北京大学随机过程2013春期末考试题
随机过程考试真题
1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
2、设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P（1）求两步转移概率矩阵)2(P及当初始分布为0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P时，经两步转移后处于状态2的概率。
（2）求马尔可夫链的平稳分布。
5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010007.03.0000000100004.06.0003.04.03.0P求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。
以i N 记在i 第层进入电梯的人数。
假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。
在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯，1ijj ip>=∑。
令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。
（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么（3）j O 与k O 的联合分布是什么8、一质点在1，2，3点上作随机游动。
13级统计专业《随机过程》期末试卷B
.数学与统计学院2013级统计学专业（本科）《应用随机过程》期末试卷（B ）2015 — 2016 学年 第一学期 考试时间120 分钟 满分100分一、判断题（每题2分，满分10分）1.布朗运动和排队模型都属于随机过程。
（ ）2.如果随机过程{}(),X t t T ∈是严平稳过程，则它也是宽平稳过程。
（ ）3.Poisson 过程是具有独立增量和平稳增量的计数过程。
（ ）4.i 为零常返状态⇔0lim )(=∞→n iin p。
（ ） 5.如果状态i 为非常返状态，且是非周期的，则i 是遍历状态。
（ ）二、填空题（每空2分，满分20分）1.设{}(),X t t T ∈是平稳过程，则[()]E X t = 。
2.乘客以10人/小时的平均速率到达售票处，则[0,t]内到达的乘客数{}()N t 是强度为 的Poisson 过程。
3.自相关函数(,)X R s t = 。
4.更新过程的时间间隔 ,,21X X 是分布函数为F 的独立同分布序列。
如果允许1X 服从其他分布G ，则称由 ,,21X X 确定的计数过程是 。
5. 有“开”、“关”两种状态的更新过程，称作 。
6.有一类随机过程，它具备 ，即要确定过程将来的状态，只需知道它现在的状态，而不需要知道它过去的状态。
7.设Markov 链一步转移概率矩阵为()ij p P =，n 步转移矩阵为())()(n ij n p P =，则二者之间的关系为 。
8.在Markov 链中，若()11n ii ii n f f ∞===∑，则称状态i 为 。
9.更新过程中有()N t n ≥⇔ 。
10.若状态j i ,同属一类，则两状态的周期)()(j d i d 与的关系是 。
三、计算题（每题10分，满分30分）1.假设某天文台观测到的流行数是一个泊松过程，根据以往资料统计为每小时平均观测到5颗流星。
试求：上午8:00 -12:00期间，该天文台没有观察到流星的概率？观察到3颗的概率？2.设顾客在[0,t)内进入商场的人数是一泊松过程，平均每10min 进入25人。
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
(完整版)12-13随机过程试题B卷答案
专业：
院（系）：
= E[X (t )X (t)]E[Y (t )Y (t)] = RX ( )RY ( ) , 与 t 无关。
E | Z (t) |2 = RZ (0) = RX (0)RY (0) < 因此 Z (t) 是平稳过程。
7 设 N(t) 为 Poisson 过程，对 s t ，证明在t 时刻到达 k 次的条件下 s 时刻达到次数的概率，即
N (t)
N (t)
E(W (t)) E{ (t k )} E{E[ (t k ) | N(t)]}
k 1
k 1
N (t)
n
E[ (t k ) | N(t) n] nt E[k | N(t) n]
k 1
k 1
由定理在 N(t)=n 条件下 n 个k 的联合分布等价与[0,t]上 n 个相互独立服从均匀分布的随机变量
(s) s 1 1 s 1 s2 , 解得消亡概率为 s 1 42 4
得分 评阅人
四、综合题：（共 2 题，每题 12 分）
12．叙述马氏链状态的划分（5 分！）。应用相关理论讨论下例的各个状态。
设 {X n , n 0} 是马氏链，其状态空间 E {0,1, 2,L }，转移概率为
p0,0
p0,0
1 2
0, 从而
0
是非周期的，因此
0
是遍历的。因为整个状态空间 E
是连通的，所以，
对任意的状态i ，它都是遍历的。
13．用数学语言描述布朗运动的主要性质，并对一维布朗运动 Bt 计算 E(Bt Bs ) ， E(Bt4 ) ，
解：布朗运动有很多好性质比如 布朗运动是时齐的独立增量过程，也是时齐的马氏过程。
h0
lim
《随机过程》期末试题
《随机信号》期末试题学号：姓名：计算题和解答题（注：答题纸上作答，请写出必要的步骤，直接写出答案不得分）1、(10分)设随机过程(),(0,)X t Vt b t =+∈∞，b 为常数，V 是服从正态分布N(0,1)的随机变量。
求X(t)的一维概率密度、均值和相关函数。
2、(15分)设随机过程1nn j j Y X ==∑，其中X j (j=1,2,…,n)是相互独立的随机变量，且P{Xj=1}=p ，P{Xj=0}=1-p=q ，求{Yn ，n=1,2,…}的均值函数和协方差函数。
3、(15分)设电话总机在(0,t]内接到电话呼叫数X(t)是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程，求：（1）两分钟内接到3次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第三次呼叫”的概率；4、(15分)某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加，在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达最高峰20人/时。
从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人。
假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8:30-9:30问无顾客到达商店的概率是多少?在这段时间内到达商店的顾客数的数学期望是多少?5、(15分)设马尔科夫链的状态空间为I={1，2，3，4，5，6}，状态转移图如下所示，写出转移概率矩阵。
6、(15分)设马尔科夫链的转移概率矩阵分别为（1）11221233⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）112233000p q p q q p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算1112,,1,2,3n n f f n =7、(15分)设S(t)是一周期为T 的函数，θ在(0,T )上均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周期过程，讨论其平稳性。
（完整版）随机过程习题答案
（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。
解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。
最新-期末随机过程试题及答案资料
《随机过程期末考试卷》1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
11-12随机过程期末试题A卷答案
一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X 服从两点分布，则X 的特征函数为__it pe q +______。
2．设X(t)=Vcos t,α ,t T=[0,+)∈∞，振幅V 是在区间（0,1）上均匀分布的随机变量，α为常数，则X(t)的相关函数=)4,2(X R _∂∂4cos 2cos 31 ____。
3．强度为λ的泊松过程{}X(t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T (n=1,2,)独立同分布，密度函数为_t e λλ-_______________。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则1W 的分布函数为__teλ--1____________。
5．设随机过程 X(t)只有两条样本曲线，1X(t,)=acost,ω2X(t,)=-acost,ω其中常数a>0，且12P()=3ω，21P()=3ω，则随机过程的期望=)(t EX ___t a cos 31______。
6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n)P(X =j)=，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系式为__)()(n p p n p ij i Ii j ∑∈=______。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，用其表示{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i ==__n n i i i i i p p p 1100- __。
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ij n=1f f ∞=∑，若1<ii f ，称状态i 为__非常返________。
随机过程 考试题与答案
（2）
0.4 0 0.6 0.4 0 0.6 0.22 0.36 0.42
P(2)
0.5
0.5
0
0.5
0.5
0
0.45
0.25
0.30
0.1 0.6 0.3 0.1 0.6 0.3 0.37 0.48 0.15
2
（3） P X (2) 0
pk
(0)
pk(
2) 0
0.7 0.22
p(2) 01
k
p0k
pk1
1 4
3 4
3 4
1 3
0
1 4
7 16
4、设平稳过程的自相关函数为 RX ( ) ea sin b | | ，则其谱密度为
SX ()
b b a2 ( b)2 a2 ( b)2
二、简答题（每小题 10 分，共 20 分） 1、什么是平稳过程的自相关函数遍历性，如何判别？
Z (t) X (t) X (t ) 也是均方连续的平稳过程，则 X (t) 的自相关函数 RX ( ) 具有
遍历性的充要条件是
1
lim T 2T
2T 1
2T
1 2T
(RZ
(1)
RX
( ) 2 )d1
0
其中 RZ (1) E[ X (t) X (t ) X (t 1)X (t 1)]
N (t)
则Y (t)
X (n)
(t 0) 的特征函数Y (t) (v)
e e t[X (1) ( )1]
t[exp{ 2v2 / 2}1]
n 1
3、设 X (n), n 0为一齐次马氏链，其状态空间 E 0,1,2，它的一步转移概率
为 p00 1/ 4, p01 3 / 4, p10 p11 p12 1/ 3, p21 1/ 4, p22 3 / 4, 则两步转移概率
随机过程试题及答案(精.选)
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程试题及答案
.1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程试题带答案
1 •设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 __________2 •设随机过程X(t)二Acos( • • t+G),-：： <t< ：：其中•’为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和门服从在区间10,1 1上的均匀分布，贝U X(t)的数学期望为______________ 。
3•强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为丄____ 的同一指数分布。
4•设:W n,n 是与泊松过程1X(t),t 一0?对应的一个等待时间序列，则W n服从-分布。
5•袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，f t对每一个确定的t对应随机变量x(t)二3,如果t时取得红球，则这个随机过e t, 如果t时取得白球程的状态空间_________ 。
6•设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P j)，n步转移矩阵P(n)，二者之间的关系为—P(n) =P n—。
7•设:X n,n 一0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。
二i)，绝对概率P j(n) =P(X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为P j(n)八P i p j n)。
8 .设｛X(t),t - 0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则1. 设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1.为e，(e -1)。
2. (sin(・t+1)-sin t)。
3. _ 2 ■1 24. - 5 . -1,—t,|l| ;e,e2"l 。
6 . P(n^ P n。
7 . P j(n) 7 P i p j n) <—13 3 J ------------ 阳6t a8. 18e 9。
K t i；=H t］亠i0K t — sdM s 10.2. 设｛X(t), t_0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是一个马尔科夫过程。
期末随机过程试题及答案
《随机过程期末考试 卷》1设随机变量X 服从参数为的 泊松分布，贝U X 的特征函数为。
2 •设随机过程X(t)二Acos( t+ )，- <t< 其中为 率P j (n) P X n j , n 步转移概率 p j n )，三者之间的关系为。
8•设｛X(t),t0｝是泊松过程，且对于任意 t 2 t i 0 则P ｛ X (5) 6|X (3) 4｝—正常数，A 和是相互独立的随机变 量，且A 和服从在区间0,1上的 均匀分布，则X(t)的数学期望为。
3. 强度为入的泊松过程的点间间 距是相互独立的随机变量，且服从均 值为的同一指数分布。
9. 更新方程tK t H t K t sdF s 解的0 一般形式为。
10. 记EX n ,对一切a 0,当t 时，M。
4道小题，每题8分，共32分)列，则W n 服从分布5. 袋中放有一个白球，两个红球， 每隔单位时间从袋中任取一球，取后 放回，对每一个确定的t 对应随机变则这个随机过程的状态空间。
6. 设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P ij )，n 步转移矩阵 P (n) (p (n))，二者之间的关系为。
7. 设X n ,n 0为马氏链，状态空1. 设A,B,C 为三个随机事件，证明 条件概率的乘法公式： P(BCA)=P(B A)P(C AB)。
2. 设｛X(t), t 0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t 0｝是一个马尔 科夫过程。
3. 设X n ,n 0为马尔科夫链，状态 空间为I ，则对任意整数 n 0,1 l <n 和i, j I ,n 步转移概率4. 设N(t),t 0是强度为的泊松间I ，初始概率p i P(X 0=i)，绝对概科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意 义。
4.X(t,n 1是与泊松过程评卷人 二、证明题(本大题共 ),t 0对应的一个等待时间序 t +a M t量 X(t)丄3 t e ,如果t 时取得红球 如果t 时取得白球(n)P ijp ik )p j )，称此式为切普曼一k I分布随机变量，且与 N(t),t 0独N(t)立，令X(t)= Y k ,t 0，证明：若k=1E(Y I 12V )，则 E X(t) tE Y i 。
随机过程期末考试题库及答案pdf
随机过程期末考试题库及答案pdf1. 随机过程期末考试题库及答案pdf以下是随机过程期末考试的题库及答案，供同学们参考。
一、选择题1. 假设随机过程{X(t), t≥0}是独立增量过程，那么下列哪个说法是正确的？A. X(t)的增量是独立的B. X(t)的增量是平稳的C. X(t)的增量是独立且平稳的D. X(t)的增量是相关且非平稳的答案：C2. 马尔可夫链具有以下哪种性质？A. 无记忆性B. 有记忆性C. 有周期性D. 以上都不是答案：A二、填空题1. 如果随机过程{X(t), t≥0}的自相关函数R(τ)满足R(τ) = R(-τ)，则该过程是__________的。
答案：对称2. 随机过程{X(t), t≥0}的均值函数为μ(t)，若μ(t) = 0，则称该过程为__________。
答案：零均值三、简答题1. 简述什么是泊松过程，并给出其特征。
答案：泊松过程是一种计数过程，其特征包括：- 在任意不相交的时间间隔内发生事件是相互独立的。
- 在任意小的时间间隔内，事件的发生次数服从泊松分布。
- 事件的平均发生率是恒定的。
2. 描述布朗运动的基本性质。
答案：布朗运动的基本性质包括：- 连续性：样本路径是连续的。
- 无记忆性：未来的行为不依赖于过去。
- 独立增量：不同时间间隔的增量是相互独立的。
- 正态分布：任意时间间隔的增量服从以零为均值的正态分布。
四、计算题1. 假设随机过程{X(t), t≥0}是标准布朗运动，求X(t)的均值和方差。
答案：对于标准布朗运动，X(t)的均值为0，方差为t。
2. 给定马尔可夫链的状态转移矩阵P，求状态i在时间t+1时刻的概率。
答案：设状态i在时间t时刻的概率为pi(t)，则状态i在时间t+1时刻的概率为pi(t+1) = Σ(pi(t) * Pij)，其中Pij是状态i转移到状态j的概率。
以上是随机过程期末考试题库及答案的部分内容，希望对同学们的复习有所帮助。
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
得 分 评卷 人 二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
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1 − e−2ab/t.
9. 设 x > 0, A ⊂ [0, ∞) 是可测集，证明 Px(B(s) ≥ 0, 0 ≤ s ≤ t, B(t) ∈ A) = Px(B(t) ∈ A) − P−x(B(t) ∈ A).
10. 令 Mt = max0≤s≤t Bs. 试证 M (t) − B(t) 与 M (t) 同分布。
= αi2
1，对 < ∞.
证明：
(a) 定义 Yn 的和式几乎处处收敛；
(b)
limn→∞
n−1
∑n
i=1
Yi
=
0
在几乎处处收敛和
L1
收敛的意义下成
立。
3. Xn, n ≥ 1 同上题，试证
1 ∑n n3/2 (n − k + 1)Xk ⇒ η,
k=1
其中 η ∼ N (0, 0, otherwise.
令
Sn
=
η1
+
···
+
ηn
证明存在常数
µ
和
σ
使得
(Sn
−
√ nµ)/(σ n)
渐
近服从正态分布。
在以下五题中，Bt 是一维（标准）布朗运动，B0 = 0. 6. 设 C > 0 证明 P (sup0≤µ≤t |B(µ)| > C) ≤ t/C2. 7. 设 R 为正数，0 < x < R; τ = inf{t ≥ 0; Bt = 0或R}. 试求 Exτ 2 8. 设 a > 0, b > 0, 证明 P (B(s) ̸= 0, o < s < t|B(0) = a, B(t) = b) =
《随机过程论》期末考试试卷
2013 年 6 月 20 日，每题 10 分，开卷
1. 试举一例：T 是 (Ω, F , P ) 上遍历的保测变换，但 T 2 不是遍历的。
2.
设 于
Xn, n≥
n1，≥定1 义为独Yn立=同∑分∞ i=布0随αi机Xn变+量i, 其序中列，αiE为X常1 =数0，, v满ar足(X∑1)
独立同分布,P (X1
= 1) = p ≥ 1/2.Sn
=
∑n
k=1
Xk ,
Rn
=
|{S1, · · · , Sn}|. 试求极限
明
√ Rn/ n
依分布收敛。
limn→∞ERn/n.
若进一步假设
p
=
1/2，证
5. 设 ξk, k ∈ Z 独立同分布，P (ξ1 = 1) = P (ξ1 = 0) = 1/2. 定义 1, if ξn = 1, ξn+1 = 0;