泊松分布的定义及图形特点.pptx
泊松分布的特征
泊松分布的特征
一、泊松分布的概念
泊松分布是一种离散型概率分布，它描述了在固定时间或空间内随机
事件发生的次数。
它的命名来源于法国数学家西蒙·丹尼·泊松。
二、泊松分布的概率密度函数
泊松分布的概率密度函数为：P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!，其中λ表示单位时间或单位空间内随机事件发生的平均次数。
三、泊松分布的期望与方差
泊松分布的期望为λ，方差也为λ。
这意味着在一个固定时间或空间内，随机事件发生的平均次数越多，其变异程度也越大。
四、泊松分布的应用
1. 人口统计学：在人口统计学中，泊松分布可以用来描述某个地区在
某个时间段内出生或死亡人数、疾病发病率等。
2. 金融风险管理：在金融风险管理中，泊松分布可以用来描述市场上
某种风险事件（如股票价格下跌）发生的概率。
3. 工业质量控制：在工业质量控制中，泊松分布可以用来描述某个时
间段内生产线上出现的缺陷数。
4. 交通流量研究：在交通流量研究中，泊松分布可以用来描述某个时
间段内某个路口通过车辆的数量。
五、泊松分布与其他概率分布的关系
1. 当λ趋近于无穷大时，泊松分布逼近于正态分布。
2. 当λ小于1时，泊松分布逼近于几何分布。
六、总结
泊松分布是一种常见的概率分布，在许多领域都有广泛应用。
它的特点是离散型、单峰型、对称型，并且具有平均值等于方差的特性。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的参数λ来描述随机事件发生次数的概率。
理解泊松分布
泊松分析实例
泊松分布
（Poisson, Simeon-Denis） （1781—1840）法国数学家
定义：设随机变量X的分布率为：
P{X k} k e , k 0, 1, 2, L , 0
k!
则称X 服从参数为 λ 的泊松分布，记为： X ~ P()
E(X )
k pk
k 0
– 卡方统计量：x = Σ [ ( 观察值 - 期望值 ) ^ 2 / 期 望值 ]
实测频数
理论频数
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
在理论分布 已知的条件下,
npi是常量
美国枪击案的结论
• 计算得到，卡方统计量等于9.82。查表后得到，置 信水平0.90、自由度7的卡方分布临界值为12.017。 因此，卡方统计量小于临界值，这表明枪击案的观 察值与期望值之间没有显著差异。所以，可以接受 “发生枪击案的概率是稳定的”假设，也就是说，从 统计学上无法得到美国治安正在恶化的结论。
实例1-水果罐头
• 已知某家小杂货店，平均每周售出2个水果 罐头。请问该店水果罐头的最佳库存量是 多少？
– 假定不存在季节因素，可以近似认为，这个问 题满足以下三个条件：
（1）顾客购买水果罐头是小概率事件。 （2）购买水果罐头的顾客是独立的，不会互相
影响。 （3）顾客购买水果罐头的概率是稳定的。
实例1-水果罐头
为2。
实例2-美国枪击案
• 去年12月，美国康涅狄格州发生校园枪击 案，造成28人死亡
美国枪击案统计资料
• 资料显示，1982年至2012年，美国共发生 62起（大规模）枪击案。其中，2012年发 生了7起，是次数最多的一年。
泊松分布
X 近似服从 P 3.87 。
例 4.2.2 伦敦飞弹。 二战时伦敦遭到很多次炸弹袭击， 将整个面积分为 N 567 小块，其中发现 k 枚炸弹的小块数为 N k ，总共发现炸弹 537 枚。
k Nk
0 229
1 211
2 93
3 35
4 7
5 1
N pk ,0.9323 226.7 211.4 98.6 31.6 7.1 1.6
验证： k Z , pk 0 ，
pk e
k 0 k 0
k
k!
e
k 0
k
k!
e e 1
************************************************************ 泊松分布与二项分布的关系 考虑二项分布 B n, p ，当 p 很小 n 很大时， B n, p 与P np 非常接近，可相互 近似 若 X ~ B n, p ， Y ~ P np ，
k Nk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 16 17
N p k 3.87 54 211 407 525 508 394 254 140 68 29
57 203 383 525 532 408 273 139 45 27
1 1 设 X 为 1 次观察中到达的粒子数， 则 X ~ B 10094, ， 10094 3.87 2608 2608
Bk n, p
则 P X k P Y k
令 np ，则
Bk 1 n, p
随机过程3-泊松分布
3.2 泊松过程的性质
(3)n 1
T1=s1 T2=s2 0 Tn-1 =sn-1 Tn t
PX ( s1 sn1 t ) X ( s1 sn1 ) 0 e
t
PTn t | T1 s1 ,, Tn1 sn1
W1
W2
第三章 泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
3.1 泊松过程的定义
(3)当n 1时，
由于P 0） P X(0) 1 0 （ 1 所以C 0，P (t ) te 1
t
d t e P (t ) et P0 (t ) et e t 1 dt t P (t ) (t C )e 1
3.1 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程 对于t1< t2 < < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), , N(tn)-N(tn-1) 独立 • 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s>0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与 初始时刻t无关
3.1 泊松过程的定义
Pn (t h) Pn (t ) o(h) Pn (t ) Pn1 (t ) h h 当h 0时，Pn (t ) Pn (t ) Pn1 (t ) e t Pn (t ) Pn (t ) e t Pn1 (t ) d t t e Pn (t ) e Pn1 (t ) dt
泊松分布的概率分布
泊松分布的概率分布泊松分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，它描述了在一定时间或空间范围内，某一事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布常被用来描述单位时间内某事件发生的次数，例如在单位时间内电话接到的次数、某个网站每天收到的访问次数等。
本文将从泊松分布的定义、特点、应用等方面进行介绍。
一、泊松分布的定义泊松分布是一种离散型概率分布，它表示在一个固定时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X为事件发生的次数，k为非负整数，λ为单位时间或空间内事件的平均发生次数，e为自然对数的底。
二、泊松分布的特点1. 独立性：泊松分布假设事件的发生是相互独立的，即一个事件的发生不会影响到其他事件的发生。
2. 稀有性：泊松分布适用于事件发生的概率较小的情况，即当λ很小时，泊松分布可以近似描述事件的发生情况。
3. 均值和方差相等：泊松分布的均值和方差都等于λ，即E(X) = Var(X) = λ。
三、泊松分布的应用1. 电话呼叫中心：泊松分布可以用来描述电话呼叫中心在单位时间内接到的呼叫次数。
通过分析呼叫的泊松分布，可以确定合理的客服人员数量，以满足客户的需求。
2. 网络流量：泊松分布可以用来描述网络上的数据包到达的情况。
通过分析网络流量的泊松分布，可以预测网络负载，优化网络性能。
3. 事故发生：泊松分布可以用来描述事故发生的次数。
例如，在某个工厂每月发生的事故次数符合泊松分布，可以通过对泊松分布的分析，制定相应的安全措施，减少事故发生的概率。
4. 遗传突变：泊松分布可以用来描述遗传突变的发生情况。
通过对遗传突变的泊松分布进行分析，可以研究突变的规律，为相关疾病的治疗提供理论依据。
四、泊松分布的优缺点1. 优点：泊松分布具有简单、易于计算的特点，适用于描述稀有事件的发生情况。
在实际应用中，泊松分布通常用来近似描述一些复杂的实际问题。
概率论课件--4-2 泊松分布14p
P{ X k}
k 0 k 0
k
k!
e e
k 0
k
k!
e e 1
泊松分布是概率论中又一重要的概率分布.
一方面, 很多随机现象都服从或近似服从泊松分布. 例如:某网站一段时间间隔内受到的点击次数; 公共汽车站候车的乘客人数; 炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数; 落在显微镜上某种细菌个数… 另一方面, 泊松分布可看为二项分布的极限分布. 对此有如下定理:
解: 设需配备 N 人, 记同一时刻发生故障的设备台数为X,
那么 X ~ B (300,0.01), 所需解决的问题是确定的N, 使得
P{ X N } 0.99,
由泊松定理 ( np 3)
3k e 3 P{ X N } 0.99 k! k 0
N
即
3 e 3 e 1 k! k 0 k N 1 k !
k
k!
e , k 0,1,2,, n
P{ X m}
k
k!
e ,
m 0,1,2,, n
k
k! e 与
k m
由于泊松分布有着广泛的应用,
k
k!
e
k m
的数值已造成表(见书末附表1及附表2), 计算时可查表.
（配 例1. 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 备多了浪费, 配备少了又会影响 生产) , 现有同类型设备 300台, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01. 在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理 (我们也 只考虑这种情况), 问至少需配备多少工人, 才能保证当设 备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?
8-1-3 交通流参数的泊松分布
k
e
k!
e
1
1
(六）Poisson分布的应用
一)总体均数的估计 1. 点估计： • 直接用单位时间(空间或人群)内随机事件 发生数X(即样本均数)作为总体均数μ的估 计值。
2.
区间估计
（1）正态近似法（X>50） 当Poisson分布的观察单位为n=1时： 当Poisson分布的观察单位为n>l时 ：
[例2] 某放射性物质每0.1 s放射粒子数服从均数为 2.2的Poisson分布，现随机取3次观测结果为2，3 及4个粒子数，请问每0.3 s放射粒子数为多少? 利用Poisson分布的可加性原理得到， Xl+X2+X3=2+3+4=9个 均值为2.2+2.2+2.2=6.6 每0.3s放射粒子数为9个。
二项分布
n很大, p 很小
泊松分布
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事 业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的，例如地震、火 山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从 泊松分布。
商场接待的顾客数 电话呼唤次数
交通事故次数
[例1] 若某非传染性疾病的患病率为18／万 ，试根据Poisson分布原理求1 000人中发生 k=0，1，2阳性数概率。
b( k; n, pn )
k
k!
e
二项分布的泊松逼近：
波松定理
k k Pk P ( xn k ) Cn pn (1 pn ) n k ,
k 1,2, , n
设npn 0，为常数，则有 ( ) k lim P ( xn k ) e , k 1,2, , n n k! n! k nk Pk ( ) (1 ) k!( n k )! n n n( n 1)(n 2) ( n k 1) k n k ( ) (1 ) (1 ) k! n n n k 1 2 k 1 n k 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) k! n n n n n lim P ( xn k )
统计学二项分布与泊松分布 ppt课件
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第8页
结束
贝努里模型应具备下列三个基本条件。
1. 试验结果只出现对立事件A或AA ，两者只能出
2. 熟悉：二项分布的适用条件及计算方法。
3. 了解：二项分布的概率函数、性质及医学应用。
4. 掌握：Poisson分布的概念及意义。
5. 熟悉：Poisson分布的适用条件、医学应用及计算方 法。
6. 了解：Poisson分布的概率函数及性质。
7. 了解：二项分布与Poisson分布的拟合优度检验的概 念及意义。
8. 了解：常用的拟合优度检验方法。
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第6页
结束
第一节 二项分布及其应用
一、二项分布的概念及应用条件
1.二项分布（binominal distribution） 是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属 于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独 立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动 物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无 效等。
第20页
结束
随机变量X的方差及标准差
③ 随机变量X的方差 D（X）＝σ2 ④ 随机变量X的标准差为:
2 n(1)
n(1)
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第21页
结束
若X的总体均数和标准差用率来表示，则 将公式除以n ,得：
p
p
(1)
n
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第六章、二项与泊松分布ppt课件
总体率的可信区间
所以当样本含量为n=20，阳性发生数x=5，总 体率的95%可信区间为(0.087~0.491)
因为不但要求累积概率，还要不断的尝试，所 以求该区间的手工计算量十分庞大
统计学家已经绘制了一张表格，方便我们直接 查找！——附表6
总体率的可信区间的正态近似法
当np与n(1-p)均大于5且n足够大时，样本率p的 抽样分布近似正态，可以写为p ~ N( p, sp2)
mp p
样本率的标准差Var (p) （或sp） ：
sp
p (1p )
n
样本率的抽样分布 (sampling distribution of rate)
样本率的总体均数等于总体率 m p p
样本率的标准差(即率的标准误)反映率的抽样误差
sp
p (1p )
n
由于总体率通常是未知的，因而用样本率p来估计p，故
二项分布的阳性数的均数与标准差
如果随机事件满足贝努利试验条件 则称随机事件的阳性数x满足二项分布B( n,
p) 阳性数x的均数与标准差又是多少？
阳性数的均数与标准差
均数E (x)（或mx）：
mx np
标准差Var (x) （或sx） ：
sx np(1p)
样本率的均数与标准差
样本率的均数E (p)（或mp）：
本题的问题是该地的患病情况是否较以前下降
假设总体患病率没有下降，那么现在该地的高 血压患病率仍为10%；那么从中得到一个比当 前样本率6%还要极端的情况概率是否是一个小 概率事件？
如果是小概率事件，则原假设有问题，因为小 概率事件不太可能在一次抽样中发生，因而拒 绝它；反之，如果不是小概率事件，那么尚不 拒绝它。
来不是小概率事件，即：
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(
3 2
)0.4
2
(
0.4)32
=
0
.
2
8
8
(
3 3
)0.4
3
(1
0.4)33
ppt课件
=
0
.
0
6
4
12
第二节 二项分布的性质
一、二项分布的均数与方差
若 X ～ B( n, )， 则
例 7-3
X 的 均 数 X = n
(7-2)
X
的
方
差
2 X
=
n
(1-
)
(7-3)
即 X～ B(3,0.4)， X 各 取 值 的 概 率 ：
P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=
(
3 0
)0.4
0
(1
0.4)
30
=
0
.
2
1
6
=CRITBINOM(3,0.4,0.217)
(13 )0.41(1 0.4)31
=BINOMDIST(1,3,0.4,0)
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21
例 7-6 据 以 往 经 验 新 生 儿 染 色 体 异 常 率 为 0.01， 某 研 究 者 随 机 抽 查 当 地 400 名 新 生 儿 ， 结 果 1 名 染 色 体异常，问是否该地染色体异常率与以往有所不同。
H0: =0.01, H1： ≠ 0.01=0.05 双 侧 P=2*P(X≤ 1) =0.181〉 0.05 故 无 理 由 拒 绝 H0， 即 据 此 样 本 不 能 说 该 地 新 生 儿 染 色体异常率与一般新生儿不同。
概率2-3 泊松分布
泊松分布 P ( ) ( 12 )
k
（3）某电话交换台一定时间内收到的用户呼叫数
1
2-3 泊松分布
第二章 随机变量及其分布
泊松分布是作为二 项分布的近似，由泊松引入的.
当n很大, p很小,λ=np是一个不太大的常数时,
k Cn p k (1 p)n k
k
k!
e
(k 0,1, 2,..., n)
证 明 略
2
2-3 泊松分布
第二章 随机变量及其分布
统计资料表明某路口每月交通事故发生次数服 从参数为6的泊松分布，求该路口一月内至少 发生两起交通事故的概率。
P(X 2)=1-P(X=0)-P(X=1) 6 6 6 6 1 e e 0! 1! 0.9826
3
0
1
2ห้องสมุดไป่ตู้3 泊松分布
k
5 5 e 0.031828 0.05 k 10 k！ k
5 5 e 0.068094 0.05 k 9 k！
n 1 10
n9
只要在月底进货9件，就可以95%的概率保证 这种商品在下个月内不会脱销。
5
泊松分布是作为二当n很大p很小np是一个不太大的常数时23泊松分布第二章随机变量及其分布统计资料表明某路口每月交通事故发生次数服从参数为6的泊松分布求该路口一月内至少发生两起交通事故的概率
2-3 泊松分布
第二章 随机变量及其分布
定义
P{ X k } e ,
k
若一个随机变量 X 的概率分布为
n k
PX n 1 0.05
5 5 e 0.95 k 0 k！
5 5 e 0.05 k n 1 k！
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1.计数过程:设
为一随机过程,
如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时,
N(s) ≤N(t),则称 XT {N(t),t T [0,)} 为计数过程(counting process).
若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到
电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程.
定义1 称随机过程{N(t),t0}为计数过程,若N(t)表示到 时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件: (1) N(t)0 (2)N(t)取正整数; (3)若s<t,则N(s)<N(t); (4)当s<t,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数.
若t1<t2t3<t4,则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1) 与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,此时 计数过程N(t)是独立增量过程.
P{N(t) - N(s) k} [(t s)]k e(ts) , k 0,1, 2,
k!
则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次) 泊松过程。[泊松过程的第二种定义方式]
注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= t. 由于, =E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称为此过程的速率或强度
X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量.如果对 任意选定的正整数n和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 独立,则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程.
理解泊松分布 ppt课件
各个参数的含义： P：每周销售k个罐头的概率。 X：水果罐头的销售变量。 k：X的取值（0，1，2，3...）。 λ：每周水果罐头的平均销售量，是一个常数，本例
为2。
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5
实例2-美国枪击案
• 去年12月，美国康涅狄格州发生校园枪击 案，造成28人死亡
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6
美国枪击案统计资料
• 资料显示，1982年至2012年，美国共发生 62起（大规模）枪击案。其中，2012年发 生了7起，是次数最多的一年。
• 但是，也必须看到，卡方统计量9.82离临界值很接 近，p-value只有0.18。也就是说，对于"美国治安没 有恶化"的结论，我们只有82%的把握，还有18%的 可能是我们错了，美国治安实际上正在恶化。因此， 这就需要看今后两年中，是否还有大量枪击案发生。 如果确实发生了，泊松分布就不成立了。
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美国枪击案的分布
• 根据资料，1982--2012年枪击案的分布情况 如下：
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美国枪击案的分布
• 计算得到，平均每年发生2起枪击案，所以 λ = 2
上图中，蓝色的条形柱是实际的观察值，红色的虚线是理论的预期值。可以看到，
观察值与期望值还是相当接近的
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12
美国枪击案的分布
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9
美国枪击案的分布
• 假定美国枪击案满足“泊松分布”的三个条件：
（1）枪击案是小概率事件。 （2）枪击案是独立的，不会互相影响。 （3）枪击案的发生概率是稳定的。
• 显然，第三个条件是关键。如果成立，就 说明美国的治安没有恶化；如果不成立， 就说明枪击案的发生概率不稳定，正在提 高，美国治安恶化。
泊松分布
P( X 3) e6 63 0.089 3!
例：如果某地居民脑血管疾病的患病率为150/10万， 那么调查该地1000名居民中有2人患脑血管疾病的概 率有多大？
n 1000 0.0015 1.5
P( X 2) e1.5 1.52 0.251 2!
u
x1 x2
或u
x1 x2
x1 / n1 x2 / n2
x1 / n12 x2 / n22
当两样本的观察单位（时间、面积、容积） 不相同时：
X1＋x2≥20 5＜X1＋x2 ＜ 20
u X1 X2
X1 n12
X2 n22
u X1 X2 1
X1 n12
X2 n22
n
2
( xi x )
i1
2
x
这一检验和上面介绍的泊松分布配合适度检验都可用 于检验某一样本是否来自泊松分布，或检验某事件 （或颗粒）之间是否独立或是否有聚集性。
例
在室内不同位置放置6个平皿，隔一定时间后进行培 养，得葡萄球菌落数分别为21，26，22，18，19， 32，问细菌在室内不同位置的分布是否随机?
x 23
2 5.91
61 5
2 0.05(5)
11.07
2
2 0.05(5)
,
p
0.05
则接受这一分布属于泊 松分布的假设，说明菌 落分布是随机的，没有 聚集性。
小结
在总体比例很小时，样本含量n趋 向于无穷大时，二项分布也就趋 向于泊松分布
泊松分布可看作是单位时间、单 位面积或单位容积中颗粒数或某 罕见事件发生数的概率分布
泊松分布的应用
泊松分布的应用泊松分布的应用摘要泊松分布是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。
它是高等数学里的一个概念,属于概率论的范畴,是法国数学家泊松在推广伯努利形式下的大数定律时,研究得出的一种概率分布,因而命名为泊松分布。
作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。
服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。
在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。
并且在某些函数关系起着一种重要作用。
例如线性的、指数的、三角函数的等等。
本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍，研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
关键词：泊松过程；泊松分布；定义；定理；应用；一、 计数过程为广义的泊松过程1．计数过程设)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为一随机过程, 如果 t)( N 是取非负整数值的随机变量,且满足s < t 时, t)( s) ( N ≤,则称)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为计数过程。
将增量 t t 0 , t), t ( N ) t ( N - t)( N 000<≤∆=,它表示时间间隔 t), t [ 0内出现的质点数。
“在 t), t [ 0内出现k 个质点”,即k} t), t ( {N 0=是一随机事件,其概率记为 2 0,1, k , k} t), t ( P{N t), t ( P 00K ===总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。
2．泊松过程计数过程0} t , t)( {N ∈称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件:(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;(2)0 (0) N =;(3)对于充分小的, t)( O t 1} t) t t,( P{N t) t t,( P 1∆+∆==∆+=∆+λ其中常数0>λ,称为过程)(t N 的强度。
讲解最清楚的泊松分布
讲解最清楚的泊松分布
一、泊松分布
日常生活中，大量事件是有固定频率的。
-某医院平均每小时出生3个婴儿
-某公司平均每10分钟接到1个电话
-某超市平均每天销售4包xx牌奶粉
-某网站平均每分钟有2次访问
它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。
已知
平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？
有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。
这是我们没法知道的。
泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。
上面就是泊松分布的公式。
等号的左边，P表示概率，N表示某种函数关系，t表示时间，n表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为P(N(1) = 3)。
等号的右边，久表示事件的频率。
接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。
P 网2)=。
)"心2
0! 牝
0.0025
P(N(t) =n)= (Xt)n e~xt
nl
接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。
小都不太可能。
每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。
4.3几种常见的分布 一、泊松分布的定义及图形特点 二、二项分布与泊松分布 三、泊松分布产生的一般条件
请同学们想一想，实际生活中具有这 种特点的随机变量还有那些呢？
解:
设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ =5的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件, 求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m .
进货数
销售数
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m.
也即 P(X>m) ≤ 0.05
e 5 0.05 或 k m 1 k!
查泊松分布表得
正态分布 N ( , ) 的图形特点
2
正态分布的密度曲线是一条关于 对 称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布 N ( , ) 的图形特点
2
决定了图形的中心位置， 决定了图形
中峰的陡峭程度.
能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
从直方图，我们可以初步看出，年降 雨量近似服从正态分布.
下面是我们用某大学男大学生的身高 的数据画出的频率直方图.
红线是拟 合的正态 密度曲线
可见，某大学男大学生的身高 应服从正态分布.
人的身高高低不等，但中等身材的占大 多数，特高和特矮的只是少数，而且较 高和较矮的人数大致相近，这从一个方 面反映了服从正态分布的随机变量的特 点.
5 k
e 5 0.032, k 10 k!
于是得 m+1=10,
5 k
e 5 0.068 k! k 9
m=9件
5 k
这一讲，我们介绍了泊松分布 n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近 似地服从泊松分布. 我们给出了泊松分布产生的一般条件 泊松分布在管理科学、运筹学以及自然 科学的某些问题中都占有重要的地位 .
泊松分布
2.2.19 泊松分布的图形及最值泊松分布同二项分布一样，首先是单调增加，然后再单调递减．所以，泊松分布P(λ)的最值情况如下：(1)若λ是整数，则泊松分布在X=λ-1和X=λ处概率值最大；(2)若λ不为整数，则存在整数m有λ-1< span="">，此时泊松分布在X=m 处的概率最大．注，这些最值的推导分析如同二项分布的分析，即通过比值P{X=k}/P{X=k-1}来推导．2.2.20 服从泊松分布的例子泊松分布是重要的离散型分布，它在实际中有着广泛的应用．泊松分布的应用重要集中在三个领域．1.社会生活对某服务的需求．如(1)电话交换台在一段时间内的呼叫次数；(2)公共汽车站在一段时间内的乘客数；(3)某餐厅在一段时间内等待就餐的顾客数；(4)某售票窗口接待的顾客数；(5)某医院每天前来就诊的病人数；(6)某地区某癌症的发病人数；⋯⋯2.物理学和生物学领域．如(1)放射性物质的放射粒子落在某区域的质点数；(2)显微镜下某区域中的血球数目；(3)显微镜下某区域中的细菌数目；(4)数字通讯中传输数字时发生误码的个数；(5)一段时间内某放射性物质发射出的粒子数；(6)一段时间内某容器内部的细菌数；⋯⋯3.大量试验中稀有事件出现的次数．(1)一页中印刷错误出现的次数；(2)大量螺钉中不合格品出现的个数；(3)三胞胎出生的次数；(4)某路口在一段时间内发生事故的次数；(5)某机器在一段时间内出现故障的次数；(6)某城市在一段时间内出现火灾（或地震）的次数；(7)一纺锭在一段时间内发生断头的次数；(8)特大洪水发生的年数；⋯⋯注稀有事件是指在试验中出现的概率很小的事件，也称小概率事件．如，火山爆发、地震、彩票中大奖等等．2.2.24 泊松分布(3)－例7例2.2-7 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数λ=0.8的泊松分布，求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．解由概率的性质及泊松分布的定义，得P{X≥3}=1-P{X<3}=1-P{X=0}-P{X=1}-P{X=2}=1-e-0.8(0.800!+0.811!+0.822!)≈0.0474．■2.2.25 泊松分布(4)－例8例2.2-8 某公司生产一种产品300件，根据历史生产记录知废品率为0.01，问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?解把每件产品的检验看作一次伯努利试验，它有两个结果：A={正品}，A¯={废品}，检验300件产品就是作300次独立的伯努利试验．用X表示检验出的废品数，则X∼b(300,0.01)，从而问题变为计算P{X>5}．由于n>100，np=3<10，故泊松分布可以很好地近似计算二项分布．记λ=np=3，于是得P{X>5}=∑k=6300b(k;300,0.01)=1-∑k=05b(k;300,0.01)≈1-∑k=053\spacekk!e\space-3．查泊松分布表，得P{X>5}≈1-0.916082=0.08．■。
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由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
2019-10-7
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9
三、泊松分布产生的一般条件 在自然界和人们的现实生活中,经常要遇 到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机 时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机 事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性， 则称该事件流为泊松事件流（泊松流）.
square in which you live will receive
no hits if the total area is hit by 400
bombs? 2019-10-7
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6
2019-10-7
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7
• 用 X 表示落入该小区内的炸弹数，则
• X~B(400,1/100) n=400, p=1/100 • 因此 P(X=0)=(99/100)^400 • 用Poisson分布近似计算。。 • X近似服从参数为 4 =np=400*1/100的Poisson
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4
2019-10-7
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5
• Example In his book, Feller discusses the statistics of flying bomb hits in the south of London during the Second World War.
在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
2019-10-7
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3
泊松定理： 设 是一个正整数，
，则有
由此可知 设随机变量Xn~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则
P{X k} k e ,k!k 0,1,2,...
2019-10-7
我们给出了泊松分布产生的一般条件
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然 科学的某些问题中都占有重要的地位 .
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2019-10-7
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• Assume that you live in a district of
size 10 blocks by 10 blocks so that
the total district is divided into 100
small squares. How likely is it that the
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例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数； 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; …
都可以看作泊松流.
2019-10-7
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对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 t 的 泊松分布 . 称为泊松流的强度.
一、泊松分布的定义及图形特点
设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
其中 >0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作X~P( ).
2019-10-7
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1
泊松分布的图形特点：X~P( )
2019-10-7
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2
二、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .
分布 • 即 X~P(4) • 因此 P(X=0)=exp(-4)
• P(X=0)=(99/100)^400 • 可以计算(99/100)^400= 0.01795055328
• exp(-4)= 0.01831563889
2019-10-7
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我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
2019-10-7
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例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去 的销售记录知道，某种商品每月的销售数可 以用参数λ =5的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底 至少应进某种商品多少件？
解: 设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ =5的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件,
下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.
2019-10-7
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平稳性:
在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.
无后效性: 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相 互独立的. 普通性:
如果时间区间充分小，事件出现两次或 两次以上的概率可忽略不计.
2019-10-7
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m .
销售数
进货数
2019-10-7
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求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m. 也即 P(X>m) ≤ 0.05
或 查泊松分布表得
于是得 m+1=10, m=9件
2019-10-7
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这一讲，我们介绍了泊松分布 n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近 似地服从泊松分布.