利用导数法解决优化问题的基本步骤
利用导数解决生活中的优化问题
利用导数解决生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．二．利用导数解决优化问题的基本思路：三、应用举例例1（体积最大问题）用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，高为181234.53(m)042x h x x -⎛⎫==-<< ⎪⎝⎭．故长方体的体积为 22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ⎛⎫=-=-<<⎪⎝⎭． 从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-． 令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =．当01x <<时，()0V x '>；当312x <<时，()0V x '<． 故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值．从而最大体积233(1)91613(m )V V ==⨯-⨯=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ． 答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ． 点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的范围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。
高中数学教案应用导数解决最优化问题
高中数学教案应用导数解决最优化问题尊敬的教师：在高中数学教育中，了解和应用导数的概念及其相关知识是十分重要的。
导数在数学和实际应用中具有广泛的作用，其中之一就是解决最优化问题。
本教案旨在帮助学生理解导数的概念，并通过实际问题引导他们应用所学知识来解决最优化问题。
1. 引言最优化问题是在给定条件下，寻找函数取得最大值或最小值的问题。
数学上，我们可以通过导数的求解来解决这类问题。
本教案将通过几个实际问题，引导学生应用导数来解决最优化问题。
2. 导数的基本概念回顾在开始解决最优化问题前，我们需要对导数的基本概念进行回顾。
导数可以理解为函数的变化率，表示了函数在某一点处的斜率。
学生需要掌握导数的定义、求导法则和求导技巧，以便在解决最优化问题时能够灵活应用。
3. 最小路径问题问题描述：一个人在一座公园中从点A到达点B，公园中有一条弯曲的小路连接着这两个点。
他想找到一条路径，使得他走过的总路程最短。
如何确定这条最短路径？解决思路：假设小路的形状可以用一条函数曲线来表示，我们可以建立一个数学模型来描述这个问题。
引导学生根据问题描述，设定坐标系，并表示小路的形状函数。
然后，通过导数的求解找到函数取得最小值的情况，得出最短路径。
4. 最大盒子问题问题描述：一个制作盒子的工厂打算生产一种长方体盒子，该盒子的体积为固定值V。
为了节省材料成本，工厂希望制作的盒子表面积最小。
如何确定这样的盒子的尺寸？解决思路：引导学生设立长方体的长、宽、高分别为x、y、z，建立体积V与表面积S的函数关系式。
然后，通过导数的求解找出函数的极值，从而得到表面积的最小值。
引导学生通过求解极值问题，确定最优的盒子尺寸。
5. 最大收益问题问题描述：一个农民种植苹果，他希望通过调整种植面积来最大化收益。
他已经对不同种植面积下的苹果产量与售价进行了调查。
如何确定最佳的种植面积，使得收益最大化？解决思路：引导学生对问题进行数学建模，设定种植面积为x，通过导数的求解找出收益函数的极值。
导数相关的优化问题
金牌教练助力一生学科教师辅导教案教师：李强学生：科目：数学日期：2013.08.21中小学1对1课外辅导专家解决数学模型 作答用函数表示的数学问题用导数解决数学问题 优化问题的答案 优化问题 建立数学模型优学教育学科教师辅导教案讲义编号 01yxlb087sx02学员编号： yxlb087 年 级：高二 课时数： 1 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：李强课 题 导数在函数研究中应用 授课日期及时段 2013年1月3日教学目的1.研究使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用.2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.教学内容二、【学习重点】利用导数解决生活中的一些优化问题．【学习难点】利用导数解决生活中的一些优化问题． 三、【教学过程】 （一）．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． （二）．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与经济中利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：（三）．典例分析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为x dm ，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为中小学1对1课外辅导专家128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x=++-=++> 求导数，得： '2512()2S x x=-.令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）.于是宽为128128816x ==. 当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点.所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小.答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。
生活中的优化问题举例
利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
优化问题
用函数表示的数学问题
解决数学模型
作答
优化问题解决方案
用导数解决数学问题
这是一个典型的数学建模过程
解决优化问题的一般步骤：
（1）审题 （2）建模
（3）解模
（4）回归
温馨提示：用导数解决实际问题，要特
别注意在实际问题中变量的取值范围.
课堂小结
解决优化问题的步骤：
' 当x∈(0,16)时， S x > 0; 当x∈(16,+∞) 时， S' x < 0; .因此，x=16是函数S(x)的 极小值点，也是最小值点.所以，当版心 高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白 面积最小.
例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的 制造成本是 0.8πr 2 分，其中r（单位：cm）是瓶子的半 径.已知每售出1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制 造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.那么瓶子半径多 大时，能使每瓶饮料的利润最大和最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y =f
r = 0.2
4 πr 3 - 0.8πr 2 3
r3 2 = 0.8π - r , 0 < r ≤ 6. 3
令
f'
r
= 0.8π r 2 - 2r = 0
r 0.当r 0,2时, 当r 2,6时, f ' r 0.
0 < x < 2.5
令 V ' = 12x 2 - 52x + 40 = 0
4 x - 1 3x - 10 = 0 10 得： x1 = 1, x 2 = （舍去） 3 '
利用偏导数研究多元函数最优化问题
利用偏导数研究多元函数最优化问题多元函数最优化问题是数学中的重要研究领域之一。
在解决这类问题时，利用偏导数可以提供有价值的信息。
本文将介绍如何利用偏导数研究多元函数的最优化问题。
偏导数的概念偏导数是多元函数微分学中的一个重要概念。
对于一个多元函数，其自变量可能是多个变量，而不仅仅是一个变量。
而偏导数指的是当其他自变量保持不变时，函数对某一个自变量的变化率。
偏导数可以用符号∂ 表示，例如∂f/∂x 表示函数 f 对变量 x 的偏导数。
利用偏导数求最优解在多元函数最优化问题中，常常需要寻找函数的最大值或最小值。
这可以通过求函数的偏导数来实现。
具体步骤如下：1. 找到函数的所有偏导数。
对于一个多元函数，可能存在多个自变量，因此需要对每个自变量求对应的偏导数。
2. 将偏导数置为零，并解方程组。
令每个偏导数为零，可以得到一组方程。
解这个方程组可以得到函数的驻点（也就是函数可能的最优解）。
3. 求取二阶偏导数。
为了判断这些驻点是否为函数的极值点，需要求取二阶偏导数。
4. 利用二阶偏导数判断驻点的类型。
根据二阶偏导数的正负性可以判断驻点是极大值、极小值还是鞍点。
5. 将判断的结果应用到原函数中。
通过寻找函数的极值点，可以找到函数的最大值或最小值。
注意事项在利用偏导数研究多元函数最优化问题时，需要注意以下几点：- 需要求取各个偏导数时，注意其他变量保持不变。
只有在其他自变量保持不变的情况下，才能正确求取偏导数。
- 在解方程组时，要考虑方程组可能存在多个解的情况。
可能存在多组驻点，需要找到所有可能的最优解。
- 求取二阶偏导数时，需要注意求导的次序。
不同的求导顺序可能得到不同的结果，因此需要谨慎求取。
- 在判断驻点类型时，需要根据二阶偏导数的正负性进行判断。
结论利用偏导数研究多元函数最优化问题，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值。
通过求取偏导数、解方程组和判断二阶偏导数，我们可以确定函数的驻点类型并找到最优解。
这为解决实际问题提供了有力的数学工具。
导数的应用于最优化问题
导数的应用于最优化问题导数是微积分中的一个重要概念，用来衡量函数在某个点的变化率。
在数学中，导数在求解最优化问题时起着至关重要的作用。
本文将介绍导数的应用于最优化问题，并详细解释其原理和算法。
一、最优化问题简介最优化问题是在给定的约束条件下，寻找使某个目标函数达到最小或最大值的解。
在实际生活中，最优化问题的应用非常广泛，如经济学中的成本最小化问题，物理学中的能量最小化问题等。
最优化问题可以分为线性和非线性两种情况，本文将重点介绍非线性最优化问题。
二、导数在最优化问题中的应用1. 最小值问题在计算目标函数的导数时，可以得到函数曲线的斜率。
根据导数的性质，当导数为零时，函数达到极值点，即局部最小值或最大值。
因此，最优化问题可以通过求解目标函数的导数为零的点来获得极值点的位置。
2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的最优化算法，它利用目标函数在当前点的导数方向来更新解的位置，从而逐步接近最小值点。
梯度下降法的思想是根据导数的方向选择合适的步长，以便使得目标函数在每一步的迭代过程中逐渐趋于最小值。
3. 牛顿法牛顿法是一种迭代求解最优化问题的方法，其基本思想是利用目标函数的导数和二阶导数来逼近函数的局部极小值点。
牛顿法的优势在于收敛速度较快，但同时也存在一些局限性，如对初始点的选择较为敏感。
4. 拟牛顿法拟牛顿法克服了牛顿法对初始点选择的敏感性，它通过近似目标函数的Hessian矩阵来逼近真实的二阶导数。
拟牛顿法的核心思想是利用历史的迭代信息来更新目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，从而提高算法的效率和稳定性。
三、导数在最优化问题中的应用举例为了更好地理解导数在最优化问题中的应用，我们以求解一元二次函数的最小值为例进行说明。
假设有一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望找到使函数f(x)取得最小值的点。
首先，我们计算函数f(x)的一阶导数f'(x) = 2ax + b。
然后，令导数f'(x)为零，解得x = -b/(2a)。
重点：利用导数知识解决实际生活中的最优化问题
在确定了所有极值点后，需要比较这些点的函数值，以确定哪个点是最优解。如果目标是最小化函数，则选择函数值最小的极小值点作为最优解；如果目标是最大化函数，则选择函数值最大的极大值点作为最优解。
总结词
导数在最大利润问题中，可以帮助我们找到使利润最大的最优解。
总结词
导数在最大利润问题中，可以帮助我们找到使利润最大的最优解。
详细描述
在商业运营中，最大化利润是一个关键目标。导数的应用可以帮助我们找到使利润最大的最优解。例如，在定价策略中，我们可以通过求导找到最优的定价，以最大化利润。
详细描述
在商业运营中，最大化利润是一个关键目标。导数的应用可以帮助我们找到使利润最大的最优解。例如，在定价策略中，我们可以通过求导找到最优的定价，以最大化利润。
总结词：导数在最优化方案选择问题中，可以帮助我们找到最优的方案。
导数在解决最优化问题中的重要性
CATALOGUE
02
导数大于零的区间内，函数值随自变量增大而增大。
单调递增
导数小于零的区间内，函数值随自变量增大而减小。
单调递减
不等式最值
利用导数研究函数在某区间内的单调性，进而确定不等式成立的条件和最值。
在某些情况下，可能存在多个最优解或没有最优解，这取决于问题的性质和约束条件。
实际案例分析
CATALOGUE
04
总结词
导数在投资回报最大化问题中起到关键作用，通过求导数找到收益函数的最大值点，从而确定最优投资策略。
要点一
要点二
详细描述
1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
导数的综合应用
3.3 导数的综合应用1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 3．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)连续函数在闭区间上必有最值．( √ )(2)函数f (x )＝x 2－3x ＋2的极小值也是最小值．( √ )(3)函数f (x )＝x ＋x －1和g (x )＝x －x －1都是在x ＝0时取得最小值－1.( × )(4)函数f (x )＝x 2ln x 没有最值．( × ) (5)已知x ∈(0，π2)，则sin x >x .( × )(6)若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上没有实数根．( × )1．(2014·湖南)若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．2121e e ln ln xxx x >－－ B ．1221e eln ln xx x x <－－C ．1221e e x xx x > D ．1221e e xxx x < 答案 C解析 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确．设g (x )＝e xx (0<x <1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数． 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴1221e e xxx x >.2．(2013·福建)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案 D解析 A 错，因为极大值未必是最大值．B 错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点．C 错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点．D 对，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点．3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22答案 D解析 |MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x (x >0)的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点， 也是最小值点，故t ＝22. 4．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( ) A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件 D ．4百万件答案 C解析 y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当0<x <3时，y ′>0； 当x >3时，y ′<0.故当x ＝3时，该商品的年利润最大.题型一 利用导数证明不等式例1 已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同． (1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x >0)．(1)解 设两曲线的公共点为(x 0，y 0)， f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x，由题意知f (x0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即⎩⎨⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a2x.由x 0＋2a ＝3a 2x 0，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )．于是当t (1－3ln t )>0，即0<t <13e 时，h ′(t )>0；当t (1－3ln t )<0，即t >13e 时，h ′(t )<0.故h (t )在(0，13e )上为增函数，在(13e ，＋∞)上为减函数，于是h (t )在(0，＋∞)上的最大值为h (13e )＝233e 2，即b 的最大值为233e 2.(2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝(x －a )(x ＋3a )x(x >0)．故F (x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数． 于是F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )．思维升华 利用导数证明不等式的步骤 (1)构造新函数，并求其单调区间； (2)判断区间端点函数值与0的关系；(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式．证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x . 证明 记F (x )＝sin x －22x ， 则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈(0，π4)时，F ′(x )>0，F (x )在[0，π4]上是增函数；当x ∈(π4，1)时，F ′(x )<0，F (x )在[π4，1]上是减函数．又F (0)＝0，F (1)>0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0， 即sin x ≥22x . 记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1<0， 所以H (x )在[0,1]上是减函数， 则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x .综上，22x≤sin x≤x，x∈[0,1]．题型二利用导数研究函数零点问题例2(2013·北京)已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解(1)由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)．∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切．∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)，则a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.∴当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，b的取值范围是(1，＋∞)．思维升华函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1， f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合如图所示f (x )的图象可知：实数m 的取值范围是(－3,1)． 题型三 生活中的优化问题例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维点拨 (1)由x ＝5时y ＝11求a ；(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x 的函数关系，利用导数求最值． 解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维升华 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm. 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.一审条件挖隐含典例：(12分)设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M .(2)如果对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．审题路线图(1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M(正确理解“存在”的含义) [g (x 1)－g (x 2)]max ≥M挖掘[g (x 1)－g (x 2)]max 的隐含实质 g (x )max －g (x )min ≥MM 的最大整数值(2)对任意s ，t ∈[12，2]都有f (s )≥g (t )(理解“任意”的含义) f (x )min ≥g (x )max求得g (x )max ＝1 ax＋x ln x ≥1恒成立 分离常数 a ≥x －x 2ln x 恒成立求h (x )＝x －x 2ln x 的最大值 a ≥h (x )max ＝h (1)＝1 a ≥1 规范解答解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M .[2分]由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x (x －23)．令g ′(x )>0得x <0，或x >23，又x ∈[0,2]，所以g (x )在区间[0，23]上单调递减，在区间[23，2]上单调递增，所以g (x )min ＝g (23)＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1.故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ， 则满足条件的最大整数M ＝4.[5分](2)对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间[12，2]上，函数f (x )min ≥g (x )max .[7分]由(1)可知在区间[12，2]上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在区间[12，2]上，f (x )＝ax＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在区间[12，2]上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1<x <2时，h ′(x )<0；当12<x <1时，h ′(x )>0.[10分]即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间(12，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h (x )max ＝h (1)＝1，所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．[12分]温馨提醒 (1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化．(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题．方法与技巧1．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．2．在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x 轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 失误与防范1．函数f (x )在某个区间内单调递增，则f ′(x )≥0而不是f ′(x )>0，(f ′(x )＝0在有限个点处取到)．2．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(b >－2)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.所以函数y ＝xf ′(x )在区间(a ，－2)(a <－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )(－2<b <0)内的函数值为负，由此可排除选项A ，B ，D.2．(2014·课标全国Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 D解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.4．若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( )A.33B. 3C.3＋1D.3－1 答案 D解析 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，若a >1，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当1<x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ＝a 时，令f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． 若0<a ≤1，则f ′(x )≤0，f (x )在[1，＋∞)上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1，故选D. 5．设函数h t (x )＝3tx －322t ，若有且仅有一个正实数x 0，使得h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，则x 0等于( )A ．5B. 5 C ．3D.7答案 D解析 ∵h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，∴h 7(x 0)≥h t (x 0)max .记g (t )＝h t (x 0)＝3tx 0－322t ，则g ′(t )＝3x 0－123t ，令g ′(t )＝0，得t ＝x 20，易得h t (x 0)max ＝g (x 20)＝x 30，∴21x 0－147≥x 30，将选项代入检验可知选D. 6．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________.答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，且当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.当x <1a时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x >1a 时，f ′(x )<0，f (x )在(1a ，2)上单调递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a ＝－1，解得a ＝1.7．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________.答案 －2或2解析 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．由题意知，f (1)＝0或f (－1)＝0，若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.8．设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．答案 4解析 若x ＝0，则不论k 取何值，f (x )≥0都成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≥3x 2－1x 3. 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4， 所以g (x )在区间(0，12]上单调递增， 在区间[12，1]上单调递减， 因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而k ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x 3在区间[－1,0)上单调递增， 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而k ≤4，综上k ＝4.9．设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a .(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0.即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.10．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米． (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040小时，共耗油10040×(1128 000×403－380×40＋8)＝17.5(升)．因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时， 设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝(1128 000x 3－380x ＋8)·100x＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25.易知h (80)是h (x )在(0,120]上的最小值．故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．(2014·辽宁)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案 C 解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3， ∴a ≥⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3， φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0， ∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6，∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3， ∴a ≤⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0，当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值．而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.12．设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为常数．若f (x )在(1，＋∞)上是减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，则a 的取值范围是( )A ．(e ，＋∞)B ．[e ，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A解析 f ′(x )＝1x－a ，g ′(x )＝e x －a ，由题意得，当x ∈(1，＋∞)时f ′(x )≤0恒成立，即x ∈(1，＋∞)时a ≥1x 恒成立，则a ≥1.因为g ′(x )＝e x －a 在(1，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )>g ′(1)＝e －a .又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，则必有e －a <0，即a >e.综上，a 的取值范围是(e ，＋∞)．13．已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是____________．答案 [－1e，＋∞) 解析 f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )当x >－1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x <－1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以函数f (x )的最小值为f (－1)＝－1e. 而函数g (x )的最大值为a ，则由题意，可得－1e ≤a 即a ≥－1e. 14．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x. 由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e.由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2， 解得a ＝e.15．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln x x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12； (3)是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．(1)解 ∵a ＝1，∴f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x＝x －1x， ∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当1<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明 ∵f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1，∴[f (x )]min ＝1.又g ′(x )＝1－ln x x 2， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增．∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12， ∴[f (x )]min －[g (x )]max >12， ∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12. (3)解 假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，则f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x. ①当0<1a <e 时，f (x )在(0，1a)上单调递减， 在(1a，e]上单调递增， [f (x )]min ＝f (1a)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； ②当1a≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减， [f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，所以，此时f (x )无最小值． 综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时f (x )有最小值3.。
2015届高考数学总复习第二章 第十五节用导数解决生活中的优化问题精讲课件 文
②求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f ′(x)＝0得出定 义域内的实根，确定极值点；
③比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得
所求的最大(小)值； ④还原到实际问题中作答． (2) 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点， 则只需根据实际情况判断是最大值还是最小值即可，不必再 与端点的函数值比较.
与分段函数有关的优化问题 【例2】 (2013· 佛山、江门二模)某水域一艘装载浓硫酸的货船
发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染．为减少对环
境的影响，环保部门迅速反应，及时向污染河道投入固体碱，1
个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度f(x)与时间x(小 时)的关系可近似地表示为：f(x)＝ 只有
解析：(1)由题意知
解得1≤x＜3或3≤x≤4，即1≤x≤4， 能够维持有效的抑制作用的时间：4－1＝3小时． (2)由(1)知，x＝4时第二次投入1单位固体碱，显然g(x)的定义
域为4≤x≤10，
当4≤x≤6时，第一次投放1单位固体碱还有残留，
故g(x)＝ 当6＜x≤10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，故 当6＜x≤7时， g(x)＝2－ 当7＜x≤10时，g(x)＝1－ ； ；
从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问：
转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，
解析 ：(法一)根据题意知，只有点C在线段AD上某一适 当位置，才能使总水管费用最省，如图，设点C距点D为x千 米，则BD＝40，AC＝50－x，
∴BC＝
.
又设总的水管费用为y元，依题意有 y＝3a(50－x)＋5a y′＝－3a＋ (0＜x＜50)． ，令y′＝0，解得x＝30.
应用导数解决经济优化问题
应用导数解决经济优化问题在经济学中，优化问题是一种常见的数学建模方法，用于找到经济系统中最优的决策策略。
导数是微积分的重要概念，可以应用于经济优化问题中，帮助我们找到最优解。
本文将介绍如何使用导数解决经济优化问题，并提供一些实际应用的示例。
1. 导数及其应用导数是函数的变化率，用于描述函数在某一点上的斜率。
在经济学中，我们经常关注的是一些特定函数的最大值或最小值，而导数可以帮助我们找到这些极值点。
为了理解导数的应用，我们先来看一个简单的例子。
假设我们有一个能源公司，该公司生产的能源产品销售价格为P，生产量为Q。
总成本（TC）可以表示为：TC = C(Q)其中C(Q)是与生产量Q相关的成本函数。
我们的目标是在最小化总成本的同时，确定最优的生产量。
为了解决这个问题，我们可以使用导数。
我们需要找到总成本函数C(Q)的导数，即C’(Q)，然后将其设置为零，以找到导数为零的点。
这些点就是总成本函数的极小值或极大值。
通过求导过程，我们可以得到如下等式：C’(Q) = 0找到这样的Q值后，我们可以计算出对应的总成本TC，从而得到经济系统中的最优解。
2. 经济优化问题示例接下来，我们将通过一些实际的经济优化问题示例来演示如何应用导数解决这些问题。
2.1 售价优化假设我们是一家电子产品制造商，我们生产的某个产品的成本函数为C(Q) = 1000Q + 10000，其中Q是生产量。
我们希望以最低的总成本来确定最优的出售价格P。
我们先来找到总成本函数C(Q)的导数：C’(Q) = 1000将导数设置为零，我们可以得到Q = 0。
这意味着当生产量为0时，成本函数取得最小值。
通过计算总成本函数C(Q)在Q = 0处的值，我们可以得到最低的总成本。
根据成本函数C(Q) = 1000Q + 10000，我们可以计算得到最低总成本为10000。
接下来，我们将最低总成本代入产品的成本函数中，得到出售价格P：P = C(Q) / Q = (1000Q + 10000) / Q = 1000 + 10000 / Q通过这个公式，我们可以确定在最低总成本的情况下，最优的出售价格。
1.4 生活中的优化问题举例
【解】(1)设商品降价 x 元，则多卖的商品数为 kx2，若记商品 在一个星期的获利为 f(x)，则有 f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)． 由已知条件，得 24＝k×22，于是有 k＝6. 所以 f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]． (2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．
万元．设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
【解答】(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗 40 k 费用为 C(x)＝ ， 再由 C(0)＝8， 得 k＝40， 因此 C(x)＝ . 3x＋5 3x＋5 又建造费用为 C1(x)＝6x， 故隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 40 800 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× ＋6x＝ ＋6x(0≤x≤10)． 3x＋5 3x＋5
一般来说，利润 L 等于总收入减去总成本，而总收入等于 销售量乘以价格．由此可以得到利润 L 与价格的函数关系式， 进而用导数求最大利润．
某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件．如 果降低价格，销售量可以增加， 且每星期多卖出的商品件数与商 品单价的降低额 x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商 品单价降低 2 元时，每星期多卖出 24 件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
2 400 (2)f′(x)＝6－ ， 3x＋52 2 400 令 f′(x)＝0，即 ＝6， 3x＋52 25 解得 x＝5 或 x＝－ (舍去)． 3 当 0≤x<5 时，f′(x)<0；当 5<x≤10 时，f′(x)>0，
第五节 生活中的优化问题举例(数学建模二)
考点突破 栏目索引
1-1 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因 此甲方有权向乙方索赔,以此来弥补经济损失并获得一定的净收入.在 乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关 系式x=2 000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔 付价格). (1)将乙方的实际年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方实 际年利润最大时的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y(元)与年产量t(吨)的函数
解析 (1)每年的能源消耗费用为C(x)= k (0≤x≤10),
3x 5
由题可知C(0)=8,得k=40,因此C(x)= 40 .
3x 5
而隔热层的建造费用为C1(x)=6x.
所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=
20× 40 +6x= 800 +6x(0≤x≤10).
考点突破 栏目索引
方法技巧 利用导数解决几何中的面积、体积最大问题时,一定要看清题意,分析 几何体的特征,设出变量,列出函数关系式,注明定义域,再利用导数求最 值.若在定义域内只有一个极值,则这个极值便是最值,解此类题时,要注 意利用数形结合的思想及函数的思想分析问题.
对应的最小值为f(5)=6×5+ 800 =70.
35 5
故当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元.
考点突破
栏目索引
考点突破 栏目索引
方法技巧 1.解决费用最省问题,也是导数的一个重要应用.解决这类问题,第一要 选取合适的量为自变量,并确定其取值范围;第二将费用表示为自变量 的函数,再利用导数求最值,使问题得到解决. 2.把实际问题转化为数学问题,正确列出解析式是解题的关键,利用导数 求最值时要注意函数的定义域.
导数的牛顿法与导数的优化问题求解法则运用
导数的牛顿法与导数的优化问题求解法则运用在数学和优化领域中，导数的牛顿法和导数的优化问题求解法则是两种常用且有效的方法。
本文将介绍导数的牛顿法和导数的优化问题求解法则的定义、原理和应用。
一、导数的牛顿法1. 定义导数的牛顿法，简称牛顿法，是一种用于求解数值逼近问题的迭代方法。
它通过不断逼近函数的零点来获得函数解的近似值。
牛顿法的核心思想是利用函数的导数来逼近零点，并通过不断迭代来加快逼近的速度。
2. 原理牛顿法的核心原理是利用函数的局部线性近似来逼近函数的零点。
设函数f(x)在点x0附近具有二阶连续导数，那么函数在x0处的局部二次近似为：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 1/2f''(x0)(x - x0)^2当f(x)的零点为x1时，将上述近似式等于0，我们可以得到如下迭代公式：x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)通过不断迭代计算，可以获得函数的零点的近似值。
3. 应用牛顿法在实际问题中有广泛的应用。
例如，在数值求解非线性方程时，可以使用牛顿法来快速找到方程的根。
另外，在求解最优化问题时，也可以利用牛顿法来计算函数的极值点。
牛顿法的快速收敛特性使其成为了一种常用的求解方法。
二、导数的优化问题求解法则1. 定义导数的优化问题求解法则是一种通过求解导数为零点来获得函数的极值点的方法。
通过寻找导数为零点的位置，可以确定函数的临界点，从而找到函数的极值点。
2. 原理导数的优化问题求解法则基于函数的导数性质。
对于一个连续可导的函数f(x)，如果在某个点x0处满足 f'(x0) = 0，那么x0就是函数的临界点。
根据函数极值点的定义，函数的极大值和极小值都是函数的临界点。
因此，通过求解导数为零点的位置，可以确定函数的极值点。
3. 应用导数的优化问题求解法则在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在经济学中，可以使用导数的优化问题求解法则来分析消费者最大化效用、厂商最大化利润等问题。
利用导数解决最优化问题
利用导数解决最优化问题在数学中，最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找函数的最大值或最小值的问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，比如经济学、物理学和工程学等。
而利用导数解决最优化问题的方法，可以为我们提供一种高效而快捷的解决方案。
本文将介绍导数在最优化问题中的应用，并通过具体的例子来进一步说明其原理和方法。
首先，导数是描述函数变化率的工具。
对于一个函数f(x)，导数可以衡量函数在某一点x0处的变化速率。
利用导数求解最优化问题的基本原理是，我们希望在函数的变化率最小或最大的点找到最优解。
因此，我们需要通过求导来确定函数在各个点的斜率，进而找到变化率最小或最大的点。
其次，导数的求解过程中，我们可以利用一些基本的求导规则来简化计算。
比如，对于多项式函数，我们可以利用幂函数求导法则来求取导数。
而对于复合函数，则可以应用链式法则。
除此之外，还有一些常用的函数的导数公式，如指数函数、对数函数以及三角函数等。
通过灵活运用这些求导规则，我们可以大大简化求解最优化问题的过程。
接下来，我们通过一个具体的最优化问题来说明导数在解决最优化问题中的应用。
假设我们要求解一个函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1 的最小值。
首先，我们需要求出函数f(x)的导数。
根据幂函数求导法则，我们可以得到f'(x) = 4x - 3。
接下来，我们将f'(x) = 0，得到 x = 3/4。
这个x的取值使得函数的斜率为零，因此可能是函数的最小值点。
为了验证这一点，我们需要求出 f''(x) = 4。
根据导数的二阶导数定义，如果 f''(x) > 0，则说明在该点处存在极小值。
而 f''(x) < 0 则说明在该点处存在极大值。
所以在我们的例子中，f''(x) > 0，表明我们求的是函数的最小值。
最后，我们带入 x = 3/4 到原函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1 中，可以得到最小值 f(3/4) = 1/8。
导数在实际生活的应用
再见
解答
(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装 盒的高与底面边长的比值.
解 包装盒容积 V＝2x2· 2(30－x)＝－2 2x3＋60 2x2(0<x<30)， 所以 V′＝－6 2x2＋120 2x＝－6 2x(x－20).
令V′>0，得0<x<20； 令V′<0，得20<x<30.
答 当 x＝20 时，包装盒容积 V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为 20 2 cm，高为 10 2 cm，包装盒的高与底面边长的比值为12.
解答
反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、 体积，并在此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已 知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进 行拆分或组合，以便简化求值过程.
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
解答
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的 年利润最大，并求出最大值.
解答
规律与方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出 实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小) 者为最大(小)值. 2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主 要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式， 给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想 的应用.
导数在实际生活中的最优化应用
【 Ｋｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ］ｏ ｐ ｔ ｉ ｍ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｒ ｅ ｌ ａ ｌ ｉ ｆ ｅ ； ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
际生 活 问题 。
［ 关键词 ］ 最优化应 用； 导数优化 ； 实际生活； 导数 应用
［ 中图分类号 ］ Ｃ ９ ３ １ ． １
［ 文献标识 码 ］ Ａ ［ 文章编号 ］ １ ６ ７ １ — ５ ０ ０ ４【 ２ ０ １ ３ ）０ ２一Ｏ ｌ ｌ ８—０ ３
Ｄｅ ｒ ｉ ｖ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｏ ｐｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｐｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｌ ｉ ｆ ｅ
第 １ ３卷第 ２期
湖 南 工 业 职 业 技 术 ２
Ａｐ ｒ ． ２０１ ３
２ ０ １ ３年 ４月
Ｊ ＯＵ Ｉ ｕ Ｌ Ｏ Ｆ Ｉ ｛ Ｉ ７ Ｎ Ａ Ｎ姗 Ｕ Ｓ Ｔ ＲＹ Ｐ Ｏ Ｌ ＹＴ Ｉ Ｅ Ｃ ＨＮ Ｉ Ｃ
ＺＨＡＮＧ Ｓ ｈ ｕａ ｎｇ —ｌ ｉ ｎ
（ Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ ｃ ｏ ａ ｌ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ ， Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ ０ ３ ７ ０ ０ ３， Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ ）
人教版数学高二人教 《生活中的优化问题》精品学案
生活中的优化问题
【学习目标】
1．掌握有关实际问题中的优化问题
2．形成求解优化问题的思路和方法
【复习回顾】
利用导数求函数极值和最值的方法：
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系)(x f y =；
（2）求函数的导数)(/x f ，解方程0)(/
=x f ；
（3）比较函数在区间端点和使0)(/=x f 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。
【知识点实例探究】例题见课本例1－例3
【作业】
1．一条长为l 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两端铁丝的长度分别为多少？
2．无盖方盒的最大容积问题
一边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖的方盒。
（1）试把方盒的体积V 表示为x 的函数。
（2）x 多大时，方盒的容积V 最大？
3．圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径怎样选择，才能使所用材料最省？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例3．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现 让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128 dm,上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm．如何设 计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？
1
解：设版心的宽为x dm，长为y dm
.则有xy=128(1)
另设四周空白面积为S，
内墙保留 3m宽的空地，当距形温室的边长各为多少时，蔬菜
的种植面积最大？最大种植面积是多少？
3.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知 速度为每小时10km,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关 的费用是每小时96元,求这艘轮船在以何种速度航行时,能使 航行1km的费用总和最小?
当x 17，利润W最大
此时房价为：180 1017 35（ 0 元）
答：房间定价350元时，宾馆的利润最大。
例2. 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如 果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多 少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为(x+0.5)m,高为
(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m 则 3.2 – 2x > 0 , x>0 ,
得 0<x<1.6.
设容器体积为y m3,则 y = x (x+0.5) (3.2 –2x)
= - 2x3+2.2x2+1.6x (0<x<1.6)
y' = - 6x2+4.4x+1.6, 令y' = 0 得 x = 1 或 x = - 4/15 (舍去）， ∴当0<x<1时，y'>0 , 当1<x<1.6时，y'<0 , ∴在 x = 1处，y有最大值， 此时高为1.2m,最大容积为1.8m3。
8
答：版心的宽度为8dm时，四周空白的面积最小。
5．练习：
1、某厂生x产
问：
件产品的成本为2C5=000
200
x
1 40
x
2
（元），
（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？
若 （2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多
少2温、室某内村，计沿件划左产建、品造右？一两个侧室与内后面侧积内为墙8各00保m2留的1m距宽形的蔬通菜道温，室沿，前在侧
解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大
W (180 10 340x 8000
令W '(x) 0,求得x 17 当W '(x) 0时, x 17 ；当W '(x) 0时, x 17
y
S 2(x 2) 2 2 y1 4x 2y 8
Q y 128 S(x) 4x 256 8(x 0).
x
x
令S'(x)=0,即4-
256 x2
0
x
x 8,最小面积S 48 256 8 7（2 dm2)
8
此时y 128 16(dm)
课 题：生活中的优化问题（2）
一、复习提问： 1、导数在实际生活中的应用主要是解决 什么问题？ 主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题
2、利用导数法解决优化问题的基本步骤：
优化问题
作答
优化问题的答案
用函数表示的数学问题
解决数学模型
用导数解决数学问题
例1．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定 价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加10元， 就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需 花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？