数学史勾股定理论文

鲁东大学2011－2012学年第一学期

《数学史》课程论文

课程号：2191010

任课教师成绩

勾股定理的证明与推广

勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国有的称为“商高定理”，在国外称为“毕达哥拉斯定理”。

人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么怎样才能与外星人沟通呢？数学家曾设想用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。勾股定理有着悠久的历史，很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的定理是勾股定理。

1：勾股定理的历史

1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成．这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体——毕达哥拉斯派，它的成立以及在文化上的贡献．邮票上的图案是最著名和最有用的勾股理．在欧洲人们称它为毕达格拉斯定理．在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，

古代巴比伦人就已经知道这个定理．考古学家们发现了几块泥板书，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。

在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》①中，第一章记述了西周开

国时期（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答．周公问商高：“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五．”祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了，夏至日的太阳斜高．又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径．这些测定的数据虽然非常粗略，但在三千年前那样的年代，有这样的观测精神，是我们应该学习的。

2：勾股定理的证明

2.1：拼图验证勾股定理

1）如图（1）一个张由两个正方形拼成的硬纸片。只许用剪刀剪两刀，把它分开，然后拼成一个正方形。

图（2）中，剪了两刀，分成三块，拼成了一个大正方形

图（3）（4）中，剪了两刀，分成四块，拼成了一个大正方形

两刀互相垂直，且至少有一刀剪得的线段长是以两个正方形的边为直角三角形的两直角边的斜边的长；仿照（1）的规律，作法，如图（5）

此图为青朱出入图

2）勾股定理的面积证法（赵爽证法）：赵爽给出的勾股定理证明：“按弦图又可以勾，股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘，为中黄实，加差实一，亦成弦实”。“赵爽弦图”如图（a）把边长a、b的两个正方形连在一起，则它的面积是a2+b2，另一方面，这个图形可由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，拼的过程如下，把图（a）中左右两个直角三角形移动，组成如图（b）的形状，所以它们的面积相等；因此a2+b2=c2

2002年8月20日北京国际数学大会的会标，就是“赵爽弦图”。另外在赵爽给出的这篇勾股定理证明的注文中，赵爽还给出并证明了有关解直角三角形的27个命题②。2.2：达芬奇方法证明勾股定理

（1）（2）（3）

如图：

1.在一张长方形的纸板上距上下边缘的距离处，分别画两个边长为a,b的正方形，并连接BC,FE（图（1））

2.沿多边形ABCDEF的边剪下，得到两个大小相同的纸板1,2.

3.将纸板2翻转后与品陈纸板1拼成如图（3）所示的图形。

4.比较（1），（3）的多边形ABCDEF和A’B’C’D’E’F’的面积验证勾股定理容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO 都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么图三中角A'和角D'都是直角。

证明：第一张纸片多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF^2+OE^2+OF·OE

第三张纸片中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△

C'D'E'=E'F'^2+C'D'·D'E'

因为S1=S2

所以OF^2+OE^2+OF·OE=E'F'^2+C'D'·D'E'

又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF

所以OF·OE=C'D'·D'E'

则OF^2+OE^2=E'F'^2

因为E'F'=EF

所以OF^2+OE^2=EF^2

勾股定理得证。

3：勾股定理推广

3.1勾股定理与费马大定理：

费马大定理可以一句话证明为是以勾股定理为源的同模真理。任意正整数z依次写成2、3、…n次幂数，只能以平方幂为界，隶属于两个公式范围：

1：写为2次(平方)幂，则只受制于勾股定理有无限的x^y＜z且x+y＞z得z^2隶属于z^2= x^2＋y^2 ＿(1)； 2：写为2次以上幂，则同时受制于指数运算法则z^n= z^2*z^`n-2`和(1)，得z^n皆隶属于n＞2，z^n= z^2*z^`n-2`=( x^2＋y^2)z^`n-2`=y^2*z^`n-2`＋x^2*z^`n-2`＞x^n＋y^n＿(2)。故据模(1)证明有平方幂正整数能分为二平方数之和，据模(2)证明无3次以上的正整数幂能分

为二同次幂之和。费马大定理成立得证。

3.2勾股定理解希波克拉蒂月牙问题

以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点，（不与A、B重合），以AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形1、2（阴影部分）.已知直径AC为4,直径BC为3,直径AB为5。请你猜测：这两个月牙形的面积与三角形ABC的面积之间有何等量关系

?

答：这两个月牙形的面积之和等于直角三角形的面积。它可以利用勾股定理证明。如图，图中标有数字1、2、3、4、5的部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，和S5，那么：

因为AC^2+BC^2=AB^2

所以(S1+S4)+(S2+S5)=S4+S5+S3

所以S1+S2=S3

问题得证.

4：勾股定理艺术

美丽的毕达哥拉斯树（两个锐角分别是40度和50度）

附注：

①《周髀算经》，该书原名《周髀》，大约成书于公元前两世纪的西汉时期，其许多内容可以追溯到西周（公元前十一世纪——公元前八世纪）。

②吴文俊主编.中古数学史大系•第三卷东汉三国.北京：北京师范大学出版，1998.