二元二次方程组教案教学内容
二元二次方程(教案)
21.5二元二次方程和方程组教学目标1、知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念，能够判定给定的方程和方程组是否是二元二次方程或二元二次方程组；2、了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给定的数值是否是方程（组）的解；3、经历二元一次方程组和二元二次方程组的对比学习，初步感悟方程知识的通识.教学重点及难点二元二次方程（组）及其解的概念和辨别；二元二次方程组概念的理解及辨别．教学流程设计教学过程设计一、 情景引入1、思考：问题1学校组织全体师生到学校放映厅看戏，如果每排只坐17名学生，则有5名同学没有位置坐，如果每排坐23名学生，则放映厅里空5排位置没有人坐，求去看戏的师生总人数和放映厅的座位排数. 问题2上述放映厅原有座位500个，每排的座位数一样多，现在放映厅管理人员为了让师生有更舒适的欣赏环境，对放映厅进行了改造，每排减少了2个座位，并减少了5排，改造后的剧场座位数恰好与学校师生总人数相同，问：剧场原有座位的排数是多少？每排有多少个座位？2、讨论：解决上面两个问题所列的方程组有什么相同点和不同点？【说明】问题1列出的方程组是我们前面学习过的二元一次方程组，学生能很快辨识出来，问题2列出的方程组里两个方程都含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2，通过对比可以发现不同点就是含有未知数的项的最高次数不同，从而引出今天要学习的新课.二、学习新课1、仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.请学生找出上面方程组中的二元二次方程，然后向学生介绍二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等概念.2、关于x、y的二元二次方程的一般形式是：22+++++=（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、ax bxy cy dx ey f oc中至少有一个不为零），其中22ax bxy cy叫做这个方程的二次项，a、,,b、c分别叫做二次项系数，,dx ey叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项.反馈练习：１．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.2222(1) 1 ; (2)320;1(3)20 ; (4)3 1.x y y y y x x y xy +=-+=+-=++=２．问题3如图，有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边分别是多少？【说明】问题2中得到的方程组是由两个二元二次方程所组成的，为避免部分学生可能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，这里列举由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组，利于学生对二元二次方程组概念的理解.3、二元二次方程组：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.反馈练习：2、下列方程组中，哪些是二元二次方程组？223231205(1) (2) (3) (4)1831235y y x xy x x y xy y x y x xy x y ⎧==-+=+=⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨+=-=-+-==⎩⎩⎩ 4、回顾什么是方程（组）的解？类比学习二元二次方程（组）的解。
沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计
沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计一. 教材分析《二元二次方程组》是沪教版数学八年级下册第21章的内容，本节内容是在学生学习了二元一次方程组的基础上进行的。
二元二次方程组是实际问题中常见的数学模型，对于学生来说，掌握二元二次方程组的知识，不仅可以帮助他们解决实际问题，还可以培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了二元一次方程组，对解方程组有一定的了解。
但二元二次方程组与二元一次方程组在形式和求解方法上都有很大的不同，所以学生可能需要一定的时间来适应和理解。
同时，学生对于解决实际问题的能力也各不相同，需要老师在教学中进行因材施教。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二元二次方程组的定义，了解二元二次方程组的解法，能够运用二元二次方程组解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作，培养学生解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极面对困难，勇于挑战的精神。
四. 教学重难点1.重点：二元二次方程组的定义，二元二次方程组的解法。
2.难点：如何将实际问题转化为二元二次方程组，以及如何运用二元二次方程组解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索。
2.小组合作教学法：通过小组讨论，培养学生的团队协作能力，提高学生解决问题的能力。
3.案例教学法：通过分析具体案例，使学生更好地理解二元二次方程组的应用。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入和巩固环节。
2.准备PPT，用于呈现和讲解二元二次方程组的相关知识。
3.准备练习题，用于课后巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）老师通过设置一个实际问题，引出二元二次方程组的概念。
例如，某商店同时销售两种商品A和B，售价分别为每件100元和80元，顾客购买商品A和B的数量分别为a和b，已知该商店一天的总销售额为1500元，请问顾客购买了这两种商品的数量分别是多少？2.呈现（10分钟）老师通过PPT呈现二元二次方程组的定义和解法，让学生了解二元二次方程组的形式和求解方法。
初中数学教案解二元二次方程组
初中数学教案解二元二次方程组二元二次方程组是初中数学中的重要内容之一，它能够帮助我们解决实际问题、提高解题能力和逻辑思维能力。
下面，将以一个具体的教案为例，来介绍如何有效地教授初中生解二元二次方程组。
1. 教学目标通过本课的学习，学生应能够：- 掌握二元二次方程组的定义和基本性质；- 能够利用消元法和代入法解决简单的二元二次方程组；- 了解二元二次方程组在实际问题中的应用。
2. 教学准备- 板书准备：在黑板上书写二元二次方程组的定义和基本形式；- 教具准备：准备适量的练习题、解法示例以及实际问题样例。
3. 教学过程（1）引入- 老师可以先通过一个生活实例引入二元二次方程组的概念，如：小明和小红两人一起去买水果，小明买了苹果和梨共计10个，小红买了苹果和梨共计12个，请问他们各自买了多少个苹果和梨？- 引导学生思考这个问题如何用数学语言来表达。
- 将学生的思考结果整理出来，得出类似于"x+y=10"和"x+y=12"的方程组。
（2）定义和基本形式- 老师在黑板上讲解二元二次方程组的定义和基本形式，即两个未知数的二次方程的组合；- 引导学生理解方程组中每个方程的含义，即每个方程代表其中一个未知数与其他未知数之间的关系。
（3）解法示例- 介绍消元法的基本思路和步骤：1) 通过相加或相减的方式，消除一个未知数的系数，使得方程组中一方程的未知数系数相同；2) 将第一个方程乘以一个适当的数，使得未知数的系数在两个方程中相等；3) 将两个方程相减，得到一个一元二次方程；4) 解一元二次方程，得到一个未知数的值；5) 将求得的未知数的值代入其中一个方程，求得另一个未知数的值。
- 以具体的例子进行讲解和练习，引导学生掌握消元法的步骤和技巧。
（4）实际问题应用- 将二元二次方程组的解法应用到实际问题中，如物体抛射问题、面积问题等；- 提供实际问题样例，引导学生构建方程组并解答问题。
第三讲二元二次方程组3.1教案
第三讲简单的二元二次方程组教案3.1 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组学习目标：1.了解二元二次方程、二元二次方程组的概念.2.掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，会用代入法求方程组的解.3.通过“代入消元法”解方程组进一步理解“消元”“降次”的方法.4.通过“逆用根与系数的关系”解方程组了解“转化”的数学思想方法.教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法和逆用根与系数的关系解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组.教学难点:理解解二元二次方程组的基本思想.教学过程：由于学生已经学过二元一次方程、二元一次方程组的意义，所以在进行二元二次方程和二元二次方程组的概念教学时，通过具体的二元二次方程和二元二次方程组的实例，通过相同点和不同点的分析，得出二元二次方程及二元二次方程组的定义，以加深学生的理解，在二元二次方程组的解法教学时，应向学生指出，解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，解二元二次方程组的基本思想是消元和降次.由于学生已经学过二元一次方程及二元一次方程组的概念,所以通过具体的二元二次方程及二元二次方程组,让学生进行分析和比较,得出二元二次方程的定义及常见的二元二次方程组的判别方法,使学生容易接受和理解新的知识.用消元法解方程组对学生来说并不陌生,学生在学习二元一次方程组的解法时,就是用消元法来解的,因此在进行本节教学时,通过教师的启发引导,学生分析二元二次方程组的特点,探求消元的方法,从而从整体上看学生在课堂上讨论热烈,能调动学生学习的积极性,激发学生的学习情趣,提高学生分析问题和解决问题的能力.一、 新课引入:1. 举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组?2. 解二元一次方程组的基本思路是什么?3. 解二元一次方程组有哪几种方法?问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.二、 新课讲解:我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.(1)二元二次方程及二元二次方程组定义①:含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.二元二次方程的一般形式为022=+++++f ey dx cy bxy ax ，其中二次项的系数c b a ,,至少有一个不为0.定义②:由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组.（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法.我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.解二元二次方程组的基本思想是消元和降次,消元就是化二元为一元,降次就是把二次降为一次,因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说,代入消元法是解这类方程组的基本方法.【例1】代入消元法解方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(03)1(0222 y x y x 分析：二元二次方程组的代入消元解法与二元一次方程组的代入消元解法类似，都是把二元方程化为一元方程由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ．解：由(1)得：2y x = (3)将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把11x =代入(3)得：12y =；把21x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：12121122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，或． 说明：(教师和学生可以共同总结)代入消元法是解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解.【例2】逆用根与系数的关系解方程组⎩⎨⎧==+)2(12)1(8 xy y x 分析：仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以y x ,为根的一元二次方程来求解.解法一：由(1)得x y -=8 (3)把(3)代入(2)，整理得01282=+-x x .解得6,221==x x .把21=x 代入(3)，得61=y .把62=x 代入(3)，得22=y .所以原方程组的解是⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==26,622211y x y x 或.解法二：根据根与系数的关系可知：y x ,是一元二次方程，01282=+-z z 的两个根，解这个方程，得6,221==z z .∴所以原方程组的解是⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==26,622211y x y x 或. 说明：逆用根与系数的关系的具体步骤是：①对形如 x y a xy b +=⎧⎨=⎩的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x 、y 看做一元二次方程02=+-b az z 的两个根，解这个方程，求得的1z 和2z 的值，就是y x ,的值。
初中数学教案解二元二次方程组
初中数学教案解二元二次方程组一、教学目标1. 理解二元二次方程组的定义和概念。
2. 掌握解二元二次方程组的方法和步骤。
3. 能够应用解二元二次方程组解决实际问题。
二、教学准备1. 教师准备：黑板、粉笔、教材、习题册。
2. 学生准备：教材、习题册、尺子、计算器等。
三、教学过程本节课通过引入问题，引发学生对二元二次方程组的学习兴趣，再通过教师的讲解和学生的练习，帮助学生掌握解二元二次方程组的方法。
1. 问题引入教师可提出一个实际问题，如：小明和小红的年龄之和是35岁，小红的年龄是小明的两倍，求他们各自的年龄。
通过这个问题，引导学生思考如何建立二元二次方程组。
2. 二元二次方程组的定义和概念教师向学生介绍二元二次方程组的定义和概念，即包含两个未知数的二次方程组。
并给出二元二次方程组的一般形式：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 03. 解二元二次方程组的步骤教师向学生讲解解二元二次方程组的步骤，并结合示例进行说明。
步骤一：整理方程组，使其标准化通过合并同类项、整理方程组，消去一些项的系数，使得方程组变为标准形式。
步骤二：利用消元法解方程组通过消去一个未知数的方法，将二元二次方程组化简为一个一元二次方程。
步骤三：求解一元二次方程使用配方法、因式分解法、求根公式等方法，求解一元二次方程。
步骤四：带回求解另一个未知数将已解得的一个未知数的值带入另一个方程中，求解另一个未知数的值。
4. 解题练习教师布置一些二元二次方程组的求解题目，让学生进行练习。
可以分组合作，共同解题，并互相交流和讨论解题方法与过程。
5. 实际问题应用教师提供一些实际问题，并引导学生建立相应的二元二次方程组，通过解方程组求解实际问题。
如：甲、乙两人同时从A、B两地出发，速度分别是10km/h、12km/h，相向而行4小时后相遇，求A、B两地的距离。
通过以上的讲解和练习，学生能够掌握解二元二次方程组的方法和步骤，并能够应用所学知识解决实际问题。
初中数学教案解二元二次方程组
初中数学教案解二元二次方程组二元二次方程组是中学数学学习的重要内容之一，在初中阶段就开始接触和学习了。
本教案将从基础概念的讲解、解题方法的介绍以及练习题的提供三个方面，详细解析二元二次方程组的解法，以帮助学生更好地理解和掌握。
I. 概念讲解1. 二元二次方程组的定义二元二次方程组是由两个二次方程联立而成的方程组，通常形式为： a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 解的定义解是指使方程组中的所有方程同时成立的一组数值，也就是满足同时解方程组的变量值。
3. 二元二次方程组的解法解二元二次方程组可以通过以下两种方法进行：a) 代入法：将一方程的解代入另一方程中，消去一个变量，从而转化为一元二次方程，最后求解。
b) 消元法：利用消元法将方程组转化为较简单的形式，然后通过求解此简化方程组的方法得到解。
II. 解题方法的介绍1. 代入法的步骤a) 选择一个方程，通常选择其中一个系数较为简单的方程，用其中一变量表示，并将其代入另一方程。
b) 将代入后的方程化简为一元二次方程。
c) 求解一元二次方程得出解。
d) 将所求解代入原方程中，求出另一变量的值。
2. 消元法的步骤a) 通过消元法将其中一个变量的系数抵消，使方程组化简。
b) 将化简后的方程组转化为一元二次方程，求解得到一个变量的值。
c) 将所得的变量值代入原方程组中，求解得到另一变量的值。
III. 练习题1. 解下列二元二次方程组：a)2x² + 3xy + 2y² - 5x - 2y + 3 = 03x² + xy - 3y² - 2x - 5y + 1 = 0b)x² - xy - y² - 4x + 6y - 3 = 02x² + xy + 3y² + 16x - 2y - 1 = 0c)4x² + xy - 7y² + 3x - 2y - 7 = 0x² - 2xy - 3y² + 3x - 6y - 1 = 0IV. 解题步骤与答案1. 解题步骤a) 使用代入法解题的步骤：- 选取一个方程进行变量的代入，并将结果代入另一个方程中得到一元二次方程。
九年级数学 二元二次方程组 人教版
初三数学二元二次方程组人教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 二元二次方程组二. 学习目标：1. 弄清二元二次方程组的概念及类型（1）含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程。
其一般式：ax bxy cy dx ey f 220+++++= （a ，b ，c 不同为0）（2）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，叫“一二型二元二次方程组”一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组，叫“二二可分型方程组”2. 掌握解二元二次方程组的基本思路：降次，消元。
3. 熟练求解二元二次方程组的步骤4. 能使方程组中两方程都成立的未知数的值，叫方程组的解，二元二次方程组解的个数不定，至多有四组解。
5. 对于形如x y a xy b+==⎧⎨⎩的方程组，可通过构造以x ，y 为根的方程z az b 20-+=，达到消元目的。
三. 重点与难点：1. 重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，重点掌握方程组的解法。
2. 难点：降次、消元的方法是解题的难点。
【典型例题】例1. 解方程组261560222x y x xy y -=-+=⎧⎨⎩()()解：解法1：由()()1263y x =-（3）代入（2）x x x x x x 2225266260538720----=-+=()()∴==x x 124185，代入（3）中，y y 12265==， ∴原方程组的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解法2：由（2）()()x y x y --=230 ∴-=-=x y x y 2030或∴原方程组可化为26202630x y x y x y x y -=-=⎧⎨⎩-=-=⎧⎨⎩ ∴原方程的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 点拨：解法1代入消元法，先消元，再把方程组转化为一元二次方程；解法2分解因式法，先降次，再把方程组转化为两个二元一次方程组。
初三数学解二元二次方程组的教学案例
初三数学解二元二次方程组的教学案例教学目标：通过本次课程的学习，学生能够：1. 理解二元二次方程组的定义与特点；2. 能够准确地列方程组；3. 学会使用代入法、消元法和图解法三种方法解二元二次方程组。
教学准备：1. 教师准备：教案、黑板、彩色粉笔、投影仪、电脑、相关教学PPT。
2. 学生准备：数学课本、练习册、铅笔、橡皮擦。
教学过程：[引入]1. 教师出示两个一元二次方程的图像，让学生观察并回答：这两个方程的解是什么？2. 学生回答后，教师引导学生思考：如果有两个方程同时成立，方程的解会有什么特点？[理论阐述]3. 教师向学生讲解二元二次方程组的定义：含有两个未知数的两个方程的集合。
并解释二元二次方程组的特点：只有两个方程同时成立时，才能得到方程组的解。
4. 教师引导学生通过例题推导，解释如何列方程组。
例题：有一矩形的长比宽多2cm，周长是20cm，求矩形的长和宽。
解析：假设矩形的宽为x，则矩形的长为x+2，根据周长的定义可得2(x+2+x)=20，化简得到方程组2x+4=20。
5. 教师介绍解方程组的三种常用方法：代入法、消元法和图解法，并分别列出解题步骤。
[代入法]6. 教师结合具体例题，向学生讲解代入法的步骤。
例题：解方程组{2x+y=9{x+3y=13解析：根据第一个方程解出x的表达式：x=9-y/2，将其代入第二个方程得到9-y/2+3y=13，通过化简和整理可得到方程7y=10。
7. 教师引导学生进一步化简方程，解出y的值，并代入第一个方程求得x的值。
8. 学生完成练习册上的代入法练习题，教师随机抽查学生的解答，并进行讲解和纠正。
[消元法]9. 教师结合具体例题，向学生讲解消元法的步骤。
例题：解方程组{2x+y=9{x+3y=13解析：将第一个方程乘以3得到方程6x+3y=27，再将第二个方程乘以2得到方程2x+6y=26，然后将两个新方程相减消去x得到方程3y=1。
10. 教师引导学生进一步化简方程，解出y的值，并代入其中一个原方程求得x的值。
沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计
沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计一. 教材分析《二元二次方程组》是沪教版数学八年级下册第21章“方程与不等式”的第四节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握二元二次方程组的定义、解法及应用。
通过学习，学生能理解二元二次方程组的概念，掌握用代入法、消元法求解二元二次方程组的方法，并能够解决实际问题。
教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了二元一次方程组的相关知识，对解方程组有一定的基础。
但二元二次方程组与二元一次方程组在形式和求解方法上有较大的区别，需要学生重新建立认知结构。
此外，学生需要进一步培养抽象思维能力、问题解决能力和合作交流能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解二元二次方程组的定义，掌握用代入法、消元法求解二元二次方程组的方法，并能够解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生抽象思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：二元二次方程组的定义，代入法、消元法求解二元二次方程组。
2.难点：理解二元二次方程组的解法及应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二元二次方程组，激发学生学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动探究二元二次方程组的解法，培养学生的抽象思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，共同解决问题，提高学生的合作交流能力。
4.反馈评价法：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与课堂活动。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二元二次方程组的相关概念、解法及应用。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入二元二次方程组，激发学生学习兴趣。
如：某商店同时销售两种商品A和B，售价分别为每件100元和80元。
第三讲二元二次方程组3.2教案
3.2 由两个二元二次方程组成的方程组学习目标：1.掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法.2.掌握两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法.3.通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元”、“降次”的数学方法，获得对事物可以转化的进一步认识,提高学生的分析问题和解决问题的能力. 教学重点：通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组.教学难点：正确地判断出可以分解的二元二次方程.教学过程：我们已经学过常见的两种类型的二元二次方程组的解法，这一节课我们将进一步系统的复习二元二次方程组的解法.关于本节复习课，是对已学过的二元二次方程组有关内容的复习，所以直接明确本节课的目标，可以充分地调动学生的积极性，使学生能积极思考本节的内容，以提高学生的分析问题和解决问题的能力.一、复习提问：1.我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型?2.解二元二次方程组的基本思想是什么?3.解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么,其主要步骤是什么?4.把下列各式分解因式：(1)2265y xy x +- (2)1222-++y xy x (3)2)(3)(2++-+y x y x二、新课讲解【例3】解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩分析：注意到方程（1）225()x y x y -=+，可分解成()(5)0x y x y +--=，即得0x y +=或50x y --=，从而可分别和方程（2）组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解.解：由(1)得：225()0()()5()0()(5)0x y x y x y x y x y x y x y --+=⇒+--+=⇒+--= ∴ 0x y +=或50x y --=∴ 原方程组可化为两个方程组：22225004343x y x y x xy y x xy y --=+=⎧⎧⎨⎨++=++=⎩⎩或 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：312412341661x x x x y y y y ⎧⎧==-==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-===⎩⎩⎪⎪⎩⎩，，说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．【例4】 解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=--)2(144)1(0432222 y xy x y xy x分析：题中两个方程都可以分解，方程（1）分解为0)()4(=+⋅-y x y x ，方程（2）可分解为0)12()12(=-+⋅++y x y x ，因而此题可用本节介绍的方法来解. 解：由（1）得：0)()4(=+⋅-y x y x ，0)4(=-∴y x ，或0)(=+y x .由（2）得：0)12()12(=-+⋅++y x y x ，0)12(=++∴y x ，或0)12(=-+y x .因此，原方程组可化为四个方程组⎩⎨⎧=++=-01204y x y x ；⎩⎨⎧=-+=-01204y x y x ；⎩⎨⎧=++=+0120y x y x ；⎩⎨⎧=-+=+0120y x y x . 分别解这四个方程组，得原方程组的解为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=613211y x ；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==613222y x ；⎩⎨⎧-==1133y x ；⎩⎨⎧=-=1144y x . 说明:当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解.即时突破：解下列方程组2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩ 即时突破由学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调.作业：解下列方程组(1) 22(2)()08x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩ (2) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩ (3)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+065202222y xy x y x。
初中数学教案：解二元二次方程组
初中数学教案：解二元二次方程组解二元二次方程组一、引言解二元二次方程组是初中数学中的重要内容，理解和掌握解方程组的方法对于学习数学具有重要意义。
本教案将从理论与实践相结合的角度出发，全面介绍解二元二次方程组的方法和思路。
二、理论部分1. 二元二次方程组的概念二元二次方程组是指包含两个未知数的二次方程的方程组，通常表示为： a1x² + b1xy + c1y² + d1x + e1y + f1 = 0a2x² + b2xy + c2y² + d2x + e2y + f2 = 02. 解二元二次方程组的一般思路解二元二次方程组的一般思路包括以下几个步骤：a) 将方程组中的一元二次方程转化为因式分解的形式；b) 利用已知条件将含有另一个未知数的一元二次方程消去；c) 再次转化为一元二次方程，解得一个未知数的值；d) 将求得的未知数的值代入方程组中的一个方程，解得另一个未知数的值；e) 验证解是否正确。
3. 解二元二次方程组的方法a) 代入法将一个方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示出来，然后代入另一个方程中求解。
b) 消元法利用方程组中的两个方程进行消元，消去一个未知数，转化为一元二次方程求解。
c) 降次法将二元二次方程组通过配方法，降低为二次项的系数较小的方程组，进而解得未知数的值。
三、实践部分以一个具体的例子来说明如何解二元二次方程组。
例题：解方程组：x² + y² = 25x + y = 7解题步骤：1. 利用第二个方程，将y表示为x的函数。
例如，将y = 7 - x。
2. 将y的表达式代入第一个方程，得到：x² + (7 - x)² = 253. 化简方程，得到一个一元二次方程：2x² - 14x + 24 = 04. 解一元二次方程，求得x的值：x = 2 或 x = 65. 将x的值代入y的表达式中，得到对应的y的值：当x = 2 时，y = 7 - 2 = 5当x = 6 时，y = 7 - 6 = 16. 验证解的正确性，将x和y的值代入原方程组中验证。
二元二次方程组的解法教学设计
二元二次方程组的解法一、教材分析学习二元二次方程组，对传授知识、培养学生运算和解决实际问题的能力，都有重要的意义。
在教学上，既是复习旧知识，又为后续内容（特别是高中的平面解析几何）提供工具，起着承上启下的作用，所以在教学中应该重视。
解方程和方程组时，用到的“降次”、“消元”、“转化”等重要数学思想方法。
因此，在教学中，要引导学生注意掌握解题的思路，有计划，有目的地介绍某些有规律的解题技巧，全面归纳和总结解题方法，以达到抓住关键，突破难点的目的。
二、教学目标1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。
2、掌握用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组。
3、通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”、 “转化”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。
三、教学重点、难点教学重点：用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组。
教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想。
四、教学过程（一）复习提问：1、举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？2、解二元一次方程组的基本思路是什么？3、解二元一次方程组有哪几种方法？问题设计的目的是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法。
（二）新课讲解：我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组。
这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法。
关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了然，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容。
1、二元二次方程及二元二次方程组观察方程0624422=--++-y x y xy x 和01322=-+-y xy x ，这两个方程的特点：（1）含有两个未知数；（2）是整式方程；（3）含有未知数的项的最高次数是2。
定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程。
初中六年级数学教案学习解二元二次方程组
初中六年级数学教案学习解二元二次方程组二元二次方程组是初中数学中比较重要的内容之一，本教案将介绍如何解二元二次方程组以及如何应用解题。
通过本教案的学习，学生将能够掌握解二元二次方程组的方法，提高解题能力。
一、教学目标1. 掌握二元二次方程组的定义和基本概念。
2. 理解二元二次方程组的解的概念和特点。
3. 学会利用消元法和代入法解二元二次方程组。
4. 掌握如何利用解二元二次方程组解决实际问题。
5. 提高解题能力和灵活运用数学知识的能力。
二、教学准备1. 教师准备：教学课件、教材、黑板、彩色粉笔、教学实例。
2. 学生准备：课本、笔、作业本。
三、教学过程1. 导入教师可以通过提问的方式来引入本课的内容，例如：“在我们的生活中，经常会遇到两个未知数的问题，比如甲乙两个数的和为10，差为4，请问甲、乙分别是多少？”引发学生对于解二元二次方程组的兴趣。
2. 讲解二元二次方程组的定义和基本概念教师可以通过教材的引导，向学生介绍二元二次方程组的概念和定义，并通过实例演示来帮助学生理解。
3. 解二元二次方程组的方法3.1 消元法教师可以通过一个具体的例子来引导学生学习如何利用消元法解二元二次方程组。
例如：方程组：x^2 + y^2 = 25x + y = 7首先将第二个方程整理为：x = 7 - y然后将x的值代入第一个方程中，得到：(7 - y)^2 + y^2 = 25化简为：49 - 14y + 2y^2 = 252y^2 - 14y + 24 = 0解这个一元二次方程，得到y的解。
将y的解代入x = 7 - y，求出x的解。
3.2 代入法教师可以通过另一个具体的例子来引导学生学习如何利用代入法解二元二次方程组。
例如：方程组：2x + y = 7x^2 + y = 5可以将第一个方程整理为：y = 7 - 2x然后将y的值代入第二个方程中，得到：x^2 + (7 - 2x) = 5化简为：x^2 - 2x + 2 = 0解这个一元二次方程，得到x的解。
初中数学教案：解二元二次方程组
初中数学教案：解二元二次方程组解二元二次方程组的教学案例引言：数学是一门抽象而又实用的学科，解二元二次方程组作为初中阶段重要的数学内容之一，对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的指导作用。
本文将以解二元二次方程组为例，设计一份初中数学教案，旨在帮助学生理解并掌握这一知识点。
第一部分：引入与目标1. 引入从小区域内一个小河流到某大湖、大江、大河等不等的汇聚关系，都可以用方程描述。
但是，当我们需要了解两个或以上个体（对象）之间关联变化关系情况时，需要引入方程组来表示。
先给出一个简单例子：“亭子里只有公鸡和兔子两种动物。
假设它们全部拥有8只头以及26条腿，请问各有几只？”通过这个问题来引出方程组，并说明其重要性。
2. 目标- 理解什么是二元二次方程组；- 掌握通过消元法求解二元二次方程组；- 能够应用所学知识解决实际问题。
第二部分：知识讲解与示范1. 知识背景介绍解二元二次方程组的关键在于化简，通过消去变量的方法得到方程组的解。
需要掌握一些基本的数学运算技巧，如平方与配方法。
2. 解法示范- 提供一个具体的二元二次方程组的例子，并逐步演示求解过程；- 介绍不同情况下可能出现的解：有唯一解、无实数解、无穷多实数解；- 强调充分理解题目中所给条件，并进行合理建立与运用公式。
第三部分：练习与评估1. 练习题：设计一系列练习题，包括不同难度和类型，覆盖课堂所学内容。
例如：（1）请求以下方程组的解：{x^2 + y^2 = 25,y = x + 3}（2）设a为任意非零常数，b为任意实数，求下列方程组的通解：{ax + by = a - b,bx - ay = a + b}2. 检验与评估- 鼓励学生多思考多动手，在小组或个人形式下完成课后习题；- 合理利用教师提供答疑时间以及其他资源进行问题交流和解答。
第四部分：拓展与应用1. 拓展问题：引导学生思考解二元二次方程组的实际应用场景，并通过提问方式引导他们深入思考、探索。
《二元二次方程》教学方案
《二元二次方程》教学方案一、教学目标使学生理解二元二次方程的概念和基本形式。
掌握二元二次方程组的解法，包括代入法和消元法。
能够运用二元二次方程解决简单的实际问题。
通过学生互动环节，提高学生的合作学习和交流能力。
二、教学内容二元二次方程的概念和基本形式。
二元二次方程组的解法（代入法、消元法）。
二元二次方程的实际应用。
三、教学方法与手段讲授法：通过教师的讲解，让学生理解二元二次方程的基本概念和方程组解法。
练习法：通过大量的练习，让学生掌握二元二次方程组的解法技巧。
互动讨论法：通过小组讨论和全班互动，提高学生的合作学习和交流能力。
四、教学过程导入新课通过一个具体实例（如运动问题、经济问题等）引出二元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
讲授新课详细讲解二元二次方程的概念、基本形式及其解的含义。
举例说明二元二次方程在实际问题中的应用。
学生互动环节分组讨论：将学生分成若干小组，每个小组选择一个与二元二次方程相关的问题，并尝试建立方程组。
小组展示：每个小组选派一名代表，向全班展示他们的问题、方程组以及建立方程组的思路。
全班互动：教师针对每个小组的展示进行点评，并引导学生讨论不同解法的优缺点，以及如何选择合适的解法。
巩固练习提供一系列二元二次方程组的练习题，包括选择、填空和解答题，让学生独立完成。
教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并对解题方法进行点拨。
课堂小结总结二元二次方程的概念、基本形式、解法及其在实际问题中的应用。
强调二元二次方程在解决实际问题中的重要性，并鼓励学生多思考、多练习。
五、课后作业完成教材上的相关练习题，巩固所学内容。
找一个与二元二次方程相关的生活实例，尝试建立方程组并求解，培养学生的实际应用能力。
六、评价与反馈通过课堂表现和作业完成情况，评价学生对二元二次方程的理解和掌握程度。
鼓励学生之间进行互评，相互学习，共同进步。
根据学生的反馈和作业情况，及时调整教学策略，优化教学效果。
具体事例事例1：投资问题假设某人计划将一笔资金分别投入两个投资项目A和B，其中A项目的年回报率为10%，B 项目的年回报率为15%。
二元二次方程教案
二元二次方程教案教案标题：探索二元二次方程教学目标：1. 理解二元二次方程的定义和基本概念。
2. 掌握解二元二次方程的方法，包括因式分解、配方法和求根公式。
3. 能够应用二元二次方程解决实际问题。
教学准备：1. 教材：包含二元二次方程的相关章节。
2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔或马克笔、投影仪。
3. 学具：学生课本和练习册。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 利用投影仪或黑板上展示一个实际问题，如“甲、乙两人年龄之和为35岁，甲的年龄是乙的2倍，求甲、乙两人的年龄。
”2. 引导学生思考如何利用方程解决这个问题。
探究（15分钟）：1. 引导学生回顾一元二次方程的概念和解法。
2. 引导学生思考二元二次方程的定义和特点。
3. 利用黑板或白板展示一个简单的二元二次方程，如“x^2 + y^2 = 25”，并指导学生思考如何解决这个方程。
讲解（15分钟）：1. 通过讲解和示例，介绍二元二次方程的解法。
2. 解释因式分解、配方法和求根公式三种解法的基本原理和步骤。
3. 强调每种解法的适用条件和注意事项。
实践（20分钟）：1. 给学生分发练习册，让他们在课堂上完成一些二元二次方程的练习题。
2. 监督学生的解题过程，及时纠正他们的错误，鼓励他们互相讨论和合作解题。
总结（5分钟）：1. 回顾本节课的重点内容，强调二元二次方程的重要性和应用价值。
2. 提醒学生合理利用所学知识解决实际问题。
3. 解答学生提出的问题，并鼓励他们积极参与讨论。
拓展（5分钟）：1. 布置课后作业，要求学生继续完成一些二元二次方程的练习题。
2. 鼓励学生自主学习，寻找更多有关二元二次方程的实际问题，并尝试解决。
教学反思：1. 教学过程中是否引导学生积极思考和参与讨论？2. 学生对二元二次方程的理解和掌握程度如何？3. 学生在解题过程中是否存在常见错误，需要进一步指导和纠正？4. 教学目标是否达到，学生是否能够应用所学知识解决实际问题？注：以上教案仅供参考，具体教学内容和步骤可根据实际教学情况进行调整。
简单的二元二次方程组
简单的二元二次方程组二元二次方程组【教学内容】简单的二元二次方程组【教学目标】1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，会用代入法求方程组的解。
*2、掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
3、通过解简单的二元二次方程组，使学生进一步理解“消元”“降次”的数学方法，获得对事物可以转化的进一步认识。
【知识讲解】1、形如x 2+y=2，x 2+y 2=0,3x 2+2y 2+1=0，4x 2–4xy+y 2+2x –y –12=0这些整式方程，每个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次都是2，像这样的含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次是2的整式方程，称为二元二次方程。
关于x 、y 的二元二次方程式的一般形式是ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0（a 、b 、c 不全为零）其中ax 2、bxy 、cy 2叫做方程的二次项，dx 、ey 叫做方程的一次项，f 叫做常数项。
2、我们所研究的二元二次方程组一般由两个方程联立而成，其中一个是二元二次方程，另一个可能是二元二次方程、二元一次方程、一元二次方程或一元一次方程。
二元二次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元二次方程组的解。
求解二元二次方程组的基本思想是消元或降次，消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次，因此，通过消元或降次可以将其转化为二元一次方程组或一元二次方程甚至一元一次方程，以便求解。
例如在解方程组x –2y –1=0 (1)时，注意到(1)可以转化为x=2y+1(3)，将(3)式代入(2)–4x －y+1=0(2)即可消去(2)中的未知数x ，得到一个关于y 的一元二次方程。
我们把这种解方程组的方法叫代入消元法。
而在解方程组=+-=+)2(065)1(202222y xy x y x 时，显然无法直接使用代入法求解，但由于方程（2）可分解为(x –2y)(x –3y)=0即x –2y=0或x –3y=0，这样一来，原来的二元二次方程立即转化为两个二元一次方程，通过因式分解降低了方程的次数。
二元二次方程和方程组 优秀教学设计
二元二次方程和方程组【教学目标】1．知道二元二次方程和二元二次方程组的概念，知道二元二次方程的一般形式，能识别二次项、一次项、常数项等；2．了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给定的数值是否是方程（组）的解；3．经历二元二次方程（组）的概念以及二元二次方程（组）的解的概念的形成过程，发展观察归纳能力，体会类比的思想方法。
【教学重难点】二元二次方程（组）及其解的概念和辨别。
【教学过程】5排，并减少了5排，剧场座位数相应减少为345个。
问：剧场原有座位排数是多少？每排有多少个座位？观察：在上述两个问题列出的方程中，方程（2）、（3）、（4）有什么特点？它们与方程（1）有什么区别？教师：方程（2）、（3）、（4）都是二元二次方程。
二、学习新课1．仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程。
请学生找出上面方程组中的二元二次方程，然后介绍二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等概念。
2．关于x、y的二元二次方程的一般形式是：22ax bxy cy dx ey f o+++++=（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零），其中22,,ax bxy cy叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，,dx ey叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项。
反馈练习1：1．下列方程中，哪些是二元二次方xy=500 （3）xy-2x-5y=345（4）解这个方程组，就可以求出结果。
预设答：方程（1）是一个二元一次方程，方程（2）、（3）、（4）都含有2个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2次，它们都是整式方程。
它们与方程（1）的不同就是含未知数的项的最高次数不同。
5．例题分析已知下列四对数值3223; ; ; .2332x x x x y y y y =-=-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===⎩⎩⎩⎩（1）哪些是方程2213x y +=的解？ （2）哪些是方程组22113y x x y =+⎧⎨+=⎩的解。
根据公式法解二元二次方程组教学设计
根据公式法解二元二次方程组教学设计一、教学目标1. 理解二元二次方程组的概念和性质；2. 掌握用公式法解二元二次方程组的方法；3. 能够运用公式法解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学准备1. 教师准备计算器、黑板、白板、粉笔、讲义；2. 学生准备纸和笔。
三、教学过程1. 引入（5分钟）教师通过举例和提问引入二元二次方程组的概念和性质，激发学生的思维和兴趣。
2. 知识讲解（15分钟）教师讲解公式法解二元二次方程组的基本原理和方法，包括如何求解未知数，如何验证解的正确性等。
3. 实例演示（15分钟）教师通过具体的实例演示公式法解二元二次方程组的步骤和计算过程，引导学生理解和掌握解题方法。
4. 练训练（20分钟）教师设计一些练题，让学生自行解答，并批改讲解。
通过训练加深学生对公式法解二元二次方程组的理解和掌握程度。
5. 拓展应用（15分钟）教师提出一些拓展应用题，让学生将公式法解二元二次方程组应用于实际问题的求解，培养学生的问题解决能力和运用知识的能力。
6. 总结归纳（10分钟）教师对公式法解二元二次方程组的知识点进行总结和归纳，帮助学生理清思路，巩固所学知识。
四、教学评价1. 教师观察学生在课堂上的研究态度和参与情况；2. 教师布置作业，检查学生对公式法解二元二次方程组的掌握程度；3. 教师评价学生对实际问题的应用能力。
五、拓展延伸1. 学生可进一步探究其他方法解二元二次方程组；2. 学生可应用公式法解决更复杂的实际问题；3. 学生可研究二元二次方程组的相关知识和应用领域。
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第七讲 简单的二元二次方程组在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ． 解：由(1)得：2y x = (3) 将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的 值；⑤写出答案．(2) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值， 不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．【例2】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解．解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，解方程得：4z =或z=7．∴ 原方程组的解是：11114774x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或． 说明：(1) 对于这种对称性的方程组x y axy b +=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ．(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47x y =⎧⎨=⎩，则必有解74x y =⎧⎨=⎩．二、由两个二元二次方程组成的方程组1．可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【例3】解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩ 分析：注意到方程225()x y x y -=+，可分解成()(5)0x y x y +--=，即得0x y +=或50x y --=，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．解：由(1)得：225()0()()5()0()(5)0x y x y x y x y x y x y x y --+=⇒+--+=⇒+--=∴ 0x y +=或50x y --=∴ 原方程组可化为两个方程组：22225004343x y x y x xy y x xy y --=+=⎧⎧⎨⎨++=++=⎩⎩或用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：3124123416,,61xx x xy y y y⎧⎧==-==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-===⎩⎩⎪⎪⎩⎩说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．【例4】解方程组2212 (1)4 (2)x xyxy y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．解：(1) –(2)3⨯得：223()0x xy xy y+-+=即22230(3)()0x xy y x y x y--=⇒-+=∴300x y x y-=+=或∴原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44x y x yxy y xy y-=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩．用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11x xy y==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩．说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．【例5】解方程组2226 (1)5 (2)x yxy⎧+=⎨=⎩分析：(1) +(2)2⨯得：2()36 (3)x y+=，(1) -(2)2⨯得：2()16 (4)x y-=，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．解：(1) +(2)2⨯得：222236()3666x y xy x y x y x y++=⇒+=⇒+=+=-或，(1) -(2)2⨯得：222216()1644x y xy x y x y x y+-=⇒-=⇒-=-=-或．解此四个方程组，得原方程组的解是：312412341515,,,1551xx x xy y y y=-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩．说明：对称型方程组，如22x y ax y b⎧+=⎨+=⎩、22x y axy b⎧+=⎨=⎩都可以通过变形转化为x y mxy n+=⎧⎨=⎩的形式，通过构造一元二次方程求解． 2．可消二次项型的方程组【例6】解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩分析：注意到两个方程都有xy 项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．解：(1) 3(2)⨯-得：313 1 (3)x y y x -=⇒=- 代入(1)得：212(31)33311x x x x x x -+=⇒=⇒==-或．分别代入(3)得：1224y y ==-或．∴ 原方程组的解是：12121124x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解． 二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决．A 组1．解下列方程组：(1) 26x y y x ⎧+=⎨=⎩(2) 22282x y x y ⎧+=⎨+=⎩(3) 221235x y x xy y +=⎧⎨++=⎩(4) 2203210x y x xy -=⎧⎨+=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy +=-⎧⎨=⎩(2) 16x y xy +=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1) 2(23)01x x y x -=⎧⎨=-⎩(2) (343)(343)0325x y x y x y +-++=⎧⎨+=⎩(3) 22(2)()08x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩(4) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩4．解下列方程组： (1) 222230x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩(2) 168xy x xy x +=⎧⎨-=⎩B 组1．解下列方程组：(1) 2232320x y x y x +=⎧⎨-+-=⎩(2) 22231234330x y x xy y x y -=⎧⎨-+-+-=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩(2) 24221x y xy +=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1) 2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩(2) 224221x y xy ⎧+=⎨=-⎩4．解下列方程组： (1) 2252x y xy ⎧+=⎨=-⎩(2) 22410x y x y +=⎧⎨+=⎩第六讲 简单的二元二次方程组答案A 组1．212121121212832043(1),,(2),,(3),(4)3 2 223 344x x x x x x x y y y y y y y ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪=-===⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩⎪⎪⎪=-==-⎪⎪⎪⎩⎩⎩2． 121212121232(1),,(2),2 1 2 3 x x x x y y y y =-=-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎩⎩ 3．23112121312122371320112,,(2),,(3),,3315211144x x x x x x x y y y y y y y ⎧=⎧⎧⎧⎧⎪=-==-=--==⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=-==+=-⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩=-=-=⎩⎩⎪⎩23414414231120122,(4),,,2011022x x x x x y y y y y ⎧⎧==⎪⎪===⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎩⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩． 4．(1) 123412342222,2222x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪==-==-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩．(2)43x y =⎧⎨=⎩．B 组1．1122122175154(1),,(2),4 1 3 3 2x x x x y y y y ⎧=-⎪=-==⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨===⎩⎩⎩⎪=-⎪⎩ 2．121212127312(1),,(2),372 1 22x x x x y y y y ==-⎧⎧==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩3．1234341222(1),22x x x x y y y y ⎧⎧==⎪⎪=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==⎪⎪⎩⎩3124123400(2),,22x x x x y y y y ⎧⎧====⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎩⎪⎪⎩⎩4．312412341212(1),,,1221x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-==-=⎩⎩⎩⎩，121213(2),3 1 x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩。