2020届高三数学(文)小题每日一练(含部分往年真题)+答案详解 (21)

2020届高三数学（文）每日一练

13. 14. 15. 16.

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知复数z 满足(3＋4i)z ＝7＋i ，则z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1－i D.－1＋i

2.已知集合A ＝{x |x 2－4|x |≤0}，B ＝{x |x >0}，则A ∩B ＝( ) A.(0，4] B.[0，4] C.[0，2] D.(0，2]

3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 5＝90，则等差数列{a n }的公差d ＝( )

A.2

B.32

C.3

D.4

4.设向量a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，向量λa ＋b 与向量a ＋3b 垂直，则实数λ＝( ) A.12 B.1 C.－1 D.－12

5.已知α是第一象限角，sin α＝24

25，则tan α2

＝( )

A.－4

3

B.43

C.－34

D.34

6.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连

山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系来建造的，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )

A.23

B.12

C.15

D.25

7.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在区间⎝⎛⎭⎫0，π

8上单调递增，则ω的最大值为( )

A.1

2 B.1 C.2 D.4

8.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC ，△ABC 中，AB ＝AC ＝4，点B (－1，3)，点C (4，－2)，且其“欧拉线”与圆(x －3)2＋y 2＝r 2相切，则该圆的直径为( )

A.1

B.2

C.2

D.22

9.函数f (x )＝x 2－ln x 的最小值为( ) A.1＋ln 2 B.1－ln 2 C.1＋ln 2

2

D.1－ln 22

10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π

2，则角C

＝( )

A.π12

B.π6

C.π4

D.π3

11.在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点A 关于平面BDC 1的对称点为M ，则M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为( )

A.32

B.5

4 C.43 D.53

12.已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧x 2－4x ＋a ，x ＜1，ln x ＋1，x ≥1，若方程f (x )＝2有两个解，则实数a 的取值范围是

( )

A.(－∞，2)

B.(－∞，2]

C.(－∞，5)

D.(－∞，5]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝________.

14.在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 23－y 2

＝1有相同渐近线，焦点位于x 轴上，且

焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为________.

15.已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧2x －y ＋1≥0，x ＋m ≤0，y ＋2≥0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足

x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________.

16.如图，一边长为30 cm 的正方形铁皮，先将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，要使这个容器的容积最大，则等腰三角形的底边长为________cm.

（答案解析）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知复数z 满足(3＋4i)z ＝7＋i ，则z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1－i

D.－1＋i

解析：选B 法一：依题意得z ＝7＋i 3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）

（3＋4i ）（3－4i ）

＝1－i.故选B.

法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为(3＋4i)z ＝7＋i ，所以(3＋4i)(a ＋b i)＝7＋i ，所以3a

－4b ＋(3b ＋4a )i ＝7＋i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝7，3b ＋4a ＝1，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝1，

b ＝－1，所以z ＝1－i.故选B.

2.已知集合A ＝{x |x 2－4|x |≤0}，B ＝{x |x >0}，则A ∩B ＝( ) A.(0，4] B.[0，4] C.[0，2]

D.(0，2]

解析：选A 由x 2－4|x |≤0得0≤|x |≤4，所以－4≤x ≤4，即A ＝[－4，4]，因为B ＝(0，＋∞)，所以A ∩B ＝(0，4].故选A.

3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 5＝90，则等差数列{a n }的公差d ＝( )

A.2

B.3

2 C.3

D.4

解析：选C 法一：依题意，5×12＋5×4

2

d ＝90，解得d ＝3.故选C.

法二：因为等差数列{a n }中，S 5＝90，所以5a 3＝90，即a 3＝18，因为a 1＝12，所以2d ＝a 3－a 1＝18－12＝6，所以d ＝3.故选C.

4.设向量a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，向量λa ＋b 与向量a ＋3b 垂直，则实数λ＝( ) A.12 B.1 C.－1

D.－12

解析：选B 法一：因为a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，所以λa ＋b ＝(λ，－2λ＋1)，a ＋3b ＝(1，1)，由已知得(λ，－2λ＋1)·(1，1)＝0，所以λ－2λ＋1＝0，解得λ＝1.故选B.

法二：因为向量λa ＋b 与向量a ＋3b 垂直，所以(λa ＋b )·(a ＋3b )＝0，

所以λ|a |2＋(3λ＋1)a ·b ＋3|b |2＝0，因为a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，所以|a |2＝5，|b |2＝1，a ·b ＝－2，所以5λ－2(3λ＋1)＋3×1＝0，解得λ＝1.故选B.

5.已知α是第一象限角，sin α＝24

25，则tan α2

＝( )