数值分析(计算方法)总结

第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差εx=|x−x∗|是x∗的绝对误差，e=x∗−x是x∗的误差，εx=x−x∗≤ε，ε为x∗的绝对误差限（或误差限）e r=ex =x∗−xx为x∗的相对误差，当|e r|较小时，令e r=ex∗=x∗−xx∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr即：e r=|x∗−x|x ≤εx=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x∗的第一位非零数字共有n位，则称近似值x∗有n位有效数字，或说x∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x∗=3,ε1x=0.1415926…≤0.5×100,则x∗有效数字为1位，即个位上的3，或说x∗精确到个位。

科学计数法：记x∗=±0.a1a2⋯a n×10m其中a1≠0,若x−x∗≤0.5×10m−n，则x∗有n位有效数字，精确到10m−n。

由有效数字求相对误差限：设近似值x∗=±0.a1a2⋯a n×10m（a1≠0）有n位有效数字，则其相对误差限为12a1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x∗=±0.a1a2⋯a n×10m（a1≠0）的相对误差限为为12（a1+1）×101−n则它有n位有效数字令x∗、y∗是x、y的近似值，且|x∗−x|≤ηx、|y∗−y|≤η(y)1.x+y近似值为x∗+y∗,且ηx+y=ηx+η（y）和的误差（限）等于误差（限）的和2.x-y近似值为x∗−y∗,且ηx+y=ηx+η（y）3.xy近似值为x∗y∗,ηxy≈x∗∗ηy+y∗∗η(x)4.η(xy )≈x∗∗ηy+y∗∗η(x)|y∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|<E为止，此时取x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。

2.二分法设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0=((a0+b0)/2),计算f(x0)。

对于给定精度ε，即b−a2<ε，可得所需步数k，k>[ln b−a−ln⁡(ε)ln23.比例法一般地，设 [a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、 (b k, f(b k))作直线，与x轴交于一点x k ,则：1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。

2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。

——这正是迭代法的基本思想。

事先估计:|x ∗−x k |≤L1−L |x 1−x 0| 事后估计|x ∗−x k |≤11−L |x k+1−x k |局部收敛性判定定理：设x ∗为方程x =φ x 的根，φ(x)′在x ∗的某一邻域内连续，且 φ(x ∗)′ <1，则该迭代局部收敛局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近Steffensen 迭代格式：x k+1=φ(x k ) x k+1=φ(x k+1)x k+1=x k −(x k+1−x k )2k+1k+1kNewton 法：x k+1=x k −f(x k )f′(x k)Newton 下山法：x k+1=x k −λf(x k )f′(x k ),λ是下山因子弦割法：x k+1=x k −f x k ∗(x k −x k −1)f x k −f(x k −1)抛物线法：令t =x −x k ,h 0=x k −2−x k ,h 1=x k −1−x k ,可化为y t =at 2+bt +c其中：a = f x k −2 −c ∗h 1− f x k −1 −c ∗h 0h 1∗h 02−h 0∗h 12b = f x k −1 −c ∗h 02− f x k −2 −c ∗h 12h 1∗h 02−h 0∗h 12c =f(x k )则：x k+1= x k −2cb + b 2−4ac b >0x k +b + b 2−4acb ≤0设迭代 x k +1 = g (x k ) 收敛到g (x ) 的不动点（根） x * 设 e k = x k x *若lim k →∞e k+1 e k =C ，则称该迭代为p （不小于1）阶收敛，其中 C (不为0)称为渐进误差常数 第三章 解线性方程组直接法列主元LU 分解法：计算主元S i =a ik − l ir u rk ，i =k,k +1…n k −1r=1选主元 S ik =max k ≤i ≤n S iu 1j =a 1j ，（j =1,2…n)l i1=a i1u 11，（i =2,3…n)u kj =a kj − l km u mj ， j =k,k +1,…n ，即为上式主元k −1m=1l ik =1u kka ik − l im u mk k −1m=1 ， i =k +1,k +2,…n对于Ax=b ，三角分解A=LU ，Doolittle 分解：L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵；Crout 分解：L 为下三角矩阵，U 为单位上矩阵。

可分解为：Ly =b ，下三角方程组Ux =y ，上三角方程组若利用紧凑格式可化为：Ux =yy 1=b 1y k =b k − l km y m ，（k =2,3…n ）k −1m=1Cholesky 平方根法：系数矩阵A 必须对称正定AX =b ⇔ Ly =bL T x =y(其中A =L L T )l 11= a 11，l i1=a i1l 11(i =2,3…n)l kk = a kk − l km 2k −1m=1，l ik =1kk (a ik− l im l km )(i =k +1,k +2…n ，k =2,3…n)k −1m=1改进Cholesky 分解法：A =LDL TL = 1l 211l 31l 321………⋱l n1l n2…l n(n −1)1，D = d1d 2⋱⋱d n。

由A =L(DL T ) A = 1l 211l 31l 321………⋱l n1l n2…l n(n −1)1，D =d 1d 1l 21d 1l 31…d 1l n1d 2d 2l 32…d 2l n2⋱…d 3l n3⋱⋮d n，逐行相乘l ij =1j (a ij − l ik d k l jk )，（j =1,2…i −1)j −1k=1d i =a ii − l ik 2j −1k=1d k ，（i =1,2…n)为减少计算量，令c ij =l ij d j ，可改为：c ij =a ij − c ik l jk j −1k=1l ij =c ij d j d j =a ii − c ik l ik i −1k=1(i =2,3…n ，j =1,2…i −1)，等价于 Ly =b L T x =D −1y 其中：D−1=1d 11d 2⋱1d n 追赶法：Ax=d(A=LU),可化为Ly=d,Ux=y A =a 1c 1b 1a 2c 2⋱⋱⋱a n −1b n −1c n −1a nb n =1l 21⋱⋱l n −11l n1u 1c 1u 2c 2⋱⋱u n −1c n −1u nu 1=b 1l i =a iu i −1u i =b i −l i c i −1，（i =2,3…n)向量范数：：A 1= x i n i=1，1−范数 A 2= x i 2n i=1，2−范数或欧氏范数A ∞=limp →+∞ x p =max 1≤i ≤n{ x i }，∞−范数 矩阵范数： A 1=max 1≤j ≤n a ij ni=1，列范数A 2= λmax A T A ，谱范数 A ∞=max 1≤i ≤n a ij nj=1，行范数谱半径:ρ A =max 1≤i ≤n{ λi }λ为特征值,且ρ A ≤ A ,若A 为对称阵则：ρ A = A 2收敛条件：谱半径小于1条件数：Cond = A −1 ∗ A ，Cond 2 A = λmax λmin第四章 解线性方程组的迭代法Jacobi 迭代：x i (k+1)=1a ii(b i − a ij x j k − a ij x j k)n j=i+1i −1j=1,(i =1,2…n;k =0,1,2…)基于Jacobi 迭代的Gauss-Seidel 迭代:x i (k+1)=1ii(b i − a ij x j k+1 − a ij x j k)nj=i+1i −1j=1,(i =1,2…n;k =0,1,2…) 迭代收敛：谱半径小于1，范数小于1能推出收敛但不能反推逐次超松弛迭代（SOR ）:x i (k+1)=x i(k)−ϖii(b i − a ij x j k+1 − a ij x j k )nj=i+1i −1j=1,(i =1,2…n;k =0,1,2…) 或：x i(k+1)= 1−ϖ x i k +ϖa ii(b i − a ij x j k+1 − a ij x j k)nj=i+1i −1j=1,(i =1,2…n;k =0,1,2…)当ϖ=1时，就是基于Jacobi 迭代的Gauss-Seidel 迭代（加权平均）。

第五章 插值法Lagrange 插值法：l j x i =0，i ≠j 1，i =j，则l j x =x −x ij ini=0构造插值函数：L n x i =f x i =y i ， i =0,1…n ，令L x =l 0 x y 0+l 1 x y 1+⋯+l n (x)y n则：y =L n x = l j x y j = (x −x i )(x j−x i)n i=0i ≠jnj=0n j=0y j若记：w x = x −x 0 x −x 1 … x −x n = （x −x i ）n i=0则可改为：l j x =w n +1(x)x −x jw ′n +1(x j)，则L n x = (x −x i)(x j−x i)n i=0i ≠jn j=0y j = w (x)x −x jw ′(x j)n j=0y j 则插值余项：R n x =f x −L n x =f n +1 ξn+1!w n+1(x) 逐次线性插值法Aitken （埃特金法）：L 0,1…k ,l x =L 0,1…k x +L 0,1…k−1 x −L 0,1…k x x l −x k x −x k =1x l −x k f (x l )x −x lf (x k )x −x kNewton 插值法：N(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn)并满足N(x)=f(x) 差商的函数值表示：f x 0,x 1…x k = f(x i )w k+1(x i )k i=0差商与导数的关系：f x 0,x 1…x k =f n (ξ)n!则：f x =f x 0 +f x 0,x 1 w 1 x +⋯+f x 0,x 1…x n w n x +f x,x 0,x 1…x n+1 w n+1 x 等距节点Newton 插值公式：Newton 向前插值：N n a +th =f x + ∆kn k=1y 0 t k ，其中 t k =t t −1 …(t −k+1)k!余项：R n x =f n+1 ξ h n+1 t n+1 ，t =x −x 0hNewton 向后插值：N n x n +th =f x n + ∇k n k=1y n t+k −1k 余项：R n x =f n+1 ξ h n+1 t+n n+1Hermite 插值：H x = αj x y j + βj x y′j nj=0n j=0αj x = Ax +B l j 2 x ，βj x = Cx +D l j 2(x)可得：αi x = 1−2 x −x i 1ik nk=0k ≠il i 2(x)βi x = x −x i l i 2(x)插值余项：R 2n+1 x =f x −H 2n+1 x =f 2n +2 ξ 2n+2 !w n+12(x) 待定系数：H x =L 0,1…n (Aitken)+ x −x 1∗ x −x 2∗ … x −x n ∗ (Ax +B)三次样条插值：（三弯矩构造法）记s ′′ x i =M i 对s 积分两次并满足插值条件，h i =x i −x i −1，λi =hih i+h i+1，μi =hi+1h i+h i+1对于附加弯矩约束条件：2μ1λ22μ2λ32⋱⋱⋱μn −2λn −12 M 1M 2M 3⋮M n −1 =6f x 0,x 1,x 2 −λ1M 06f x 1,x 2，x 3 6f x 2,x 3，x 4 ⋮6f x n −2,x n −1,x n −μn −1M nλi M i −1+2M i +μi M i+1=6f[x i −1,x i ,x i+1]对于附加转角边界条件：21λ12μ1λ22μ2⋱⋱⋱λn −12μn −112 M0M 1M 2⋮M n −1M n=6 f x 0,x 1 −m 0h 1f x 0,x 1，x 2 f x 1,x 2，x 3 ⋮f x n −2,x n −1,x nm n −f x n −2,x n −1,x n n对于附加周期性边界条件：2λ0μ0λ12μ1λ22μ2⋱⋱⋱λn −22μn −2μn −1λn −22 M 0M 1M 2⋮M n −2M n −1=6{f x 0,x 1 −f x n −1,x n }h 1+h nf x 0,x 1，x 2f x 1,x 2，x 3 ⋮f x n −3,x n −2,x n −1 f x n −2,x n −1,x ns x =M i −1(x i −x)36h i +M i (x −x i −1)36h i + f x i −1 −M i −1h i 26 x i −x h i +[f x i −M i h i 26]x −x i −1h i上式保证了s(x)在相邻两点的连续性第六章 函数逼近与曲线拟合 主要求法方程第七章 数值积分与数值微分求积公式具有m 次代数精度的充要条件：x k dx = A i x i k ，k =0,1…n ， x m+1dx ≠ A i x i m+1ni=0bani=0ba插值型求积公式 f x =dx ≈ A i f(x i )n i=0b a 求积系数公式：A i = l i x dx ，i =0,1…n ba Newton-Cotes （等分）梯形求积公式（n=1），具有1次代数收敛精度 f x dx ≈b −a 2[f a +f b ]ba误差公式：E 1 f =−b −a 312f ′′(η) 抛物型求积公式（Simpson 求积公式，n=2），具有3次代数收敛精度 f x dx ≈b −a 6[f a +4f a +b2 +f b ]ba误差公式E 2 f =−b −a 52880f （4）(η) Newton 求积公式（Simpon3/8法则） 具有3次代数收敛精度N f ≈b −a [ f a +3f a +h +3f a +2h +f b ，h =b −a Cotes 求积公式（n=4），具有5次收敛精度f x dx ba≈b −a 90[7 f a +32f a +h +12f a +2h +32f a +3h +7f b ，h =b −an误差公式E 4 f =−2（b −a)945(b −a 4)6f （6）(η) 节点数为奇数时，代数精度为n;为偶数时，代数精度为n+1。