《线性代数》习题集(含答案)

（ 2） （ 217986354 ）=18，此排列为偶排列。 （ 3） （ 987654321 ）=36，此排列为偶排列。
【 5】计算下列的逆序数：
（ 1） 135 （ 2n-1 ） 246 （ 2n）；（ 2） 246
答案：（ 1） 1 n（ n-1 ）；（2） 1 n（ n+1）
2
2
【 6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
(2) x1 x2 x3 x4 x5 0.
【13】计算 n 阶行列式
a x1 a
a
a
a a x2 a
a
Da
a a x3
a
a
a
a
于是 Dn ax1x2
11 xn xn 1
【 14 】证明
2cos 1 0
Dn
1 2cos
1
0 1 2cos
0
0
0
0
0
0
a
11 x1 a
0
0
0
0
0
0
2cos 1
1 2cos
sin n 1 sin
ab0
a1 bn
0ab
a2 bn
00a
a3 bn ；（ 2）
00 00 00
（ n 阶）；
an b1 an b2
a a 0
（ 3）
ah a a
a 2h 0 a
an bn
000 b00
a (n 1)h a nh
0
0
0
0
；
ab 0a
00
0
a
0
00
0
a
a
a1 a1 0
0
a2 a2
00
（ 4）
a3
00 00 00
1
00 00 00
n1
n1
；
0
0
0
1
cos 0
（2） 0
1 2cos
1
0 1 2cos
00 00 00
cosn 。
0
0
0
1 2cos
答案与提示：
（1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。
（2）提示：用归纳法证。 【 21 】
3040
2 2 22
（01403）设行列式 D
，则第四行各元素余子式之和的值为（
i1
【 11】计算 n+1 阶行列式：
01 1 1 a1 0 1 0 a2
1 0 0 （ ai 0； i=1 ， 2， n）
10 0
an
n1 答案： a1a2 an i 1 ai (a 0; i 1,2, , n) .
【 12】解下列线性方程组：
（ 1）
x1 x2 x3 x4 5 x1 2 x2 x3 4x4 2 x1 3x2 x3 5 x4 3x1 x2 2 x3 11x4
；（ 2）
；（ 3）
；
1
1131
1 4 9 16
6
1113
1 8 27 64
111 1
ab cd
（ 4）
。
a2 b2 c2 d 2
a3 b3 c3 d 3
答案：（ 1） -136 ；（ 2）48；（ 3）12；
（ 4）（ b-a ）（c-a ）（ d-a ）（ c-b ）（ d-b ）（d-c ）
【 9】计算下列 n 阶行列式：
a13 (t ) a23 (t ) a33 (t )
a
' 11
(t
)
a21(t)
a31(t)
a
' 12
(t
)
a22 (t )
a32 (t )
a
' 13
(
t
)
a23 (t )
a33 (t )
a11 (t) a' 21 ( t )
a31(t)
a12 (t )
a
' 22
(t
)
a32 (t )
a13 (t )
an
1bnn
1 1
bnn 1
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a a
线性代数习题集
b b
（4）
ab
ba
b
a
b b
a a
答案与提示：
（2） ( x2 x1)2( x3
x2 )2 ( x3
x2 )2 ；（ 3）
(bj a j
1 j i n1
ai bj )
（4） (a2 b2)n
【20】 . 证明下列等式：
0
1
（1） 0
【 3】判断下列结论是否成立：若成立，则说明理由；若不成立，则举出反例。
（ 1） 若 矩阵 A 的行列式 A =0，则 A=0；
（ 2） 若 A E =0，则 A=E；
（ 3） 若 A，B 为两个 n 阶矩阵，则 A B A B ；
（ 4） 若 矩阵 A 0，B 0，则 AB 0. 【 4】设 A， B 为 n 阶方阵，问下列等式在什么条件下成立？
A* 是 A 的伴随矩阵， A 的行列式
1 A = ，则行列式
2
(3 A) 1 2 A* ___________。
【 2】假设 A=（ aij ）是一个 n 阶非零矩阵，且 A 的元素 aij （i ，j=1 ，2， ，n）均为实数。已 知每一个元素 aij 都等于它自己的代数余子式， 求证 A 的秩等于 n，且当 n 3 时 A =1 或 -1 。
0ab0
（ 4）行列式
=() 。
0ba0
b00a
Aa 4 b 4 ； B a 2 b2 2 ；Cb4 a 4 ； Da 4 b4 。
010 002
（ 5） n 阶行列式
000 n00
0 0
=（）。
n1 0
n1
A0；Bn！； C（ -1 ）· n！；D 1
n! 。
答案： 1.D ；2.C ； 3.A； 4.B ； 5.D 。
1 1 （1） 1
sin 1 sin 2 sin 3
sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3
sin n 1 sin n 1 sin n 1
1
2
3；
1 sin n
cosn 1 1
cosn 1
（2）
2
sin 2 n
cosn 2 1 cosn 2 2
sin n 1 n
cos 1 1
cos
2
1
。
cosn 1 n
11 00 01
x1 x2 0 0 0 x3
a1 b1 1 1 1 c1
（2）
；
a2 b2 x1 x2 x3 c2
a3 b3 x12 x22 x32 c1
x12 x22 0 0 0 x
a1n
（3）
a
n 2
a1n 1b1
a
n 2
1b2
ann 1 ann 11bn !
a1 b1n 1 a2b2n 1
b1n b2n ( ai 0,i 1,2, , n 1) ；
2
；（ 2）
2 0
x1 4 x2 6 x3 4 x4 5x5 0 x1 x2 4x3 6x4 5 x5 0 4 x1 x2 x3 4x4 6x5 0 。 6 x1 4 x2 x3 x4 4x5 0 4 x1 6 x2 4 x3 x4 x5 0
答案：（ 1） x1 1, x2 2, x3 3, x4 1 ；
yzx
ab c
c
（ 5） 三 阶行列式 a b c a =___________。
b
b ca
答案： 1.ab(a-b) ； 2.1 ； 3. a
b
2
； 4.
x3
y3
z3
3xyz； 5.4abc 。
【 2】选择题
12 （ 1）若行列式 1 3
25
5 2 =0，则 x=（）。 x
A-3 ； B-2 ； C2； D3。
100 110 （ 1） 0 1 1
01
111
00
122
0 0 ；（2） 1 2 3
1 2 3；
00 0
11
123
n
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12 3
n
322
2
-1 0 3
n
232
2
（ 3） -1 -2 0
n ；（ 4） 2 2 3
2；
-1 -2 -3
n
222
3
1 23 2 34
（ 5）
（ 2n） 135
（ 2n-1 ）。
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（ 1） a15a23a32a44 a51a66 ；（ 2） a21a53a16a42a65a34 ；（ 3） a61a52a43a34a25a16
答案：（ 1）正号；（ 2）负号。
【 7】根据定义计算下列各行列式：
00001
）
0 -7 0 0
5 3 -2 2
【22】（ 96503）五阶行列式
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1a a 0 0 0
-1 1-a a 0 0
d 0 -1 1-a a 0
.
0 0 -1 1-a a
0 0 0 -1 1-a
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第二章
【 1】填空题设
A 是三阶方阵，
答案与提示：
cosn 2 n
（1）
(sin i sin j )
1jin
cos n 1
n (n 1)
22
cos i
1j i n
2
j sin
i
j
2
n（n-1）
（2）（-1 ） 2
(cos i
1jin
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos j )
n( n 1)
22
sin i j sin
1jin
2
i
j
2
【19】 . 利用拉普拉斯定理计算下列行列式：
an
n
1
ai
i 1 xi ai
n
xi ai
i1
a1 a2 a3
xn
【 16 】证明
1 a1 1
1
1 1 a2 1
Dn
1
1 1 a3
1
1
n1
1
a1a2 an 1
i 1 ai
1
1
1
证明：略
1 an
【17】 . 证明
a11(t) d dt a21 (t )
a31 (t )
a12 (t ) a22 (t ) a32 (t )
62 2 6 1 0 ， AB BA 8 12
22 2 2 0 0； 442
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（ 2） AB AB BA
a b c a2 b 2 c2 2ac b2 a b c 2 ac b2 a 2 b 2 c2 ，
n1 n 1 n 12
n 1
。
n2 n1
答案：（ 1） 1+ ( 1)n 1
2
0
n为奇数
；（2） 1；（ 3） n！
n为偶数
n（n-1）
（ 4） 2n+1；（5）（ -1 ） 2 n+1 n n-1 。 2
【 10】计算下列行列式：
a1 b1 a2 b1 （ 1） a3 b1
a1 b2 a2 b2 a3 b2
a11a22a33a44 ；
a11a23a32 a44 a14a22a33a41 a14a22a33a41
n(n 1)
(n 1)( n 2)
（ 3） ( 1) 2 n! ；（ 4） ( 1) 2 n! 。
【 8】计算下列行列式：
1 31
1 53
（ 1）
0 41
513
2
3111
11 1 1
4
1311
12 3 4
【 3】证明
by az bz ax bx ay
xyz
bx ay by az bz ax (a3 b3 ) z x y
bz ax bx ay by az
yzx
答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【 4】计算下列 9 级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：
（ 1） 134782695；（ 2）217986354；（ 3） 987654321。 答案：（ 1） （ 134782695） =10，此排列为偶排列。
00
a11 0 0 a14
00020
00
0 （ 1） 0 0 3 0 0 ； (2)
a22 a23
0
；（3）
0 a32 a33 0
04000
0 n1
a41 0 0 a44
50000
n0
00 00
（ 4）
n1 0 00
010 200
000 00n
01 20
；
00 00
答案：（ 1） 5！ =120；（2） a11a44 a14a41 a22 a33 a23a32
x11 （ 2）若行列式 1 x 1
11x
0 ，则 x=（）。
A -1 ， 2 ； B 0， 2 ； C 1， 2 ； D 2， 2 。
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23 1 （ 3）三阶行列式 503 201 298 =（）。
523
A -70 ； B -63 ； C 70； D 82。
a00b
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由归纳假设，得
sin n 1 Dn
sin
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【 15 】计算五阶行列式
x1 a2 a3 a4 a5 a1 x2 a3 a4 a5 D a1 a2 x3 a4 a5 a1 a2 a3 x4 a5 a1 a2 a3 a4 x5
x1 a2 a3
an
a1 x2 a3
an
可以得到 a1 a2 x3
。
000 111
an an 11
答案：（ 1） n=2 时，行列式等于 （b2- b1)(a 2-a 1) ；n≥ 3，行列式为 0； （ 2） an ( 1)n 1bn ；（ 3） 1 (n 1)(2 a nh)a n ；
2
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n
（ 4） ( 1)n( n 1) ai
a
' 23
(
t
)
a33 (t )
a11 (t )
a21(t)
a
' 31
(t
)
a12 (t )
a22 (t )
a
' 32
(t
)
a13 (t)
a23 (t) a'33 (t)
答案与提示：
提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。
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【18】 . 计算 n 阶行列式：
（ 1） ( A B)2 A2 2AB B2 ；
（ 2） ( A B)( A B) A2 B2 ；
【 5】计算 AB和 AB-BA。已知
（ 1） A
311 2 1 2 ，B 123
11 1 2 10 10 1
（ 2） A
abc c b a ，B 111
1a c 1 b b。 1c a
答案：（ 1） AB
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《线性代数》习题集（含答案）
第一章
【 1】填空题
2
a ab
（ 1） 二 阶行列式
=___________。
bb
cos
（ 2） 二 阶行列式
sin
sin
=___________。
cos
a bi b
（ 3） 二 阶行列式
=___________。
2a a bi
xyz （ 4） 三 阶行列式 z x y =___________。