【期中数学】姜堰中学、如东中学、沐阳如东中学2021届高三联考(学生版)

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2021届江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学高三上学期联考数学试题(解析版)

2021届江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学高三上学期联考数学试题一、单选题1．若集合()(){}160A x x x =-->，{}20B x x =->，则A B 等于（）A ．{}6x x > B ．{}|12x x << C ．{}|1x x <D ．{}|26x x <<【答案】C【分析】先分别解出集合A 与集合B ，然后求解A B .【详解】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 化简集合A ，B ，然后计算AB 即可.解：()(){}160{6A x x x x x =-->=>或1}x <，{}20{|2}B x x x x =->=<，则{}|1AB x x =<.故选：C【点睛】本题考查交集的运算，根据交集的概念计算即可，属于简单题. 2．若(12)2z i i -=+，则复数z =（） A ．1- B ．i -C ．1D ．i【答案】D【分析】本题根据复数的除法运算直接计算即可. 【详解】解：因为(12)2z i i -=+，所以2(2)(12)512(12)(12)5i i i iz i i i i +++====--+ 故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算，是基础题.3． “0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先将根据函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数求参数0a =，判断前后两个条件相互等价，即可解题.【详解】解：∵函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，∴(0)0f =即2sin0cos 00a +=，解得：0a =， ∴ 0a =⇔函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，∴“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的充要条件. 故选：C .【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数、判断p 是q 的什么条件，是中档题. 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618≈称为黄金分割比例)，已知一位美女身高154cm ，穿上高跟鞋后肚脐至足底的长度约100cm ，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是（）（结果保留一位小数） A ．7.8cm B ．7.9cmC ．8.0cmD ．8.1cm【答案】A【分析】设该美女穿的高跟鞋为xcm ，则总高为()154x cm +，根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可.【详解】设该美女穿的高跟鞋为xcm ，则总高为()154x cm +则15410010.6181002x +-=≈，解得：7.8x ≈，故选：A.5．已知函数()(xx f x ee e -=-为自然对数的底数)，若0.50.50.70.7log 0.7log 5a b c -===，，，则（）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】D【分析】先根据指数函数，对数函数的性质得a b c >>，再根据函数()xx f x e e -=-在R 上单调递减求解. 【详解】因为()0.50.50.70.71log 0.701log 50a b c -=>=∈=<，，，.所以a b c >>，又函数()xx f x ee -=-在R 上单调递减，所以()()()f a f b f c <<，故选：D.6．已知向量()2a m =-，，()12b =-，，()15c m =+，，若a b ⊥，则a 与b c +的夹角为（） A ．4πB ．34π C ．23π D ．3π 【答案】B【分析】根据向量垂直求出m ，进而求出a 与b c +的坐标，然后由数量积公式计算即可.【详解】因为()2a m =-，，()12b =-，，a b ⊥， ·220a b m ∴=--=，解得1m =-，()21a ∴=--，，()()1505c m =+=，，， ()13b c +=，，设a 与b c +的夹角为0απ，，则()()·cos 5a b ca b c α+===⨯+34πα=. 故选：B.7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（） A ．12B ．2C ．14D ．4【答案】D【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可.【详解】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，，依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得：22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅， 123cos 4F AF ∠=， 22223142242c a a a ∴=-⨯=，22218c e a ∴==，解得e =故选：D .【点睛】本题考查椭圆的几何性质，在12F AF 中，利用余弦定理求得22142a c =是关键，属于中档题.8．已知函数()()()2ln 14f x x x ax =-+-.若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a的值为（） A ．3 B ．14e e-C ．4e e- D ．4e e-【答案】C【分析】通过分析函数ln 1y x =-与24(0)y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有相同的零点，从而可建立关系式，求出a 的值. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为0,，且()0f x ≥恒成立，当0e x <<时，函数ln 10y x =-<；当e x >时，函数ln 10y x =->；当e x =时，ln 10y x =-=，所以当0e x <<时，函数240y x ax =+-<；当e x >时，函数240y x ax =+->；当e x =时，240y x ax =+-=，所以2e e 40a +-=，解得4e ea =-. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的图象的综合应用，考查不等式的恒成立问题.解题关键是分析函数ln 1y x =-与24(0)y x ax x =+->的图象，当0e x <<时，两个函数图象都在x 轴下方；当e x >时，两个函数图象都在x 轴上方；当e x =时，两个函数值都为0，从而可得到关系式，求出a 的值，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.二、多选题9．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列命题正确是（） A ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ； B ．若l α⊥，αβ⊥，则l β//； C ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥； D ．若l m ⊥，m α⊥，则//l α.【答案】AC【分析】对于A ，由线面垂直的性质定理判断；对于B ，由线面的位置关系判断；对于C ，由面面垂直的判定定理判断；对于D ，若由线面的位置关系判断.【详解】对于A ，若l α⊥，l β⊥，由线面垂直的性质定理得//αβ，故正确；对于B ，若l α⊥，αβ⊥，则l β//或l β⊂，故错误；对于C ，若l //α，l β⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故正确；对于D ，若l m ⊥，m α⊥，则//l α或l α⊂，故D 错误；故选：AC.10．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误；对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数取得极大值1222t =+⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.11．已知点()()1,0,1,0A B -，若圆()()2221221x a y a -++--=上存在点M 满足3MA MB ⋅=，则实数a 的值为（）A ．2-B ．1-C ．2D ．0【答案】BD【分析】设点(),M x y ，由平面向量数量积的坐标表示可得M 的轨迹方程为224x y +=，结合圆与圆的位置关系即可得解.【详解】设点(),M x y ，则()()1,,1,MA MB x y x y =---=-+-，所以()()2113MA MB x x y =⋅---++=，所以M 的轨迹方程为224x y +=，圆心为()0,0，半径为2，由此可知圆()()2221221x a y a -++--=与224x y +=有公共点，又圆()()2221221x a y a -++--=的圆心为()21,22a a -+，半径为1，所以13≤≤，解得112a -≤≤. 故选：BD .【点睛】解决本题的关键是求出点M 的轨迹方程和转化问题为圆与圆的位置关系，细心计算即可得解.12．已知函数2222()4()()x x f x x x m m e e --+=-+-+有唯一零点，则m 的值可能为（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】BC【分析】由已知可得()4()f x f x -=，所以()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m ee x m m e e --+--+=-+-+=--+-+，令2t x =-，则22()4()()ttg t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t g t t m m e e g t --=--+-+=，故函数()g t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称，要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =，即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2，故选：BC ．【点睛】该题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于较难题目.三、填空题13．曲线2()1x f x xe x =+-在0x =处的切线方程为_________．【答案】10x y --=【分析】先求导数，求得()0f 的值，并利用导数求得()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】()2x xf x e x e x =+⋅+'，(0)1f =-，根据导数的几何意义可知曲线在点(0,1)-处的切线斜率为(0)1k f '==， ∴切线方程为1y x +=，即10x y --=．故答案为：10x y --=.【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.14．在四边形ABCD 中， 6.AB =若2133DA CA CB →→→=+，则AB DC →→⋅=__________.【答案】12【分析】由题意和平面向量的运算法则可知13DC DA AC AB →→→→=+=，再利用向量的数量积的运算求解，即可求解. 【详解】根据题意，如图，在AB 上取一点E ，使13AE AB →→=，则有11213333CE CA AE CA AB CA CB CA CA CB →→→→→→→→→→⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，又由2133DA CA CB →→→=+，则有CE DA →→=，所以四边形AECD 为平行四边形，则有13DC AE AB →→→==，又由6AB =，则2111·3612333AB DC AB AB AB →→→→→⋅===⨯=；故答案为：12.【点睛】本题关键要处理好向量的线性运算，将向量DC →转化为AB →表示，以便利用已知条件6AB =，进而求解.15．意大利画家列奥纳多⋅达⋅芬奇()1452.4?1519.5的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达⋅芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：()cos xf x a ha=，其中a 为悬链线系数，cos hx 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cos 2x xe e hx -+=，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sin .2x xe e hx --=若直线()0x m m =<与双曲余弦函数1C 与双曲正弦函数2C 分别相交于点A B ，，曲线1C 在点A 处的切线1l ，曲线2C 在点B 处的切线2l 相交于点P ，且PAB △为钝角三角形，则实数m 的取值范围为__________.【答案】1,52)2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求导得到函数的导函数，计算切线方程得到交点坐标()1,mP m e+，计算向量的数量积得到A ∠，B 均为锐角，P ∠为钝角，故()221104m me e -+-<，解得答案. 【详解】由题可知：()12m mA m e e-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，()12m m B m e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ()=cos 2x x e e g x hx -+=，则()=2x xe e g x -'-，()=2m m e e g m -'-，则1l ：()()122m m m m e e y x m e e --=-++-，同理2l ：()()122m m m m e e y x m e e --=--++，故()1,m P m e +，所以()()()1101122mm m m m AB e AP e e BP e e ---⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，于是()()()2222111111224m m m m AB AP e BA BP e PA PB e e ---=-=⋅⋅⋅+=+-，，，因为0m <，所以00AB AP BA BP ⋅>⋅>，，所以A ∠，B 均为锐角，从而P ∠为钝角.由()221104m m e e -+-<得：)212ln 22m e m <<，得，故实数m 的取值范围为1,2)2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,2)2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了根据三角形形状求参数，属于较难题. 方法点睛：当三角形中A ∠为钝角时，转化为0AB AC ⋅<；当三角形中A ∠为直角时，转化为0AB AC ⋅=；当三角形中A ∠为锐角时，转化为0AB AC ⋅>；四、双空题16．如图，已知点M ，N 分别为平行六面体1111ABCD A B C D -的棱1BB ，11B C 的中点，设AMN ∆的面积为1S ，平面AMN 截平行六面体1111ABCD A B C D -所得截面面积为S ，五棱锥1A BMNC C -的体积为1V ，平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1VV=__________，1SS=__________.【答案】72413【分析】第一空可由点A到平面1BMNC C的距离等于平面11ADD A到平面11BCC B的距离，然后用锥体和柱体的体积公式计算即可，第二空则需运用面面平行的性质定理补全截面，然后用面积公式处理.【详解】因为点A到平面1BMNC C的距离等于平面11ADD A到平面11BCC B的距离，所以设该距离为d，则11111111111111111111·7 38·33324BMNC C BCC B BCC BBMNC C BCC B B MNBCC B BCC B BCC B BCC BS d S SS S SVV S d S S S--=====；因为平面11//BCC B平面11ADD A，所以平面AMN与平面11BCC B和平面11ADD A的交线相互平行，又因为平面AMN⋂平面11BCC B MN=，且MN分别为各自所在棱的中点，所以平面AMN⋂平面111ADD A AD=，所以平面AMN截平行六面体所得截面为梯形1AMND，设梯形1AMND 的高为h ，所以()()11111122113222AMN AMND MN h MN h S S S S MN AD h MN MN h ====++. 故答案为：724；13.五、解答题 17．在b a =①2sin tan b A a B =②，()()sin sin sin a c A c A B b B -++=③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足______. （1）求角B ；（2）若2a c b +=，且ABC ∆外接圆的直径为2，求ABC ∆的面积. 【答案】选择见解析；（1）3B π=；（2【分析】1（）选①结合正弦定理求解即可；选②由同角三角函数的基本关系和正弦定理化简即可；选③由正弦定理和余弦定理求解即可； 2（）利用余弦定理求出3ac =，再用三角形面积公式1sin 2S ac B =求解即可. 【详解】1（）选①，由正弦定理得sin sin B A =， sin 0A ≠，cos 1B B -=，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0B π<<，5666B πππ∴-<-<，66B ππ∴-=，3B π∴=；选②，2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a Bb A B =，由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos BB A A B=⋅，sin 0A ≠，1cos 2B ∴=，(0,)B π∈，3B π∴=选③，sin()sin()sin A B C C π+=-=，由已知结合正弦定理可得()22a c a cb -+=，222a cb ac ∴+-=，2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴===， (0,)B π∈，3B π∴=.2（）设ABC 的外接圆半径为R ，则1R =，2sin b R B ==，由余弦定理得()22222cos33b ac ac a c ac π=+-=+-，即3123ac =-，所以3ac =，所以ABC 的面积为：1sin 2S ac B == 【点睛】关键点点睛：在正余弦定理和三角形面积的计算中，不需要计算,a c 具体的值，只需要计算ac 即可，可以简化计算，快速得到答案.18．已知O 为坐标原点，()22sin 1OA x =，，()1cos 1OB x x =-+，，()112f x OA OB =-⋅+.（1）求()y f x =的单调减区间；（2）将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移6π个单位后，所得图象对应的函数为()g x ，且263ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，563ππβ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，()35g α=，()45g β=-，求()cos 22αβ-的值.【答案】（1）单调减区间是()263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，；（2）527625. 【分析】（1）由数量积坐标表示公式，结合二倍角公式与辅助角公式得到函数()y f x =的解析式，再由3222262k x k πππππ+≤+≤+解不等式求解即可；（2）根据图象变换规则求出()g x ，先求出()sin sin 33ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用二倍角的余弦公式，即可求cos 2()1αβ--的值．【详解】(1)由题得，()21sin cos 2f x x x x =-+cos2sin 226x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，令3222262k x k πππππ+≤+≤+得263k x k ππππ+≤≤+，所以()y f x =的单调减区间是()263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，；(2)将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍得到sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图象向左平移6π个单位后得到()sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()35g α=，()45g β=-即3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4sin 35πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭因为263ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，，563ππβ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以32ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，032ππβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以4cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3cos 35πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 33ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 3333ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33447555525⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()227527cos 2212sin12()25625αβαβ-=--=--=. 【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解19．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形，AD DE =，090ADE ∠=，0120ADC DCB ∠=∠=.(1)证明：平面ABCD ⊥平面EDCF ； (2)求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（25【分析】（1）证明面面垂直，在证明的过程中，利用常规方法，抓住面面垂直的判定定理，找出相应的垂直关系证得结果；（2）求的是线面角的正弦值，利用空间向量，将其转化为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值，从而求得结果. 【详解】（1）证明：因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，AD ，CD ⊂平面ABCD ，且AD CD D =，所以DE ⊥平面ABCD ，又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF .（2）解：由已知//,DC EF DC ⊄平面ABFE ，EF ⊂平面ABFE ，所以//DC 平面ABFE .又平面ABCD平面ABFE AB =，故//AB CD .所以四边形ABCD 为等腰梯形.又AD DE =，所以AD CD =，得AD BD ⊥，令1AD =，如图，以D 为原点，以DA 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，132F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0B ，所以33,12FA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0DB =，132DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n DBn DF⎧⋅=⎨⋅=⎩所以30,130,2yx yz⎧=⎪⎨-++=⎪⎩取2x=，则0y=，1z=，得()2,0,1n=，5cos,25FA nFA nFA n⋅===⨯.设直线与平面BDF所成的角为θ，则5sinθ=.所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为5.【点睛】本题在解题的过程中，第一问用的是常规法，第二问用的是空间向量法，既然第二问要用空间向量，则第一问也可以用空间向量的数量积等于零来达到证明垂直的条件，所以解题方法是不唯一的.20．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2 人，求至少有1 位消费者，其去年的消费金额超过4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：会员等级消费金额普通会员2000预计去年消费金额在(] 0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(]1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(] 3200,4800内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由. 【答案】（1）1933（2）预计方案2投资较少.详见解析【分析】（1）由题意，随机变量X 的可能值为“0,1,2”，得(1)(1)(2)P X P X P X ≥==+=，即可求解．（2）根据方案1求得按照方案1奖励的总金额14900元，又由方案2：得到η的可能值为“0,200,300”，求得其概率，列出分布列，求得按照方案2奖励的总金额，比较得到答案．【详解】（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有X 人，则X 的可能值为“0，1，2”，∴()()()112P X P X P X ≥==+== 11284422121216319333333C C C C C +=+=. （或者()()2821219110133C P X P X C ≥=-==-=.（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：28257100⨯=，602515100⨯=，12253100⨯=， ∴按照方案1奖励的总金额为：1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=元，方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能值为“0，200，300”，∵摸到红球的概率：121525C P C ==，∴()030323055P C η⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12132********C ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2123233620055125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333283005125P C η⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴η的分布列为∴81368020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=元， ∴按照方案2奖励的总金额为：()22826031276.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=元，∵方案1奖励的总金额1ξ多于方案1奖励的总金额2ξ， ∴预计方案2投资较少.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.21．已知椭圆22143x y E +=：的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在直线4m x y +=：上且不在x 轴上，直线1PF 与椭圆E 的交点分别为A 、B ，直线2PF 与椭圆E 的交点分别为C 、D ．（1）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，求1235k k -的值；（2）问直线m 上是否点P ，使得直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率OA k ，OB k ，OC k ，OD k 满足0OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2；（2）存在；点P 的坐标是()04，或26⎛--⎝⎭或26⎛- ⎝⎭. 【分析】（1）由椭圆的标准方程可得焦点坐标，设点()004,P x x -，由斜率公式化简即可得解；（2）按照1PF 、2PF 的斜率是否都存在讨论，当斜率均存在时，设直线方程，联立方程结合韦达定理可得120k k +=或123k k =，再代入斜率公式即可得解.【详解】（1）由条件知()()121,0,1,0F F -，设点()004,P x x -，则00120044,11x x k k x x --==+-，所以()()00012000315182352444x x x k k x x x +---=+==---；（2）设存在点()00,P x y 符合条件，当直线1PF 的斜率不存在或直线2PF 的斜率不存在时，则0,0OA OB OC OD k k k k +=+=，不合题意；当直线1PF 、2PF 的斜率均存在时，设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，则直线1PF ：()11y k x =+，直线2PF ：()21y k x =-，设()()1122,A x y B x y ，，，联立()1231143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22221113484120k x k x k +++-=，0∆>，所以2211121222118412,3434k k x x x x k k --+==++，所以()()()1112112121121212112OA OB k x k x k x x y y k k k x x x x x x ++++=+=+=+ ()21111221126233k k k k k k --=+=--，同理可得22263OC OD k k k k -+=-，由0OA OB OC ODk k k k +++=得()()()()11122222122212636603333k k k k k k k k k k ---=--++=--，所以120k k +=或123k k =，又00120044,11x x k k x x --==+-，所以000044011x x x x --+=+-或000044311x x x x --⨯=+- 解得04(x =舍去)，00x =，02x =--，02x =-+，所以点P 的坐标是()04，或26⎛-+ ⎝⎭或26⎛-- ⎝⎭. 【点睛】解决本题的关键是设出所需点的坐标，结合韦达定理求得直线斜率的关系，利用斜率公式可得点P 的横坐标，整个过程中要注意运算的准确性. 22．已知函数()()3252f x ax x bx a b R =-+∈，，其导函数为()f x '，且()()11116f f '=+. （1）求a 的值；（2）设函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，求b 的取值范围，并证明过两点()()11P x f x ，，()()22Q x f x ，的直线m 恒过定点，且求出该定点坐标；（3）当1b >时，证明函数()()231g x f x x x =+--在R 上只有一个零点.【答案】（1）13a =；（2）254b <；证明见解析；定点5125424⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（3）证明见解析.【分析】(1)由导数运算可得a 的值；(2)由题设知，12x x ，是方程()'0f x =的两个根，得254b <，化简()()111542566f x b x b =-+，同理可得()()221542566f x b x b =-+，因此，直线m 的方程是()1542566y b x b =-+，整理可得定点坐标； (3)先得出()()32111132g x x x b x =++--，分0x ≥和0x <两种情况研究零点即可. 【详解】解：(1)因为()3252f x ax x bx =-+，()235f x ax x b '=-+，所以()()512135f a b f a b ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩'，代入()()11116f f '=+，得5113526a b a b -+=-++，解得13a =； (2)因为()321532f x x x bx =-+，所以()25f x x x b '=-+，由题设知， 12x x ，是方程()0f x '=的两个根，故有()2540b -->，解得254b <，因为2115x x b =-，所以()3211111532f x x x bx =-+()2111115532x x b x bx =--+ 2115263x bx =-+()1152563x b bx =--+()11542566b x b =-+，同理可得()()221542566f x b x b =-+，过两点()()11P x f x ，，()()22Q x f x ，的直线m 的方程是()1542566y b x b =-+，即()()452560b x x y +-+=，由4502560x x y +=⎧⎨+=⎩，解得5125424x y =-=，，所以直线m 横过定点5125424⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (3)由(1)可知()321532f x x x bx =-+，()()231g x f x x x =+-- ()32111132x x b x =++--，当0x ≥时，因为1b >，所以()()2'10g x x x b =++->，故()g x 在区间[)0+∞，上单调递增，又()010g =-<，()1122103g b =-+>（），且()g x 的图像在区间[0,)+∞是不间断的，所以()g x 在区间[)0+∞，上有唯一零点；当0x <时，()()323211*********g x x x b x x x =++--<+-，设()3211132h x x x =+-，则()2'h x x x =+，当()1x ∈-∞-，时，()'0h x >，()h x 单调递增，当()10x ∈-，时，()'0h x <，()h x 单调递减，所以()()5106h x h ≤-=-<，从而()()0g x h x <<，故()g x 在()0-∞，上不存在零点.综上，()g x 在R 上有唯一零点.【点睛】本题考查了导数的运算、利用导数研究函数的极值和导数中的零点问题，是较难题.方法点睛：求直线所过定点时，一般将直线方程转化整理成()0a Ax By Cx Dy +++=的形式，令00Ax By Cx Dy +=⎧⎨+=⎩，解方程组后即可求出定点的坐标.。

江苏省如东中学、姜堰中学、沭阳中学三校2022届高三下学期4月阶段性测试数学试题 (2)

一、单选题二、多选题1. 已知函数，.对于任意，且，都有.则实数的最大值是（）A．B．C．D ．12. 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（）A．B．C．D．3. 双曲线C ：的左右焦点分别为，点P 在双曲线C上，满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点Q，且，则的值等于（）A．B．C ．7D ．84. 已知等比数列的首项为1，若成等差数列，则的前6项的和为（）A ．31B．C．D ．635.已知，则（）A．B．C．D．6. “不等式在上恒成立”的一个充分不必要条件是A．B．C．D．7. 若集合，，则A．B．C．D．8. 已知向量满足：，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．9.已知函数，则下列结论正确的是（）A ．当时，若有三个零点，则b的取值范围为B．若满足，则C ．若过点可作出曲线的三条切线，则D．若存在极值点，且，其中，则10. 已知O 为坐标原点，，，，P ，Q 分别是线段，上的动点，则下列说法正确的是（）A ．点M 到直线的距离为B ．若，则点Q的坐标为C ．点M 关于直线对称的点的坐标为D ．周长的最小值为11. 正方体的棱长为2，，分别是线段，上的点，且满足，是的中点，则（）A ．A ，，，四点共面B．当时，三棱锥的外接球的半径为C ．当时，平面与正方形的交线长为D ．当平面时，江苏省如东中学、姜堰中学、沭阳中学三校2022届高三下学期4月阶段性测试数学试题 (2)江苏省如东中学、姜堰中学、沭阳中学三校2022届高三下学期4月阶段性测试数学试题 (2)三、填空题四、解答题12. （多选）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．是偶函数B ．是偶函数C ．是奇函数D ．是奇函数13.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则__________．14. 已知、都是正数，且，则的最小值是__________．15.已知数列的前n项和为，且，若，则m 的最小值是______.16. 如图所示，四棱锥中，底面ABCD 为矩形，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上，且平面SAB，二面角，均为直二面角．(1)求证：；(2)若，且钝二面角的余弦值为，求AB 的值．17.已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为.(1)若，过点，的直线与抛物线相交于另一点，求的值：(2)若直线与抛物线相交于A，两点，与圆相交于，两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.已知是公比大于0的等比数列，若，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)求的前n 项和.19. 已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)证明函数的图象与x 轴至多有两个交点．20. 已知函数，（）．(1)当时，求函数的极小值点；(2)当时，若对一切恒成立，求实数的取值范围．21. 已知函数，其中是自然对数的底数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．。

江苏省泰州市姜堰区2021届高三上学期期中考试数学 Word版含答案

2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学试题（考试时间：120分钟总分：160分）命题人、审核：姜堰区高中数学工作室留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．．） 1．设集合{1,2},{2,3}A B ==，则A B = ▲ .2．函数()1f x x =-的定义域是 ▲ .3．函数||()2x f x =的值域为 ▲ .4．已知函数()ln f x x =，则导函数值'1()2f =▲ . 5．若3sin 3α=，则cos2α= ▲ .6．在ABC ∆中，若1,2,30AB BC C ==∠=，则A ∠= ▲ . 7．设向量(,1),(1,2)a m b ==，且//a b ，则m = ▲ . 8．已知{}n a 为等差数列，nS 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=，则6S =▲ .9．关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a 的值为 ▲ . 10．函数1(),(1)1f x x x x =+>-的最小值为 ▲ .11．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，若'()2f x y =的图象如图，则函数()f x 的单调增区间为 ▲ .12．在矩形ABCD 中，21AB AD ==，，边DC 上（包含端点）的动点P与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足||||CP BQ =，则PA PQ ⋅的最小值是 ▲ .13．各项均为正数的等比数列{}n a 满足1231,100,1000a a a ≥≤≥，则4a 的取值范围是▲ .14．若实数,,x y z 满足242,424x y z x y z+=+=，则z 的最小值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本题满分14分）已知函数21()sin cos cos 2f x x x x =+-.（1）求()f x 最小正周期；（2）当[0,]4x π∈时，求函数()f x 的值域；（3）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的解析式.16．（本题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知11,2,cos 4a b C ===.（1）求ABC ∆的周长；（2）求cos()A C -的值.17．（本题满分14分）已知函数()42x x f x =-，实数,s t 满足()()0f s f t +=，设22,2s t s ta b +=+=.（1）当函数()f x 的定义域为[1,1]-时，求()f x 的值域；（2）求函数关系式()b g a =（无需求函数()g a 的定义域）.18．（本题满分16分）如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角EFH ∆，其中FE FH ⊥．现将铁片裁剪成尽可能大的直角梯形铁片ABCD (不计损耗) ，////,//AD BC HF AB EF ，且点,A B 在弧EF 上．点,C D 在斜边EH 上,,AD BC 分别交EF 于,M N ．设AOE θ∠=.（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式，并写出其定义域；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为nS ，且23415,16a a S ⋅==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11111,n n n n b a b b a a ++=-=⋅．①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m nb b b 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）已知常数0a >，函数312()4(1),()ln(1)32x f x ax a x g x ax x =--=+-+. （1）当1a =时，求函数()g x 在点(0,(0))g 处的切线方程；（2）争辩()f x 在(0,)+∞上的单调性；（3）若f (x )在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在两个极值点12,x x ，且12()()0g x g x +>，求实数a 的取值范围．（参考公式：'(ln(1))1aax ax +=+）AD OFC HE BθMN2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学参考答案1.{2}2.[1,)+∞3.[1,)+∞4.25.136.907.12 8.6 9.52 10.3 11.(0,)+∞ 或[0,)+∞ 12.3413．46[10,10] 14.25log 33-15．解：2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-)24x π=+ ---4分（1）所以最小正周期22T ππ== ---6分（2）当[0,]4x π∈时，32[,]444x πππ+∈，sin(2)[42x π+∈，所以()f x的值域为2] ---10分（3）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到())]22842g x x x ππ=-+= ---14分16．解：（1）由余弦定理可得，22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以2c = ---4分所以ABC ∆的周长为5. ---6分（2）在ABC ∆中，由于1cos 4C =，所以sin 4C =---7分由正弦定理sin sin a cA C =，可得sin 8A =, ---10分由余弦定理得2227cos 28b c a A bc +-==---12分所以11cos()cos cos sin sin 16A C A C A C -=+=---14分17．（1）令2x t =，当[1,1]x ∈-时，1[,2]2t ∈， --3分函数可化简为2()h t t t =-，可以推断()h t 在1[,2]2上单调递增，所以()h t 的值域为1[,2]4-，即()f x 的值域在[1,1]-的值域为1[,2]4-. --7分（2）由()()0f s f t +=可得42420s s t t-+-=，化简得2(22)22(22)0s t s t s t ++-⋅-+=， --10分由于22,2s t s t a b +=+=，所以220a b a --=，即22a a b -=，2()2a a g a -=. --14分 18．（1）由于,1AOE BOF OA OB θ∠==∠==，所以1cos sin ,1cos sin ,2cos AD BC AB θθθθθ=-+=++= --4分所以()2(1sin )cos ,(0,)22ABCD AD BC AB S πθθθ+⋅==+∈ --7分（2）'22()2[cos (1sin )sin ]2(2sin sin 1)S θθθθθθ=-+=-+- 2(2sin 1)(sin 1)θθ=--+，(0,)2πθ∈ --9分当06πθ<<，'()0,()S S θθ>单调递增,当62ππθ<<，'()0,()S S θθ<单调递减, --12分所以当且仅当6πθ=时，max S =. --16分答：当6πθ=时，梯形铁片ABCD 的面积S最大，最大值为19．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >．由23415,16a a S ==，得111()(2)154616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或172a d =⎧⎨=-⎩（舍去），所以21n a n =- --5分（2）①由于11111,n n n n b a b b a a ++=-=，所以1111111111,()(21)(21)22121n n n n b a b b a a n n n n ++==-===--+-+，所以1121321111(1)23111()235...111(),(2)22321n n b a b b b b b b n n n -==-=--=--=-≥--累加得1111(1)22121n n b b n n --=-=--，所以32,221n n b n n -=≥- --9分11b =也符合上式．故32,21n n b n N n *-=∈-． --10分②假设存在正整数,,()m n m n ≠，使得2,,m nb b b 成等差数列，则22n mb b b +=．又24323131,,321242242n m n b b b n n m -===-=----，所以43131()2()3242242n m +-=---化简得7292711n m n n -==-++ --12分当13n +=，即2n =时，2m =（舍去）；当19n +=，即8n =时，3m =，符合题意．所以存在正整数3m =，8n =，使得2,,m nb b b 成等差数列． --16分20. 解：(1) 当1a =时，'214()=1(2)g x x x -++，当0(0)0x g ==时,所以，()g x 在点(0,0)处的切线方程为0y = --4分（2）由题意可知：'2()4(1)f x ax a =-- 当1a ≥时，'()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． --6分当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a＜0舍去）当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； --8分当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0, 2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增．--10分（3）由（2）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1.又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a，由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )ax ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 --12分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的微小值点和极大值点．而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2 --14分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x ＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x －2，设t ＝－x ∈(0,1)，(t )＝2ln t －2t －2单调递增 ∴(t )＜(1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x －2，∴h (x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1． --16分姜堰区2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学试题（附加题）（考试时间：30分钟总分：40分）命题人、审核人：高中数学工作室留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效. 1．（本题满分10分）已知集合2{|230},{|}A x x x B x x a =--≤=≥. （1）求集合A ；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.2.（本题满分10分）已知向量(4,5cos ),(3,4tan ),(0,)2a b πααα==-∈，若a b ⊥，求：（1）||a b +；（2）cos()4πα+的值.3.（本题满分10分）已知函数22()ln (2)g x m x mx m x =+++，试求()g x 的单调区间； 4．（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学（附加题）参考答案1.解：（1）解不等式2230x x --≤得13x -≤≤，即[1,3]A =-， ---5分（2）由于A B A =，所以A B ⊆，所以1a ≤- ---10分2．由于(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==-，且a b ⊥，所以12-20cos tan 1220sin 0ααα=-=，所以3sin 5α=； ---2分又由于(0,)2πα∈，所以43cos ,tan 54αα==; （1）(4,4),(3,3),|||(7,1)|a b a b ==-+===---4分（2）43cos()(cos sin )()4225510πααα+=-=-=---4分 3.解：由已知条件可得222(2)(2)(1)()mx m x m x m mx g x x x +++++'==， ---2分（1）当0m ≥时，()0g x '≥，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增； ---4分（2）当0m <时，由()0g x '=，得2m x=-或1x m =-，①若m =，则12m m -=-，此时()0g x '≤，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减； ---6分②若0m <<，则12m m -<-，由()0g x '>，解得1(,2m x m ∈--），由()0g x '<，解得10+2m x m ∈--∞（，）（，），所以函数()g x 在1(,2m m --）上单调递增，在02m -（，）与1+m-∞（，）上单调递减； ---8分③若m <12m m ->-，同理可得，函数()g x 在1(,2mm --）上单调递增，在10m -（，）与+2m-∞（，）上单调递减. ---10分综上所述①当0m≥时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；②当m =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减；③当0m <<时，函数()g x 的增区间为1(,2m m --），减区间为02m -（，）与1+m -∞（，）；④当m <()g x 在1(,2m m --）上单调递增，在10m -（，）与+2m-∞（，）上单调递减.4. （1）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ； ---2分设数列{}n b 的首项为1b ，公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，解得3,41==d b ，所以13+=n b n ---5分（2）由（1）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，所以]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，以上两式两边相减得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯+++⋅⋅⋅+-+224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-=+-+=-⋅-.所以223+⋅=n n n T . ---10分。

江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳中学、前黄高级中学2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题

2022届高三年级十二月份阶段性测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡．上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡－并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |log 2(x －1)≤1}，B ＝{x |21－x≥12}，则A ∩B ＝ A ．(－∞，2] B ．(1，2] C ．[1，2] D ．(1，3] 2．命题“ x ∈[1，2]，x 2－2a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是A ．a ≤2B ．a ≥2C ．a ≤4D ．a ≥43．欧拉恒等式：e iπ＋1＝0被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：e i θ＝cos θ＋isin θ(θ∈R )令θ＝π得到的．设复数z ＝e π3i，则根据欧拉公式z 的虚部为A ．32 B ．π3 C ．12D ．1 4．函数f (x )＝2(x －b )2a 的图像如图所示，则A ．a ＞0，0＜b ＜1B ．a ＞0，－1＜b ＜0C ．a ＜0，－1＜b ＜0D ．a ＜0，0＜b ＜1 5．已知a ，b ，c 均为单位向量，且a ＋2b ＝3c ，则a ·c ＝A ．－13B ．13C ．1D ．436．若tan α＝2tan10°，则cos(α－80°)sin(α－10°)＝A ．1B ．2C ．3D ．47．将9个志愿者名额全部分配给3个学校，参加疫情防控常态化宣传活动，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是A ．16B ．18C ．27D ．28 8．对于任意的实数x ∈[1，e]，总存在三个不同的实数y ∈[－1，5]，使y 2xe 1－y－ax －ln x ＝0成立，则实数a 的取值范围是A ．[25e 4，3e )B ．(25e 4，e 2－1e ]C ．(0，25e 4]D ．[25e 4，e 2－3e )二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．电动汽车的推广势在必行，全球新能源汽车行业快速发展．2020年1月到2020年12月某地公共电动车充电桩保有量如下：2020年各月公共充电桩保有量(单位：台)A ．2020年各月公共充电桩保有量一直保持增长态势B ．2020年5月较2020年4月公共充电桩保有量增加超过1万台C ．2020年2月到2020年3月，公共充电桩保有量增幅最大D ．2020年下半年各月公共充电桩保有量均突破45万台10．等比数列{a n }各项均为正数，a 1＝20，2a 4＋a 3－a 2＝0，数列{a n }的前n 项积为T n ，则A ．数列{a n }单调递增B ．数列{a n }单调递减 B ．当n ＝5时，T n 最大 D ．当n ＝5时，T n 最小 11．已知函数f (x )＝3－2sin x ＋sin2x ，则下列结论正确的是A ．函数f (x )是周期函数B ．函数f (x )在[－π，π]上有4个零点C ．函数f (x )的图象关于(π，3)对称D ．函数f (x )的最大值为53212．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1＝3，BD ＝1，直线A 1C 1与BD 所成的角为60°，AA 1＝22，三棱锥A 1－BC 1D 的体积为12，则A ．四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面积为34B ．四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为32C ．四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱与底面所成的角为45° D ．三棱锥A 1－ABD 的体积为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(x ＋13x)2n (n ∈N *)展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为． 14．已知a ＞0，b ＞0，写出一个关于a 与b 的等式，使1a ＋9b 是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为．15．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0))的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的一条渐近线上的一点，且OA ⊥F 1A ，AF 2＝2AF 1，则双曲线C 的离心率为．16．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．现有一张半径为R 的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同．如果把k 次对折后得到的不同规格的图形面积和用S k 表示，由题意知S 1＝πR 22，S 2＝3πR24，则S 4＝；如果对折n 次，则．(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC 边的中垂线交BC 于D ，交AB 于E ，且BE ＝2AE ． (1)求sin B 的值； (2)求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)在①a 3＋a 5＝14，②S 4＝28，③a 8是a 5与a 13的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，其前n 项和T n ＝2n＋λ，λ为常数，a 1＝b 1，． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)令c n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 100的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．(本小题满分12分)垃圾是人类生产和生活中产生的房弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，因此需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个镇进行分析，得到样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个镇的人口(单位：万人)和该镇年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得∑=201i ix＝80，∑=201i iy＝4000，()∑=-2012i ix x ＝80，()∑=-2012i iy y＝8000，()()∑=--201i i i y y x x ＝700．(1)请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的线性相关程度； (2)求y 关于x 的线性回归方程；(3)某机构有两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表：器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年)，以频率估计概率，该镇选择购买哪一－款垃圾处理机器更划算?参考公式：相关系数r ＝()()()()∑∑∑===----n i ni iini iiy yx x y yx x 1121，对于一组具有线性相关关系的数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()∑∑==---=ni ini iix x y yx x b121ˆ，x b y aˆˆ-=．20．(本小题满分12分)如图，已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，F A ⊥底面ABCD ，AF ＝2，且→DE ＝λ→AF (0＜λ＜1)． (1)求证：CE //平面ABF ；(2)若二面角B －CF －E 的大小为3π4，求λ的值．21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，短轴长为22，离心率为22．过右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A 、B 两点，AB 的中垂线交x 轴于点M ，交直线x ＝22于点N ． (1)求C 的方程； (2)求|AB ||FM |的大小； (3)证明：A 、M 、B 、N 四点共圆．22．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x ln x ＋a ，a ＜0． (1)讨论并证明函数f (x )的零点个数；(2)当a ∈(－e ，0)时，试判断函数g (x )＝12x 2ln x －14x 2＋ax 是否有最小值，若有，设最小值为h (a )，求h (a )的值域；若没有，请说明理由．。

专题19 椭圆(客观题)(新高考地区专用)(解析版)

专题19 椭圆（客观题）一、单选题1．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P 是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =A ．2BC ．12D 【试题来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试【答案】B【解析】()()0,,,0B b F c -，则BF b k c=，所以直线:bAP y x b c =+，与椭圆方程联立()222220a c x a cx ++=，所以点P 的横坐标是2222a c x a c =-+，322b y a c=-+，即2322222,a c b P a c a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，222322222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理为6244264321c a c a c a --+=，两边同时除以6a 得64243210e e e --+=，()()2421410ee e -+-=，210e -≠，所以42410e e +-=，得2e =或2e =（舍）．故选B ． 2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切与椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为A ．12B ．13C ．2D ．3【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】D【解析】不妨设()00,M x y 在第一象限，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆右焦点，则0x c =，又M 在椭圆上，则20b y a =，∴圆M 的半径2br a =，MPQ 为正三角形，c r ∴==2220ac +=220e +=，解得3e =．故选D ．【名师点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，求解离心率的关键是能够通过图形中的长度关系构造出关于,a c 的齐次方程，利用齐次方程配凑出离心率e ，解方程求得结果．3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是A ．,12⎤⎢⎥⎣⎦B ．12⎤⎥⎣⎦C ．,22⎣⎦D ．33⎣⎦【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期期中（理）【答案】B【解析】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，因为AF BF ⊥，所以四边形为1AF BF 为矩形，所以12AB FF c == 因为ABF α∠=，所以2sin ,2cos ,AF c BF c αα==由椭圆的定义得22sin 2cos a c c αα=+，所以11sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,4122πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，4πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎣，所以1e ⎤∈⎥⎣⎦，故选B. 【名师点睛】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．4．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，且120AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考【答案】C【解析】连接A ，B 与左右焦点F ，F '的连线，由120AFB ∠=︒，由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF '为平行四边形，60FAF '∠=︒，在三角形AFF '中，()22222cos 3FF AF AF AF AF FAF AF AF AF AF ''''=+-⋅∠=+-⋅，所以()222332AF AF AF AF FF AF AF '+⎛⎫''+-=⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2214AF AF FF ''+≤即221444a c ⋅≤，可得1 2c e a =≥，所以椭圆的离心率1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关椭圆离心率的取值范围的求解问题，解题方法如下：（1）根据题意，结合椭圆的对称性，连接相应点，得到平行四边形；（2）根据平行四边形的性质，得到角的大小；（3）根据余弦定理，列出相应等式，结合椭圆定义以及基本不等式求得结果．5．已知P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且34PA PB k k ⋅=-，则椭圆的离心率为 A ．12B ．13C ．14D．2【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（文）【答案】A【解析】由题可设(),P x y ，()11,A x y ，11,B x y ，则2211122111PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，22221x y a b +=，2211221x y a b+=，两式相减可得222211220x x y y a b --+=，即22212221y y b x x a -=--，2234b a ∴-=-，22234a c a -∴=，12c a ∴=，故选A.【名师点睛】（1）该题来自椭圆的一个小结论：若椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，,A B是该椭圆上关于原点对称的两点，P 为椭圆上异于,A B 的任意一点，则PA PB k k ⋅为定值，为22b a-．（2）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知椭圆22:195x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一个动点，Q 为圆22:108400M x y x y +--+=上一个动点，则1PF PQ +的最大值为 A ．12 B 1+ C ．11D ．18【试题来源】江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高三上学期阶段性抽测二【答案】A【解析】由题意得12(2,0),(2,0)F F -，根据椭圆的定义可得1226PF PF a +==，所以126PF PF =-，又圆22:108400M x y x y +--+=，变形可得22(5)(4)1x y -+-=，即圆心(5,4)M ，半径1r =，所求1PF PQ +的最大值，即求1PF PM r ++的最大值，126PF PM PF PM +=-+，如图所示：当2,,P F M 共线时，2PM PF -有最大值，且为25F M ==，所以126PF PM PF PM +=-+的最大值为5611+=，所以1PF PQ +的最大值，即1PF PM r ++的最大值为11+1=12，故选A7．已知A ､B 分别为椭圆C ：2214x y +=的左､右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA ，PB与直线3x =交于M ，N 两点，PMN 与PAB △的外接圆的周长分别为1L ，2L ，则12L L 的最小值为 ABCD ．14【试题来源】湖南省长郡中学、湖南师大附中、长沙市一中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考【答案】A【解析】由已知得(2,0)A -、(2,0)B ，设椭圆C 上动点(,)P x y ，则利用两点连线的斜率公式可知02-=+PA y k x ，02-=-PA y k x ， ()()22222100142222444---∴⋅=⋅====-+-+---PA PBx y y y y k k x x x x x x 设直线PA 方程为()2y k x =+，则直线PB 方程为()124y x k=--，根据对称性设0k >，令3x =得5M y k =，14N y k =-，即()3,5M k ，13,4-⎛⎫ ⎪⎝⎭k N ，则154MN k k =+ 设PMN 与PAB △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得1sin 2N P r M M N =∠，22sin ABr APB=∠，又180∠+∠=︒MPN APB ，sin sin ∴∠=∠MPN APB111222152424+∴====≥=k L r r MNk L r r ABππ，当且仅当154=k k ，即=k 等号成立，即12L LA 8．若点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，则点M 的轨迹是 A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．线段的中垂线．【试题来源】四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（文）【答案】C【分析】根据M 到12,F F 的距离之和正好等于12F F ，可得M 的轨迹．【解析】()10,1-F ，()20,1F ，122F F ∴=，因为点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，M ∴的轨迹是线段12F F ，故选C ．9．已知椭圆C 经过点()()5004A B -，，，，则椭圆C 的标准方程为 A ．22154x y +=B ．2212516x y +=C ．2211625x y +=D ．221259x y +=【试题来源】西藏日喀则市拉孜县中学2021届高三上学期第二次月考（理）【答案】B【分析】由所给的椭圆上的点为顶点，即可求出椭圆的方程．【解析】因为椭圆C 经过点()()5004A B -，，，，所以5,4a b ==，且焦点在x 轴上，所以椭圆的方程为2212516x y +=，故选B. 10．关于x ，y 的方程()22211ax a y +-=表示的曲线为椭圆的一个充分不必要条件为A ．12a >B ．1a >C ．12a >且1a ≠D ．12a >或0a < 【试题来源】百师联盟2021届一轮复习（二）全国卷III 理数试题【答案】B【分析】根据椭圆的方程可得021021a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，求出a 的取值，再根据充分条件、必要条件的定义即可求解．【解析】若方程()22211ax a y +-=表示的曲线为椭圆，则有021021a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，所以12a >且1a ≠，故选项A 和D 非充分条件，选项C 为充要条件，选项B 为充分不必要条件，故选B ．11．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为AB ．2 C或2D．2【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（理）【答案】A【分析】由1，m ，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．【解析】因为1，m ，9构成一个等比数列，所以m 2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线2xm +y 2=13；当m=﹣3时，圆锥曲线2x m +y 2=1是双曲线，故舍去，则离心率为3．故选A ． 12．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =A ．1 BCD ．2【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学【答案】C【解析】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中，a ，b m =，1c ==，如下图所示：因为椭圆()2222101x y m m m +=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，所以12AF AF a ==，123F AF π∠=，12F AF ∴△为等边三角形，则112AF F F =22a c ===，因此，m ．故选C ．13．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为ABC．2D．2【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题【答案】A【解析】由题设知，()0,B b ，()2,0F c ，所以直线2BF 的方程为1x y c b +=，联立131x c x y c b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，12,33A c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线13x c =与x 轴交于点M ，则143F M c =，23MA b =，因为124AF F π∠=，所以14233F M MA c b =⇒=，即2b c =，所以2224a c c -=，即225a c =，所以2155e e =⇒=，故选A. 14．已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为 A1B1 C．12D．12【试题来源】湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测【答案】A【分析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，则1c OA ==，由21AF FD a +==可得a ，从而可得椭圆的离心率．【解析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，如图由A 、D 为椭圆W 的焦点，则在椭圆中，1c OA ==，由B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则在直角三角形ADF中，DF ===由椭圆的定义可得21AF FD a +==+a =，所以12c e a ===，故选A.15．椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为 A．2B．12CD【试题来源】2021届高三湘豫名校联考（2020年11月）（文）【答案】D【分析】根据12 F F N 为正三角形得到点N 必在x 轴上，即可求出ON ，再根据12MN F F =，即可求出M 点的坐标，代入椭圆方程，根据离心率的公式即可求出离心率．【解析】12F F N 为正三角形，∴点N 必在x 轴上，且1260NF F ∠=︒，1tan60ON OF ∴=︒⋅=，又12MN F F =，),2Mc ∴，又点M在椭圆上，)2222(2)1c ab ∴+=，化简得424810e e -+=，解得2e ==，又01e <<，e ∴=．故选D ． 16．已知曲线Γ：22123x y λλ+=-，则以下判断错误的是A ．0λ<或3λ>时，曲线Γ一定表示双曲线B ．03λ<<时，曲线Γ一定表示椭圆C ．当3λ=-时，曲线Γ表示等轴双曲线D ．曲线Γ不能表示抛物线【试题来源】云南省西南名校联盟2021届高三12月高考适应性月考卷（理）【答案】B【解析】对Γ：22123x y λλ+=-，当2(3)0λλ-<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线，当3λ=-时，Γ：22166y x -=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因此A ，C ，D 正确；当1λ=时，Γ：222x y +=表示圆，B 错误．选B ．17．已知点P 是椭圆C ：22110064x y +=上一点，M ，N 分别是圆()2261x y -+=和圆()2261x y ++=上的点，那么PM PN +的最小值为A ．15B ．16C ．17D ．18【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（理）【答案】D【解析】如图，椭圆C ：22110064x y +=的108a b ==，，所以6c =，故圆()2261x y -+=和圆()2261x y ++=的圆心为椭圆的两个焦点，则当M ，N 为如图所示位置时，PM PN +最小，值为12122218PF PF MF MF a +--=-=，故选D ．18．椭圆C ：2221(0)3x y a a +=>的焦点在x 轴上，其离心率为12，则A ．椭圆CB ．椭圆C 的长轴长为4 C ．椭圆C 的焦距为4D ．4a =【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考【答案】B【分析】由离心率可求出2a =，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距．【解析】由椭圆的性质可知，椭圆C 的短轴长为12e ==，则24a =，即2a =，2231c a =-=，所以椭圆C 的长轴长24a =，椭圆C 的焦距22c =，故选B ．19．已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为 A ．1 B ．2 C ．4D ．5【试题来源】河南省洛阳市2021届高三上学期第一次统一考试（文）【答案】A【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线， ||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项．【解析】因为P 是焦点为1F ，2F 的椭圆2212516x y +=上的一点，PQ 为12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1F Q 的延长线交2F P 的延长线于点M ，所以1||||PM PF =，12212210,PF PF a MF PF PF +==∴=+，所以由题意得OQ 是12F F M △的中位线，所以||5OQ a ==，所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时， Q 与短轴端点取最近距离54 1.d =-=故选A ．20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABCBCF S S=，则椭圆的离心率为A BC ．3D ．10【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测（理）【答案】A【解析】设椭圆的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，由x c =-，代入椭圆方程得2by a =±，设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),C x y ，由23ABCBCF SS=，可得222AF F C =，即22,2(,)b c x c y a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222c x c =-，22b y a -=，所以2x c =，22b y a =-，代入椭圆得，2222414c b a a+=，由222b a c =-得2153e =，解得e =，由01e <<，所以e =．故选A ．21．已知抛物线()220y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为p =A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七）【答案】C【解析】抛物线的准线方程为2px =-，设其与椭圆相交于A ，B两点，AB = 不妨设0A y >，根据对称知A y =32A x =-或32A x =（舍去），3p =，故选C ．22．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为 A ．12B．2C ．13D．3【试题来源】天津市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考【答案】D【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可．【解析】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，可得222b c a=，所以：)222ac a c =-，即220e +=，因为()01e ∈，，解得3e =，故选D ． 23．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥ A．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．2]C．12⎛⎤ ⎥⎝⎦D．1]【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研【答案】C【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PF QF 为矩形，设12,PF n PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m=+的取值范围，进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【解析】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QFPF；由113QF PF ≥1mn≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-；令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()2224232c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()22211e e e-<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤，故选C. 24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e = A ．12B．2 C ．14D．4【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学2020-2021学年高三上学期联考【答案】D【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可．【解析】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，，依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得 22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅，123cos 4F AF ∠=，22223142242c a a a ∴=-⨯=，22218c e a ∴==，解得4e =．故选D ． 25．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为A ．12BC ．13D 【试题来源】黑龙江省哈尔滨市道里区第三中学校2020-2021学年高三上学期期末【答案】C【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案．【解析】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2kak a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选C ．26．已知命题p ：22x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，命题q：22162x y m m +=-+表示椭圆，若命题“p q ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是 A ．26m -<< B ．06m <<C ．06m <<且2m ≠D ．26m -<<且2m ≠【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理）【答案】C【解析】对于命题2:2p x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，所以0m >，对于命题22:162x yq m m +=-+表示椭圆，所以602062m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得26m -<<且2m ≠，因为命题“p q ∧”为真命题，所以命题p 和命题q 均为真命题，所以实数m 的取值范围是06m <<且2m ≠．故选C ．27．已知()11,0F -，21,0F ，M 是第一象限内的点，且满足124MF MF +=，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．1S 与2S 大小不确定【试题来源】浙江省十校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考【答案】B【分析】作出图示，根据,I G 的特点分别表示出1S ，2S ，即可判断出12,S S 的大小关系．【解析】因为121242MF MF F F +=>=，所以M 的轨迹是椭圆22143x y +=在第一象限内的部分，如图所示：因为I 是12MF F △的内心，设内切圆的半径为r ，所以()12121222MMFMF F F rF F y ++⋅⋅=，所以3M y r =，所以12121223I MF F y F F r y S ⋅⋅===，因为G 是12MF F △的重心，所以:1:2OG GM =，所以12112221133323M M MOF F OF F F yy S S S ⋅===⋅=，所以12S S ，故选B ． 28．已知1F 、2F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A ．BCD ．【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD -LP367】【数学】【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a 12()a a >，半焦距为c ，椭圆和双曲线的离心率分别为1e 和2e ，11||PF r =，22||PF r =，由椭圆和双曲线的定义可知，1212r r a +=，1222r r a -=±，因为123F PF π∠=，由余弦定理得222121242cos3c r r r r π=+-221212r r r r =+-，所以22212121124()343c r r r r a r r =+-=-，且22212122124()4c r r r r a r r =-+=+，所以222212443(44)a c c a -=-，即2221234a a c +=，则2221314e e +=，由柯西不等式得22212121131(1)()(13e e e e ++≥⨯+，所以12113e e +≤=，当且仅当13e =，2e =时，等号成立．故选C 29．如图，设1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为A ．2-B ．1-C ．12-D ．1【试题来源】浙江省宁波十校2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】A【解析】如下图，连接11,PF QF ，设()20QF x x =>，则14PF x =，因为122PF PF a +=，122QF QF a +=，所以224PF a x =-，12QF a x =-，在△1PF Q 中，1290F PF ︒∠=，所以22211+=PF PQ QF ，即()()()2224242x a x x a x +-+=-，整理得3a x =，所以121244tan 22464PF x xPF F PF a x x x∠====--，所以直线2PF 的斜率为()21tan 1802k PF F ︒=-∠=-．故选A ．30．已知P 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点，1F ，2F 分别是C 的左，右焦点，O是坐标原点，若212OP OF OF +=且1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为 A ．12BCD 【试题来源】福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试【答案】A【解析】如图所示，设M 是2PF 中点，则22OP OF OM +=，1||2||PF OM =，因为212OP OF OF +=，所以1||||OM OF =，所以112||||2PF F F c ==，因为1260F PF ∠=︒，所以1122||||||2PF F F PF c ===．由椭圆的定义得12||||2PF PF a +=，所以11222,,22c c c a e a +=∴=∴=．故选A 二、多选题1．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从1F ，2F ，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为A ．3 B ．2 C ．512- D ．312- 【试题来源】湘鄂部分重点学校2020-2021学年高三上学期11月联考（理）【答案】BC【分析】结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况，即以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点；以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点或以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点，分别根据图形列出关于以a 、b 、c 的齐次式，化简求离心率．【解析】①如图，若以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点，则2DC CF ⊥，由勾股定理可得，()()2222a ba a c ++=+，由222b ac =-，可得220c ac a +-=，即210e e +-=，因为01e <<，解得512e =；②如图，若以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点，则12CF CF ⊥，故245OCF ∠=︒，则2c e a ==；③如图，若以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点，则22CF AF ⊥，245CF O ∠=︒，则22c e a ==；故选BC ．2．已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，M 为左焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，则A ．FPM 的面积最大时，24tan 7FPM ∠= B ．1FP 的最大值为8 C ．d 的值可以为310D ．椭圆上存在点P ，使2FPM π∠=【试题来源】湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考【答案】ABC【解析】由椭圆2212516x y +=，当点P 为短轴顶点时，FPM ∠最大，FPM 的面积最大，此时24tan 7FPM ∠=，此时角为锐角，故A 正确、D 错误；椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有128PF ≤≤，又椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，所以1FP 最大值8，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12a ≥，8n a ≤，又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310，故C 正确．故选ABC【名师点睛】由椭圆性质知在椭圆上的点中，与焦点构成的三角形面积、以该点为顶点的角最大时，点在短轴端点上；且2||8FP ≤≤，进而可得d 的范围．3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F ，2F 分别为左、右焦点，1A ，2A 分别为左、右顶点，P 为椭圆上的动点，且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立，则椭圆C 的离心率可能为A ．12BC D ．2【试题来源】云南省楚雄州2021届高三上学期期中教学质量检测（理）【答案】AC【解析】设()00,P x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则()100,PF c x y =---，()200,PF c x y =--， ()100,PA a x y =---，()200,PA a x y =--．因为22221212022PF PF PA PA x y a c ⋅+⋅=+--2222220222b x b x a c a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭222222022330c x a c a c a =+-≥-≥恒成立，所以离心率3c e a =≤．故选AC 【名师点睛】此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥转化为坐标的关系，进而可得到,a c 的关系，考查计算能力，属于中档题4．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ， B 两点，则下述结论正确的是 A ．AF +BF 为定值 B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m =时，△ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【试题来源】海南省2020届高三高考数学五模试题【答案】AD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '= 所以=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，所以AB 的范围是()0,6，所以ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B，因为)F，所以(?60BA BF ⋅=-=-<，所以ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A -，)B ，所以112ABFS=⨯=D 正确．故选AD. 5．已知椭圆22:163x y C +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ︒∠<C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ︒∠>【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（二）【答案】ABC 【解析】A 选项：根据对称性，如上图有2112,,OA OB BOF AOF OF OF =∠=∠=，所以21BOF AOF ≅，即12OAF OBF ∠=∠，则12//AF BF ，12AF BF =，所以四边形12AF BF 为平行四边形；A 正确．B 选项：由余弦定理222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，12F F =，12,PF x PF x ==，由直线(0)y kx k =≠中k 存在故x ≠所以212cos F PF ∠=，令t x <=，则x t =+，所以212226cos 166t F PF t t∠==---，203t ≤<， 120cos 1F PF ≤∠<，即1290F PF ∠<︒；B 正确．C 选项：若(,)A m km ，则(,)B m km --，(m,0)E ，所以直线BE 的斜率为22km km =；C 正确．D 选项：由上可设:()2k PB y x m =-，联立椭圆方程22:163x y C +=，整理得22222(2)2120k x mk x m k +-+-=，若(,)p p P x y ，则2222p mkx m k -=+，即2222p mk x m k =++，322p mk y k =+，所以直线PA 的斜率为32221222mk km k mk k k -+=-+，故AB AP ⊥，即90PAB ∠=︒，故D 错误．故选ABC ．三、填空题1．点P 是椭圆22:1167x y C +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且12PF F △的内切圆半径为1．当点P 在第一象限时，它的纵坐标为__________．【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理）【答案】73【分析】椭圆的焦点三角形问题，充分利用椭圆的定义，从两个角度表示出12PF F S ，建立关于p y 的关系式求解．【解析】因为128PF PF +=，126F F =，所以()1212121172PF F S PF PF F F =++⨯=；因为12121372PF F p p SF F y y =⋅==，所以73p y =．故答案为73【名师点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a 等．2．已知椭圆221164x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为__________．【试题来源】上海市奉贤区2021届高三上学期一模【答案】2【解析】利用椭圆定义122PF PF a +=，4a =，可知268PF +=，即22PF =.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为__________．【试题来源】广西北海市北海中学2021届高三12月考试（理）【答案】5【解析】设1BF k =，则13AF k =，24BF k =，由12122BF BF AF AF a +=+=，得25a k =，22AF k =，在2ABF 中，21cos 4BAF ∠=，又在12F AF 中，22212(3)(2)(2)1cos 2324k k c F AF k k +-∠==⨯⨯，得2c =故离心率5c e a ==．故答案为54．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l交椭圆于A B ，两点，且A B ，的中点为112M ⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的离心率为__________．【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021届高三上学期第三次月考（文）【答案】2【解析】由题意知(),0F c -，()0,P b -，所以直线FP 的斜率为00()b bc c--=---，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，①-②得2222121222x x y y a b --=-，即()()()()1112221222x x y y y y a x x b =-+--+，因为112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是A B ，的中点，所以122x x +=，121y y +=，所以()()2112222x y y a b x =---，所以2122122ABy y b k x x a-==--，因为//AB FE ，所以222b b c a-=-，即22a bc =，所以222b c bc +=，所以b c =，所以22222a b c c =+=，所以c e a ==【名师点睛】本题的关键点是利用点差法设设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得2222121222x x y y a b --=-，112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是A B ，的中点，所以 122x x +=，121y y +=，可得2122122ABy y b k x x a-==--，再计算00()FP b b k c c --==---，利用AB FP k k =结合222a b c =+即可求离心率．5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为__________．【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练5试题【解析】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==，由勾股定理可得1AF ==，由椭圆的定义可得122AF AF a +=2c a +=，所以，该椭圆的离心率为21cea====．6．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，左焦点(,0)F c-，右顶点(,0)A a，上顶点(0,)B b，满足0FB AB=，则椭圆的离心率为__________．【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中（文）【解析】由0FB AB=可得，()(),,0c b a b⋅-=，即222ac b a c==-，则210e e+-=，解得e=（舍）7．已知椭圆1C：()222210x ya ba b+=>>和双曲线2C：22221(0,0)x ym nm n-=>>的焦点相同，1F，2F分别为左､右焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，PM x⊥轴，M为垂足，若223OM OF=(O为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为__________．【试题来源】浙江省台州市六校2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】32【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，根据223OM OF=，得到P的横坐标为23c，设12,PF s PF t==，分别利用椭圆和双曲线的定义求得,s t，然后再利用椭圆和双曲线的第二定义求解．【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，所以22233OM OF c==，即P的横坐标为23c，设12,PF s PF t==，由椭圆的定义得2s t a+=，由双曲线的定义得2s t m-=，联立解得,s a m t a m=+=-，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，由椭圆的第二定义得22223pPF t ca a ax cc c==--，解得123t a e c=-，由双曲线的第二定义得22223p PF t cm m m x c c c==--，解得223t e c m =-，又t a m =-，则223a e c =，1232e e =，所以12232c e e e a ==，故答案为328．已知F 为椭圆22:143x y C +=的左焦点，定点()3,3A --，点P 为椭圆C 上的一个动点，则PA PF +的最大值为__________．【试题来源】湖南省长沙市广益实验中学2020-2021学年高三上学期第一次新高考适应性考试【答案】9【分析】设椭圆的右焦点为1(1,0)F ，再利用数形结合分析求解．【解析】设椭圆的右焦点为1(1,0)F ，111=||24||4||49PA PF PA a PF PA PF AF ++-=+-≤+==．【名师点睛】圆锥曲线中的最值问题常用的解题方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法．要根据已知条件，灵活选择方法求解．9．椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为__________．【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期期中【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于a ，b ，c 的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率．【解析】如图所示，过点O 作22OM A B ⊥，则290OMA ∠=︒，由题意可得，22221122OB OA A B OM ⋅=⋅，即a b c ⋅=，又由222a b c =+可得，()()2222222a a c a a c c -=+-，整理可得442230a c a c +-=，因为c e a =，所以42310e e -+=，解得2e =，因为01e <<，所以12e =．故答案为12． 10．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）于A ，B 两点，过点A分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若34AM AP =，则椭圆C 的离心率是__________．【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）【分析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，根据已知条件得B 、P 、M 的坐标，AB AQ ⊥、B ，M ，Q 三点共线，211211y y x x x y -=--以及1212y y x x +=+114y x ，由A ，Q 在椭圆上有2221222212y y b x x a-=--，联立所得方程即可求离心率．【解析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，则11(,)B x y --，11(,)P x y -，11,2y M x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由AB AQ ⊥，则1212111212111y y y y y xx x x x x y --=-⇒=--- ①，由B ，M ，Q 三点共线，则BQ BM k k =，即1212y y x x +=+114yx ②．因为2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，即22221212220x x y y a b--+=，2221222212y y b x x a -=--③，将①②代入③得2214b e a =⇒=．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__________．【试题来源】四川省眉山市仁寿第二中学2020-2021学年高三上学期第四次诊断（理）【答案】4【解析】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32a PF =，在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得4e =，故答案为4．【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中，由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32aPF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．12．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点M 满足：1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，则b =__________．【试题来源】河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试【答案】1【分析】先根据数量积运算得124MF MF =，再结合椭圆的定义与余弦定理即可得1b =．【解析】因为1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，所以124MF MF =，由椭圆的定义得122MF MF a +=，故222121224MF MF MF MF a++= 所以在12F MF △中，由余弦定理得1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠，代入数据得222144848288a cb ----==，解得1b =．故答案为1．【名师点睛】解题的关键在于应用定义122MF MF a +=与余弦定理1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠列方程求解得1b =．13．已知椭圆的方程为222116x y m+=，焦点在x 轴上，m 的取值范围是__________．【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期第二次月考数学（三校生）试题。

2021届沭阳如东中学高三考卷(2020.10)

的特征，如：函数
的图象大致是（）
A．
B．
第 6页（共 20页）
C．
D．
【分析】根据题意，分析函数的值域排除 C，分析函数的变化趋势排除 A、B；即可得答案．
【解答】解：根据题意，
，其定义域为{x|x≠0}，
当 x≠0 时，x2＞0，|ex﹣1|＞0，则有 f（x）＞0，必有 f（x）＞0，函数的图象在 x 轴上方，排除 C，当 x→﹣∞时，x2→+∞，|ex﹣1|→1，则有 f（x）→+∞，排除 A，当 x→+∞时，f（x）→0，排除 B，故选：D．【点评】本题考查函数的图象分析，注意用排除法分析，属于基础题．
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.61比 t＝
≈0.618 还可以表示成 2sin18°，则
＝（）
A．4
B． ﹣1
C．2
D．
6．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．” 在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象
7．设函数 f（x）＝
•若函数 y＝f（x）﹣k 存在两个零点 x1，x2（x1＜x2），则（x2﹣
x1）•f（x1）的取值范围为（）
A．[2，e2）
B．[1，e2）
C．[e，e2）
D．[1，e2]
【分析】本题先根据题意画出函数 f（x）大致图象，然后根据图象得出 0≤x1＜1，再用 x1 表示出 x2，根
联立
，解得三角形 ABC 的外心 G（﹣1，1），

江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学2022-2023学年高三10月联考数学试卷

姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学高三联考数学试卷考试时间：120分钟满分150分一、单选题(本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知{|4}A x x =<，2{|log (7)3}B x x =+≤，则A B=U （）A ．(,2)-∞B ．(7,2)-C ．[0,1]D ．(7,16)-2、已知a b ，满足(3,4)a = ，(4,3b = ），则a 在b上的投影向量为（）A ．245B ．9672(,)2525C ．7296(,2525D ．245-3、已知函数()y x f =的定义域是[]2,3-，则2y x =+）A ．[]2,5-B ．(]2,3-C []1,3-D ．(]2,5-4、中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中错误的有（）A ．函数()11x x e f x e -=+可以是某个圆的“优美函数”.B ．函数()321f x x x x =+++可以是无数个圆的“优美函数”C ．函数32sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．若函数()y f x =是“优美函数”，则函数()y f x =的图象一定是中心对称图形5、已知0.10.1,0.11,ln1.1a e b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c>>C ．a b c>>D ．a c b<<6、若不等式192832430xx +-⨯+≤的解集为M ，则当x M ∈时函数240.5()(log )(log )28x xf x =的最小值是（）A ．32-B ．32C ．2516-D ．25167、若命题p 是命题q 的充分不必要条件，下列说法正确的是（）A ．命题p ：2a ≤，命题q 2244x a x +≥+恒成立B ．命题p ：||1x >，命题q ：1x >C ．命题p ：1a ≤，命题q ：1xe ax ≥+恒成立D ．命题p ：1a =，命题q ：0,x ∃>使得ln 1x ax >-8．已知平面向量x ，y ，z满足对任意λ∈R 都有x y x y λ-≥- ，x z x z λ-≥- 成立，且1x z y z -=-=，x y -=，则y u r 的值为（）A ．1B C ．2D二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的4个选项中，有多项是符合题目要求的，部分选对得2分，有错选得0分)9、已知复数5034iz i-=+，则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限B ．复数z 的虚部为6-C ．复数z 的共轭复数86z i=-+D ．复数z 的模||10z =10、要得到函数2()3sin(2)13f x x π=--的图像，需要把函数()3sin 21g x x =-的图像向_____平移______（）A ．右3πB ．左3πC ．右43πD ．左23π11、下列命题中真命题有（）A ．已知(1,1),(1,2)a b == ，若a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则23λ∈-+∞（，）B ．若函数()f x 是奇函数，函数(1f x -）为偶函数，则(2)0f =C ．复数z 满足22|z |z =D ．函数()f x =512、下列不等式正确的是（）A ．ln e ππ>B ．24ln e ππ>C ．2ln e ππ>D ．22ln e ππ<三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13、若复数z 满足||1z i z --=，则z =.14、在ABC ∆中，5,3AB AC ==，且9AB AC ⋅=，设P 为平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是________.15、已知函数())f x x x =,若(2)(21)f a f a ->+成立，则的取值范围为______.16、已知1112,,7,23a b a b >>+=则312131a b +--的最小值为.四、解答题：本题共6小题，计70分。

姜堰中学高三联考数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集的是（）A. y = √(x - 1)B. y = log₂(x + 2)C. y = |x|D. y = x² - 3x + 22. 已知等差数列{an}的公差为d，且a₁ = 2，a₃ = 8，则d的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 63. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，都有x² ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，都有x⁴ ≥ 0D. 对于任意实数x，都有x⁵ ≥ 04. 已知函数f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 3，f(2) = 8，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-3, -2)D. (-2, -3)6. 已知复数z = 1 + i，则|z|的值为（）A. 1B. √2C. 2D. √37. 已知等比数列{bn}的公比为q，且b₁ = 2，b₃ = 16，则q的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 168. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x² + y² ≥ 0B. x² - y² ≥ 0C. x³ + y³ ≥ 0D. x³ - y³ ≥ 09. 在平面直角坐标系中，抛物线y = x² - 4x + 4的顶点坐标为（）A. (1, 3)B. (2, 0)C. (3, -1)D. (4, -3)10. 已知函数f(x) = x³ - 3x² + 4x，则f(x)的对称中心为（）A. (1, 0)B. (1, 2)C. (2, 1)D. (2, 3)二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的公差为d，且a₁ = 3，a₄ = 15，则d的值为______。

江苏省南通市如东县2021届高三数学上学期期中调研考试试题

江苏省南通市如东县2021届高三数学上学期期中调研考试试题注意事项：1。

本试卷共150分,考试时间120分钟.2。

答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内。

一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=｛1,2，m2},B={1，m}.若B⊆A，则m等于(）A. 0B. 2C。

0或2 D. 1或22。

设x∈R,则“log2(x-2）〈1”是“x>2"的()条件（)A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D。

既不充分也不必要3.已知cos(75°+α)=，则cos（30°—2α）等于(）A。

B。

C. D.4。

把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量.设e=（A,B）是直线l的一个方向向量，那么n=（-B，A）就是直线l的一个法向量.借助直线的法向量,我们可以方便地计算点到直线的距离.已知P是直线l外一点,n是直线l的一个法向量,在直线l上任取一点Q,那么在法向量n上的投影向量为(||cosθ)·（θ为向量n与的夹角)，其模就是点P到直线l的距离d，即d=。

据此，请解决下面的问题：已知点A（—4，0）,B(2，-1），C(-1，3），则点A到直线BC的距离是（)A。

B。

7 C. D. 85.在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2，∠BAD=，若·=2·，则·等于()A. 12B. 16C。

20D。

246。

已知函数f(x）=mx2-（3-m)x+1,g(x)=mx,若对于任意实数x，f（x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（)A. (1，9）B. （3，+∞）C. （-∞，9)D. (0,9)7.设点M（x0，1）,若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A. ［0,1]B。

江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳中学三校2021届高三上学期期中联考英语试题(含解析)

江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳中学2021届高三上学期期中联考英语试题第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5 分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where will the woman change buses?A. At City Hall.B. At the stadium.C. At the public market.2. What will the woman do next?A. Reserve a ticket for the man.B. Put the man through to another department.C. Give the man some information about North America.3. Who is the man?A. A student.B. A teacher.C. A reporter.14. What are the speakers mainly talking about?A. Cigarettes.B. Mysteries.C. Forest fires.5. How does the man feel about his students?A. Proud.B. Pleased.C. Worried.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学2021届高三下学期 5月联考数学试题(含答案)

2021届高三适应性考试试题 2021.5数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知全集U R =，集合{}2|100A x x =≥，{}|lg 1B x x =≥，则A ．AB B = B ．A B A =C ．()=B A C U ∅D ．U U C B C A ⊆2．已知复数12z i =-，12z z i=，在复平面内复数12z z 、所对应的两点之间的距离为 ABC ．4D ．10 3．若是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是A ．1221,e e e e --B ．1212,e e e e +-C ．211223,64e e e e --+D ．121212,2e e e e ++4．小张、小李、小王、小赵四名同学，仅有一人做了数学老师布置的一道题目. 当他们被问到谁做了该题目时，小张说：“小王或小赵做了”；小李说：“小王做了”；小王说：“小张和小赵都没做”；小赵说：“小李做了”．假设这四名同学中只有两人说的是对的，那么做了该题目的学生是A ．小张B ．小赵C ．小王D ．小李 5． 22021被9除所得的余数为(,110)t t N t *∈≤≤，则t =A ．4B ．5C ．6D ．76．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前21e e一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第5天和第6天共走了 A ．24里 B ． 6里 C ．12里D ． 18里7．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当2[0,1],()122x xx f x ∈=++，则函数()y f x =的图象与函数||133x y =+的图象交点个数为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．98．圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点的两条切线相互垂直并分别过椭圆不同的焦点，则圆的半径为 ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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11．已知点 A（-1,0）,B（1,0），若圆（x - 2a + 1）2 +（y - 2a — 2）2 = 1 上存在点 M 满足
MA ∙ MB = 3，则实数 a 的值可以为
(
)
A． -2
B． -1
C． 3
D． 0
12．已知函数 f（x）= x2 - 4x +（m2 - m）（e x - 2 + e -x + 2）（e 为自然对数的底数）有唯一零
是
(
)
（结果保留一位小数）
A． 7.8cm
B． 7.9cm
C． 8.0cm
D． 8.1cm
5．已知函数 f（x）= e-x - ex（e 为自然对数的底数），若 a = 0.7-0.5,b = log0.50.7,c = log0.75,
则
(
)
A． f(b) < f(a) < f(c)
B． f(c) < f(b) < f(a)
下列说法正确的是 A． x = f(θ) 是偶函数，y = g(θ) 是奇函数
(
)
B． x - f(θ) 在（0,π）上为减函数，y = g(θ) 在（0,π）上为增函数
C． f(θ) + g(θ) ≥ 1 在 θ ∈
0,
π 2
上恒成立
D．函数 t = 2f(θ) + g（2θ）的最大值为 323
(
)
D．e - 4e
二、多项选择题（本大题共 4 小题, 每小题 5 分，共 20 分：在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）
9．已知 α，β 是两个不同的平面，l,m 是两条不同的直线，下列命题正确是
(
)
A．若 l ⏊ α,l ⏊ β，则 α//β;
笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．若集合 A = {x|(x — 1) (x — 6) > 0},B = {x|2 - x > 0}, 则 A ⋂ B 等于
C． f(c) < f(a) < f(b)
D． f(a) < f(b) < f(c)
6．已知向量 a = ( -2,m),b =（1, - 2）,c =（m + 1,5）, 若 a ⏊ b，则 a 与 b + c 的夹角为
(
)
A． π4
B． 34π
C． 23π
D． π3
7．已知椭圆 xa22 + yb22 = 1（0 > 5 > 0）的左、右焦点分别为 F1,F2,，点 A 是椭圆短轴的一个顶
A1 B 1 C 1 D 1
的体积为
V,
则
V1 V
=
▲
分，第二空 3 分）
·2·
16．意大画家列奥纳多• 达• 芬奇（1452.4 - 1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上
悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达
芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所
(
)
A． {x|x > 6}
B． {x|1 < x < 2}
C． {x|x < 1}
D． {x|2 < x < 6}
2．若 z(1 - 2i) = 2 + i，则负数 z =
(
)
A． -1
B． -i
C． 1
D． i
3． “a = 0” 是 “ 函数 f(x) = sinx + acos2x” 为奇函数的
点，且 cos∠F1AF2 = 43 , 则椭圆的离心率 e =
(
)
·1·
A． 21
B． 22
C． 41
D． 42
8．已知函数 f(x) = (lnx - 1) (x2 + ax - 4), 若x > 0 时，f(x) ≥ 0 恒成立，则实数 a 的值为
A． 3
B． 4 e - 41
C． 4e - e
▲
．
15 ．如图，已知点 M , N 分别为平行六面体 ABCD — A1 B1 C1 D1 的棱
BB1,BC1 的中点，设△ AMN 的面积为 S1，平面 AMN 截平行六面体
ABCD - A1B1C1D1, 所得截面面积为 S, 五棱锥 A - BMNC1C 的体积
为 V1, 平行六面体 ABCD -
姜堰中学、如东中学、沐阳如东中学 2021 届高三联考
数学试题
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项 : 1．本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2．答题前，请将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置。 3．选择题答案用 2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用 0.5mm 的黑色签字
B．若 l ⏊ α,a ⏊ β，则 l//β
C．若 l//α,l ⏊ β, 则 a ⏊ β;
D．若 l ⏊ m，m ⏊ α，则 l//α
10．在单位圆 O : x2 + y2 = 1 上任取一点 P（x,y），圆 O 与 x 轴正向的交点是 A, 将 OA 绕原
点 O 旋转到 OP 所成的角记为 θ, 若 x，y 关于 θ 的表达式分别为 x = f(θ),y = g(θ)，则
形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链
线的函数解析式 f（x) = acoshxa , 其中 a 为悬链线系数，coshx 称为
双曲余弦函数
，其函数
a
表达式为
cosh
x
=
e x +e-x 2
，相应地双曲正
弦函数的函数表达式为
点，则 m 的值可以为
(
)
A． 1
B． -1
C． 2
D． -2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．曲线 f（x）= xex + x2 - 1 在 x = 0 处的切线方程为 ▲ ．
14．在四边形 ABCD 中，AB = 6．若 DA = 23 CA + 31 CB，则 AB•DC =
(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是与
52-1（52-1 ≈ 0.618 称为黄金分割比例），已知一位美女身高 154cm, 穿上高跟鞋后
肚脐至鞋底的长度约 100cm, 若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约