重心计算

第九章 第六次课

教学内容：§9-4二、三重积分的应用 教学目的：

（1） 掌握二重积分计算空间曲面面积。 （2） 会求重心及转动惯量，对质点的引力。 重点：空间曲面面积的求法 难点：重积分的物理应用。 关键：

（1） 掌握二重积分计算空间曲面面积。

（2） 根据微元法，理解和掌握重心及转动惯量，对质点的引力的意义和求法。 教学过程：

§4、重积分的应用

一．几何应用

1．体积

⑴以D 为底，(,)0z f x y =≥为顶的曲顶柱体的体积：(,)D

V f x y d σ=⎰⎰

⑵空间区域Ω的体积：V dv Ω

=⎰⎰⎰

2．面积

⑴平面区域D 的面积：D

A d σ=⎰⎰

⑵空间曲面的面积：设空间曲面方程为：(,)z f x y =，(,)x y D ∈；函数(,)f x y 的一阶偏导数在D 上连续，求此曲面的面积。

①将曲面任意分割为n 个小的曲面：1S ∆，2S ∆，...,n S ∆,其中i S ∆既表示第i 张小曲面又表示第i 张小曲面的面积，则1n

i i S S ==∆∑；

②设i D ∆第i 张小曲面i S ∆在xoy 坐标面上的投影区域，(,)i i i D ξη∀∈∆，

对应的曲面上的点为(,,)i i i i S ξηζ∈∆，其中(,)i i i f ζξη=；过(,,)i i i ξηζ作曲面的切平面，当(,)i i i D ξη∈∆时，小片切平面的面积记为i A ∆，则i i A S ∆≈∆； 设n 表示曲面上(,,)i i i ξηζ点处的切平面的法向量， i γ表示该法向量与z 轴正方向的夹角，02

i πγ≤≤

，则cos i i i A γσ∆=∆；应为曲面方程(,)z f x y =，故法向量{,,1}x y n f f =--

cos i γ=

1

cos i i i i

S A σγ∆≈∆=

∆i σ= 由所考虑小片曲面的任意性，通常写作S σ∆≈~~~~空间曲面的面积微元，记作

A ∆i

z

n

dS σ=，则1

n

i i S S ==∆

∑1

n

i i σ=≈；

③记max λ={i S ∆的直径}，

则0

1

lim n

i i S λσ→==。根据二重积分的定义，

有

1

lim n

i i S λσ→==

σ=

⎰⎰

D

σ=⎰⎰

例1．求圆柱面222x y R +=将球面22224x y z R ++=割下部分（222x y R +≤）的面积。

解：由对称性只考虑：z =D ：222x y R +≤；

x z =

y z =

==

=

2S σ=

⎰⎰

4R σ=

⎰⎰

4D

R θ=⎰⎰

20

4R R d πθ=⎰

⎰

142(2R

R π=⋅⋅-⋅

28(2R π= 例2．求圆柱面222x y R +=，222x z R +=所围成的立体的表面积。

解：由对称性，只考虑z ，D ：222x y R +≤；

=

=

16S σ=

⎰⎰

16D

σ=⎰⎰

16R

R dx =⎰20

1616R R dx R ==⎰

例3．已知A 球的半径为R ，B 球的半径为h 且球心在A 球的表面上。求夹在A 球内部的B 球的部分面积（02h R ≤≤）。

解：建立坐标系A ：2222x y z R ++=；B ：2222()x y z R h ++-=；则两球面的交线在xoy 面的

投影区域为D ：2

2

2

222

(4)4h x y R h R

+=-，在A 球内部的B

球面为：z R =A 球内部的B 球的表面积

2

()S h σ=

⎰⎰

σ=

⎰⎰

θ=⎰⎰

20

h d π

θ=⎰3

2

2h h R

ππ=-

二．物理应用（以下涉及的密度函数均为连续函数）

1．质量问题 ⑴平面薄片的质量

设该薄片占有平面区域D ，面密度函数为(,)x y ρρ=，则质量微元为：(,)dM x y d ρσ=，故(,)D

D

M dM x y d ρσ==⎰⎰⎰⎰；

⑵空间物体的质量

设该物体占有空间区域Ω，体密度函数为(,,)x y z ρρ=，则质量微元为：

(,,)dM x y z dv ρ=，故(,,)M dM x y z dv ρΩ

Ω

==⎰⎰⎰⎰⎰⎰；

例4．设一物体占有的空间区域Ω由曲面22z x y =+，221x y +=，0z =围成，

密度为22x y ρ=+，求此物体的质量。

解：2

2

()M x y dv Ω

=+⎰⎰⎰3

r drd dz θΩ

=⎰⎰⎰2

21

30

r d dr r dz πθ=⎰

⎰⎰3

π

=

2．重心问题 ⑴平面薄片的重心

设在xoy 平面上有n 个离散的质点(,)i i x y ，质量为i m ，1,2,

i n =，已知其重心坐标为：

1

1

n

i i i n i

i x m m x ==∑

=

∑

，11

n

i i

i n

i

i y m m y ==∑=

∑

；其中1

n

i i y i x m M ==∑~~质点系相对于y 轴的静力矩，1

n

i i x i y m M ==∑质点系

相对于x 轴的静力矩，1

n

i i m M ==∑~~质点系的总质量，即y M x M

=

，x

M y M

=

； 设薄片占有平面区域D ，面密度函数为(,)x y ρρ=，相对于y 轴的静力矩微元为

(,)y dM x x y d ρσ=，则(,)y y D

D

M dM x x y d ρσ==⎰⎰⎰⎰，同理相对于x 轴的静力矩

(,)x x D

D

M dM y x y d ρσ==⎰⎰⎰⎰，则重心坐标为：

y M x M

=

⎰⎰⎰⎰=D

D d y x d y x x σ

ρσρ),(),( x M y M

=⎰⎰

⎰⎰=

D

D

d y x d y x y σ

ρσ

ρ),(),(