正切函数的图像与性质(带答案)
正切函数的性质与图象
1．4.3正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点 正切函数的性质函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × )提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增．( × ) 提示 正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π2时，y ＝tan x 无意义.题型一 正切函数的定义域、值域问题例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z 解析 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域、值域 解 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34， 所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.反思感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 题型二 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． 考点 正切函数的单调性、周期性与对称性 题点 判断正切函数的单调性 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 (2018·四川石室中学高二期中)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是________． 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z解析 令k π－π2<2x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z .题型三 利用正切函数的单调性比较大小 例3 比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 答案 (1)< (2)<解析 (1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵当0°<x <90°时，y ＝tan x 单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°. (2)tan18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 跟踪训练3 比较下列正切值的大小． (1)tan 1 320°与tan 70°； (2)tan17π6与tan ⎝⎛⎭⎫－π3. 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 解 (1)tan 1 320°＝tan(360°×3＋240°) ＝tan 240°＝tan 60°，因为函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数， 所以tan 60°<tan 70°， 即tan 1 320°<tan 70°. (2)tan17π6＝tan ⎝⎛⎭⎫3π－π6＝tan ⎝⎛⎭⎫－π6， 因为y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上为增函数， 所以tan ⎝⎛⎭⎫－π6>tan ⎝⎛⎭⎫－π3. 即tan17π6>tan ⎝⎛⎭⎫－π3.正切函数图象的画法及应用典例 画出f (x )＝tan|x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性． 考点 正切函数图象与性质的综合应用 题点 正切函数图象与性质的综合应用 解 f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎡⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…)． [素养评析] 根据正切函数图象的画法，先画出函数的图象，建立数与形的联系，借助几何直观理解问题，认识事物解决问题，提升直观想象的数学核心素养.1．(2018·河北定州中学高二期末)函数y ＝－2＋tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 答案 A解析 由－π2＋k π<12x ＋π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z .2．函数y ＝tan x ＋1tan x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 考点 正切函数的周期性与对称性 题点 正切函数的奇偶性 答案 A解析 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x 是奇函数． 3．已知A 为锐角，且tan A ＝23，那么下列判断正确的是( )A ．0°<A <30°B ．30°<A <45°C ．45°<A <60°D ．60°<A <90°考点 正切函数的单调性 题点 正切函数单调性的应用 答案 B 解析33<23<1，即tan 30°<tan A <tan 45°. 由正切函数随锐角的增大而增大， 得30°<A <45°，故选B.4．函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． 考点 正切函数的周期性与对称性 题点 正切函数的周期性 答案 π3解析 T ＝π|ω|＝π3.5．求函数y ＝tan 2x －2tan x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 解 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3， 所以tan x ∈[－3，3]，因为y ＝tan 2x －2tan x ＋3＝(tan x －1)2＋2，所以当tan x ＝1时，y min ＝2， 当tan x ＝－3时，y max ＝6＋23， 所以函数的值域为[2,6＋23]．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． 2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间．一、选择题1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是() A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π，0)考点 正切函数的周期性与对称性题点 正切函数的对称性答案 C2．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z考点题点答案 C3．(2018·江西高安中学高二期末)函数f (x )＝|tan 2x |是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数考点 正切函数周期性与对称性题点 正切函数周期性、奇偶性答案 D解析 f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )，故f (x )为偶函数，T ＝π2.4．(2018·福建阅读第四中学高一期末)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是() A ．x ＝π2 B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8考点 正切函数的图象题点 正切函数的图象答案 C解析 令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．令k ＝0，得x ＝π8.5．已知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则使f (x )≥3成立的x 的集合是( )A.⎣⎡⎭⎫π24＋12k π，π8＋12k π，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫－π8＋12k π，π24＋12k π，k ∈ZC.⎣⎡⎭⎫π24＋k π，π8＋k π，k ∈ZD.⎣⎡⎦⎤π24＋k π，π8＋k π，k ∈Z考点 正切函数图象与性质的综合应用题点 正切函数图象与性质的综合应用答案 A解析 因为f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f (x )≥3化为tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥3，即π3＋k π≤2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ； 解得π24＋12k π≤x <π8＋12k π，k ∈Z ， 故使f (x )≥3成立的x 的集合是⎣⎡⎭⎫π24＋12k π，π8＋12k π，k ∈Z . 6．(2018·河南林州第一中学高二期末)函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对考点 正切函数的定义域、值域题点 正切函数的值域答案 C解析 ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1，即－tan 1≤tan x ≤tan 1.∴－tan 1≤tan(cos x )≤tan 1. 7．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 考点 正切函数周期性与对称性题点 正切函数周期性与对称性答案 B解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选B. 二、填空题8．比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4________tan ⎝⎛⎭⎫－9π5. 考点 正切函数的单调性题点 正切函数的单调性的应用答案 >解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5. 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5<tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－7π4>tan ⎝⎛⎭⎫－9π5. 9．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π7－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝________.考点 正切函数的周期性与对称性题点 正切函数的周期性答案 ±210．(2018·南京高一检测)已知点M (－3，－1)，若函数y ＝tan π4x (x ∈(－2,2))的图象与直线y ＝1交于点A ，则|MA |＝________.考点 正切函数的周期性与对称性题点 正切函数的周期性答案 2 5解析 令y ＝tan π4x ＝1，解得x ＝1＋4k ，k ∈Z ， 又x ∈(－2,2)，所以x ＝1，所以函数y ＝tan π4x 与直线y ＝1的交点为A (1,1)， 又M (－3，－1)，所以|MA |＝(1＋3)2＋(1＋1)2＝2 5.三、解答题11．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心． 解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ， 得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . ②∵T ＝π12＝2π，∴函数的周期为2π. ③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ， 解得2k π－π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ， 得x ＝k π＋2π3，k ∈Z . ∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0，k ∈Z . 12．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．考点 正切函数图象与性质的综合应用题点 正切函数图象与性质的综合应用解 (1)由题意知，函数f (x )的最小正周期为T ＝π2， 即πω＝π2. 所以ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称， 所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋π4，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π4， 故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ， 得－3π4＋k π<2x <k π＋π4，k ∈Z ， 即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2，k ∈Z . 所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－3π8＋k π2，π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间． (3)由(1)知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π，k ∈Z ， 即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z . 所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .13．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π4，π4内是增函数，则() A ．0<ω≤2 B ．－2≤ω<0C ．ω≥2D ．ω≤－2 考点 正切函数图象与性质的综合应用题点 正切函数图象与性质的综合应用答案 A解析 根据函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π4，π4内是增函数，可得π4ω≤π2，求得ω≤2，再结合ω>0.得ω的取值范围是0<ω≤2.14．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π3，求f (x )的值域．考点 正切函数的定义域、值域题点 正切函数的值域解 令μ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以μ∈[－3，3]，所以函数化为y ＝μ2－2μ，μ∈[－3，3]， 对称轴为μ＝1∈[－3，3]，所以当μ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1， 当μ＝－3时，y max ＝3＋23，所以f(x)的值域为[－1,3＋23]．。
正切函数的图像与性质
我们先来作一个周期内的图象。
问题2 问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？ 的图像？
4 2 π π 2. x ∈ x kπ − < x ≤ kπ + , k ∈ Z 2 4 π 2π x ∈ x kπ + ≤ x < kπ + ,k ∈Z 3. 3 3
π
补充练习
1. 已知
a = tan 1, b = tan 2, c = tan 3, 则(c
： 在每一个开区间 π π ( − + kπ , + kπ ) 内都是增函数。 ， ∈ Z 内都是增函数。 k 2 2 π x (7)对称中心 (7)对称中心 (6) ： = kπ + , k ∈ Z 2
kπ ( ,0) 2
判断下列命题的正误
(1) y = tan x的定义域是{x | x ≠
π
2
例题分析
tan 例 3 解不等式： x ≥ 3
分析：
y
3
0 π
π x
2
3
反馈演练
1 解不等式 1+tanx ≥ 0 、
2、解不等式：1- tan x ≥ 0
3 3、解不等式： x − ) ≥ tan( 6 3
答案: 1. x ∈ x kπ − π ≤ x < kπ + π , k ∈ Z
A
B
π π (- + kπ , + kπ ) ，k ∈ Z 2 2
1[1].4.3正切函数的性质和图象
![1[1].4.3正切函数的性质和图象](https://img.taocdn.com/s3/m/86799fd15fbfc77da269b1ab.png)
x
奇偶性： 奇函数 tan(－x)=－tanx
单调性： 在 (
2 2 内是增函数 k 对称性： 对称中心是 ( , 0), k Z 2
k ,
k ) k Z
对称轴呢？
3、 求函数y=sin -3x 的单调递增区间。 4 2k 2k 7 k为整数 + , + 3 4 3 12
课堂练习
1.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
(C)y=sin(x/2+π/6)
(D)y=tan(x+π/6)
则同时具有以下两个性质的函数是( ①最小正周期是π 称.
A
)
②图象关于点(π/6，0)对
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
2
对称轴： 对称中心：(
x k , k Z
2
k , 0) k Z
1.正切函数 y tan x 的性质：
定义域： {x | x 值域：
y
y tan x
2
k , k Z }
R
周期性： 正切函数是周期函数， 周期是
2 2Fra biblioteko 2
2
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
y
(1) x (k ,
2
y tan x
k )
k Z
(2) x k
(3) x (
k Z
k , k ) k Z
2
2
第一章 1.4 1.4.3正切函数的性质与图像
π π [正解] ∵在(0， )上，tanx>sinx，∴在(0， )上，y＝sinx 与 2 2 π y＝tanx 没有交点，同理在(－ ，0)上也没有交点，如图(2)所 2 示，由图易知选 D.
[答案] D
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最小正周期为T＝ π
kπ 对称中心 ( 2 ，0)k∈Z
1．正切曲线具有哪些特征？
π 提示：正切曲线是被互相平行的直线 x＝kπ＋ (k∈Z) 2 所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对 称轴，只有对称中心．
2．正切曲线在整个定义域上都是增函数吗？
π π 提示： 不是． 正切曲线在每一个开区间(kπ－ ， kπ＋ )(k 2 2 ∈Z)上是增函数．但在整个定义域上不是增函数．
π x x π 解：y＝3tan( － )＝－3tan( － )， 6 4 4 6 π ∴周期 T＝ ＝4π， |ω| π x π π 又使 kπ－ ＜ － ＜kπ＋ ，k∈Z， 2 4 6 2 得 4kπ－ 4π 8π ＜x＜4kπ＋ ，k∈Z， 3 3
π x ∴y＝3tan( － )的周期为 4π， 6 4 4π 8π 单调递减区间为(4kπ－ ，4kπ＋ )(k∈Z)． 3 3
探究点一
正切函数的定义域问题
求正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数本 身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的 三角不等式或不等式组．
求函数 y＝ tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．
[提示]
列出使每个式子有意义的不等式组，然后解
不等式组．
[解]
tanx＋1≥0 Hale Waihona Puke 由题意得 1－tanx>0
探究点二
正切函数的周期性
6.2 正切函数的图像与性质(含答案)
【课堂例题】根据研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验，结合正切线和诱导公式，依次写出正切函数的定义域、周期、奇偶性、单调区间和值域; 并利用正切线画出正切函数的大致图像：例1.求函数tan(2)4y x π=-的定义域.例2.求函数tan(2)3y x π=+的周期和单调区间.课堂练习1.观察正切曲线，写出满足tan 0x >的x 的取值范围.2.求函数()tan()23f x x ππ=+的定义域、周期和单调区间.【知识再现】1.正切函数y = ，是一个以 为定义域， 为最小正周期，在每一个 内单调 且值域为 的 函数.2.正切曲线的大致如图所示：(画三个周期)【基础训练】1.写出下列函数的周期： (1)tan2xy =, ；(2)tan y x π=, ； (3)tan(2)4y x π=-, .2.观察正切曲线，写出满足tan 0≤的x 值的范围 .3.不求值，根据正切函数的单调性比大小：2tan()3π 3tan()4π;tan()3k ππ- tan()3k ππ+. 4.已知[0,2]x π∈，求适合下列条件的角x 的区间：(1)角x 的正弦函数、正切函数都是增函数 ;(2)角x 的余弦函数是减函数，正切函数是增函数, .注：多个单调区间之间请勿用“ ”符号联结.5.判断下列函数的奇偶性，并说明理由.(1)()2tan3f x x =-; (2)()tan f x x x =.6.求函数()4tan()25x g x π=-的定义域和单调区间.O xy7.已知tan |tan |(),,22x x f x x k k Z ππ+=≠+∈，(1)画出该函数的大致图像；(2)指出它的周期，单调区间和值域.【巩固提高】8.求函数22tan2()1tan 2xf x =-的最小正周期.提示：注意定义域9.在一幢高29米的大楼AC 顶端，树立着一块高7米的广告牌， 求在距离楼水平距离多少远处观看广告牌的视角((精确到0.01)提示：参考上教版教材高一第二学期P94/例2.(选做)10.以下3题任选1题回答：(1)利用正切值与余切值的关系，或者利用余切线，完成下列问题： 正余函数cot y x =是一个以 为定义域， 为最小正周期， 在每一个 内单调递 ，且值域为 的 函数. 利用cot tan()2x x π=-+，可知余切函数的图像可以经过正切函数的图像得到，具体方法是把正切曲线 ，画出余切函数在三个周期内的图像.(2)在同一个坐标系中画出tan ,,sin y x y x y x ===这三个函数在区间(0,)2π上的图像，并分析图像的位置关系及公共点的坐标. (3)证明：正切函数tan y x =在区间(0,)2π上的图像是“下凸”的，即对于任意1212,(0,),2x x x x π∈≠，都有1212tan tan tan()22x x x x++>【温故知新】 11.求证：1cos 4cos 2tan sin 41cos 2ααααα-⋅=+O x y【课堂例题答案】 探究：正切函数tan ,,2y x x k k Z ππ=≠+∈ 定义域是{|,,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈，周期为π，奇函数， 在每一个区间(,),22k k k Z ππππ-+∈上 为增函数，值域为R . 例1.3{|,,}28k x x R x k Z ππ∈≠+∈ 例2.2T π=，单增区间为5(,),212212k k kππππ-+【课堂练习答案】 1.(,),2x k k k Z πππ∈+∈2.定义域为1{|,2,}3x x R x k k Z ∈≠+∈，周期2T =， 单调增区间为51(2,2),33k k k Z -+∈ 【知识再现答案】 1.tan ,{|,,},2x x x R x k k Z πππ∈≠+∈，(,),22k k k Z ππππ-+∈，递增，R ，奇.【习题答案】 1.(1)2π;(2)1;(3)2π 2.(,],2k k k Z πππ-∈3.,<<4.(1)3[0,),(,2]22πππ;(2)[0,),(,]22πππ5.(1)奇函数，()2tan[3()]2tan3()f x x x f x -=--==-；ππππ5π(2)偶函数，()()tan()tan ()f x x x x x f x -=--== 6.定义域7{|,2,}5x x R x k k Z ππ∈≠+∈，单增区间为每一个37(2,2),55k k k Z ππππ-+∈ 7.(1)如图：提示：tan ,tan 0()0,tan 0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩(2)T π=,单增区间[,),2k k kπππ+∈值域为[0,)+∞.8.2T π=提示：()tan f x x =，因为tan ,tan2xx 都要有意义， 因此定义域为{|,,2,}2D x x R x k x k k Z ππππ=∈≠+≠+∈，此定义域下0,D D π∈∉所以最小正周期为2π. 9.max () 6.18AMB ∠≈提示：设,,AMC BMC MC x αβ∠=∠==7tan tan()1044AMB x xβα∠=-=≤+， 当且仅当x =max (tan )AMB ∠=max () 6.18AMB ∠≈ .10.(1){|,,},x x R x k k Z ππ∈≠∈，(,k k Z π，减，R ，奇.向左平移2π个单位，再关于x 轴对称.xyO 11-2ππ32ππ-2π-2π12(,0)(0,)22x x -∈-，因此121cos()0x x -->，故①0> 即1212tan tan tan()22x x x x++> 证毕 11.证：左边=cos 2sin 2tan 2tan 1cos 21cos 2αααααα⋅==++=右边 证毕。
第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版
第8讲 正切函数图像及其性质知识梳理1、正切函数的图像：可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈，且()2x k k Z ππ≠+∈的图像，称“正切曲线”.由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2x x k k Z ππ≠+∈，（2）值域：R 观察：当x 从小于，时，tan x →+∞当x 从大于，时，tan x →-∞.（3）周期性：T π=（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ()z k k ∈+2ππ2π+π−→−k x ()z k k ∈+ππ2ππk x +−→−2x yyx（5）单调性：在开区间(,),22k k k Zππππ-++∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2kk Zπ⎛⎫∈⎪⎝⎭2、余切函数的图象：⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-==2tan2tancotππxxxy即将xy tan=的图象，向左平移2π个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得xy cot=的图象由余弦函数图像可知：（1）定义域：{|()}x x k k Zπ≠∈，（2）值域：R（3）周期性：Tπ=（4）奇偶性：tan()tanx x-=-，所以是奇函数（5）单调性：在开区间(,),k k k Zπππ+∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭例题解析一、正切函数的图像例1．（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求函数f (x )的最小正周期､对称中心； （2）作出函数f (x )在一个周期内的简图.【答案】（1）最小正周期3π，对称中心是3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）答案见解析. 【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()f x 的对称中心.（2）根据函数的解析式得到()f x 的图象与x 轴的交点坐标为(),0π，图象上的7,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可. 【详解】（1）()tan 33x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，313T ππ==，令332x k ππ-=，k Z ∈，解得32x k ππ=+，k Z ∈， 故对称中心为3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈. （2）令033x π-=，解得x π=，令334x ππ-=，解得74x π=，令334x ππ-=-，解得4x π=， 令332x ππ-=，解得52x π=，令332x ππ-=-，解得2x π=-，所以函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象与x 轴的一个交点坐标为(),0π， 图象上的点有7,14π⎛⎫⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点， 在这个5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为2x π=-和52x π=， 从而得到函数()f x 在一个周期5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的简图(如图).【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.例2．（2020·全国高一课时练习）已知函数()sin cos xf x x=． （1）求函数()f x 的定义域；（2）用定义判断函数()f x 的奇偶性； （3）在[],ππ-上作出函数()f x 的图象．【答案】（1）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（2）奇函数,见解析；(3)见解析 【分析】（1）根据cos 0x ≠,求解即可；（2）由（1）可知()f x 的定义域关于原点对称,判定()f x -和()f x 的关系,从而判定奇偶性；（3）将()f x 写为分段函数,画出图象即可【详解】（1）由cos 0x ≠,得2x k ππ≠+（k Z ∈）,所以函数()f x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称,因为()()()()sin sin cos cos x xf x f x xx ---===--,所以()f x 是奇函数. （3）()tan ,22tan ,22x x f x x x x ππππππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪--≤<-<≤⎪⎩或,所以()f x 在[],ππ-上的图象如图所示,【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象. 例3.作函数||y tan x =的图像. 【难度】★★ 【答案】如图 【解析】||y tan x =等价于 0,2()0,2tanx x x k y k Z tanx x x k ππππ⎧≥≠+⎪⎪=∈⎨⎪-<≠+⎪⎩，图像如图所示．例4.求函数()tan tan f x x x =+的定义域、周期、单调增区间，并画草图． 【难度】★★★【答案】定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈ ，周期：T π=，单调增区间：[,)2k k πππ+（1）tan 0x > （2）tan 0x = （3）tan 0x < （4）tan x >【难度】★ 【答案】（1）Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+,2,πππ, （2）{}z k k x x ∈=,π （3）Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-,,2πππ, （4）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++，ππππ2,3例6.根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x 值的集合： （1）0tan 1≥+x （2）3tan -x 0≥ 【难度】★★ 【答案】（1） [,),42k k k Z ππππ-+∈（2）[,),32k k k Z ππππ++∈例7.比较下列两数的大小（1）2tan7π与10tan 7π （2）6tan 5π与13tan()5π- （3）81cot 与191cot 【难度】★ 【答案】（1）2tan7π<10tan 7π （2）6tan 5π>13tan()5π- （3）81cot <191cot 例8.函数sin y x =与tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点有 （ ）.A 3个 .B 5个 .C 7个 .D .D 9个【难度】★★【答案】B【巩固训练】1．作出函数|tan |y x =的图象. 【难度】★★ 【答案】如图2．利用图像，不等式tan 21x <≤的解集为____________. 【难度】★★ 【答案】(,],2628k k k Z ππππ-+∈3．比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小 【难度】★【答案】tan413tan -=⎪⎭⎫⎝⎛-π 4π，52tan517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-，⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y内单调递增. ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即 4．若()tan()4f x x π=+，试比较(1),(0),(1)f f f -，并按从小到大的顺序排列：_________. 【难度】★★【答案】(1)(1)(0)f f f <-<5.（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x . （1）求函数f (x )的最小正周期，对称中心； （2）作出函数()f x 在一个周期内的简图．【答案】（1）2T π=，2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈；（2）图象见解析【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的对称中心. （2）首先根据函数的解析式得到数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=，再画出函数的图象即可.【详解】（1）()tan 23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，212T ππ==.令232ππ-=x k ，k Z ∈，解得23ππ=+x k ，k Z ∈， 故对称中心为2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈.（2）令023x π-=，解得23x π=，令234x ππ-=，解得76x π=， 令234x ππ-=-，解得6x π=，令232x ππ-=，解得53x π=， 令232x ππ-=-，解得3x π=-， 所以函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=. 故函数在一个周期内的函数图象为：【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中档题.二、正切函数的定义域及值域1、正切函数的定义域例1.求下列函数的定义域（1）tan 2y x = （2）y = （3）cos tan y x x =⋅ （4）11tan y x=+ 【难度】★ 【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,24ππ （2）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-,3,3ππππ （3）,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且 （4）,,42x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠-≠+∈⎨⎬⎩⎭且例2．（2019·宝山区·上海交大附中高一期末）下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ）A ．22tan21tan 2xy x =- B ．1cot y x = C ．sin 21cos 2x y x =+ D ．1cos 2sin 2x y x -=【答案】C【分析】先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与()f x 相同的函数.【详解】()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， A. 22tan 21tan 2x y x =-，因为tan 12,22x x k k Z ππ⎧≠±⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩，所以,24,22x k k Z x k k Z ππππ⎧≠±+∈⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩， 定义域为{|22x x k ππ≠±或2,}x k k Z ππ≠+∈，与()tan f x x =定义域不相同； B. 1cot y x =，因为cos 0sin 0x x ≠⎧⎨≠⎩，所以,2,x k k Z x k k Zπππ⎧≠+∈⎪⎨⎪≠∈⎩， 所以定义域为,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，与()tan f x x =定义域不相同； C. sin 21cos 2x y x =+，因为1cos20x +≠，所以定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 又因为2sin 22sin cos tan 1cos 22cos x x x y x x x ===+，所以与()tan f x x =相同； D. 1cos 2sin 2x y x-=，因为sin 20x ≠，所以2,x k k Z π≠∈，定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭， 与()tan f x x =定义域不相同.故选：C.【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.例3．（2019·上海市大同中学高一期中）函数arcsin tan 2y x x =+的定义域是________【答案】[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 【分析】解不等式11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩即得解. 【详解】由题得11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩所以x ∈[1,)(,)(,1]4444ππππ---. 故函数的定义域为[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 故答案为[1,)(,)(,1]4444ππππ---【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.例4．（2017·上海杨浦区·复旦附中高一期中）已知函数()()lg tan 1f x x =-()f x 的定义域是____.【答案】3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由意义得出2tan 1090x x ->⎧⎨-≥⎩，解出该不等式组即可得出函数()y f x =的定义域. 【详解】函数()()lg tan 1f x x =-+2tan 1090x x ->⎧∴⎨-≥⎩， ()4233k x k k Z x ππππ⎧+<<+∈⎪∴⎨⎪-≤≤⎩，3,,4242x ππππ⎛⎫⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，函数()y f x =的定义域为3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查函数定义域的求解， 同时也涉及了正切不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.例5.求函数y =lg(tan x -+3cos 2+x 的定义域． 【难度】★★【答案】(,),32k k k Z ππππ++∈【解析】tan 2cos 0,2x x x k k Z ππ⎧>⎪⎪≥⎨⎪⎪≠+∈⎩ 由此不等式组作图： ∴(,),32k k k Z ππππ++∈ 【巩固训练】1．函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为__________ 【难度】★【答案】,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭2．与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是 （ ）.A 2π=x .B 2π-=x .C 4π=x .D 8π=x【难度】★【答案】D3．求下列函数的定义域(1)1tan y x = ；(2)sin tan()log (2cos 1)4x y x x π=+⋅- ． 【难度】★★★【答案】见解析解：等价转化为求一个不等式组的解 (1)sin 0tan 0,()2x x x k k Z ππ⎧⎪≥⎪≠⎨⎪⎪≠+∈⎩(2,2),,()2x k k x k k Z πππππ⇒∈+≠+∈ (2) 2cos 10sin 0,()42x x x k k Z πππ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪+≠+∈⎩⇒(2,2)33(2,2)(2,2)224x k k x k k k k x k πππππππππππππ⎧∈-+⎪⎪⎪∈+++⎨⎪⎪≠=⎪⎩(2,2)(2,2),()443x k k k k k Z πππππππ⇒∈+++∈． 注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能．2、正切函数的值域与最值例1．（2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）设函数()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；②值域是R ；③最小正周期是π； ④()f x 是奇函数；⑤()f x 在定义域上单调递增.【答案】③④【分析】先求定义域，再化简函数解析式，根据正切函数性质求值域、求周期、判断单调性与奇偶性.【详解】()sin 2sin 1cos 2cos 01cos 2cos x x f x x x x x-=∴+-≠+- 22cos cos 0cos 0x x x ∴-≠∴≠且1cos 2x ≠， 定义域是,,23x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠+≠±∈⎨⎬⎩⎭； ()sin 2sin sin (2cos 1)tan 1cos 2cos cos (2cos 1)x x x x f x x x x x x --===+--所以()f x ≠()f x 最小正周期是π；()f x 是奇函数；()f x 在定义域上不具有单调性故答案为：③④【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及函数综合性质，考查综合分析求解能力，属中档题.例2．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π； （2）2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ． 【答案】（1）(1,1)-；（2）13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）由定义域可得()tan ,0x ∈-∞，令tan t x =则(),0t ∈-∞，所以1211t 1t y t +-==-+--，再根据幂函数的性质计算可得； （2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π，所以()tan ,0x ∈-∞ 令tan t x =则(),0t ∈-∞ 所以1211t 1t y t +-==-+-- 因为(),0t ∈-∞，所以()1,1t -∈-∞-，()11,01t ∈--，()2210,t -∈-， ()211,11t --+∈--，即()1,1y ∈- （2）因为2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ所以tan x ⎡⎤∈⎣⎦令tan m x =，m ⎡⎤∈⎣⎦所以()223133124y f m m m m ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭所以()f m 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减， 31324f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()13f =，(2f =-所以()13,34f m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即函数的值域为13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题. 例3．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）tan ,,626⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x πππ； （2）2tan 1,,1tan 46+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x ππ； （3）2sec 2tan 1,,33⎡⎤=++∈-⎢⎥⎣⎦y ππθθθ．【答案】（1）[；（2）12⎛- ⎝⎭；（3）[1,5+ 【分析】（1）首先令6t x π=+，得到tan y t =，再根据tan y t =的单调性即可得到函数的值域.（2）首先令tan t x =，得到213211t y t t+==-+--，再根据函数的单调性即可得到值域.（3）首先将函数化简为2tan 2tan 2y θθ=++，令tan t θ=，得到222y t t =++，再利用二次函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】（1）令6t x π=+，因为,26x ππ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦，所以,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 又tan y t =在,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以所求函数值域为[． （2）令tan t x =，因为,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ，所以⎛∈- ⎝⎭t ．212(1)332,1,1113⎛+-+===-+∈- ---⎝⎭t t y t t t t ． 因为1y t =-为减函数，所以31y t =-在⎛∈- ⎝⎭t 为增函数， 即：321=-+-y t在⎛∈- ⎝⎭t 上为增函数， 所以min 31222y =-+=-，max 522y +=-=.所以函数的值域为12⎛- ⎝⎭． （3）222221sin cos 2tan 1=2tan 1tan 2tan 2cos cos y θθθθθθθθ+=++++=++． 令tan ,,33⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦t ππθθ，所以[∈t ．2222(1)1,[=++=++∈y t t t t ．当1t =-时，min 1y =，当t =时，max 5y =+所以函数的值域为[1,5+．【点睛】本题主要考查正切函数的值域问题，利用换元法求值域为解决本题的关键，属于中档题.例4.函数2tan ,0,124y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为 【难度】★ 【答案】[]32,324- 例5.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 值；. 【难度】★★ 【答案】4x π=-时，min 1y =； 4x π=时，max 5y =例6.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值. 【难度】★ 【答案】323-=a 例7.求函数252tan 4tan 3y x x =-+的值域. 【难度】★★【答案】(0,5] 【巩固训练】1．求函数sin tan ,[,]44y x x x ππ=+∈-的值域【难度】★★【答案】[1]-+2．求函数2)1(tan 12-+=x y 的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x 的集合. 【难度】★★【答案】2max =y ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x x ,4ππ3．已知2tan 2tan 3y x x =-+，求它的最小值【难度】★★【答案】当tan 1x =时，min 2y =4．函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________ 【难度】★ 【答案】[)5,-+∞【解析】令tan t x =则转化为t 的二次函数求最值。
专题38 正切函数的图像和性质(解析版)
专题38 正切函数的图像和性质考点1 正切函数的图像1.如下图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y＝cos x|tan x|＝{sinx,0≤x＜π2,−sinx,π2＜x≤πsinx,π＜x＜3π2.，∴函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是C.2.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(π2,3π2)内的图象是()A．B．C．D．【答案】D【解析】当π2＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜3π2时，tan x＞sin x，y＝2sin x.故选D.3.函数f(x)＝tan x＋1tanx ，x∈{x|−π2<x<0或0＜x＜π2}的图象为()A．B．C．D．【答案】A【解析】因为y＝tan x是奇函数，所以f(x)＝tan x＋1tanx ，x∈{x|−π2<x<0或0＜x＜π2}是奇函数，因此B，C不正确，又因为f(x)＝tan x＋1tanx，0＜x＜π2时函数为正数，所以D不正确，A正确.4.函数y＝sin x与y＝tan x的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】∵sin x＜x＜tan x，x∈(0，π2)，∴在(0，π2)上无交点，又它们都是奇函数，故在(－π2，0)上无交点，观察图象知两个函数的图象有1个交点.5.已知函数f(x)＝A tan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y＝f(x)的部分图象如图，则f(π24)等于()A．2＋√3B．√3C．√33D．2－√3【答案】B【解析】由图象知πω＝2×(3π8−π8)＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.这时f(x)＝A tan(2x+π4).又图象过(0,1)，代入得A＝1，故f(x)＝tan(2x+π4).所以f(π24)＝tan(2×π24+π4)＝√3，故选B.6.下列图象分别是函数①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈(－3π2，3π2)内的大致图象.那么图a、b、c、d依次对应的函数关系式应是()A．①②③④B．①③④②C．③②④①D．①②④③【答案】D【解析】y＝tan(－x)在(－π2，π2)内是减函数，故选D.7.函数y＝tan(π4x－π2)的部分图象如图所示，则△AOB的面积等于()A．1 B．2 C．4 D．92【答案】A【解析】函数的周期T＝ππ4＝4，则A(2,0)，∴△AOB的面积S＝12×2×1＝1.8.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为()A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)【答案】C【解析】∵不等式tan x≥√3，由正切函数的性质可得kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z，∴使不等式成立的x的集合为{x|kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z}，即x∈[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z).考点2 正切函数的定义域、值域9.函数y＝1tanx的定义域为() A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}【答案】D【解析】函数y＝1tanx 有意义，则{x≠kπ，k∈Z，x≠kπ+π2，k∈Z，可得函数的定义域为{x|x≠kπ2，k∈Z}.10.函数y＝√sinx＋√tanx的定义域为()A．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}B．{x|2kπ＜x≤kπ＋π2,k∈Z}C．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}D．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2且x≠2kπ＋π，k∈Z}【答案】C【解析】由{sinx≥0tanx≥0，即{2kπ≤x≤2kπ＋πkπ≤x＜kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ≤x＜2kπ＋π2(k∈Z)或x＝2kπ＋π(k∈Z).所以函数y＝√sinx＋√tanx的定义域是{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}11.函数y＝tan x(−π4≤x≤π4且x≠0)的值域是()A．[－1,1]B．[－1,0)∪(0,1]C．(－∞，1]D．[－1，＋∞)【答案】B【解析】根据正切函数图象，结合函数的单调性可得.12.函数y＝tan(sin x)的值域为()A．[−π4,π4 ]B．[−√22,√2 2]C．[－tan1，tan1]D．以上都不对【答案】C【解析】∵sin x∈[－1,1]，结合函数y＝tan x的图象可知，tan(－1)≤tan(sin x)≤tan1，即y∈[－tan1，tan1].13.(1)求函数y＝√tanx−√3的定义域；(2)已知f(x)＝tan2x－2tan x(|x|≤π3)，求f(x)的值域.【答案】(1)要使函数有意义，必须使tan x－√3≥0，即tan x≥√3，∴kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z.∴函数y＝√tanx−√3的定义域为[kπ＋π3,kπ＋+π2)(k∈Z).(2)令u＝tan x，∵|x|≤π3，∴u∈[－√3，√3]，∴函数化为y＝u2－2u.对称轴为u＝1∈[－√3，√3].∴当u＝1时，y min＝12－2×1＝－1.当u＝－√3时，y max＝3＋2√3，∴f(x)的值域为[－1,3＋2√3].考点3 正切函数的周期性和对称性14.函数y＝tanωx的最小正周期为π2，则实数ω的值为()A．12B．1C．2D．4【答案】C【解析】因为函数y＝tanωx的最小正周期为π2，所以π|ω|＝π2，考察选项可知，实数ω的值为2.15.已知函数y＝tanωx(ω＞0)的图象与直线y＝a相交于A，B两点，若AB长度的最小值为π，则ω的值为()A．4B．2C．1D．3【答案】C【解析】根据函数y＝tanωx(ω＞0)的图象特点可知，两点间的距离必是最小正周期的正整数倍，又由两点间长度的最小值为π，即函数最小正周期为π，所以π|ω|＝π.又由ω＞0，则ω＝1.16.函数y＝tan35x是() A．周期为π的偶函数B．周期为53π的奇函数C．周期为53π的偶函数D．周期为π的奇函数【答案】B【解析】正切函数的周期T＝π35＝53π，函数y＝tan35x是奇函数.17.下列函数中，为偶函数的是()A．f(x)＝sin(2015π2＋x)B．f(x)＝cos(2015π2＋x)C．f(x)＝tan(2015π2＋x)D．f(x)＝sin(2014π2＋x) 【答案】A【解析】对于A，f(x)＝sin(2015π2＋x)＝sin(1007π＋π2＋x)＝sin(3π2＋x)＝－cos x，为偶函数，则A正确；对于B，f(x)＝cos(2015π2＋x)＝cos(1007π＋π2＋x)＝cos(3π2＋x)＝sin x，为奇函数，则B错误；对于C，f(x)＝tan(2015π2＋x)＝tan(1007π＋π2＋x)＝tan(π2＋x)＝－cot x，为奇函数，则C错误；对于D，f(x)＝sin(1007π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x，为奇函数，故D错误. 故选A.18.函数y＝tan(x+π3)图象的对称中心的坐标是()A．(kπ−π3,0)(k∈Z)B．(k2π－π3，0)(k∈Z)C．(kπ2，0)(k∈Z) D．(kπ，0)(k∈Z) 【答案】B【解析】函数y＝tan(x+π3)的图象由函数y＝tan x的图象向左平移π3个单位得到，又由函数y＝tan x的对称中心的坐标是(kπ2，0)(k∈Z)，∴函数y＝tan(x＋π3)的对称中心的坐标是(k2π－π3，0)(k∈Z).19.下列坐标所表示的点不是函数y＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是()A．(π3,0)B．(−5π3,0)C．(7π3,0)D．(2π3,0)【答案】D【解析】将π3，－5π3，7π3代入y＝tan(x2－π6)均为0，而2π3代入y＝tan(x2－π6)不为0，所以选D.20.下列关于函数y＝tan(x+π3)的说法正确的是()A．在区间(−π6+5π6)上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于点(π4,0)成中心对称D．图象关于直线x＝π6成轴对称【答案】B【解析】令kπ－π2＜x＋π3＜kπ＋π2，解得kπ－5π6＜x＜kπ＋π6，k∈Z，显然(−π6，5π6)不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋π3＝kπ2，解得x＝kπ2－π3，k∈Z，任取k值不能得到x＝π4，故C错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝tan(x+π3)的图象也没有对称轴，故D错误.故选B.21.若函数f(x)＝2cos(4x＋π7)－1与函数g(x)＝5tan(ax－1)＋2的最小正周期相同，则实数a＝______.【答案】±2【解析】函数f(x)＝2cos(4x＋π7)－1的周期是π2，函数g(x)＝5tan(ax－1)＋2的最小正周期是π|a|，因为周期相同，所以π|a|＝π2，解得a＝±2.22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y＝|sin x|，y＝|tan x|的周期分别为π，π2；③若x1＞x2，则sin x1＞sin x2；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0.其中正确命题的序号是________.【答案】④【解析】①正切函数的图象的对称中心是唯一的，由正切函数的性质可知，①是错误的；②y＝|sin x|，y＝|tan x|的周期分别为π，π2，前者正确，后者错误，②是错误的；③若x1＞x2，则sin x1＞sin x2，如果x1＝390°，x2＝90°，sin x1＜sin x2，③是错误的；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0，f(x＋T)＝f(x)，f(－T2＋π)＝f(－T2)＝－f(T2)，f(－T2)＝0，④是正确的.故答案为④.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.【答案】(1)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cos x＋|tan x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tan x－sin2x，∴函数f(x)是非奇非偶函数.考点4 正切函数的单调性24.下列说法正确的是()A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数【答案】D【解析】由正切函数的图象可知D正确.25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是()A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B．(−7π10＋kπ，3π10＋kπ)(k∈Z)C．(−3π10＋kπ，7π10＋kπ)(k∈Z)D．(−π5+kπ，π5＋kπ)(k∈Z)【答案】B【解析】∵y＝tan x的单调递增区间为(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)，令kπ－π2＜x＋π5＜kπ＋π2，解得kπ－7π10＜x＜kπ＋3π10，∴函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是(−7π10＋kπ，3π10＋kπ)(k∈Z).26.关于函数f(x)＝－tan2x，有下列说法：①f(x)的定义域是{x∈R|x≠π2＋kπ，k∈Z}；②f(x)是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋kπ2，π4＋kπ2)(k∈Z)上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是()A．①②③B．②④⑤C．②④D．③④⑤【答案】C【解析】①由正切函数的定义域可得，2x≠π2＋kπ，k∈Z，故①错误；③由正切函数的定义域可知，函数y＝－tan2x在(－π4＋kπ2，π4＋kπ2)(k∈Z)上是减函数，故③错误；⑤根据周期公式可得，T＝π2，故⑤错误.27.已知函数f(x)＝√3tanπxω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f(x)的最小正周期及单调区间；(2)若|f(x)|≤3在x∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围.【答案】(1)当ω＝4时，f(x)＝√3tanπ4x，则f(x)的最小正周期T＝ππ4＝4，由kπ－π2＜π4x＜kπ＋π2，k∈Z.得4k－2＜x＜4k＋2，k∈Z，即函数的单调递增区间为(4k－2,4k＋2)，k∈Z.(2)∵ω＞0，∴函数f(x)的周期T＝ππω＝ω，∴若|f(x)|≤3在x∈[－π3，π4]上恒成立，则f(x)在x∈[－π3，π4]上为单调递增函数，满足－π3＞－12T＝－ω2，∴ω＞2π3，∵|f(－π3)|＞f(π4)，此时满足f(－π3)≥－3，即f(－π3)＝√3tan(－π3×πω)≥－3，即tan(－π3×πω)≥－√3，则－π3×πω≥－π3，则πω≤1，即ω≥π，综上，ω≥π.考点5 正切函数的综合应用28.对于函数y＝tan x2，下列判断正确的是() A．周期为2π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数【答案】A【解析】函数y ＝tan x 2的周期T ＝πω＝2π，再由tan(－x 2)＝－tan x 2可得，此函数为奇函数. 29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间；(2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)的值. 【答案】(1)由题意得，T ＝π2.由2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠kπ2＋π8，由－π2＋k π＜2x ＋π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得kπ2－3π8＜x ＜kπ2＋π8，综上得，函数的周期是π2，定义域是{x |x ≠kπ2＋π8，k ∈Z }，单调增区间是(kπ2－3π8，kπ2＋π8)(k ∈Z ). (2)2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθtanθ＋1，①∵f (θ)＝17，∴tan(2θ＋π4)＝17，则tan2θ＝tan[(2θ＋π4)－π4]＝17−11+17＝－34， 由tan2θ＝2tanθ1－tan 2θ＝－34，得tan θ＝3或－13，把tan θ＝3代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝－12， 把tan θ＝－13代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝2.30.已知函数y ＝tan(12x －π6). (1)作出此函数在一个周期开区间上的简图；(2)求出此函数的定义域、周期和单调区间； (3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.【答案】(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图：则对应的图象如图：(2)由12x －π6≠k π＋π2，得x ≠2k π＋4π3，即函数的定义域为{x |x ≠2k π＋4π3，k ∈Z }，函数的周期T ＝π12＝2π. 由k π－π2＜12x －π6＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(2k π－2π3，2k π＋4π3)，k ∈Z .(3)由12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，即函数图象的渐近线方程为x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，由12x －π6＝kπ2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .即所有对称中心的坐标为(k π＋π3，0).31.已知关于实数x 的不等式|x −(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x 2－3(tan θ＋1)x ＋2(3tan θ＋1)≤0的解集分别为M ，N ，且M ∩N ＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围.【答案】假设θ存在.由|x −(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，得2tan θ≤x ≤tan 2θ＋1，∴M ＝{x |2tan θ≤x ≤tan 2θ＋1}.∵x 2－3(tan θ＋1)x ＋2(3tan θ＋1)≤0，∴当tan θ≥13时，2≤x ≤3tan θ＋1.当tan θ＜13时，3tan θ＋1≤x ≤2.∵M ∩N ＝∅，∴当tan θ≥13时，有3tan θ＋1＜2tan θ或tan 2θ＋1＜2，即tan θ＜－1或－1＜tan θ＜1，∴13≤tan θ＜1.①当tan θ＜13时，有2＜2tan θ或3tan θ＋1＞tan 2θ＋1，即tan θ＞1或0＜tan θ＜3， ∴0＜tan θ＜13.②由①②得0＜tan θ＜1，∴θ的取值范围是(kπ，kπ＋π4)，k ∈Z .。
三角函数正切函数的性质与图像
正切函数的图像向右平移π个单位，可以得 到余弦函数的图像。
左右翻转
正切函数的图像关于$y$轴对称，即$tan( - x) = tan(x)$。 正切函数的图像向左翻转后，可以得到正切函数的图像。
03
正切函数的图像绘制
利用Python绘制正切函数图像
导入matplotlib库
定义正切函数
首先需要导入matplotlib库，该库是 Python中用于绘图的常用库之一。
使用xlabel和ylabel参数可以添加x轴和y轴的标签，例如x轴 标签为“$x$”，y轴标签为“$y$”。
显示网格线
使用grid参数可以显示网格线，以便更好地观察图像的细节 。
04
三角函数的实际应用
物理中的三角函数
简谐振动
简谐振动的位移与时间的关系可以表示为正弦或余弦函数，利用三角函数性 质可以更深入地理解简谐振动的特征。
正切函数的对称性
正切函数图像无对称轴，但在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处，函数图像呈现对称性。
正切函数的奇偶性
$tan( - x) = - tan(x)$，因此正切函数为奇函数。
正切函数的应用
正切函数在解直角三角形、求三角形的面积、研究三角恒 等式等方面具有广泛应用。
对未来研究正切函数的展望
三角函数正切函数的性质与图像
xx年xx月xx日
contents
目录
• 正切函数概述 • 正切函数的性质 • 正切函数的图像绘制 • 三角函数的实际应用 • 总结与展望
01
正切函数概述
正切函数的定义
正切函数：tan(x) = sin(x) / cos(x) 值域：(-∞，∞)
定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ，k ∈ Z} 周期：π
高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案
高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案1.如下图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x ＜3π2且x ≠π2)的图象是( )A ．B ．C ．D ．2.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2,3π2)内的图象是( )A ．B ．C ．D ．3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}的图象为( )A ．B ．C ．D ．4.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)等于( )A．2＋√3 B．√3 C．√33D．2－√36.下列图象分别是函数①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈(－3π2，?3π2)内的大致图象.那么图a、b、c、d依次对应的函数关系式应是( )A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③7.函数y＝tan(π4x－π2)的部分图象如图所示，则△AOB的面积等于( )A．1 B．2 C．4 D．928.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( )A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z) B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z) D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)考点2 正切函数的定义域、值域9.函数y＝1tanx的定义域为( )A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}10.函数y＝√sinx＋√tanx的定义域为( )A．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}B．{x|2kπ＜x≤kπ＋π2,k∈Z}C．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}D．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2且x≠2kπ＋π，k∈Z}11.函数y＝tan x(−π4≤x≤π4且x≠0)的值域是( )A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 12.函数y＝tan(sin x)的值域为( )A．[−π4,π4]B．[−√22,√22]C．[－tan1，tan1] D．以上都不对13.(1)求函数y＝√tanx−√3的定义域；(2)已知f(x)＝tan2x－2tan x(|x|≤π3)，求f(x)的值域.14.函数y＝tanωx的最小正周期为π2，则实数ω的值为( )A．12B．1 C．2 D．415.已知函数y＝tanωx(ω＞0)的图象与直线y＝a相交于A，B两点，若AB长度的最小值为π，则ω的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．3 16.函数y ＝tan 35x 是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为53π的奇函数 C ．周期为53π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 17.下列函数中，为偶函数的是( ) A ．f (x )＝sin(2015π2＋x ) B ．f (x )＝cos(2015π2＋x ) C ．f (x )＝tan(2015π2＋x ) D ．f (x )＝sin(2014π2＋x )18.函数y ＝tan (x +π3)图象的对称中心的坐标是( ) A ．(k π−π3,0)(k ∈Z ) B ．(k 2π－π3，0)(k ∈Z )C ．(k π2，0)(k ∈Z ) D ．(k π，0)(k ∈Z )19.下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是( ) A ．(π3,0) B ．(−5π3,0) C ．(7π3,0) D ．(2π3,0)20.下列关于函数y ＝tan (x +π3)的说法正确的是( ) A ．在区间(−π6+5π6)上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点(π4,0)成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称21.若函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝______.22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2；③若x1＞x2，则sin x1＞sin x2；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0. 其中正确命题的序号是________.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.24.下列说法正确的是( )A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是( )A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B．(−7π10＋kπ，3π10＋kπ)(k∈Z)C．(−3π10＋kπ，7π10＋kπ)(k∈Z)D．(−π5+kπ，π5＋kπ)(k∈Z)26.关于函数f(x)＝－tan2x，有下列说法：①f(x)的定义域是{x∈R|x≠π2＋kπ，k∈Z}；②f(x)是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋kπ2，π4＋kπ2)(k∈Z)上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．②④D ．③④⑤ 27.已知函数f (x )＝√3tan πxω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f (x )的最小正周期及单调区间；(2)若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围.28.对于函数y ＝tan x2，下列判断正确的是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−12sin(θ＋π4)的值.30.已知函数y ＝tan(12x －π6).(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间；(3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.31.已知关于实数x的不等式|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0的解集分别为M，N，且M∩N＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围. 答案1.如下图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y＝cos x|tan x|＝{sinx,0≤x＜π2,−sinx,π2＜x≤πsinx,π＜x＜3π2.，∴函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是C.2.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(π2,3π2)内的图象是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当π2＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜3π2时，tan x＞sin x，y＝2sin x.故选D.3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为y ＝tan x 是奇函数，所以f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}是奇函数，因此B ，C 不正确，又因为f (x )＝tan x ＋1tanx ，0＜x ＜π2时函数为正数，所以D 不正确，A 正确.4.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】∵sin x ＜x ＜tan x ，x ∈(0，π2)， ∴在(0，π2)上无交点，又它们都是奇函数，故在(－π2，0)上无交点， 观察图象知两个函数的图象有1个交点.5.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)等于( )A ．2＋√3B ．√3C ．√33D ．2－√3【答案】B【解析】由图象知πω＝2×(3π8−π8)＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan (2x +π4).又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan (2x +π4).所以f (π24)＝tan (2×π24+π4)＝√3，故选B.6.下列图象分别是函数①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y ＝tan|x |在x ∈(－3π2，?3π2)内的大致图象.那么图a 、b 、c 、d 依次对应的函数关系式应是( )A ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③ 【答案】D【解析】y ＝tan(－x )在(－π2，?π2)内是减函数，故选D.7.函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则△AOB 的面积等于( )A ．1B ．2C ．4D ．92【答案】A【解析】函数的周期T＝ππ4＝4，则A(2,0)，∴△AOB的面积S＝12×2×1＝1.8.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( )A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)【答案】C【解析】∵不等式tan x≥√3，由正切函数的性质可得kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z，∴使不等式成立的x的集合为{x|kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z}，即x∈[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z).9.函数y＝1tanx的定义域为( ) A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}【答案】D【解析】函数y＝1tanx 有意义，则{x≠kπ，k∈Z，x≠kπ+π2，k∈Z，可得函数的定义域为{x|x ≠k π2，k ∈Z}.10.函数y ＝√sinx ＋√tanx 的定义域为( ) A ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z} B ．{x|2k π＜x ≤k π＋π2,k ∈Z}C ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z}∪{x|x ＝2k π＋π，k ∈Z }D ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2且x ≠2k π＋π，k ∈Z} 【答案】C【解析】由{sinx ≥0tanx ≥0，即{2kπ≤x ≤2kπ＋πkπ≤x ＜kπ＋π2(k ∈Z )，得2k π≤x ＜2k π＋π2(k ∈Z )或x ＝2k π＋π(k ∈Z ).所以函数y ＝√sinx ＋√tanx 的定义域是{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z}∪{x|x ＝2k π＋π，k ∈Z } 11.函数y ＝tan x (−π4≤x ≤π4且x ≠0)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞) 【答案】B【解析】根据正切函数图象，结合函数的单调性可得. 12.函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) A ．[−π4,π4]B ．[−√22,√22]C ．[－tan1，tan1]D ．以上都不对 【答案】C【解析】∵sin x ∈[－1,1]，结合函数y ＝tan x 的图象可知，tan(－1)≤tan(sin x )≤tan1，即y ∈[－tan1，tan1].13.(1)求函数y ＝√tanx −√3的定义域；(2)已知f (x )＝tan 2x －2tan x (|x |≤π3)，求f (x )的值域.【答案】(1)要使函数有意义，必须使tan x －√3≥0，即tan x ≥√3， ∴k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝√tanx −√3的定义域为[k π＋π3,k π＋+π2)(k ∈Z ). (2)令u ＝tan x ，∵|x |≤π3，∴u ∈[－√3，√3]， ∴函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－√3，√3]. ∴当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－√3时，y max ＝3＋2√3， ∴f (x )的值域为[－1,3＋2√3].14.函数y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，则实数ω的值为( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C【解析】因为函数y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，所以π|ω|＝π2，考察选项可知，实数ω的值为2. 15.已知函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，若AB 长度的最小值为π，则ω的值为( )A．4 B．2 C．1 D．3【答案】C【解析】根据函数y＝tanωx(ω＞0)的图象特点可知，两点间的距离必是最小正周期的正整数倍，又由两点间长度的最小值为π，即函数最小正周期为π，所以π|ω|＝π.又由ω＞0，则ω＝1.16.函数y＝tan35x是( )A．周期为π的偶函数 B．周期为53π的奇函数C．周期为53π的偶函数 D．周期为π的奇函数【答案】B【解析】正切函数的周期T＝π35＝53π，函数y＝tan35x是奇函数.17.下列函数中，为偶函数的是( )A．f(x)＝sin(2015π2＋x)B．f(x)＝cos(2015π2＋x)C．f(x)＝tan(2015π2＋x)D．f(x)＝sin(2014π2＋x)【答案】A【解析】对于A，f(x)＝sin(2015π2＋x)＝sin(1007π＋π2＋x)＝sin(3π2＋x)＝－cos x，为偶函数，则A正确；对于B，f(x)＝cos(2015π2＋x)＝cos(1007π＋π2＋x)＝cos(3π2＋x)＝sin x，为奇函数，则B错误；对于C ，f (x )＝tan(2015π2＋x )＝tan(1007π＋π2＋x )＝tan(π2＋x )＝－cot x ，为奇函数，则C 错误；对于D ，f (x )＝sin(1007π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ，为奇函数，故D 错误. 故选A.18.函数y ＝tan (x +π3)图象的对称中心的坐标是( ) A ．(k π−π3,0)(k ∈Z )B ．(k2π－π3，0)(k ∈Z ) C ．(k π2，0)(k ∈Z )D ．(k π，0)(k ∈Z )【答案】B【解析】函数y ＝tan (x +π3)的图象由函数y ＝tan x 的图象向左平移π3个单位得到， 又由函数y ＝tan x 的对称中心的坐标是(k π2，0)(k ∈Z )，∴函数y ＝tan(x ＋π3)的对称中心的坐标是(k2π－π3，0)(k ∈Z ).19.下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是( ) A ．(π3,0) B ．(−5π3,0) C ．(7π3,0) D ．(2π3,0)【答案】D 【解析】将π3，－5π3，7π3代入y ＝tan(x 2－π6)均为0，而2π3代入y ＝tan(x 2－π6)不为0，所以选D.20.下列关于函数y ＝tan (x +π3)的说法正确的是( ) A ．在区间(−π6+5π6)上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点(π4,0)成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 【答案】B【解析】令k π－π2＜x ＋π3＜k π＋π2，解得k π－5π6＜x ＜k π＋π6，k ∈Z ，显然(−π6，5π6)不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan (x +π3)的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B.21.若函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝______. 【答案】±2【解析】函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1的周期是π2，函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期是π|a|， 因为周期相同，所以π|a|＝π2，解得a ＝±2. 22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)＝0. 其中正确命题的序号是________. 【答案】④【解析】①正切函数的图象的对称中心是唯一的，由正切函数的性质可知，①是错误的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2，前者正确，后者错误，②是错误的； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2，如果x 1＝390°，x 2＝90°，sin x 1＜sin x 2，③是错误的；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0，f(x＋T)＝f(x)，f(－T2＋π)＝f(－T2)＝－f(T2)，f(－T2)＝0，④是正确的.故答案为④.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.【答案】(1)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cos x＋|tan x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tan x－sin2x，∴函数f(x)是非奇非偶函数.24.下列说法正确的是( )A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数【答案】D【解析】由正切函数的图象可知D正确.25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是( )A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B ．(−7π10＋k π，3π10＋k π)(k ∈Z ) C ．(−3π10＋k π，7π10＋k π)(k ∈Z ) D ．(−π5+k π，π5＋k π)(k ∈Z )【答案】B【解析】∵y ＝tan x 的单调递增区间为(−π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )， 令k π－π2＜x ＋π5＜k π＋π2，解得k π－7π10＜x ＜k π＋3π10， ∴函数y ＝tan(x ＋π5)的单调递增区间是(−7π10＋k π，3π10＋k π)(k ∈Z ). 26.关于函数f (x )＝－tan2x ，有下列说法：①f (x )的定义域是{x ∈R |x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②f (x )是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋k π2，π4＋k π2)(k ∈Z )上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．②④D ．③④⑤ 【答案】C【解析】①由正切函数的定义域可得，2x ≠π2＋k π，k ∈Z ，故①错误； ③由正切函数的定义域可知，函数y ＝－tan2x 在(－π4＋k π2，π4＋k π2)(k ∈Z )上是减函数，故③错误；⑤根据周期公式可得，T ＝π2，故⑤错误. 27.已知函数f (x )＝√3tan πx ω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f (x )的最小正周期及单调区间；(2)若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围. 【答案】(1)当ω＝4时，f (x )＝√3tan π4x ，则f (x )的最小正周期T ＝ππ4＝4，由k π－π2＜π4x ＜k π＋π2，k ∈Z .得4k －2＜x ＜4k ＋2，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(4k －2,4k ＋2)，k ∈Z . (2)∵ω＞0，∴函数f (x )的周期T ＝ππω＝ω，∴若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立， 则f (x )在x ∈[－π3，π4]上为单调递增函数， 满足－π3＞－12T ＝－ω2， ∴ω＞2π3，∵|f (－π3)|＞f (π4)，此时满足f (－π3)≥－3，即f (－π3)＝√3tan(－π3×πω)≥－3， 即tan(－π3×πω)≥－√3，则－π3×πω≥－π3， 则πω≤1，即ω≥π， 综上，ω≥π.28.对于函数y ＝tan x2，下列判断正确的是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】函数y ＝tan x 2的周期T ＝πω＝2π，再由tan(－x 2)＝－tan x2可得，此函数为奇函数. 29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−12sin(θ＋π4)的值.【答案】(1)由题意得，T ＝π2. 由2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π8，由－π2＋k π＜2x ＋π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得k π2－3π8＜x ＜k π2＋π8，综上得，函数的周期是π2，定义域是{x |x ≠k π2＋π8，k ∈Z }，单调增区间是(k π2－3π8，k π2＋π8)(k ∈Z ).(2)2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθtanθ＋1，①∵f (θ)＝17，∴tan(2θ＋π4)＝17， 则tan2θ＝tan[(2θ＋π4)－π4]＝17−11+17＝－34，由tan2θ＝2tanθ1－tan 2θ＝－34，得tan θ＝3或－13， 把tan θ＝3代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝－12，把tan θ＝－13代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝2.30.已知函数y ＝tan(12x －π6).(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间；(3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标. 【答案】(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图：则对应的图象如图：(2)由12x －π6≠k π＋π2，得x ≠2k π＋4π3，即函数的定义域为{x |x ≠2k π＋4π3，k ∈Z }，函数的周期T ＝π12＝2π.由k π－π2＜12x －π6＜k π＋π2，k ∈Z ， 得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(2k π－2π3，2k π＋4π3)，k ∈Z .(3)由12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ， 即函数图象的渐近线方程为x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，由12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .即所有对称中心的坐标为(k π＋π3，0).31.已知关于实数x的不等式|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0的解集分别为M，N，且M∩N＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围.【答案】假设θ存在.由|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，得2tanθ≤x≤tan2θ＋1，∴M＝{x|2tanθ≤x≤tan2θ＋1}.∵x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0，∴当tanθ≥13时，2≤x≤3tanθ＋1.当tanθ＜13时，3tanθ＋1≤x≤2.∵M∩N＝∅，∴当tanθ≥13时，有3tanθ＋1＜2tanθ或tan2θ＋1＜2，即tanθ＜－1或－1＜tanθ＜1，∴13≤tanθ＜1.①当tanθ＜13时，有2＜2tanθ或3tanθ＋1＞tan2θ＋1，即tanθ＞1或0＜tanθ＜3，∴0＜tanθ＜13.②由①②得0＜tanθ＜1，∴θ的取值范围是(kπ，kπ＋π4)，k∈Z.。
课件6：7.3.4 正切函数的图像与性质
题型探究 探究一 正切函数的定义域、值域问题 例1.函数y＝tan(cos x)的定义域为__R__，值域为 _[_－__ta_n_1_，__t_a_n_1_]_. 【解析】因为－1≤cos x≤1， ∴tan(－1)≤tan(cos x)≤tan 1， ∴－tan 1≤tan(cos x)≤tan 1. 所以定义域为R，值域为[－tan 1，tan 1].
知识点二 正切函数的图像与性质
解析式
y＝tan x
图像
定义域 值域
x x≠π2＋kπ，k∈Z
__R__
最小正周 期
奇偶性
单调性
对称性 零点
__π_
__奇__函__数__ 在每一个开区间 －π2＋kπ，π2＋kπ( k∈Z) 上都是单调递增 对称中心___k_2π_，__0_(_k∈__Z_)__
由图像可知，函数的主要性质为： ①定义域：x|x∈R，x≠2π＋kπ，k∈Z； ②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数； ⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋2π)，k∈Z.
Байду номын сангаас
反思感悟 解答正切函数图像与性质问题应注意的两点 (1)对称性：正切函数图像的对称中心是k2π，0(k∈Z)，不 存在对称轴. (2)单调性：正切函数在每一个开区间（-π2+kπ，π2+kπ） (k∈Z)上都是单调递增的，但不能说其在定义域上是递增
跟踪训练 2.求函数 y＝3tan(π4－2x)的单调区间． 解：法一：令 z＝4π－2x，则 y＝3tan(4π－2x)＝3tan z．
由于函数 y＝3tan z 在(－2π＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上是增函数，
且 z＝4π－2x 是减函数，
高中试卷-5.4.3 正切函数的图像与性质 练习(2)(含答案)
5.4.3 正切函数的图像与性质（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号正切函数的性质1,2,3,4,5,6,9,11正切函数的图像10综合运用7,8,13基础巩固1．函数tan2xy =是( )A.周期为2p 的奇函数 B.周期为2p的奇函数C.周期为p 的偶函数D.周期为2p 的偶函数【答案】A 【解析】212T pp==，即周期为2p ,tan tan 22x x æö-=-ç÷èø，即函数为奇函数本题正确选项：A2．下列关于函数()tan f x x =的结论正确的是（ ）A.是偶函数B.关于直线2x p =对称C.最小正周期为2pD.3044f f p pæöæö+=ç÷ç÷èøèø【答案】D【解析】函数()f x 是最小正周期为p 的奇函数，排除A C 、，正切函数是中心对称图形，不是轴对称图形，排除B ，tan 144f p p æö==ç÷èø，314f pæö=-ç÷èø，则3044f f p p æöæö+=ç÷ç÷èøèø故选D3．函数3tan 24y x p æö=+ç÷èø的定义域是（）A ．ππ,2x x k k ìü¹+ÎíýîþZ B ．3ππ,28k x x k ìü¹+ÎíýîþZ C ．ππ,28k x x k ìü¹+ÎíýîþZ D ．π,2kx x k ìü¹ÎíýîþZ 【答案】C 【解析】由ππ2π,42x k k +¹+ÎZ ，得1ππ,28x k k ¹+ÎZ ．故选C 4．下列函数中，同时满足以下三个条件的是（ ）①在0,2p æöç÷èø上为增函数；②最小正周期为2p ；③是奇函数.A.tan y x = B.cos y x= C.tan2x y =- D.tan2x y =【答案】D【解析】对于A 选项中的函数tan y x =，该函数在0,2p æöç÷èø上为增函数，最小正周期为p ，且为奇函数，A 选项中的函数不符合条件；对于B 选项中的函数cos y x =，该函数0,2p æöç÷èø上为减函数，最小正周期为2p ，且为偶函数，B 选项中的函数不符合条件；对于C 选项中的函数tan2x y =-，当02x p<<时，024x p <<，则该函数在0,2p æöç÷èø上为减函数，最小正周期为212pp=，且为奇函数，C 选项中的函数不符合条件；对于D 选项中的函数tan 2x y =，该函数在0,2p æöç÷èø上为增函数，最小正周期为2p ，且为奇函数，D 选项中的函数符合条件.故选：D.5．下面哪个点不是函数tan 22y x p æö=+ç÷èø图像的对称点（ ）A.(0,0) B.,04p æöç÷èøC.,03p æöç÷èøD.,02p æöç÷èø【答案】C【解析】函数tan 22y x p æö=+ç÷èø的对称中心横坐标满足：222k x pp +=，解得：()44k x k Z pp =-Î，令1k =可得：0x =，则选项A 中的点是函数的对称点；令2k =可得：4x p=，则选项B 中的点是函数的对称点；令3k =可得：2x p =，则选项D 中的点是函数的对称点；注意到443k x p p p =-=没有整数解，故,03p æöç÷èø不是函数的对称点.故选：C.6．函数tan y x =，0,4x p éùÎêúëû的值域是________．【答案】[]0,1【解析】因为函数tan y x =在0,4x p éùÎêúëû单调递增，所以min tan 00y ==，max tan 14y p==，故函数的值域为[]0,1.7．13tan 7p æö-ç÷èø与15tan 8pæö-ç÷èø的大小关系是_______.【答案】1315tan tan 78p p æöæö->-ç÷ç÷èøèø【解析】131315tan tan 2tan ,tan 7778p p p p p æöæöæö-=-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø15tan 2tan 88p p p æö=-=ç÷èø.∵0872ppp<<<，∴tantan87pp<，即1315tan tan 78p pæöæö->-ç÷ç÷èøèø.8．求函数2tan tan 1y x x =++的值域．【答案】3,4éö+¥÷êëø【解析】设tan t x =()t R Î，则221331244y t t t æö=++=++³ç÷èø，所以2tan tan 1y x x =++的值域是3,4éö+¥÷êëø．故答案为：3,4éö+¥÷êëø．能力提升9．已知函数()()5tan 202f x x p j j æö=+<<ç÷èø，其函数图像的一个对称中心是,012p æöç÷èø，则该函数的单调递增区间可以是（ ）A.5,66p p æö-ç÷èøB.,63p p æö-ç÷èøC.,36p p æö-ç÷èøD.5,1212p p æö-ç÷èø【答案】D 【解析】,012p æöç÷èøQ 为函数的对称中心 2122k p p j \´+=，k ZÎ解得：26k p pj =-，k Z Î0,2p j æöÎç÷èøQ 3pj \= ()5tan 23f x x p æö\=+ç÷èø当5,66x p p æöÎ-ç÷èø时，422,333x p p p æö+Î-ç÷èø，此时()f x 不单调，A 错误；当,63x p p æöÎ-ç÷èø时，()20,3x p p +Î，此时()f x 不单调，B 错误；当,36x p p æöÎ-ç÷èø时，22,333x p p p æö+Î-ç÷èø，此时()f x 不单调，C 错误；当5,1212x p p æöÎ-ç÷èø时，2,322x p p p æö+Î-ç÷èø，此时()f x 单调递增，D 正确本题正确选项：D10．函数()y tanx y tanx y tan x y tan x ＝，＝，＝－，＝ 在(－ 3π2，3π2)上的大致图象依次是下图中的( )A.①②③④B.②①③④C.①②④③D.②①④③【答案】C 【解析】y tanx ＝ 对应的图象为①，y tanx ＝ 对应的图象为②，()y tan x ＝－ 对应的图象为④，y tan x ＝对应的图象为③.故选C.11．若函数tan y x w =在(,)p p -上是递增函数，则w 的取值范围是________【答案】1(0,2【解析】由于数tan y x w =在(,)p p -上是递增函数，所以0>w .由ππx -<<，则ππx w w w -<<，由正切函数的递增区间可知：ππππ22k x k w -<<+，所以πππ2πππ2k k w w ì-£-ïïíï+³ïî，1212k k w w ì£-+ïïíï£+ïî，由于0>w ，故取0k =，所以102w <≤.故填：1(0,2.12．设函数f (x )＝tan.(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间；(2)求不等式－1≤f (x )≤的解集．【答案】(1) 单调递增区间是5-+2,233k k k z p p p p æö+Îç÷èø;(2) 解集是4|22,63x k x k k z p p p p ìü+££+Îíýîþ.【解析】(1)由－≠＋k π(k ∈Z)，得x ≠＋2k π(k ∈Z)，所以函数f (x )的定义域是.因为ω＝，所以周期T ＝＝2π.由－＋k π<－<＋k π(k ∈Z)，得－＋2k π<x <＋2k π(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递增区间是(k ∈Z)．(2)由－1≤tan ≤，得－＋k π≤－≤＋k π(k ∈Z)．解得＋2k π≤x ≤＋2k π(k ∈Z)．所以不等式－1≤f (x )≤的解集是.素养达成13．已知函数()sin cos xf x x=．（1）求函数()f x 的定义域；（2）用定义判断函数()f x 的奇偶性；（3）在[],p p -上作出函数()f x 的图象．【答案】（1）,2x x k k Z pp ìü¹+Îíýîþ；（2）奇函数,见解析；(3)见解析【解析】（1）由cos 0x ¹,得2x k pp ¹+（k Z Î）,所以函数()f x 的定义域是,2x x k k Z pp ìü¹+Îíýîþ.（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称,因为()()()()sin sin cos cos x xf x f x xx ---===--,所以()f x 是奇函数.（3）()tan ,22tan ,22x x f x x x x p p p p p pì-<<ïï=íï--£<-<£ïî或,所以()fx 在[],p p -上的图象如图所示,。
三角函数正切函数的性质与图像
。这意味着正切值等于正弦值除以余弦值。
03
互补角关系
对于互补角x和y（x + y = 90度），有tan(x) = 1 / tan(y)的关系，即
一个角的正切值等于其互补角的余切值。
02
正切函数的图像与特性
பைடு நூலகம்
正切函数的图像
1 2
形状
正切函数的图像是一个无穷多的连续且无穷密集 的曲线组，每个周期内的图像形状相同。
正切函数的基本性质
定义域
正切函数在实数域上是无限 定义的，但在任何一个角度x （除了直角）上，都有一个 唯一的正切值。
值域
正切函数的值域是所有实数 ，这意味着它可以取到任何 实数值。
周期性
正切函数是周期性的，周期 为180度（或π弧度），即 tan(x) = tan(x + 180n)，其 中n是整数。
在工程问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，正切函数可以用来计算斜坡的倾斜角度。例如，设计师需要确定一个斜坡的倾斜角度 以确保排水效果良好，他们可以利用正切函数来计算这个角度。
土木工程
在土木工程中，正切函数可以用来描述土壤的抗剪强度。土壤的抗剪强度与土壤的内摩擦角和凝聚力 有关，这两个参数之间的关系可以用正切函数来表示。
渐近线
当角度接近于直角（90度）的奇数倍时，正切函 数的值趋向于无穷大，因此图像有垂直渐近线。
3
零点
正切函数在角度为0度、180度、360度等直角倍 数的位置上，函数值为0，图像与x轴交于这些点 。
正切函数的周期性
周期定义
正切函数是周期函数，意味着 在一定的角度区间内，函数的
取值会重复。
周期长度
正切函数的周期长度是180度，即 π弧度。
(完整word)必修四正切函数的性质与图象(附答案)
正切函数的性质与图象［学习目标］ 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2。
能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．知识点一正切函数的图象1．正切函数的图象:2．正切函数的图象叫做正切曲线．3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x＝错误!＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．思考我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能类似地画出函数y＝tan x，x∈［－错误!，错误!]的简图吗？怎样画．答案能．找三个关键点:(错误!，1），(0,0）,(－错误!，－1)，两条平行线：x＝错误!，x＝－错误!.知识点二正切函数图象的性质1．函数y＝tan x（x∈R且x≠kπ＋错误!,k∈Z）的图象与性质见下表：解析式y＝tan x图象定义域{x|x∈R，且x≠kπ＋错误!，k∈Z｝值域R周期π奇偶性奇单调性在开区间错误!(k∈Z)内都是增函数2.函数y＝tan ωx（ω≠0）的最小正周期是错误!。
思考正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性，请指出其对称特征．答案具有对称性，为中心对称，对称中心为（错误!，0），k∈Z。
题型一正切函数的定义域例1 (1）函数y＝tan(sin x)的定义域为 ,值域为．答案R[tan（－1），tan 1］解析因为－1≤sin x≤1，所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1，所以y＝tan（sin x）的定义域为R，值域为［tan（－1），tan 1]．（2）求函数y＝tan(2x－错误!）的定义域．解由2x－错误!≠错误!＋kπ,k∈Z得，x≠错误!π＋错误!kπ，所以y＝tan（2x－错误!)的定义域为｛x|x≠错误!＋错误!kπ，k∈Z｝．跟踪训练1 求函数y＝错误!＋lg（1－tan x)的定义域．解由题意得错误!即－1≤tan x〈1.在错误!内，满足上述不等式的x的取值范围是错误!.又y＝tan x的周期为π，所以所求x的范围是［kπ－错误!，kπ＋错误!)（k∈Z)即函数定义域是错误!(k∈Z）．题型二求正切函数的单调区间例2 求函数y＝tan错误!的单调区间及最小正周期．解y＝tan错误!＝－tan错误!，由kπ－错误!〈错误!x－错误!<kπ＋错误!（k∈Z），得2kπ－错误!<x<2kπ＋错误!π，k∈Z，∴函数y＝tan错误!的单调递减区间是错误!,k∈Z.周期T＝错误!＝2π。
正切函数的性质与图像(基础知识+基本题型)(含解析)
5.4.3 正切函数的性质与图像（基础知识+基本题型）知识点一 正切函数的性质 1、定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ2、值域：R从单位圆上的正切线可知，当()Z k k x ∈+<ππ2且无限接近于ππk +2时，x tan 无限增大，记作+∞→x tan （x tan 趋向于正无穷大）；当()Z k k x ∈->ππ2且无限接近于时，x tan 无限减小，记作-∞→x tan （x tan 趋向于负无穷大）.因此x tan 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值.称Zk k x ∈+-=,2ππ为正切函数图像的渐近线.3、周期性：由诱导公式可知，()Z k k x R x x x ∈+≠∈=+,2,,tan tan πππ.因此正切函数是周期函数，周期为π.拓展：函数()()0,0tan ≠≠+=ωϕωA x A y 的最小正周期ωπ=T . 4、奇偶性： 正切函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ，关于原点对称，由于()()()x x x --=-cos sin tan =x xxtan cos sin -=-，故正切函数是奇函数. 5、单调性单位圆中的正切线如图所示.ππk +-2利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性，可得下表：故正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2和⎪⎭⎫⎝⎛2,2上均为增函数，由周期性，可知正切函数的单调区间为⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2()Z k ∈.6、对称性：正切函数时奇函数，其图像关于原点对称，所以正切函数的图像是中心对称图形，不是轴对称图形，且其对称中心为().0,2Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛π 警示：正切函数x y tan =在⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2()Z k ∈内是单调递增函数，但不能说函数在其定义域内是单调递增函数.知识点二 正切函数的图像类比正弦函数的图像的作法，作正切函数x y tan =，⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππx 的图像的步骤：(1)所示，建立平面直角坐标系，在x 轴的负半轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆. (2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的正切线.(3)在x 轴上，把⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点在x 轴上的位置.(4)把角x 的正切线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合.(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到x y tan =，⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππx 的图像.现在我们作出了正切函数一个周期上的图像，根据正切函数的周期性，把上述的图像向左、右扩展，就可以得到正切函数x y tan =，Z k k x R x ∈+≠∈,2,ππ的图像，我们把它叫做正切曲线(如图1.4—16所示).它是由被无数条直线()Z k k x ∈+=ππ2所隔开的无数支曲线组成的.【拓展】画函数⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2,tan ππx x y 上的简图时，可采用“三点两线”法，即可以先描三点(,1),(0,0),(,1)44ππ--，再画两条平行的虚线,22x x ππ=-=，最后连线. 这两条虚线实质是正切函数图像的两条渐近线.考点一 正切函数图像的应用【例1】当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈23,23ππx 时，确定方程0sin tan =-x x 的根的个数.解：将方程变形为,sin tan x x =令x y x y sin ,tan ==在同一平面直角坐标系中，首先作出x y sin =与x y tan =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内的图像，需要明确⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时，有.tan sin x x x <<然后利用对称性作出⎪⎭⎫⎝⎛-∈23,23ππx 时的两个函数的图像，如图1.4-18所示，由图像可知它们有三个交点.所以方程有三个根.讨论方程根的个数，对于不易解答的方程，可对方程适当变形，转化为两个函数图像的交点个数问题,通过图像法求解问题,简单易行，还可以避免繁杂的运算.考点二 正切函数的定义域与值域 【例2】 (1)求函数33tan -=x y 的定义域; (2) 求函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+-=3,3,5tan 2tan 2ππx x x x f 的值域.解：(1)由题意，知6tantan π≥x .作出正切函数的图像如图所示，可知Z k k x k ∈+<≤+,26ππππ.故函数的定义域为 |,62x k x k k z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭.(2)由 [,],33x ππ∈-知tan [,],33x ππ∈- 令tan t x =，则[t ∈ ，所以原函数可化为 22()25(1)4f t t t t =-+=-+ 故当 1t = ，即4x π=，min ()=(1)=4f t f ，即()min 4f x =当t=-，即3x π=-时，()(358f t f ==+=+max ()=8f x +所以函数f(x)的值域为 [4,8+求函数的定义域一般转化为解不等式(组).而解有关三角函数的不等式一般有两种方法，一是利用三角函数线，先借助于单位圆在平面直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数的图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集，利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性，这是数形结合思想方法的一个具体应用.考点三 利用正切函数的单调性比较大小【例3 】不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小。
正切函数图像与性质
o
知识点二 正切函数的图象
接下来，将上述图像向左、向右扩展，就可以得到正切函数的图象。
注：
1.渐进线: x= k , k Z ；
2
2.对称性对称轴、对称中心
正切函数没有对称轴；
正切函数有对称中心；
正切曲线
正切函数的对称中心( k ,0),k Z.
2
3.能否找出一个单调递减区间？
思考
我们能用“五点法”简便地作出正弦函数与余弦函数的简图， 那能否类似的作出正切函数y tan x, x ( , )的简图？怎么作？
总结归纳
运用正切函数的单调性比较大小的步骤: 1.判断正负、判断角是否在同一单调区间内; 2.利用周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内; 3.运用正切函数的单调性比较大小关系。
2 12 2 12
类型二 正切函数的性质及其应用
变式 求函数f (x)= tan( 1 x)的单调区间.
42
解:
f
(x)
tan(
1 x) tan(1 x ),
42
24
由k 1 x k , k Z
22 4
2
得2k x 2k 3 , k Z.
2
2
所以函数f (x)的单调递减区间为(2k ，2k 3 ), k Z.
ห้องสมุดไป่ตู้22
两线三点法
两线: x ，x
2
2
三点: ( , 1) ，(0, 0) ，( ,1)
4
4
正 切 函 数 图 像
性质 :
⑴ 定义域：
{x | x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：具有周期性
T
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
正切函数的图像和性质
（1）正切函数的图像：
（2）正切函数的性质：
定义域：x
|
x
2
k
,
k
Z
值域：全体实数R
周期性：正切函数是周期函数，
最小正周期为
奇偶性：奇函数，
单调性：正切函数在开区间 k, k ,k Z
2 2
内都是增函数。
本节课学习了哪一种数学方法解 题？
利用正切函数单调性比较大小
3．tan 1°与tan 1从小到大的关系是 ________．
【答案】tan 1°＜tan 1
比较正切值的大小
【例 2】 比较 tan－147π与 tan－252π的大小． 【解题探究】利用诱导公式化简函数的表达式，自变量在 正切函数的同一个单调区间内，即可判断大小．
B.xx∈R且x≠kπ＋4π，k∈Z
C.xx∈R且x≠kπ＋2π，k∈Z
D.xx∈R且x≠kπ－4π，k∈Z
【答案】A
例6
（2）周期性
y tan x
2 3
利用正切函数图像解不等式问题
课本P46 A 9 (1) 1 tan x 0
方法（1）在
2
,
2
内找到相应的范围
（2）在两边加上 k
利用几何画板探究 资料书P26 4 例3.求下列函数的周期.
(2)y tan x
3
3
2
2
2
资料书P26例题
3．函数 y＝|tan 2x|是( )
ห้องสมุดไป่ตู้
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正切函数图像及性质 知识点梳理
函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π
例1、求下列函数的定义域：
(1)y ＝11＋tan x
；(2)y ＝lg(3－tan x )．
练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.
例3、求下列函数的周期（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=42tan 3πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42
1tan 3πx y
例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y
练习1、求函数⎪⎭⎫
⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性；
练习2、求函数的单调区间⎪⎭⎫
⎝⎛+-=421
tan 3πx y
课堂练习
1． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π
3在一个周期内的图象是 ( )
2.在区间(－3π2，3π
2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π
2内的图象是 ( )
4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤3
3.
5.下列说法正确的是( )
A.y ＝tan x 是增函数
B.y ＝tan x 在第一象限是增函数
C.y ＝tan x 在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π
2，k π＋π
2(k ∈Z )内是增函数
D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数
6.函数y ＝3tan(2x ＋π
4)的定义域是 ( )
A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}
B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z}
C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z}
D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z}
7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )
A.π2
B.2π
C.π
D.与a 值有关
8.下列各式中正确的是( )
A.tan 4π7＞tan 3π7
B.tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－17π5
C.tan 4＞tan 3
D.tan 281°＞tan 665°
9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( )
A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )
B.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π4(k ∈Z )
C.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )
D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )
10.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________.
11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ＝________.
12.若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是________.
13已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3.
(1)求f (x )的定义域和值域.
(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性.
14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3的值域.。