(4)矩阵的对角化与二次型

合集下载

举例说明将二次型化成标准型的方法

举例说明将二次型化成标准型的方法1. 使用平方配方法将二次型化简成标准型。

对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以通过将其分解为(x - y)^2 + 4y^2，得到标准型。

2. 使用线性代数的变量代换方法将二次型化简成标准型。

对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以令u = x - y和v = y，然后将原二次型转化为标准型u^2 + 2v^2。

3. 使用正交变换将二次型化简成标准型。

正交变换可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。

对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以进行正交变换，得到标准型x'^2 + 2y'^2。

4. 使用特征值分解将二次型化简成标准型。

特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。

通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。

5. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型。

奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。

通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。

6. 使用正交变换将二次型化简成标准型的等价二次型。

正交变换不仅可以将二次型转化为标准型，还可以将其转化为等价二次型，即具有相同特征值但不同特征向量的二次型。

7. 使用特征值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。

特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。

通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。

8. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。

奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。

通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。

9. 使用主轴变换将二次型化简成标准型。

主轴变换是一种可以将二次型的矩阵表示转化为对角矩阵的变换。

10. 使用化简平方矩阵的方法将二次型化简成标准型。

化简平方矩阵是一种通过行和列的线性组合得到的矩阵，可以将二次型的矩阵表示简化为对角矩阵。

11. 使用特征值问题的解法将二次型化简成标准型。

线性代数：矩阵的对角化与二次型

1 P1AP
2
n
A( p1, p2 ,, pn ) ( p1, p2 ,, pn )1
n
( Ap1, Ap2 ,, Apn ) (1 p1, 2 p2 ,, n pn )
Api i pi (i 1,2,, n)
即p1, p2 ,, pn是A的n个特征向量.
又因为P可逆，所以p1, p2 ,, pn线性无关.8
推出 P1 AP .
从证明中可看出，相似变换矩阵P的列向量就是
A的对应于i的n个线性无关的特征向量.的对角元是A的n个特征值.
9
推论 1 若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值 1 , 2 ,, n ,
则 A 可对角化.
1
即
A
~
2
n
注意：A 有 n 个不同的特征值是 A 可对角化的充分条件，
特征向量不能由特征值唯一确定。
2
4.1.2 矩阵的特征值与特征向量的性质
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
3）设A为n阶方阵，且A2 = A( A幂等），
则A的特征值只能是0和1.
4、设i (i 1,2,, m)是方阵A的特征值，pi是对应于
i的特征向量. 若1 , 2 ,m互不相等，则p1 , p 2 ,
第四章矩阵的对角化与二次型
4.1 矩阵的特征值与特征向量
1
4.1.1 矩阵的特征值与特征向量的概念
求特征值和特征向量的步骤：
(1) 求出A的特征方程 A I 0的全部根，即为A的
全部特征值;
(2) 对A的每一个特征值i，求出(A i I )x 0的非零解，即为A的对应于i的全部特征向量.

线性代数课后习题与答案

《线性代数》课程习题第1章行列式习题 1.11．计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2．计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3．用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习题 1.21．计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习题 1.31．解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习题五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004，（2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------，（5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ，求3A -2B +C 。

(8) 第三部分特征值,矩阵的相似对角化及二次型——典型例题

() ( )
⎝
1
⎠
( )
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
19
例48 已知二次型
f ( x1 , x2 , x3 )
四化二次型为标准形
(06)
2 2 = (1 − a ) x12 + (1 − a ) x2 + 2 x3 + 2(1 + a ) x1 x2
求二次曲面
x + 2x + Yx + 2 x1 x2 + 2 Xx1 x3 = 1
2 1 2 2 2 3
为椭球面的概率
22 December 2012
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
10
二反求参数问题
⎛2 0 0 ⎞ ⎛2 0 0⎞ 例37 设A = ⎜ 0 0 1 ⎟ 与B = ⎜ 0 y 0 ⎟相似, 则( ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎜0 1 x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
6
例32 已知 A1 , A2 , A3 为3个非零的3阶矩阵，
A = Ai (i = 1, 2, 3), Ai A j = 0 (i ≠ j ),
2 i
证明0，1一定是 Ai (i = 1, 2, 3) 的特征值. 为3维单位列向量，且 α T β = 0, 例33 设α , β T T . A = αβ + βα , 则A的特征值为

《线性代数》教学课件—第5章二次型第四节对称矩阵的对角化

矩阵因 PA ,对使称P,因-故1AAP 对= 称,,其故中是以 A 的 n 个特征
值为对角1p1元T =素(的1对p1p)角T1T=矩=(阵A(p.11p)1T)T= =p1(TAApT1)=T p=1TpA1TA, T = p1TA
于是证明从略于.是
1 p1Tp2 = p11TpA1pT2p2==p1pT1(TA2p2 =) =p1T2(p21pTp2 2) ,= 2 p1Tp
的基础解系, 设为 pi1 , pi2 , , pini
( i = 1, 2, ···, s). 并把它们正交化、单位化，仍记
为 pi1 , pi2 , , pini ，以这些向量为列构
造矩阵
P ( p11,p12,, p1n1,p21,p22,, p2n2 ,, ps1,ps2,,psns ),
1
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
单击这里求特征多项式
3 2 0
|A E| 2 2 2
0 2 1
例 18
设
A
A0101010111
1 1,
,
1 1 1 1 00
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
方法评单注击这里求特征多项式
角矩阵矩=角阵di矩aPg阵(,使1,矩P·=·-·阵1d,AiaPPng)=(,相使1似,,P··其，-·1,A中从Pn而)=相是A似-以 , 其，AE中从的而n是A个-以与 - E值=与为di对ag角-(元1E-值素=为的d, i·对·a对·g,角(角n元1矩-素阵)的,.相··对·似, 角.n矩-当阵).相似. 当是 A 的 k 重是特A征的值时 k 重，特1征, ·值··,时n，这1n, 个···特, 征n 这 n 个特

二次型定理

二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。

本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。

一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。

设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。

二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。

二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。

三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。

具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。

进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。

矩阵对角化

引言在高等代数中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在线性空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.基本概念定义定义1 常以n m P ⨯表示数域P 上n m ⨯矩阵的全体，用E 表示单位矩阵.定义2 n 阶方阵A 与B 是相似的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异的方阵矩阵T n n P ⨯∈，使得AT T B 1−=或者BT T A 1−=.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：AE E A 1−=； ②对称性：若A 相似于B ，则B 相似于A ； ③传递性：如果A 相似于B ，B 相似于C ，那么A 相似于C . 定义3 n 阶方阵A 与B 是合同的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异方阵T n n P ⨯∈，使得B =T T AT 或者BT T A T =.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A =AE E T ；②对称性：由AT T B T =即有11)(−−=BT T A T ；③传递性：由111AT T A T=和2122T A T A T =有)()(21212T T A T T A T =.定义4 式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯m b b b 000000021的m 阶方阵叫对角矩阵，这里i b 是数（),2,1m i ⋯⋯=. 定义5 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A 1−=，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可相似对角化. 定义6 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A T =，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可合同对角化.定义7 矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i 行(列)于j 行(列)； ⑵用非零数c P ∈乘以矩阵第i 行(列)；⑶把矩阵第j 行的t 倍加到第i 行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得),(j i P 且),(),(1j i P j i P =−；②单位矩阵经过初等变换⑵得))((t i P 且)/1(())((1t i P t i P =−；③单位矩阵经过初等变换⑶得))(,(t j i P 且))(,())(,(1t j i P t j i P −=− 定义9 设方阵n n P B ⨯∈，若E B =2，就称B 为对合矩阵。

线性代数13.实对称矩阵对角化、二次型

AQ
.
1 2
1 2
0
解 1.计算特征值由 E A 0容易求得A的3个特征值分别为1, - 1，- 1 22
1
2.计算特征向量. 特征值 1对应的一个特征向量为：p1 1，
1
1
特征值
1 2
对应的两个线性无关特征向量为：p2
1
,
3.对特征向量进行正交化处理.
0
1
p3
0
.
1
0,1, 2.
0 0 1
对于 0，求解特征方程组0E A x 0，
1
得通解：x
k1
1
0
对于 1，求解特征方程组1E A x 0，
0
得通解：x
k2
0
1
1
对于 2，求解特征方程组2E A x 0，
得通解：x
k3
1
0
1
0
1
取
p1
1，p2 0
0
，
1
5.3实对称矩阵的正交相似对角化
5.3.1实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵有如下重要结论：
定理5.3.1 实对称矩阵的特征值全是实数.
定理5.3.2 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交.
证：设1, 2为A的两个不同特征值，
p1, p2分别为1, 2对应的特征向量，下面证明p1, p2正交.
解:
2 1 1
二次型的矩阵为A
1
2
1
1 1 2
得A的特征值: 1,1, 4
2 1 1 fA () | E A | 1 2 1 ( 1)2 ( 4)
1 1 2
对于 1，求解特征方程组1E A x 0，

二次型矩阵形式

二次型矩阵形式二次型是数学中一个重要的概念，与矩阵紧密相关。

在接下来的文章中，我将详细介绍二次型及其矩阵形式，包括定义、性质、特征值和特征向量以及矩阵对角化等内容。

首先，我们来定义二次型。

给定一个n维向量x = (x1, x2, ..., xn)，我们可以定义一个二次型Q(x)如下：Q(x) = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2其中，x1, x2, ..., xn是向量x的分量。

上述二次型表示了一个向量x各个分量的平方和。

一般地，我们可以用一个n维向量x和一个实对称矩阵A来表示一个二次型，如下所示：Q(x)=x^TAx其中，x^T表示向量x的转置，表示行向量。

接下来，我们来探讨二次型的性质。

首先，我们看到二次型的系数矩阵A是实对称矩阵。

这是因为在二次型的定义中，我们可以通过转置操作将行向量x转换为列向量，从而使得系数矩阵A是对称的。

实对称矩阵有很多重要的性质，例如它总是可以对角化的。

另外，二次型对应的系数矩阵A也具有特殊的性质，即正定、负定或半正定、半负定。

如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么二次型Q(x)为正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<0，那么二次型Q(x)为负定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>=0，那么二次型Q(x)为半正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<=0，那么二次型Q(x)为半负定。

正定、负定、半正定和半负定是描述二次型的重要概念，它们在优化问题、凸优化和最小二乘等领域中有着广泛应用。

特征值和特征向量也是与二次型密切相关的概念。

给定一个二次型Q(x)=x^TAx，其中A是一个n阶实对称矩阵，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个实数，那么v是矩阵A的特征向量，λ是对应的特征值。

特征值和特征向量能够帮助我们更好地理解和分析二次型的性质。

矩阵对角化也是二次型的一个重要应用。

对于一个n阶实对称矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵D，那么我们称矩阵A可对角化。

化二次型为标准形几种方法的比较及技巧

化二次型为标准形几种方法的比较及技巧二次型在数学中有着重要的地位，它在代数、几何、物理等领域都有广泛的应用。

对于一个二次型，我们希望能够将它化为标准形，简化计算和研究过程，因此研究如何将二次型化为标准形是很有必要的。

本文将介绍几种将二次型化为标准形的方法，并对它们进行比较和技巧的讲解。

一、矩阵的对角化方法矩阵的对角化方法是将二次型化为标准形的一种常见方法，其思路是通过矩阵的特征值和特征向量进行变换。

具体步骤如下：1. 将二次型的系数写成矩阵的形式，设为A。

2. 求出A的特征值λ1,λ2,…,λn以及对应的特征向量x1,x2,…,xn。

3. 构造线性变换T，T(x1)=e1,T(x2)=e2,…,T(xn)=en，其中e1,e2,…,en是标准基向量。

4. 令x'=Tx，将二次型转化为x'的形式，此时x'的系数矩阵为对角阵，即化为标准形。

这种方法的优点是直接使用了矩阵的特征值和特征向量进行变换，求解比较简单。

缺点是只有满秩矩阵才能进行对角化，如果矩阵不满秩，需要先进行配方法或者其他转化。

二、配方法2. 求出A的秩r，找到A的一个秩为r的子矩阵，对该子矩阵进行配方法，将二次型化为平方差的形式。

3. 利用正交变换将其余未配方法的部分归并。

4. 根据配方法的结论将二次型化为标准形。

这种方法的优点是适用范围广，只要矩阵是方阵即可。

缺点是存在配方法的不确定性，需要通过试错不断寻找适当的子矩阵进行配方法，求解过程比较繁琐。

三、同阶合同变换2. 利用初等行变换将矩阵A化为对称矩阵B。

这种方法的优点是变换只涉及初等变换，计算过程简单，求解相对容易。

缺点是初等变换时，需要注意保持同阶合同形式，变换的顺序也可能会影响结果。

综上所述，不同的二次型标准化方法各有优缺点，根据实际问题，选择相应的方法应考虑求解的复杂程度、计算的难易程度以及方法的理论基础等因素。

在计算过程中，需要遵循一些技巧，如合理运用矩阵等基本性质，避免计算错误等，以保证求解过程的正确性和高效性。

第4章_矩阵的对角化与二次型的化简习题解答

习题44-1.设A 有一个特征值2，求E A A 222--的一个特征值．解若A 的特征值为λ，则E A A 222--的特征值为222λλ--，计算得222222-⨯-=-.4-2.设A 是3阶方阵，已知方阵A E -，A E +，A E -3都不可逆，求A 的全部特征值．解由A E -，A E +，A E -3都不可逆，知0E A -=，0E A +=即0E A --=，30E A -=,得A 的特征值为1,1,3-．4-3.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=x A 44174147的特征值为321==λλ，123=λ，求x ．解由特征值的性质知12377x λλλ++=++，即1814x =+，所以4x =．4-4.求下列矩阵的特征值及对应的线性无关的特征向量．若可以对角化，求出可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----313043241．解由特征方程142340313E A λλλλ+--=---(1)(2(3)0λλλ=---=, 解得矩阵A 的特征值1231,2,3λλλ===.对于特征值11λ=，解方程组()E A X O -=，即123242033003120x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系111ξ= ⎪ ⎪⎝⎭，所以矩阵A 对应于特征值11λ=的线性无关的特征向量为1111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．对应于特征值22λ=，解方程组(2)E A X O -=，即123342032003110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系2233ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以矩阵A 的对应于特征值43=λ的线性无关的特征向量为2233ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．对应于特征值33λ=，解方程组(3)E A X O -=，即123442*********x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系3134ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以矩阵A 的对应于特征值43=λ的线性无关的特征向量为334ξ= ⎪ ⎪⎝⎭．A 有3个线性无关的特征向量1111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2233ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3134ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以A 可以对角化．令()123121,,133134P ξξξ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则P 可逆，且有1123P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---496375254.解由特征方程452573694E A λλλλ---=-+---2(1)0λλ=-=, 解得矩阵A 的特征值1231,0λλλ===．对应于特征值11λ=，解方程组()E A X O -=，即123352058306930x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系1111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以矩阵A 的对应于特征值11λ=的线性无关的特征向量为111ξ= ⎪ ⎪⎝⎭．对于特征值230λλ==，解方程组(0)E A X O -=，即123452057306940x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系2123ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以矩阵A 对应于特征值230λλ==的线性无关的特征向量为2123ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．A 只有2个线性无关的特征向量，所以A 不可对角化．（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1324121019106127．解由特征方程7126101910122413E A λλλλ---=-+---2(1)(1)0λλ=+-=, 解得矩阵A 的特征值1231,1λλλ===-．对应于特征值121λλ==，解方程组()E A X O -=，即1236126010201001224120x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系1210ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以矩阵A 的对应于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为1210ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.对于特征值31λ=-，解方程组()E A X O --=，即1238126010181001224140x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系3356ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以矩阵A 对应于特征值31λ=-的线性无关的特征向量为3356ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．A 有3个线性无关的特征向量，所以A 可以对角化，令()123213,,105016P ξξξ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则P 可逆，且有1111P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．4-5.判断下列矩阵是否为正交矩阵：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---121312112131211．解令 ()12311123111,,2211132A ααα⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭，由于()12,0αα≠，所以A 不是正交矩阵．（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------979494949198949891．解因为 184184999999100814814010999999001447447999999T A A E ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=----== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 是正交矩阵． 4-6.求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角形矩阵：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A ．解由特征方程为2222254(10)(1)0245E A λλλλλλ---=--=---=-，得A 的特征值为12310,1λλλ===．对于110λ=，解方程组 (10)E A X O -=，即123822025402450x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值110λ=的一个特征向量1(1,2,2)T ξ=-，将1ξ标准化，得1122(,,)333T η=-.对于231λλ==，解方程组 ()E A X O -=，即123122024402440x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值231λλ==的一个极大线性无关特征向量组2(2,1,0)T ξ=-，3(2,0,1)T ξ=,将32,ξξ正交化，得2(2,1,0)T ζ=-，3(2,4,5)T ζ=，将32,ζζ标准化，得2(T η=，3T η=，令 ()123132,,3203P ηηη⎛ == ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则P 为正交矩阵，且有11000010001P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（2）220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭．解由特征方程为211011110(1)(3)(1)001111011E A λλλλλλλλ-----==--+=----，得A 的特征值为12341,3,1,λλλλ====-．对于121λλ==，解方程组()E A X O -=，即123401010101000101010100x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为1(1,0,1,0)T ξ=，2(0,1,0,1)T ξ= 12,ξξ已正交只须将12,ξξ单位化，得1T η=，2T η=；对于33λ=，解方程组(3)E A X O -=，即123421010121000121010120x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值33λ=的线性无关特征向量3(1,1,1,1)T ξ=--，将3ξ单位化，得31111(,,,)2222T η=--.对于41λ=-，解方程组()E A X O --=，即123421010121000121010120x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值41λ=-的线性无关特征向量4(1,1,1,1)T ξ=--，将4ξ单位化，得41111(,,,)2222T η=--，令 ()12341102211022,,,1102211022P ηηηη⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪==⎪--⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，则P 为正交矩阵，且有11131P AP -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 4-7.用正交变换化下列二次型为标准形式：（1）32212221442x x x x x x f --+=.解二次型的系数矩阵为220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，矩阵的特征方程为220212(4)(1)(2)002E A λλλλλλλ--=-=--+=，故A 的特征值为1234,1,2λλλ===-．对于14λ=，解方程组(4)E A X O -=，即123220023200240x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值14λ=的一个特征向量1(2,2,1)T ξ=-，将1ξ标准化，得1221(,,)333T η=-. 对于21λ=，解方程组()E A X O -=，即123120020200210x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值21λ=的一个特征向量2(2,1,2)T ξ=-，将2ξ标准化，得2212(,,)333T η=-. 对于32λ=-，解方程组(2)E A X O --=，即123420023200220x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值32λ=-的一个特征向量3(1,2,2)T ξ=，将3ξ标准化，得3122(,,)333T η=.令()123221333212,,333122333Q ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，则通过正交变换112233221333212333122333x y x y x y ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭即可将二次型f 化为标准形式222123123(,,)42g y y y y y y =+-. （2）131423248228f x x x x x x x x =++-. 解二次型的系数矩阵为0410********400A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵的特征方程为41014(5)(5)(3)(3)0410140E A λλλλλλλλλ-----==-+-+=----，故A 的特征值为12345,5,3,3λλλλ==-==-．对于15λ=，解方程组(5)E A X O -=，即123450410051404150014050x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值15λ=的一个特征向量1(1,1,1,1)T ξ=，将1ξ标准化，得11111(,,,)2222T η=.对于25λ=-，解方程组(5)E A X O --=，即123450410051404150014050x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值25λ=-的一个特征向量2(1,1,1,1)T ξ=--，将2ξ标准化，得21111(,,,)2222T η=--.对于33λ=，解方程组(3)E A X O -=，即123430410031404130014030x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值33λ=的一个特征向量3(1,1,1,1)T ξ=--，将3ξ标准化，得31111(,,,)2222T η=--.对于43λ=-，解方程组(3)E A X O --=，即123430410031404130014030x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值43λ=-的一个特征向量4(1,1,1,1)T ξ=--，将4ξ标准化，得41111(,,,)2222T η=--.令()12341111222211112222,,,1111222211112222Q ηηηη⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪==⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，则通过正交变换1122334411112222111122221111222211112222x y x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪--⎝⎭即可将二次型f 化为标准形式22221231234(,,)5533g y y y y y y y =-+-. （3）121314233424222222f x x x x x x x x x x x x =+--++．解二次型的系数矩阵为0111101111011110A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，矩阵的特征方程为3111111(1)(3)0111111E A λλλλλλλ-----==-+=----，故A 的特征值为12341,3λλλλ====-．对于1231λλλ===，解方程组()E A X O -=，即123411110111101111011110x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 得属于特征值1231λλλ===的线性无关的特征向量为1(1,1,0,0)T ξ=，2(1,0,1,0)T ξ=，3(1,0,0,1)T ξ=-，将123,,ξξξ正交化，得1(1,1,0,0)T ζ=，211(,,1,0)22T ζ=-，3111(,,,1)333T ζ=-，将123,,ζζζ正交化，得1T η=，2T η=，3(Tη=. 对于43λ=-，解方程组(3)E A X O --=，即123431110131101131011130x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值43λ=-的一个特征向量4(1,1,1,1)T ξ=--，将4ξ标准化，得41111(,,,)2222T η=--.令()12341212,,,102102Q ηηηη⎫⎪⎪⎪-⎪⎪== ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则通过正交变换112233441212102102x y x y x y x y ⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即可将二次型f 化为标准形式22221231234(,,)3g y y y y y y y =++-. 4-8.试证：如果A 为正定矩阵，则1-A 也是正定矩阵．证因为A 为正定矩阵，则A 为是实对称矩阵，而111()()T T A A A ---==，所以1A -也是对称矩阵.设A 的特征值为12,,,n λλλ ，则1A -的特征值为12111,,,,nλλλ因为A 为正定矩阵，所以0i λ>，故10iλ>，从而知1A -也是正定矩阵.4-9.判别下列二次型是否正定或负定：（1）32312123222148455x x x x x x x x x f --+++=. 解二次型f 的系数矩阵为524212425-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，二次型f 的三个顺序主子式123521550,10,0252∆==>∆==>∆==>A ，所以二次型f 是正定的.（2）312123222144465x x x x x x x f ++---=.解二次型f 的系数矩阵为522260204-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，二次型f 的三个顺序主子式12352550,260,40026-∆=-=-<∆==>∆==-<-A ，所以二次型f 是负定的.（3）42324131242322212446714x x x x x x x x x x x x f +-+++++=.解二次型f 的系数矩阵为10320121321402107⎛⎫ ⎪-⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，二次型f 的四个顺序主子式123410310110,10,01210,140013214A ∆==>∆==>∆=-=>∆==-<-所以二次型f 是不定的.（4）423121242322216421993x x x x x x x x x x f -+-+++=. 解二次型f 的系数矩阵为11201303209003019-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，二次型f 的四个顺序主子式12311211110,20,130601329--∆==>∆==>∆=-=>-, 4630A ∆==>,所以二次型f 正定的.（5）312123222122462x x x x x x x f ++---=．解二次型f 的系数矩阵为211160104-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，二次型f 的三个顺序主子式12351220,110,38016-∆=-=-<∆==>∆==-<-A ，所以二次型f 是负定的.4-10．求t 的值，使二次型2222222)(),,,(w zx yz xy z y x t w z y x f ++-+++=是正定的．解二次型f 的系数矩阵为1101101100001t t t ⎛⎫ ⎪-⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，二次型f 正定的充要条件是它的四个顺序主子式都大于零，即21210,10,1t t t t t∆==>∆==->22341111(1)(2)0,(1)(2)011tt t t A t t t∆=-=+->∆==+->-,解联立不等式22010(1)(2)0t t t t >⎧⎪->⎨⎪+->⎩, 得2t >，即当2t >时，f 正定.4-11．写出下列二次型的矩阵形式，并求该二次型的秩.（1）22212312232244f x x x x x x x =+---.解二次型f 的系数矩阵为120222022-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,因为()2r A =，所以该二次型的秩等于2．（2）22221234122334222f x x x x x x x x x x =++++++.解二次型f 的系数矩阵为1100111001110011⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 因为()4r A =，所以该二次型的秩等于４．补充题B4-1．设方阵A 满足A A =2，证明：A 的特征值只能是0或1．证因为方阵A 满足A A =2，即20A A -=，所以A 的特征值λ满足20λλ-=，即(1)0λλ-=，所以，A 的特征值为0λ=或1λ=．B4-2．证明：对称的正交矩阵A 的特征值为1或1-．证因为A 是正交矩阵，所以TTAA A A E ==．又因为A 是对称矩阵，所以TA A =.所以A 满足2A =E ，即02A -E =，从而A 的特征值满足210λ-=，故A 的特征值为1或1-．B4-3．设方阵A 与方阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200011031相似，求A 的特征值．解因为方阵A 与方阵B 相似，所以方阵A 与方阵B 有相同的特征值，所以只须求方阵B 的特征值即可．由B 的特征方程E B λλλλλλ2-1-30-=-1+10=(-2)(+2)=00-2，得A 的特征值为122λλ==，32λ=-．B4-4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=12y B 相似，求y x ,．解因为A 与B 相似，所以()()A Btr A tr B ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 即22221yx y -=-⎧⎨+=+-⎩，解得 0,1x y ==．B4-5．设2TH E XX =-，其中E 为n 阶单位矩阵，X 为n 维列向量，且1=X X T，试证：（1）H 为对称矩阵；（2）H 为正交矩阵．证（1）设12n a a X a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()21112122212212212n Tn n n n n n a a a a a a a a aa a a XX a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 显然，TXX 是对称矩阵．从而()()222TTTT TT T H E XXE XXE XX H =-=-=-=，所以H 为对称矩阵．证（2）因为H 为对称矩阵，且1=X X T，所以()()22T T T T HH H H HH E XX E XX ===--44T T T E XX XX XX =-+ 441T T E XX X X =-+⋅⋅E =，所以H 为正交矩阵．B4-6．如果U 是满秩矩阵，则U U A T=是正定矩阵．证设n 元二次型T f X AX =，则()()()()()T T T T T T f X AX X U U X X U UX UX UX ====,因为U 是满秩矩阵，则对于任意非零向量X ，都有0UX ≠，设()12,,,0Tn UX a a a =≠ ，则22212()()0T n f UX UX a a a ==+++> ，所以f 是正定二次型，即U U A T=是正定矩阵．B4-7．如果A 是正定矩阵，则存在满秩矩阵U ，使U U A T=．证若A 是正定矩阵，则存在满秩矩阵B ，使A 合同与E ，即TB AB E =, 所以，()()1111TT T B AB B EB B B ----==，令1BU -=，则U U A T =，其中U 满秩．B4-8．设M 为满秩矩阵，A 为对称矩阵．证明：如果A 为正定矩阵，则AM M T是正定矩阵．证若M 为满秩矩阵，A 为对称矩阵，则()TT T T T M AM M A M M AM ==,即AM M T也是对称矩阵．如果A 为正定矩阵，则二次型Tf X AX =对任意非零向量X ，有0Tf X AX =>，考虑二次型()()()T T T T T g X M AM X X M AMX MX A MX ===，因为M 是满秩矩阵，则对于任意非零向量X ，都有0MX ≠，即对于任意非零向量MX ，由f 是正定二次型知()()0T g MX A MX =>，所以()T T g X M AM X =是正定二次型，从而AM M T是正定矩阵．B4-9．如果A 为正定矩阵，证明*1,A A -都是正定矩阵．证 A 为正定矩阵，从而A 是实称矩阵，即TA A =，则111***()(),()(),T T TT A A A A A A ---====故*1,A A -都是实对称矩阵．不妨设A 的特征值为,1,2,,i i n λ= ，则1A -的特征值为1,1,2,,ii n λ= ，*A 的特征值为,1,2,,iAi n λ=因为A 为正定矩阵，所以0,1,2,,i i n λ>= ，且0A >，从而10,1,2,,ii n λ>= ，0,1,2,,iAi n λ>= ，所以*1,A A -都是正定矩阵．B4-10．设n 阶实对称矩阵A 为正定的，n b b b ,,,21 为任意n 个非零的实数，则n n j i ij b b a B ⨯=)(是正定的．证 A 是n 阶实对称矩阵，所以ij ji a a =，则ij i j ji j i a bb a b b =，即n n j i ij b b a B ⨯=)(也是实对称矩阵．因为A 为正定矩阵，则对任意非零向量X ，有二次型0Tf X AX =>．设向量()12,,,n x x x O ≠ ，而n b b b ,,,21 为任意n 个非零的实数，所以对于向量()1122,,,n n X b x b x b x O =≠ ，有()0T ij i j i j ijf X AX a bb x x ==>∑∑,即二次型Tf X BX =为正定二次型，所以n n j i ij b b a B ⨯=)(是正定的．B4-11．设J 是表示元素全为1的n 阶方阵，设()f x ax b =+是实系数多项式，令()A f J =,求A 的全部特征值和特征向量．解由J 的特征方程1111111()01111n E J n λλλλλλ--------==-=---- ，故J 的特征值为1210,n n n λλλλ-===== ．对特征值1210n λλλ-==== ，解方程组(0)E J X O -= 即124111*********x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，得特征向量1(1,1,0,,0)T ξ=- ，2(1,0,1,,0)T ξ=- ，．．．，1(10,,1)Tn ξ-=-．对特征值n n λ=，解方程组()nE J X O -= 即124111011101110x n x n x n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得特征向量(1,1,1,,1)T n ξ= ．而()A f J =，若J 的特征值为λ，从而A 的特征值为()f a b λλ=+，即1210n a b b λλλ-====⨯+= ，n an b λ=+，所以A 的对应于特征值121n b λλλ-==== 的特征向量为1(1,1,0,,0)T ξ=- ，2(1,0,1,,0)T ξ=- ，．．．，1(1,0,0,,1)T n ξ-=- ，A 的对应于特征值n an b λ=+的特征向量为(1,1,1,,1)T n ξ= ．B4-12．设A 与B 为同阶方阵，（1）若A 与B 相似，证明：A 与B 有相同的特征值；（2）举例说明，上述命题的逆命题不成立；（3）若A 与B 均为实对称矩阵，则（1）的逆命题成立．证（1）若A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，有1P AP B -=，所以1111()E B E P AP P EP P AP P E A P λλλλ-----=-=-=-1P E A P E A λλ-=-=-,即A 与B 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值．解（2）例如1011A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1001B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 与B 有相同的特征值，但A 与B 不相似，因为与B 相似的矩阵只有B 自身．证（3）若A 与B 均为实对称矩阵，且有相同的特征值12,,,n λλλ ，则A 与B 都相似于对角矩阵12(,,,)n diag λλλΛ= ，即存在可逆矩阵P ，有1P AP -=Λ，存在可逆矩阵Q ，有1Q BQ -=Λ，所以11P AP Q BQ --=，则11QP APQ B --=，即11()()PQ A PQ B --=，故存在可逆矩阵1R PQ -=，有1R A R B -=，即A 与B 相似．B4-13．若n 阶方阵A 满足：2230A A E ++=．（1）证明：对任意实数a ，A aE +可逆；（2）求4A E +的逆矩阵．证（1）由2230A A E ++=，整理得()230A A aE aA A E +-++=,即()(2)30A A aE a A E ++-+=，整理得()(2)()(2)30A A aE a A aE a aE E ++-+--+= [(2)]()(2)30A a E A aE a aE E +-+--+=2[(2)]()(23)A a E A aE a a E +-+=-+-因为对任意实数a ，2230a a -+-≠，所以2(2)()23A a EA aE E a a +--+=-+，因此，存在矩阵2(2)23A a EB a a +-=--+，使得()B A aE E +=，即对任意实数a ，A aE +可逆，且A的逆矩阵为2(2)23A a EB a a +-=--+．解（2）由（１）知4A E +的逆矩阵为2(24)2424311A E A E+---=--⨯+．B4-14．设矩阵111111a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，112β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，已知线性方程组Ax β=有解，但不惟一，试求：(1)a 的值；(2)正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角阵．解（1）对线性方程组Ax β=的增广矩阵进行初等行变换()111111112a A a a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 211101100112a a a a a a ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪----⎝⎭111011000(2)(1)(2)a a a a a a ⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-+--+⎝⎭，因为线性方程组Ax β=有解，但不惟一，知()()3r A r A β=< ，所以(2)(1)0a a -+-=且(2)0a -+=，可得2a =-．解（2）由(１)知，矩阵112121211A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭由特征方程112121(3)(3)0211E A λλλλλλλ---=-+-=-+=--，得A 的特征值为1230,3,3λλλ===-．对于10λ=，解方程组(0)E A X O -=，即123112012102110x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值10λ=的一个特征向量1(1,1,1)T ξ=，将1ξ标准化，得1Tη=.对于23λ=，解方程组(3)E A X O-=，即123212015102120xxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值23λ=的一个特征向量2(1,0,1)Tξ=-，将2ξ标准化，得2Tη=.对于33λ=-，解方程组(3)E A X O--=，即123412011102140xxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪---=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值33λ=-的一个特征向量3(1,2,1)Tξ=-，将3ξ标准化，得3Tη=.所以存在正交矩阵()123,,0Qηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭，使033T Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．B4-15．设3阶实对称阵A 的特征值为1231,2,2λλλ===-，且1(1,1,1)T α=-是A 的属于特征值1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，E 为3阶单位矩阵．(1)验证1α是B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； (2)求矩阵B ．解（1）因为 534B A A E =-+，所以B 的特征值为5341λλ-+，其中λ为A 的特征值．又因为A 的特征值为1231,2,2λλλ===-，所以B 的特征值为2,1-（2重根）．因为1(1,1,1)T α=-是A 的属于特征值1λ的一个特征向量，所以1(1,1,1)T α=-是B 的属于特征值2λ=-的特征向量.下面先求A 的属于特征值23,λλ的特征向量，因为A 是实对称矩阵，A 的属于不同特征值的特征向量是正交的，不妨设A 的属于特征值23,λλ的特征向量为()123,,,Tx x x ξ=，则有()1,0ξα=,即1230x x x -+=,解得2(1,1,0)T α=，3(1,0,1)T α=-,所以23,αα分别为A 的属于特征值23,λλ的特征向量，从而23,αα也是B 的属于特征值1λ=的特征向量．综上可知，B 的属于2λ=-的特征向量是1(1,1,1)T α=-，属于1λ=的特征向量是2(1,1,0)T α=，3(1,0,1)T α=-．解（2）因为B 有３个正交的特征向量，所以存在正交矩阵()123111,,110101P ααα-⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，使1211P BP --⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,从而1B P P -=Λ．易得111111213112P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，所以 111120011101111100101211013101001112110B P P -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=Λ=-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.B4-16.设矩阵101020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵2()B kE A =+，其中k 为实数，E 为单位矩阵．求对角阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．解由A 的特征方程2101020(2)0101E A λλλλλλ---=-=-=--，得特征值1232,0λλλ===.记对角矩阵200020000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，使得TP AP D =，所以TA PDP =，于是 2()B kE A =+2()[()][()]TT TTkPP PDP P kE D P P kE D P =+=++2()()()()T T T P kE D P P kE D P P kE D P =++=+222(2)000(2)000T k P k P k ⎛⎫+ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由此可得222(2)000(2)000k k k ⎛⎫+⎪Λ=+ ⎪ ⎪⎝⎭.显然，当2k ≠-且0k ≠时，B 的全部特征值均为正数，这时B 为正定矩阵.B4-17. 设A 为n 阶实对称阵，秩A n =，ij A 是()ij n n A a ⨯=中ij a 的代数余子式(,1,2,)i j n = ，二次型 111(,,)n nijn iji j A f x x x xA ===∑∑ ．记()1,Tn X x x = ，把1(,,)n f x x 写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1A -．解因为二次型 111(,,)n nijn i j i j A f x x x x A===∑∑ ，所以f 的系数矩阵为ij nnA A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，即 1111211121221222122212121n n n n n n nn n n nn A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AA ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭,又因为A 为n 阶实对称阵，ij ji a a =，所以ij ji A A =，故上式为*A A ，所以11(,,)()TT n A f x x X X X A X A*-== ，即二次型()f X 的矩阵为1A -．。

矩阵对角化的高等几何解释

矩阵对角化的高等几何解释周明旺【摘要】借助高等几何的坐标变换知识,对高等代数中的矩阵对角化,尤其是三元二次型化为标准形中的非退化的线性变换与高等几何中坐标变换的关系,给出其几何解释.【期刊名称】《宜春学院学报》【年(卷),期】2013(035)009【总页数】3页(P18-19,23)【关键词】矩阵;对角化;线性变换;射影坐标变换【作者】周明旺【作者单位】连云港师范高等专科学校数学与信息工程学院,江苏连云港222006【正文语种】中文【中图分类】O185.1高等代数中的二次型化为标准形其实质是矩阵理论中的矩阵对角化的问题。

将二次型f(x1，x2，通过非退化的线性变换T:X=化为标准形若从矩阵角度看，就是任一对称矩阵A=(aij)nn都可以找到一个可逆矩阵C=(cij)nn使C/AC成对角矩阵。

对于三元二次型化为标准形中的非退化的线性变换其实就是高等几何中的射影坐标变换［2］。

重要的是挖掘它们之间的联系，对于理论体系的完善、思想观念的更新、思维方法的训练、探究能力的培养等方面起着重要作用［3］。

下面就n=3的情形给出矩阵对角化的高等几何解释。

1 预备知识定义1 在射影平面上，给定二阶曲线S≡，则射影坐标满足齐次线性方程组)的点P(p1，p2，p3)叫做二阶曲线的奇异点。

定义2 给定二阶曲线，若点P(p1，p2，p3)与 Q(q1，q2，q3)满足则称点P与Q 关于二阶曲线互为共轭点。

定义3 若一个三点形的顶点关于二阶曲线Γ两两共轭，则称这个三点形为关于Γ的一个自极三点形。

2 主要结果引理1 二阶曲线的奇异点均为自共轭点。

证明:由定义2易知。

引理2 坐标三点形A1A2A3关于二次曲线b1不全为0)是自极三点形。

证明:欲证A1A2A3是自极三点形，只须证明Ai，Aj(i≠ j)共轭。

事实上有即 A1，A2共轭。

同理可证 A1，A3共轭，A2，A3共轭。

因此A1A2A3关于二次曲线0，(b1，b2，b3不全为 0)是自极三点形。

第5-6章矩阵对角化习题课

第5-6章习题课
7/38
即
rank( A 2 E ) rank( A 3E ) 5.
而 rank(A 2E) 2, 故 rank(A 3E) 3. 因 A 为实对称矩阵, 故可对角化, 从而, 每个特征值的代数重数等于其几何重数. 由 rank(A 2E) 2 知 2 的几何重数、代数重数为 3. 由 rank(A 3E) 3 知 3 的几何重数、代数重数为 2.
第5-6章习题课
一、基本要求
二、典型例题分析
第5-6章习题课
2/38
一、基本要求
1. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质, 熟练掌握求特征值和特征向量的方法. 2. 理解相似矩阵的概念和性质, 了解相似对角化的条件, 掌握相似对角化的方法. 3. 理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质, 掌
握实对称矩阵的正交相似对角化方法.
第5-6章习题课
3/38
4. 理解二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念,
理解合同矩阵的概念.
5. 理解二次型的标准形, 掌握化实二次型为标准形的
正交变换法, 会用配方法化二次型为标准形, 知道
用合同初等变换法. 6. 理解实二次型的规范形, 了解惯性定理以及实二次型的正惯性指数、负惯性指数.
其中0 , 1,
于是
, n1为 A 的特征值.
第5-6章习题课
18/38
A 0 E P diag(0 , 1, , n1 ) P 1 P(0 E) P 1 Pdiag(0, 1 0 , , n1 0 ) P 1, ( A 0 E)2 Pdiag(0,(1 0 )2 , ,(n1 0 )2 ) P 1 .

矩阵的对角化

摘要矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的．矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。

对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。

目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。

在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其次讨论了矩阵对角化的几个等价条件，最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。

关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化AbstractMatrix diagonalization refers similarity matrix and a diagonal matrix, The simplest form of a diagonal matrix plays an important role in matrix theory, Therefore Matrix diagonalization problem is very practical value.Whether matrix diagonalization matrix is a very important property. To be similar to the necessary and sufficient condition for understanding keratosis, has been one of linear algebra learning difficulties. At present more comprehensive and in-depth study of the matrix can be diagonalized conditions, matrix methods and the use of matrix diagonalization diagonalization of everything. In summarizing the basis of their predecessors, with the first given diagonalization related concepts, followed by discussion of the matrix diagonalization of several equivalent conditions and, finally, the application of some of the matrix diagonalization.Keywords: square; characteristic value; eigenvectors; diagonalization目录引言 (1)一矩阵可对角化的概念 (2)1.1 特征值、特征向量的概念 (2)1.2 矩阵可对角化的概念 (2)二矩阵可对角化的几个等价条件 (4)2.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 (4)2.2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 (8)三矩阵可对角化的应用 (9)3.1具体矩阵对角化的求解过程 (9)3.2矩阵对角化的应用 (13)3.2.1在反求矩阵方面的应用． (13)3.2.2 求方阵的高次幂 (14)3.2.3 求行列式的值 (15)3.2.4求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限 (16)3.2.5 在二次曲面上的一些应用 (17)结论 (19)致谢............................................... 错误!未定义书签。

二次型矩阵对角化方法

二次型矩阵对角化方法【导言】在线性代数中，二次型是一类与矩阵密切相关的重要概念。

对于一个二次型，我们可以通过矩阵的运算和对角化方法来深入理解其性质和特征。

本文将以二次型矩阵对角化方法为主题，以从简到繁的方式，由浅入深地介绍这一概念，并探讨其在数学领域中的应用和重要性。

【目录】1. 什么是二次型？2. 二次型矩阵的表示与性质3. 二次型的对角化方法3.1 特征值和特征向量3.2 对称矩阵的对角化3.3 正交对角化方法3.4 应用案例：最小二乘法与主成分分析4. 我对二次型矩阵对角化方法的理解与观点【正文】1. 什么是二次型？在线性代数中，二次型是一类与矩阵密切相关的函数形式，通常定义为多个变量的平方和的形式。

具体而言，对于域K上的n个变量x1,x2, ..., xn，其中K可以是实数域R或复数域C，二次型的一般形式为：Q(x1, x2, ..., xn) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 +2a12x1x2 + ... + 2an-1n xn-1xn其中，系数aij为常数。

2. 二次型矩阵的表示与性质二次型函数与矩阵之间具有紧密的联系。

对于二次型函数Q(x)，我们可以将其表示为一个矩阵形式Q(x) = X^TAX，其中X = [x1, x2, ..., xn]^T为列向量，而矩阵A则代表了二次型的系数。

进一步地，我们可以通过矩阵A来研究二次型的性质。

A的对称性决定了二次型函数的对称性，即Q(x) = Q(x^T)。

A的特征值和特征向量也能进一步揭示二次型的信息。

特征值表征了二次型函数的规模，而特征向量则代表了与二次型函数相关的变量的方向。

3. 二次型的对角化方法为了更深入地理解二次型函数，并发现其内涵的深层次特征，对角化方法是非常重要的工具。

下面将介绍几种常见的对角化方法。

3.1 特征值和特征向量特征值和特征向量在矩阵理论中具有重要意义，而在对于二次型函数的对角化中同样发挥着关键作用。

矩阵的对角化及二次型

第五章矩阵的对角化及二次型说明与要求:在矩阵分析和一些经济问题的计算中往往可归结为如下的数学问题：对于n⨯n矩阵A，求数λ和非零的n维向量α，使关系式Aα=λα成立．这样的数称为A的特征值，α称为特征向量．本章介绍矩阵的特征值及特征向量的概念、计算方法以及它们的一些基本性质，并讨论一些与它们有关的矩阵问题．本章的中心问题是研究矩阵的相似对角化，而在研究过程中，矩阵的特征值和特征向量是一个有力的工具，而且这些概念本身也是很重要的．我们要深刻理解矩阵的特征值和特征向量的概念、熟练掌握求特征值和特征向量的方法．对于抽象给出的矩阵要会用定义求解(实际是求特征值的取值范围)；对于具体数字给出的矩阵，一般先从特征方程|λA-E|=0求出特征值，再解齐次线性方程组(λA-E)X=0，基础解系就是λ所对应的线性无关的特征向量．相似对角化是重点，要掌握相似矩阵的概念和矩阵对角化的条件，注意一般矩阵与实对称矩阵在对角化方面的联系与区别．既要能求出矩阵A的相似对角矩阵Λ(当A可对角化时)，又要会用特征值、特征向量、相似、可对角化等确定A的参数．会利用对角化求A m．知道非负矩阵的定义及有关性质．二次型指的是数域P上的n元二次齐次多项式，它的研究起源于解析几何中化二次曲面的方程为标准形式的问题．二次型不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到．在这一章里，我们用学过的矩阵知识来讨论二次型的一些最基本的性质．二次型与实对称矩阵之间有一一对应的关系．一方面，二次型的问题可以用矩阵的理论与方法来研究；另一方面，实对称矩阵的问题也可转化成二次型的思想方法来解决．本章的另一中心问题是化二次型为标准形和二次型的正定性．学习时，应在掌握二次型的矩阵表示的基础上，熟练掌握化标准形的方法(配方法、初等变换法和正交变换法)．以及二次型正定的充要条件和正定性的判定．用正交变换法化二次型为标准形与实对称矩阵正交相似对角形是同一个问题，而以两种形式出现．若用正交变换化二次型X T AX为标准形Y TΛY，则A与对角矩阵Λ既相似又合同，Λ由A的特征值所组成．若用配方法化X T AX为标准形Y TΛY，则A与对角矩阵Λ仅仅是合同．此时对角矩阵Λ的元素不唯一．。

(8) 第三部分特征值,矩阵的相似对角化及二次型——典型例题.

Aα 2 = 2α 2 + α 3 , Aα 3 = 2α 2 + 3α 3 ,
1）求矩阵B, 使得 A(α1 , α 2 , α 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) B 2）求A的特征值 3）求可逆阵P，使 P −1 AP 为对角阵
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
T
T
T
α 2 = (2, 1, 1) , α 3 = ( −1, 2, − 3) 都是A的
对应于特征值6的特征向量，求A
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
14
三矩阵的相似对角化及实对称矩阵的相似合同对角化
⎛ 2 2 0⎞ 例43 若矩阵A = ⎜ 8 2 a ⎟相似于对角阵， ⎜ 0 0 6⎟ ⎝ ⎠ 试确定a的值，并求可逆阵P, 使得
与特征向量.
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
4
例29 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量 ξ1 = ( −1, 2, − 1) ,ξ 2 = (0, − 1, 1)
T
T
是Ax = 0 的两个解， 1）求A的特征值与特征向量； 2）求正交矩阵Q 和对角阵Λ , 使得 Q AQ = Λ
的特征值与特征向量.
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
3
⎛ 0 1 0⎞ ⎛ 3 2 2⎞ 例28 设矩阵 A = ⎜ 2 3 2 ⎟ , P = ⎜ 1 0 1 ⎟ , ⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 2 2 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −1 ∗ B = P A P , 求 B + 2 E 的特征值

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

0
1
A对应于1 2 1的全部特征向量为
0 1 k1p1 k2p2 k1 1 k2 0. 0 1
(其中k1 , k2为不全为零的任意常数)
对3 1，解( A I )x 0,
1 A I 0
3)线性性(x, y) (x, y) (x, y); (x y, z) (x, z) (y, z);
（2）向量的长度
定义3 向量的长度
x (x, x) x12 x22 L xn2 , 称为n维向量x的长度..
当 x 1时，称x为单位向量.
向量长度的性质：
对1 2 3 1, 解( A I )x 0,
~ 3 1 2
A I 5 2 3
1 0
0 1
1 1
x1 x3
得

x
2

x3
1 0 1
0 0 0

x3

x3
得
到
一个基础
解
系为p

1 1,
1
A对应于1 2 3 1的全部特征向量为
kp

k

1 1
(k

0的任意常数).
1
注：1)若0为单根，基础解系含一个解向量； 2)若0为k重根，基础解系含解向量的个数 k；
即方阵A的k重特征值不一定对应k个线性无关的特征向量。
阵 A 的对应于特征值λ的特征向量.
例如

2 2
1312 412
a11 (1) f ( ) A I a21
an1 称为A的特征多项式.
a12
a22
an2
a1n a2n
ann
(2) f () A I 0称为A的特征方程.

两两正交，
s
则称向量组1， 2， s为正交向量组.
n阶方阵A为正交矩阵它的行（或列）
向量组是两两正交的单位向量组.

T i

i
1
iT j 0
1 ai1a j1 ai2a j2 L ain a jn 0
(i j) .
(i j)
正交向量组有以下性质：
定理 1 正交向量组一定是线性无关的.
定理
2
如果r个n维非零向量1 , 2
,
,
构成
r
正交向量组，且r n,则必有n维非零向量x,
使x与1,2 , ,r都正交.
证 x应满足齐次线性方程组：
12rTTTxxx
0, 0,
0,
即
12TT
x
对1 2 1, 解( A I )x 0,
~ 1 0
AI 0 0
1
0
1 0
0 0
1 0

x1

x2

x2
x3
1
0 1

0
0
0

x3

x3
0
1

得到一个基础解系为p1 1, p2 0,

3 1
111100
5100

1 1

13,

1 4

3 5100 1 5100
3 3 13
5100 5100
.
3 3 5 设A x 4 y
1 1 1
例（3 2000年四）（9分）
(3)特征方程的解i (i 1, , n)称为A的特征值.
(4)将特征值i代入方程，则( A i I ) x 0有非零解, 此方程的非零解称为A的对应于i的特征向量.
求特征值和特征向量的步骤：
(1) 求出A的特征方程A I 0的全部根，
即为A的全部特征值;
(2) 对A的每一个特征值i，求出( A i I )x 0 的非零解，即为A的对应于i的全部特征向量.
设 A、B 都是 n 阶方阵，若存在可逆方阵 P，使
P -1AP=B
则称 A 与 B 相似，或称 B 是 A 的相似矩阵.记作
A∽B 对A进行的运算P 1 AP称为对A进行相似变换.
相似矩阵的性质:
(1)自反性：A ~ A; (2)对称性：若A ~ B，则B ~ A; (3)传递性：若A ~ B，B ~ C则A ~ C; (4)若 A∽B，则 A B , r(A) r(B).
A I 0 0 0 0 0 0
1 0 1

0
0
0

x1

x2

x2
x3
0 令p1 1,

x3

x3

0
1

p2 0,

1
对3 1，解( A I )x 0,
1 A I 0
(5)若 A∽B，则A 与 B 的特征多项式相同，特征值相同.
λ1
推论:若n阶方阵A与对角阵Λ=
λ2

O
λn

相似，则1, 2 , , n就是A的n个特征值.
例设A 10
12,
B

1 0
21, 试证不存在可逆矩阵
P，使P 1AP B.

第四章
重点：
矩阵特征值、特征向量的概念及求法，矩阵对角化的条件，用正交变换化二次型为标准型
难点：
用正交变换化二次型为标准型
§4.1矩阵的特征值与特征向量
一、概念
Def 特征值和特征向量
设 A 为 n 阶方阵，如果对于一个数λ，存在一个
n 维非零列向量 x,使得 Ax x 成立，
则称数λ为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为方
例1.求
矩
阵A

0 0
0 1
1 0
的
特
征
值
和
特
征
向
量.

1
0
0

解 A的特征方程为
0 A I 0 1
1

0 (1 )
1
1

1 0
(1 )( 1)( 1) 0
A的特征值为：1 2 1, 3 1,
二、特征值与特征向量的性质
（1）n阶方阵A与它的转置矩阵AT 有相同的特征值.
(2)设i (i

1,2,
,
m
)是方阵A的特征值，p
是对应于
i
i的特征向量.若1 , 2 , m互不相等，则p1 , p2 ,
, p m线性无关.
例3.设是方阵A的特征值，证明：(1)k是kA的特征值；
0的常数).

1

例2.求
矩
阵A

2 5
1 3
2 3
的特征值和特征向量.
1 0 2
解 A的特征方程为
2 1 2
A I 5 3 3 ( 1)3 0
1 0 2
A的特征值为：1 2 3 1,
特征值相同是相似的必要条件，但不是充分条件。
二、矩阵的对角化
定理 n阶方阵A ~
A有n个线性无关的特征向量.
相似变换矩阵P的列向量就是A的n个线性无关的特征向量. Λ的对角元是A的n个特征值
定理3 若n阶方阵A有n个不同的特征值
1, 2 , , n , 则 A 可对角化.
1
1)非负性 x 0;
2)齐次性 x x ;
3)三角不等式 x y x y . 4)设A是n阶正交矩阵，x是n维列向量，
则 Ax x .
因此正交矩阵A作用于向量x不改变向量长度.
（3）正交向量
定义4 正交向量
若(x, y) 0，则称x与y正交.
定义5 正交向量组
若非零向量组1， 2，
1

即
P
1
AP

2

n
其中，1 , 2 , , n ,是A的n个特征值，
P是由n个线性无关的特征向量作为列向量所构成的矩阵.
例1.将
矩
阵A

0 0
0 1
1 0
相似变换矩阵.
10相似对角化并，写出 0

即
A
~

2

n
A 有 n 个不同的特征值是 A 可对角化的充分条件，但不是必要条件.
将方阵A化为对角阵的步骤：
1)求出方阵A的特征值和特征向量；
2)判断A能否对角(是否有n个线性无关的特征向量)；
3)若A能化为对角阵则，写出与A相似的对角阵.
AP

1 0
0 1
0 0 .

0
11Leabharlann 00
1
1 0 1
1 0 0

若令P ( p3 , p1, p2 ) 0 1 0, 则 P 1AP 0 1 0.

1
0
1

0
0 1
说明与A相似的对角阵不唯一，但对角元都是 A的特征值，只是次序不同.