条件概率公式与全概率公式
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则称这n个事件相互独立. 若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立.
注意 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事 件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.
.
性质 若n个事件相互独立，则 ①它们积事件的概率等于每个事件概率的积.
②它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事 件后，所得的n个事件也是相互独立的。
P(A2| A1).
C
2 7
解法一 P(A： 2| A1)PP(
A1 A2 ( A1 )
)
C
2 10
7
10
7 6
10 9 6 .
7
9
10
百度文库
解法二 P(A2： | A1)96.
.
条件概率的一个重要应用便是下面的乘法公式.
❖二、乘法公式
P (A ) B P (A )P (B |A ) P (B )P (A |B )
加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立, 则
P(A1A2 … An)＝1－P(A1)P(A2) … P(An)
.
例1.2.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的 概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求 电路断电的概率是多少? 解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 ,
A表示电路断电,
则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,
P(A)=P(A1+A2+A3)= 1P(A1A2A3)
1P (A 1)P (A 2)P (A 3)
=1-0.168=0.832
.
练习
1。P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( B |A)=0.4,则P(B)=( ).
.
❖三 、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式 ❖例4 设袋中有3个白球、2个黑球，不放回抽取， 每次到一个，求第三次取出的是白球的概率。
.
推论2 在 A 与 B, A 与 B,A 与 B ， A 与 B这四对事件中,若 有一对独立,则另外三对也相互独立。 证明 不妨设A.B独立,则
P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A) B P (A ) P (A )P (B ) P (A )1 ( P (B ) )P (A )P (B )
P (A 1 A 2A 3 ) P (A 1 A 2)P (A 3|A 1 A 2) P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)
P ( A 1 A 2 A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 |A 1 ) P ( A n |A 1 A n 1 ).
.
事件的独立性
P ( B 1 ) P ( A |B 1 ) P ( B 2 ) P ( A |B 2 ) P ( B 3 ) P ( A |B 3 )
C
2 2
3
C
2 3
1
C
1 3
C
1 2
P (B )
.
把 作 为 条A固 件定 的， 事 P(B可 件 |A)也 证是 概 因 此 它 具 备性 概质 率。 的 一 切
如 P (A B |C ) P (A |C ) P (B |C ) P (A|C B )
P(A| B)1P(A| B).
P(A|C)1P(A|C) 但是，需要注意，一般地 P(A|B )P (A|B)1
P [ A |( B C ) ] P ( A |B ) P ( A |C )
.
❖例3 设在10个统一型号的元件中有7个一等品， 从这些元件中不放回地连续取两次，每次取一个元 件，求在第一次取得一等品的条件下，第二次取得 的也是一等品的概率。
解：Ai： 设“i次 第取得的是一i等 1,2， 品则 ”所 ，求
❖解：记 A：“第三次取出的是白球”
B1：“前两次取出的全为黑球” A2：“前两次取出的全为白球”
B3：“前两次取出的为黑一球一白球” 则 (1)B1B2B3； (2)B1、 B2、 B3两两互不相 AAA(B1B2B3)A1BA2BA3B 且 A1B 、 A2B 、 A3B 两两互不相容
.
P (A )P (A1)B P (A2)B P (A3)B
.
例2 10个人为两张球票抽签，依次抽取，取后不 放回，若已知第一个人抽到球票，求第2个人也 抽到球票的概率。
解1：设A=“第一个人抽到球票”。 B=“第二个人抽到球票”。
1
则所求为
9
记为 P ( B A)
.
定义P(： B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事B 件 发生的条件概(率 P(A) 0). 类 似 P (A |B 有 )P (A),B (P (B )0).
条件概率公式与全概率公式
郑永冰
数学与数量经济学院
.
❖ 一、条件概率
❖简单地说，条件概率就是在一定附加条件之下 的事件概率. ❖从广义上看，任何概率都是条件概率，因为任 何事件都产生于一定条件下的试验或观察。
❖但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条件之 外的附加信息，这种附加信息通常表现为“已知某某 事件发生了” 。
例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件 正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.
记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则 P(B| A)P(B)7 10
由乘法公式即得 P(AB)=P(A)P(B)
从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现 的概率彼此不受影响.
.
定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。
注意 从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出 现的概率不受另一个事件出现与否的影响.
推论1
A.B为两个事件,若P(A)>0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B).
若P(B)>0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).
证明：A.B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B)
其他类似可证.
注意 判断事件的独立性一般有两种方法: ① 由定义判断,是否满足公式; ② 由问题的性质从直观上去判断.
.
定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事件A1,A2,…,An,若对任何正整数 m(2≤m≤n)以及
1 i1 i2 im n ,都有 P （ A i1A i2 A im )P （ A i1)P (A i2) P (A im )
注意 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事 件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.
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性质 若n个事件相互独立，则 ①它们积事件的概率等于每个事件概率的积.
②它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事 件后，所得的n个事件也是相互独立的。
P(A2| A1).
C
2 7
解法一 P(A： 2| A1)PP(
A1 A2 ( A1 )
)
C
2 10
7
10
7 6
10 9 6 .
7
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百度文库
解法二 P(A2： | A1)96.
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条件概率的一个重要应用便是下面的乘法公式.
❖二、乘法公式
P (A ) B P (A )P (B |A ) P (B )P (A |B )
加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立, 则
P(A1A2 … An)＝1－P(A1)P(A2) … P(An)
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例1.2.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的 概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求 电路断电的概率是多少? 解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 ,
A表示电路断电,
则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,
P(A)=P(A1+A2+A3)= 1P(A1A2A3)
1P (A 1)P (A 2)P (A 3)
=1-0.168=0.832
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练习
1。P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( B |A)=0.4,则P(B)=( ).
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❖三 、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式 ❖例4 设袋中有3个白球、2个黑球，不放回抽取， 每次到一个，求第三次取出的是白球的概率。
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推论2 在 A 与 B, A 与 B,A 与 B ， A 与 B这四对事件中,若 有一对独立,则另外三对也相互独立。 证明 不妨设A.B独立,则
P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A) B P (A ) P (A )P (B ) P (A )1 ( P (B ) )P (A )P (B )
P (A 1 A 2A 3 ) P (A 1 A 2)P (A 3|A 1 A 2) P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)
P ( A 1 A 2 A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 |A 1 ) P ( A n |A 1 A n 1 ).
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事件的独立性
P ( B 1 ) P ( A |B 1 ) P ( B 2 ) P ( A |B 2 ) P ( B 3 ) P ( A |B 3 )
C
2 2
3
C
2 3
1
C
1 3
C
1 2
P (B )
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把 作 为 条A固 件定 的， 事 P(B可 件 |A)也 证是 概 因 此 它 具 备性 概质 率。 的 一 切
如 P (A B |C ) P (A |C ) P (B |C ) P (A|C B )
P(A| B)1P(A| B).
P(A|C)1P(A|C) 但是，需要注意，一般地 P(A|B )P (A|B)1
P [ A |( B C ) ] P ( A |B ) P ( A |C )
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❖例3 设在10个统一型号的元件中有7个一等品， 从这些元件中不放回地连续取两次，每次取一个元 件，求在第一次取得一等品的条件下，第二次取得 的也是一等品的概率。
解：Ai： 设“i次 第取得的是一i等 1,2， 品则 ”所 ，求
❖解：记 A：“第三次取出的是白球”
B1：“前两次取出的全为黑球” A2：“前两次取出的全为白球”
B3：“前两次取出的为黑一球一白球” 则 (1)B1B2B3； (2)B1、 B2、 B3两两互不相 AAA(B1B2B3)A1BA2BA3B 且 A1B 、 A2B 、 A3B 两两互不相容
.
P (A )P (A1)B P (A2)B P (A3)B
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例2 10个人为两张球票抽签，依次抽取，取后不 放回，若已知第一个人抽到球票，求第2个人也 抽到球票的概率。
解1：设A=“第一个人抽到球票”。 B=“第二个人抽到球票”。
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则所求为
9
记为 P ( B A)
.
定义P(： B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事B 件 发生的条件概(率 P(A) 0). 类 似 P (A |B 有 )P (A),B (P (B )0).
条件概率公式与全概率公式
郑永冰
数学与数量经济学院
.
❖ 一、条件概率
❖简单地说，条件概率就是在一定附加条件之下 的事件概率. ❖从广义上看，任何概率都是条件概率，因为任 何事件都产生于一定条件下的试验或观察。
❖但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条件之 外的附加信息，这种附加信息通常表现为“已知某某 事件发生了” 。
例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件 正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.
记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则 P(B| A)P(B)7 10
由乘法公式即得 P(AB)=P(A)P(B)
从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现 的概率彼此不受影响.
.
定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。
注意 从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出 现的概率不受另一个事件出现与否的影响.
推论1
A.B为两个事件,若P(A)>0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B).
若P(B)>0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).
证明：A.B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B)
其他类似可证.
注意 判断事件的独立性一般有两种方法: ① 由定义判断,是否满足公式; ② 由问题的性质从直观上去判断.
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定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事件A1,A2,…,An,若对任何正整数 m(2≤m≤n)以及
1 i1 i2 im n ,都有 P （ A i1A i2 A im )P （ A i1)P (A i2) P (A im )