求不等式的特殊解
反比例不等式解法
反比例不等式解法
我们要解决一个反比例不等式问题。
反比例不等式是一种特殊的不等式，它涉及到两个数的乘积必须大于或小于某个常数。
假设我们有两个变量 x 和 y，并且我们知道 xy > k，其中 k 是一个常数。
我们的目标是找到 x 和 y 的所有可能值，使得 xy > k 成立。
首先，我们要理解反比例的性质。
如果两个数的乘积是一个常数，那么当一个数增大时，另一个数必须减小。
这是因为乘积是固定的，所以一个数的增加必然导致另一个数的减少。
对于反比例不等式 xy > k，我们可以使用以下方法来解：
1. 确定 x 和 y 的符号：由于 xy > k，我们知道 x 和 y 必须同号。
如果x 和 y 异号，那么 xy 必然小于 k。
2. 根据 k 的值确定 x 和 y 的范围：如果 k 是正数，那么 x 和 y 必须都是正数或都是负数。
如果 k 是负数，那么 x 和 y 也必须都是负数或都是正数。
3. 使用代数方法求解不等式：我们可以将不等式 xy > k 改写为 x > k/y 或x < -k/y（取决于 k 的符号）。
然后我们可以解这个不等式来找到 x 的范围。
通过解不等式，我们得到 x 的范围是 (-∞, -sqrt(k)) ∪ (sqrt(k), +∞)。
因此，x 的所有可能值是 (-∞, -sqrt(k)) ∪ (sqrt(k), +∞)。
不等式解题方法
不等式解题方法一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1b等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。
如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1x)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- 1x <a,∴1-a<1x <1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1<x<11-a;综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0<a<1时，x ∈(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。
二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。
这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。
当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线；当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。
如：若1<1a <1b,则下列结论中不正确的是（ ）A 、log a b>log b aB 、| log a b+log b a|>2C 、(log b a)2<1 D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 分析：由已知，得0<b<a<1,∴a,b 同号，故|log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|，∴D 错。
指数不等式的解法
指数不等式的解法在数学中，指数不等式是一类特殊的不等式，其中未知数出现在指数中。
解决指数不等式可以应用一些特殊的技巧和性质。
本文将介绍几种常见的指数不等式解法方法。
一、指数不等式的基本性质在解决指数不等式之前，我们首先需要了解指数函数的一些基本性质：1. 正指数函数的性质：对于正数$a$和$b$，如果$a>b$，那么$a^x>b^x$。
反之亦成立，即$a>b$等价于$a^x<b^x$。
2. 负指数函数的性质：对于正数$a$和$b$，如果$a<b$，那么$a^{-x}>b^{-x}$。
反之亦成立，即$a<b$等价于$a^{-x}>b^{-x}$。
3. 对数函数的性质：对于正数$a$和$b$，如果$a>b$，那么$\log_a{x}>\log_b{x}$。
反之亦成立，即$a>b$等价于$\log_a{x}<\log_b{x}$。
以上性质将在接下来的解法中经常被应用。
二、分段讨论法分段讨论法是解决指数不等式的一种常见方法。
它的基本思想是将指数函数在指数范围内的取值情况进行分类，并分别讨论每个情况下的不等式。
例如，我们考虑解不等式$2^x<16$。
首先，我们可以观察到$2^x$是递增函数，因此我们可以将指数范围划分为$x<4$和$x\geq4$两种情况。
当$x<4$时，$2^x<2^4=16$成立。
当$x\geq4$时，$2^x\geq2^4=16$不成立。
因此，原不等式的解为$x<4$。
三、取对数法另一种常见的解决指数不等式的方法是取对数法。
通过取对数将指数不等式转化为对数不等式，从而利用对数函数的性质进行求解。
例如，我们考虑解不等式$3^x>9$。
我们可以对不等式两边同时取以3为底的对数，得到$\log_3{(3^x)}>\log_3{9}$，进一步化简得到$x>\frac{\log_3{9}}{\log_3{3}}$，即$x>2$。
不等式的特殊解集与性质
不等式的特殊解集与性质不等式是数学中常见的一种表达式，用于表示数之间的大小关系。
在解不等式时，有时会出现一些特殊的解集及其性质。
本文将探讨不等式的特殊解集，并分析其性质。
一、绝对值绝对值不等式是一类常见的不等式，其解集具有一些特殊的性质。
考虑以下形式的绝对值不等式：|ax + b| ≤ c (其中 a、b、c 均为实数，且a ≠ 0)1. 当c ≥ 0 时，绝对值不等式恒成立，即其解集为全体实数。
2. 当 c < 0 时，绝对值不等式无解，因为绝对值的值不可能小于负数。
二、分式分式不等式是另一类常见的不等式，其解集也具有一些特殊的性质。
考虑以下形式的分式不等式：f(x)/g(x) ≤ 0 (其中 f(x) 和 g(x) 均为多项式函数，且g(x) ≠ 0)1. 若 f(x) 和 g(x) 异号（即一个为正，一个为负），则不等式的解集为不等式的所有解。
2. 若 f(x) 和 g(x) 同号（即两者都为正或负），则需进一步考虑 g(x) ≠ 0 的条件，即分母不为零的情况。
a) 若 g(x) > 0，则不等式的解集为满足f(x) ≤ 0 的所有解。
b) 若 g(x) < 0，则不等式的解集为满足f(x) ≥ 0 的所有解。
三、复合复合不等式是多个不等式同时存在的情况，其解集和性质需要综合考虑。
考虑以下形式的复合不等式：f(x) < g(x) < h(x) (其中 f(x)、g(x)、h(x) 均为函数)1. 首先解决 f(x) < g(x) 不等式，得到解集 A。
2. 然后解决 g(x) < h(x) 不等式，得到解集 B。
3. 最终复合不等式的解集为 A 与 B 的交集。
四、二次二次不等式是具有二次项的不等式，其解集和性质与一次不等式不同。
考虑以下形式的二次不等式：ax^2 + bx + c < 0 (其中 a、b、c 均为实数，且a ≠ 0)1. 若 a > 0，则二次不等式的解集为开口朝下的抛物线在 x 轴下方。
求不等式组的特殊解
宜宾市八中初一数学教案与学案设计
课题：求不等式组的特殊解
教师：樊华 学生：2011级6班全体同学
学习目标：1、能求出不等式组 的特殊解。
2、进一步熟悉解不等式组的过程
教学过程：
一、课前准备：
1．解不等式
①. x -3≤1 ②.1-3(x -1)<x
2．解不等式组：
二、新课学习： 例1：解不等式组 并把此不等式组的整数解写出来.（写在前面2题的后面） 变式练习：解不等式组 并把此不等式组的整数解写出来.
例2：求不等式组2<3x -7<8的整数解.（记在书上）
变式练习：
三、当堂训练
三、走进中考
•
1
3)1(31{≤-<--x x x 13)1(31{≤-<--x x x 13238)1(31{
+≥+--<--x x x x .
1132.1的自然数解求≤+≤-x .1132.2的自然数解求≤+-≤-x ()().2823522.1的整数解求满足⎩⎨⎧>+-+<-x x x x ().,3122413.2解并写出不等式组的整数解不等式组
⎪⎩⎪⎨⎧-≥+>+x x x
x。
不等式的“特殊解法”
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不等式的“特殊解法”
广西 王艳妮
一、巧移项
例1 解不等式：7
59272911->+x x . 分析：若用常规解法是先去分母，但仔细观察发现
x x x =-92911，17572=+，所以先不去分母，而先移项凑整较为简便．
解：移项，得
727592911-->-x x ，即1->x ． 二、巧拆项
例2 解方程：16
3242≥+++x x . 分析：仔细观察，发现不等式左边的
42与63和为1，与不等式右边的常数项1可以对消，所以不等式左边的两项可逆用同分母分数加减法拆开，可直接求解．
解：原不等式可化为
12
13214≥+++x x ． 移项、合并同类项，得034≥+x x ，解得0≥x ． 三、巧去分母
例3 解方程：1
.02.12.08.055.05.14x x x ->---. 分析：观察不等式两边都含有分母，并且是小数，为简捷运算可以选择适当的因数，利用分数的基本性质既使小数化为整数，又能巧妙地化去分母求解．
解：第一项分子、分母同乘以2，第二项分子、分母同乘以5，第三项分子、分母同乘以10，这样原不等式可以化成x x x 101242538->+--，解得711-
<x ． 四、巧去括号
例4 解方程：x x 2
1252)141(5445<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++. 分析：由于
45与5
4互为倒数，因此可以先去中括号，再移项，合并同类项，不必考虑去分母，这样较为简便． 解：去中括号，得x x 2
12525141<-++. 移项、合并同类项，得141-<-x ，解得4>x ．。
不等式的解法(难)
不等式的解法题型一：求不等式的特殊解1.求不等式3261445432++-≥---x x x 的正整数解。
变式：求适合不等式3（2+x ）> 2x 的最小负整数。
题型二：方程与不等式的综合2。
若关于x 的方程222x m x x -=--的解是非负数，求m 的取值范围。
变式：若关于x 的方程x a a x ++=++)21(321)(2是不等式235+≤-a x 的解，求a 的取值范围，并将其在数轴上表示出来。
题型三：不等式的解求值与范围3.已知关于x 的不等式21432-≤+mx x m 的解是43≥x ，求m 的值。
4.若不等式42<x 的解都能使关于x 的不等式5)1(+<-a x a 成立，则a 的取值范围。
变式：1.若关于x 的不等式（3-2k ）x ≤ 6-4k 的解是x ≤ 2，求自然数k 的值。
2.已知a,b 是实数，若不等式043)2(<-+-b a x b a 的解是94>x ，则不等式032)4(>-+-b a x b a 的解。
3.已知不等式03≥+ax 的正整数解为1,2,3，求a 的取值范围。
题型四：含有绝对值的不等式1.求不等式321≤-x 的解 求不等式332>-x 的解变式：1.1022-≤-x x 2.()x n mx 332<-+ 3.211<+<-x x x题型五：不等式求最值1.在满足0,0,32≥≥≤+y x y x 的条件下，y x +3能达到的最大值。
变式：1。
已知c b a c b a >>=++,0，则a c 的取值范围。
2.若3-=+b a ，且b a 2≥，求ba 的最大值 3.若实数a,b,c 满足9222=++cb a ，那么求()()()222ac c b b a -+-+-的最大值。
不等式特殊解确定字母取值范围
不等式特殊解确定字母取值范围
在解决不等式中，有些特殊解可以帮助我们确定字母的取值范围。
特殊解是指
在不等式中使得不等式成立的特定值。
首先，让我们来讨论不等式中的等号情况。
如果不等式中存在等号，我们称其
为一个等式不等式。
例如，对于不等式2x + 3 ≤ 7，当x = 2时，等式成立，即2 *
2 +
3 = 7。
所以，x = 2是这个不等式的特殊解。
通过这个特殊解，我们可以确定x
的取值范围为x ≤ 2。
接下来，让我们探讨不等式中的严格不等号情况。
严格不等号包括大于号（>）和小于号（<）。
对于不等式2x + 3 < 7，如果我们假设x = 2，那么2 * 2 + 3 = 7，
并不满足严格不等号。
因此，x = 2不是这个不等式的特殊解。
然而，确切的特殊解可以帮助我们确定字母的取值范围。
考虑不等式2x + 3 < 7，在找不到特殊解时，我们可以尝试通过解方程找到不等式的解。
在这种情况下，我们可以将不等式转换为等式：2x + 3 = 7。
通过求解这个方程，我们确定x的值
为x = 2。
然而，由于不等式是严格不等号，我们需要排除x = 2。
因此，对于这个
不等式，我们无法确定x的取值范围。
综上所述，特殊解可以帮助我们确定字母的取值范围。
对于等式不等式来说，
特殊解可以直接提供答案。
然而，对于严格不等式，我们可能需要通过解方程来确定不等式的解，以确定字母的取值范围。
在解决不等式时，正确地确定特殊解对于找到解的范围至关重要。
8.2 不等式的解集
)
)
2.不等式x＜5有多少个解？有多少个正整数解？
3.你能求出适合不等式－1≤x＜4的整数 解吗？其中的x的最大整数值是多少呢？
－2 －1
0
1
2
3
4
5
6
4. 不等式-2<x<3是什么意思?它有 哪些整数解?
请你在数轴上表示出不等式-3<x≤3的 解集，并找出其中的整数解.
5.若x＜a的解集中最大的整数解为3， 则a的取值范围为 .
集表示出来．
（2）用不等式表示图中所示的解集．
x＜2 x≤2
x≥ -7.5
(3)下列表示怎样的不等式？ x>3 x ≥a b<x<a b<x ≤ a
0
1
2
3
a
b
a
b
a
注意 :
• 将不等式的解集表示在数轴上时,要注意: 1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左.
2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.
拓展训练(二)
1.已知不等式x>a的最小整数解为2,那么 a的取值范围是_________ 2.已知不等式x≥a的最小整数解为2,那 么a的取值范围是_________ 3.已知不等式x<a的最大整数解为2,那么 a的取值范围是_________ 4.已知不等式x≤a的最大整数解为2,那 么a的取值范围是_________
如x≤a在数轴上表示为
1、在数轴上表示不等式3X＞6 的解集，正确的是 （ ）
0
2 1 (A) x＜2 1 2
0
1
2 (B) x＞2 2
0
0
1
(C) x≤2
(D) x≥2
不等式考试题型
不等式考试题型题型一：求不等式的特殊解1）求63<+x 的所有正整数解2）求)1(2)3(410-≥--x x 的非负整数解，并在数轴上表示出来3）求不等式0123≥+-x 的非负整数解4）设不等式02≤-a x 只有3个正整数解，求正整数a 的值题型二：不等式与方程的综合题例 关于x 的不等式12-≤-a x 的解集如图，求a 的取值范围不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+>+<+1159m x x x 的解集是2>x ，则m 的取值范围是？若关于x 、y 的二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+03135p y x y x 的解是正整数，求整数p 的值已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧+<-≥-122b a x b a x 的解集为53<≤x ，求b a 的值题型三：确定方程或不等式中字母取值范围例 k 为何值时方程)(365k x x +=-的值是非正数已知关于x 的方程953-=-x k 的解是非负数，求k 的取值范围已知在不等式03≤-a x 的正整数解是1，2，3，求a 的取值范围若1)1(+>+a x a 得解是1<x ，求a 的范围若⎪⎩⎪⎨⎧>-<+ax x x 148得解集为3>x ，求a 的取值范围题型四：求最小值问题例 x 取什么值时，代数式645+x 的值不小于3187x --的值，并求出x 的最小值题型五：不等式解法的变式应用例 x 取什么值时，6)3()2(2----x x 的值是非负数例 x 取哪些非负数时，523-x 的值不小于312+x 与1的差题型六：解不定方程例 求方程0204=-+y x 的正整数解已知⎩⎨⎧-<->-232a x ax 无解，求a 的取值范围题型七：不等式组解的分类讨论例 解关于x 的不等式组⎩⎨⎧+->-+-<-4)1(22)2(384x a x a ax ax。
高中数学二元一次不等式组的特殊求解.doc
高中数学二元一次不等式组的特殊求解一、特殊目标函数的求解：二、例题分析与讲解：例题1、若变量x , y 满足条件则xy 的取值范围是（D ）解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，目标函数Z = xy 表示为反比例函数y = Z/x 的比例系数，根据反比例函数的性质可得，当反比例函数越往上平移，比例系数越大。
故而可得当反比例函数与直线BC 相切时，Z = xy 取最大值，此时联立当y = 0 时，取最小值0。
例题2、已知点P（x , y ) 的坐标满足条件解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，目标函数Z = y/( x + 2 ) 表示为点( x , y ) 和点( -2 , 0 ) 之间的斜率，根据图像可得故而可得a = 1 ；目标函数表示点( x , y ) 和点( 0 , -√3 ) 之间的距离平方，根据图像可得故而最小值为4，即b = 4 ，因此可得a + b = 5。
例题3、过平面区域内一点P 作圆O ：x + y = 1 的两条切线，切点分别为A ，B , 记∠APB = α ，当α 最大时，求点P 的坐标是多少？解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，根据图像可得∠APB = 2∠APO ，故而要使得角α 最大，即满足∠APO 最大即可。
故而可得当OP 取最小值时角α 最大。
此时OP⊥DF ，根据直线的性质可得点P（-1 ，-1 ）。
三、知识拓展与应用：例题4、某工厂有A , B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件，耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件，耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h，若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为__________万元。
解析：由题意假设工厂每天生产甲产品x 件，乙产品y 件，故而可得约束条件目标函数为Z = 3x + 4y ，根据约束条件作出可行域如图所示，故而可得在点B( 4 , 2 ) 处取最大值20. 。
不等式组的解法与绝对值与根号不等式
不等式组的解法与绝对值与根号不等式不等式的解法是初中数学重要内容之一，因为在实际工作和生活中常常需要解决各种不等式关系。
在这篇文章中，我们将介绍不等式组的解法，同时关注绝对值与根号不等式的特殊情况和解法。
一、不等式组的解法不等式组是多个不等式的组合，如下例子：x < 52x > 83x < 15要求我们解出 x 的取值范围。
这时，我们可以通过逐步缩小 x 的取值范围来解出不等式组的解。
通过根据不等式分别得到x 的取值范围，再找到它们的交集即可。
例如，对于上面的不等式组，我们可以分别解出：① x < 5② x > 4③ x < 5它们的交集是 4 < x < 5，即不等式组的解为 4 < x < 5。
二、绝对值不等式的解法绝对值不等式的一般形式为：|ax + b| < c其中 a、b、c 都是已知实数，且a ≠ 0。
对于求解绝对值不等式，我们可以按照以下步骤进行：①分类讨论，即将绝对值内部的式子分类，使其不再涉及绝对值。
②构造新的不等式，根据分类讨论的结果构造新的不等式来代替原绝对值不等式。
③求解新的不等式，根据不等式的性质，我们可以解出构造的新不等式的解集，并将其与分类讨论的结果相结合，最终得出原绝对值不等式的解集。
三、根号不等式的解法对于形如 x² < a 或 x² > a 的根号不等式，我们可以按照以下步骤进行求解：①当 a > 0 时，根号不等式有两个解，即x > √a 或 x < -√a。
②当 a = 0 时，根号不等式仅有一个解，即 x = 0。
③当 a < 0 时，根号不等式无解，因为不能存在负数的平方等于一个负数。
对于形如 a < x² < b 的根号不等式，我们可以将其转化为 a + x² < b，即|x| < √(b-a)。
求不等式(组)的特殊解
求不等式（组）的特殊解的常见题型一、求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.二、经典题型训练1. 已知方程kx +1=2x -1的根是正数，则k 的取值范围是 ．2.已知关于x 的方程4（x -3）=3t +9的解为正数，则t 的取值范围为 ．3. 若三角形的三边长分别为2，a -1，4，则a 的取值范围为 ．4. 一根12cm 长得铁丝围成一个等腰三角形，如果腰长为x ，则x 的取值范围为 .5. 关于x ，y 的方程组的解满足x ＞y ，求m 的最小整数值．6. 关于x 、y 的方程组的解满足x 、y 均小于2，求m 的取值范围．7. 若关于x 的方程 的解为正数，则实数a 的取值范围是 .8. 在平面直角坐标系中，已知点P （4m -6，m -3）在第四象限，则m 的取值范围是 ．9. 在平面直角坐标系内，点P （x -2，2x -1）在第二象限，则x 的取值范围是10. 如图，直线y =ax +b 经过点（-4，0），则不等式ax +b ≥0的解集为 ．11. 如图，直线y =kx -1经过点（2，1），则不等式0≤x ＜2kx +2的解集为 ．12. 解不等式215312+--x x ≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．13. 试确定实数a 的取值范围，使不等式组)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++a x ＞a x ＞x x 1343450312恰有两个整数解。
⎩⎨⎧-=-+=+131m y x m y x ⎩⎨⎧=++=+m y x m y x 212122-=++x ax。
几种特殊不等式(组)的解法
几种特殊不等式（组）的解法一、连环不等式组的解法例1：解不等式组22231≤-≤-x . 分析：不等式组表示的含义是223x -的值不小于－1且不大于2，可转化为两个常见的不等式1223-≥-x 和2223≤-x ，然后联立求解不等式组. 解法1:原不等式组转化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥-.2223,1223x x 解得.2125⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤x x 原不等式组的解集为.2521≤≤-x 解法2:对原不等式组中间和两边同时乘以2,得－2≤3－2x ≤4,两边都减去3,得－5≤－2x ≤1,两边都除以－2,得2125-≥≥x , 原不等式组的解集为.2521≤≤-x 说明:采用解法2将原不等式变形时，每一步变形其实都是在变两个不等式，如两边除以－2这一步，那么－5，－2x ，1三式都要除以－2，不要错写成215-≥≥x 或125≥≥x ，当然这里同除以－2，注意不等号的方向要改变.二、“绝对不等式”和“矛盾不等式”的解法.设b ＞0,不等式x ⋅0＞－b 或x ⋅0＜b 在x 取任何值时总成立,这种不等式通常称为“绝对不等式”;设b ≥0,不等式x ⋅0＜－b 或x ⋅0＞b 在x 取任何值时均不成立,这种不等式通常称为“矛盾不等式”,不等式无解.例2:解不等式3163121++--x x x . 分析:先按照不等式的基本步骤逐步求解,到系数化1时再讨论.解:由原不等式得3(x －1)－2(x+1)＜x+2,3x －3－2x －2＜x+2,x ⋅0＜7,因为零乘以任何数均为零,即x 取任何数时,0.x ＜7总能成立,所以原不等式的解集是一切实数.三、简单字母系数不等式的解法例3：解不等式a （x －1）＞x －2.解：ax －a ＞x －2,ax －x ＞a －2,(a －1)x ＞a －2,当a ＞1时,x ＞.12--a a 当a ＜1时,x ＜.12--a a 当a=1时,x ⋅0＞－1,这时解集为一切实数.说明：这里的字母是指未知数系数中含有字母，不代表常数字母，如解3x ＞a －1时，a 就不需要讨论，可直接得解集).1(31-a x 当题目没有指明系数取值范围，又不能确定未知数系数的正、负或零时，就要分类讨论，分类按系数为正、为负、为零三类进行.四、绝对不等式的解法例4：解不等式|2x －1|－1＜0.分析：首先将|2x －1|－1＜0变为|2x －1|＜1，然后根据绝对值的意义去掉绝对值符号得－1＜2x －1＜1，最后仿照例1的解法2可求x.解：由原不等式得|2x －1|＜1, －1＜2x －1＜1, 0＜2x ＜2, 0＜x ＜1.总结：几类特殊的不等式（组）求解时，首先要依据它涉及到的其他知识将其转化为常见的不等式（组），然后按常见方法解之.。
特殊绝对值不等式的解法
【思路点拨】 对(1)来说，a<f(x)对x∈R恒 成立等价于a<f(x)的最小值，求f(x)的最小值， 只需使用含绝对值的重要不等式|x－3|＋|x＋ 2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，求出|x－3|＋|x＋2| 的最小值，则问题获解． 对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是 求函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最大值还是最 小值．
【解】 (1)∵f(x) ＝ |x － 3| ＋ |x ＋ 2|≥|(x － 3) －(x＋2)|＝5， 即f(x)min＝5，∴a<5.
(2) 问 题 可 转化 为 a>f(x) 的 某些 值 ，由 题 意 a>f(x)min，同上得a>5.
(3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.
|f(x)|<g(x) |f(x)|>g(x) -g(x)<f(x)<g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x)
练习
1、|2x-3|<5x
2、| x-1 | > 2( x-3)
类型2
x a x b c和 x a x b c
例：Leabharlann x 1 x 2 5绝对值不等式解法
学习目标
通过阅读课本掌握两种类型特殊绝对值不等式解法
类型一：| cx+b|<a, |cx+b|>a
(a>0)
类型二： x a x b c和 x a x b c
含参数问题的恒成立问题
回顾：
人教版《一元一次不等式》初中数学-教学课件2
4．(2019·聊城)若不等式组x＋3 1＜x2－1， 无解，则 m 的取值范围为 x＜4m
(A)
A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2
四、一元一次不等式组的解法
【1．例解1】下【解列例下不列等4不式】等，式并解：把解下集列在数不轴上等表式示出组来：：
＜12 的解，求 a 的取值范围． 分析：先求出两个不等式的解集，再由题意得出关于 a 的不等式，解
之即可． 解：解不等式1－62x ＜12 得 x＞－1.解不等式43 x＋4＜2x－23 a 得 x＞a
＋6，依题意得 a＋6≥－1，∴a≥－7
【对应训练】
3．若不等式 x－1＜a 的正整数解是 1，2，3，则 a 的取值范围是( C )
第圆二心十 角四的【章关系例，圆直：5径理】所解(对圆2圆及01周有9角关·的概锦特念点，州，掌切握)某线弧与、市过弦政切、点圆部的心半角门径的为之关间系了的，关探保系索护，点正与生多圆边、态形直环与线圆与境的圆关、，系圆。与计圆划之间购的位买置A关，系，B探两索圆周角与 2第5二推十种论七1型三章个相号角似都的：相是环等在的前保三面角设研形究备是图等形．边的三已全角等知形和一购些全买等一变换套基础A上型的设拓广备与发和展三。全套章共B分型三小设节备内容共。第需一2小3节0“万图元形的相似”主
章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。本章的难点是解一元二次方程。
3的.千想万象不能要(力2以，)为根探“究据高性考实需以验能要动力手市立能意力政”，，部理就解门是运要用采去实钻购际难问A题题型、的偏能和题力、，B怪分型题析。设和这解备里决的问共能题力5的0是探套指究：创，思新维预能能力算力，，处资对理现金、实运不生用活信超的息观过的察能3分力0析，0力新0，材创料造、性 新牛情角景 尖万、能元新钻问出，题来应的问变能最理力解。多能力可，购其重买点是A概型念观设点备形成多和规少律套的认？识过程，它往往蕴藏在最简单、最基础的题目活事实之中。不是钻
2.2.4特殊的一元二次不等式的解法
教学重点：
• 1.掌握一元二次不等式的解法 • 2.能准确地求出一元二次不等式的解集
教学难点：
• 1.将一元二次不等式转化为同解的含有绝 对值的不等式
教学方法：
• 启发式和讲练结合的方法 • 自主探究式学习方法
七、板书设计：
2.2.4 一元二次不等式
1.一元二次不等式的概念 2. 转化的等价式：
谢谢大家！再见！
教学目标：
知识与能力目标：
1.理解一元二次不等式的概念，能准确求出其解集。 2.培养学生的数学运算能力、化归能力、逻辑思维能力
过程与方法目标：
1.进一步理解用数轴表示不等式解集的方法 2.体会转化、分类讨论等数学思想方法
情感态度与价值观目标：
1.通过自主探究，激发学生学习数学的兴趣； 2.通过分组讨论，培养学生主动交流的合作精神； 3.通过对数学问题的讨论，培养学生严谨的科学态度； 4.通过本节课的学习，培养学生善于探索的思维品质。
☺ 问题2：一元二次不等式的概念是什么？它
的一般形式有几种形式？分别是什么？P33-34页
☺ 问题3：根据问题1所得到的结论，推断对于
任意实数x，m，x ≤ m ⇔?；
x≥m⇔ ？
☺ 问题4：根据问题3我们得到的结论，推断
x2 ≤ m2 ⇔ ； 2 ≥ m2 ⇔ ； 当m＞0时， ？ x ？
对于a f 0，b f 0，有a f b ⇔ a f b ☺ 问题 1：
☺ 问题3：根据问题1所得到的结论，推断对于
任意实数x，m，x ≤ m ⇔？
x ≥ m ⇔？
对于任意实数x，m，有
x f m ⇔ x f m ，则
2 2
x ≤ m ⇔x ≤m；
2 2 2 2
函数不等式解法
函数不等式解法函数不等式是函数的一类特殊问题，它需要通过解函数不等式来确定变量的取值范围。
解函数不等式的方法有很多，可以通过图像法、代数研究法、符号法等不同的方法来解决。
在本文中，我们将重点介绍图像法、代数研究法和符号法三种解函数不等式的常用方法。
一、图像法图像法是通过绘制函数图像来解决函数不等式问题的一种方法。
我们可以通过观察函数的图像来确定函数的取值范围。
以一元一次函数为例，假设有函数y = ax + b，其中a和b为常数。
要解决不等式y > ax + b的问题，可以按照以下步骤进行：1. 绘制函数y = ax + b的图像。
2. 在图像上用虚线y = ax + b标出直线。
3. 观察直线y = ax + b的上方或下方的区域，这个区域即为函数y > ax + b的解。
对于一元二次函数y = ax^2 + bx + c，要解决不等式y > ax^2 + bx + c的问题，可以按照以下步骤进行：1. 绘制函数y = ax^2 + bx + c的图像。
2. 在图像上用点y = ax^2 + bx + c标出抛物线的顶点。
3. 观察抛物线的开口方向和顶点的位置，确定函数y > ax^2 + bx + c 的解。
通过图像法解函数不等式的好处是直观、易于理解，可以通过观察图像快速确定函数的取值范围。
二、代数研究法代数研究法是通过代数的方法解决函数不等式问题的一种方法。
我们通过对不等式进行变形、移项、求导等操作，得出函数的解。
以一元一次函数为例，假设有函数y = ax + b，要解决不等式y > ax + b的问题，可以按照以下步骤进行：1. 将不等式y > ax + b移项得到ax + b < y。
2. 通过观察系数a的正负情况可以确定不等式ax + b < y中的 < 号的方向。
3. 将不等式ax + b < y换算成y - ax - b > 0的形式。
高中数学解含绝对值的不等式有妙招学法指导
解含绝对值的不等式有妙招 X 晓丽 含有绝对值的不等式是不等式中比较特殊的一种类型，它的解法具有特殊性。
常用的方法有直接平方法、零点分段法、数形结合法、等价转化法等，这些方法有的数形兼备，有的简洁明了，都体现着重要的数学思想方法。
下面给以分类例析。
一、直接平方法 例1 解不等式|3x 2||1x 2|+<-。
解：原不等式可化为22)3x 2()1x 2(+<-，即21x ->，故原不等式的解集为}21x |x {->。
点评：当不等式两边同为非负数时，可将不等式两边平方。
二、零点分段法例2 解不等式1|3x ||1x 3|<---。
解：令0|1x 3|=-，0|3x |=-，则分别对应3x ,31x ==。
（1）当31x <时，有23x 13x 1x 3->⇒<-++-，即31x 23<<-。
（2）当3x 31<≤时，有45x 13x 1x 3<⇒<-+-，即45x 31<≤。
（3）当3x ≥时，有21x 13x 1x 3-<⇒<+--（舍去）。
综上，原不等式的解集为}45x 23|x {<<-。
点评：解这类含有绝对值的不等式的步骤：①分别令各绝对值式里的式子为零，并求出相应的根。
②把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间。
③按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集。
这种方法适用于许多含有绝对值的不等式的求解。
三、数形结合法例3 解不等式4|3x 2||1x 2|>-++。
解：原不等式可化为2|23x ||21x |>-++，这里|23x ||21x |-++可看成实数x 所对应的数轴上的点到实数23,21-所对应数轴上两点之间的距离之和。
如图，要使得距离之和大于2，则必须23x >或21x -<。
故原不等式的解集为}23x 21x |x {>-<或。
一元一次不等式解法(2)说课稿
不等式的解法（2）说课稿各位老师：大家下午好！我说课的内容是湘教版初中数学八年级上册第4章第3节《不等式的解法》第2课时的内容。
一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学习了不等式的解法的基础上研究如何去表示不等式的解集以及求一元一次不等式的特殊解。
在数轴上表示不等式的解集，是学生学习了数轴之后，又一次接触到图形与数量的对应关系，为后面学习不等式组奠定了基础，同时为今后函数的学习提供了方法和依据。
而一元一次不等式的特殊解是对在数轴上表示不等式的解集这一知识的延伸，同时为后一节课学一元一次不等式的应用作了铺垫。
所以，本节课对于培养学生数形结合及由一般到特殊的思想具有重要意义。
2、教学目标A、思想教育目标（1）、培养学生认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯；（2）、培养学生坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。
B、知识传授目标（1）、进一步掌握一元一次不等式的解法；（2）、能把不等式的解集在数轴上正确的表示出来；（3）、会求一元一次不等式的特殊解。
C、能力形成目标（1）建立数感、符号意识，训练运算能力；（2）理解不等式的解集概念所体现的集合与对应、数形结合的思想。
3、教学重点、难点本节课的重点和难点都是在数轴上表示不等式的解集。
教学的关键在于通过数轴直观地表示出不等式的解集，从而加深了学生对不等式的解集的理解。
二、教法分析在素质教育背景下的数学教学应以学生为本，以学生的能力的培养为重，突出以学生为主体的探索性学习活动，给学生以充分的思考、讨论和发挥的机会，让他们始终处于积极、主动的学习状态。
（一）、学情分析1、学生在七年级的时候就已经学过了数轴和用数轴上的点表示数；2、学生在上一节课已经掌握一元一次不等式的概念、解法及其解集；3、学生对于一元一次不等式解集的理解还不够透彻，需要进一步加强巩固；4、对于青云学校而言，学生整体情况较为良好，自主学习能力较强。
（二）、学法分析1、分层达标法：自学检测时针对不同层次的学生有三种不同的学法：对于基础比较好的同学，应该是先做后看。
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一、解答题： 1.求x+3＜6的所有正整数解
2.求10-4（x-3）≥2（x-1）的非负整数解，并在数轴上表示出来。
3.求不等式0123≥+-
x 的非负整数解。
4.设不等式２ｘ－ａ≤０只有３个正整数解，求正整数
5.x 取什么值时，代数式645+x
的值不小于3187
x --的值，并求出X 的最小值。
6.解不等式组并写出该不等式组的最大整数解.
7.关于x 的不等式组⎩⎨⎧>->-0
10x a x 的整数解共有3个，则a 的取值范围是多少？
8.不等式2x+1<a 有3个正整数解，则a 的取值范围是？
9.若方程组⎩
⎨⎧=-=+3,23x y k y x 的解满足1,1><y x 且，求整数k 的取值范围。
10.若不等式组无解，求a 的取值范围.
11.已知不等式组2665ax a x b
->⎧⎨-<⎩的解集是1＜x ＜b ．则a ＋b 的值？
12.若方程组212x y x y m
+=⎧⎨-=⎩的解x 、y 的值都不大于1，求m 的取值范围。
13.不等式组⎩⎨⎧->-≥-1
230x a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围是
二、填空题：
1.已知3x+4≤6+2(x-2),则 的最小值等于________
2.不等式8-3x ≥0的最大整数解是_______________.
3.若10<<a ，则2a 、a
1、a 之间的大小关系是________． 4.若不等式组⎩⎨⎧<>a
x x ,4的解集是a x <<4，则a 的取值范围是________．
5.如果不等式组230x x m -≥⎧⎨
≤⎩无解，则m 的取值范围是 ；
6.不等式x+3>12
x 的负整数解是_______． 7.不等式4（x+1）≥6x-3的正整数解为______．
8.已知3x+4≤6+2（x-2），则│x+1│的最小值等于______．
9.若不等式a （x-1）>x-2a+1的解集为x<-1，则a 的取值范围是______．
10.满足22x +≥213
x -的x 的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于______． 11.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，•每支钢笔5元，那么小明最多能买______支钢笔．
12.某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打______折出售此商品．
13.有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，•已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，•则最多只能安排_______人种甲种蔬菜．
三、选择题：
1.若实数a<1，则实数M=a ，N=23a +，P=213
a +的大小关系为（ ） A ．P>N>M B ．M>N>P C ．N>P>M D ．M>P>N。