初二数学实数的运算
实数的运算与性质
实数的运算与性质在数学中，实数是指包括有理数和无理数的数集。
它们可以进行各种运算，并且具有特定的性质。
本文将详细介绍实数的运算法则以及相关性质。
一、实数的四则运算实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面以具体的运算示例来说明这四种运算法则。
1. 加法：实数加法的法则是：对于任意的实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)，即加法具有结合律。
例如，对于a=2，b=3和c=4，我们有(2+3)+4=9，而2+(3+4)=9，所以加法满足结合律。
2. 减法：实数减法是加法的逆运算。
设a、b和c是任意实数，那么a-(b+c)=a-b-c，即减法也具有结合律。
举个例子，对于a=5，b=3和c=1，我们有5-(3+1)=1，而5-3-1=1，因此减法也满足结合律。
3. 乘法：实数乘法的法则是：对于任意的实数a、b和c，有(ab)c=a(bc)，即乘法也具有结合律。
例如，对于a=2，b=3和c=4，我们有(2*3)*4=24，而2*(3*4)=24，所以乘法满足结合律。
4. 除法：实数除法是乘法的逆运算。
对于任意非零实数a、b和c，有a/(bc)=(a/b)/c，即除法也具有结合律。
举个例子，对于a=10，b=2和c=5，我们有10/(2*5)=1，而(10/2)/5=1，所以除法也满足结合律。
二、实数的性质实数具有许多重要的性质，下面介绍几个常见的性质。
1. 封闭性：实数的加法和乘法都具有封闭性，即任意两个实数的和或积仍为实数。
例如，对于任意实数a和b，a+b和ab也都是实数。
2. 结合律：前文已经介绍了加法和乘法的结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(ab)c=a(bc)。
这个性质允许我们对实数进行连续的运算，无需考虑运算的顺序。
3. 交换律：实数的加法和乘法都具有交换律，即a+b=b+a和ab=ba。
举个例子，对于任意实数a和b，a+b和ab都满足这一性质。
4. 零元素和单位元素：加法中的零元素是0，即对于任意实数a，a+0=a。
初中数学精品课件：实数及其运算
【典例 1】 (2019·宁波)请写出一个小于 4 的无理数： ______．
【答案】 π(答案不唯一)
【类题演练 1】 (2019·衢州)在12，0，1，－9 四个数中，
【典例 1】
在
实
数
－
π 2
，
2
，
22 7
，
0.3333333…
，
0
，
1.732
，
2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”) 中，是无理数的
是
．
【错解】 2，272，2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)
【析错】 无理数是无限不循环小数，而有理数可以写成 分母不为 0 的分数形式，所以272是有理数，－π2是无理数． 【正解】 －π2， 2，2.1010010001…(每两个“1”之 间依次多一个“0”)
2．初中数学中常见的非负数有：①实数的绝对值：|a|≥0； ②实数的平方：a2≥0；③非负实数的算术平方根： a ≥0(a≥0)．如果 a，b，c 都是实数，且满足 a2＋|b|＋ c ＝0，那么根据非负数的性质，有 a＝b＝c＝0.由非负 数的性质可以求出多个未知数的值.
易错点1 平方根与算术平方根概念的混淆
数，则 ab＝ 1 ．
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数 的绝对值．
a（a＞0）， |a|＝0（a＝0）， 以上三条反之亦成立．
－a（a＜0）.
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 a×10n(反数，则和为 0；若两数互为倒数，则积 为 1.反之亦成立．
八年级数学上人教版《实数的运算》教学反思
《实数的运算》教学反思
在《实数的运算》这一课的教学中，我注重学生的主动参与，动手实践，合作交流，让学生经历知识的形成过程。
我首先让学生通过计算器计算正方形的面积，然后引出算术平方根的概念。
通过举例说明平方根与算术平方根的区别，让学生更清晰地理解算术平方根的意义。
在教学过程中，我注意到学生的个体差异，尊重学生的个性，鼓励他们积极思考，大胆发言。
我通过引导学生自主探究、动手实践、合作交流等方式，让学生自主构建知识体系，培养他们的探究能力和创新精神。
在教学过程中，我也发现了一些问题。
例如，有些学生对算术平方根的概念理解不够深入，需要加强练习；有些学生在进行实数运算时容易出错，需要加强计算训练。
针对这些问题，我在课后安排了相应的练习和作业，以便学生更好地掌握实数的运算方法。
通过《实数的运算》这一课的教学，我深刻认识到数学与现实生活的紧密联系，以及数学在解决实际问题中的重要作用。
同时，我也认识到在数学教学中，要注重学生的主动参与和合作交流，培养学生的探究能力和创新精神。
我将继续努力提高自己的教学水平，为学生提供更好的数学教学服务。
指导初二数学教材中的实数运算
指导初二数学教材中的实数运算实数运算在初二数学教材中占据了非常重要的部分，它是数学学习的基础。
在学习实数运算的过程中，不仅要掌握四则运算的方法，还需要理解实数的性质及其运算规则。
下面，将为大家介绍指导初二数学教材中的实数运算。
一、实数的基本性质实数是包括有理数和无理数的数的集合。
有理数指所有可以表示为整数之比的数，无理数则是不能用整数之比表示的数。
实数包含了所有的有理数和无理数，是数轴上的所有点。
实数的基本性质有以下几个方面：1. 封闭性：实数的四则运算结果仍然是实数。
例如，两个有理数之和、差、乘积、商都是有理数；有理数和无理数之和、差、乘积、商都是无理数。
2. 唯一性：实数的加法和乘法都有唯一的结果。
例如，对于任意的实数a、b，a+b和a×b都有唯一的结果。
3. 传递性：实数的大小关系具有传递性。
即如果a>b，b>c，则a>c。
4. 对称性：实数的大小关系具有对称性。
即如果a>b，则b<a。
以上是实数的一些基本性质。
在实数运算中，需要根据这些性质来进行计算和推导。
二、实数的四则运算实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍这四种运算的方法和规则。
1. 加法运算：加法运算是指两个实数之间的相加。
例如，对于实数a和b，它们的和为a+b。
在进行加法运算时，需要根据实数的性质和规则来进行计算。
例如：a. 同号相加：同号的实数相加，结果的符号不变，绝对值相加。
即正数加正数仍为正数，负数加负数仍为负数。
b. 异号相加：异号的实数相加，求它们的绝对值之差，结果的符号由绝对值较大的那个实数决定。
即正数加负数求差，结果的符号取较大的那个数的符号。
2. 减法运算：减法运算是指一个实数减去另一个实数。
例如，对于实数a和b，它们的差为a-b。
减法运算可以转化为加法运算，即a-b可以改写为a+(-b)，然后按照加法运算的规则进行计算。
3. 乘法运算：乘法运算是指两个实数之间的相乘。
初中数学 实数的绝对值运算是什么
初中数学实数的绝对值运算是什么实数的绝对值运算是一种数学运算，用来表示一个实数离原点的距离。
绝对值运算符用竖线（| |）表示，例如|x| 表示实数x 的绝对值。
绝对值运算具有以下特点和性质，我们将详细介绍实数的绝对值运算的定义、性质以及一些常见的应用。
1. 绝对值运算的定义：对于任意实数x，绝对值运算定义如下：-如果x 大于或等于0，那么|x| = x。
-如果x 小于0，那么|x| = -x。
绝对值运算的定义可以简单地理解为，如果一个实数大于或等于0，则它的绝对值等于它本身；如果一个实数小于0，则它的绝对值等于它的相反数。
2. 绝对值运算的性质：绝对值运算具有以下性质：-非负性：对于任意实数x，有|x| ≥ 0。
即，绝对值运算的结果始终是非负数或零。
-非负零性：如果一个实数的绝对值等于零，那么这个实数必须是零，即|x| = 0 当且仅当x = 0。
-对称性：对于任意实数x，有|x| = |-x|。
即，一个实数的绝对值与它的相反数的绝对值相等。
-三角不等式：对于任意实数a 和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
即，两个实数的绝对值之和不大于它们的绝对值的和。
3. 绝对值运算的应用：-距离计算：绝对值运算可以用来计算两个实数之间的距离。
例如，如果有两个点在数轴上的坐标分别为a 和b，它们之间的距离可以表示为|a - b|。
-解绝对值方程和不等式：绝对值运算在解绝对值方程和不等式时经常用到。
绝对值方程是指含有绝对值符号的方程，而绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
通过绝对值运算，我们可以找到方程或不等式的解集。
实数的绝对值运算是一种表示实数离原点的距离的运算。
绝对值运算的定义简单明了，它的性质使得我们能够在解决问题时进行推导和判断。
在实际应用中，绝对值运算经常用于距离计算以及解绝对值方程和不等式。
通过熟练掌握绝对值运算的概念和性质，我们能够更好地理解和应用实数的绝对值运算。
初中数学 实数的取整运算是什么
初中数学实数的取整运算是什么实数的取整运算是一种常见的数值处理方法，用于将一个实数近似为最接近的整数。
取整运算可以分为向上取整、向下取整和四舍五入三种方式。
下面我们将详细介绍实数的取整运算的定义、原则以及一些具体的应用。
1. 向上取整运算：向上取整是指将一个实数近似为不小于它的最小整数。
记作⌈x⌈。
具体原则如下：-如果x 是正数或零，那么向上取整得到的结果与向下取整相同，即⌈x⌈ = ⌈x⌈。
-如果x 是负数，那么向上取整得到的结果是不小于x 的最大整数。
2. 向下取整运算：向下取整是指将一个实数近似为不大于它的最大整数。
记作⌈x⌈。
具体原则如下：-如果x 是负数或零，那么向下取整得到的结果与向上取整相同，即⌈x⌈ = ⌈x⌈。
-如果x 是正数，那么向下取整得到的结果是不大于x 的最小整数。
3. 四舍五入运算：四舍五入运算是指将一个实数近似为最接近的整数。
具体原则如下：-如果要保留的位数后的数字小于5，则舍去该位数后的所有数字。
-如果要保留的位数后的数字大于等于5，则向前一位数字进一，并舍去该位数后的所有数字。
4. 取整运算的具体应用：-金融计算：在金融领域，取整运算经常用于计算利率、股票价格等。
例如，将一个利率保留到整数位，可以使用向下取整或四舍五入运算。
-统计分析：在统计学中，取整运算常用于对数据进行整合和处理。
例如，将一组数据取整到整数位，可以使用向上取整、向下取整或四舍五入运算。
-数据处理：在计算机科学中，取整运算也用于数据处理。
例如，将浮点数转换为整数时，可以使用向下取整或四舍五入运算。
实数的取整运算是一种常见的数值处理方法，用于将一个实数近似为最接近的整数。
取整运算可以分为向上取整、向下取整和四舍五入三种方式。
向上取整将一个实数近似为不小于它的最小整数，向下取整将一个实数近似为不大于它的最大整数，而四舍五入将一个实数近似为最接近的整数。
取整运算在金融计算、统计分析和数据处理等领域有着广泛的应用。
冀教版八年级上册数学第14章 实数 实数的运算
(2)小于 40 的所有正整数有1，2，3，4，5，6. (3)大于－ 26的所有负整数有－5，－4，－3，
－2，－1.
知2－练
2 【中考·资阳】的2运7 算结果应在哪两个连续整数 之间( D)
3 A．2和3B．3和4C．4和5D．5和6 4 3【中考·淮安】估计＋7 1的值( C) 5 A．在1和2之间B．在2和3之间 6 C．在3和4之间D．在4和5之间
(1) 5;
(2) 2 . 3
解：(1)4＜5＜9，所以2＜＜53，即在2和53之间.
(2)因为0＜＜1，2所以0＜＜1. 2 从而－1＜－＜03，即－在－1和0之3间.
2
2
3
3
总结
知2－讲
对实数进行估算，先确定整数部分，然后在确 定小数部分，具体就是进行乘方运算.
知2－练
1 (1)写出大于－且小17于的所有1整1 数； (2)写出小于的所有40正整数； (3)写出大于－的所有26负整数．
4 A. 2 B．－1
C．－3
D．0
5 【中考·天津】实数a，b在数轴上的对应点的位
6 置如图所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序
排列，正确的是( C )
7 A．－a＜0＜－b
8 B．0＜－a＜－b
9 C．－b＜0＜－a
10 D．0＜－b＜－a
知识点 2 实数的估算
知2－讲
例2判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间：
3．实数的运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)； 乘法分配律：(a＋b)c＝ac＋bc.
实数的运算
实数的运算一、实数的定义实数是数学中最基本的数，包括自然数、整数、有理数和无理数等。
实数的运算是数学中最基础的运算之一，涉及到四则运算、乘方、开方等基本运算。
二、实数的四则运算1. 实数的加法运算实数的加法运算是指将两个实数相加得到一个新的实数的过程。
例如，对于任意实数a和b，其加法运算可以表示为a + b。
2. 实数的减法运算实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数得到一个新的实数的过程。
例如，对于任意实数a和b，其减法运算可以表示为a - b。
3. 实数的乘法运算实数的乘法运算是指将两个实数相乘得到一个新的实数的过程。
例如，对于任意实数a和b，其乘法运算可以表示为a * b。
4. 实数的除法运算实数的除法运算是指将一个实数除以另一个实数得到一个新的实数的过程。
例如，对于任意实数a和b（其中b不等于零），其除法运算可以表示为a / b。
三、实数的乘方和开方运算1. 实数的乘方运算实数的乘方运算是指将一个实数自乘若干次得到一个新的实数的过程。
例如，对于任意实数a和n，其中n是一个正整数，其乘方运算可以表示为a^n。
2. 实数的开方运算实数的开方运算是指将一个实数开方得到一个新的实数的过程。
例如，对于任意实数a，其开方运算可以表示为√a。
四、实数的性质实数的运算具有一些基本性质，如交换律、结合律、分配律等。
这些性质对于实数的运算和推导具有重要的作用。
1. 交换律实数的加法和乘法运算满足交换律，即a + b = b + a，a * b = b * a。
这意味着实数的加法和乘法运算可以进行顺序交换。
2. 结合律实数的加法和乘法运算满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)，(a * b) * c = a * (b * c)。
这意味着实数的加法和乘法运算可以进行分组，不改变结果。
3. 分配律实数的加法和乘法运算满足分配律，即a * (b + c) = a * b + a * c。
初二上册数学实数的运算练习题
初二上册数学实数的运算练习题在初二上册数学课程中，学习实数的运算是一个重要的内容。
通过练习题的实践，我们能够加深对实数运算规则的理解，并提升解题能力。
本文将为大家提供一些实数的运算练习题，并分析解题思路。
1. 练习题一已知实数a = 4.5， b = -2.3，计算下列各式的值：（1）a + b；（2）a - b；（3）a × b；（4）a ÷ b。
解析：根据实数的加减乘除法运算规则，我们可以直接计算得出结果：（1）a + b = 4.5 + (-2.3) = 2.2；（2）a - b = 4.5 - (-2.3) = 6.8；（3）a × b = 4.5 × (-2.3) = -10.35；（4）a ÷ b = 4.5 ÷ (-2.3) ≈ -1.956。
2. 练习题二已知实数a = -√7，b = √3，计算下列各式的值：（1）a + b；（2）a - b；（3）a × b；（4）a ÷ b。
解析：在计算过程中，我们需要注意实数的运算规则和根号的运算性质：（1）a + b = -√7 + √3，由于根号内无法进行简化，所以直接保持原样；（2）a - b = -√7 - √3，同样保持原样；（3）a × b = (-√7) × √3 = -√(7 × 3) = -√21；（4）a ÷ b = (-√7) ÷ √3 = -√(7 ÷ 3) = -√(7/3)。
3. 练习题三已知实数a = -1/4， b = 1/6，计算下列各式的值：（1）a + b；（2）a - b；（3）a × b；（4）a ÷ b。
解析：对于分数的实数运算，我们需要注意分母的处理：（1）a + b = (-1/4) + (1/6)，通分并相加：(-3/12) + (2/12) = -1/12；（2）a - b = (-1/4) - (1/6)，同样通分并相减：(-3/12) - (2/12) = -5/12；（3）a × b = (-1/4) × (1/6) = -1/24；（4）a ÷ b = (-1/4) ÷ (1/6) = (-1/4) × (6/1) = -6/4 = -3/2。
人教版数学八年级上册13.3《实数的运算》教案
人教版数学八年级上册13.3《实数的运算》教案一. 教材分析人教版数学八年级上册13.3《实数的运算》是学生在掌握了实数的概念、性质以及实数的运算律的基础上进行学习的内容。
本节内容主要介绍了实数的加法、减法、乘法、除法的运算方法，以及实数运算律的应用。
通过本节课的学习，使学生能够熟练掌握实数的运算方法，进一步理解和掌握实数运算律，为后续学习更高级的数学知识打下坚实的基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了实数的概念、性质，以及实数的运算律。
但学生在运算过程中，可能会出现对运算律理解不深，导致运算过程繁琐，甚至出现错误。
因此，在教学过程中，需要引导学生理解运算律的应用，以及运算的优先级。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握实数的加法、减法、乘法、除法的运算方法，以及实数运算律的应用。
2.过程与方法：通过实例讲解，让学生理解并掌握实数运算律的应用，提高学生的运算速度和准确性。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：实数的加法、减法、乘法、除法的运算方法，实数运算律的应用。
2.教学难点：实数运算律的应用，运算的优先级。
五. 教学方法采用实例讲解法、问题驱动法、合作学习法。
通过实例讲解，让学生理解并掌握实数运算律的应用；通过问题驱动，引导学生主动探索和思考；通过合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔。
2.学生准备：教材、笔记本、文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实际问题，如购物时如何计算总价，让学生思考如何运用实数进行运算。
通过这些问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题。
2.呈现（15分钟）讲解实数的加法、减法、乘法、除法的运算方法，以及实数运算律的应用。
通过PPT和板书，展示运算过程，让学生清晰地理解每一步的运算方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些实数运算的练习题，教师在课堂上进行解答和讲解。
初中数学知识归纳实数的运算
初中数学知识归纳实数的运算实数的运算是初中数学中的重要内容之一。
实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，对实数的运算要求熟练掌握，并能正确运用于实际问题的解决中。
一、实数的加法运算实数的加法运算是指将两个实数相加，得到一个新的实数。
对于任意实数a、b和c，有以下性质：1. 交换律：a + b = b + a2. 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)3. 存在零元：a + 0 = 0 + a = a4. 存在相反元：a + (-a) = (-a) + a = 0二、实数的减法运算实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数，得到一个新的实数。
对于任意实数a、b和c，有以下性质：1. a - b = a + (-b)2. 减去0不变：a - 0 = a三、实数的乘法运算实数的乘法运算是指将两个实数相乘，得到一个新的实数。
对于任意实数a、b和c，有以下性质：1. 交换律：a * b = b * a2. 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)3. 存在单位元：a * 1 = 1 * a = a4. 存在相反元：a * (1/a) = (1/a) * a = 1 (其中a ≠ 0)四、实数的除法运算实数的除法运算是指将一个实数除以另一个实数，得到一个新的实数。
对于任意非零实数a、b和c，有以下性质：1. a / b = a * (1/b) (其中b ≠ 0)2. 除以1不变：a / 1 = a除法运算要注意除数不能为零，否则运算结果没有意义。
实数的运算还涉及到运算顺序的规定。
在计算实数的四则运算时，按照以下的顺序进行：1. 先进行括号内的运算；2. 其次是乘法和除法运算，按照从左到右的顺序进行；3. 最后进行加法和减法运算，也是按照从左到右的顺序进行。
在实际应用中，我们常常需要进行实数的运算来解决各种问题。
例如，计算商品总价、计算时间的差值、计算运动员的速度等等。
数学知识点：实数的运算法则
数学知识点：实数的运算法则
实数的运算贯穿于初中数学的始终，是学好初中代数的基础。
熟练掌握实数的运算法则、运算律以及运算顺序并能正确、灵活地运用它们解决计算问题是学好数学的关键。
1、加法法则：互为相反数的两个数相加，和为0；同号相加，取相同的符号，然后把它们的绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与0相加，和仍然是该数。
2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、乘法法则：同号相乘得正（如果有偶数个负数为因数，则积为正数），异号相乘得负（如果有奇数个负数为因数，则积为负数）；任何数与0相乘，积为0。
4、除法法则：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。
5、混合运算：先算幂，再乘除，后加减；如果有括号，要先算括号里面的。
混合运算遵循交换律、结合律。
初中数学 实数的乘法运算是什么
初中数学实数的乘法运算是什么实数的乘法运算是数学中常见的运算之一，它描述了两个实数相乘的过程。
乘法运算在数学和日常生活中广泛应用，例如在计算面积、解决问题中的数学模型以及描述物体的增长等方面。
我们将详细介绍实数的乘法运算的定义、性质以及一些常见的应用。
1. 乘法运算的定义：对于两个实数a 和b，乘法运算定义为a × b = c，其中c 表示将a 和b 相乘得到的结果。
换句话说，乘法运算描述了将两个实数相乘的过程。
乘法运算的定义可以简单地理解为将两个实数的值相乘。
2. 乘法运算的性质：-交换律：对于任意实数a 和b，有a × b = b × a。
即，乘法运算的结果与因数的顺序无关。
-结合律：对于任意实数a、b 和c，有(a × b) × c = a × (b × c)。
即，乘法运算的结果不受乘法的顺序和括号分组的影响。
-单位元素：对于任意实数a，有a × 1 = a 和1 × a = a。
即，乘以单位元素不改变实数的值。
-零元素：对于任意实数a，有a × 0 = 0 和0 × a = 0。
即，乘以零元素得到零元素。
-相反元素：对于任意实数a，存在一个实数-a，使得a × (-a) = -a × a = -1。
即，乘以相反元素得到-1。
乘法运算的性质使得我们能够在实数的运算和推导中使用乘法运算。
3. 乘法运算的应用：-计算面积：乘法运算在计算面积时经常用到。
例如，矩形的面积可以通过将矩形的长度乘以宽度来计算。
-数学模型：乘法运算在解决问题时的数学模型中有重要的应用。
通过将问题抽象为实数的乘法运算，我们可以建立数学模型，从而求解问题。
-描述物体的增长：乘法运算在描述物体的增长时也有应用。
例如，如果一个物体每小时增长一定的速度，我们可以使用乘法运算来计算在一定的时间内物体的总增长量。
八年级数学实数的运算
100 4.47
200 6.32
500
1000
10.00 14.14
(2)如果共下降1000米,则前一个500米与后一 个500米所用的时间分别是多少?
探究题： （1）计算： （精确到0.01)
1 2 ____, 2 1 _____
2 3 ____, 3 2 _____
（2)能计算下题吗？
1 2 2 3 3 4
总 结
实数的运算法则
实数的运算律
=-2.464101615≈-2.464
例ห้องสมุดไป่ตู้：计算
2 9 2 5 2
解：原式= 2 (9 2 =
5 4)
2 (5 2 5)
10 2 2 5
=
=
10 4 5
=18.94427191≈18.94
1.跳伞运动员跳离飞机,在未打开降落伞前,下降的高 度d(米)与下降的时间t(秒)之间 有关系式: t 计算填表(1)： 下降高 度d 下降时 间t
(1) 先算乘方和开方; (2)再算乘除，最后算加; (3)如果遇到括号， 则先进行
括号里的运算
例1
计算：
（ 1）
8 9（精确到0.001）
3
（2） 9 2(4
3)
(结果保留4个有效数字)
解：（1） 8 3 9 = 0.748343301≈0.748 （2）9 2(4
3) = 9 8 2 3 = 1 2 3
实数和有理数一样，也可以进行加、 减、乘、除、乘方运算。 而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然成立。 1.交换律 ： 加法 a+b=b+a 乘法a×b=b×a 2.结合律： 加法（a+b)+c=a+(b+c) 乘法（a×b）×c=a×（b×c） 3.分配律： a×(b+c)=a×b+a×c
初二数学《实数》知识点
初二数学《实数》知识点初二数学《实数》知识点一、实数的概念实数是由有理数和无理数组成的无限小数。
实数可以分类为正实数、负实数和零。
正实数包括正整数、正小数和正分数；负实数包括负整数、负小数和负分数；零是实数的特殊形式，既不是正实数也不是负实数。
二、实数的运算实数的运算包括加、减、乘、除和乘方。
运算时，先算乘方再算乘除，最后算加减。
当一个算式中含有多种运算时，应先算乘除后算加减。
乘方的计算规则是底数不变，指数相乘。
三、实数的性质1、有序数对可以确定一个点在数轴上的位置，反过来，一个点在数轴上的位置也可以用有序数对表示。
2、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
3、任意一个数除以一个正数，得正实数；除以一个负数，得负实数；除以零，得零。
4、有理数和无理数的乘积都是有理数。
5、两个正实数的积是正实数；两个负实数的积是负实数；正实数和零的积是零；负实数和零的积是零。
6、两个正实数的商的符号取决于它们的绝对值，两个负实数的商的符号取决于它们的绝对值的商的符号。
7、任何一个有理数都可以表示为一个分数形式的有理数，其中分子为该数的整数部分，分母为1。
四、实数的应用实数在实际生活中有着广泛的应用，例如长度、面积、体积、质量等计量单位都是由实数表示的。
此外，实数还应用于科学、工程、经济等领域，如物理学中的速度、加速度等概念，化学中的摩尔质量、溶液浓度等概念，以及经济学中的成本、收益等概念都需要用到实数的知识。
总之，初二数学《实数》知识点是数学学习中的一个重要内容，对于学生掌握数学基础知识和提高数学应用能力都具有重要意义。
在学习过程中，学生应该认真掌握实数的概念、运算和性质，并学会将所学知识应用到实际生活中去。
苏科版八年级上册数学教学课件 第4章 实数 第2课时 实数的运算
4.3 实 数
第2课时 实数的运算
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.实数的相反数、绝对值 2.实数的大小比较 3.实数的运算
新知导入
想一想：
有理数中的几个重要概念: 什么是相反数？ 只有符号不同的两个数,其中一个是另一个的相反数. 什么是绝对值？ 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值, 用︱a︱表示. 什么是倒数？ 如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数 .
D. 5
随堂练习
3.计算： （1）2 2 3 2； （2） 2 3 2 2. 解：
课堂小结
在实数范围内，相反数、绝对值、倒 数的意义和有理数范围内的相反数、 绝对值、倒数的意义完全一样.
实数
实数的大小比较
实数的运算
B．5和6之间
C．6和7之间
D．7和8之间
课程讲授
2 实数的大小比较
在估算的过程中，为方便计算，可借助 计算器.
按键顺序：
3
a=
课程讲授
2 实数的大小比较
3 9 例1 用计算器比较
与 4.3265 的大小.
解：用计算器求得
3 9=-2.080083823 4.3265= 2.080024038
(4)已知一个数的绝对值是 3 ，求这个数. (4)因为 3 3, 3 3 ，
所以绝对值为 3的数是 3 或 3 .
课程讲授
1 实数的相反数、绝对值
练一练：
－ 11 是 11 的（ A ）
A．相反数
B．倒数
• 有多问大题呢1？： 2
因为 12 = 1，22=4，所以1< 2 <2; 因为 1. 42 = 1. 96，1. 52=2. 25，所以 1.4< 2 <1.5; 因为 1.412 = 1.988 1，1.422 = 2.016 4， 所以 1.41< 2 <1.42； 因为 1. 4142 = 1. 999 396，1. 4152=2. 002 225， 所以 1.414< 2 <1.415； ……
八年级数学上册实数的运算(根式)(人教版)
第1页 共1页 实数的运算（根式）
一、 教学目的 使学生了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用。
二、教学重点、难点 重点：实数运算律。
难点：实数运算。
三、教学过程
复习提问 1．有理数有哪几条运算律？
2.计算：,8
1,31,32,12- 3. 计算,35622b a b a --+-()()y a y a --+-
新课
1. 关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。
在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方和开立方运算。
负数只能进行开立方运算，应该注意负数不能开平方。
在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似值有限小数去代替无理数，再进行计算。
例1 计算：（1）2
13223312)3(,82)2(,15352+-+---+ （3）()()
326326)4(,1812812213---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--. （学生先进行练习，然后教师讲评）
例2 计算：（1）322-（精确到0.1）；（2）π2113-（结果保留三个有效数
字）；
（3）()
)78(323--+（精确到0.001）（学生先进行练习，然后教师讲评） 例3 比较大小：（1）32,11--；（2）3
193
,3.53,63 （学生先进行练习，然后教师讲评） 例4 设32的整数部分为x ，小数部分为y ，求2
2y x -的值.
巩固练习
见课文：学生板演，教师讲评.
总结：实数的运算.
作业：见作业本.。
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实数的运算一、 知识点回顾：考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； …等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
考点四、科学记数法和近似数 （3—6分）1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法把一个数写做n a 10⨯±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。
考点五、实数大小的比较 （3分）1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a 、b 是实数，（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a ba b a ba b a ba <⇔<=⇔=>⇔> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>。
（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22。
考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）1、加法交换律 a b b a +=+2、加法结合律)a+++b=+)c(c(ba3、乘法交换律baab=4、乘法结合律)caab=()(bc5、乘法对加法的分配律ac+)=(cabba+6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。
同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么两有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方幂底数指数相同因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。
记作: a n9、有理数乘方运算的法则是什么负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数。
零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
二、 典型例题：1、()26-的算术平方根是__________。
2、ππ-+-43＝ _____________。
3、2的平方根是__________。
4、实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示 化简c b c b a a ---++2＝________________。
5、若m 、n 互为相反数，则n m +-5＝_________。
6、若2)2(1-+-n m ＝0，则m ＝________，n ＝_________。
7、若 a a -=2，则a______0。
8、12-的相反数是_________。
9、 38-＝________，38-＝_________。
10、绝对值小于π的整数有__________________________。
一、 选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）11、代数式12+x ，x ，y ,2)1(-m ,33x 中一定是正数的有（ ）。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、若73-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）。
A 、x ＞37- B 、x ≥ 37- C 、x ＞37 D 、x ≥37 13、若x ，y 都是实数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值（ ）。
A 、0 B 、 21 C 、2 D 、不能确定 14、下列说法中，错误的是（ ）。
A 、4的算术平方根是2B 、81的平方根是±3C 、8的立方根是±2 Ｄ、立方根等于－１的实数是－１ 15、64的立方根是（ ）。
A 、±4B 、4C 、－4D 、16 16、已知04)3(2=-+-b a ，则ba3的值是（ ）。
A 、 41 B 、－ 41 C 、433 D 、4317、计算33841627-+-+的值是（ ）。
A 、1 B 、±1 C 、2 D 、718、有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）。
A 、－1 B 、1 C 、0 D 、±1 19、下列命题中，正确的是（ ）。
A 、无理数包括正无理数、0和负无理数B 、无理数不是实数C 、无理数是带根号的数D 、无理数是无限不循环小数 20、下列命题中，正确的是（ ）。
A 、两个无理数的和是无理数B 、两个无理数的积是实数C 、无理数是开方开不尽的数D 、两个有理数的商有可能是无理数 三、解答题：（本题共6小题，每小题5分，共30分）21、求972的平方根和算术平方根。
22、计算252826-+的值。
23、解方程x 3－8＝0。
24、若0)13(12=-++-y x x ，求25y x +的值。
25、计算)515(5-26、若13223+-+-=x x y ，求3x ＋y 的值。
四、综合应用：（本题共10小题，每小题2分，共20分） 27、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ，求代数式acb -的值。
28、已知052522=-++-xx x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。
三、当堂练习： 一选择题1、下列选项中是无理数的是（ ）A 、B 、12- C D 、0π 2、在下列各式子中，正确的是（ ）A 、2=-B 4=-C 、2=± D 、 =3 ）A 、在4和5之间B 、在5和6之间C 、在6和7之间D 、在7和8之间42)可得 （ ）A 、2-B 2C 、2D 、2 5．8的立方根是（ ）A ．±4B ．4C ．±2D ．26．实数13 ，24 ，6π中，有理数的个数（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．化简)23(+×（3－2）正确的是（ ）A ．－1B ．1C ． －2D ．28的值是（ ）A 、5-B 、5C 、5或5-D 、259 ）A 、3B 、3-C 、3或3-D 、910．在下列各式中，正确的是（ ）A ．36=±6B ．55-=-C ．3001.0=D ．81161= 11．下列计算正确的是（ ）A ．632=⨯B ．532=+C ．248=D ．224=- 12．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A 处，则点A 表示的数是( )A ．211 B.2 C.3 D..1二填空题13、－的相反数是_______，绝对值是______，倒数是_______。
14、比较大小： 15_______。
16．4的平方根是_______． 17. 化简：327-= _______．18、若实数,30x y y -=，则代数式2xy x -的值为 。
19、如图，将线段OB 绕O 点旋转，使B 点旋转到数轴上A 点位置，线段BD ⊥OA ，且BD=1，OD=2，则A 点所表示的数为___________．B20. 若2)13(|53|---+y x y x 与互为相反数，则2x +y =___________． 21．==-x x 则,27)2(3 . 22．比较大小：5四、课后练习： 1、计算下列各式的值。
C-1（1（2）2-（3）22 （4）22021)(1--- 2．计算：380(2)π--21()2-+99(1)--2-- 3. 计算：（1）13313122--⨯-4．计算：32)2145051183(÷-+52011021(1)(3)()2π--⨯--； 28、3)；6、-；30、7、(()120121513π-⎛⎫+++- ⎪⎝⎭32、()2222-⨯8(34、(⎛÷ ⎝9、解下列方程（1）22(1)x -=（2）327(21)64x --=-10、化简：已知0＜x ＜2,|3|x -，并赋予x 一个你喜欢的值，求出结果。
11、已知x=2，y=2+,求代数式223x xy y ++的平方根。