变量与函数 (2)

下图是某港口的一天从0时至24时的水深情况示意图
h/m
10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
t/时
由图可知变量
h
是变量
t
的函数 ,
t
是自变量，
自变量t的取值范围是从 0 时至 24 时 即 .
0≤t ≤24
知识驿站
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量， （假定为x和y），对于x的每一个确实的值，y都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量, y是因变量,y是x的函数． (1)两个变量； (2)两个变量之间有对应关系． (3)取定x的每一个值，y都有唯一的值与x对应. 对于函数y = 2 x ,取定x=3,y都有唯一的值6与x=3对应， 此时我们把6叫做当自变量的值为3时的函数值．一般地， 如果当x=a时,y=b,则b叫做当自变量为a时的函数值。
创设情景 1、为了刻画事物变化规律，数 函数 学上常用＿＿＿表示． 2、函数关系的三种表示方法： 图象法、列表法、解析法
合作探究: （1）涂格子:填写如图所示的加法表， 然后把所有填有10的格子涂黑，看看你 能发现什么?
y 10 x
合作探究: （2）试写出等腰三角形中顶角的度数 y与底角的度数x之间的函数关系式．
自我挑战
1、判断下列问题中的变量y是不是x的函数？
（1）在 y = 2x 中的y与x； 是 （2）在 y = x 中的y与x； 是
2
（3）在 y = x 中的y与x； 不是
2
(5)如图，是体检时的心电图，其中横坐 标x表示时间，纵坐标y表示心脏某部位 的生物电流，它们是两个变量，其中y是 x的函数吗？
x, 求:
x 的函数解析式;
(2) 腰长AB=3时,底边的长.
(3) 自变量的取值范围;
1.求函数自变量取值范围的两个依据： (1)要使函数的关系式有意义． ①函数的关系式是整式时，自变量可取全体实数； ②函数的关系式分母中含有字母时，自变量的取 值应使分母≠0； ③函数的关系式是二次根式时，自变量的取值应 使被开方数≥0． (2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有 意义． 2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数 解析式中，即可求出相应的函数值。
探索研究 １、小明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的总数x（本） y=2x 与总金额y（元）的关系式，可以表示为________； 请同学们根据题意填写下表 x（本）
1
2
4
3
6
4
8
5
10
y（元） 2
c 2r ２、圆的周长C与半径r的关系式________________；
请同学们根据题意填写下表
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L
求出下列函数中自变量的取值范围
（1）y=2x 解: 自变量 x 的取值范围:x为任何实数
（2） m
n 1
∴自变量 n 的取值范围: n≥1
3 x2
解: 由n-1≥0得n≥1
（3） y
解:由x+2 ≠ 0得 x≠－2
∴自变量 n 的取值范围: x≠－2
半径 r
圆周长c
2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
探索研究 s=(n-2) ×1800 3、n边形的内角和S与边数n的关系式______________; 请同学们根据题意填写下表 边数n
3
1800
4
3600
5
5400
6
7200
﹍
内角和s
4、等腰三角形的顶角为x度，那么底角y的度数用含x的式子表 180 x y 示为 ______________. 2 请同学们根据题意填写下表 300 400 500 600 顶角x ﹍ 底角y 750 700 650 600
1.某市民用电费标准为每度0.50元，求 电费y（元）关于用电度数x的函数关系式； 2.已知等腰三角形的面积为20cm2 ，设 它的底边长为x（cm），求底边上的高y （cm）关于x的函数关系式； 3.在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪 去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个 圆环.设圆环的面积为S（cm2），求S关于r 的函数关系式.
1.求下列函数中自变量x的取值范围
（1）y=
3 （3）y= 4 x 8
教你一招：
5x 7 2
（2）y=x2-x-2
（4）y= x 3
我， 我…
函数自变量的取值范围必须满足的条件 1、使分母不为零
2、使二次根式中被开方式非负
3、使实际有意义
2.分别写出下列各问题中的函数关 系式及自变量的取值范围：
x，y ，自变量是 x ， y 是 x 的函数。
5、如图等腰三角形ABC的周长为30设底边为x腰长为y
（1）写出用x表示y的表达式。 （2）y是x的函数吗？如果是指出自变量的取值范围？ 解： （1）y与x的函数关系式为：
A
y=15-
x
（2）自变量的取值范围是0＜x＜15
B
C
练习
1. 如图,用长35米的篱笆围成一个长方 形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18米),另 三边用篱笆围成.设养鸡场AB为x米,面积为y 平方米. ⑴ 求y与x函数关系;
1（武汉中考）函数y= 中自变量x的取值范围 是 X≥1 ；当x=3时，函数值y= ； 2、在男子1500米赛跑中，运动员的平均速度y= 则这个关系式中是 x 自变量， y 是函数； 3、已知2x-3y=1，若把y 看成x的函数，则可以表示 为 ； ，
4．小张准备将平时的零用钱节约一些储存起 来．他已存有50元，从现在起每个月节存12 元．设x个月后小张的存款数为y,试写出小张 的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关 系式 y=50+12x，其中常量是 50，12，变量是
3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时 间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给 出：s=10t+2t2.假如滑到坡底的时间为8 秒，试问坡长为多少？
我, 我 … …
课堂小结：
• 内容总结
函 数
｛
函数解析式的建立
自变量取值范围
函数值的求法
• 方法归纳
1、 函数解析式-------列代数式,建立等式
2、自变量取值范围-------构建不等式（组）
A B
墙
D C
⑵ 求x的取值范围;
⑶ 当养鸡场宽为多少时,面积等于150平 方米.
复习回顾:
• 1.函数概念包含： (1)两个变量； (2)两个变量之间的对应关系． • 2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量， 叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常 量．如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一 的值与之对应，我们说x是自变量，y是因变 量． • 3.函数关系三种表示方法： (1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．
h （4）
1 k k 1
k≤1且k ≠－1
解:自变量的取值范围是:
输入x
如图是函数显示器，写出用x 表示y的表达式并指出自变量 的取值范围
y=
x
输出结果y
x
x≥0
1.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的 自变量与函数。 （1）正方形的面积S 随边长 x 的变化
S=x2
6
（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均耕 地面积y随着人数x的变化而变化
y 10 x (xห้องสมุดไป่ตู้1到9的自然数)
y= 180 – 2x (0＜X＜90)
1 2 y x （0≤X≤10） 2
１ 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1） y＝3x－1；
（3） y=
1 ； x2
（2） y＝2x2＋7；
（4） y＝ x 2 ．
（1）（2）中x取任意实数，两式都有意义 . 解： （3）中，x≠－2时，原式有意义．
（1）写出表示y与x的函数关系的式子。 （2）指出自变量x的取值范围 （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？ 解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x (2) 由x≥0及50－0.1x ≥0 得 0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 500
(3)当 x = 200时,函数 y 的值为:y=50－0.1×200=30
（4）中x≥2时，原式有意义．
２ 在上面“合作探究”的问题（3）中， 当 MA ＝ 1 cm时 ， 重 叠 部 分 的 面 积 是 多 少?
解 ：设重叠部分面积为y cm2，MA长为x cm y与x之间的函数关系式为 1 2 y= 2 x 1 2 1 当x＝1时，y= 1 2 2
1 2 MA＝1 cm时，重叠部分的面积是 cm 2
× 2 =
x y
1 3
2 5
3 7
0 1
-1 -1
所按的第三、四两个键是哪两个键？ +，1 y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式 （用含x的式子表示y ）y是x的函数 y=2x+1
例1 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果 不再加油，那么油箱中的余油量y（单位：L） 随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平 均耗油量为0.1L/km。
做一做
瓶子或罐头盒等圆柱形的物体， 常常如图摆放。想一想：
（1）不断的摆下去，你知道有哪些变量？
（2）如果层数为n，物体的个数为s，你能写出s与n的函 数关系式吗？自变量n的取值范围是怎样？
（3）分别求出当n=6，7，10时， s的函数值。
等腰三角形ABC的周长为10, 底边BC长 为 y , 腰AB长为 (1) y 关于
变量与函数 (2)
目标
1. 认识变量中的自变量，函数与 函数值，能确定简单函数中自变 量的取值范围； 2. 经历探索函数的概念，体会变 化与对应的基本思想;
3. 通过探索变化中的规律,能感受 到数学美的倩影.
小试身手
1、完成下列问题，并指出其中的变量与常量。
①小明到商店买练习簿，每本单价2元，购 买的总数x（本）与总金额y（元）的关 y=2x 系式，可以表示为_____________； ②圆的周长C与半径r的关系式 c 2r ________________； ③n边形的内角和S与边数n的关系式 s=(n-2) ×1800 ______________; ④等腰三角形的顶角为x度，那么底角y的 度数用含x的式子表示为 180 x y 2 ______________.
y= 180 – 2x
合作探究:
（3）如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方 形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线 上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动， 最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2 与MA长度x cm之间的函数关系式．
1 2 y x 2
在上面“合作探究”的问题中，出 现的各个函数的自变量的取值有限制吗？ 如果有，分别写出它的取值范围。
y 10 x
合作探究:
（3）如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方 形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线 上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动， 最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2 与MA长度x cm之间的函数关系式．
18和－18 32和－32
（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之 对应吗？答： 不是 。 （2）y是x的函数吗？为什么？
答：不是，因为y的值不是唯一的。
A
y=2x+15 X≥1且为整数
x ≠ －1
解:∵花盆图案形如三角形,每边花有n个,总共有3n个, 其中重复了算3个。 ∴ s 与 n 的函数关系式为: s = 3n－3 (n>1的整数）
10 y x
(3)长方形的周长是18
,它的长是m，宽是n
；
m=9-n
2.下列各曲线中不表示 y 是 x 的函数的是(
4
)
3.下列关系中，y不是x函数的是（
D
）
x A. y 2
B. y x
2
C. y x D. y x
3.填表并回答问题： x
1 4 8和－8 9 16
y=±2x 2和－2
y
x
是
想一想
在计算器上按下列程序进行操作：
输入x（任意一个数） 按键
× 2 ＋ 5 =
显示y（计算结果）
填表
x y
1 7
3 11
-4 -3
0 5
101 207
显示的数y是x的函数吗？为什么？
考考你 在计算器上按下列程序进行操作： 输入x（任意一个数） 按键 显示y（计算结果） 下表中的x和y是输入的5个数与相应的计算结果
3、求函数值-------求代数式的值
实践探索 在“合作探究”（3）中，A点与N点重合后， 继续向右在MN的延长线上运动，试写出重 叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数 关系式．并写出自变量的取值范围。
合作探究: （1）涂格子:填写如图所示的加法表， 然后把所有填有10的格子涂黑，看看你 能发现什么?