例谈奇偶分析法在求解数列问题中的应用
2025年高考数学一轮复习-拓展拔高7-数列中的奇偶项问题【课件】
2
(+1)2
综上所述,Sn=൞
−(12) ] 2
1 n
=n +1-( ) .
1
2
1−2
思维升华
(),为奇数
形如an=൝
的结构,可分为两种情况:(1)邻项等差、等比数列,如已知
(),为偶数
+ 1,为奇数,
a1=1,an+1=൝
的解题思路:
2 ,为偶数
将n用2k-1或2k替代,当n=2k-1时,a2k=a2k-1+1;
项的规律,分别求出它们的通项公式.在求通项公式时,要注意把数列的项数间隔
开.(2)将数列分成奇数项和偶数项两组,分组进行求和.(3)将所得的结果汇总、化
简,便可求得数列的和.
视角一 含有(-1)n的递推公式
[例1] (2023·衡水模拟)(多选题)已知数列{an}满足a1=1,an+2=(-1)n+1(an-n)+n,记{an}的前n
+ 1−( ) 2 ,为奇数,
2
综上,Sn=൞ 4 2
1
+ 1−( ) 2 ,为偶数.
4
2
1
(2) 2 ]
1
2
−
1−
2
1
= +1-( ) 2 .
4
2
方法二:因为an=ቐ
,为奇数,
1
( ) 2 ,为偶数,
2
1 n
所以2−1 =2n-1,2 =( ) ,
2
所以2 =a1+a2+…+2 =(a1+a3+…+2−1 )+(a2+a4+…+2 )=(1+3+…+2n-1)+
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
q n1 q
)
,
q
1 .
na1
,q 1
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
当n为奇数时，Sn a1 a3 an a2 a4 an1
n 1 2 (a1
an )
n 1 2 (a2
an1 )
n2
3n 2
2
2
2
当n为偶数时，Sn a1 a3 an1 a2 a4 an
n 2
(a1
an1 )
n 2
(a
2
an )
n2
3n .
2
2
2
综上，S n
n2
n
2
3n ， n偶数 2 3n 2，n奇数
2
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
变式1、已知在数列an 中，a1 1，an an1 2n 2，求an及 数列an 的前n项和Sn .
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
电白一中 邱展民
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
知识回顾：
等差数列：an a1 (n 1)d
等比数列：an a1 q n1
Sn
n(a1 2
an )
a1n
n(n 1)d 2
Sn
a1
(1 1
解： a1 1, an an1 2n 2 , a2 3, 当n 2时，an-1 an 2(n 1) 2, 则an1 an1 2 (n 2).
与数列奇偶项有关的问题专题
与数列奇偶项有关的问题有关数列奇偶项的问题是高考经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇例题：已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .变式1设函数f(x)＝2x ＋33x (x>0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．串讲1已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝ i ＝1n(－1)i ·a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围．串讲2已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，满足S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，且a 1＝1，并且正项数列{b n }满足b n ＋12－b n ＋1＝b n 2＋b n (n ∈N *)，其前7项和为42.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝b n a n ＋a nb n，数列{c n }的前n 项和为T n ，若对任意正整数，都有T n ≥2n ＋a ，求实数a 的取值范围；(3)将数列{a n }，{b n }的项按照“当n 为奇数时，a n 放在前面；当n 为偶数时，b n 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，b 3，b 4，a 4，a 5，b 5，b 6，…，求这个新数列的前n 项和P n .(2018·南通市、泰州市高三第一次调研测试)若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n (n >k )恒成立，则称数列{a n }是“R (k )数列”．(1)已知a n ＝⎩⎨⎧2n －1，n 为奇数，2n ，n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R (2)数列”，并说明理由；(2)已知数列{b n }是“R (3)数列”，且存在整数p (p >1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．(2018·盐城高三第三次模拟考试)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝λ，满足a 2n －1，a 2n －1＋1，a 2n －1＋2，…，a 2n 是等差数列(其中n ≥2，n ∈N )，且当n 为奇数时，公差为d ；当n 为偶数时，公差为－d .(1)当λ＝1，d ＝1时，求a 8的值；(2)当d ≠0时，求证：数列{|a 2n ＋2－a 2n |}(n ∈N *)是等比数列；(3)当λ≠1时，记满足a m ＝a 2的所有m 构成的一个单调递增数列为{b n }，试求数列{b n }的通项公式．答案：(1)3；(2)略；(3)b n ＝⎩⎨⎧2n ＋23＋23（n 为偶数），2n ＋23－23（n 为奇数）.解析：(1)由λ＝1，d ＝1，所以a 2＝1，a 2，a 3，a 4为等差数列且公差为－1，2分所以a 4＝a 2－2＝－1，又a 4，a 5，…a 8为等差数列且公差为1，所以a 8＝a 4＋4＝3.4分(2)当n ＝2k ＋1时，a 22k ，a 22k ＋1，a 22k ＋2，…，a 22k ＋1是等差数列且公差为d ， 所以a 22k ＋1＝222k ＋22k d ，6分同理可得a 22k ＝a 22k －1－22k －1d ，两式相加，得a 22k ＋1－a 22k －1＝22k －1d ；当n ＝2k 时， 同理可得a 22k ＋2－a 22k ＝－22k d ，所以|a 2n ＋2－a 2n |＝2n d .7分 又因为d ≠0，所以|a 2n ＋2－a 2n ||a 2n ＋1－a 2n －1|＝2n2n －1＝2(n ≥2)，所以数列{|a 2n ＋2－a 2n |}(n ∈N *)是以2为公比的等比数列.8分(3)因为a 2＝λ，所以a 4＝a 2－2d ＝λ－2d ，由(2)知a 22k ＋1＝a 22k －1＋22k －1d ，所以a 22k ＋1＝a 22k －1＋22k －1d ＝a 22k －3＋22k －3d ＋22k －1d ，10分依次下推，得a 22k ＋1＝a 21＋21d ＋23d ＋…＋22k －3d ＋22k －1d ，所以a 22k ＋1＝λ＋23(22k －1)d ，当22k ＋1≤n ≤22k ＋2时，a n ＝a 22k ＋1－(n －22k ＋1)d ＝λ＋⎝⎛⎭⎫22k ＋33－n －23d ，由a m ＝a 2，得m ＝22k ＋33－23， 所以b 2k ＋1＝22k ＋33－23，所以b n ＝2n ＋23－23(n 为奇数)；12分由(2)知a 22k ＋2＝a 22k －22k d ＝a 22k －2－22k －2d －22k d ，依次下推，得a 22k ＋2＝a 22－22d －24d －…－22k －2d －22k d ，所以a 22k ＋2＝λ－2d －4（22k －1）3d ，当22k ＋2≤n ≤22k ＋3时，a n ＝a 22k ＋2＋(n －22k ＋2)d ＝λ＋⎝⎛⎭⎫n －22k ＋43－23d ，由a m ＝a 2，得m ＝22k ＋43＋23，所以b 2k ＋2＝22k ＋43＋23.所以b n ＝2n ＋23＋23(n 为偶数)．综上所述，b n ＝⎩⎨⎧2n ＋23＋23（n 为偶数），2n ＋23－23（n 为奇数）.14分例题答案：(1)－12；(2)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2， n 为偶数. 解析：(1)若数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd.由a n ＋1＋a n ＝4n－3，得(a 1＋nd)＋[a 1＋(n －1)d]＝2nd ＋2a 1－d ＝4n －3，所以2d ＝4，2a 1－d ＝－3，解得，d ＝2，a 1＝－12.(2)由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n∈N *)．两式相减，得a n ＋2－a n ＝4.所以数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列，数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列，由a 2＋a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为奇数，2n －5，n 为偶数.解法1：①当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )＝2＋2（n －1）2·n2＋－1＋（2n －5）2·n2＝2n 2－3n 2. ②当n 为奇数时，S n ＝2（n －1）2－3（n －1）2＋2n ＝2n 2－3n ＋52所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2， n 为偶数. 解法2：①当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n2；②当n 为奇数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n ＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n ＝2n 2－3n ＋52.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2， n 为偶数. 变式联想变式1 答案：(1)a n ＝2n ＋13； (2)(－∞，－59]．解析：(1)因为a n ＝f(1a n －1)＝2×1a n －1＋33×1a n －1＝a n －1＋23，(n∈N *，且n ≥2)，所以a n －a n －1＝23.因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为23的等差数列．所以a n ＝2n ＋13.(2)①当n ＝2m ，m ∈N *时，T n ＝T 2m ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2m (a 2m －1－a 2m ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝ －43×a 2＋a 2m 2×m ＝ －19(8m 2＋12m )＝－19(2n 2＋6n )． ②当n ＝2m －1，m ∈N *时，T n ＝T 2m －1＝T 2m －(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1＝－19(8m 2＋12m )＋19(16m 2＋16m ＋3)＝19(8m 2＋4m ＋3)＝19(2n 2＋6n ＋7)．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－19（2n 2＋6n ），n 为偶数，19（2n 2＋6n ＋7），n 为奇数.要使T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，只要使－19(2n 2＋6n )≥tn 2，(n 为偶数)恒成立，只要使－19(2＋6n )≥t ，对n 为偶数恒成立．故实数t 的取值范围为(－∞，－59]．说明：数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列分成两个新的数列进行考查，易搞错的是新数列与原数列的项数、公差、公比的判定．串讲激活串讲1答案：(1)S n ＝n 2；(2)(－4，2)．解析：(1)设数列{a n }的公差为 d.因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧2（a 1＋4d ）－（a 1＋2d ）＝13，4a 1＋6d ＝16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)解法1：①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k－a 2k －1)＝2k .代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k，从而λ<4k2k.设f (k )＝4k2k ，则f (k ＋1)－f (k )＝4k ＋12（k ＋1）－4k2k ＝4k（3k －1）2k （k ＋1）.因为k ∈N *，所以f (k ＋1)－f (k )>0，所以f (k )是递增的，所以f (k )min ＝2， 所以λ<2.②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，则T 2k －1＝T 2k －(－1)2ka 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k .代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k.因为k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ>－4.综上，λ的取值范围为(－4，2)．解法2：当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2＋a 4＋…＋a 2k )－(a 1＋a 3＋…＋a 2k－1)＝2k ，下同法1串讲2答案：(1)a n ＝n ，b n ＝n ＋2；(2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，43(3)S n＝⎩⎪⎨⎪⎧14n 2＋32n ，n ＝2k ，n 2＋6n －34，n ＝4k －3，k ∈N *，n 2＋6n ＋54，n ＝4k －1.解析：(1)∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列，∴S nn ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，即S n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *)，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1(n ∈N *)，又a 1＝1，∴a n ＝n (n ∈N *)．∵b n ＋12－b n ＋1＝b n 2＋b n ，∴(b n ＋1＋b n )(b n ＋1－b n －1)＝0，又b n >0，∴b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }是等差数列，且公差为d ＝1，设{b n }的前项和为B n ，∵B 7＝7b 1＋7×62×1＝42，∴b 1＝3，∴b n ＝3＋(n －1)＝n ＋2(n ∈N *)(2)由(1)知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋nn ＋2＝2＋2(1n －1n ＋2)，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2(1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2)＝2n ＋2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝2n ＋3－2(1n ＋1＋1n ＋2)， ∴T n －2n ＝3－2(1n ＋1＋1n ＋2)，设R n ＝3－2(1n ＋1＋1n ＋2)，则R n ＋1－R n ＝ 2(1n ＋1－1n ＋3)＝ 4（n ＋1）（n ＋3）>0，∴数列{R n }为递增数列，∴(R n )min ＝R 1＝43，∵对任意正整数n ，都有T n －2n ≥a 恒成立，∴a ≤43，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43(3)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （n ＋1）2，数列{b n }的前n 项和B n ＝n （n ＋5）2，①当n＝2k (k ∈N *)时，P n ＝S k ＋B k ＝k （k ＋1）2＋k （k ＋5）2＝k 2＋3k ＝(n 2)2＋3×n 2＝14n 2＋32n ；②当n ＝4k －3(k ∈N *)时，P n ＝S 2k －1＋B 2k －2＝ （2k －1）·2k2＋（2k －2）（2k ＋3）2＝4k 2－3＝n 2＋6n －34，特别地，当n ＝1时，P 1＝1也符合上式；③当n ＝4k －1(k ∈N *)时，P n ＝S 2k －1＋B 2k ＝（2k －1）2k 2＋2k （2k ＋5）2＝4k 2＋4k＝n 2＋6n ＋54.综上，P n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧14n 2＋32n ，n ＝2k .n 2＋6n －34，n ＝4k －3，k ∈N *n 2＋6n ＋54，n ＝4k －1新题在线答案：(1)是；(2)略．解析：(1)当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n .a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n .所以数列{a n }是“R (2)数列”．(2)由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1，数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3，因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1，所以n (d 2－d 1)≥b 1－b 2，①n (d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n >b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立；若d 2－d 1>0，则当n >b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立．若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d .设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p )d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d ]＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ.所以{b n }是等差数列．另解析：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d ]＝b 2－b 3＋d ，λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d ]＝b 1－b 2＋d ，λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd )＝b 3－b 1，以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d3，b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d3，b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d＝b 1＋(3n －1)d 3，所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d3，所以数列{b n }是等差数列．。
三、数列分奇偶问题及其应用
五、数列分奇偶问题及其应用概述：数列分奇偶问题，其中最大的困难在认识到数列的奇偶项之间的差异，并能清晰的理解项数的变化。
分奇偶的实质在于无法运用一个通项公式表示整个数列，或者进行数列求和，故而通过给数列的项数分奇偶的方式来达到．其题型可主要分为分奇偶求通项和分奇偶求和两个大类．其求解方法主要有两个大类：1．()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=→∈=+=→∈==-为偶数为奇数n n f a N k k f a n n f a N k k f a a n k n k n ,)2(,,)21(,1*221*112；2．()()⎩⎨⎧=为偶数为奇数n n g n n g a n ,,21，这两种方法各有优劣之处．总体而言，以第二种方法为主导．1．()()⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈==-*22*112,,Nk k f a Nk k f a a k k n ，以这种方式求数列的通项公式，无论奇数项还是偶数项都是k 项，因为k k a a 212,-分别表示了第k 个奇数项和第k 个偶数项，这种方法求数列通项公式，是不容易出错的，但是过程比较繁琐，因为求完之后还要进行还原． 2．()()⎩⎨⎧=为偶数为奇数n n g n n g a n ,,21，以这种方法求数列的通项公式，要注意到当n 为奇数时，{}n a 中共有21+n 个奇数项，21-n 个偶数项；而当n 为偶数时，{}n a 中有2n 个偶数项，2n 个奇数项．这种方法求数列的通项公式，比较简练，但是项数上很容易搞错． 注：当()()n g n g 21,相等时，n a 可用一个通项公式表示． 数列分奇偶问题，以“项数问题”为问题核心，极易发生混乱一、数列分奇偶求通项问题 类型I ：隔项成等差型模型1：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=→=-+dn a a n d n a a n d a a n n n n )12()121(112为偶数时，当为奇数时，当注：d a a n n =-+2可说明数列的奇数项或偶数项成以d 为公差的等差数列，等差数列通项公式为()d n a a n 11-+=，其中1a 表示起始项；n 表示项数．而当{}n a 的奇数项成等差数列时，数列的起始项为第一个奇数项，即1a ；在{}n a 中共有21+n 个奇数项，故而当n 为奇数时d n a a n )121(1-++=；当{}n a 的偶数项成等差数列时，数列的起始项为第一个偶数项，即2a ，在{}n a 中共有2n 个偶数项，故而当n 为偶数时d na a n )12(2-+=例1：已知121==a a ，若*2,2N n a a n n ∈=-+，求数列{}n a 的通项公式． 解：22=-+n n a a ∴当n 为奇数和n 为偶数时，{}n a 为等差数列当n 为奇数时，)121(21-++=n a a n n a n =∴ 当n 为偶数时，)12(22-+=na a n 1-=∴n a n⎩⎨⎧-=∴为偶数为奇数n n n n a n ,1,例2：已知4212==a a ，若*2,4N n a a n n ∈=-+，求数列{}n a 的通项公式． 解：42=-+n n a a ∴当n 为奇数和n 为偶数时，{}n a 为等差数列当n 为奇数时，)121(41-++=n a a n n a n 2=∴ 当n 为偶数时，)12(42-+=na a n n a n 2=∴⎩⎨⎧=∴为偶数为奇数n n n n a n ,2,2 n a n 2=∴例3：记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()R S a a a a n n n n ∈-=⋅≠=+λλ1,0,111 (1) 证明：λ=-+n n a a 2；(2) 是否存在λ，使得{}n a 为等差数列． 解(1)：⎩⎨⎧-=⋅-=⋅++++111211n n n n n n S a a S a a λλ ()112+++=-∴n n n n a a a a λ又0≠n a λ=-∴+n n a a 2(2) 当1=n 时，1121-=⋅S a a λ 12-=∴λa解法一：当n 为奇数时，122)121(1+-=-++=λλλn n a a n 当n 为偶数时，12)12(2-=-+=nn a a n λλ 又{}n a 为等差数列 12122-=+-∴n n λλλ，即得4=λ 解法二：若{}n a 为等差数列，设公差为d λ=-+n n a a 2 d 2=∴λ又d d a a +=+=112 且1212-=-=d a λ 2=∴d ，得42==d λ类型II ：隔项成等比型 模型2：⎪⎩⎪⎨⎧==→=--++12112112nn n n n n q a a n qa a n qa a 为偶数时，当为奇数时，当 注：n n qa a =+2可说明数列的奇数项或偶数项成以q 为公比的等比数列，等比数列通项公式为11-=n n q a a ，其中1a 表示起始项；n 表示项数．而当{}n a 的奇数项成等比数列时，数列的起始项为第一个奇数项，即1a ；在{}n a 中共有21+n 个奇数项，故而当n 为奇数时1211-+=n n qa a ；当{}n a 的偶数项成等差数列时，数列的起始项为第一个偶数项，即2a ，在{}n a 中共有2n个偶数项，故而当n 为偶数时122-=nn q a a例4：已知数列{}n a 满足212==a a ，若*2,4N n a a n n ∈=+，求数列{}n a 的通项公式． 解：*2,4N n a a n n ∈=+ ∴当n 为奇数和n 为偶数时，{}n a 为等差数列 当n 为奇数时，n n n a a 241211=⋅=-+当n 为偶数时，112224--=⋅=n n n a a⎪⎩⎪⎨⎧=∴-为偶数为奇数n n a n n n ,2,21例5：已知数列{}n a 满足2212==a a ，若当n 为奇数时，22=-+n n a a ；当n 为偶数时，n n a a 22=+，若1+⋅=n n n a a b ，求数列n b 的通项公式．解： 当n 为奇数时，22=-+n n a a n n a a n =-++=)121(21 当n 为偶数时，n n a a 22=+ 212222n n n a a =⋅=- ⎪⎩⎪⎨⎧=∴为偶数为奇数n n n a nn ,2,2 当n 为奇数时，1+n 为偶数 2112++=∴n n a 2112++⋅=⋅=∴n n n n n a a b当n 为偶数时，1+n 为奇数 11+=∴+n a n ()2121n n n n n a a b ⋅+=⋅=∴+()⎪⎩⎪⎨⎧⋅+⋅=∴+为偶数为奇数n n n n b nn n ,21,2221注：本题有一个很重要的地方——当n 为奇数时，1+n 则为偶数，那么此时1+n a 满足偶数项通项公式，即2112++=n n a ；当n 为偶数时，1+n 则为奇数，那么此时1+n a 满足奇数项通项公式，即11+=+n a n ．例6：已知数列{}n a 满足()22,,112*2==∈≠=+a a N n q qa a n n 且544332,,a a a a a a +++成等差数列．(1) 求q 的值和{}n a 的通项公式； (2) 设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解(1)：544332,,a a a a a a +++ 成等差数列 ()5432432a a a a a a +++=+，即5243a a a a +=+ 又()22,,112*2==∈≠=+a a N n q qa a n n21221q a a q a q a +=+∴，即0232=+-q q ，得2=q 或1(舍去) 再由()*22N n a a n n ∈=+可得 当n 为奇数时，21121122--+=⋅=n n n a a当n 为偶数时，212222n n n a a =⋅=-⎪⎩⎪⎨⎧=∴-为偶数为奇数n n a n n n ,2,2221(2) 由(1)易知nn n a 22222==，()121121222----==n n n a 22121log 2n n n n a nb a --∴==nn n n n n n T nT 22121212222111110+-++=+++=∴--两式相减，得n n n nT 2)2121(12111-+++=- n n n n n 2222)211(21211111+-=--⋅-+=-1224-+-=∴n n n T类型III ：隔项成累加型模型3：n n n b a a =-+2，可分以下两种情况处理(1) 当n 为奇数时， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-+n n n b a a b a a b a a 2335113 n n n a b b b a a →+++=-→+ 3112的通项公式．(2) 当n 为偶数时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-+nn n b a a b a a b a a 2246224 n n n a b b b a a →+++=-→+ 4222的通项公式．例7：已知数列{}n a 满足()*2N n n a a n n ∈=-+且2,412==a a ，求{}n a 的通项公式．解：当n 为奇数时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-+na a a a a a n n 2351331 ()()()412211212+=+⋅+=-∴+n n n a a n ()2412+-=∴n a n当n 为偶数时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-+na a a a a a n n 2462442()()4122222+=⋅+=-∴+n n n n a a n ()442+-=∴n n a n 综上，()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=为偶数为奇数n n n n n a n ,442,2412例8：在数列{}n a 中，10a =且21221,,k k k a a a -+成以2k 为公差的等差数列，证明2k a ，2122,k k a a ++，成等比数列，并求出n a 的通项公式．解：21221,,k k k a a a -+以2k 为公差 21214k k a a k +-∴=+，即21214k k a a k +--=31532121484k k a a a a a a k+--=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩ ()244112k k a a k +=-∴+，即()1212+=+k k a k212222k k a a k k =-=∴+，可得()22212+=+k a k()2222221214++⋅=+=∴k k k a a k k a 22122,,k k k a a a ++∴成等差数列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∴为偶数为奇数n n n n a n ,2,2122注：当题干中明确显示出k k a a 212,-时，分成k k a a 212,-来求解类型IV ：临项相加型 模型4：n n n n n n n n nn n n n n c b b a a b a a b a a b a a =-=-→⎩⎨⎧=+=+→=++++++++1212111，运用模型1或模型3的方法即可求解奇数项通项公式，再运用n n n b a a =++1即可求出偶数项通项公式． 注：这类型问题只需要先求出奇数项通项公式，因为当n 为奇数时，1+n 即为偶数，在已有n a 的通项公式和n n n b a a =++1的情况下，我们完全可以求出1+n a 的通项公式来，而此时1+n a 即为偶数项．将该通项公式中的n 换成1-n 即可得出偶数项通项公式． 例9：已知24,211+=+=+n a a a n n ，求{}n a 的通项公式．解：⎩⎨⎧+=++=++++6424211n a a n a a n n n n 42=-∴+n n a a∴当n 为奇数时，n n a a n 2)121(41=-++= 又241+=++n a a n n ()12221+=+=∴+n n a n ，此时1+n 为偶数 ∴当n 为偶数时，n a n 2= 综上，()*2N n n a n ∈=例10：已知11,1+=n n a a a 、是方程022=+-n n b x x 的两根，求{}{}n n b a 、的通项公式． 解：1+n n a a 、 是方程022=+-n n b x x 的两根 n n n n n n b a a a a =⋅=+∴++11,2⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∴++++121122n n n nn n a a a a nn n a a 22=-∴+ ∴当n 为奇数时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-+n nn a a a a a a 222233511332214)14(2222221312-=--=+++=-∴+++n n nn n a a312+=∴n n a 再由nn n a a 21=++可得31211-=++n n a∴当n 为偶数时，312-=n n a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=∴为偶数为奇数n n a nn n ,312,312再由n n n b a a =⋅+1可得 当n 为奇数时，()()9121211-+==++n nn n n a a b ；当n 为偶数时，()()9121211-+==++n n n n n a a b()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=∴++为偶数为奇数n n b n nn n n ,91212,9121211类型V ：转化递推关系型(注：这类问题通常运用12-n a 或n a 2来求解)模型5：()()()()⎩⎨⎧===-=→⎩⎨⎧=+-+k k k k nn n a f a k n a f a k n n a f n a f a 22121212211212,,时，当时，当为偶数为奇数()[]→=→-+121212k k a f f a ()k g a k =-12的通项公式 再通过()1212-=k k a f a 可得()[]1212-=k k a g f a例11：已知{}n a 满足11=a ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+为偶数为奇数n a n a a n n n ,21,411，记4112-=-n n a b ，求{}n a解：由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-n n n n a a a a 2121222141 81211212+=∴-+n n a a即得)41(21411212-=--+n n a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴-4112n a 是以43为首项，21为公比的等比数列 112)21(4341--⋅=-∴n n a ，得41)21(43112+⋅=--n n a ，则21)21(43411122+⋅=+=--n n n a a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅+⋅=∴--为偶数，为奇数n n a n n n 21)21(43,41)21(432221注：当题干中明显提示有n n 2,12-时，运用n n a a 212,-求解数列的通项公式． 综述：对于数列分奇偶的问题，其求解规律在于得到()n n a f a =+2或()1212++=k k a f a ，()k k a f a 222=+的模式，再进行下步求解．二、数列分奇偶求和问题概述：对于数列分奇偶求和问题，就其方法而言，主要有3种方法——I ．分奇数组和偶数组求和；II ．一奇一偶合成一个整项求和；III ．分组求和．就求和形式而言，可以分成先求n S 2和12-n S ，最后将之合称n S ；或者直接分成2n 和21+n 求和．因为偶数便于分组，所以求和绝大部分都是从偶数开始求和的，主要有两种方法：1．⎩⎨⎧-=-===-12,2,22122k n a S S kn S S k kk k n2．⎩⎨⎧-==++为奇数为偶数n a S S n S S n n n n n ,,11I ．分奇数组和偶数组求和模型1：当n 为偶数时，1-n 为奇数，则)()(2422131项项n n n n n a a a a a a S +++++++=-当n 为奇数时，1+n 为奇数，则11++-=n n n a S S 或k k k k k k k k a S S a a a a a a S 221224212312,)()(-=+++++++=--项项，再按12-=k n 时，21+=n k ；k n 2=时，2nk =，将两者还原成n S 即可．例12：已知()⎪⎩⎪⎨⎧+=-为偶数为奇数n n n n a n n ,2,221，求数列n a 的前n 项和n S解：()21122+-=+n n n n当n 为偶数时，1-n 为奇数()()322141)41(2)1111()5131()311(1242131-++=--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-=+++++++=∴+-n nn n n n n n n a a a a a a S 当n 为奇数时，1+n 为偶数 n n n n a n n S 2,32221121=-+++=∴+++ 32221232221211-+++=--+++=-=∴+++n n n n n n n n n n a S S⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++-+++=∴+为偶数为奇数n n n n n n S n n n ,3221,322211例13：已知数列⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数为奇数n n n n a nn ,21,2，求数列n a 的前n 项和n S分析：这里要运用到错位相减法，对于错位相减法，建议分成k k S S 212、-来求解：⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数为奇数n n n n a n n ,21,2⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴-kk k k a k a 21212212 设k R 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-kk 212的前k 项和 122121223221212122321+-+-++=-+++=∴k k k kk k k R k R两式相减得12212)2121(22121+--+++=k k k k R111223223212)211(21211221++-+-=---⋅-+=k k n k k kk k R 2323+-=∴()()()122221222124212312212321223232323)2122321(1231---+-+=--+-+=-=∴+-+=-++++-+++=+++++++=∴k k k k k k kkk k k k k k k k a S S k k k k a a a a a a S()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++-++=∴-为偶数为奇数n n n n n n S n n n ,2334,2234122212II ．一奇一偶合成一个整项求和模型2：当n 为偶数时，1-n 为奇数，则()()()组214321n n n n a a a a a a S ++++++=-当n 为奇数时，1+n 为奇数，则11++-=n n n a S S 或()()()k k k k k k ka S S a a a a a a S 221221243212,-=++++++=--组，再按12-=k n 时，21+=n k ；k n 2=时，2nk =，将两者还原成n S 即可．例14：已知()21n a nn -=，求数列n a 的前n 项和n S解：⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数为奇数n n n n a n ,,22当n 为偶数时，1-n 为奇数 ()2221,121n a n n n a n n =-+-=--=∴-∴此时121-=+-n a a n n()()()()()2122123127314321+=-+=-+++=++++++=-n n nn n a a a a a a S n n n当n 为奇数时，1+n 为偶数 ()()()2111,221+=++=∴++n a n n S n n()()()()211221211+-=+-++=-=∴++n n n n n a S S n n n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=∴为偶数为奇数n n n n n n S n ,2)1(,2)1(注：在求和时，一定要意识得到121-=+-n a a n n 中的n 只能取偶数，否则首项算错，这个题就错了．例14：已知()⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+为偶数为奇数n n n n a nn n ,21,2221，求数列n a 的前n 项和n S 解：当12-=k n 时，()k k k a 21212-=-；当k n 2=时，()k k k a 2122+= 2212224+-⋅=⋅=+∴k k k k k k a a()()()()32422432124321222121222221+++-⋅+⋅-++⋅=⋅++⋅+⋅=++++++=k k k k k k k k k S k a a a a a a S两式相减得()3243222221++⋅-+++⋅=-k k k k S()()()3233142182182212128+++--+=∴---=⋅---+=k k k k k k S k k ()()()k k k k k k k k k a S S 296821221832212-+=+--+=-=∴+-()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=∴++为偶数为奇数n n n n S n n n ,228,26382421注：在运用错位相减法时，建议尽量分成k k 2,12-来计算，否则极易出错．例15：已知11=a ，⎪⎩⎪⎨⎧-+=+为偶数为奇数n n a n n a a nn n ,3,311(1) 证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧-232n a 是等比数列，并求出{}{}n n a a 212,-的通项公式； (2) 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S 2解(1)：⎪⎩⎪⎨⎧-+=+为偶数为奇数n n a n n a a nn n ,3,311 ⎪⎩⎪⎨⎧++=-=∴+++123161222212n a a na a n n n n 且341312=+=a 即得131222+=+n n a a )23(3123222-=-∴+n n a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴232n a 是以61-为首项，31为公比的等比数列12)31(6123-⋅-=-∴n n a ，即得nn a 321232⋅-= 再由1231122-+=-n a a n n 得1123216215--⋅--=n n n a (2) 由(1)可得n n n n a a 3269212--=+-不妨设n n n r n c 32,69=-=，n n R C 、分别是数列{}{}n n r c 、的前n 项和n n n n r c a a -=+∴-212且()()nn n n T n n n n R 311211)311(32632693-=--=--=-+=；()()()()()()()21331311632212121243212+--=+---=-=+++-+++=++++++=∴-n n n R C r r r c c c a a a a a a S nn n n n n n n n注：本题最大的难关在于求{}{}n n a a 212,-的通项公式，根据提示要先找出n n a a 222、+的递推关系，这与我们常规的先求1212-+n n a a 、的技巧相反，需要谨慎处理．III ．分组求和模型3：数列{}n a 为常规数列，数列{}n b 需分奇偶表达，数列n n n b a c += 记n n n C B A 、、分别为{}{}{}n n n c b a 、、的前n 项和，则n n n B A C += 例16：已知()212n a nn n -+=，求{}n a 的前n 项和n S解：设()212n c b nn n n -==、，记n n C B 、分别为{}{}n n c b 、的前n 项和()22212121-=--=∴+n n n B ，⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数，为奇数n n n n c n 22,当n 为偶数时，1-n 为奇数 121-=+∴-n c c n n()()()()()2122123127314321+=-+=-+++=++++++=∴-n n nn n c c c c c c C n n n当n 为奇数时，1+n 为偶数 ()()()2111,221+=++=∴++n c n n C n n()()()()211221211+-=+-++=-=∴++n n n n n c C C n n n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=∴为偶数为奇数n n n n n n C n ,2)1(,2)1(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+--=+=∴++为偶数为奇数n n n n n n C B S n n n n n ,2)1(22,2)1(2211注：只有当两个数列的前n 项和都用n 表示时，才能加在一起。
高中数学核心考点：数列 难点3 数列中的奇偶项问题 - 解析
微专题2：数列中的奇偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征如：等差、等比数列或其他特征求解原数列．题型一：等差等比数列的奇偶项特性例1-1：已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 40【解析】 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10.例1-2：已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.规律方法：若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则：①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则：①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .若等比数列{a n }中，公比为q .当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ；当项数是奇数时，S 奇＝a 1＋S 偶·q .若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q1＋q(q ≠1且q ≠－1)．1. 在等差数列{a n }中，前2m (m 为正整数)项的和为155，其中奇数项的和为70，且 a 2m －a 1＝27，则该数列的通项公式为_____________.【解析】 由题得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶－S 奇＝md ＝85－70＝15，a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝27，解得d ＝3，m ＝5.又S 2m ＝S 10＝(a 1＋a 10)×102＝155，解得a 1＝2，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3n －3＝3n －1.2. 在等比数列{a n }中，已知a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两根，则a 5等于( )A. 1B. －1C. ±1D. 3【解析】 在等比数列{a n }中，因为a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两个根，所以a 3＋a 7＝6＞0，a 3·a 7＝1＞0，所以a 3＞0，a 7＞0，a 5＞0.因为a 3·a 7＝a 25＝1，所以a 5＝1.题型二：奇偶分析求通项例2：设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2nn n n S a n N *=--∈求n a 的通项式∵1(1)2nn n n S a =--∴当2n ≥时，11111(1)2n n n n S a ----=--两式相减得111111(1)(1)22n n n n n n n n S S a a -----=----+，即111(1)(1)2n n n n n n a a a --=---+ 当n 是偶数时，112n n n n a a a -=++，所以112n n a -=-，即n 是奇数时，112n n a +=-； 当n 是奇数时，1122n n n a a -=-+，1111222n n n n a a --=-+=，即当n 是偶数时，12nna =.1.,32,122,1n n a a a a ===+，求n a 的通项式2.,52,311+=+=+n a a a n n 求n a 的通项式题型三：奇偶分析求和例3：在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求S n . 解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，所以数列{b n }是公比为12的等比数列．因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n ，n ∈N *.(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列，所以a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1，a 2n＝⎝⎛⎭⎫12n ， 所以a n ＝11221,212n n n n +-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数，偶，为数. (3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n ，又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，所以S n ＝21233,2432n n n n +⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.，规律方法：对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .1. 数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3) ＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.2.设数列{}n a 满足123411,1,4,4a a a a ====，数列{}n a 前n 项和是n S ，对任意的*n N ∈，()()242122cos x n n n n n n n a af x x a a a x e a a +++++=++--，若()00f '=，当n 是偶数时，n S 的表达式是___________．【解析】()()242122sin x n n n n n n n a af x a a a x e a a +++++'=-+--， 因为()00f '=，所以2420n n n n a a a a +++-=，即242n n n n a aa a +++=，所以数列{}n a 中所有的奇数项成等比数列，所有的偶数项成等比数列，所以当n 是偶数时，n S 的表达式是22111114424111433214nn n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅- ⎪⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+=-+-⨯-． 3. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0，即a 2n ＋1－a 2n －1＝2， 又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *. (2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0， 当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0， 即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列； 当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以 T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝⎣⎡⎦⎤n ×1＋12n (n －1)×2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n ，n ∈N *.题型四：由奇偶项分类讨论求参数例4：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n ·n ，若对任意的正整数n ，使得(a n ＋1－p )·(a n －p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是________． 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n n －(－1)n －1(n －1)＝(－1)n (2n －1)． 因为对任意的正整数n ，(a n ＋1－p )(a n －p )<0恒成立， 所以[(－1)n ＋1(2n ＋1)－p ][(－1)n (2n －1)－p ]<0.①当n 是正奇数时，化为[p －(2n ＋1)][p ＋(2n －1)]<0，解得1－2n <p <2n ＋1， 因为对任意的正奇数n 都成立，取n ＝1时，可得－1<p <3.②当n 是正偶数时，化为[p －(2n －1)][p ＋(1＋2n )]<0，解得－1－2n <p <2n －1，因为对任意的正偶数n 都成立，取n ＝2时，可得－5<p <3.联立⎩⎪⎨⎪⎧－1<p <3，－5<p <3，解得－1<p <3.所以实数p 的取值范围是(－1,3)．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32nn n nS a n =-++-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．【解析】当1n时，134a 当2n时，11111(1)42n n n n S a n ----=-++-，所以11(1)(1)12n n n n n na a a -=-+--+ 当n 为偶数时，1112n n a -=-； 当n 为奇数时，11212n n n a a -=--+，即1112122n n n a --=--+，1232n n a -=-. 所以113,211,2nn n n a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数.当n 为偶数时，1113,324n n a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，当n 为奇数时，11311,24n n a +⎛⎤=-∈--⎥⎝⎦又因为1()()0n n t a t a +--<恒成立，1n n a t a +<<，所以31144t.。
奇偶分析知识讲解
奇偶分析我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。
被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。
前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。
关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数≠偶数，奇数个奇数之和是奇数等。
灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。
用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。
例1 下表中有15个数，选出5个数，使它们的和等于30，你能做到吗？为什么？分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。
因为无论你选择哪5个数，它们的和总不等于30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。
最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。
例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。
小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。
试问，小丽所加得的和数能否为2000？解：不能。
由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为2000。
说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。
例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。
试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
解：不能。
如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。
所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为1+2+…+98=99×49，是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。
例 4 如右图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
一道数列奇偶通项公式题解法
例题1：设{}n a 满足11a =，且11(n )21 (n )4nn na a a +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数，记2114n n b a -=-，212n n c a =-则n a =__________ 例题2:已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1213()(3)2n n n S S n ---=-≥，且11S =，232S =-，求数列{}n a 的通项公式.例题3: 已知数列{a n }中，a 1=1且a n a n+1=21()4n，求通项公式．例题1解：由题中条件知道：11a =，254a =，111344b a =-=，121324c a =-= ； 当2n ≥时，2n n 2-，2为偶数，2n 1n 3--，2为奇数(1) 奇数项通项公式212212n n a a --=，222314n n a a --=+ 所以有2123124n n a a --=+⇒ 212311244n n a a --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⇒ 12n n b b -=所以{}n b 是以134b =为首项，12b q =为公比的等比数列，其通项公式为13142n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即121131442n n a --⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，⇒ 12311424n n a -⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭（n 为奇数） (2) 偶数项通项公式22114n n a a -=+，212212n n a a --= 所以有2123122n n a a --=+⇒ 2211222n n a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⇒ 12n n c c -=所以{}n c 是以134c =为首项，12c q =为公比的等比数列，其通项公式为13142n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即12131242n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，⇒ 12311422n n a -⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭（n 为偶数） 所以{}n a 的通项公式为1212311 (n )424311(n )422n n na --⎧⎛⎫⎪⋅+ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数 例题2解：方法一：先考虑偶数项有：1212222)21(3)21(3---⋅-=-⋅=-n n n n S S 32324222)21(3)21(3----⋅-=-⋅=-n n n n S S……….)21(3)21(23324⋅-=-⋅=-S S).1()21(2])41(2121[4411)41(21213]21)21()21()21[(3])21()21()21[(312332123321222≥+-=⋅--=--⋅-=++++-=+++-=∴-----n S S n n n n n n n n同理考虑奇数项有：.)21(3)21(3221212nn n n S S ⋅=-=---22223212)21(3)21(3----⋅=-⋅=-n n n n S S……….)21(3)21(32213⋅=-⋅=-S S.1).1()21(34))21(2()21(2).1()21(34))21(2()21(2).1()21(2])21()21()21[(31112122122221222121222222112==≥⋅+-=--+-=-=≥⋅-=+---=-=∴≥-=++++=∴----++-+S a n S S a n S S a n S S n n n n n n n n n n n n n n n n综合可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数n n a n n n方法二：因为),3()21(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以两边同乘以n )1(-，可得：.)21(3)21()1(3)1()1(1111----⋅-=-⋅-⋅=---n n n n n n n a a令).3()21(3,)1(11≥-⋅-=-∴-=--n b b a b n n n n n n 所以,)21(311---⋅-=-n n n b b,)21(3221----⋅-=-n n n b b………,)21(3223-⋅-=-b b211)21(41413])21()21()21[(3222212-⋅-⨯-=+++-=∴---n n n n b b b ).3()21(32312≥⋅+-=-n b n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=⋅-⋅+--=-=∴≥⋅+-=⋅+--=∴-=-=-=-=∴-=--=-===-----.,)21(34,,)21(34)21()1(3)1(4)1().1()21(34)21(32325.25)1(,1)1(,25123,11311122211112211为偶数为奇数又n n b a n b a b a b S S a S a n n n n n n n n n n n例题3解:由a n a n+1=21()4n 及a n+1a n+2=211()4n +，两式相除，得2n n a a +=14，则a 1,a 3,a 5,…a 2n-1，…和a 2,a 4,a 6,…a 2n ，…都是公比为14的等比数列，又a 1=1,a 2=12，则：（1）当n 为奇数时，112211()44n n n a --=⋅=；（2）当n 为偶数时，212211()424n nn a --=⋅=．综合得124nn a -=。
求数列中的最大项、最小项问题应用举例
求数列中的最大项、最小项问题应用举例作者：徐方来源：《考试周刊》2013年第93期在高三进行数列专题复习时，经常遇到求数列的最大项、最小项及求某一项的最大值或最小值等问题，本文结合具体例题将其几种类型及解法叙述如下.一、归纳—猜想—证明例1.在数列{a }中，a =2，a =λa +λ +（2-λ）·2 （n∈N ），其中λ>0.（1）证明：{ -（） }为等差数列，并求数列{a }的通项公式；（2）证明：存在k∈N ，使得≤ 对任意n∈N 均成立.解：（1）通过构造法易知a =（n-1）λ +2 ，n∈N ；（2）通过归纳猜想出数列{ }的第一项最大，下面证明：≤ .采用分析法证明，要证 < ，（n≥2）只要证即证（） [（n-1）（λ +4）-2nλ]+λ >0 (1)因为（n-1）（λ +4）-2nλ=n（λ -2λ+4）-（λ +4）≥2（λ -2λ+4）-（λ +4）=（λ-2）≥0，所以（1）式恒成立，即存在k=1，使得≤ 对任意n∈N 均成立.二、利用公式C ≥C C ≥C例2.已知数列{a }的前n项的和S =2n -3n，数列{b }是正项等比数列，满足a =-b ，b （a -a ）=b ，记c =a ·b ，问是否存在正整数M，使得对一切n∈N ，C ≤M恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由.解：∵a =4n-5，b =（），c =（4n-5）·（）假设数列{c }中存在最大项c ，那么一定有C ≥C C ≥C ，即（4n-5）（）≥（4n-9）（）（4n-5）（）≥（4n-1）（），解得≤n≤ ，所以n=3，c = .因此存在正整数M，并且M的最小值为2.三、分奇偶项讨论例3.已知等差数列{a }的通项公式为a =2n+21，（n是奇数）-4n-1，（n是偶数），设{a }的前n项的和为S ，求当S 最大时n的值.解：分两种情况讨论：（1）S 最大，因为S =-2k +20k+23=-2（k-5） +73，所以当k=5时，S 最大.（2）S 最大，因为S =-2k +16k=-2（k-4） +32，所以当k=4时，S 最大.经比较知，使S 取最大值时的n值为5.四、利用函数的单调性例4.数列{a }的各项均为正数，S 为其前项n的和，对于任意n∈N ，总有a ，S ，a 成等差数列，有一正项数列{c }满足：a =（c ）（n∈N ），求数列{c }的最大项.解：由条件易知：a =n（n∈N ）∵n+1=（c ），∴c =（n+1）；lnc = .下研究数列{lnc }的单调性，构造函数f（x）= ，f′（x）= .显然，当x∈（e，+∞）时，f′（x）0，从而函数f（x）= 在区间（0，e）内是单调递增函数，∴c 或c 可能最大，经比较c >c ，所以数列{c }中的最大项为c = .五、利用或F（n+1）-F（n）讨论数列的单调性例5.已知函数f（x）=log 的图像过点A（2，1）和B（5，2），记a =3 ，n∈N ，问是否存在正数k，使得（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）≥k· 对一切n∈N 均成立？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.解：由条件计算得：f（x）=log ，a =2n-1（n∈N ）设存在正数k，使得（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）≥k· 对一切n∈N 均成立，则k≤ ·（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）设F（n）= ·（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）下面确定F（n）的单调性，并求出F（n）的最小值.∵ = >1∴F（n+1）>F（n）∵n∈N ，∴当n=1时，F（n） =F（1）= ，即k的最大值为 .六、分部讨论把目标函数分成性质不同的两部分，一部分是单调函数，另一部分是非单调函数，再转化成方法五去研究，最后综合在一起得出结论.例6.设数列{a }的前n项的积为T ，T =1-a ；数列{b }的前项和为S ，S =1-b ，若T （nb +n-2）≤kn对n∈N 恒成立，求实数k的取值范围.解：T = ，b =（），因为T （nb +n-2）≤kn对n∈N 恒成立，所以T （b + ）≤k对n∈N 恒成立，即 ·（）+ ≤k对n∈N 恒成立.分两部分：设f（n）= （），则当n∈N 时，f（n）单调递减，设g（n）= ，则g（n+1）= ，所以g（n）-g（n+1）= - = .因此当1≤n令l（n）=f（n）+g（n），经计算可知：l（1）l（4）>l（5）>l（6）>……所以l（3）最大，且l（3）= ，故k的取值范围为[ ，+∞）.七、图像法例7.数列{a }是公差为d的等差数列，它的前n项的和为S ，S =2S +4，b = ，若？坌∈N ，都有b ≤b 成立，求a 的取值范围.解：易知d=1，a =a +（n-1），∴b =1+ 且它的对称中心为（1-a ，1）.又∵？坌n∈N ，都有b ≤b 成立，∴b 是数列{b }的最大项，故：7八、线性规划法例8.设等差数列{a }前n项的和为S ，若S ≥10，S ≤15，则a 的最大值为多少？解：设{a }的首项为a ，公差为d，则有：2a +3d≥5a +2d≤3，根据线性规划可得a =a +4d 的最大值为5.总之，无论采用哪种方法，都要对问题进行认真分析，抓住问题的实质，选择恰当有效的方法.。
数列中奇偶分论讨论策略
数列中奇偶分论讨论策略有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差（比）等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用．因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．一、【温故·习新】1．已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3（n ∈N *）． （1）若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； （2）当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ．【解析】（1） 若数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋（n －1）d ，a n ＋1＝a 1＋nd ．由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得（a 1＋nd ）＋[a 1＋（n －1）d ]＝2nd ＋2a 1－d ＝4n －3， 所以2d ＝4，2a 1－d ＝－3，解得，d ＝2，a 1＝－12．（2）由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1（n ∈N *）．两式相减，得a n ＋2－a n ＝4． 所以数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列，数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列，由a 2＋a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1．所以a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧-为偶数为奇数n n n n 522解法1：①当n 为偶数时，S n ＝（a 1＋a 3＋…＋a n －1）＋（a 2＋a 4＋…＋a n ）＝2＋2(n －1)2·n 2＋－1＋(2n －5)2·n 2＝2n 2－3n2．②当n 为奇数时，S n ＝2(n －1)2－3(n －1)2＋2n ＝2n 2－3n ＋52所以S n＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2， n 为偶数.解法2：①当n 为偶数时，S n ＝（a 1＋a 2）＋（a 3＋a 4）＋…＋（a n －1＋a n ）＝1＋9＋…＋（4n －7）＝2n 2－3n2；②当n 为奇数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝（a 1＋a 2）＋（a 3＋a 4）＋…＋（a n －2＋a n －1）＋a n ＝1＋9＋…＋（4n －11）＋2n ＝2n 2－3n ＋52．所以S n ＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2， n 为偶数.二、【释疑·拓展】例1 设函数f （x ）＝2x ＋33x （x >0），数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1（n ∈N *，且n ≥2）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋（－1）n －1a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）a n ＝2n ＋13；（2）⎝⎛⎦⎤－∞，－59． 【解析】（1）因为a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1＝2＋3a n －1a n －13×1a n －1＝a n －1＋23，（n ∈N *，且n ≥2），所以a n －a n －1＝23． 因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为23的等差数列．所以a n ＝2n ＋13．（2）①当n ＝2m ，m ∈N *时，T n ＝T 2m ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋（－1）2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝a 2（a 1－a 3）＋a 4（a 3－a 5）＋…＋a 2m （a 2m －1－a 2m ＋1） ＝－43（a 2＋a 4＋…＋a 2m ）＝－43×a 2＋a 2m2×m＝－19（8m 2＋12m ）＝－19（2n 2＋6n ）．②当n ＝2m －1，m ∈N *时， T n ＝T 2m －1＝T 2m －（－1）2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝－19（8m 2＋12m ）＋19（16m 2＋16m ＋3）＝19（8m 2＋4m ＋3）＝19（2n 2＋6n ＋7）． 所以T n＝⎩⎨⎧－19(2n 2＋6n )，n 为偶数，19(2n 2＋6n ＋7)，n 为奇数.要使T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，只要使－19（2n 2＋6n ）≥tn 2，（n 为偶数）恒成立，只要使－19⎝⎛⎭⎫2＋6n ≥t ，对n 为偶数恒成立．故实数t 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－59． 跟踪训练1：已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16．（1）求数列{a n }的前n 项和S n ； （2）设T n ＝1(1)ni ii a =-∑，若对一切正整数n ，不等式λT n<[an ＋1＋（－1）n ＋1a n ]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）S n ＝n 2；（2）（－4，2）．【解析】（1） 设数列{a n }的公差为d ．因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2．解法1：（2） ①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝（a 2－a 1）＋（a 4－a 3）＋…＋（a 2k－a 2k －1）＝2k ．代入不等式λT n <[a n ＋1＋（－1）n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k，从而λ<4k2k．设f （k ）＝4k 2k ，则f （k ＋1）－f （k ）＝4k ＋12(k ＋1)－4k 2k ＝4k (3k －1)2k (k ＋1)．因为k ∈N *，所以f （k ＋1）－f （k ）>0，所以f （k ）是递增的，所以f （k ）min ＝2，所以λ<2． ②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，则T 2k －1＝T 2k －（－1）2k a 2k ＝2k －（4k －1）＝1－2k ．代入不等式λT n <[a n ＋1＋（－1）n ＋1a n ]·2n －1，得λ·（1－2k ）<（2k －1）4k ， 从而λ>－4k ．因为k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ>－4． 综上，λ的取值范围为（－4，2）．解法2：当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝（a 2＋a 4＋…＋a 2k ）－（a 1＋a 3＋…＋a 2k －1）＝2k ，下同解法1 例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，满足S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，且a 1＝1，并且正项数列{b n }满足b 2n ＋1－b n ＋1＝b 2n ＋b n （n ∈N *），其前7项和为42． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n ＝b n a n ＋a nb n，数列{c n }的前n 项和为T n ，若对任意正整数，都有T n ≥2n ＋a ，求实数a 的取值范围；（3）将数列{a n }，{b n }的项按照“当n 为奇数时，a n 放在前面；当n 为偶数时，b n 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，b 3，b 4，a 4，a 5，b 5，b 6，…，求这个新数列的前n 项和P n ．【答案】 （1）a n ＝n ，b n ＝n ＋2；（2）⎝⎛⎦⎤－∞，43【解析】（1）∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列，∴S n n ＝1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n (n ＋1)2（n ∈N *）， ∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)(n ＋2)2－n (n ＋1)2＝n ＋1（n ∈N *），又a 1＝1，∴a n ＝n （n ∈N *）．∵b 2n ＋1－b n ＋1＝b 2n ＋b n ，∴（b n ＋1＋b n ）（b n ＋1－b n －1）＝0，又b n >0，∴b n ＋1－b n ＝1， ∴数列{b n }是等差数列，且公差为d ＝1，设{b n }的前项和为B n ，∵B 7＝7b 1＋7×62×1＝42，∴b 1＝3，∴b n ＝3＋（n －1）＝n ＋2（n ∈N *）．（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝2n ＋2⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝2n ＋3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2，∴T n －2n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2，设R n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2，则R n ＋1－R n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋3＝4(n ＋1)(n ＋3)>0，∴数列{R n }为递增数列，∴（R n ）min ＝R 1＝43，∵对任意正整数n ，都有T n －2n ≥a恒成立，∴a ≤43，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，43． （3）数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n ＋1)2，数列{b n }的前n 项和B n ＝n (n ＋5)2，①当n ＝2k （k ∈N *）时，P n ＝S k ＋B k ＝k (k ＋1)2＋k (k ＋5)2＝k 2＋3k ＝⎝⎛⎭⎫n 22＋3×n 2＝14n 2＋32n ； ②当n ＝4k －3（k ∈N *）时，Pn ＝S 2k －1＋B 2k －2＝(2k －1)·2k 2＋(2k －2)(2k ＋3)2＝4k 2－3＝n 2＋6n －34， 特别地，当n ＝1时，P 1＝1也符合上式； ③当n ＝4k －1（k ∈N *）时，Pn ＝S 2k －1＋B 2k ＝(2k －1)2k 2＋2k (2k ＋5)2＝4k 2＋4k ＝n 2＋6n ＋54．跟踪训练2：（2020·徐州模拟）在数列{}a n 中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，其公差为d k ．（1）若d 1＝2，求a 2，a 3的值；（2）若d k ＝2k ，证明a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列（k ∈N *）；（3）若对任意k ∈N *，a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列，其公比为q k ，设q 1≠1，证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1q k－1是等差数列．【答案】 （1）a 2＝2，a 3＝4．（2）略；（3）略．【解析】 （1）因为对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，所以当k ＝1时，a 1，a 2，a 3成等差数列且公差为2，故d 1＝a 2－a 1＝a 3－a 2，故a 2＝a 1＋d 1＝2，a 3＝a 2＋d 1＝4．（2）由题设，可得a 2k ＋1－a 2k －1＝4k ，（k ∈N *）．所以a 2k ＋1－a 1＝()a 2k ＋1－a 2k －1＋()a 2k －1－a 2k －3＋…＋()a 3－a 1＝4k ＋4()k －1＋…＋4×1＝2k ()k ＋1，由a 1＝0得，a 2k ＋1＝2k （k ＋1），从而a 2k ＝a 2k ＋1－2k ＝2k 2，所以a 2k ＋2＝2（k ＋1）2．于是a 2k ＋1a 2k ＝a 2k ＋2a 2k ＋1＝k ＋1k，所以当d k ＝2k 时，对任意的k ∈N *，a 2k ，a 2k＋1，a 2k ＋2成等比数列．（3）证明：由a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，及a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列，可得2a 2k ＝a 2k －1＋a 2k ＋1，所以2＝a 2k －1a 2k ＋a 2k ＋1a 2k ＝1q k －1＋q k ，当q 1≠1时，可知q k ≠1，k ∈N *，从而1q k －1＝12－1q k －1－1＝1q k －1－1＋1，即1q k －1－1q k －1－1＝1（k ≥2），所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1q k －1是公差为1的等差数列．三、【反馈·提炼】1、已知首项为32的等比数列{n a}的前n 项和为S n （n ∈N *），且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．若S n ＋1S n≤m （n ∈N *）恒成立，则的m 的最小值是 ．证明：由（1）知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n，S n＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n（2n＋1），n 为奇数，2＋12n （2n－1），n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136．当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512．故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136．2、已知等比数列{n a }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n．若A≤S n－1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________．5972【解析】∵ S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－13n，∴ T n ＝S n －1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－13n－11－⎝⎛⎭⎫－13n．当n 为奇数时，T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫13n －11＋⎝⎛⎭⎫13n递减，则0<T n <T 1＝712； 当n 为偶数时，T n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n －11－⎝⎛⎭⎫13n递增，则－1772＝T 2<T n <0．故－1772≤T n ≤712，∴ A max ＝－1772，B min ＝712， 故 （B －A ）min ＝B min －A max ＝5972．3．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝（－1）n a n －12n，n ∈N *，则S 1＋S 2＋…＋S 2020＝________． 13⎝⎛⎭⎫12100－1 【解析】法一：n=1时，S 1＝－a 1－12，a 1＝－41n ≥2时，S n ＝（－1）n a n －12n ，S n-1＝（－1）n-1a n-1－1-21n ∴a n ＝（－1）n a n －（－1）n-1a n-1＋12n当n 为偶数时，a n-1＝－12n ，从而，a n ＝－12n ＋1（n 为奇数），∴a 3＝－116当n 为奇数时，a n-1＝1-21n ，从而，a n ＝12n （n 为偶数）对S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，①当n 为偶数时，S n ＝0；②当n 为奇数时，S n ＝a n ∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝a 1＋a 3＋…＋a 99＝13⎝⎛⎭⎫12100－1法二：①当n 为奇数时，S n ＝－a n －12n ，所以S n ＋1＝a n ＋1－12n ＋1，S n ＋1－a n ＋1＝－12n ＋1，即S n ＝－12n ＋1，又S n ＝－a n －12n ，所以S n ＝a n ＝－12n ＋1，②当n 为偶数时S n ＋1＝－a n ＋1－12n ＋1，S n ＋1＋a n ＋1＝－12n ＋1，S n ＋2a n ＋1＝－12n ＋1，S n ＝－2a n ＋1－12n ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫－12n ＋2－12n ＋1＝0，所以a 3＝－116，S 1＋S 2＋…＋S 100＝－⎝⎛⎭⎫122＋124＋…＋12100＝13⎝⎛⎭⎫12100－1． 4．已知数列{n a }中，121,a a a ==，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{n a }的前n 项和为Sn ．（1）若12k =，且20202020S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{n a }是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若1,2n k S =-求．【解析】⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列，此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--，得1a =；⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=， ①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，解得1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-，1a =（舍去）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m a a a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++；综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-；⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，当n 是偶数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+， 当n 是奇数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式 综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数．5． 对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q ，使得1(0)n n c pc q p +=+≠对于任意的*n N ∈都成立，我们称这个数列{}n c 是“M 类数列”．（1）若*2,32,nn n a n b n N ==⋅∈，判断数列{},{}n n a b 是否为“M 类数列”，并说明理由； （2）若数列{}n a 是“M 类数列”，则数列1{}n n a a ++、1{}n n a a +⋅是否一定是“M 类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{}n a 满足：*111,32()nn n a a a n N +=+=⋅∈，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求nS 的表达式，并判断{}n a 是否是“M 类数列”．【解析】（1）因为12n n a a +=+，12p q ==，是“M 类数列”，…………………2分 12n n b b +=，20p q ==，是“M 类数列”．…………………4分．（2）因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，所以121+()2n n n n a a p a a q +++=++，因此，1{}n n a a ++是“M 类数列”．…………7分 因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+， 所以221211()()n n n n n n a a p a a pq a a q ++++=+++， 当0q =时，是“M 类数列”；…………………9分 当0q ≠时，不是“M 类数列”；…………………10分 （3）当n 为偶数时，2+113(222)22n n n S -=+++=-，当n 为奇数时，24+111+3(222)23n n n S -=+++=-，所以112(2,)23(21,n n n n k k Z S n k k Z ++⎧=∈⎪=⎨-=-∈⎪⎩-2，，）．…………………12分当n 为偶数时，+1122(23)21n n n n n n a S S -=-=---=+，当n 为奇数时，+1123(22)213)n n n n n n a S S n -=-=---=-≥（，…………………14分所以21(2,)21(21,nn nn k k Z a n k k Z ⎧+=∈⎪=⎨-=-∈⎪⎩，，） 假设{}n a 是“M 类数列”， 当n 为偶数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=-=+=++⇒==-， 当n 为奇数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=+=+=-+⇒==，得出矛盾，所以{}n a 不是“M 类数列”．…………………16分 6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n （n 为奇数），a n －3n （n 为偶数）.（1） 否存在实数λ，使数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（2） 若S n 是数列{a n }的前n 项的和，求满足S n ＞0的所有正整数n ． 【解析】（1） 设b n ＝a 2n －λ，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1－λa 2n －λ．若数列{a 2n －λ}是等比数列，则必须有13a 2n＋1－λa 2n －λ＝q （常数），即⎝⎛⎭⎫13－q a 2n ＋（q －1）λ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧13－q ＝0（q －1）λ＋1＝0⎩⎨⎧q ＝13，λ＝32，此时b 1＝a 2－32＝13a 1＋1－32＝－16≠0，所以存在实数λ＝32，使数列{a 2n －λ}是等比数列．（2） 由（1）得{b n }是以－16为首项，13为公比的等比数列，故b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ， 即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32．由a 2n ＝13a 2n －1＋（2n －1），得a 2n －1＝3a 2n －3（2n －1）＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，所以a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， S 2n ＝（a 1＋a 2）＋（a 3＋a 4）＋…＋（a 2n －1＋a 2n ） ＝－2⎣⎡⎦⎤13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n－6（1＋2＋…＋n ）＋9n ＝－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－6·n （n ＋1）2＋9n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n－3（n －1）2＋2．显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减．又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0， 所以当n≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ，同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0． 综上，满足S n ＞0的所有正整数n 为1和2．7．已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+（n *∈N ）． （1）若21a a =+，322a a =，且数列{}n b 是公差为3的等差数列，求2n S ； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥恒成立，求a 的取值范围． 【解析】（1）由条件知13n n b b +-=，即23n n a a +-=， …… 2分 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为3．由1a a =，322a a =+，所以3123a a a -=+=，即1a =， 所以11a =，22a =． 所以22(1)(1)323322n n n n n S n n n --⎡⎤⎡⎤=+⨯++⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． （2）① 由2n T n =，得121n n n b T T n -=-=-（2n ≥）， 由于11b =符合上式，所以21n b n =-（n *∈N ）， 所以121n n a a n ++=-．所以1(1)()n n a n a n +--=--，即11(1)n n a na n +-=---，所以数列{}(1)n a n --为等比数列，且公比为1-， 因为10a a =>，所以1(1)(1)n n a a n -=⋅-+-（n *∈N ）． ② 不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥即为11()12(1)n n n n a a a a n ++-++-≥， 由于121n n a a n ++=-，所以不等式即为10n n a a +≥． 当n 是奇数时，(1)n a a n =+-，1n a a n +=-+，所以[]21(1)()(1)0n n a a a n a n a a n n +=+-⋅-+=-++-≥，即2(1)a a n n -+--≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立， 所以26a a -+-≥，解得23a -≤≤．当n 为偶数时，(1)n a a n =-+-，1n a a n +=+， 由10n n a a +≥，得2(1)a a n n ----≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立， 所以22a a ---≥，解得21a -≤≤，因为0a >，所以a 的取值范围是01a <≤．。
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题例1、（12一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=.（1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. 例2、（14二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-……………13分点评:根据结论1退而求之.（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………14分点评：分清项数，根据奇偶进行分组求和。
数列中的奇偶项问题课件-2025届高三数学一轮复习
log 2 , 为偶数
数列的通项公式,再求出{an}的通项公式.
迁移应用
已 知 数 列 {an} 是 等 差 数 列 , 它 的 前 n(n ∈ N*) 项 和 为 Sn, 数 列 {bn} 是 等 比 数
列,bn>0,a1=3,b1=1,b3+S2=12,a5-2b2=a3.
将n用2k-1或2k替代,当n=2k-1时,a2k=a2k-1+1;
当n=2k时,a2k+1=2a2k=2(a2k-1+1)⇒a2k+1+2=2(a2k-1+2)⇒构造出以a1+2为首项、2为
公比的等比数列,先求出a2k-1的通项公式,再求出a2k的通项公式.
, 为奇数,
(2)数列{an}与其他数列的关系,如an=
+2
−1
2
, 为偶数.
所以T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)=[
1
1 1
1
1
(1- )+( - )+…+(
)]+
3
3 5
2−1 2+1
) 1+22+1
1
2(1−4
1
3
2n-1
(2+2 +…+2 )=1+
=
.
2+1
1−4
3
2+1
视角三
数列中连续两项和或积的问题(an++1 =f(n)或an·+1 =f(n))
所以bn的前100项和
数列的奇偶分类讨论2
问题1：观察图形，如何得到数列的递推关系式？
a1 a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9 a10
……
问题2：如何由数列的递推关系得到数列的通项公式？
【解答】
当n为偶数时，
an a1 a2 a1 a3 a2 an an1
2 2 4 4 n 2 n 2 n
41 2 n 2 n 1 n2
五、课后作业
五、课后作业
五、课后作业
五、课后作业
谢 谢聆听！
三、课堂练习
练习2：数列{an}中，an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，则数列{an}前12项和等于（B ）
A．76 B．78 C．80 D．82
四、方法归纳
(1)奇偶分类讨论问题的常见题型： ①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； ②含有(－1)n的类型； ③含有{a2n}，{a2n－1}的类型； ④已知条件明确的奇偶项问题。 (2)通项公式分奇偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的 和与偶数项的和。
大衍数列
——数列的奇偶分类讨论
黄冈中学 庄四化
一、观察发现、探究规律
引例：“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕 斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角 形数阵，记an为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列{an}的 第n项，则a100的值为 .
a1 a2 a3 a4
2 2
问题2：如何由数列的递推关系得到数列的通项公式？
当n为奇数时，
an a1 a2 a1 a3 a2 an an1 2 2 4 4 n 1 n 1
41 2 n 1 n2 1
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题例1、数列{}n a 满足：111,1,2n n na n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=. 〔1〕求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+〔2〕①证明：数列{}2n b +等比数列；②假设22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值.例2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．〔I 〕求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； 〔II 〕设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．3、 一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝22n，那么这个数列的前2m 项的和是________． 练习1．等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，那么这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40 2、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，那么这个等比数列的项数为〔A 〕4 〔B 〕6 〔C 〕8 〔D 〕103、数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，那么b 10＝________.4、数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，那么a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.525．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，那么S 2 014＝( )A ．22 014－1B ．3×21 007－3C ．3×21 007－1D ．3×21 007－26. 于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列〞，假设a 1＝2，{a n }的“差数列〞的通项公式为2n ，那么数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7、(2021·天津高考)首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．8、S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.①求数列{a n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？假设存在，求出符合条件的所有n 的集合；假设不存在，说明理由．解：〔1〕2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+=121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ 〔2〕①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，那么12211321n n n a a --=+=⨯-， 因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=kt ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =.解：〔Ⅰ〕由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分 〔Ⅱ〕14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时， 13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++ =212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--．当n 为奇数时，〔法一〕1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-〔法二〕132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ．12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S 2m ＝S 奇＋S 偶＝ma 1＋m (m －1)2×10＋a 2(1－2m )1－2＝6m ＋5m (m －1)＋2(2m－1)＝6m ＋5m 2－5m ＋2m ＋1－2＝2m ＋1＋5m 2＋m －2.解析：选A 设这个数列有2n 项，那么由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64.解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.解析：选B 由a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n＝a n ＋2a n ＝2n ＋12n ＝2，且a 2＝2，得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S 2 014＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－21 0071－2＋2(1－21 007)1－2＝3×21 007－3.比照： a n ＋1/a n ＝2n 那么用累乘法，解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.[解题指导] (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ，S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.解析：①设数列{a n }的公比为q ，那么a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.②由①有S n ＝3×[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .假设存在n ，使得S n ≥2 013，那么1－(－2)n ≥2 013， 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，那么n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 点评：当数列涉及底数是负数时，要对指数n 分奇偶讨论。
如何分奇偶项求解两类数列问题
有些数列奇数项和偶数项的通项公式不同，此时数列的通项公式以及前n 项和都需分段表示.那么在求数列的通项公式和前n 项和时，需对数列的奇数项和偶数项进行分类讨论，主要讨论n 分别为奇数和偶数时的情况.这就给我们解题带来了很多的麻烦和障碍，同学们需灵活运用分类讨论思想来辅助解题.一、求数列的通项公式若数列的奇数项和偶数项不同，则数列的奇数项和偶数项的通项公式也不同.在求数列的通项公式时，需分别研究当n 为1，3，5，⋯，2k -1时以及n 为2，4，6，⋯，2k 时各项之间的规律，并采用一些手段，如将前后项作差、作商、添加（去掉）一个常数、在分子（分母）上减去一个常数等，以确定前后项之间的递推关系，进而求得数列的通项公式.最后需将数列的通项公式，用分段式表示出来.例1.已知数列{}a n 满足a n +1+a n =n ，a 1=1，则数列{}a n 的通项公式为.解：因为a n +1+a n =n ，所以a n +2+a n +1=n +1，将上述两式相减可得a n +2-a n =1，则a 1,a 3,∙∙∙,a 2k -1,∙∙∙是以a 1=1为首项，1为公差的等差数列；a 2,a 4,∙∙∙,a 2k ,∙∙∙是以a 2=0为首项，1为公差的等差数列，所以a 2k -1=1+(k -1)×1=k ，a 2k =0+(k -1)×1=k -1.令n =2k -1，则a n =n +12；令n =2k ，则a n =n -22.所以数列{}a n 的通项公式为a n =ìíîïïn +12,n 为奇数,n -22,n 为偶数.由递推关系a n +1+a n =n 可推导出数列{}a n 的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列.再分别根据等差数列的定义求得数列的首项和公差，即可求得数列{}a 2k -1和{}a 2k 的通项公式，最后用分段式表示即可.例2.已知数列{}a n 满足a n +1∙a n =2n，a 1=1，则数列{}a n 的通项公式为.解：因为a n +1∙a n =2n ，所以a n +2∙a n +1=2n +1，将上述两式相除可得a n +2a n=2，则a 1,a 3,∙∙∙,a 2k -1,∙∙∙是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列；a 2,a 4,∙∙∙,a 2k ,∙∙∙是以a 2=2为首项，2为公比的等比数列，所以a 2k -1=1×2k -1=2k -1，a 2k =2×2k -1=2k .令n =2k -1，则a n =2n -12；令n =2k ，则a n =2n2.所以数列{}a n 的通项公式为a n =ìíîïï2n -12,n 为奇数,2n2,n 为偶数.将a n +1∙a n =2n 与a n +2∙a n +1=2n +1两项作商，即可确定a n +2、a n 之间的递推关系，进而根据等比数列的定义判定数列{}a n 的奇数项、偶数项都成等比数列.再分别根据等比数列的通项公式求得数列{}a 2k -1和{}a 2k 的通项公式.例3.已知数列{}a n 满足，[2-(-1)n ]⋅a n +[2+(-1)n ]⋅a n +1=1+(-1)n ×3n ，a 1=1，则数列{}a n 的通项公式为.解：当n =2k -1(k ≥1)时，有a 2k +3a 2k -1=4-6k ；当n =2k (k ≥1)时，有a 2k +3a 2k +1=1+6k .将上述两式相减得a 2k +1-a 2k -1=4k -1，故a 2k -1=a 1+(a 3-a 1)+∙∙∙+(a 2k -1-a 2k -3)解题宝典37=1+3+7+∙∙∙+(4k -5)=1+(k -1)(3+4k -5)2=2k 2-3k +2，又因为a 2k +3a 2k -1=4-6k ，所以a 2k =4-6k -3a 2k -1=-6k 2+3k -2.令n =2k -1，则a n =12n 2-12n +1；令n =2k ，则a n =-32n 2+32n -2.所以数列{}a n 的通项公式为：a n =ìíîïï12n 2-12n +1,n 为奇数,-32n 2+32n -2,n 为偶数.由于数列的递推关系式含有(-1)n，所以需分n =2k -1和n =2k 两种情况进行讨论.先由[2-(-1)n ]⋅a n +[2+(-1)n ]∙a n +1=1+(-1)n ×3n 可推导出递推关系a 2k +1-a 2k -1=4k -1，求得a 2k -1的表达式；再根据a 2k +3a 2k -1=4-6k 求得a 2k 的表达式；最后将数列{}a n 的通项公式写成分段式即可.例4.已知数列{}a n 满足a n +1+(-1)n∙a n =2n -1，a 1=1，则数列{}a n 的通项公式为.解：当n =2k -1(k ≥1)时，a 2k -a 2k -1=4k -3；当n =2k (k ≥1)时，a 2k +1+a 2k =4k -1.将上述两式相减可得a 2k +1+a 2k -1=2，①又a 2k +3+a 2k +1=2，②，将②-①得a 2k +3-a 2k -1=0，则a 1,a 5,a 9,∙∙∙,a 4k -3,∙∙∙是以a 1=1为首项，0为公差的等差数列；a 3,a 7,a 11,∙∙∙,a 4k -1,∙∙∙是以a 3=1为首项，0为公差的等差数列，所以a 4k -3=a 1+(k -1)×0=1，a 4k -1=a 3+(k -1)×0=1，又因为a 2k -a 2k -1=4k -3，所以a 4k -a 4k -1=8k -3，a 4k -2-a 4k -3=8k -7，即a 4k =8k -2，a 4k -2=8k -6.因为{n |n =2k -1,k ∈N +}={n |n =4k -1,k ∈N +}⋃{n |n =4k -3,k ∈N +}，{n |n =2k ,k ∈N +}={n |n =4k ,k ∈N +}⋃{n |n =4k -2,k ∈N +}，所以数列{}a n 的通项公式为：a n ={1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数.由a n +1+(-1)n∙a n =2n -1可推导出递推关系a 2k +3-a 2k -1=0，进而求得a 4k -1和a 4k -3的表达式，再分n 为奇数、偶数两种情况，由a 2k -a 2k -1=4k -3求得a 4k 和a 4k -2的表达式，即可得到数列{}a n 的通项公式.例5.数列{}a n 中，a 1=2，a n +1=ìíîïï12a n ,n 为偶数，a n +1,n 为奇数，则数列{}a n 的通项公式为.解：由题意得a 2k +1=12a 2k =12(a 2k -1+1)，则a 2k +1-1=12(a 2k -1-1)，即数列{a 2k -1-1}是以a 1-1=1为首项，12为公比的等比数列.则a 2k -1-1=1×(12)k -1=(12)k -1，即a 2k -1=(12)k -1+1，而a 2k =a 2k -1+1=(12)k -1+2.令n =2k -1，则a n =(12)n -12+1；令n =2k ，则a n =(12)n -22+2.所以数列{}a n 的通项公式为a n =ìíîïïïï(12)n -12+1,n 为奇数,(12)n -22+2,n 为偶数.题目中给出的递推关系为分段式，可由该递推关系式推导出a 2k +1=12a 2k =12(a 2k -1+1)，进而得出数列{a 2k -1-1}为等比数列，求得{}a 2k -1的通项公式，再根据a 2k =a 2k -1+1求得a 2k 的表达式.从这几个例题中可看出，求数列{}a n 的通项公式，需运用分类讨论思想，先分n =2k -1和n =2k 两种情况进行讨论，分别运用等差、等比数列的通项公式，累加法、累乘法、待定系数法等方法求出数列{}a 2k -1和{}a 2k 的通项公式；再用分段式表示数列{}a n 的通项公式.二、求数列的和当数列奇数项和偶数项的通项公式不同时，我们需要分n 为奇数和偶数两种情况来讨论数列的前n 项和.通常需先根据所有奇数项以及偶数项的规律确定数列的通项公式；然后运用等差、等比数列的前n 项和公式，错位相减法、裂项相消法、分组求和法等求得奇数项以及偶数项数列的和；最后将所得的结果相加.解题宝典38例6.设S n 为数列{}a n 的前n 项和，S n =(-1)n a n -12n,n ∈N +，则S 1+S 2+∙∙∙+S 100=.解：因为a n =S n -S n -1(n ≥2)，所以S n =(-1)n (S n -S n -1)-12n ,n ≥2.则当n =2k -1时，S 2k -1=-(S 2k -1-S 2k -2)-122k -1，即2S 2k -1=S 2k -2-122k -1；当n =2k 时，S 2k =S 2k -S 2k -1-122k，即S 2k -1=-122k ，又因为2S 2k -1=S 2k -2-122k -1，所以S 2k -2=2S 2k -1+122k -1=0.所以S 1+S 2+∙∙∙+S 100=S 1+S 3+S 5+∙∙∙+S 99=-(122+124+∙∙∙+12198)=-14(1-12100)1-14=13(12100-1).由a n =S n -S n -1(n ≥2)可推导出S 2k -1=-122k 和S 2k -2=0，即可根据等比数列的前n 项和公式求得数列中各奇数项的和，进而求得S 1+S 2+∙∙∙+S 100的值.例7.已知数列{}a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n -1，则数列{}a n 的前n 项和S n =.解：S 2k -1=a 1+(a 2+a 3)+∙∙∙+(a 2k -2+a 2k -1)=1+3+∙∙∙+(4k -5)=1+(k -1)(4k -2)2=2k 2-3k +2；S 2k =(a 1+a 2)+∙∙∙+(a 2k -1+a 2k )=1+5+∙∙∙+(4k -3)=k (4k -2)2=2k 2-k .令n =2k -1，则S n =2×(n +12)2-3(n +12)+2=12n 2-12n +1；当n =2k 时，S n =2×(n 2)2-n 2=12n 2-12n .所以数列{}a n 的前n 项和S n =ìíîïï12n 2-12n +1,n 为奇数,12n 2-12n ,n 为偶数.已知递推关系式为数列前后两项之和，于是分别讨论n =2k -1和n =2k 时每两项的和，再根据等差数列的前n 项公式进行求和即可.例8.已知S n 为正项数列{}a n 的前n 项和，且a n ,2S n ,a n +1依次成等比数列.（I ）求数列{}a n 的通项公式；（II ）设b n =ìíîïïa n,n 为奇数，2n 2,n 为偶数，求数列{b n b n +1}的前n 项和T n .解：（I ）易得a n =n ；（过程略）（II ）因为b n =ìíîïïn ,n 为奇数，2n 2,n 为偶数，设c n =b n b n +1，则c 2k -1+c 2k =b 2k -1b 2k +b 2k b 2k +1=b 2k (b 2k -1+b 2k +1)=4k ∙2k ，所以T 2n =c 1+c 2+∙∙∙+c 2n =(c 1+c 2)+∙∙∙+(c 2n -1+c 2n )=4(1×21+2×22+∙∙∙+n ×2n )，令R n =1×21+2×22+∙∙∙+n ×2n ，则2R n =1×22+2×23+∙∙∙+n ×2n +1，将上述两式相减可得-R n =21+22+∙∙∙+2n -n ×2n +1=2(1-2n )1-2-n ×2n +1=(1-n )×2n +1-2，故R n =(n -1)×2n +1+2，则T 2n =4R n =(n -1)×2n +3+8.又T 2n -1=T 2n -c 2n =(n -1)×2n +3+8-(2n +1)×2n=(6n -9)×2n +8.所以数列{b n b n +1}的前n 项和为：T n =ìíî(6n -9)×2n +8,n 为奇数，(n -1)×2n +3+8,n 为偶数.解答本题的关键是构造数列c n =b n b n +1，得到c 2k -1+c 2k =4k ∙2k ，进而分别求出S 2n -1和S 2n ，得到S n的表达式.一般地，若数列{}a n 的奇数项和偶数项的通项公式不同，则要求前n 项和S n ，往往需要运用分类讨论思想，分别求得奇数项的和S 2k -1和偶数项的和S 2k .虽然数列中奇偶项的通项公式不同问题较为复杂，但是我们只要抓住解题的关键：（1）要认真分析数列的通项公式或者递推关系式的结构特点，找到问题的突破口；（2）灵活运用分类讨论思想，将n 分为奇数和偶数两种情况进行讨论，就能顺利解题.（作者单位：福建省武平县第二中学）解题宝典39。
奇偶分析法巧解数列求和难题
解题探索 奇偶分析法巧解数列求和难题李正言（金陵中学河西分校，２１００００） 在日常学习考试中，我们经常会遇到数列求和问题，通常的做法是先求出数列通项解析式，判断数列性质，再根据公式求和，这是大多数同学都能掌握并熟练运用的．但也经常会遇到根据给出的条件，按照正常解题思路无法准确求出解析式的情况，这时，我们必须要学会巧用奇偶分析法求出通项解析式，或者选择放弃求通项解析式，采用分类讨论法研究，一定会收到意想不到的效果．例１ 在一个数列中，如果每一项和它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的共和．已知数列｛ａｎ｝是等和数列，且ａ１＝２，共和为５．（１）求ａ１８的值；（２）求出这个数列的前ｎ项和Ｓｎ的计算公式．解题分析：（１）根据题意易得知：ａ１＝２，ａｎ＋ａｎ＋１＝５，进一步思考可以列出数列各项值：ａ１＝２，ａ２＝３，ａ３＝３，ａ４＝３，ａ５＝２，ａ６＝３，……很容易看出这个数列奇数项的值都为２，偶数项的值都为３．即ａｎ＝２， ｎ＝２ｋ－１，３， ｎ＝２{ｋｋ∈Ｎ． ①据此易求出ａ１８＝３．（２）根据（１）式，易写出Ｓｎ解析式：Ｓｎ＝５ｎ２， ｎ＝２ｋ，５ｎ－２２，ｎ＝２ｋ{－１ｋ∈Ｎ． ②思考：此例中需要特别注意的地方，在分奇偶项求和时，不要犯低级错误把项数搞错了．例２ 数列｛ａｎ｝满足ａｎ＋１＋（－１）ｎａｎ＝２ｎ－１，求数列｛ａｎ｝前１００项的和Ｓ１００．解题分析：此题试图去求解通项式，会遇到很大困难，因为题目中没有给出数列首项的值．必须要配合联想、归纳和推理，再巧用奇偶分析法，就会化难为简．具体分析如下：方法一：若ｎ为奇数，可以得出：令ｎ＝２ｋ－１，ｋ∈Ｎ，有ａ２ｋ－ａ２ｋ－１＝４ｋ－３． ①若ｎ为偶数，可以得出：令ｎ＝２ｋ，ｋ∈Ｎ，有ａ２ｋ＋１＋ａ２ｋ＝４ｋ－１． ②到这里，我们会发现无论①式还是②式，都无法使用累加法继续求出通项式，因为进行迭代时，数列项脚下标奇偶性都发生了变化．经过仔细观察我们会发现①式和②式中都有项，不妨进行两式相减，即②－①可以得到：ａ２ｋ＋１＋ａ２ｋ－１＝２． ③③式表明两个相邻奇数项的和为固定值２，这样就不难算出数列前１００项中奇数项的和为：Ｓ１００奇＝ａ１＋ａ３＋ａ５＋…＋ａ９７＋ａ９９＝５０２×２＝５０． ④现在开始求偶数项的和，根据①式相邻奇偶项关系，我们不难发现：ａ２－ａ１＝１，ａ４－ａ３＝５，ａ６－ａ５＝９，ａ８－ａ７＝１３…ａ９８－ａ９７＝１９３，ａ１００－ａ９９＝１９７，一个新的等差数列又出现了，可以设定它为｛ｂｎ｝，项数为５０，公差为４．对这个数列进行求和可以得到：ａ２－ａ１＋ａ４－ａ４＋ａ６－…＋ａ１００－ａ９９＝１＋５＋…＋１９７＝１×５０＋１２×５０×（５０－１）×４＝４９５０．即Ｓ１００偶－Ｓ１００奇＝４９５０． ⑤根据④、⑤式可得，Ｓ１００＝Ｓ１００偶＋Ｓ１００奇＝５０５０．方法二：我们应该能想到，既然题目没有给出数列首项的值，也间接说明所求的和与首项无关，不妨给首项假定一个值，再去分析，具体如下：设ａ１＝１，根据ａｎ＋１＋（－１）ｎａｎ＝２ｎ－１，可得出：ａ２－ａ１＝１，ａ２＝２．依次递推可得出：ａ３＋ａ２＝３，ａ３＝１，ａ４＝６，ａ５＝１，ａ６＝１０，ａ７＝１，ａ８＝１４，ａ９＝１，…，ａ９９＝１，ａ１００＝１９８．·４７·至此，我们可以大胆猜测：数列的奇数项都是值为１的固定值数列；数列的偶数项为等差数列，２为首项，４为公差．再分别求和：Ｓ１００奇＝ａ１＋ａ３＋ａ５＋…＋ａ９７＋ａ９９＝５０． ①Ｓ１００偶＝１２×（２＋１９８）×５０＝５０００． ②Ｓ１００＝Ｓ１００偶＋Ｓ１００奇＝５０５０．例３ 在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，ａ２＝２，且ａｎ＋２－ａｎ＝１＋（－１）ｎ，求Ｓ６０．解题分析：因为ａｎ＋２－ａｎ＝１＋（－１）ｎ，若ｎ为奇数，可以得出：令ｎ＝２ｋ－１，ｋ∈Ｎ，则ａｎ＋２－ａｎ＝ａ２ｋ＋１－ａ２ｋ－１＝１＋（－１）２ｋ－１＝１－１＝０．即ａ２ｋ＋１＝ａ２ｋ－１． ①根据①式，易得出ａ１＝ａ３＝ａ５＝…＝ａ５９＝１．（即数列奇数项为常数１）．奇数项求和得：Ｓ６０奇＝３０． ②若ｎ为偶数，可以得出：令ｎ＝２ｋ，ｋ∈Ｎ，则ａｎ＋２－ａｎ＝ａ２ｋ＋２－ａ２ｋ＝１＋（－１）２ｋ＝１＋１＝２．即ａ２ｋ＋２－ａ２ｋ＝２． ③根据③式，易得出ａ２＝２，ａ４＝４，ａ６＝６，…，ａ６０．即数列偶数项组成首项值为，公差为２的等差数列．偶数项求和得：Ｓ６０偶＝（２＋６０）×３０２＝９３０． ④Ｓ６０＝Ｓ６０奇＋Ｓ６０偶＝９６０．思考：例２、例３都告诉我们，遇到求通项式较困难的题型时，要发挥主观能动性，能求出什么就先求出什么，进行大胆归纳猜想，再从中发现新的解决问题的方法檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸．（上接第６３页）同样从分数意义去直觉思维．３折的井外绳子比４折的井外绳子多（３×４－４×１）÷（４－３）＝８（米），就是８米相当于４折井下绳长的１４，则４折井下绳长为８÷１４＝３２（米），绳子总长３２＋４＝３６（米）．（３）用方程思路去直觉思维不管是把绳子三折来量还是４折来量，井深和绳长总是不变，按绳长相等去思考，设井深Ｘ米，得到方程４ｘ＋１×４＝３ｘ＋４×３，就是４ｘ－３ｘ＝４×３－１×４一个井深就是３折时井外绳子的总长与４折时井外绳子的总长的差，即４×３－１×４＝８（米）．学生从直觉思维中感受数学之美，方法之美，让学生在解决问题中潜移默化受到数学美的熏陶．教师要学会倾听直觉的呼声直觉思维凭的是“直接的感觉”，但又不是感性认识．人们平常说的“跟着感觉走”，其中除去表面的成分以外，剩下的就是直觉的因素．直觉需要你去细心体会、领悟，去倾听它的信息、呼声．当直觉出现时，你不必迟疑，更不能压抑，要顺其自然，顺水推舟，作出判断、得出结论．直觉思维与逻辑思维是同等重要的，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，伊思·斯图尔特说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑．”这正是数学的魅力所在，也是数学教育者始终努力的方向．参考文献：［１］徐利治，王前．数学与思维［Ｍ］．大连：大连理工大学出版社，２０１７：８４．［２］阎力．创造心理学［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社，２０１６：１３２．［３］苏立云．论小学数学直觉思维及其培养［Ｊ］．当代教育理论与实践，２００９，１（３）：１４１－１４４．［４］李小青，倪玉菁．小学数学课堂的教师教学质量研究［Ｊ］．数学教育学报，２０１３，２２（４）：５４－５７．［５］常磊．国内外高层次（数学）思维研究述评［Ｊ］．数学教育学报，２０１６，２５（５）：９－１５．［６］宋广文，李晓芹，朱振菁．小学儿童数字线估计的心理表征模式［Ｊ］．数学教育学报，２０１３，２２（５）：５２－５６．［７］黄大庆，陈英和．小学二至六年级数学困难儿童数学认知能力的发展［Ｊ］．数学教育学报，２０１６，２５（２）：７０－７４．·５７·。
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题例1、已知数列{}n a 满足：111,1,2n n na n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=. （1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值.例2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．（I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．3、 一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝22n，则这个数列的前2m 项的和是________． 练习1．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40 2、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）103、已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________.4、已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.525．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．22 014－1B ．3×21 007－3C ．3×21 007－1D ．3×21 007－26. 于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7、(2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．8、已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.①求数列{a n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-， 因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=kt ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =.解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分 （Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数． 当n 为偶数时， 13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++ =212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--．当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ．12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S 2m ＝S 奇＋S 偶＝ma 1＋m (m －1)2×10＋a 2(1－2m )1－2＝6m ＋5m (m －1)＋2(2m－1)＝6m ＋5m 2－5m ＋2m ＋1－2＝2m ＋1＋5m 2＋m －2.解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64.解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.解析：选B 由a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋12n ＝2，且a 2＝2，得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S 2 014＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－21 0071－2＋2(1－21 007)1－2＝3×21 007－3.对比： a n ＋1/a n ＝2n 则用累乘法，解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.[解题指导] (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ，S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.解析：①设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.②由①有S n ＝3×[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013， 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 点评：当数列涉及底数是负数时，要对指数n 分奇偶讨论。
数列的奇偶性与周期性
数列的奇偶性与周期性2012年高考全国新课标理科卷第16题考到了这样一道数列题.题目非常简洁，解起来却不容易.当年得分率比较低.好多童鞋感慨：怎么第1项也不告诉我啊？这就是本题难点所在.1奇偶分析法我们以前谈到过，遇到(-1)^n的形式，要采用奇偶分析法.若n为奇数，得到下面的结论.若n为偶数，有下面的结论.请注意，（1）式和（2）式都无法使用累加法，因为迭代时脚标的奇偶发生变化.所以，通过（1）（2）是无法求出通项公式的.2奇偶相间处理为同奇或者同偶如何处理呢？注意到，（1）（2）中有相同的项a(2k)，我们把两式相减.上式表明：数列中相邻奇数项的和为定值2.这样的话，我们就能够求出奇数项的和.3分组求和法：先求奇项和，再求偶项和解决复杂问题就是这样：求解通项公式很困难，先放一放.什么好求就先求什么，能做到什么程度就先做到什么程度，急不得.如何求偶数项的和呢？偶数项的通项也未知，但是已知偶数项与奇数项的关系，我们可以利用这个关系间接求出偶数项的和.奇数项和偶数项的和都已知，相加即得到结果.4另辟蹊径：并项求和法下面我们换一个思考问题的角度.既然我们放弃求解通项，采用分奇偶项求和的方法，那么（2）式反映了什么？思考1分钟.你看出来了吗？（2）式表明：从第2项开始（因为k是正整数），相邻两项的和构成等差数列（奇数项脚标比偶数项脚标大）.按照这个思路，我们有了下面的解法.不幸的是，这个求和的项与所求的不一样，少了第1项，多了第61项.它们二者之间有没有关系呢？5探索数列的周期性带着这个疑问，我们有必要回头再研究研究通项.依然采用迭代的方法.这个式子表达什么含义呢？奇数项是以4为周期的，即奇数项每隔四项是相等的.所以，前60项和依然等于1830.6小结本篇强调研究数列问题的基本方法：1.遇符号数列，采用奇偶分析法；2.不管有没有用，迭代试一试，加减试一试；3.数列求和无定法，尤其要关注那些非常规求和的方法.。