(4)矩阵的对角化与二次型

解 A的特征方程为
0 1
A I 0
1
0 (1 )
1
1 0
1
(1 )( 1)( 1) 0
A的特征值为：1 2 1, 3 1,
对1 2 1, 解( A I )x 0,
~ 1 0 1 1 0 1
A I 0 0 0 0 0 0
1 0 1

0
0
0

x1


x2

x2
x3
0 令p1 1,

x3

x3

0
1

p2 0,

1
对3 1，解( A I )x 0,
1 A I 0
0的常数).

1

例2.求
矩
阵A


2 5
1 3
2 3
的 特 征 值 和 特 征 向 量.
1 0 2
解 A的特征方程为
2 1 2
A I 5 3 3 ( 1)3 0
1 0 2
A的特征值为：1 2 3 1,
(1)A3×3有1,-2,3三个特征值,求 A ,A-1的特征值 AT的特征值,A*的特征值,A2 + 2A + E的特征值.
(2)设A3×3,且 A - E = A + 2E = 2A + 3E = 0 求 2A* - 3E
作业
P111 1.(1), (2) 2. 3.
§4.2矩阵的对角化 一、相似矩阵
1
0 2 0
~ 1
0 1

1 0 0
0 1 0
1 0 0
得

x1 x2

x3
x3 0 x3
1
得 到 一 个 基 础 解 系 为p 3


0 1
,
A对应于3 1的全部特征向量为
1
k3p3
k3
0
(k3
(3)特征方程的解i (i 1, , n)称为A的特征值.
(4)将特征值i代入方程，则( A i I ) x 0有非零解, 此方程的非零解称为A的对应于i的特征向量.
求特征值和特征向量的步骤：
(1) 求出A的特征方程A I 0的全部根，
即为A的全部特征值;
(2) 对A的每一个特征值i，求出( A i I )x 0 的非零解，即为A的对应于i的全部特征向量.

3 1
111100
5100

1 1

13,


1 4

3 5100 1 5100
3 3 13
5100 5100
.
3 3 5 设A x 4 y
1 1 1
例（3 2000年四）（9分）
对1 2 3 1, 解( A I )x 0,
~ 3 1 2
A I 5 2 3
1 0
0 1
1 1
x1 x3
得

x
2

x3
1 0 1
0 0 0

x3

x3
得
到
一个基础
解
系为p

第四章
重点：
矩阵特征值、特征向量的概念及求法， 矩阵对角化的条件， 用正交变换化二次型为标准型
难点：
用正交变换化二次型为标准型
§4.1矩阵的特征值与特征向量
一、概念
Def 特征值和特征向量
设 A 为 n 阶方阵，如果对于一个数λ，存在一个
n 维非零列向量 x,使得 Ax x 成立，
则称数λ为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为方
例2.设A


2 1
3 4
,
求A100
.
1)将A相似对角化
P


3 1
11,
P
1


1 4

1 1

13,P
1
AP


1
5
2)A100 (PP 1 )( PP 1 ) ( PP 1 ) P100P1


1 4
特征值相同是相似的必要条件，但不是充分条件。
二、矩阵的对角化
定理 n阶方阵A ~
A有n个线性无关的特征向量.
相似变换矩阵P的列向量就是A的n个线性无关 的特征向量. Λ的对角元是A的n个特征值
定理3 若n阶方阵A有n个不同的特征值
1, 2 , , n , 则 A 可对角化.
1
例1.求
矩
阵A


0 0
0 1
1 0
的
特
征
值
和
特
征
向
量.

1
0
0

解 A的特征方程为
0 A I 0 1
1

0 (1 )
1
1

1 0
(1 )( 1)( 1) 0
A的特征值为：1 2 1, 3 1,
3)线性性(x, y) (x, y) (x, y); (x y, z) (x, z) (y, z);
（2）向量的长度
定义3 向量的长度
x (x, x) x12 x22 L xn2 , 称为n维向量x的长度..
当 x 1时，称x为单位向量.
向量长度的性质：
1
0 2 0
~ 1 1
0 0
1

0
0 1 0
1 0

0
x1 x3

x2 0
x3 x3
令p3

1 0 , 1
0 令P ( p1, p2, p3 ) 1
1 0
1 0 ,
则P
1
定理 1 正交向量组一定是线性无关的.
定理
2
如果r个n维非零向量1 , 2
,
,
构成
r
正交向量组，且r n,则必有n维非零向量x,
使x与1,2 , ,r都正交.
证 x应满足齐次线性方程组：
12rTTTxxx
0, 0,
0,
即
12TT
x
y


yyn2 ,
(x, y) x1 y1 x2 y2 L xn yn称为x,y的内积
y1
即(x, y)

xT y

( x1 ,
x2 ,
,
xn )
y2 yn
内积有下列性质：
1)对称性(x, y) (y, x); 2)非负性(x, x) 0;
阵 A 的对应于特征值λ的特征向量.
例如

2 2
1312 412
a11 (1) f ( ) A I a21
an1 称为A的特征多项式.
a12
a22
an2
a1n a2n
ann
(2) f () A I 0称为A的特征方程.


1)非负性 x 0;
2)齐次性 x x ;
3)三角不等式 x y x y . 4)设A是n阶正交矩阵，x是n维列向量，
则 Ax x .
因此正交矩阵A作用于向量x不改变向量长度.
（3）正交向量
定义4 正交向量
若(x, y) 0，则称x与y正交.
定义5 正交向量组
若非零向量组1， 2，
0
1
A对应于1 2 1的全部特征向量为
0 1 k1p1 k2p2 k1 1 k2 0. 0 1
(其中k1 , k2为不全为零的任意常数)
对3 1，解( A I )x 0,
1 A I 0

1 1,
1
A对应于1 2 3 1的全部特征向量为
kp

k

1 1
(k

0的任意常数).
1
注：1)若0为单根，基础解系含一个解向量； 2)若0为k重根，基础解系含解向量的个数 k；
即方阵A的k重特征值不一定对应k个线性无关 的特征向量。
AP


1 0
0 1
0 0 .

0
1
1


0
0
1
1 0 1
1 0 0




若令P ( p3 , p1, p2 ) 0 1 0, 则 P 1AP 0 1 0.

1
0
1


0
0 1
说明与A相似的对角阵不唯一，但对角元都是 A的特征值，只是次序不同.

即
A
~


2



n
A 有 n 个不同的特征值是 A 可对角化的充分条件， 但不是必要条件.
将方阵A化为对角阵的步骤：
1)求出方阵A的特征值和特征向量；
2)判 断A能 否 对 角(是 否 有n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量)；
3)若A能 化 为 对 角 阵则，写 出 与A相 似 的 对 角 阵.
1

即
P
1
AP





2



n
其中，1 , 2 , , n ,是A的n个特征值，
P是由n个线性无关的特征向量作为 列向量所构成的矩阵.
例1.将
矩
阵A


0 0
0 1
1 0
相 似 变 换 矩 阵.
10相 似 对 角 化并，写 出 0
(2)n是An的特征值；
例4.设A为n阶方阵，且A2 A( A幂等）, 试证: A的特征值只能是0和1.
(3)n阶方阵A (aij )的特征值为1, 2 , , n ,则有
1 2 n a11 a22 ann 12 n A.
思考题：
二、特征值与特征向量的性质
（1）n阶方阵A与它的转置矩阵AT 有相同的特征值.
(2)设i (i

1,2,
,
m
)是方阵A的特征值，p
是对应于
i
i的特征向量.若1 , 2 , m互不相等，则p1 , p2 ,
, p m线性无关.
例3.设是 方 阵A的 特 征 值 ， 证 明 ：(1)k是kA的 特 征 值 ；
(5)若 A∽B，则A 与 B 的特征多项式相同，特征值相同.
λ1
推论:若n阶方阵A与对角阵Λ=
λ2






O
λn

相似，则1, 2 , , n就是A的n个特征值.
例 设A 10
12,
B


1 0
21, 试证不存在可逆矩阵
P，使P 1AP B.
性质 (1) A可逆，且AT A1; (2) A 1; (3)若A, B是同阶正交阵 则AB也 是 正 交 阵.
例 若A是正交矩阵，证明A*也是正交矩阵.
二. 正交向量
（1）向量内积
x1
y1
定义 2
两 个n维 向 量 ，x


xxn2 ,

两两正交，
s
则称向量组1， 2， s为正交向量组.
n阶方阵A为正交矩阵 它的行（或列）
向量组是两两正交的单位向量组.

Leabharlann Baidu
T i

i
1
iT j 0
1 ai1a j1 ai2a j2 L ain a jn 0
(i j) .
(i j)
正交向量组有以下性质：
设 A、B 都是 n 阶方阵，若存在可逆方阵 P，使
P -1AP=B
则称 A 与 B 相似，或称 B 是 A 的相似矩阵.记作
A∽B 对A进行的运算P 1 AP称为对A进行相似变换.
相似矩阵的性质:
(1)自反性：A ~ A; (2)对称性：若A ~ B，则B ~ A; (3)传递性：若A ~ B，B ~ C则A ~ C; (4)若 A∽B，则 A B , r(A) r(B).
已知A有三个线性无关的
特征向量， 2是A的
二 重 特 征 根.
试求可逆矩阵P，使P 1 AP为对角矩阵.
例（4 2000年四）（3分）
已知四阶矩阵A相似于B，A的特征值是2，3，4，5.
I为4阶单位阵，则B I
§4.3实对称阵的对角化
一、正交矩阵
定义 1. 如果实n阶方阵A满足
AT A AAT I 则称A为正交矩阵.
对1 2 1, 解( A I )x 0,
~ 1 0
AI 0 0
1
0
1 0
0 0
1 0

x1

x2

x2
x3
1
0 1

0
0
0


x3

x3
0
1


得到一个基础解系为p1 1, p2 0,