2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
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两条直线垂直的判定与应用
判断两条直线是否垂直的两种方法 1.利用直线的斜率判断: (1)在两条直线斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可; (2)一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. 2.利用直线的方向向量判断: 设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m⇔n·m=0.
∴x0=
1 2
,∴A
1 2
,0
.
解法二:Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),设A(x0,0),
依题意得,
PA
=(x0,-1),
PQ'
=(2,-4),由两向量共线得-4x0+2=0,解得x0=
1 2
,
∴A
1 2
,0
.
答案
(1)
29 4
,
35 4
(2)
1 2
,0
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
解析 (1)解法一:设点D的坐标为(m,n).由题意知,AB∥CD,AD∥BC. 由两直线平行的条件知 kAB=kCD,kAD=kBC,
51
4 13
3
4 5
∴
4 51
Fra Baidu bibliotek
4 -n
-19 -n 4 ,
11 -m 4 -19 3
化简,得
n-3m m n
-m,-19 4
-n
,
因此 1-41149-m-n--9222,7 ,
解得m
n
29 , 4 35 . 4
∴点D的坐标为
29 4
,
35
4.
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
(2)解法一:Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),设A(x0,0),
1 1-(-3)
由题意得,P,A,Q'三点共线,∴由斜率相等得- x0 = 0-2 ,
解析 (1)直线l1的斜率k1= 8-1 = 7 ,直线l2的斜率k2= 2-(-2) = 4 ,
4-0 4
2-(-5) 7
∵k1k2=1≠-1,
∴l1与l2不垂直.
(2)∵a=(2,2),∴l2的斜率k2=1,
又k1=-1,∴k1k2=-1,∴l1⊥l2.
(3)解法一:l1经过点A(1,4),B(1,1),因此直线l1垂直于x轴;
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
判断下列各题中直线l1与l2是否垂直. (1)l1经过点A(0,1),B(4,8),l2经过点M(-5,-2),N(2,2); (2)l1的斜率k1为-1,l2的方向向量为a=(2,2); (3)l1经过点A(1,4),B(1,1),l2经过点M(-1,4),N(1,4).
-13, 16,
4 13
4
-m
4 11
4 5
,
44
解得
m n
29 , 4 35 . 4
∴点D的坐标为
29 4
,
35 4
.
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
解法二:设点D的坐标为(m,n).由题意知, AB = DC .
依题意得,
AB
=
-
9 2
,-
27 2
,
DC
=
11 4
l2经过点M(-1,4),N(1,4),因此直线l2平行于x轴,
∴l1⊥l2.
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
解法二:直线l1经过点A(1,4),B(1,1),所以其方向向量为 AB =(0,-3). 直线l2经过点M(-1,4),N(1,4),所以其方向向量为MN =(2,0). 因为 AB ·MN =(0,-3)·(2,0)=0,所以AB ⊥MN ,即l1⊥l2.
ll12的的斜斜率率不为存0 在,⇒ ④ l1⊥l2
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” 。 1.如果两条直线平行,那么这两条直线的斜率一定相等. ( ✕ ) 提示:两条直线平行,则这两条直线的斜率可能都不存在. 2.如果两条直线平行,那么这两条直线的方向向量一定相等. ( ✕ ) 提示:两条直线平行,则这两条直线的方向向量只要共线即可. 3.如果两条直线平行,那么这两条直线的倾斜角一定相等.( √ ) 提示:两条直线平行,则这两条直线的倾斜角一定相等. 4.已知直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β,若l1⊥l2,则α-β=90°. ( ✕ ) 提示:由l1⊥l2,得α-β=±90°. 5.l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是:两条直线的斜率都存在,且这两条直线不重合. ( √ ) 提示:l1∥l2⇒k1=k2或k1与k2都不存在;k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合.
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
两条直线平行的判定与应用
判断两条不重合的直线是否平行的两种方法 1.利用直线的斜率判断,其方法步骤是:
2.利用直线的方向向量判断:求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,进而判断两 直线是否平行.
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
两条直线(不重合)平行的判定
类型 图示
斜率存在
斜率不存在
对应关系
l1∥l2⇔ ① k1=k2
两直线斜率都不存在⇒ ② l1∥l2
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
两条直线垂直的判定
类型
斜率都存在
有直线斜率不存在
图示 对应关系
l1⊥l2⇔ ③ k1k2=-1
13 4
,
51 4
、B
-
5 4
,-
3 4
、C
11 ,- 19 44
,则点
D的坐标为
.
(2)若一束光线从点P(0,1)出发,射到x轴上的A点后被反射,反射光线过点Q(2,3),则点A的坐
标为
.
思路点拨 (1)思路一:设出点D的坐标,根据AB∥CD,AD∥BC,利用斜率相等列出方程组求解. 思路二:设出点D的坐标,根据 AB = DC ,利用方向向量列出方程组求解. (2)思路一:设出点A的坐标,找出Q点关于x轴的对称点Q',利用Q'、A、P三点共线列方程求 解. 思路二:设出点A的坐标,找出点Q关于x轴的对称点Q',求 PA, PQ',利用两向量共线列方程求 解.
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 选择性必修第一册 人教A版
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. 3.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题,理解用代数法解决几何问题.
判断两条直线是否垂直的两种方法 1.利用直线的斜率判断: (1)在两条直线斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可; (2)一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. 2.利用直线的方向向量判断: 设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m⇔n·m=0.
∴x0=
1 2
,∴A
1 2
,0
.
解法二:Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),设A(x0,0),
依题意得,
PA
=(x0,-1),
PQ'
=(2,-4),由两向量共线得-4x0+2=0,解得x0=
1 2
,
∴A
1 2
,0
.
答案
(1)
29 4
,
35 4
(2)
1 2
,0
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
解析 (1)解法一:设点D的坐标为(m,n).由题意知,AB∥CD,AD∥BC. 由两直线平行的条件知 kAB=kCD,kAD=kBC,
51
4 13
3
4 5
∴
4 51
Fra Baidu bibliotek
4 -n
-19 -n 4 ,
11 -m 4 -19 3
化简,得
n-3m m n
-m,-19 4
-n
,
因此 1-41149-m-n--9222,7 ,
解得m
n
29 , 4 35 . 4
∴点D的坐标为
29 4
,
35
4.
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
(2)解法一:Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),设A(x0,0),
1 1-(-3)
由题意得,P,A,Q'三点共线,∴由斜率相等得- x0 = 0-2 ,
解析 (1)直线l1的斜率k1= 8-1 = 7 ,直线l2的斜率k2= 2-(-2) = 4 ,
4-0 4
2-(-5) 7
∵k1k2=1≠-1,
∴l1与l2不垂直.
(2)∵a=(2,2),∴l2的斜率k2=1,
又k1=-1,∴k1k2=-1,∴l1⊥l2.
(3)解法一:l1经过点A(1,4),B(1,1),因此直线l1垂直于x轴;
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
判断下列各题中直线l1与l2是否垂直. (1)l1经过点A(0,1),B(4,8),l2经过点M(-5,-2),N(2,2); (2)l1的斜率k1为-1,l2的方向向量为a=(2,2); (3)l1经过点A(1,4),B(1,1),l2经过点M(-1,4),N(1,4).
-13, 16,
4 13
4
-m
4 11
4 5
,
44
解得
m n
29 , 4 35 . 4
∴点D的坐标为
29 4
,
35 4
.
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
解法二:设点D的坐标为(m,n).由题意知, AB = DC .
依题意得,
AB
=
-
9 2
,-
27 2
,
DC
=
11 4
l2经过点M(-1,4),N(1,4),因此直线l2平行于x轴,
∴l1⊥l2.
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
解法二:直线l1经过点A(1,4),B(1,1),所以其方向向量为 AB =(0,-3). 直线l2经过点M(-1,4),N(1,4),所以其方向向量为MN =(2,0). 因为 AB ·MN =(0,-3)·(2,0)=0,所以AB ⊥MN ,即l1⊥l2.
ll12的的斜斜率率不为存0 在,⇒ ④ l1⊥l2
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” 。 1.如果两条直线平行,那么这两条直线的斜率一定相等. ( ✕ ) 提示:两条直线平行,则这两条直线的斜率可能都不存在. 2.如果两条直线平行,那么这两条直线的方向向量一定相等. ( ✕ ) 提示:两条直线平行,则这两条直线的方向向量只要共线即可. 3.如果两条直线平行,那么这两条直线的倾斜角一定相等.( √ ) 提示:两条直线平行,则这两条直线的倾斜角一定相等. 4.已知直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β,若l1⊥l2,则α-β=90°. ( ✕ ) 提示:由l1⊥l2,得α-β=±90°. 5.l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是:两条直线的斜率都存在,且这两条直线不重合. ( √ ) 提示:l1∥l2⇒k1=k2或k1与k2都不存在;k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合.
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
两条直线平行的判定与应用
判断两条不重合的直线是否平行的两种方法 1.利用直线的斜率判断,其方法步骤是:
2.利用直线的方向向量判断:求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,进而判断两 直线是否平行.
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
两条直线(不重合)平行的判定
类型 图示
斜率存在
斜率不存在
对应关系
l1∥l2⇔ ① k1=k2
两直线斜率都不存在⇒ ② l1∥l2
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
两条直线垂直的判定
类型
斜率都存在
有直线斜率不存在
图示 对应关系
l1⊥l2⇔ ③ k1k2=-1
13 4
,
51 4
、B
-
5 4
,-
3 4
、C
11 ,- 19 44
,则点
D的坐标为
.
(2)若一束光线从点P(0,1)出发,射到x轴上的A点后被反射,反射光线过点Q(2,3),则点A的坐
标为
.
思路点拨 (1)思路一:设出点D的坐标,根据AB∥CD,AD∥BC,利用斜率相等列出方程组求解. 思路二:设出点D的坐标,根据 AB = DC ,利用方向向量列出方程组求解. (2)思路一:设出点A的坐标,找出Q点关于x轴的对称点Q',利用Q'、A、P三点共线列方程求 解. 思路二:设出点A的坐标,找出点Q关于x轴的对称点Q',求 PA, PQ',利用两向量共线列方程求 解.
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 选择性必修第一册 人教A版
第1讲 描述运动第的二基章本概直念线和圆的方程
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. 3.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题,理解用代数法解决几何问题.