,-∞+∞U ． 15【 答案】：(Ⅰ) 解:由B A 2=，知B B B A cos sin 22sin sin ==，由正、余弦定理得acb c a b a 22222-+⋅=.因为1,3==c b ，所以122=a ,则32=a .(Ⅱ) 解:由余弦定理得31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A . x§]由于π<<A 0，所以322911cos 1sin 2=-=-=A A故427sin 2cos29A A ==- 1837246sin 2sin 6cos 2cos )62cos(-=-=+πππA A A16.【答案】（1）0.72；（2）见解析．【解析】（1）记事件A ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，对于事件A ，三场比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜， 因此，()0.80.90.72P A =⨯=；（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ， 则随机变量ξ的可能取值为1000-和1000，若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，设比赛一次，田忌获胜的概率为P ，则1121139322522520P =⨯⨯⨯+⨯⨯=．随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ1000- 1000P1120 920∴119100010001002020E ξ=-⨯+⨯=-． 因此，田忌一年赛马获利的数学期望为100121200-⨯=-金． 17.【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2222BC AD CD ===， ∴2AB AC ==，22BC =，∴AB AC ⊥，又∵AB PC ⊥，AC PC C =I ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ， 又∵PA ⊂平面PAC ，∴AB PA ⊥， ∵2PA AC ==，22PC =，∴PA AC ⊥，又∵PA AB ⊥，AB AC A =I ，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ． （2）方法一：在线段AD 上取点N ，使2AN ND =，则MN PA ∥，又由（1）得PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 又∵AC ⊂平面ABCD ，∴MN AC ⊥，作NO AC ⊥于O ，又∵MN NO N =I ，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ，∴AC ⊥平面MNO ， 又∵MO ⊂平面MNO ，∴AC MO ⊥，又∵AC NO ⊥，∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角， 设PMx PD=，则()122MN x AP x =-=-，22ON AN xAD x ===， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒， 即22tan tan603MN x MON ON x -∠===︒，即423PMx PD==- ∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=-方法二：取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，且由（1）知()0,0,2AP =u u u r 是平面ACD 的一个法向量， 设()0,1PMx PD =∈，则()122MN x AP x =-=-，2AN xAD x ==， ∴()2,22AM x x =-u u u u r ，)2,2,0AC =u u u r，设(),,AQ a b c =u u u r是平面ACM 的一个法向量，则()2220220AQ AM xb x c AQ AC a b ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u u r ，∴2a b x c =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令22b x =-，则()22,22AQ x x x =-+-u u u r，它背向二面角，又∵平面ACD 的法向量()0,0,2AP =u u u r，它指向二面角，这样，二面角M AC D --的大小为60︒，即()()()222221cos cos602222222,AP AQ xAP AQ AP AQ x x x==︒=⋅-++-⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， 即423x =-∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=- 18. 【答案】（Ⅰ）13422=+y x （Ⅱ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4646,Y 【解析】（Ⅰ）由已知得1=-c a ，即132=--a a ，解得2=a ，所以1=c ，得21==a c e ，椭圆方程为13422=+y x . （Ⅱ）解： 设直线l 的斜率为()0≠k k ，则直线l 的方程为()2-=x k y ，设()B B y x B ,由方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134222y x x k y ，消去y ，整理得()0121616342222=-+-+k x k x k 解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-3412,3468222k k k k .由（Ⅰ）知，()0,1F ，设()H y H ,0，有()H y FH ,1-=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=3412,3449222k k k k BF ，由HF BF ⊥,则0=⋅，所以034123494222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=， 因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=，设()M M y x M ,，由方程组()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-=1249122k x k y x k y 消去y ，解得()11292022++=k k x M ， 在MAO ∆中，MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即()22222MMMM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即()111292022≥++k k ， 解得46-≤k ，或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4646,Y 19【答案】（Ⅰ）12n n a =，1n b n =-（Ⅱ）（i ）112n n T n =-+【解析】（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q （0q >）121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，21120q q --=，=-1q （舍）或=2q ，12n na = 设数列{}nb 的公差为d111182(4)1116316b d b d⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩ 101b d =⎧⎨=⎩ ，1n b n =-. （Ⅱ）解：112212(1)1112n n nS -==-- 211111(111)()(1)122222n n n n T n n =+++-+++=--=-+L L111132112()(2)()(2)(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==⋅⋅+⋅+⋅1112(1)2i i i i +=-⋅+⋅ 1132231112()111111()()()122222322(1)2ni i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑L 11112(1)22n n +=-<+⋅20【答案】 (Ⅰ) x y =(Ⅱ) ①当0>k 时，)(x f 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞-k上单调递增 ②当0<k 时，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递增，在),1(+∞-k上单调递减(Ⅲ)⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,412e 【解析】(Ⅰ) 解:kx e kx x f )1()('+=, 因为0)0(=f 且1)0('=f ,所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为 x y =(Ⅱ) 解:函数)(x f 的定义域为R ,令0)1()('>+=kx e kx x f ，由0>kx e ，知01>+kx 讨论:①当0>k 时，k x 1->，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞-k上单调递增. ②当0<k 时，kx 1-<，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递增，在),1(+∞-k 上单调递减(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)知，当1=k 时，)(x f 在)1,(--∞上单调递减，在),1(+∞-上单调递增. 则对任意的R x ∈1，有)(1x f ≥ef 1)1(-=-，即ex f 1)(min 1-=.又已知存在[]2,12∈x ,使得)(1x f ≥)(2x g ,所以e 1-≥[]2,1),(22∈x x g ，即存在[]2,1∈x ，使得42)(2+-=bx x x g ≤e1-， 即b 2≥x e x 14-++.因为[]2,1∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈++-e e x e x 15,21441， 所以b 2≥e 214+，即b ≥e412+.所以实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,412e .。

2019年全国卷Ⅱ高考压轴卷数学理科Word版含解析

2019年全国卷Ⅱ高考压轴卷数学理科Word版含解析

fx
2
x1
y2
2
x1
y2
x2
2
y 2 的最小值为 ______ ．
16．已知 △ABC 中， AB AC ，点 D 是 AC 边的中点，线段 BD x ， △ABC 的面积 S 2 ， 则 x 的取值范围是 _________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，角 A 、 B 、
B． c a d b
C． d c a b
D． c d a b
7． 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（
）
A． 16π 3
B． 3
C． 2 9
D． 16 9
8．已知向量 a 1, 3 ， b 0, 2 ，则 a 与 b 的夹角为（
）
A． π 6
B． π 3
C． 5π 6
D． 2 π 3
人中女生人数为 X ，写出 X 的分布列，并求 E X ．
附： K 2
2
n ad bc
，其中 n a b c d ．
abcd acbd
12 人参 设选取的 3
P K 2 k0
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
19．（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 PDC ， PD DC ，底面 ABCD 是梯形， AB∥DC ，
9．在 △ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， a b c a c b 3ac ，则角 B

天津市高考数学压轴卷理含解析2019051401109.doc

天津市高考数学压轴卷理含解析2019051401109.doc

天津市2019年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x=-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I （ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为A.73 B. 94 C. 76 D. 98 4.不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（ ）A ．32 B.23 C. 43 D.345.下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是（ ） A ．()()ln 1f x x =+B ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩C．()()()() 20 0,012,,xxxf x xx⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪->⎪⎪⎝⎭⎩D．()1f x x-=6.()834132x xx⎛⎫+-⎪⎝⎭展开式中2x的系数为（）A．1280-B．4864 C．4864-D．12807.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（）A．23B．33C93+D．38．函数()2ln0f x x x ax=-+≤恰有两个整数解，则实数a的取值范围为（）A．ln2212a-<≤-B．21a-<≤-C．31a-<≤-D．ln3ln23232a-<≤-二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点)2,2(),2,0(-NM以线段MN为直径的圆的方程为________________.10.学校艺术节对A、B、C、D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A、D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_________．11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________．12.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，求a 的值 ．13.如图，在ABC △中，23AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数t 的值为14.设函数()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且B A c b 2,1,3=== (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求)62cos(π+A 的值.16． (本小题满分13分)田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发现他们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：田忌的马获胜概率公子的马 上等马 中等马 下等马上等马 0.5 0.8 1 中等马 0.2 0.5 0.9 下等马0.050.4比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望． 17．（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2222PC BC AD CD ====，2PA =．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由． 18.（本小题13分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆13222=+y a x ()3>a 的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1=-OF OA ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率e ；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点()轴上不在x B B ，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.19.(本小题满分14分)数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和nS ()n N *∈，{}nb 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *∈，（i ）求n T ； （ii ）证明：()21121311<⋅-∑=+++++ni i i i i i b b b b T .20. (本小题满分14分)设函数)0()(≠=k xe x f kx .(Ⅰ) 求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (Ⅱ) 讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅲ) 设42)(2+-=bx x x g ,当1=k 时,若对任意的R x ∈1，存在[]2,12∈x ，使得)(1x f ≥)(2x g ，求实数b 的取值范围.参考答案：1【答案】C【解析】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3.【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得：，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，不满足条件，退出循环，输出S 的值为．故选：A ． 4.【答案】【解析】由340340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得(1,1)C ，如图7-8所示，故12ABC C S AB x ∆=14(4)1=⨯-⨯43=5【答案】B【解析】对于A ，()()ln 1f x x =+，有()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，则函数()f x 为偶函数，不符合题意；对于B ，()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，有()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，且在R 上的单调递增，符合题意；对于C ，()()()()200,0102,,xxx f x x x ⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩，有()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，但在R 上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，()11f x x x-==，()f x 的定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，不符合题意； 故选B ． 6.【答案】A【解析】根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x，具体为()231742688C C 11322x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，化简得到21280x -，故答案为A ． 7.【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -和三棱锥111B A B C -后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为2的等边三角形， 所以其表面积为()22136122332⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．8.【答案】D【解析】函数()2ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解，即ln xa x x≤-恰有两个整数解， 令()ln xg x x x =-，得()221ln x x g x x--'=，令()21ln h x x x =--，易知()h x 为减函数． 当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减．()11g =-，()ln 2222g =-，()ln3333g =-． 由题意可得：()()32g a g <≤，∴ln3ln 23232a -<≤-．故选D ． 9【答案】【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为：10【答案】B【解析】若A 为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B获得一等奖．11【答案】【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.12【答案】32a=或32 11．【解析】圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：22 224a a xy⎛⎫+-=⎪⎝⎭，直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的3倍，∴3812522aad-==⋅，整理得23165a a-=，利用平方法解得32a=或321113.【答案】16【解析】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB=+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又23AN NC=u u u r u u u r，∴25AN AC=u u u r u u u r，∴()215AP mAC m AB=+-u u u r u u u r u u u r，又13AP t AB AC=+u u u r u u u r u u u r，∴12153m tm-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得56m=，16t=.14【答案】()(),0e,-∞+∞U【解析】如图所示：可得()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的图像与1y =的交点分别为()0,1，()e,1，∴()1f m >，则实数m 的取值范围是()(),0e,-∞+∞U ，可得答案()(),0e,-∞+∞U ． 15【 答案】：(Ⅰ) 解:由B A 2=，知B B B A cos sin 22sin sin ==，由正、余弦定理得acb c a b a 22222-+⋅=.因为1,3==c b ，所以122=a ,则32=a .(Ⅱ) 解:由余弦定理得31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A . x§]由于π<<A 0，所以322911cos 1sin 2=-=-=A A故7sin 2cos299A A =-=- 1837246sin2sin 6cos2cos )62cos(-=-=+πππA A A16.【答案】（1）0.72；（2）见解析．【解析】（1）记事件A ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，对于事件A ，三场比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜， 因此，()0.80.90.72P A =⨯=；（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ， 则随机变量ξ的可能取值为1000-和1000，若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，设比赛一次，田忌获胜的概率为P ，则1121139322522520P =⨯⨯⨯+⨯⨯=．随机变量ξ的分布列如下表所示：∴119100010001002020E ξ=-⨯+⨯=-． 因此，田忌一年赛马获利的数学期望为100121200-⨯=-金． 17.【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥，且22BC AD CD ===∴2AB AC ==，22BC =，∴AB AC ⊥，又∵AB PC ⊥，AC PC C =I ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ， 又∵PA ⊂平面PAC ，∴AB PA ⊥， ∵2PA AC ==，22PC =，∴PA AC ⊥，又∵PA AB ⊥，AB AC A =I ，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ． （2）方法一：在线段AD 上取点N ，使2AN ND =，则MN PA ∥，又由（1）得PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 又∵AC ⊂平面ABCD ，∴MN AC ⊥，作NO AC ⊥于O ，又∵MN NO N =I ，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ，∴AC ⊥平面MNO ， 又∵MO ⊂平面MNO ，∴AC MO ⊥，又∵AC NO ⊥，∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角， 设PMx PD=，则()122MN x AP x =-=-，2222ON AN xAD x ===， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒， 即22tan tan603MN x MON ON x -∠===︒=423PMx PD==- ∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=- 方法二：取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，且由（1）知()0,0,2AP =u u u r是平面ACD 的一个法向量，设()0,1PMx PD =∈，则()122MN x AP x =-=-，2AN xAD x =， ∴()2,22AM x x =-u u u u r ，()2,2,0AC =u u u r，设(),,AQ a b c =u u u r是平面ACM 的一个法向量，则()2220220AQ AM xb x c AQ AC a b ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u u r ，∴2a b x c =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令22b x =-，则()22,22AQ x x x =-+-u u u r，它背向二面角，又∵平面ACD 的法向量()0,0,2AP =u u u r，它指向二面角，这样，二面角M AC D --的大小为60︒，即()()()222221cos cos602222222,AP AQ xAP AQ AP AQ x x x===︒=⋅-++-⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， 即423x =-∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=- 18. 【答案】（Ⅰ）13422=+y x （Ⅱ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4646,Y 【解析】（Ⅰ）由已知得1=-c a ，即132=--a a ，解得2=a ，所以1=c ，得21==a c e ，椭圆方程为13422=+y x . （Ⅱ）解： 设直线l 的斜率为()0≠k k ，则直线l 的方程为()2-=x k y ，设()B B y x B ,由方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134222y x x k y ，消去y ，整理得()0121616342222=-+-+k x k x k解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-3412,3468222k k k k .由（Ⅰ）知，()0,1F ，设()H y H ,0，有()H y ,1-=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=3412,3449222k k k k ，由HF BF ⊥,则0=⋅，所以034123494222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=，因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=，设()M M y x M ,，由方程组()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-=1249122k x k y x k y 消去y ，解得()11292022++=k k x M ， 在MAO ∆中，MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即()22222MMMM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即()111292022≥++k k ， 解得46-≤k ，或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4646,Y 19【答案】（Ⅰ）12n n a =，1n b n =-（Ⅱ）（i ）112n n T n =-+【解析】（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q （0q >）121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，21120q q --=，=-1q （舍）或=2q ，12n na = 设数列{}nb 的公差为d111182(4)1116316b d b d⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩ 101b d =⎧⎨=⎩ ，1n b n =-.（Ⅱ）解：112212(1)1112n n n S -==-- 211111(111)()(1)122222n n n n T n n =+++-+++=--=-+L L111132112()(2)()(2)(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==⋅⋅+⋅+⋅1112(1)2i i i i +=-⋅+⋅ 1132231112()111111()()()122222322(1)2ni i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑L 11112(1)22n n +=-<+⋅20【答案】 (Ⅰ) x y =(Ⅱ) ①当0>k 时，)(x f 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞-k上单调递增 ②当0<k 时，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递增，在),1(+∞-k上单调递减(Ⅲ)⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,412e 【解析】(Ⅰ) 解:kx e kx x f )1()('+=, 因为0)0(=f 且1)0('=f ,所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为 x y =(Ⅱ) 解:函数)(x f 的定义域为R ,令0)1()('>+=kx e kx x f ，由0>kx e ，知01>+kx 讨论:①当0>k 时，k x 1->，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞-k上单调递增. ②当0<k 时，kx 1-<，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递增，在),1(+∞-k 上单调递减(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)知，当1=k 时，)(x f 在)1,(--∞上单调递减，在),1(+∞-上单调递增.则对任意的R x ∈1，有)(1x f ≥ef 1)1(-=-，即e x f 1)(min 1-=.又已知存在[]2,12∈x ,使得)(1x f ≥)(2x g ,所以e 1-≥[]2,1),(22∈x x g ，即存在[]2,1∈x ，使得42)(2+-=bx x x g ≤e1-，即b 2≥x e x 14-++.因为[]2,1∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈++-e e x e x 15,21441，所以b 2≥e 214+，即b ≥e412+. 所以实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,412e .。

北京市2019年高考数学压轴卷 理(含解析)

北京市2019年高考数学压轴卷 理(含解析)

1 3 4 2 1 35 2 27
，
故
选
A.
2
2
6．【答案】B 【解析】 a 0 时，直线 2x ay 1 0 与直线 bx 2y 2 0 不平行，所以 直 线 2x ay 1 0 与 直 线 bx 2y 2 0 平 行 的 充 要 条 件 是 b 2 2 , 即
2 a 1 ab 4 且 a 1(b 4) ，所以“ ab 4 "是直线 2x ay 1 0 与直线 bx 2y 2 0 平行的必要不充分条件．故选 B．
5
AB BC sin C =13 13 5 2 。
sin A
2
2
.……… 6 分
（Ⅱ）在 △ABD中， cos B cos( 3 C) 2 cos C 2 sin C 17 2 .
4
2
2
26
由余弦定理得， AD2 AB2 +BD2 2AB BD cos B ，
所以 AD2 (5 2)2 + 169 2 5 2 13 17 2 29 。
18. (本小题满分 14 分） 已知函数 f (x) xex m (x 1)2 (m 0) .
2 （Ⅰ）当 m 0时，求函数 f (x) 的极小值； （Ⅱ）当 m 0时，讨论 f (x) 的单调性；
(Ⅲ）若函数 f (x) 在区间 ,1 上有且只有一个零点，求 m 的取值范
围。 19。(本小题满分 14 分） 已知圆 O : x2 y2 1的切线 l 与椭圆 C : x2 3y2 4 相交于 A ， B 两点． （1)求椭圆 C 的离心率； （2）求证： OA OB ； （3）求 OAB 面积的最大值. 20.（本小题共 13 分） 已知曲线 Cn 的方程为： x n y n 1 (n N*) 。 （1 ）分别求出 n 1,n 2 时，曲线 Cn 所围成的图形的面积； （2）若 Sn(n N) 表示曲线 Cn 所围成的图形的面积，求证： Sn(n N)

2019届北京市高考压轴卷数学(理)Word版含解析

2019届北京市高考压轴卷数学(理)Word版含解析

2019届北京市高考压轴卷数学（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R ，A={x|x 2﹣4x+3≤0}，B={x|log 3x ≥1}，则A ∩B=（ ）A ．{3}B ．{x|＜x ≤1}C ．{x|x ＜1}D ．{x|0＜x ＜1}2. 已知数列{a n }为等差数列，且满足a 1+a 5=90．若（1﹣x ）m 展开式中x 2项的系数等于数列{a n }的第三项，则m 的值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．103已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．4.设x R ∈，则“x>21”是“0122>-+x x ”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．46.已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是A. B. C. D.7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．8. 已知函数，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2] C．[e﹣1，2] D．[e﹣1，2）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9. 若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是． 10若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是．11采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为．12. 直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为．13. 已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为．14.若函数,,则不等式的解集是______.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.（本小题满分13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A.(1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.16. （本小题满分13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（Ⅰ）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17.（本小题满分13分）如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，60,2,DAB AB AD CD ∠===侧面PAD ⊥ABCD 底面，且PAD 为等腰直角三角形，90APD ∠=.（Ⅰ）求证：;AD PB ⊥（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知函数()()2=-33x f x x x e +的定义域为[]-2t ，，设()-2=f m ，()f t n =. （Ⅰ）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]-2t ，上为单调函数；（Ⅱ）求证：m n <；（Ⅲ）若不等式()()()72ln 1x f x x k x x k e+->-为正整数对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明14ln .9x <（解答过程可参考使用以下数据ln7 1.95ln8 2.08≈≈，）19.(本题满分14分)已知椭圆E：的离心率为，其右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．20.（本小题满分 14 分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，b1=8，T n是数列{b n}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有T k≥T n恒成立；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．2019届北京市高考压轴卷数学（理）答案1A【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|log3x≥1}={x|x≥3}，则A∩B={3}，故选：A2D【分析】利用等差数列的性质，求出a3=45，利用（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，可得=45，即可求出m．【解答】解：数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=2a3=90，∴a3=45，∵（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，∴=45，∴m=10，故选D．3D【分析】设单位向量，的夹角为θ，根据，得•（+2）=0，代入数据求出cosθ的值．【解答】解：设单位向量，的夹角为θ，∵，∴•（+2）=+2=0，即12+2×1×1×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴与夹角的余弦值为﹣．故选：D．4.A 5B【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=V B﹣PAD+V B﹣PCD==．故选：B．6D【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义，考查了存在问题与逻辑思维能力.,因为曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，所以有两个不同的解，令,,由得x>2，由得x<2,所以当x=2时，函数取得极小值，所以a>7A【解答】解：由题意cosC=，a=1，c=2，那么：sinC=，cosC==，解得b=2．由，可得sinB=，那么△ABC的面积=故选A8A【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若m＜n，且f（m）=f（n），则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e﹣1，则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，则ln（n+1）=m+1，即m=2ln（n+1）﹣2，则n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），设h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1则h′（n）=1﹣==，当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，当h′（x）＜0得0＜n＜1，即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2，当n=0时，h（0）=2﹣2ln1=2，当n=e﹣1时，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2，则3﹣2ln2≤h（n）＜2，即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2），故选：A9. 【Ks5u答案】（﹣4，2）【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=﹣x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即实数k的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．10.6【解答】解：由图知运算规则是对S=2S+1，执行程序框图，可得A=1，S=1满足条件A＜M，第1次进入循环体S=2×1+1=3，满足条件A＜M，第2次进入循环体S=2×3+1=7，满足条件A＜M，第3次进入循环体S=2×7+1=15，满足条件A＜M，第4次进入循环体S=2×15+1=31，满足条件A＜M，第5次进入循环体S=2×31+1=63，由于A的初值为1，每进入1次循环体其值增大1，第5次进入循环体后A=5；所以判断框中的整数M的值应为6，这样可保证循环体只能运行5次．故答案为：6．11.10【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由 451≤30n﹣21≤750 解得 15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．12.±【分析】直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0，|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0．t1+t2=﹣12cosα，t1t2=11．∴|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，⇒cos2α=，tanα=±，∴直线AB的斜率为±．故答案为±．13.或【分析】设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC 等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，在直角三角形ABC中，得出直线AB的斜率．【解答】解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F′，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，设|BF|=n，∵|AF|=3|BF|，∴|AF|=3n，根据抛物线的定义得：|AE|=3n，|BF′|=n，∴|AC|=2n，在直角三角形ABC中，tan∠BAC==，∴k AB=k AF=．∴直线l的倾斜角为．根据对称性，直线l的倾斜角为，满足题意．故答案为或．14. 【Ks5u答案】(1,2)15. 【Ks5u答案】(1)由c＝3a sin C－c cos A及正弦定理，得3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0，由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12， 又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12， 又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2.16.解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a ）×2=1，解得a=0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为． 所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.，，，．所以随机变量ξ的分布列为：．17. 解：（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结PG GB BD 、、．PA PD =，PG AD ∴⊥……………………………2分AB AD =，且60DAB ∠=︒，ABD ∴∆是正三角形，AD BG ⊥,又PG BG G =,AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥． ……………………………5分（Ⅱ） ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，又PG AD ⊥，PG ∴⊥底面ABCD ．PG BG ∴⊥．∴直线GA GB GP 、、两两互相垂直，故以G 为原点,直线GA GB GP 、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．设PG a =，则可求得(0,0,),(,0,0),P a Aa ,0)B ，(,0,0)D a -，)0,23,23(a a C -．…………………………………………………7分3(,,0)2BC a ∴=-．,)PB a ∴=- 设000(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0n BC ⋅=且0n PB ⋅=．000030,20.ax az ⎧--=⎪∴⎨-=0000,.x y z ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩取0y =(1,3,3)n =-． …………………………………………9分又平面PAD 的法向量1,0)n GB ==，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ,则11cos 131n nn n θ⋅===+⋅, 所以平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为13．……………………13分 18. 解：（Ⅰ）因为x x x e x x e x e x x x f ⋅-=⋅-+⋅+-=')1()32()33()(2 ………………1分令()0f x '>，得：1x >或0x <；令()0f x '<，得：01x <<所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减………………………………3分要使()f x 在[2,]t -为单调函数，则20t -<≤所以t 的取值范围为(2,0]- …………………………………………………4分 （Ⅱ）证：因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减，所以()f x 在1x =处取得极小值e 又213(2)f e e-=<，所以()f x 在[2,)-+∞的最小值为(2)f -………………………6分 从而当2t >-时，)()2(t f f <-，即m n < ………………………………………8分 （Ⅲ）()72(ln 1)x f x x k x x e+->-等价于241(ln 1)x x k x x ++>- 即14ln 0k x k x x+++->………………………………………9分 记1()4ln k g x x k x x+=++-， 则221(1)(1)()1k k x x k g x x x x ++--'=--=， 由()0g x '=，得1x k =+，所以()g x 在(0,1)k +上单调递减，在(1,)k ++∞上单调递增，所以()(1)6ln(1)g x g k k k ≥+=+-+()0g x >对任意正实数x 恒成立，等价于6ln(1)0k k +-+>，即61ln(1)0k k+-+>………………………………11分 记6()1ln(1)h k k k=+-+， 则261()01h x x x =--<+， 所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(6)2ln 70h =->，13(7)ln807h =-<， 所以k 的最大值为6………………………………………12分当6k =时，由2416(ln 1)x x x x ++>-令3x =，则14ln 39<………………………………………13分19解：（1）由椭圆的离心率公式可知：e==，由c=1，则a=，b 2=a 2﹣c 2=1，故椭圆方程为；…（4分） （2）如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （1，0），且PQ ⊥MN ，设直线PQ 的斜率为k （k ≠0），则PQ 的方程为y=k （x ﹣1），P （x 1，y 1），Q （x 1，y 1），则，整理得：（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0，x 1+x 1=，x 1x 2=，则丨PQ 丨=•，于是，…（7分）同理：．则S=丨PQ 丨丨MN 丨=，令t=k 2+，T ≥2，S=丨PQ 丨丨MN 丨==2（1﹣），当k=±1时，t=2，S=，且S 是以t 为自变量的增函数，当k=±1时，四边形PMQN 的面积取最小值． 当直线PQ 的斜率为0或不存在时，四边形PMQN 的面积为2．综上：四边形PMQN 的面积的最小值和最大值分别为和2．20.解：（1）由S n=2a n﹣2，得S n+1=2a n+1﹣2两式相减，得a n+1=2a n+1﹣2a n ∴a n+1=2a n数列{a n}为等比数列，公比q=2又S1=2a1﹣2，得a1=2a1﹣2，a1=2∴（2），方法一当n≤5时，≥0因此，T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞…∴对任意n∈N*均有T4=T5≥T n，故k=4或5．方法二（两式相减，得，=（6﹣n）•2n+1﹣12，，当1≤n＜4，T n+1＞T n，当n=4，T4=T5，当n＞4时，T n+1＜T n，综上，当且仅当k=4或5时，均有T k≥T n（3）∵∴=∵对任意n∈N*均有成立，∴，所以λ的最小值为．。

全国卷Ⅲ高考数学压轴卷理含解析

全国卷Ⅲ高考数学压轴卷理含解析
何体的体积是 ,则它的表面积是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
10．在 A．
中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则当 取最小值时， （ ）
B．
C．
D．
11．已知 为抛物线
的焦点，
为抛物线 上三点，当
时，称
为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）
2
A． 0个 B． 1个 C． 3个 D． 无数个
19．（本题满分12分）
3
如图，在四棱锥 ，
中， ，
， ， 是棱
中点且
， .
（1）求证：
平面
；
（2）设点 是线段 上一动点，且 所成的角最大时，求 的值.
20．（本题满分12分）
，当直线 与平面
已知双曲线
的焦点是椭圆 ：
的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设动点 ， 在椭圆 上，且 ，求 的最大值.
21．（本题满分12分）
，记直线 在 轴上的截距为
已知函数
在点
处的切线方程为
.
（1）求实数 的值；
（2）若存在
，满足
，求实数 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
4
在直角坐标系
中，已知曲线 、 的参数方程分别为 ： ，
，
，不满足 ，
不满足
；
满足
；
满足
；
满足
；
不满足 ，满足 ，输出 的值为2， 的值为 ，故选B. 9.【答案】A[QQ 群 545423319:QQ 群 545423319ZXXK]

2019年浙江省高考数学压轴试卷(解析版)

2019年浙江省高考数学压轴试卷(解析版)

2019年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A. B. C. D.2.已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为（）A. B. C. D.3.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A.B. 2C.D.4.若复数z满足：1+（1+2z）i=0（i是虚数单位），则复数z的虚部是（）A. B. C. D.5.函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为（）A.B.C.D.6.已知平面α与两条不重合的直线a，b，则“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.（1-x）4（1+x）5的展开式中x3的系数为（）A. 4B.C. 6D.8.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是．现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，则期望E（X）和方差D（X）分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，9.已知A，B，C是球O球面上的三点，且，，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）A. B. C. D.10.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nS n的最小值为（）A. B. C. D.11.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种二、填空题（本大题共6小题，共32.0分）12.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款．问他们的人数和物品价格？答：一共有______人；所合买的物品价格为______元．13.已知x，y满足条件则2x+y的最大值是______，原点到点P（x，y）的距离的最小值是______14.在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则c=______；三角形外接圆的半径为______．15.已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|-|的最小值是______，最大值是______．16.已知实数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围为______．17.已知直线y=-x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[，]，则a的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.设函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[-，]上的最小值．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，，，且∈．（1）求首项a1与m的值；（2）若数列{b n}满足∈，求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．20.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点．（1）证明：AM⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，MH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角M-AN-C的余弦值．21.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．（1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点M（t，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．22.已知函数f（x）=-x2+ax-ln x（a∈R）．（1）若函数f（x）是单调递减函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间（0，3）上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选：D．先由补集的定义求出∁U B，再利用交集的定义求A∩∁U B．本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合．2.【答案】B【解析】解：双曲线，可得c=1，双曲线的离心率为：，∴，解得a=．故选：B．直接利用双曲线求出半焦距，利用离心率求出a即可．本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线的简单性质的应用．3.【答案】D【解析】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC-A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积S=2×+2×2+2×=6+4，故选：D．根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.【答案】B【解析】解：由1+（1+2z）i=0，得z=，∴复数z 的虚部是，故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵f（x）=y=2x2-e|x|，∴f（-x）=2（-x）2-e|-x|=2x2-e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8-e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2-e x，∴f′（x）=4x-e x=0有解，故函数y=2x2-e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．6.【答案】A【解析】解：a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．∴“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的充分不必要条件．故选：A．a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．本题考查了空间线面位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：（1-x）4（1+x）5=（1-4x+6x2-4x3+x3）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），故展开式中x3的系数为10-40+30-4=-4，故选：B．把（1-x）4和（1+x）5按照二项式定理展开，可得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，所以．X的分布列为均值，方差．故选：B．从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．说明每次抽取的结果是相互独立的，推出．得到分布列，然后求解期望即可．本题考查独立重复实验的概率的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．9.【答案】D【解析】解：如图，在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=3，∴由余弦定理可得cosA==-，则A=120°，∴sinA=．设△ABC外接圆的半径为r，则，得r=3．设球的半径为R，则，解得R=2．∵×3×3×=，∴三棱锥D-ABC体积的最大值为=，故选：D．由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D-ABC体积的最大值可求．本题主要考查空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意可得，解可得a1=-19，d=4，∴S n=-19n=2n2-21n，∴nS n=2n3-21n2，设f（x）=2x3-21x2，f′（x）=6x（x-7），当0＜x＜7时，f′（x）＜0；函数是减函数；当x＞7时，f′（x）＞0，函数是增函数；所以n=7时，nS n取得最小值：-343．故选：A．分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有4×2×6=48种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A．根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论，依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素．12.【答案】7 53【解析】解：设人数为x，物品价格为y，则，解得x=7，y=53．故答案为：7，53．列方程组求解．本题考查了方程的应用，属于基础题．13.【答案】6【解析】解：作出x，y满足条件的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（2，2）处取最大值为z=2×2+1×2=6．原点到点P（x，y）的距离的最小值是：|OB|=．故答案为：6；；画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．利用可行域转化求解距离即可．本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．14.【答案】2 2【解析】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B=（180°-A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故答案为：2；2由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：|+|=，|-|=，令x=，y=，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=-x+z，则直线y=-x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=-x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max=×=．综上所述，|+|+|-|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|+|=、|-|=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16.【答案】（-∞，-2]【解析】解：原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f（x）有三个不同的交点，当x≥0时，y=f2（x）+f（x）=e2x+e x为增函数，在x=0处取得最小值为2，与y=-t只有一个交点．当x＜0时，y=f2（x）+f（x）=lg2（-x）+lg（-x），根据复合函数的单调性，其在（-∞，0）上先减后增．所以，要有三个不同交点，则需-t≥2，解得t≤-2．原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f（x）有三个不同的交点，然后分x≥0和x＜0两种情况代入解析式可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．17.【答案】【解析】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去y，可得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，∴则x1+x2=，x1x2=，由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1．∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1．∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得•=0∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（-x1+1）（-x2+1）=0，化简得2x1x2-（x1+x2）+1=0．∴2•-+1=0．整理得a2+b2-2a2b2=0．∵b2=a2-c2=a2-a2e2，∴代入上式，化简得2a2=1+，∴a2=（1+）．∵e∈[，]，平方得≤e2≤，∴≤1-e2≤，可得≤≤4，因此≤2a2=1+≤5，≤a2≤，可得a2的最大值为，满足条件a2+b2＞1，∴当椭圆的离心率e=时，a的最大值为．故答案为：．将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得2a2=1+，由离心率的取值范围，即可求得a的最大值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-）=sinωx cos-cosωx sin-sin（-ωx）=sinωx-cosωx=sin（ωx-），又f（）=sin（ω-）=0，∴ω-=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x-）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+-）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x-）；当x∈[-，]时，x-∈[-，]，∴sin（x-）∈[-，1]，∴当x=-时，g（x）取得最小值是-×=-．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[-，]时g（x）的最小值．本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．19.【答案】解：（1）由已知得a m=S m-S m-1=4，且a m+1+a m+2=S m+2-S m=14，设数列{a n}的公差为d，则有2a m+3d=14，∴d=2…（2分）由S m=0，得，即a1=1-m，∴a m=a1+（m-1）×2=m-1=4∴m=5，a1=-4…（6分）（2）由（1）知a1=-4，d=2，∴a n=2n-6∴n-3=log2b n，得．∴ ．设数列{（a n+b）b n}的前n项和为T n∴ ①②①②，得==∴∈…（12分）【解析】（1）利用a m=S m-S m-1，转化求出数列的公差，然后利用已知条件求解m．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，可得∠ABC=60°，△ABC为正三角形．因为M为BC的中点，所以AM⊥BC．…（2分）又BC∥AD，因此AM⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PA⊥AM．而PA∩AD=A，所以AM⊥平面PAD．…（4分）（2）解：AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，则∠MHA为MH与平面PAD所成的角．在Rt△MAH中，AM=，∴当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．此时，tan∠MHA==又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），，，，，，，，，，则，，，，，，，，，设AC的中点为E，则，，，故就是面PAC的法向量，，，．设平面MAN的法向量为n=（x，y，1），二面角M-AN-C的平面角为θ．⇒⇒，，，，，．＜，＞，∴二面角M-AN-C的余弦值为．…（12分）【解析】（1）利用菱形与等边三角形的性质可得：AM⊥BC，于是AM⊥AD．利用线面垂直的性质可得PA⊥AM．再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出；（2）连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，可得：∠MHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AM=，可知：当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．利用直角三角形边角关系可得PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求出法向量，利用向量夹角求解即可．本题考查了直线与平面垂直的判定．在题中出现了探究性问题，在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想，属于中档题．21.【答案】解：（1）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴，∴p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）可得点M（4，4），可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：x=my+t，联立，得y2-4my-4t=0，则△=16m2+16t＞0①．设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4t．∵•=（x1-4，y1-4）•（x2-4，y2-4），=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16，=，=，=t2-16m2-12t+32-16m=0即t2-12t+32=16m2+16m，得：（t-6）2=4（2m+1）2，∴t-6=±2（2m+1），即t=4m+8或t=-4m+4，代入①式检验均满足△＞0，∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．∴直线过定点（8，-4）（定点（4，4）不满足题意，故舍去）．【解析】（1）求出抛物线的焦点坐标，结合题意列关于p的等式求p，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出M的坐标，设出直线DE的方程x=my+t，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后D，E两点纵坐标的和与积，利用⊥得到t与m的关系，进一步得到DE方程，由直线系方程可得直线DE所过定点．本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属中档题．22.【答案】解：（1）＞，∵函数f（x）是单调递减函数，∴f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，（3分）∴-2x2+ax-1≤0对（0，+∞）恒成立，即对，恒成立，∵（当且仅当2x=，即x=时取等号），∴（7分）（2）∵函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值．∴在（0，3）上有两个相异实根，即2x2-ax+1=0在（0，3）上有两个相异实根，（9分），则△＞＜＜＞＞，得＜或＞＜＜＜，即＜＜．（12分）【解析】（1）求出导函数，通过f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，分离变量推出a，利用基本不等式求解函数的最小值，得到a的范围．（2）通过函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值．说明导函数由两个零点，列出不等式组求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．。

2019高考数学压轴小题及答案解析

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2019高考数学压轴小题及答案解析题组一10.设函数$f(x)$为定义域为$\mathbb{R}$的奇函数，且$f(x)=f(-2x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\sin x$，则函数$g(x)=\cos(\pi x)-f(x)$上的所有零点的和为（）在区间$[-2,2]$。

11.已知函数$f(x)=\frac{2}{1+x^2}+\sin x$，其中$f'(x)$为函数$f(x)$的导数，求$f(2018)+f(-2018)+f'(2019)+f'(-2019)$的值。

12.已知直线$l:y=ax+1-a(a\in\mathbb{R})$，若存在实数$a$使得一条曲线与直线$l$有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于$|a|$，则称此曲线为直线$l$的“绝对曲线”。

下面给出的四条曲线方程：$y=-2x-12$，$(x-1)^2+(y-1)^2=1$，$y=4x$，$x+3y=4$。

其中直线$l$的“绝对曲线”的条数为（）。

15.若平面向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$，$\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$，满足$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，$\vec{b}\cdot\vec{c}=0$，则$\vec{1}$在$\vec{2}$方向上投影的最大值是（）。

16.观察下列各式：$3=3^1$，$6=3+5$，$9=7+9+11$，$12=13+15+17+19$，$\cdots$，$3m=m^2+(m+1)^2+(m+2)^2+\cdots+(2m-1)^2$。

按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则$m$的值为（）。

2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科附答案解析

2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科附答案解析

2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合A B ＝（ ） A ．{}1,2B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅2． 已知复数z 满足(2)3i z i -=+，则||(z = ) AB ．5CD ．103．下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A.B.C.D.4．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（ ）A.51 B. 103 C. 52 D. 545．函数()23sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ）A. 4πB. 2πC. πD.2π6．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ） A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b >>>7． 若实数x ，y 满足条件10262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩…………，则2z x y =-的最大值为( )A ．10B ．6C ．4D ．2-8． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，四点1(4,2)P ，2(2,0)P ，3(4,3)P -，4(4,3)P 中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )A B ．52C D ．729． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．1110．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ）A. B. 5 C.D. 611． ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( )A B C D12． 在四面体ABCD 中，1AB BC CD DA ====，AC =BD =(S = ) A ．4πB ．83πC ．43πD ．2π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．数列{}n a 中，148,2a a ==且满足.212(*)n n n a a a n N ++=-∈，数列{}n a 的通项公式14． 已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)f a f -<（4），则a 的取值范围为 ．15．在ABC ∆中，角的对边分别为，AaB b B c cos cos cos 与是-的等差中项且，ABC ∆的面积为34，则的值为__________．16．已知抛物线x y C 4:=的焦点是，直线交抛物线于两点，分别从两点向直线作垂线，垂足是，则四边形的周长为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在右图所示的四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°， ∠BCD ＝150°，∠BAC＝60°，AC ＝2，AB ＝3＋1．（Ⅰ）求BC ；（Ⅱ）求△ACD 的面积． （18）（本小题满分12分）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝ni ＝1∑x i y i －nx-y -n i ＝1∑x 2i －nx-2，a ˆ＝y -－b ˆx -．）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2－1.75x ＋17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？ （19）（本小题满分12分）在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 为等边三角形，底面ABCD 等腰梯形，满足AB ∥CD ，AD ＝DC ＝ 12AB ＝2，且平面P AD ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面P AD ； （Ⅱ）求点C 到平面PBD 的距离． （20）（本小题满分12分）ABCDP已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长（P 到切点的距离）．记动点P 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，问是否存在常数λ，使得|AC |·|BC |＝λ|QC |2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 21.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln (mx )－x ＋1，g (x )＝(x －1)e x －mx ，m ＞0． （Ⅰ）若f (x )的最大值为0，求m 的值；（Ⅱ）求证：g (x )仅有一个极值点x 0，且 12ln (m ＋1)＜x 0＜m ．请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，M (－2，0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B (ρ，θ＋π3)，|BM |＝1． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求|OA |2＋|MA |2的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，ad ＝bc ． （Ⅰ）证明：a ＋d ＞b ＋c ；（Ⅱ）比较a a b b c d d c 与a b b a c c d d 的大小．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，满足题意01x ≤≤，所以集合A B ＝(){}1,2．故选C ．2． 【答案】C【解析】：(2)3i z i -=+，3213iz i i+∴=-=+，||z ∴=．故选：C ．3．【答案】D 【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，且是上的增函数，故选D. 4．【答案】A【解析】由题意知第二节课的上课时间为，该学生到达教室的时间总长度为分钟，其中在进入教室时，听第二节的时间不少于分钟，其时间长度为分钟，故所求的概率515010= ，故选A. 5．【答案】C【解析】 因为()21cos233sin cos sin222x f x x x x x -=+=+3sin2226x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 所以其最小正周期为222T w πππ===，故选C. 6．【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0a b <.综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 7．【答案】B ．【解析】：先根据实数x ，y 满足条件10262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩…………画出可行域如图，做出基准线02x y =-，由图知，当直线2z x y =-过点(3,0)A 时，z 最大值为：6．故选：B ．8． 【答案】C【解析】：根据双曲线的性质可得3(4,3)P -，4(4,3)P 中在双曲线上， 则1(4,2)P 一定不在双曲线上，则2(2,0)P 在双曲线上，2a ∴=，221691a b -=，解得23b =，2227c a b ∴=+=，c ∴=，c e a ∴==，故选：C ． 9． 【答案】B【解析】：模拟程序的运行，可得： 11,313i S lg lg ===->-，否；1313,51355i S lg lg lg lg ==+==->-，否；1515,71577i S lg lg lg lg ==+==->-，否；1717,91799i S lglg lg lg ==+==->-，否； 1919,11191111i S lg lg lg lg ==+==-<-，是，输出9i =， 故选：B ． 10．【答案】C【解析】 由三视图可知，该几何体是四棱锥P ABCD -，如图所示， 其中侧棱PD ⊥平面,2,3,4ABCD AD CD PD ===，则5,PA PC PB ====C ．11． 【答案】B ．【解析】ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC =， 510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C ，，设点P 为(,)x y ，05x 剟，0y 剟3255AP AB AC λ=-，(x ∴，3)(55y =，20)(55λ-，(32λ=-，)-，∴32x y λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，3)y x ∴=-，①直线BC 的方程为5x =，②， 联立①②，得5x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时||AP 最大，||AP ∴= 故选：B ．12． 【答案】D 【解析】：如下图所示，1AB BC CD DA ====，BD =222AB AD BD +=，222BC CD BD +=，所以，90BAD BCD ∠=∠=︒，设BD 的中点为点O ，则12OA OB OC OD BD =====，则点O 为四面体ABCD 的外接球球心，且该球的半径为R =因此，四面体ABCD 的表面积为22442S R πππ==⨯=．故选：D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】=102n a n -【解析】 由题意，211n n n n a a a a +++-=-，所以{}n a 为等差数列.设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，得82(1)102n a n n =--=-. 14．【答案】17a -<<． 【解析】：()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，∴不等式(3)f a f -<（4）等价为(|3|)f a f -<（4），即|3|4a -<，即434a -<-<，得17a -<<，即实数a 的取值范围是17a -<<，故答案为：17a -<< 15．【答案】54.【解析】由A a B b B c cos cos cos 与是-的等差中项，得AaB b B c cos cos cos 2+=- . 由正弦定理，得A A B B B C cos sin cos sin cos sin 2+=-,A B B A B C cos cos )sin(cos sin 2⋅+=- ，由C B A sin )sin(=+ 所以21cos -=A ,32π=A . 由34sin 21==∆A bc S ABC ，得16=bc . 由余弦定理，得16)(cos 22222-+=-+=c b A bc c b a ，即54=+c b ，故答案为54． 16．【答案】.【解析】由题知， ，准线 的方程是 . 设 ，由 ，消去，得 .因为直线经过焦点，所以 . 由抛物线上的点的几何特征知 ，因为直线的倾斜角是 ，所以，所以四边形的周长是，故答案为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）在S △ACD ＝1【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝6， 所以BC ＝6．（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，则sin ∠ABC ＝22 ，又0°＜∠ABC ＜120°，所以∠ABC ＝45°，从而有∠ACB ＝75°，由∠BCD ＝150°，得∠ACD ＝75°，又∠DAC ＝30° ，所以△ACD 为等腰三角形， 即AD ＝AC ＝ 2，故S △ACD ＝1．（18）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）^y ＝－1.45x ＋18.7（Ⅱ）x ＝3【解析】（Ⅰ）由已知：x -＝6，y -＝10，5i ＝1∑x i y i ＝242，5i ＝1∑x 2i＝220， ^b ＝ni ＝1∑x i y i －nx-y -n i ＝1∑x 2i －nx-2＝－1.45，a ˆ＝y -－^bx-＝18.7；所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2)＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5 ＝－0.05(x －3)2＋1.95，所以预测当x ＝3时，销售利润z 取得最大值．（19）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）32ABCD【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，则DE∥BC，且DE＝BC．故DE＝12AB，即点D在以AB为直径的圆上，所以BD⊥AD．因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面P AD．（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD．由（Ⅰ）可知△ABD和△PBD都是直角三角形，所以BD＝AB2－AD2＝23，于是S△PBD＝12PD•BD＝23，S△BCD＝12BC•CD•sin120°＝3，易得PO＝3，设C到平面PBD的距离为h，由V P-BCD＝V C-PBD得13S△PBD•h＝13S△BCD•PO，解得h＝3 2．（20）（本小题满分12分）【答案】（1）y2＝6x （Ⅱ）λ＝4 3【解析】（Ⅰ）由已知得圆心为C(2，0),半径r＝3．设P(x，y)，依题意可得| x＋1 |＝(x－2)2＋y2－3，整理得y2＝6x．故曲线E的方程为．（Ⅱ）设直线AB的方程为my＝x－2，则直线CQ的方程为y=－m(x－2)，可得Q(－1，3m)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将my＝x－2代入y2＝6x并整理得y2－6my－12＝0，那么y1y2＝－12，…8分则|AC|·|BC|＝(1＋m2) | y1y2 |＝12(1＋m2)，|QC|2＝9(1＋m2)．即|AC|·|BC|＝43|QC|2，所以λ＝43．21.（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）m＝1（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由m＞0得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝1x－1＝1－xx，当x＝1时，f'(x)＝0；当0＜x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减．故当x＝1时，f(x)取得最大值0，则f(1)＝0，即ln m＝0，故m＝1．（Ⅱ）g'(x)＝x e x－m，令h(x)＝x e x－m，则h'(x)＝(x＋1)e x，当x＝－1时，h'(x)＝0；当x＜－1时，h'(x)＜0，h(x)单调递减；当x＞－1时，h'(x)＞0，h(x)单调递增．故当x＝－1时，h(x)取得最小值h(－1)＝－e－1－m＜0．当x＜－1时，h(x)＜0，h(x)无零点，注意到h(m)＝m e m－m＞0，则h(x)仅有一个零点x0，且在(－1，m)内．由（Ⅰ）知ln x≤x－1，又m＞0，则12ln(m＋1)∈(0，12m)．而h(12ln(m＋1))＝h(ln m＋1)＝m＋1ln m＋1－m＜m＋1(m＋1－1)－m＝1－m＋1＜0，则x0＞12ln(m＋1)，故h(x)仅有一个零点x0，且12ln(m＋1)＜x0＜m．即g(x)仅有一个极值点x0，且12ln(m＋1)＜x0＜m．22.（本小题满分10分）【答案】（Ⅰ）(x＋1)2＋(y－3)2＝1（Ⅱ）[10－43，10＋43]．【解析】（Ⅰ）设A(x，y)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x B＝ρcos(θ＋π3)＝12x－32y；y B＝ρsin(θ＋π3)＝32x＋12y，故B(12x－32y，32x＋12y)．由|BM|2＝1得(12x－32y＋2)2＋(32x＋12y)2＝1，整理得曲线C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1．（Ⅱ）圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋cos α，y ＝3＋sin α（α为参数），则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10， 所以|OA |2＋|MA |2∈[10－43，10＋43]．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0，即(a －d )2＞(b －c )2， 由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即(a ＋d )2＞(b ＋c )2，故a ＋d ＞b ＋c ．（Ⅱ）a a b b c d d c a b b a c c d d ＝( a b )a －b ( c d )d －c ＝( a b )a －b ( d c)c －d ， 由（Ⅰ）得a －b ＞c －d ，又a b ＞1，所以( a b )a －b ＞( a b )c －d ，即( a b )a －b ( d c )c －d ＞( a b )c －d ( d c )c －d ＝(ad bc)c －d ＝1， 故a a b b c d d c ＞a b b a c c d d ．。

北京市2019年高考压轴卷数学(文)试题(含解析)

北京市2019年高考压轴卷数学(文)试题(含解析)

3 sin 2 x .
1 2.
Tn
(Ⅰ )求 f x 的最小正周期；
(Ⅱ )求证：对于任意的 x
, ，都有 f x
3．
36
17．（本小题 13 分）
某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国
70 周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽
取了 40 名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分
Tn
（ 16）
解 :（Ⅰ） f x sin x cosx 3sin 2 x
1 sin 2x 3 1 cos2x
2
2
1
3
3
sin 2x cos2x
2
2
2
3
sin 2x
.
32
所以 f x 的最小正周期 T 2
.
2
（Ⅱ）因为
x ，所以
2x .
3
6
3
3
所以
2x
2
.
3
33
所以 sin 2x
sin( )
3.
3
②存在常数 c ，使得 an c (n N * ) 成立；
③若 p q m n (其中 p, q, m,n N * ) ，则 a p aq am an ；
④存在常数 d ，使得 an
a1 (n 1)d (n
*
N ) 都成立．
上述命题正确的是 ____． (写出所有正确结论的序号 ) 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15．（本小题 13 分）
由题知： a=1， i=1 ， a=2-1=1， i=2 ，否； a=3， i=3 ，否； a=6-3=3 ， i=4 ，是， 则输出的 a 为 3．

2019年上海市高考压轴卷数学试题(解析版)

2019年上海市高考压轴卷数学试题(解析版)

2019上海高考压轴卷数学一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为()A. 3B. 3C. 23D. 3【答案】D【解析】【分析】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ，利用斜率公式以及直线,AM BM 的斜率之积为49-列式并化简得:2022049y x a =-- ，①,再根据M 在椭圆上可得2202220y b x a a =-- ，②,联立①②可解得. 【详解】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+- 则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，① 又2200221x y a b+=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，② 联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得e =． 故选D ．【点睛】本题考查了斜率公式,椭圆的几何性质,属中档题.2.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】 “a＞1”⇒“11a ＜”，“11a ＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a ＞1”⇒“11a ＜”， “11a ＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3.已知三棱锥S ABC -，ABC △是直角三角形，其斜边8AB =，SC ⊥平面ABC ,6SC =,则三棱锥的外接球的表面积为( )A. 100πB. 68πC. 72πD. 64π 【答案】A【解析】如图所示，直角三角形ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点D ，过D 作面ABC 的垂线，球心O 在该垂线上，过O 作球的弦SC 的垂线，垂足为E ，则E 为SC 的中点，球半径R OS =114,3,522CD AB SE SC R ====∴=，棱锥的外接球的表面积为24100R ππ=，故选A. 【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.4.定义：若整数m 满足：1122m x m -<≤+，称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =．给出函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()f x 的定义域为R ，值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②函数()f x 是周期函数，最小正周期为1；③函数()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数； ④函数()f x 的图象关于直线()2k x k Z =∈对称. 其中所有的正确命题的序号为（）A. ①③B. ②③C. ①②④D. ①②③【答案】B【解析】【分析】①中,根据题意易得11(){}(,]22f x x x =-∈-,故①错误; ②中,由(1)()f x f x +=可知小正周期为1，故②正确, ③中，()f x 在11(,]22-和13(,)22上是增函数, 故命题③正确, ④中,()()f k x f x -≠, 故命题④错误. 【详解】∵①中，显然(){}f x x x =- 的定义域为R,由题意知，11{}{}22x x x -<≤+，则得到(){}f x x x =-11(,]22∈-，故①错误； ②中，由题意知:(1)(1){1}1{}1f x x x x x +=+-+=+--={}()x x f x -=,所以(){}f x x x =-的最小正周期为1，，故②正确；③中，由于11{}{}22x x x -<≤+,则得(){}f x x x =-为分段函数，且在1113,,,2222⎛⎤⎛⎫- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭上是增函数，，故命题③正确；④中，由题意得，()(){}(){}()f k x k x k x x x f x -=---=---=-()f x ≠所以函数y =f （x ）的图象关于直线x =2k （k ∈Z ）不对称，故命题④错误； 由此可选择②③，故选B .【点睛】本题考查了函数的值域,周期性,对称轴,属难题.二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.若42021xx =，则x =___ 【答案】1【解析】4221xx =422022,1x x x x -⋅=∴==6.已知双曲线22121x y m m -=++m = ______. 【答案】2或5-【解析】 双曲线22121x y m m -=++，当焦点在x 轴时，a 2=m+2，b 2=m+1，可得c 2=a 2+b 2=3+2m ，双曲线22121x y m m -=++的离心率为2，所以327224m m m +=∴=+ 当焦点在y 轴时，a 2=-m-1，b 2=-m-2，可得c 2=a 2+b 2=-3-2m ，所以327514m m m --=∴=--- 故答案为2或-5． 点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，因为没有指出焦点在哪个轴上，所以讨论两种情况，要抓住双曲线方程的特征得出22,a b ，2c 即可得解7.62(x -的展开式中常数项为______ ．【答案】60【解析】【分析】先求出展开式的通项公式,再令x 的指数为0,解出r ,进而可求出常数项.【详解】62(x 的展开式中的通项公式：366621662()((1)2r r r r r r r r T C C x x ---+==-. 令32r -6=0，解得r =4．∴62(x的展开式中常数项为:4246(1)2C -⨯=60． 故答案为60．【点睛】本题考查了二项式定理,属基础题.8.函数2()42x x f x +=- (12)x -≤≤的最小值为______ ．【答案】-4【解析】分析】 换元,令2x t =,则1[,4]2t ∈,24y t t =-,再利用二次函数的单调性可求最小值. 【详解】2()(2)42x x f x =-⋅ ,令2x t =, 因为12x -≤≤ ,所以1[,4]2t ∈,则224(2)4y t t t =-=--, y 在1[,2]2t ∈上递减，在[2,4]t ∈上递增， 所以当t =2时函数取得最小值-4．故答案为-4．【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值,属中档题.9.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z|==．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭复数为a bi -．【10.若数列{a n }满足a 11=152，11n a +-1na =5（n ∈N *），则a 1=______ ． 【答案】12【解析】【分析】 根据111n na a +-5=,可得1{}n a 是以5为公差的等差数列,由等差数列的通项公式可得. 【详解】因为111n na a +-5=,所以1{}n a 是以5为公差的等差数列, 所以1115(1)n n a a =+-, 所以111115(111)a a =+-, 所以111115052502a a =-=-=, 所以112a =. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,属基础题.11.已知()()()()2211a a x a x f x log x x ⎧+-⎪=⎨≥⎪⎩，＜，是R 上的增函数，则a 的取值范围是______ ． 【答案】[2，+∞）【解析】【分析】因为分段函数为R 上的增函数,所以分段函数在两段上也是增函数,且1x < 时的函数值恒小于等于1x ≥ 时的函数值.【详解】首先，y =log a x 在区间[1，+∞）上是增函数且函数(2)2y a x a =+-在区间（-∞，1）上也是增函数∴a ＞1 ①其次在x =1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a +2）-2a ≤log a 1⇒a ≥2 ②联解（1）、（2）得a ≥2．故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属中档题.12.已知圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，P （2，2）是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是______ ．【答案】【解析】【分析】因为经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦,根据垂径定理可求得最短弦长,由此可求得四边形的面积.【详解】∵圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，∴圆心坐标为M （1，1），半径r =3．∵P （2，2）是该圆内一点，∴经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC 是经过P 点的直径，BD 是与AC 垂直的弦．∵|PM =∴由垂径定理，得|BD ．因此，四边形ABCD 的面积是S =12|AC |•|BD |=12．故答案 【点睛】本题考查了圆中的垂径定理,属中档题.13.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________． 【答案】23【解析】从袋中一次随机摸出2个球,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) 6种基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4的事件为 (1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，四种基本事件数，因此概率为4263=14.已知各项为正数的等比数列{}n a 中，2316a a =，则数列{}2log n a 的前四项和等于_____．【答案】8.【解析】各项为正的等比数列{a n }中，a 2a 3=16，可得a 1a 4=a 2a 3=16，即有log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4=log 2（a 1a 2a 3a 4）=log 2256=8．故答案为：8．点睛：这个题目考查是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律。

2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科附答案解析

2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科附答案解析

2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2c o s 2f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ）A ．2y x =+或2y x =--B ．2y x =+C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x ⎛+ ⎝的展开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________．15.知变量x ，y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数z =的最大值为16．如图，在ABC △中，sin 2ABC ∠D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b c a b c---⋅⋅≥．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a==C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ；32m =，1n =时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为：()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确；当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()3111256n⎛+⨯+= ⎝，据此可得：7n =，73x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()1,2cos x y zθ-⋅===，其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π，目标函数z=C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=， 则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=．设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cosz x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠，由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =，y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()m a x m a x 11s i n 222S A B B C A B C =⨯⨯⨯∠=⨯三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．， 所以223n n n S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=， ()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=， 在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人， 分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人． （3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴EDDB =，由3AD =，可知BD =DE =AF =则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,BF =-，(3,0,EF =-．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,30,y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令z =(4,n =．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-，∴||cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅<>===⋅∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为13．20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，BC==，122ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=， ()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=-+-，则()2131'ax g x --=，令())2131h x ax --，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----=．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0hx >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+ 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析． 【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<， 当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭． （2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=≥1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

2019浙江省高考压轴卷数学附答案解析

2019浙江省高考压轴卷数学附答案解析

2 2
，所以 e2

1 a2

2 ，解得 a

2
，故选 B.
2
4
3.【答案】D 【解析】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱 ABC A ' B 'C ' ，
底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 2 、斜边是 2，
且侧棱与底面垂直，侧棱长是 2，
∴ 几何体的表面积 S 2 1 21 2 2 2 2 2 6 4 2 ， 2
14.【答案】 4 2 5
【解析】设向量
a,
b
的夹角为
，由余弦定理有：
4. 若复数 z 满足： 1 1 2z i 0 （ i 是虚数单位），则复数 z 的虚部是（ ）
A. 1 2
1
B.
2
C. 1 i 2
1 D. i
2
5. 函数 y 2x2 e x 在 2, 2 的图像大致为（ ）.
y
y
1
1
-2
O
2 x -2
O
2x
A
B
1
y
y
1
1
-2
2019 浙江省高考压轴卷
数学
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.
1．已知全集U 1, 2,3, 4,5, 6, 集合 A 1,3,5, B 1, 2, 则 A CU B A. B. 5 C. 3 D. 3,5
2
xy0 ,
12.
已知
x,
y
满足条件

x

y
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数学压轴小题专练（选择9/10-12，填空15-16） 题组一10.设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()s i n f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间59[,]22-上的所有零点的和为（ ） A ．6 B ．7 C ．13 D ．1411.已知函数2()s i n 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)f f +-'(2019)'(2019)f f ++-=（ ）A ．2B ．2019C ．2018D ．012.已知直线l ：1()y ax a a R =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1x y -+-=；③2234x y +=；④24y x =. 其中直线l 的“绝对曲线”的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415.若平面向量1e ，2e 满足11232e e e =+=，则1e 在2e 方向上投影的最大值是 ．16.观察下列各式：311=；3235=+；337911=++；3413151719=+++……若3*()m m N ∈按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m 的值为 ． 题组二 9．如图在三棱锥中,平面平面,,,现将一小球放入三棱锥内,往三棱锥内注水,当注入水的体积是三棱锥的体积的时,小球与底面及三个侧面都相切,且小球与水面也相切,则小球的表面积等于A ．B ．C ．D ．10．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过做轴的垂线交双曲线于，若双曲线左、右顶点分别为、，直线，与轴分别交于点，点，若，则圆上的点到双曲线的渐近线的距离的最大值为A ．B ．C ．D ．11．在中，内角所对的边分别为，已知，的面积，且，则A ．B ．C ．D ．12．已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则的值为A ．B ．C ．D ．15．若实数满足约束条件，则的范围为___________.16．已知抛物线的方程为，设直线：，交抛物线于、两点，为坐标原点，点在抛物线的部分上，则的面积最大为___________.题组三10. 已知，且，则=（）A. B.C. D.11. 已知不等式264cos64cos4sin22≥--+mxxx对于]3,3[ππ-∈x恒成立，则实数m的取值范围是（）A. ]2,(--∞ B.]22,(-∞(,)3παπ∈3sin()65πα+=cosα10343-10343+10343--10343+-C. ]2,22[D. ),2[+∞12. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点05,2P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为双曲线上一点，若12PF F ∆的内切圆半径为1，且圆心G 到原点O）A. 2281325x y -=B. 22145x y -= C. 2221625x y -=D. 221850x y -=题组四10.若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在()f x 图象上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“和谐点对”，(,)A B 与(,)B A 可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“和谐点对”有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.设函数()xf x e x =-，()g x ax b =+，如果()()f x g x ≥在R 上恒成立，则a b +的最大值为（ ） A ．13e+ C ．1 D ．1e -12.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ） A ．14400 B ．28800 C ．38880 D ．43200 15.设P 为曲线1C 上的动点，Q 为曲线2C 上的动点，则称PQ 的最小值为曲线1C 、2C 之间的距离，记作12(,)d C C .若1C ：20x e y -=，2C ：ln ln 2x y +=，则12(,)d C C = ．16.在ABC ∆中，设b ，c 分别表示角B ，C 所对的边，AD 为边BC 上的高.若AD BC =，则c b 的最大值是 ．题组五题组六 10.函数()21y f x =-是偶函数，则函数()21y f x =+的对称轴是 （ ）A ．1x =-B ．0x =C ．12x =D ．12x =-11. 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若M(x ，y)为D 上动点，点A 的坐标为1)．则z O M O A =⋅的最大值为A. B.12.定义域和值域均为[,]a a -（常数a>0）的函数()y f x =和g()y x =大致图象如图所示，给出下列四个命题： ①方程[()]0f g x =有且仅有三个解； ②方程[()]0g f x =有且仅有三个解； ③方程[()]0f f x =有且仅有九个解；④方程[()]0g g x =有且仅有一个解。

那么，其中一定正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④题组七10．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为72，27，则输出的a =（ ）A ．18B ．9C ．6D ．311.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图， 则该几何体外接球的表面积为（ ）A.10πB.14πC.16πD.18π12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+=1,21,11)(x e x x x x f x ，若函数)1()()(--=x m x f x g 有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.)0,2(- B.)0,1(- C.),0()0,2(+∞⋃- D.),0()0,1(+∞⋃-15. 已知函数()[)[)2017cos ,0,,2log ,,x x f x x x ππππ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪∈+∞⎪⎩若存在三个不同的实数,,a b c ，使得()()()f a f b f c ==，则a b c++的取值范围为______________．16.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 倾斜角为60的直线交C 于,A B 两点，,AM l BN l ⊥⊥，,M N 为垂足，点Q 为MN 的中点，2QF =，则p =_____题组八题组九9．在239(1)(1)(1)x x x++++++的展开式中，含2x项的系数是A．119 B．120 C．121 D．72010．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为A．1603 B．160 C．2563 D．6411．已知椭圆22:143x yC+=，直线:4l x=与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于,A B两点，点C在直线l上，则“BC//x轴”是“直线AC过线段EF中点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．下列命题为真命题的个数是①ln32<；②lnπ<③15<；④3ln2e<A．1 B．2 C．3 D．415．考虑函数xy e=与函数lny x=的图像关系，计算：21lnexdx=⎰__________．16．如图所示，在平面四边形ABCD中，2AD=，4CD=，ABC∆为正三角形，则BCD∆面积的最大值为__________．题组十9.已知函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是( )A． B． C. D．10. 已知抛物线上的两个动点和，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，则点 C 与圆的位置关系为( )A．圆上 B．圆外 C.圆内 D．不能确定11. 已知，若恰有两个根,则的取值范围是( )A． B． C. D．12. 有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料，其各棱长都为2，已知分别为上，下底面的中心， 为 的中点，过 ， ， 三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为( ) A ． B ．C.D ．2 15.已知 中，，则过点 且以 为两焦点的双曲线的离心率为 ． 16.已知正 的中心为 ，边长为 ，且平面内一动点 满足 ，记 的面积分别为 ，则的最小值为 ． 题组十一9. 在ABC ∆内部有一点O ，满足→→→→=++032OC OB OA ，则=∆∆AOC BOC S S （ ）A. 14B. 13C. 12 D. 110. 下列命题正确的个数为（ ）都有”的否定是“使得”;”是“”成立的充分条件;命题“若，则方程有实数根”的否命题A. 0B. 1C. 2D. 3111]11. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A.D.12. 设'()f x 为函数()f x的导函数，且211()(0)'(1)2x f x x f x f e -=-+，若21()()2g x f x x x =-+，则方程2()0x g x x a--=有且仅有一个根时a 的取值范围是（ ）A ．(,0){1}-∞B ．(,1]-∞C ．(0,1]D ．[1,)+∞15. 如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩内，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上， 那么PQ的最小值为_________________ .16. 已知函数()f x 满足()12f =，()()()111f x f x f x ++=-，则()()()()1232018f f f f ⋅⋅…的值为 ．题组十二9. 甲乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A ．29B ．49C ．23D ．7910. 下图是某桌球游戏计分程序框图，下列选项中输出数据不符合该程序的为（ ）R x ∈∀02≥x R x ∈∃0020≤x 3≠x 3≠x 21≤m 0222=++x m xA ．15,120i S ==B ．13,98i S ==C ．11,88i S ==D ．11,81i S == 11. 已知函数()f x 满足()()f x f x '>，在下列不等关系中，一定成立的是（ ）A ．()()12ef f > B ．()()12ef f < C ．()()12f ef > D ．()()12f ef <12. 在ABC ∆中，090,6C AB ∠==，点P 满足2CP =，则PA PB ⋅uu r uu r的最大值为（ ）A ．9B ．16C ．18D ．2515. 在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2SD AD ==，三棱柱111MNP M N P -的顶点都位于四棱锥S ABCD -的棱上，已知,,M N P 分别是棱,,AB AD AS 的中点，则三棱柱111MNP M N P -的体积为 ．16.数列{}n a 满足132n n n a a +=-，若n N +∈时，1n n a a +>，则1a 的取值范围是 ． 题组十三10.已知三棱锥P A B C -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为2,1,603AB AC BAC ==∠=，则此球的表面积等于A. 5πB. 20πC. 8πD. 16π 11.已知A,B 是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3,OAB AB FB S AB ∆==，则的值为A. 92B. 29 C.4 D.212.已知偶函数()f x 满足()()()(]44,000,4f x f x f x +=-=∈且，当时，()()ln 2x f x x =，关于x 的不等式()()[]20200200f x af x+>-在，上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围A.1ln6,ln23⎛⎤-⎥⎝⎦ B.1ln2,ln63⎛⎫--⎪⎝⎭ C.1ln2,ln63⎛⎤--⎥⎝⎦ D.1ln6,ln23⎛⎫-⎪⎝⎭15.在23ABC ABCπ∆∠=中，，过B点作BD⊥AB交AC于点D，如果1AB CD==，则AD=____________.16.已知函数()()sin0,0,2f x x aπωπϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭，直线()y a f x=与的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2，4，现有如下命题：①该函数在[]24，上的值域是a⎡⎤⎣⎦②在[]24，上，函数在3x=处取得最大值③该函数的最小正周期可以是8 3④函数()f x的图象可能过原点以上正确的命题的序号是____________. 题组十四10.在三棱锥P ABC ABC PBC-∆∆中，和均为等边三角形，且二面角P BC A--的大小为120，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为A. 58 B.34 C.78 D.1411.已知()()()[]2112324x xf x x x e e x--=--++-在区间，上的值域为[]m M m M+=，，则A.2B.4C.6D.812在锐角23sin,32AABC A BC ABC∆==∆，则面积的取值范围为A. ⎝B.(C. ⎝⎦D.⎛⎝⎦15.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，AE交BD于点F，μλ+=，则=+μλ .16.已知()()12,0,,0F c F c-为双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左、右焦点，过双曲线C的左焦点的直线与双曲线C的左支交于Q，R两点（Q在第二象限），连接RO（O为坐标原点）并延长交C的右支于点P，若11122,3F P F Q F P Fπ=∠=，则双曲线C的离心率为 . 题组十五10.若x，y满足1212x y-++≤，则2222M x y x=+-的最小值为（）A ．2-B ．211C ．4D ．49-11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF ∆与OAB ∆的面积之比为（ ）A．2 B．3 C ．12 D ．3415.已知(,)22x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为 ．16.在四面体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四面体体积最大时，它的外接球半径R = ． 题组十六9. (原创.中等) 在三棱锥S ABC -中，,,AB AC AB AC SA SA ⊥==⊥平面ABC ，D 为BC 中点，则异面直线AB 与SD 所成角的余弦值为（ ）A.5B.6C.6D.以上结论都不对10. (原创.中等) 下面有四个命题： ①设(1,1),XN (13)0.9544P X -≤≤=，则(3)0.0228P X ≥=.②已知lg 2a =，则aa aa a a <<.③将2tan()6y x π=+的图象向右平移6π个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，可得到tan y x=的图象.④设03a <<，则函数3()(01)f x x ax x =-<<有最小值无最大值. 其中正确命题的个数为（ ）A.1B.2C.3D.411. (原创.中)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于,M N 两点，P 为直线l 上一点，当APB ∠最大时，点P 恰好在M （或N ）处.则双曲线的离心率为（ ）212. （改编，难）已知函数ln ,0()ln(),0mx x x f x mx x x ->⎧=⎨+-<⎩.若函数()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,())A x f x 和22(,())B x f x 的直线斜率为k ，若02k e <≤，则实数m 的取值范围为（ ） A.1(,2]e B.1(,]e e C.(,2]e e D.1(2,]e e + 15. (原创.容易)若实数,x y 满足3||3y x a y x ≥+⎧⎨≤-+⎩.若z x y =+的最小值为7-，则________a = 16. (改编.难) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S （*n N ∈），且满足212n n S S n n ++=+，若对*1,n n n N a a +∀∈<恒成立，则首项1a 的取值范围是__________．题组十七题组十八9.(原创，中档)已知点P 是双曲线C ：22124y x -=的一条渐近线上一点，F 1、F 2是双曲线的下焦点和上焦点，且以F 1F 2为直径的圆经过点P ，则点P 到y 轴的距离为（ ）A.14B.12 C.1 D.210.(原创，中档)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足(),(0,),||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λλ=++∈+∞则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心11.(原创，难)设直线43y x=-与椭圆22:12516x yE+=交于A、B两点，过A、B两点的圆与E交于另两点C、D，则直线CD的斜率为（）A.－14 B.－2 C.14 D.－412.(改编，难)若函数2()lnlnxf x ax xx x=+--有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A.1(1,)1ee e-- B.1[1,]1ee e-- C.1(,1)1ee e--- D.1[,1]1ee e---15.(原创，中档)设实数,x y满足250,20,220,xx yx yx yy++-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则的最小值是 .16.(改编，难)已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足,AG xAM yAN=+其中31.,4x y AM AB+==若则△ABC和△AMN的面积之比为 . 题组一 AAC15.16. 45题组二AACA15.[81/10，17]16.32题组三ABB15.16．题组四BDC15.16.题组五题组六ACC15.16.Cm3题组七BBD题组八DBA题组九BAAC题组十DCBB题组十一CBBA题组十二DCAB还是DBAB不明题组十三BAC题组十四ADC15.1/3 16.六分之根号下57 题组十五DCC题组十六BCAB15.-216.题组十七DBBB15.16.题组十八DCDA15.16.。

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