利用导数法解决优化问题的基本步骤
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课 题：生活中的优化问题（2）
一、复习提问： 1、导数在实际生活中的应用主要是解决 什么问题？ 主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题
2、利用导数法解决优化问题的基本步骤：
优化问题
作答
优化问题的答案
用函数表示的数学问题
解决数学模型
用导数解决数学问题
例1．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定 价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加10元， 就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需 花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？
当x 17，利润W最大
此时房价为：180 1017 35（ 0 元）
答：房间定价350元时，宾馆的利润最大。
例2. 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如 果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多 少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为(x+0.5)m,高为
例3．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现 让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128 dm,上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm．如何设 计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？
1Leabharlann Baidu
解：设版心的宽为x dm，长为y dm
.则有xy=128(1)
另设四周空白面积为S，
解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大
W (180 10x)(50 x) (50 x) 20 10x2 340x 8000
令W '(x) 0,求得x 17 当W '(x) 0时, x 17 ；当W '(x) 0时, x 17
8
答：版心的宽度为8dm时，四周空白的面积最小。
5．练习：
1、某厂生x产
问：
件产品的成本为2C5=000
200
x
1 40
x
2
（元），
（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？
若 （2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多
少2温、室某内村，计沿件划左产建、品造右？一两个侧室与内后面侧积内为墙8各00保m2留的1m距宽形的蔬通菜道温，室沿，前在侧
y
S 2(x 2) 2 2 y1 4x 2y 8
Q y 128 S(x) 4x 256 8(x 0).
x
x
令S'(x)=0,即4-
256 x2
0
x
x 8,最小面积S 48 256 8 7（2 dm2)
8
此时y 128 16(dm)
内墙保留 3m宽的空地，当距形温室的边长各为多少时，蔬菜
的种植面积最大？最大种植面积是多少？
3.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知 速度为每小时10km,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关 的费用是每小时96元,求这艘轮船在以何种速度航行时,能使 航行1km的费用总和最小?
(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m 则 3.2 – 2x > 0 , x>0 ,
得 0<x<1.6.
设容器体积为y m3,则 y = x (x+0.5) (3.2 –2x)
= - 2x3+2.2x2+1.6x (0<x<1.6)
y' = - 6x2+4.4x+1.6, 令y' = 0 得 x = 1 或 x = - 4/15 (舍去）， ∴当0<x<1时，y'>0 , 当1<x<1.6时，y'<0 , ∴在 x = 1处，y有最大值， 此时高为1.2m,最大容积为1.8m3。
一、复习提问： 1、导数在实际生活中的应用主要是解决 什么问题？ 主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题
2、利用导数法解决优化问题的基本步骤：
优化问题
作答
优化问题的答案
用函数表示的数学问题
解决数学模型
用导数解决数学问题
例1．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定 价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加10元， 就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需 花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？
当x 17，利润W最大
此时房价为：180 1017 35（ 0 元）
答：房间定价350元时，宾馆的利润最大。
例2. 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如 果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多 少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为(x+0.5)m,高为
例3．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现 让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128 dm,上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm．如何设 计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？
1Leabharlann Baidu
解：设版心的宽为x dm，长为y dm
.则有xy=128(1)
另设四周空白面积为S，
解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大
W (180 10x)(50 x) (50 x) 20 10x2 340x 8000
令W '(x) 0,求得x 17 当W '(x) 0时, x 17 ；当W '(x) 0时, x 17
8
答：版心的宽度为8dm时，四周空白的面积最小。
5．练习：
1、某厂生x产
问：
件产品的成本为2C5=000
200
x
1 40
x
2
（元），
（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？
若 （2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多
少2温、室某内村，计沿件划左产建、品造右？一两个侧室与内后面侧积内为墙8各00保m2留的1m距宽形的蔬通菜道温，室沿，前在侧
y
S 2(x 2) 2 2 y1 4x 2y 8
Q y 128 S(x) 4x 256 8(x 0).
x
x
令S'(x)=0,即4-
256 x2
0
x
x 8,最小面积S 48 256 8 7（2 dm2)
8
此时y 128 16(dm)
内墙保留 3m宽的空地，当距形温室的边长各为多少时，蔬菜
的种植面积最大？最大种植面积是多少？
3.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知 速度为每小时10km,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关 的费用是每小时96元,求这艘轮船在以何种速度航行时,能使 航行1km的费用总和最小?
(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m 则 3.2 – 2x > 0 , x>0 ,
得 0<x<1.6.
设容器体积为y m3,则 y = x (x+0.5) (3.2 –2x)
= - 2x3+2.2x2+1.6x (0<x<1.6)
y' = - 6x2+4.4x+1.6, 令y' = 0 得 x = 1 或 x = - 4/15 (舍去）， ∴当0<x<1时，y'>0 , 当1<x<1.6时，y'<0 , ∴在 x = 1处，y有最大值， 此时高为1.2m,最大容积为1.8m3。