数学高中学业水平测试专题十第36讲解三角形的综合应用教育精品PPT课件
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A．10 2 海里 B．10 3 海里 C．20 3 海里 D．20 2 海里
解析：如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20，∠ CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得
BC ＝ AB ， sin 30° sin 45° 解得 BC＝10 2(海里)． 答案：A
3．一条河的两岸平行，河的宽度 d＝0.6 km，一艘
2．求角度问题
【例 2】 如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面 前的点 A 处进行射击训练．已知点 A 到墙面的距离为 AB， 某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准 目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小．若 AB ＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则 tan θ 的最大值是 ______(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)．
客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB＝1
km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所
用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h
B．6 2 km/h
专题 十 解三角形
第36讲 解三角形的综合 应用
Hale Waihona Puke Baidu
1．仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线 的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在 水平视线下方叫俯角(如图①)．
2．方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°，北偏西 45°等． 3．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)．
3
3
3
3
＝
＝ 1－4x0＋6x225
2x5－452＋295.
3
当2x5＝45，即
x＝1245时，tan
θ
取得最大值为
3 3
＝5
9
3 .
5
答案：5 9 3
剖析：解决测量角度问题的注意事项： (1)首先应明确方位角或方向角的含义． (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正 确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后， 注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin
30°＝ 22× 23－ 22×12＝
6－ 4
2 ，
由正弦定理得 PB ＝ AB ，∴PB＝ 12×60 ＝
sin 30° sin 15°
6－ 2
4
30( 6＋ 2)，
∴树的高度为 PB·sin 45°＝30( 6＋ 2)× 22＝(30＋ 30 3)m.
1．求距离、高度问题
【例 1】 (1)一船自西向东航行，上午 10 时到达灯 塔 P 的南偏西 75°的方向上，距塔 68 海里的 M 处，下 午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船航行 的速度为________海里/小时．
(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B 两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°， 且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.
B. 2 km D．2 km
解析：如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB＝45°，
∴ AC ＝ 2 ，∴AC＝2 sin 60° sin 45°
2× 23＝
6.
答案：A
2．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度 沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏 东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是( )
剖析：三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函 数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形 中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．
1．在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若
∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则 A，C 两点之间的距离
为( )
A. 6 km C. 3 km
3．三角形与三角函数的综合问题 【例 3】 如图，在△ABC 中，已知 B＝π3，AC＝4 3， D 为 BC 边上一点．若 AB＝AD，则△ADC 的周长的最 大值为________．
解析：∵AB＝AD，B＝π3，∴△ABD 为正三角形． 在△ADC 中，根据正弦定理， 可得sAinDC＝s4in233π＝sinDπ3C－C， ∴AD＝8sin C，DC＝8sinπ3－C，∴△ADC 的周长为
答案：(1)127 6 (2)30＋30 3
剖析：求距离、高度问题应注意： (1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线 的夹角；理解方向角的概念； (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量 所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则 把未知量放在另一确定三角形中求解．
(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就 选择更便于计算的定理.
解析：(1)由题意知，在△PMN 中，PM＝68 海里，∠ MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.
由正弦定理，得 MN ＝ 68 ，解得 MN＝34 6海 sin 120° sin 45°
里，故这只船航行的速度为344 6＝172 6海里/小时． (2)在△PAB 中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，
解析：如图，过点 P 作 PO⊥BC 于点 O，
连接 AO，则∠PAO＝θ.
设
CO＝x
m，则
OP＝
3 3x
m.
在 Rt△ABC 中，AB＝15 m，AC＝25 m， ∴BC＝20 m．∴cos∠BCA＝45. ∴ AO ＝ 625＋x2－2×25x×45 ＝ x2－40x＋625 (m)．
3 3x ∴tan θ＝ x2－40x＋625
AD＋DC＋AC＝8sin C＋8sinπ3－C＋4 3＝
8sin C＋ 23cos C－12sin C＋4
1 3＝82sin
C＋
3 2 cos
C＋4
3＝8sinC＋π3＋4
3，
∵∠ADC＝23π，∴0＜C＜π3，∴π3＜C＋π3＜23π，
∴当 C＋π3＝π2，即 C＝π6时，
△ADC 的周长的最大值为 8＋4 3. 答案：8＋4 3
解析：如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20，∠ CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得
BC ＝ AB ， sin 30° sin 45° 解得 BC＝10 2(海里)． 答案：A
3．一条河的两岸平行，河的宽度 d＝0.6 km，一艘
2．求角度问题
【例 2】 如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面 前的点 A 处进行射击训练．已知点 A 到墙面的距离为 AB， 某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准 目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小．若 AB ＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则 tan θ 的最大值是 ______(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)．
客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB＝1
km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所
用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h
B．6 2 km/h
专题 十 解三角形
第36讲 解三角形的综合 应用
Hale Waihona Puke Baidu
1．仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线 的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在 水平视线下方叫俯角(如图①)．
2．方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°，北偏西 45°等． 3．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)．
3
3
3
3
＝
＝ 1－4x0＋6x225
2x5－452＋295.
3
当2x5＝45，即
x＝1245时，tan
θ
取得最大值为
3 3
＝5
9
3 .
5
答案：5 9 3
剖析：解决测量角度问题的注意事项： (1)首先应明确方位角或方向角的含义． (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正 确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后， 注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin
30°＝ 22× 23－ 22×12＝
6－ 4
2 ，
由正弦定理得 PB ＝ AB ，∴PB＝ 12×60 ＝
sin 30° sin 15°
6－ 2
4
30( 6＋ 2)，
∴树的高度为 PB·sin 45°＝30( 6＋ 2)× 22＝(30＋ 30 3)m.
1．求距离、高度问题
【例 1】 (1)一船自西向东航行，上午 10 时到达灯 塔 P 的南偏西 75°的方向上，距塔 68 海里的 M 处，下 午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船航行 的速度为________海里/小时．
(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B 两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°， 且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.
B. 2 km D．2 km
解析：如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB＝45°，
∴ AC ＝ 2 ，∴AC＝2 sin 60° sin 45°
2× 23＝
6.
答案：A
2．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度 沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏 东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是( )
剖析：三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函 数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形 中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．
1．在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若
∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则 A，C 两点之间的距离
为( )
A. 6 km C. 3 km
3．三角形与三角函数的综合问题 【例 3】 如图，在△ABC 中，已知 B＝π3，AC＝4 3， D 为 BC 边上一点．若 AB＝AD，则△ADC 的周长的最 大值为________．
解析：∵AB＝AD，B＝π3，∴△ABD 为正三角形． 在△ADC 中，根据正弦定理， 可得sAinDC＝s4in233π＝sinDπ3C－C， ∴AD＝8sin C，DC＝8sinπ3－C，∴△ADC 的周长为
答案：(1)127 6 (2)30＋30 3
剖析：求距离、高度问题应注意： (1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线 的夹角；理解方向角的概念； (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量 所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则 把未知量放在另一确定三角形中求解．
(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就 选择更便于计算的定理.
解析：(1)由题意知，在△PMN 中，PM＝68 海里，∠ MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.
由正弦定理，得 MN ＝ 68 ，解得 MN＝34 6海 sin 120° sin 45°
里，故这只船航行的速度为344 6＝172 6海里/小时． (2)在△PAB 中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，
解析：如图，过点 P 作 PO⊥BC 于点 O，
连接 AO，则∠PAO＝θ.
设
CO＝x
m，则
OP＝
3 3x
m.
在 Rt△ABC 中，AB＝15 m，AC＝25 m， ∴BC＝20 m．∴cos∠BCA＝45. ∴ AO ＝ 625＋x2－2×25x×45 ＝ x2－40x＋625 (m)．
3 3x ∴tan θ＝ x2－40x＋625
AD＋DC＋AC＝8sin C＋8sinπ3－C＋4 3＝
8sin C＋ 23cos C－12sin C＋4
1 3＝82sin
C＋
3 2 cos
C＋4
3＝8sinC＋π3＋4
3，
∵∠ADC＝23π，∴0＜C＜π3，∴π3＜C＋π3＜23π，
∴当 C＋π3＝π2，即 C＝π6时，
△ADC 的周长的最大值为 8＋4 3. 答案：8＋4 3