换底公式(最新课件ppt)
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高中数学北师大版必修一 4.2 换底公式课件(34张)
1 又因为 log2×1818＝log 18 18×2 1 ＝ ＝ 1＋log182 1 18 1＋log18 9
1 1 ＝ ＝ ， 1＋1－log189 2－a a＋ b 所以原式＝ . 2－a
法二：∵18b＝5，∴log185＝b. log1845 log18 5×9 ∴log3645＝log 36＝log 18 18 4×9 log185＋log189 ＝ ＝ 2log182＋log189 a＋b 18 2log18 9 ＋log189
[一点通] 解决对数应用题的一般步骤：
5．测量地震级别的里氏级是地震强度(地震释放的能量)的
常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日 本1923年地震是8.9级，旧金山1906年地震是8.3级， 1989年地震是7.1级，试计算一下日本1923年地震强度是 8.3级的几倍？7.1级的几倍？(lg2＝0.3)
3 log464 提示：log864＝2，log464＝3, log48＝2， log864＝ log 8 . 4 问题 3：经过问题 1,2 你能得出什么结论？ logMb 提示：logab＝log a(a，M>0，a，M≠1，b>0)． M
logaN 对数的换底公式：logbN＝ logab
(a，b>0，a，b≠1，N>0)．
换底公式的主要作用就是把不同底的对数化为同底 的对数，再运用运算性质进行运算．
[例 1]
计算：(1)log1627log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)． [思路点拨] 在两个式子中，底数、真数都不相同，
因而要用换底公式进行换底便于计算求值． [精解详析] lg27 lg32 (1)log1627log8132＝lg16× lg81
北师大版高中数学必修1-3.4.2 对数的换底公式 课件 最新课件
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:
解:
解:
解:
【总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
解: 1log9 27 log32 33
3 2 log3 3
3 2
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:2log2 3• log3 7 • log7 8
lg 3 • lg 7 • lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
能求出任意不为1的 正数为底的对数。
p logc N
logc a
即证得
log a
N
log c N log c a
二、几个重要的推论:
log am
Nn
n m
log a
N
log a
b
1 log b
a
a,b (0,1) (1,)
如何证明呢?
证明：利用换底公式得：
logam
Nn
llggNNn lglgaam
积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有： loga (MN ) loga M loga N
log a M n n log a M(n R)
lloloogggaaaanMNnMpnl(ongloagMaR
log
a
M
一、对数的换底公式:
log a
N
log c N log c a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
如何证明呢?
证明：设 log a N p 通过换底公式，人们
由对数的定义可以得：可N以把a其p他底的对数
解:
解:
解:
解:
【总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
解: 1log9 27 log32 33
3 2 log3 3
3 2
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:2log2 3• log3 7 • log7 8
lg 3 • lg 7 • lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
能求出任意不为1的 正数为底的对数。
p logc N
logc a
即证得
log a
N
log c N log c a
二、几个重要的推论:
log am
Nn
n m
log a
N
log a
b
1 log b
a
a,b (0,1) (1,)
如何证明呢?
证明：利用换底公式得：
logam
Nn
llggNNn lglgaam
积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有： loga (MN ) loga M loga N
log a M n n log a M(n R)
lloloogggaaaanMNnMpnl(ongloagMaR
log
a
M
一、对数的换底公式:
log a
N
log c N log c a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
如何证明呢?
证明：设 log a N p 通过换底公式，人们
由对数的定义可以得：可N以把a其p他底的对数
高中数学 3.4.2换底公式课件 北师大版必修1
log363 1y＝log1436＝log13636＝log364，
log364
∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.
解法 2：对等式 3x＝4y＝36 各边都取以 6 为底的对数，得 log63x＝log64y＝log636，
即 xlog63＝ylog64＝2， ∴2x＝log63，1y＝log62， ∴2x＋1y＝log63＋log62＝log66＝1，即2x＋1y＝1.
8%)2，…，经过x年后，总产值为a(1＋8%)x＝2a.
∴1.08x＝2.取常用对数，得 lg1.08x＝lg2.
则 x＝lgl1g.208＝00..30031304≈9(年)．
答：约经过 9 年后的国民生产总值是 2014 年的 2 倍． • [规律总结] 求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是
[答案] [解析]
2
3 原式＝llgg98·llgg23＝23llgg32·llgg23＝23.
5．logab·log3a＝4，则 b＝________.
[答案] 81
[解析] 由换底公式可得
原式＝llggba·llgga3＝log3b＝4，
∴b＝34＝81.
课堂典例讲练
利用换底公式求值、化简
计算：(1)log1618； (2)(log43＋log83)·llgg23. [思路分析] (1)16 和18都可表示为 2 的幂的形式，因此可 换成以 2 为底的对数计算；(2)前后两个式子中的底数不同，可 利用换底公式化成同一底数，再进行运算．
• 一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一 底数进行计算；
• 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通 分、求值．
log364
∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.
解法 2：对等式 3x＝4y＝36 各边都取以 6 为底的对数，得 log63x＝log64y＝log636，
即 xlog63＝ylog64＝2， ∴2x＝log63，1y＝log62， ∴2x＋1y＝log63＋log62＝log66＝1，即2x＋1y＝1.
8%)2，…，经过x年后，总产值为a(1＋8%)x＝2a.
∴1.08x＝2.取常用对数，得 lg1.08x＝lg2.
则 x＝lgl1g.208＝00..30031304≈9(年)．
答：约经过 9 年后的国民生产总值是 2014 年的 2 倍． • [规律总结] 求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是
[答案] [解析]
2
3 原式＝llgg98·llgg23＝23llgg32·llgg23＝23.
5．logab·log3a＝4，则 b＝________.
[答案] 81
[解析] 由换底公式可得
原式＝llggba·llgga3＝log3b＝4，
∴b＝34＝81.
课堂典例讲练
利用换底公式求值、化简
计算：(1)log1618； (2)(log43＋log83)·llgg23. [思路分析] (1)16 和18都可表示为 2 的幂的形式，因此可 换成以 2 为底的对数计算；(2)前后两个式子中的底数不同，可 利用换底公式化成同一底数，再进行运算．
• 一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一 底数进行计算；
• 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通 分、求值．
4.2 换底公式(优质课件)
例1 计算： (1) log 8 9 log
27
32
;
(2)（log2125＋log425＋log85)·
（log52＋log254＋log1258）
(1) 若 lo g 2 3 m ， 则 lo g 4 3 _ _ _ _ _ ( 2 ) 若 lg 2 a ， 3 b ， 则 lo g 5 1 2 _ _ _ _ lg
1.对数运算有哪三条基本性质？ lo （1） g a M lo g a N lo g a ( M N )
lo （2） g a M lo g a N lo g a
n
M N
lo （3） g a M
n lo g a M
.
2.对数运算有哪三个常用结论结论？ （1）lo g a a 1 ; （2） lo g a 1 0 ; （3） lo g N N ; a
3 log 2 log
3 3
log
原 式
2
3 a log
3
2
log log
2 2
2 3
1 a
1 b 1 a 1
=
a ab 1 a
例3：一种放射性物质不断变化为其他物质,每 经过一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经 过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果 保留1个有效数字).
(2) 1 2
4 2
方法二 依题意得0.84x=0.5,用科学计算器计算得
x log
0 . 84
0 .5
ln 0 . 5 ln 0 . 84
3 . 98 ,
即约经过4年,该物质的剩留量是原来的一半.
对数的换底公式课件
换底公式适用于对数里有参数的情况，如log_a(b)， 其中b是参数。
真数必须大于0
换底公式中的真数必须大于0，因为对数定义域的限 制。
换底公式使用时的注意事项
正确选择底数
选择适当的底数可以帮助简化计算， 例如在科学计算中常用以10为底或以
e为底的换底公式。
避免计算错误
换底公式涉及多个对数的运算，容易 出错，需要仔细核对每一步的计算结
推导过程中需要特别注意处理对数的运算次序、底数和指数 的关系，以及不同底数之间的转换关系，以确保推导的正确 性和严谨性。
换底公式证明
换底公式的证明主要基于对数的定义 和性质，通过数学演绎推理的方法进 行证明。证明过程中需要利用已知的 对数运算法则和性质，逐步推导出换 底公式。
证明的关键在于理解对数的基本性质， 掌握对数运算法则的应用，以及能够 灵活运用数学演绎推理的方法。
03
换底公式的应用
利用换底公式进行对数计算
01
换底公式可以将对数计算从一种底数转换为另一种底数，简化 计算过程。
02
利用换底公式可以快速比较不同底数对数值的大小，有助于解
决一些数学问题。
在科学计算中，换底公式可以用于将不同单位或不同来源的数
03
据统一到相同的对数底数下，便于分析和比较。
利用换底公式解决实际问题
与对数的运算律结合
换底公式可以与对数的运算律结合使用，如 log_a(m^n) = n * log_a(m)，log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)等。
与指数和对数互化结合
换底公式可以与指数和对数互化的性质结合使 用，如e^(log_a(b)) = b，log_a(e^b) = b等。
05
真数必须大于0
换底公式中的真数必须大于0，因为对数定义域的限 制。
换底公式使用时的注意事项
正确选择底数
选择适当的底数可以帮助简化计算， 例如在科学计算中常用以10为底或以
e为底的换底公式。
避免计算错误
换底公式涉及多个对数的运算，容易 出错，需要仔细核对每一步的计算结
推导过程中需要特别注意处理对数的运算次序、底数和指数 的关系，以及不同底数之间的转换关系，以确保推导的正确 性和严谨性。
换底公式证明
换底公式的证明主要基于对数的定义 和性质，通过数学演绎推理的方法进 行证明。证明过程中需要利用已知的 对数运算法则和性质，逐步推导出换 底公式。
证明的关键在于理解对数的基本性质， 掌握对数运算法则的应用，以及能够 灵活运用数学演绎推理的方法。
03
换底公式的应用
利用换底公式进行对数计算
01
换底公式可以将对数计算从一种底数转换为另一种底数，简化 计算过程。
02
利用换底公式可以快速比较不同底数对数值的大小，有助于解
决一些数学问题。
在科学计算中，换底公式可以用于将不同单位或不同来源的数
03
据统一到相同的对数底数下，便于分析和比较。
利用换底公式解决实际问题
与对数的运算律结合
换底公式可以与对数的运算律结合使用，如 log_a(m^n) = n * log_a(m)，log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)等。
与指数和对数互化结合
换底公式可以与指数和对数互化的性质结合使 用，如e^(log_a(b)) = b，log_a(e^b) = b等。
05
对数的换底公式【公开课教学PPT课件】
[思路探究] 先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数 求值．
方法小结
[规律方法] 解对数应用题的步骤
方法小结
1．换底公式主要用于计算、化简求值，化简时，有 两种思路： ①根据题目特点，先换部分对数的底进行运算． ②直接把题中对数全换成统一底的对数进行运算． 2．换底公式常用推论：
loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
23＋llgg
29＝
2llgg32＋3llgg32llgg 23＋2llgg23
＝56llgg
3 3lg 2·2lg
23＝54.
典例详解（2）用已知对数表示其他 对数
已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645.
[思路探究] 运用换底公式，统一化为以18为底的对数．
学习目标
重点难点 重点： 能推到出对数的换底公式 难点：会用对数换底公式进行化简与求值．
复习回顾
积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N
> 0 有：
loga(MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
logaN
(2)
logaM n nlogaM (n R) (3)
解:（1）log9 27
=
log3 27 log3 9
=
3 2
（2）log 8 9 log 27 32
= lg 9 lg 32 lg 8 lg 27
= 2lg 3 5lg 2 3lg 2 3lg 3
10 9
课后练习
2.计算：
（1）log9 8 log32 27
方法小结
[规律方法] 解对数应用题的步骤
方法小结
1．换底公式主要用于计算、化简求值，化简时，有 两种思路： ①根据题目特点，先换部分对数的底进行运算． ②直接把题中对数全换成统一底的对数进行运算． 2．换底公式常用推论：
loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
23＋llgg
29＝
2llgg32＋3llgg32llgg 23＋2llgg23
＝56llgg
3 3lg 2·2lg
23＝54.
典例详解（2）用已知对数表示其他 对数
已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645.
[思路探究] 运用换底公式，统一化为以18为底的对数．
学习目标
重点难点 重点： 能推到出对数的换底公式 难点：会用对数换底公式进行化简与求值．
复习回顾
积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N
> 0 有：
loga(MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
logaN
(2)
logaM n nlogaM (n R) (3)
解:（1）log9 27
=
log3 27 log3 9
=
3 2
（2）log 8 9 log 27 32
= lg 9 lg 32 lg 8 lg 27
= 2lg 3 5lg 2 3lg 2 3lg 3
10 9
课后练习
2.计算：
（1）log9 8 log32 27
2024版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算第2课时换底公式课件
题型 3 实际问题中的对数运算
例3 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋
S
)，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道
N
带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，
S
S
其中 叫做信噪比．当信噪比 比较大时，公式中真数里面的1可以忽
N
N
S
b
将本例条件改为“4 ＝5 ＝10”，求 ＋ 的值．
解析：由4a＝5b＝10，得a＝logபைடு நூலகம்10，b＝log510，
1
2
1
2
所以 + ＝
+
＝lg 4＋2lg 5＝lg (4×25)＝2.
a
b
log4 10
log5 10
学霸笔记：
利用等式运算性质与换底公式求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和
第2课时
换底公式
预学案
共学案
预学案
换底公式❶
1．换底公式
log
log
b＝________(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
loga
2．对数换底公式的重要推论
1
(1)logaN＝
(N＞0，且N≠1；a＞0，且a≠1)．
logN a
m
log an ＝ logab(a＞0，且a≠1，b＞0)．
的值吗？(lg 2，lg 3可利用计算器查得)
(2)把(1)一般化，由对数的定义，你能否用logca，logcb表示logab(a>0，
且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)吗？
对数的运算(换底公式).ppt
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问 题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起 了重要作用，在解题过程中应注意： （1）针对具体问题，选择好底数； （2）注意换底公式与对数运算法则结合使用； （3）换底公式的正用与逆用；
例三、设 求证：
3x 4 y 6 z t 1
1 1 1 z x 2y
logc b 证明:由换底公式 loga b logc a logb b 取以b为底的对数得： loga b logb a 1 logb b 1, loga b logb a
logx z logx y logy z logx y logx z logx y
还可以变形,得
loga M loga N
(loga M ) n
对数的换底公式
logc b loga b logc a
loga b x,
x
(a, c (0,1) (1,),b 0)
证明：设
ba ,
x
由对数的定义可以得：
logc b logc a , logc b x logc a,
∴
1 lg m lg 3 2
∴
m 3
例1、解方程： （1）2 2x －1 = 8 x
解：原方程化为 2 2x －1 = 2 3x
2x －1 = 3x
∴ 方程的解为 （2）lg x －lg ( x －3 ) = 1
x = －1
x = －1
解：原方程化为 lg x = lg 10 + lg ( x －3 )
(1 3 pq) lg 5 3 pq
∴
∴
3 pq lg 5 1 3 pq
例六、若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2
2025年高考数学一轮复习-4.2.2换底公式【课件】
解析：设 ax＝by＝cz＝t， 则 x＝logat，y＝logbt，z＝logct， ∴1＋1＋1＝ 1 ＋ 1 ＋ 1
x y z logat logbt logct ＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0.∴abc＝1. 答案：1
跟踪训练 2 (1)已知 2x＝3y＝a，1＋1＝2，则 a 的值为( ) xy
lg 2＋2lg 2＋3lg 2 lg 5 2lg 5 3lg 5
13lg 5 ＝ 3lg 2
3×llgg
2 5
＝13.答案：(1)5 4
(2)13
题型二 利用换底公式条件求值
例 2 已知 a，b，c 都是不等于 1 的正数，且 ax＝by＝cz，1＋1 xy
＋1＝0，则 abc＝________. z
解析：(1)原式＝
log23＋log23 log24 log28
1＋ 1 log23 log232
＝54.
(2)原式＝
lg 125＋lg 25＋lg lg 2 lg 4 lg
5 8
lg lg
2＋ lg 4 ＋ lg 8 5 lg 25 lg 125
＝
3lg 5＋2lg lg 2 2lg
5＋ lg 5 2 3lg 2
A.32
B．－32
C．6
D．－6
解析：log 答案：C
3 3
217＝log
-1
32
－3 3－3＝－1log33＝6.故选
C.
2
4．若 log45·log5x＝254·llgg
5x＝2，即llgg
4x＝2，于是
lg
x＝2lg
4＝lg
16，
故 x＝16.
A．36 B．6 C．2 6 D. 6
x y z logat logbt logct ＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0.∴abc＝1. 答案：1
跟踪训练 2 (1)已知 2x＝3y＝a，1＋1＝2，则 a 的值为( ) xy
lg 2＋2lg 2＋3lg 2 lg 5 2lg 5 3lg 5
13lg 5 ＝ 3lg 2
3×llgg
2 5
＝13.答案：(1)5 4
(2)13
题型二 利用换底公式条件求值
例 2 已知 a，b，c 都是不等于 1 的正数，且 ax＝by＝cz，1＋1 xy
＋1＝0，则 abc＝________. z
解析：(1)原式＝
log23＋log23 log24 log28
1＋ 1 log23 log232
＝54.
(2)原式＝
lg 125＋lg 25＋lg lg 2 lg 4 lg
5 8
lg lg
2＋ lg 4 ＋ lg 8 5 lg 25 lg 125
＝
3lg 5＋2lg lg 2 2lg
5＋ lg 5 2 3lg 2
A.32
B．－32
C．6
D．－6
解析：log 答案：C
3 3
217＝log
-1
32
－3 3－3＝－1log33＝6.故选
C.
2
4．若 log45·log5x＝254·llgg
5x＝2，即llgg
4x＝2，于是
lg
x＝2lg
4＝lg
16，
故 x＝16.
A．36 B．6 C．2 6 D. 6
北师大版高中数学必修一3.4.2换底公式课件
3 ������������2 ������������3 3 =· =- . 2 ������������3 ������������2 2
5
3
7
-7-
4.2 换底公式
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
-5-
4.2 换底公式
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
反思换底公式中的底可由条件决定,也可换为常用对数的底,一般 来讲,对数的底越小越便于化简,如以an为底的对数可换成以a为底 的对数.
-6-
4.2 换底公式
4.2
换底公式
-1-
4.2 换底公式
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.理解换底公式的证明过程,会用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数,能正确运用换底公式计算一般对数. 2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运 算.
=
5 . 6
(2)原式 =
1 -������������������53· ������������������7 4 3 ������������������52· ������������������73 3 = =- log32· log23 2 -������������������ 3· ������������������ 2 2
高中数学北师大版必修一《换底公式》课件
•
单击此用处对编数辑（母或版自文然本对样数式）得
• 二级x lg 2 lg15所以 x lg1
5这样我们就可以用计
• 算三级器算出
lg 2
• 四级
• 五级 lg15 log2 15 lg 2 3.9068906
看来在计算中必须把对数的底数变换然今天我们 学习对数的换底公式
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• 四级
x0
1•
五级
2
3
45
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42
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88
单击此处y编辑母版标题样式
• 单击此处编1 辑母版文本样式
• 二•级三级0.5
• 四级
0• 五级
4
x
由图象可以看出 y=0.5 只需x 4
答：大约经过4年剩余量是本来的1/2
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p logc N logc a
即证得
loga
N
logc logc
N a
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44
其他重要公式3:
单击此处编辑母1版标题样式
•
单击此处编辑lo母ga版b文 本lo样gb式a
• 二证级明:由换底公式 loga • 三级
a,b (0,1)
N logc N logc a
(1,)
• 四级
P • 单击此处编1辑0母2版练文习本第样2式，3题
• 二级
练• 习三级2 计算
(1)• l四o级•g五9级8.log32 27
(2)
log 2
1 125
.log3
1 32
.log5
1 3
练习3 用换底公式证明
3.4.2换底公式 课件(北师大版必修一)
【题型示范】 类型一 用换底公式表示对数式
【典例1】
(1)(2014·九江高一检测)已知log73=a,log74=b,log4948=
(用a,b表示).
(2)已知log147=a,14b=5,用a,b表示log3528.
【解题探究】1.如何建立log4948同a,b的关系? 2.题(2)中如何求解b?log3528如何用a,b表示? 【探究提示】1.借助换底公式统一底数. 2.借助对数的定义求解b,然后利用换底公式把log3528换成以 14为底的对数.
1 ,b=log436= 1 . log36 3 log36 4
【巧妙解法】 等式3a=4b=36两边都取以10为底的对数,得lg3a= lg4b=lg36, 即alg3=blg4=lg36, 所以 2 =log369, 1 =log364,
a 所以 2＋ 1 =1. a b b
答案：1
【方法对比】 常规方法切入点简单,但步骤有点复杂,倘若对对数的运算性质 不熟,则会导致运算错误,而巧妙解法直接统一底数,思路清晰, 方便快捷.
【教你一招】
处理“指数式和对数式”问题的换底技巧
题目中有指数式和对数式时,要注意指数式与对数式的互化,为 了便于运算,常借助换底公式把题目中不同底数的对数化成同 底数的对数,如本例中直接取常用对数,然后应用对数运算性质 进行计算.
【类题试解】设3a＝5b＝ 15 ，则 1 ＋ 1 ＝______. a b 【常规解法】将3a＝5b＝ 15 的两边取以15为底的对数得， alog153=blog155= 1 ,
1 所以 1 2log15 3， 2log15 5, 2 a b 所以 1 ＋ 1 ＝2log15 3 2log15 5＝2. a b
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指数函数和对数函数
＝lo1g＋185l＋ogl1o81g98189＝log21－85＋loglo18g9189 ＝a2＋－ba. 法二：由 log189＝a,18b＝5， 有lg9l＋g9lg2＝a，① log185＝b， lg9l＋g5lg2＝lg19－＋lglg22＝b，②
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数
题型二 用已知对数表示其它对数
例2 已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示 log3645. 【解】 法一：由 18b＝5，得 log185＝b.又 log189 ＝a， 则 log3645＝lloogg11884356＝lloogg1188158××92 ＝log11＋85＋loglo18g2189
指数函数和对数函数
变式训练
1．计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋
log254＋log1258)． 解：法一：原式＝(log253＋lloogg22245＋lloogg2258)(log52
＋
log54 log525
＋
log58 3log55
)
＝
(3log25
＋
log25
) lg13
B. lg7
13 D. 7
解析：选 B.log713 换为常用对数为llgg173.
指数函数和对数函数
2．log47·log74等于( )
A．0
B．1
C．4
D．7
解析：选 B.log47×log74＝lloogg7747·log74＝1.
指数函数和对数函数
想一想 2.(logab)·(logbc)·(logca)(a，b，c＞0且a，b， c≠1)的值是多少？ 提示：(logab)·(logbc)·(logca)＝logab·llooggaabc·llooggaaac ＝1
所以2a＝log63，1b＝log62.………5分 所以2a＋1b＝log63＋log62＝log66＝1.
10 分
指数函数和对数函数
【名师点评】 解答带有附加条件的对数式 求值问题，通常需要指数式与对数式互化或 对等式两边取对数等，但要注意对底数的合 理选取及化同底．
指数函数和对数函数
变式训练
指数函数和对数函数
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)
＝log32＋lloogg3392lloogg2234＋lloogg2283 ＝(log32＋12log32)12log23＋13log23
＝32log32×56log23＝54×llgg23×llgg32＝54. 【思维总结】 求对数式的值时，若底数不 同，可用换底公式化为同底，再利用对数运 算性质计算．
指数函数和对数函数
由换底公式可得 a＝log336＝log1363，b＝log436 ＝log1364，…5 分 所以2a＋1b＝2log363＋log364＝log369＋log364 ＝log3636＝1.10 分 法二：对已知条件中的三项取以6为底的对数，
得alog63＝2blog62＝2.…2分
指数函数和对数函数
失误防范 要注意对数换底公式的特征：一个对数换为 两个同底的对数的商，而不是商的对数．要 保证对数有意义，如： log(－2)2(－3)4直接化为2log(－2)(－3)显然是无 意义的．
＋
1 3
log25)(log52＋log52＋log52)
＝(3＋1＋13)log25·(3log52)＝13log25·＝lloogg2225＝13.
指数函数和对数函数
法二：原式＝(lglg1225＋llgg245＋llgg58)(llgg25＋llgg245＋ lglg1825) ＝(3llgg25＋22llgg52＋3llgg52)(llgg25＋22llgg25＋33llgg25) ＝(133llgg25)(3llgg52)＝13.
指数函数和对数函数
答案：2016
2．设x，y，z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z，
比较3x,4y,6z的大小． 解：3x－4y＝3log3k－4log4k＝log3k3－log4k4
＝3logk4－4logk3＝logk64－logk81，
logk3·logk4
logk3·logk4
∵k＞1，∴logk64－logk81＜0，∴3x＜4y.
备选例题
1．已知f(3x)＝4xlog23＋234，则f(2)＋f(4)＋ f(8)＋…＋f(28)的值等于________． 解析：令t＝3x，则x＝log3t， ∴f(t)＝4log3t·log23＋234 ＝4·lloogg223t ·log23＋234＝4log2t＋234. ∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28) ＝4(1＋2＋3＋…＋8)＋8×234＝144＋1872＝ 2016.
得 log142＝lloogg
22 ＝ 214 log
227＋2＝a.
∴2＝a(log 27＋2)，即 log 27＝21－a a.
指数函数和对数函数
题型三 利用对数求值
例3 (本题满分 10 分)设 3a＝4b＝36，求2a＋1b 的值． 【思路点拨】 把a，b用对数形式表示后， 转化为对数的运算求值． 【解】法一：由3a＝4b＝36，得log336＝a， log436＝b，……2分
对数换底公式 logbN＝__llo_ogg_aaN_b __(a，b＞0，a，b≠1，N＞0). 想一想 1.logab与logba(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)有什 么关系？ 提示：logab＝lg1ba.
指数函数和对数函数
做一做
1.log713 等于( A．log137 C.lloogg－－55173
指数函数和对数函数
4y－6z＝4logk4－6log6k
＝ 4 － 6 ＝ 4logk6－6logk4 ＝
logk4
logk6
logk4·logk6
2logk36－logk64， logk4·logk6
∵k＞1，∴logk36＜logk64，
∴4y＜6z，∴3x＜4y＜6z.
指数函数和对数函数
方法感悟
指数函数和对数函数
变式训练
2．已知 log142＝a，试用 a 表示 log 27.
解：法一：∵log142＝a，∴log214＝1a. ∴1＋log27＝1a.∴log27＝1a－1.
由对数换底公式，得 log27＝lloogg
27＝log
22
2
27.
指数函数和对数函数
∴log 27＝2log27＝2(1a－1)＝21－a a. 法二：由对数换底公式，
指数函数和对数函数
换底公式
指数函数和对数函数了―解→
换底公式 的意义
―理―解→
换底公式的 推导过程
―掌―握→
将其它对数转化为常用 对数、自然对数求值
指数函数和对数函数
重点难点 重点：换底公式的特征． 难点：用换底公式进行对数式的化简求值．
指数函数和对数函数
新知初探·思维启动
指数函数和对数函数
典题例证·技法归纳
题型探究
题型一 用换底公式求对数式的值
例1 计算：(1)log1627log8132； (2)(log32＋log92)(log43＋log83)． 【解】 (1)log1627log8132＝llgg2176×llgg3821 ＝llgg3234×llgg3245＝34llgg32×54llgg23＝1156.
而 log3645＝llgg54＋＋llgg99＝1－2lgl2g＋2＋lglg99，③ 由①②联立，得 lg2＝1－1－a＋a b，lg9＝1－aa＋b， ④ 把④代入③，得 log3645＝a2＋－ba.
指数函数和对数函数
【名师点睛】 求条件对数式的值，可从条 件入手，从条件中分化出要求的对数式，进 行求值；也可从结论入手，转化成能使用条 件的形式；还可同时化简条件和结论，直到 找到它们之间的联系．
3．设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝(
)
A. 10 C．20
B．10 D．100
解析：选 A.由 2a＝5b＝m，得 a＝log2m，b＝
log5m.
∴
1 a
＋
1 b
＝
1 log2m
＋
1 log5m
＝
logm2
＋
logm5
＝
logm10＝2，
∴m2＝10.又 m＞0，∴m＝ 10.
指数函数和对数函数
方法技巧 1．利用对数换底公式 logbN＝llooggaaNb (a＞0， a≠1，b＞0，b≠1，N＞0)，可以将不同底数 的对数化为同底数的对数；将一般的对数化为 自然对数或常用对数，再化简计算．
指数函数和对数函数
2．换底公式中的底可由条件决定，也可换为 常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便 于化简，如 an 为底的换为 a 为底．例如：loganbn ＝logab；loganbm＝mn logab.