高中一元二次函数总结

1．二次函数的解析式的三种形式： (1)一般式：f(x)=ax 2

+bx+c(a ≠0)。

(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2

+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。

(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。

2．二次函数f(x)=ax 2

+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴

a

b x 2-=

，顶点坐标

)44,2(2

a

b a

c a b --

（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]2,(a

b --∞上单调递减，在

),2[+∞-

a

b

上单调递增，

a

b

x 2-=

时，a b ac x f 44)(2

min -=

；

（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]

2,(a

b

--∞上单调递增，在),2[+∞-a

b

上单调递减，

a

b

x 2-=

时，a b ac x f 44)(2

max -=

。

3．二次函数

f(x)=ax 2

+bx+c(a ≠0)当

042

>-=∆ac b 时图象与

x 轴有两个交点

M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)

a

x x x x x x M M ∆=

-+=-=2122121214)(。 4． 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2

+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2

+bx+c (a>0) ，

(1)x 1<α,x 2<α ,则

⎪⎩

⎪

⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ;

(2)x 1

>α,x 2

>α,则⎪⎩

⎪

⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0

ααaf a b

(3)α

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨

⎧<-<>>≥∆β

αβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1

<α,x 2

>β (α<β),则⎪⎩

⎪

⎨⎧<<≥∆0)(0)(0

βαf f

(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有

0))(<(βαf f

5 最值问题：二次函数f(x)=ax 2

+bx+c 在区间[α,β]

上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴

-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影

响

6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间

的关系：

①0

∆<⇔f(x)=ax 2

+bx+c 的图像与x 轴无交点

⇔ax 2

+bx+c=0无实根⇔ax 2

+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;

②0∆=⇔f(x)=ax 2

+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2

+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;

③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2

+bx+c=0有两个不等的实根

⇔ax 2

+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或

者是(,)(,αβ-∞+∞

（二）考点分析

考点1．求二次函数的解析式

例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。

法一：利用一般式 设

f(x)=ax 2

+bx+c(a ≠0)，由题意得：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

=--=+--=++84411

242

a b ac c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=7

44c b a ∴f(x)= - 4x 2

+4x+7

法二：利用顶点式

∵f(2)= f(-1) ∴对称轴2

1

2)1(2=-+=

x 又最大值是8 ∴可设

)0(8)2

1

()(2<+-=a x a x f ，由

f(2)= -1可得a= - 4

7448)2

1

(4)(22++-=+--=∴x x x x f

法三：由已知f(x)+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax 2

-ax-2a-1,又

84)12(482

max =---=a

a

a a y 即

得

a= - 4

或a=0(舍) ∴f(x)= - 4x 2

+4x+7 例2．

已知二次函数的对称轴为x

=截x 轴

上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式．

解：∵二次函数的对称轴为x =

数为

2()(f x a x b =++，又∵()f x 截x

轴上的弦长为4，∴()f x

过点(2,0)，

()f x 又过点(0,1)-，

∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩， 122

a b ⎧

=⎪

⎨⎪=-⎩

，

∴

21

()(22

f x x =-

考点2．二次函数在区间上的最值问题

例1．已知函数f(x)= - x 2

+2ax+1-a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值。

思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论

解：f(x)= -(x-a)2+a 2

-a+1(0≤x ≤1),对称轴x=a 1

a<0时，

121)0()(max -=∴=-==a a f x f

2

≤

a

≤

1

时

)(2

5

121)()(2max 舍得±=

=+-==a a a a f x f 30

a>1时，

22)1()(max =∴===a a f x f

综上所述：a= - 1或a=2

例2．已知y=f(x)=x 2

-2x+3,当x ∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。 答

案

：

32,2,12min 2max +-=+=>t t y t y t 时

2,2,12

1

min 2max =+=≤

1

0min 2max =+-=≤

2,32,02min 2max +=+-=≤t y t t y t 时

例3．已知函数

21sin sin 42

a y x a x =-+-

+的最大值为2，求a 的值 ． 分析：令sin t x =，问题就转二次函数的区间最

值问题． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-，

∴

221

()(2)24

a y t a a =--+-+，对称轴为