机械波 波动方程

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波动方程与解法

波动方程与解法

波动方程与解法波动方程是描述波动现象的一种数学模型,广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将介绍波动方程的基本概念和常见的解法。

一、波动方程的基本概念波动方程是一种偏微分方程,描述了波动过程中的空间和时间变化。

一维波动方程可表示为:∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中,u表示波函数,t表示时间,x表示空间位置,v表示波速。

二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是一种常见的解波动方程的方法。

它基于假设波函数u可以被表示为时间因子T(t)和空间因子X(x)的乘积形式:u(x, t) = X(x)T(t)将波动方程代入上式后,将方程两边的变量分离,得到两个常微分方程,分别是关于时间的方程和关于空间的方程。

通过求解这两个方程,可以得到波函数的具体形式。

2. 超级位置法超级位置法是另一种常用的解波动方程的方法。

它基于假设波函数u可以表示为两个函数之和的形式:u(x, t) = φ(x - vt) + ψ(x + vt)其中,φ和ψ是任意两个函数。

这种波函数形式常用于描述传播方向相反的两个波包或两个波的干涉。

3. 叠加原理叠加原理是波动方程解法中的重要原理。

根据叠加原理,可将多个波动方程的解叠加在一起,得到新的波函数。

利用叠加原理,可以描述出复杂的波动现象,如波的干涉和衍射。

三、波动方程的应用波动方程在物理学和工程学中有广泛的应用。

以下是几个例子:1. 机械波方程机械波的传播可以通过波动方程进行描述。

例如,弦上传播的横波和纵波可以用波动方程解析求解,从而了解波的传播速度和波形。

2. 电磁波方程电磁波的传播和干涉也可以通过波动方程进行描述。

例如,光的传播可以使用电磁波方程进行解析求解,从而了解光的折射、反射和衍射等现象。

3. 地震波方程地震波在地球内部的传播可以通过波动方程进行建模。

利用波动方程可以分析地震波的传播路径、速度和震级等特征,对地震进行研究和预测具有重要意义。

6.1 平面简谐波的波动方程

6.1 平面简谐波的波动方程
杨 鑫
λ
6.1 平面简谐波的波动方程
第6章 机械波
32
2.周期 2.周期
T
一定的振动 位相向前传 播一个波长 所需的时间
纵 波 质点振动方向与 波的传播方向 相互平行的波
6.1 平面简谐波的波动方程
第6章 机械波
30
3.机械波在传播过程中的物理本质 3.机械波在传播过程中的物理本质
波的传播过 程是振动状 态 位相)的 传 (位相) 播 过 程
作者 杨 鑫
沿着 波的 传播 方向
后一质元的 后一质元的 振动总要重 振动总要重 复相邻前一 质元的振动 质元的振动
2.周期 2.周期
T
波的周期
ν
所包含的波长数目
=ν波源
演示: 演示:横波
T
作者


6.1 平面简谐波的波动方程
第6章 机械波
18
4.波速 单 位 时 间 内 4.波速 某一振动状 态(位相)传 相 速 播 的 距 离
u
波速的大小取决 于介质的性质 波速与介质中质点 波速与介质中质点 的振动速度不同
杨 鑫
6.1 平面简谐波的波动方程
第6章 机械波
5
(2)合 振 幅
A x = Acos(ω t + ϕ) ϕ2 2 A ϕ2 1 ( 1 ) 合振动的频率与 ω ϕ ϕ1 x 分振动的频率相同 o
A=
二、同方向、同频率简谐振动的合成 同方向、 1. 合振动是简谐振动
A
( 3 ) 合振 动初相
作者 杨 鑫
演示: 演示:纵波
6.1 平面简谐波的波动方程
第6章 机械波
12
3. 机械波在传播过程中的物理本质

10-1波动方程

10-1波动方程

x
B = A + ω d = π + 4π 5 = 0
u 20
y B = 0.03 cos 4πt
x y ( x , t ) = 0 . 03 cos[ 4π ( t )] 20
24
(2) 以B点为原点 ,求波函数 。 点为原点O 点为原点
已知 y A = 0.03 cos(4πt π ) 5m
16
20
24
8
波的特征量: 三. 波的特征量 1. 波长(wave length)λ : 波长( )
波传播方向上相邻两振动状态完全相同( 波传播方向上相邻两振动状态完全相同(相位差为 的质点间的距离(即一完整波的长度) 2π)的质点间的距离(即一完整波的长度). 波峰 y u A
λ = uT
O A
t
x =x0
ω
u
x0 + )
2、 t 一定 t=t0, t0时刻空间各点位移分布 、 一定, ---t0时刻的波形图 y
波形图
t = t0
0
λ
x
y( x ) = A cos(ωt0
ω
u
x + )
17
1、 x 一定,x=x0点的振动方程 、 一定,
2、 t 一定 t=t0, t0时刻空间各点位移分布 、 一定,
yO = Acos(ωt +o )
沿波的传播方向, 相位依次落后, 比 点相位超前 沿波的传播方向 相位依次落后 O比P点相位超前
d = π +ω d o = P + ω u 2 u
点的振动方程写出波动方程。 再由 O点的振动方程写出波动方程 点的振动方程写出波动方程
y
A
u

机械波 波动方程

机械波 波动方程

v u
λ
x1 x2 X
∆ϕ = ϕ2 −ϕ1 = ω( t2 − t1 ) =
∆t
T

T是波在时间上的 是波在时间上的 周期性的标志
3.如x,t 均变化 如 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形 包含了不同时刻的波形
v t时刻的波形方程 时刻的波形方程 u t t +∆t y x y( x ) = Acos[ω( t − ) +ϕ0 ] u O t+∆t时刻的波形方程 时刻的波形方程 x x ∆x x y( x ) = Acos[ω( t + ∆t − ) +ϕ0 ] u t时刻 处的某个振动状态经过∆t ,传播了∆x的距离 时刻,x处的某个振动状态经过 时刻 的距离
大学物理学电子教案
机械波、 第十三章 机械波、波动方程 1313-1 机械波的基本概念 1313-2 平面简谐波的波动方程
作业: 作业:习题册 17-24
波动是振动的传播过程. 波动是振动的传播过程. 振动是激发波动的波源. 振动是激发波动的波源. 波动 机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 机械振动在弹性介质中的传播. 电磁波 交变电磁场在空间的传播. 变电磁场在空间的传播.
B
ρ
B为介质的容变弹性模量 为介质的容变弹性模量 ρ为密度
2、波的周期和频率 、波的周期和频率 波的周期:一个完整波形通过介质中某固定点所需 波的周期:一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间, 表示。 的时间,用T表示。 表示 波的频率: 波的频率:单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目, 表示。 的数目,用ν表示。 3、波长λ 、
ν
空气中的波长
340 m ⋅ s −1 = 1 .7 m λ1 = = ν1 200 Hz u1

《机械波波动方程》课件

《机械波波动方程》课件

04 机械波的应用
机械波在声学中的应用
声波传播
机械波在声学中用于描述声波的传播规律,包括声音的传播速度 、衰减和反射等。
声音合成与处理
通过控制机械波的波形和频率,可以实现声音的合成与处理,如音 频信号的调制、滤波和混响等。
声呐技术
利用机械波在介质中的传播特性,声呐技术可用于探测水下目标、 测量水深和流速等。
和计算效率。
开展跨学科的研究合作,将机 械波波动方程与流体力学、电 磁学等领域进行交叉融合,以 拓展其应用领域和研究范围。
加强机械波波动方程在各领域 的应用研究,探索其在新能源 、新材料、生物医学等领域的
应用前景。
注重人才培养和学术交流,加 强国内外学术合作与交流,推 动机械波波动方程领域的不断 发展。
通过研究机械波波动方程,可以深入理解波动现象的内在规律和机制,为 工程技术和科学研究提供重要的理论支撑。
机械波波动方程在声学、地震学、波动成像等领域有着广泛的应用,对于 这些领域的发展起着至关重要的作用。
机械波波动方程未来的研究方向和展望
深入研究机械波波动方程的求 解方法和数值模拟技术,以提 高对复杂波动现象的模拟精度

波动方程是通过将牛顿第二定律 应用于波的传播过程而建立的。 它描述了波在传播过程中,各点 的位移如何随时间变化。
波的传播过程
波在传播过程中,各点的振动状 态会以波的形式传播出去。这种 传播过程可以用波动方程来描述 。
波的叠加过程
当两个或多个波相遇时,它们会 相互叠加,产生干涉、衍射等现 象。这些现象也可以通过波动方 程来描述。
THANKS
波动方程的物理量
波动方程中的物理量
在波动方程中,通常包含位移、速度、加 速度、时间等物理量。这些物理量描述了 波在空间和时间中的传播和变化。

大学物理学教程第二(马文蔚)练习册答案6第六章 机械波

大学物理学教程第二(马文蔚)练习册答案6第六章 机械波

解:

6-8 图示为平面简谐波在t=0时刻的波形图,此简谐波 的频率为250Hz,且此图中P点的运动方向向上,求: 第 (1)此波的波动方程;(2)距原点7.5m处质点的运 六 动方程与t=0时该点的振动速度。 y/m 章 解: P点的运动方向向上
习 题 分 析
6-8
波向负方向传播
0.10 0.05 O
6-9
六 章 习 题 分 析
解:
xP 0.2 m
O 0.04
P
0.2 0.4 0.6
x/m
2 0.2 y P 0.04cos[ (t ) ]m 5 0.08 2 2 3 0.04cos[ t ] m 5 2 2 x y 0.04cos[ (t ) ]m 5 0.08 2
第 六 章 习 题 分 析
6-7
y15 A cos 100 t 15 cm 2
y5 A cos 100 t 5 cm 2
解:
15 15.5
5 5.5
2 2 波源振动方程: y0 A cos t cm 2 T 2 x 波动方程:
6-11
6-11 平面简谐波的波动方程为:
第 六 章 习 题 分 析
求:(1)t=2.1s时波源及距波源0.10m两处的相位;(2)离 波源0.80m及0.30m两处的相位差。 解:(1)
y 0.08cos 4 t 2 x (SI 制)
t 2.1s, x 0处, 4 2.1 8.4
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[ 2 π ( ) ] u T
) 14-3 已知一波动方程为 y 0.05sin(10 t 2 x)(SI , (1)求波长、频率、波速和周期; (2)说明 x 0 第 六 时方程的意义,并作图表示。

大学物理学5.2 机械波的波动方程

大学物理学5.2  机械波的波动方程
数目。
2、波动方程的物理意义
T
(1)、如果给定x,即x=x0 则y=y(t) 为x0处质点的振动方程
t T
x0处质点的振动初相为
为x0处质点落后于原点的位相
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2 是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差
(2)、如果给定t,即t=t0 则y=y(x) Y
O点振动状态传到p点需用
t 时刻p处质点的ຫໍສະໝຸດ 动状态重复tx u时刻O处质点的振动状态
p点的振动方程:
沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程 沿着波传播方向,各质点的振动依次落后于波源振动
为p点的振动落后与原点振动的时间
沿x轴负向传播的 平面简谐波的波动方程
若波源(原点)振动初位相不为零 或
波矢,表示在2 长度内所具有的完整波的
在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段 距离x—行波
例 一平面简谐波t=0时的波形图所示,波速为u=0.05ms-1,
求:(1)波源的振动方程;(2)波动方程;(3)P点的振
动方程.
y/m
u
解 (1)设波源的振动方程为 0.02
y A cos(t )
o 0.5 P
0.8
x/m
由图知,波长为 0.8m
T 0.8 80 m s1
u 0.05 5
2
T8
t 0 y0
2
v0 0
y

0.02

cos(
t


)(m)
82
(2)波动方程为
y


0.02 cos[(
(t

x

《机械波波动方程》课件

《机械波波动方程》课件

3
解多维波动方程的方法
解多维波动方程可以使用分离变量法和叠加原理等方法。
应用实例
机械波在弦上的传播
弦上的波动现象在音乐乐器和工 程结构设计等领域具有广泛的应 用。
声波在介质中的传播
声波的传播过程在声学及通信行 业等领域中发挥着重要作用。
电磁波在空气中的传播
电磁波的传播现象涉及到无线通 信、天文学等领域的研究和应用。
波动方程的概念
什么是波动方程
波动方程是描述波动现象的数 学表达式。
波动方程的类型
常见的波动方程包括一维和多 维波动方程。
波动方程的解法
解波动方程常用的方法有分离 变量法、叠加原理等。
一维波动方程
1 一维波动方程的表达式
一维波动方程可表示为∂²u/∂t² = v²(∂²u/∂x²)
2 一维波动方程的特征
一维波动方程描述了波在单一方向上的传播。
3 解一维波动方程的方法
解一维波动方程可以使用波函数分离变量法和叠加原理等方法。
多维波动方程
1
多维波动方程的表达式
多维波动方程可表示为∂²u/∂t² = v²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)
2
多维波动方程的特征
多维波动方程描述了波在空间中的传播,在多个方向上具有振动。
总结
机械波波动方程的应用
机械波波动方程的理论与实践应用对科学研究和技 术发展具有重要意义。
未来发展及展望
随着科技的进步,机械波波动方程的研究将在更广 泛的领域及• 文献2 • 文献3
《机械波波动方程》PPT 课件
本课件将介绍机械波波动方程的基本概念、一维和多维波动方程的应用,以 及相关实例和未来发展展望。

波动方程与机械波的传播特性

波动方程与机械波的传播特性

波动方程与机械波的传播特性波动方程是描述波动现象的数学模型,它在物理学、工程学和应用数学等领域中有着广泛的应用。

机械波是一种通过介质传播的波动现象,它具有一些特殊的传播特性。

本文将探讨波动方程与机械波的传播特性,从数学和物理两个角度进行分析。

波动方程是描述波动现象的偏微分方程,它可以用来描述机械波的传播过程。

一维波动方程可以写成:∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中,u是波函数,t是时间,x是空间坐标,v是波速。

这个方程表明,波函数的二阶时间导数与波函数的二阶空间导数之间存在一定的关系。

这种关系决定了波动的传播特性。

首先,我们来讨论波速对波动传播的影响。

根据波动方程,波速v的大小决定了波动的传播速度。

当波速较大时,波动传播得更快;当波速较小时,波动传播得更慢。

这是因为波速的大小与介质的性质有关。

在同一介质中,波速与介质的弹性系数和密度有关。

弹性系数越大,波速越大;密度越大,波速越小。

因此,波动的传播速度受到介质性质的制约。

其次,我们来讨论波动的幅度和频率对波动传播的影响。

波动的幅度决定了波动的能量大小,而频率决定了波动的周期性。

当波动的幅度较大时,波动传播得更远;当频率较高时,波动传播得更快。

这是因为波动的幅度与能量传播的强度有关,而频率与波动的周期性有关。

在同一介质中,波动的幅度和频率越大,波动传播的距离和速度就越大。

此外,波动的传播还受到介质的衰减和散射的影响。

介质的衰减是指波动在传播过程中能量逐渐减弱的现象,它与介质的吸收和散射有关。

当介质的吸收和散射较小时,波动传播得更远;当介质的吸收和散射较大时,波动传播得更近。

这是因为介质的吸收和散射会使波动的能量逐渐减弱,从而影响波动的传播距离。

最后,我们来讨论波动的衍射和干涉现象。

衍射是指波动在遇到障碍物或孔径时产生弯曲的现象,它使波动传播到原本无法到达的区域。

干涉是指两个或多个波动相遇并叠加产生新的波动的现象,它使波动的幅度和能量发生变化。

波长和波速的公式

波长和波速的公式

波长和波速的公式首先,我们先从波动方程的角度来推导波长和波速的关系。

波动方程是描述波动传播的数学方程,对于机械波来说,波动方程可以写成:y(x,t) = A sin(kx - ωt + φ)其中,y(x,t)表示波动的物理量(比如位移)关于时间t和位置x的函数;A表示振幅;k表示波数,它与波长的关系可以表示为k=2π/λ;ω表示角频率,它与频率的关系可以表示为ω=2πf;φ表示相位差。

我们可以看到,波动位移 y 在 kx-ωt 的项中是周期性变化的,其中 kx 表示的是传播方向上的相位,ωt 表示的是时间上的相位。

当波动传播了一个波长λ 后,在位置 x 上的相位差就会增加2π,即 kx 增加了2π。

在同样的时间 t 内,波动的相位差是随着时间变化的,频率f 表示的就是单位时间内增加的相位差(即ω = 2πf)。

将以上理解应用到波动方程中,当波动传播了一个波长λ时,在位置x上的相位差增加了2π,根据波动方程,我们可以得到:2π=kλ进一步化简,可得:k=2π/λ这就是波数与波长的关系式。

根据波动方程,对于机械波,传播的速度v等于角频率ω与波数k 之间的比值,即:v=ω/k将ω=2πf和k=2π/λ代入上式v=(2πf)/(2π/λ)=λf这就是波速v与波长λ和频率f的关系式,即公式v=λf。

另外,我们还可以从相位速度的角度来推导波长和波速的关系。

相位速度(v_p)是波动的相位在传播方向上的速度,用数学表达式来表示,可以写成v_p=ω/k。

将ω=2πf和k=2π/λ代入,得到:v_p=(2πf)/(2π/λ)=λf这就是相位速度v_p与波长λ和频率f的关系式。

对于简谐波,波速等于相位速度,即v=v_p。

所以我们可以得出结论,波速v等于波长λ乘以频率f,即公式v=λf。

总结起来,波长和波速的公式可以推导为v=λf。

这个公式在描述波动传播过程中,可以用来计算波速、波长和频率之间的关系,提供了对波动现象的定量描述,是理解波动传播的重要工具。

大学物理波动方程波动能量

大学物理波动方程波动能量

• 不同波长、相同振幅 反向波的叠加 不同波长、
ch6
4.平均能流密度 平均能流密度 质元不断从前一质元接收能量, 质元不断从前一质元接收能量,又向后一质元传 递能量 ⇒ 波动是一种能量传递方式 ⇒ 能量流 平均能流密度:单位时间内通过垂直于波线方向的 平均能流密度: 单位面积的平均能量
1 I = w u = ρ ω 2 A2 u 2
单位: 单位:W/m2
ch6Βιβλιοθήκη §6-5 驻波一、驻波的形成和特点
1.驻波的形成 驻波的形成 • 相干波:频率相同、振动方向相同、有固定相 相干波:频率相同、振动方向相同、 位差的两个波源所发出的简谐波 • 干涉:在两相干波交叠处,有些地方波加强而 干涉:在两相干波交叠处, 有些地方波减弱的现象 •两列振幅相同、传播方向相反的相干波的叠加 两列振幅相同 传播方向相反的相干波的叠加 两列振幅相同、 y2 = Acos(ω t + kx) y1 = Acos(ω t − kx)
波腹与波节间距 λ/4 • 相位分布 同一段内各质元相位相同 每一波节两侧的质元相位相反
4
处不振动, 处不振动,相邻波节间 距
2
ch6
• 能量分布 Ep↓ Ek↑ Ep↓ 势能→动能 势能 动能 能量由波节向波腹流动 瞬时位移为0, 势能为 , 瞬时位移为 , 势能为0, 动能最大。 动能最大。 Ek↓ Ep↑ Ep↑ 动能→势能 动能 势能 能量由波腹向波节流动
ch6
的声波 • 次声波 10-4 < ν < 20Hz的声波 特点:衰减小, 特点:衰减小,可用于远距离传播 次声波的波源 大气湍流、火山爆发、地震、 大气湍流、火山爆发、地震、陨 石落地、雷暴、 石落地、雷暴、磁暴等大规模自 然活动中,都有次声波产生。 然活动中,都有次声波产生。 次声波的用途 科学研究: 科学研究: 研究地球、海洋、大气等大规模运动; ①研究地球、海洋、大气等大规模运动;② 对自然灾害性事件(如火山爆发、地震等) 对自然灾害性事件(如火山爆发、地震等) 进行预报,深入认识自然规律。 进行预报,深入认识自然规律。 军事应用: 军事应用: 军事侦察; 次声波有杀伤性。 ①军事侦察;②次声波有杀伤性。

机械波波动方程的一般表达式

机械波波动方程的一般表达式

机械波波动方程的一般表达式机械波是指由介质颗粒振动传递能量的波动现象。

它可以分为横波和纵波两种形式。

横波是指波的传播方向与颗粒振动方向相垂直的波动,如水波、电磁波等;纵波是指波的传播方向与颗粒振动方向相平行的波动,如声波等。

机械波的波动方程是描述机械波传播的重要方程,其一般表达式如下:对于横波,波动方程的一般表达式为:∂^2 y/∂t^2 = v^2 * (∂^2 y/∂x^2)其中,y是波动介质颗粒的位移,t是时间,x是空间坐标,v是波速。

该方程表达的是在任意时刻和任意空间点,波动介质颗粒的位移随时间和空间的变化情况。

左边的∂^2 y/∂t^2表示纵向的加速度,右边的v^2 * (∂^2 y/∂x^2)则表示介质颗粒受到的横向的力。

对于纵波,波动方程的一般表达式为:∂^2 y/∂t^2 = v^2 * (∂^2 y/∂x^2)其中,y是波动介质的密度变化,t是时间,x是空间坐标,v是波速。

该方程描述的是在任意时刻和任意空间点,波动介质密度的变化随时间和空间的变化情况。

左边的∂^2 y/∂t^2表示介质密度的加速度,右边的v^2 * (∂^2 y/∂x^2)则表示介质受到的纵向力。

这两个方程是描述机械波传播的基本方程,通过它们可以计算在任意时刻和任意空间点波动介质颗粒的位移或介质密度的变化情况。

这样,我们就可以了解到机械波的传播速度、波长、振幅等重要参数。

机械波的波动方程的一般表达式还可以进一步推广到多维空间的情况下,以适应更加复杂的波动现象。

比如在二维空间中,波动方程的一般表达式可以写成:∂^2 y/∂t^2 = v^2 * (∂^2 y/∂x^2 + ∂^2 y/∂y^2)其中,y是波动介质的位移或密度变化,t是时间,x和y是二维空间坐标,v是波速。

右边的(∂^2 y/∂x^2 + ∂^2 y/∂y^2)表示从横向和纵向两个方向对介质施加的力。

总之,机械波波动方程的一般表达式是在介质颗粒位移或密度变化与时间、空间的关系中建立起来的。

10-12机械波及平面简谐波波动方程

10-12机械波及平面简谐波波动方程

A 0 .0 5 m , 6 , u 1 0 0 m
T
s
100 3 m


1 3
s ,
1 T
3H z, uT
( 2 ) x 0 y 0 .0 5 co s(6 t ) 当x 确定时的波动方程
即为质点的振动方程。
例题2、波源作简谐振动,振幅为A,周期为1.0×10-2s, 并以它经平衡位置向正方向运动时为计时起点。若此振 动以u=400ms-1的速度沿X轴正向传播。求
y A co s( 2 0 0 t -

2
)
x y A co s 2 0 0 ( t ) 400 2
③波线ox轴上P点的振动方程:
yP 8 A co s 2 0 0 ( t ) A co s( 2 0 0 t - ) 400 2 2
yO A co s xQ t Q u
o
xQ
·
Q
X
xQ A co s t ( Q ) u
Y
xQ A co s t ( Q ) u
u
yO
o
xQ
·
Q

K 体积模量

343 m s 空气,常温 4000 m s 左右,混凝土
如声音的传播速度
四 波线 波面 波前 波面:振动相位相同的质点联结起来所构成的同相面。 波线:沿波的传播方向所画的带箭头的线.
(b)
(a)
四 波线 波面 波前 波前:由波源最初振动状态传到的各点所连成的曲面.
波前 (c)
波前 波面
波源在o点的振动方程为:

机械波的波动方程

机械波的波动方程
u
x
1 t
2x
图11
2.波长: 在一个全振动周期内振动状态向前传播的距离:
或定义为:
=uT
波传播方向上振动位相差等于2的两质点的距离。
u
1T
2x
图12
3.波的周期与频率:
振动状态向前传播一个波长所需的时间,称为 波的周期;单位时间里振动状态向前传播的波数, 称为波的频率:
T / u , u /
2.平面波与球面波
波前、波面和波射线:媒质中振动相位相同的点所 构成的面,称为波面;最前方的波面称为波前(波 阵面);与波面垂直且表明波的传播方向的线称为 波射线。
平面波与球面波:波面为平面的波称为平面波;波 面为球面的波称为球平面波
描述波动的特征量
1.波速:
单位时间里振动状态向前传播的距离:
u x t
具有一般意义,即为沿 x轴正方向传播的平
面简谐波的波函数,又称波动方程.
利用 2π 2πν 和 uT
T 可得波动方程的几种不同形式:
y
A cos
Байду номын сангаас
t
x u
A cos
2
π
t T
x
A cos
t
2πx
波 yAcos(t[x)] u沿x轴正向
函 数
u
yAcos(t[x)] u沿 x轴负向
――波的周期和频率即波源振动的周期和频率。
➢ 波的周期反映了波动时间上的周期性,而波长则反映了波 动空间上的周期性。
➢ 波的周期和频率与媒质无关,而波速和波长与媒质有关。 ➢ 波速、波长和频率(周期)间的关系:
uT u
波函数
一.波函数
媒质中质元离开平衡位置的位移与质元的平衡位 置坐标 x 和时间 t 的关系函数,即

数学物理中的波动方程与波函数

数学物理中的波动方程与波函数

数学物理中的波动方程与波函数波动方程是数学物理中一种重要的方程,用于描述波动现象的传播和行为。

在波动方程中,波函数是一个关键的概念,用于描述波动的性质和变化。

本文将介绍波动方程和波函数的基本概念、性质和应用。

一、波动方程的基本概念波动方程是一种偏微分方程,用于描述波动现象的传播和行为。

它通常以时间和空间变量为自变量,通过对波函数的求导和求解来描述波动的性质和变化。

波动方程的一般形式可以表示为:∂²u/∂t² = c²∇²u其中,u是波函数,t是时间,c是波速,∇²是拉普拉斯算符。

这个方程表示了波函数在时间和空间上的二阶导数之间的关系。

二、波函数的性质和特点波函数是波动方程的解,它描述了波动的性质和变化。

波函数的性质和特点包括以下几个方面:1. 波函数的形式:波函数可以是一维、二维或三维的,具体形式取决于波动方程的维度和边界条件。

常见的波函数形式包括正弦函数、余弦函数、指数函数等。

2. 波函数的振幅:波函数的振幅表示波动的幅度或强度,通常用于描述波动的能量或振动的大小。

振幅可以是实数或复数,取决于波动的性质。

3. 波函数的频率:波函数的频率表示波动的周期性或重复性,通常用于描述波动的频率或振动的频率。

频率可以是连续的或离散的,取决于波动的性质。

4. 波函数的相位:波函数的相位表示波动的相对位置或相对相位,通常用于描述波动的相位差或相位差。

相位可以是实数或复数,取决于波动的性质。

三、波动方程的应用波动方程在数学物理中有广泛的应用,涉及到多个学科和领域。

以下是一些常见的波动方程的应用:1. 声波传播:声波是一种机械波,可以通过波动方程来描述声波的传播和行为。

在声学中,波动方程被用于研究声波的传播速度、频率和振幅等特性。

2. 光波传播:光波是一种电磁波,可以通过波动方程来描述光波的传播和行为。

在光学中,波动方程被用于研究光波的传播速度、频率和振幅等特性。

机械波的波动方程

机械波的波动方程
将平面简谐波的波函数分别对时间和空间求 二阶偏微商
2 y x2

A
u2
2
s i n
t
x u
2 y t 2
A 2
s i n
t
x u
2y 1 2y x2 u2 t2
波速
例2:平面简谐波的传播速度为u, 沿X轴正方向传播。已知距原点x0处 的P0点处的质点的振动规律为
y=Acosωt 求波动表达式。
t x 波源作简谐振动,波动所到之处的各个质点也在作简谐振动,波面为平面的波称为平面简谐波,或称为简谐波。 y = A cos 2 + 例3:一平面简谐波的波动表达式为
波速 u=λ/T=20/0.
T (3)x=20m,60m两处质点振动的相位差为
(2)将x=10m代入波动表示,则有 (3)x=20m,60m两处质点振动的相位差。
yPA co ts- = A co st- u x
平面简谐波的波函数
y=Acost-x
波数
u
y= A co t- skx k2/
y=Aco2sTt -x
y=Aco2st-x
若考虑O处质点的振动初相位
y=Acost-ux+
3、波动中质点振动的速度和加速度
(2)x=10m处质点的振动方程及该质点在t=2s时的振动速度;
(3)x=20m,60m两处质点振动的相位差。
解:(1)将波动表达式写成标准形式
y0.01co2s5t x
因而
20
振幅 A=0.01m
波长 λ=20m
周期 T=1/5=0.2s
波速 u=λ/T=20/0.2=100m·s-1
(2)将x=10m代入波动表示,则有
y 0 .0c1 o 1ts 0

大学物理课后习题答案第五章

大学物理课后习题答案第五章

第五章机械波5.1 已知一波的波动方程为y = 5×10-2sin(10πt – 0.6x ) (m). (1)求波长、频率、波速及传播方向;(2)说明x = 0时波动方程的意义,并作图表示. [解答](1)与标准波动方程比较得:2π/λ= 0.6, 因此波长为:λ = 10.47(m);圆频率为:ω = 10π, 频率为:v =ω/2π = 5(Hz);波速为:u = λ/T = λv = 52.36(m·s -1).且传播方向为x 轴正方向.(2)当x = 0时波动方程就成为该处质点的振动方程: y = 5×10-2sin10πt = 5×10-2cos(10πt – π/2), 振动曲线如图.5.2 一平面简谐波在媒质中以速度为u = 0.2m·s -1沿x 轴正向传播,已知波线上A 点(x A = 0.05m )的振动方程为(m).试求:(1)简谐波的波动方程;(2)x= -0.05m 处质点P 处的振动方程.[解答](1)简谐波的波动方程为:; 即= 0.03cos[4π(t – 5x ) + π/2]. (2)在x = -0.05m 处质点P 点的振动方程为:y = 0.03cos[4πt + π + π/2]= 0.03cos(4πt - π/2).5.3已知平面波波源的振动表达式为(m).求距波源5m 处质点的振动方程和该质点与波源的位相差.设波速为2m·s -1.[解答]振动方程为:, 位相差为 Δφ = 5π/4(rad).5.4有一沿x 轴正向传播的平面波,其波速为u = 1m·s -1,波长λ = 0.04m ,振幅A = 0.03m .若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻,试求:(1)此平面波的波动方程;(2)与波源相距x = 0.01m 处质点的振动方程,该点初相是多少? [解答](1)设原点的振动方程为:y 0 = A cos(ωt + φ),其中A = 0.03m .由于u = λ/T ,所以质点振动的周期为:T = λ/u = 0.04(s),圆频率为:ω = 2π/T = 50π. 当t = 0时,y 0 = 0,因此cos φ = 0;由于质点速度小于零,所以φ = π/2. 原点的振动方程为:y 0 = 0.03cos(50πt + π/2), 平面波的波动方程为:= 0.03cos[50π(t – x ) + π/2).(2)与波源相距x = 0.01m 处质点的振动方程为:y = 0.03cos50πt . 该点初相φ = 0.5.5一列简谐波沿x 轴正向传播,在t 1 = 0s ,t 2 = 0.25s 时刻的波形如图所示.试求: (1)P 点的振动表达式;2cos()xy A t πωλ=-0.03cos(4)2A y t ππ=-cos[()]Ax x y A t uωϕ-=-+0.050.03cos[4()]0.22x y t ππ-=--20 6.010sin2y t π-=⨯26.010sin()2xy t u π-=⨯-50.06sin()24t ππ=-0.03cos[50()]2x y t u ππ=-+(2)波动方程; (3)画出O 点的振动曲线.[解答](1)设P 点的振动方程为y P = A cos(ωt + φ), 其中A = 0.2m .在Δt = 0.25s 内,波向右传播了Δx = 0.45/3 = 0.15(m),所以波速为u = Δx/Δt = 0.6(m·s -1).波长为:λ = 4Δx = 0.6(m), 周期为:T = λ/u = 1(s), 圆频率为:ω = 2π/T = 2π.当t = 0时,y P = 0,因此cos φ = 0;由于波沿x 轴正向传播,所以P 点在此时向上运动,速度大于零,所以φ = -π/2.P 点的振动表达式为:y P = 0.2cos(2πt - π/2). (2)P 点的位置是x P = 0.3m ,所以波动方程为. (3)在x = 0处的振动方程为y 0 = 0.2cos(2πt + π/2),曲线如图所示.5.6 如图所示为一列沿x 负向传播的平面谐波在t = T /4时的波形图,振幅A 、波长λ以及周期T 均已知.(1)写出该波的波动方程;(2)画出x = λ/2处质点的振动曲线;(3)图中波线上a 和b 两点的位相差φa – φb 为多少?[解答](1)设此波的波动方程为: ,当t = T /4时的波形方程为:. 在x = 0处y = 0,因此得sin φ = 0,解得φ = 0或π.而在x = λ/2处y = -A ,所以φ = 0. 因此波动方程为:. (2)在x = λ/2处质点的振动方程为:, 曲线如图所示.(3)x a = λ/4处的质点的振动方程为; x b = λ处的质点的振动方程为.波线上a 和b 两点的位相差φa – φb = -3π/2.0.2cos[2()]2P x x y t u ππ-=--100.2cos(2)32t x πππ=-+cos[2()]t xy A T πϕλ=++cos(2)2xy A ππϕλ=++sin(2)xA πϕλ=-+cos 2()t x y A T πλ=+cos(2)cos 2t t y A A T Tπππ=+=-cos(2)2a t y A T ππ=+cos(22)b ty A Tππ=+图5.55.7 已知波的波动方程为y = A cosπ(4t – 2x )(SI ).(1)写出t = 4.2s 时各波峰位置的坐标表示式,并计算此时离原点最近的波峰的位置,该波峰何时通过原点?(2)画出t = 4.2s 时的波形曲线.[解答]波的波动方程可化为:y = A cos2π(2t – x ),与标准方程比较,可知:周期为T = 0.5s ,波长λ = 1m .波速为u = λ/T = 2m·s -1. (1)当t = 4.2s 时的波形方程为 y = A cos(2πx – 16.8π)= A cos(2πx – 0.8π). 令y = A ,则cos(2πx – 0.8π) = 1,因此 2πx – 0.8π = 2k π,(k = 0, ±1, ±2,…), 各波峰的位置为x = k + 0.4,(k = 0, ±1, ±2,…).当k = 0时的波峰离原点最近,最近为:x = 0.4(m).通过原点时经过的时间为:Δt = Δx/u = (0 – x )/u = -0.2(s), 即:该波峰0.2s 之前通过了原点.(2)t = 0时刻的波形曲线如实线所示.经过t = 4s 时,也就是经过8个周期,波形曲线是重合的;再经Δt = 0.2s ,波形向右移动Δx = u Δt = 0.4m ,因此t = 4.2s 时的波形曲线如虚线所示.[注意]各波峰的位置也可以由cos(2πx – 16.8π) = 1解得,结果为x = k + 8.4,(k = 0, ±1, ±2,…),取同一整数k 值,波峰的位置不同.当k = -8时的波峰离原点最近,最近为x = 0.4m .5.8一简谐波沿x 轴正向传播,波长λ = 4m ,周期T = 4s ,已知x = 0处的质点的振动曲线如图所示. (1)写出时x = 0处质点的振动方程;(2)写出波的表达式;(3)画出t = 1s 时刻的波形曲线.[解答]波速为u = λ/T = 1(m·s -1).(1)设x = 0处的质点的振动方程为y = A cos(ωt + φ), 其中A = 1m ,ω = 2π/T = π/2.当t = 0时,y = 0.5,因此cos φ = 0.5,φ = ±π/3.在0时刻的曲线上作一切线,可知该时刻的速度小于零,因此φ = π/3.振动方程为:y = cos(πt /2 + π/3).(2)波的表达式为:.(3)t = 1s 时刻的波形方程为,波形曲线如图所示.5.9在波的传播路程上有A 和B 两点,都做简谐振动,B 点的位相比A 点落后π/6,已知A 和B 之间的距离为2.0cm ,振动周期为2.0s .求波速u 和波长λ.cos[2()]t x y A T πϕλ=-+cos[2()]t xy A T πϕλ=-+cos[()]23t x ππ=-+5cos()26y x ππ=-图5.8[解答]设波动方程为:, 那么A 和B 两点的振动方程分别为:, . 两点之间的位相差为:,由于x B – x A = 0.02m ,所以波长为:λ = 0.24(m).波速为:u = λ/T = 0.12(m·s -1). 5.10 一平面波在介质中以速度u = 20m·s -1沿x 轴负方向传播.已知在传播路径上的某点A 的振动方程为y = 3cos4πt .(1)如以A 点为坐标原点,写出波动方程;(2)如以距A 点5m 处的B 点为坐标原点,写出波动方程; (3)写出传播方向上B ,C ,D 点的振动方程. [解答](1)以A 点为坐标原点,波动方程为 .(2)以B 点为坐标原点,波动方程为. (3)以A 点为坐标原点,则x B = -5m 、x C = -13m 、x D = 9m ,各点的振动方程为, ,.[注意]以B 点为坐标原点,求出各点坐标,也能求出各点的振动方程.5.11 一弹性波在媒质中传播的速度u = 1×103m·s -1,振幅A = 1.0×10-4m ,频率ν= 103Hz .若该媒质的密度为800kg·m -3,求:(1)该波的平均能流密度;(2)1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m 2的总能量. [解答](1)质点的圆频率为:ω = 2πv = 6.283×103(rad·s -1), 波的平均能量密度为:= 158(J·m -3), 平均能流密度为:= 1.58×105(W·m -2).(2)1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m 2的总能量为:E = ItS = 3.79×103(J).5.12一平面简谐声波在空气中传播,波速u = 340m·s -1,频率为500Hz .到达人耳时,振幅A = 1×10-4cm ,试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强?此时声强相当于多少分贝?已知空气密度ρ = 1.29kg·m -3.[解答]质点的圆频率为:ω = 2πv = 3.142×103(rad·s -1), 声波的平均能量密度为:= 6.37×10-6(J·m -3), cos[2()]t xy A T πϕλ=-+cos[2()]AA x ty A T πϕλ=-+cos[2()]BB x ty A Tπϕλ=-+2(2)6BAx x πππλλ---=-3cos 4()3cos(4)5x x y t t u πππ=+=+3cos 4()Ax x y t u π-=+3cos(4)5x t πππ=+-3cos 4()3cos(4)BB x y t t u πππ=+=-33cos 4()3cos(4)5C C x y t t u πππ=+=-93cos 4()3cos(4)5D D x y t t u πππ=+=+2212w A ρω=I wu =2212w A ρω=图5.10平均能流密度为:= 2.16×10-3(W·m -2), 标准声强为:I 0 = 1×10-12(W·m -2), 此声强的分贝数为:= 93.4(dB).5.13 设空气中声速为330m·s -1.一列火车以30m·s -1的速度行驶,机车上汽笛的频率为600Hz .一静止的观察者在机车的正前方和机车驶过其身后所听到的频率分别是多少?如果观察者以速度10m·s -1与这列火车相向运动,在上述两个位置,他听到的声音频率分别是多少?[解答]取声速的方向为正,多谱勒频率公式可统一表示为, 其中v S 表示声源的频率,u 表示声速,u B 表示观察者的速度,u S 表示声源的速度,v B 表示观察者接收的频率.(1)当观察者静止时,u B = 0,火车驶来时其速度方向与声速方向相同,u S = 30m·s -1,观察者听到的频率为= 660(Hz). 火车驶去时其速度方向与声速方向相反,u S = -30m·s -1,观察者听到的频率为= 550(Hz). (2)当观察者与火车靠近时,观察者的速度方向与声速相反,u B = -10m·s -1;火车速度方向与声速方向相同,u S = 30m·s -1,观察者听到的频率为= 680(Hz). 当观察者与火车远离时,观察者的速度方向与声速相同,u B = 10m·s -1;火车速度方向与声速方向相反,u S = -30m·s -1,观察者听到的频率为= 533(Hz). [注意]这类题目涉及声速、声源的速度和观察者的速度,规定方向之后将公式统一起来,很容易判别速度方向,给计算带来了方便.5.14.一声源的频率为1080Hz ,相对地面以30m·s -1速率向右运动.在其右方有一反射面相对地面以65m·s -1的速率向左运动.设空气中声速为331m·s -1.求:(1)声源在空气中发出的声音的波长; (2)反射回的声音的频率和波长.[解答](1)声音在声源垂直方向的波长为:λ0 = uT 0 = u /ν0 = 331/1080 = 0.306(m); 在声源前方的波长为:λ1 = λ0 - u s T 0 = uT 0 - u s T 0 = (u - u s )/ν0 = (331-30)/1080 = 0.2787(m); 在声源后方的波长为:λ2 = λ0 + u s T 0 = uT 0 + u s T 0 = (u + u s )/ν0= (331+30)/1080 = 0.3343(m).(2)反射面接收到的频率为 = 1421(Hz).将反射面作为波源,其频率为ν1,反射声音的频率为= 1768(Hz).I wu =010lgIL I =BB S Su u u u νν-=-33060033030B S S u u u νν==--33060033030B S S u u u νν==-+3301060033030B B S S u u u u νν-+==--3301060033030B B S S u u u u νν--==-+1033165108033130B Su u u u νν++==⨯--`11331142133165B u u u νν==⨯--反射声音的波长为=0.1872(m).或者= 0.1872(m). [注意]如果用下式计算波长=0.2330(m), 结果就是错误的.当反射面不动时,作为波源发出的波长为u /ν1 = 0.2330m ,而不是入射的波长λ1.5.15S 1与S 2为两相干波源,相距1/4个波长,S 1比S 2的位相超前π/2.问S 1、S 2连线上在S 1外侧各点的合成波的振幅如何?在S 2外侧各点的振幅如何?[解答]如图所示,设S 1在其左侧产生的波的波动方程为,那么S 2在S 1左侧产生的波的波动方程为,由于两波源在任意点x 产生振动反相,所以合振幅为零.S 1在S 2右侧产生的波的波动方程为,那么S 2在其右侧产生的波的波动方程为,由于两波源在任意点x 产生振动同相,所以合振幅为单一振动的两倍.5.16两相干波源S 1与S 2相距5m ,其振幅相等,频率都是100Hz ,位相差为π;波在媒质中的传播速度为400m·s -1,试以S 1S 2连线为坐标轴x ,以S 1S 2连线中点为原点,求S 1S 2间因干涉而静止的各点的坐标.[解答]如图所示,设S 1在其右侧产生的波的波动方程为 ,那么S 2在其左侧产生的波的波动方程为. 两个振动的相差为Δφ = πx + π,当Δφ = (2k + 1)π时,质点由于两波干涉而静止,静止点为x = 2k , k 为整数,但必须使x 的值在-l /2到l /2之间,即-2.5到2.5之间.当k = -1、0和1时,可得静止点的坐标为:x = -2、0和2(m).5.17设入射波的表达式为,`1111331651421BBu u u uλννν--=-==`1`13311768uλν==`111650.27871768Bu λλν=-=-1cos[2()]t xy A T πϕλ=++2/4cos[2()]2t x y A T λππϕλ-=++-cos[2()]t xA T πϕπλ=++-1cos[2()]t xy A T πϕλ=-+2/4cos[2()]2t x y A T λππϕλ-=-+-cos[2()]t xA T πϕλ=-+1/2cos[2()]x l y A t u πνϕ+=-+5cos(2)24A t x πππνϕ=-+-2/2cos[2()]x l y A t u πνϕπ-=+++cos(2)24A t x πππνϕ=++-1cos 2()t xy A T πλ=+S 1 S 2S 12在x = 0处发生反射,反射点为一自由端,求:(1)反射波的表达式; (2)合成驻波的表达式.[解答](1)由于反射点为自由端,所以没有半波损失,反射波的波动方程为.(2)合成波为y = y 1 + y 2,将三角函数展开得,这是驻波的方程.5.18两波在一很长的弦线上传播,设其表达式为:,,用厘米、克、秒(cm,g,s )制单位,求:(1)各波的频率,波长、波速;(2)节点的位置;(3)在哪些位置上,振幅最大?[解答](1)两波可表示为:,, 可知它们的周期都为:T = 0.5(s),频率为:v = 1/T = 2(Hz);波长为:λ = 200(cm);波速为:u = λ/T = 400(cm·s -1).(2)位相差Δφ = πx /50,当Δφ = (2k + 1)π时,可得节点的位置x = 50(2k + 1)(cm),(k = 0,1,2,…).(3)当Δφ = 2k π时,可得波腹的位置x = 100k (cm),(k = 0,1,2,…).2cos 2()t xy A T πλ=-222coscosy A x t Tππλ=1 6.0cos(0.028.0)2y x t π=-2 6.0cos(0.028.0)2y x t π=+1 6.0cos 2()0.5200t x y π=-2 6.0cos 2()0.5200t x y π=+。

机械波波动方程

机械波波动方程

机械波波动方程
机械波是指在介质中传播的能量、动量和信息的一种波动现象。

机械波的传播可以用波动方程来描述,其波动方程可以表示为:
∂²y/∂t²= (1/v²) ∂²y/∂x²
其中,y表示介质中的位移,t表示时间,x表示空间位置,v表示波速。

这个方程描述了机械波的传播过程。

在这个方程中,左边表示位移的加速度,右边表示位移的曲率,也就是介质中的弯曲程度。

这个方程可以解释为,介质中的微小区域发生弯曲,然后这个弯曲沿着介质传播,形成波动。

在解决机械波问题时,我们需要使用这个方程来求解波动的形式和传播速度。

这个方程可以通过分离变量的方法来求解,得到波函数的形式和传播速度。

总之,机械波的波动方程是描述机械波传播过程的基本方程,它可以用来解释和预测机械波的行为。

物理波动方程

物理波动方程

物理波动方程物理波动方程是描述波动现象的数学方程。

它可以用来描述多种不同类型的波动,包括机械波、电磁波、声波等。

在物理学中,波动是一种能量传递的方式,通过介质的振动或传播来传递。

物理波动方程的形式因不同类型的波动而异。

下面将介绍几个常见的物理波动方程:1. 一维波动方程一维波动方程描述的是沿直线传播的波动,如绳上的横波。

它的一般形式为:∂²u/∂t² = v² ∂²u/∂x²其中,u表示波动的位移,t表示时间,x表示位置,v表示波速。

这个方程说明了波动的运动方式与速度之间的关系。

它可以用来解释波浪在水面上的传播,吉他弦上的声波传播等。

2. 二维波动方程二维波动方程描述的是在平面上传播的波动,如水波在池塘中的传播。

它的一般形式为:∂²u/∂t² = v² (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中,u表示波动的位移,t表示时间,x和y表示位置,v表示波速。

这个方程可以用来解释水波在二维平面上的传播,如涟漪在池塘中的扩散。

3. 电磁波动方程电磁波动方程描述的是电磁波在介质中的传播,如光波在空气或水中的传播。

它的一般形式为:∇² E - με∂²E/∂t² = 0其中,E表示电场强度,μ表示磁导率,ε表示电介质常数,t表示时间。

这个方程可以用来解释电磁波(如可见光)在不同介质中的传播,从而解释诸如折射、反射和传输的现象。

物理波动方程不仅在科学研究中有着重要的作用,同时在生活中也有着广泛的应用。

例如,我们可以通过理解和使用波动方程来设计天线、光纤通信系统、医学成像设备等。

此外,在地震学、天文学和声学等领域,波动方程也被广泛应用于研究和探索。

综上所述,物理波动方程是用来描述波动现象的数学方程。

不同类型的波动有不同的波动方程。

通过研究和了解这些方程,我们可以深入理解和应用波动现象,探索波动的性质和特点,以及波动背后的物理原理。

机械波的波动方程

机械波的波动方程

6-3 机械波的波动方程
第六章 机械波
x, t 均变化,波函数表示波形沿传 3 ) 若 播方向的运动情况(行波)。
y y
O
c
c
t
时刻
t t 时刻
x
x x
t x y A cos 2 π ( ) (x,t)与(x+x,t+t)处的相位相同 T t x t x t t x x x ct 2π ( ) 2π ( ) T T T
2 ) 当 t 一定时,波函数表示该时刻波线上各 点相对其平衡位置的位移,即此刻的波形。
x y A cos (t1 ) c
y ( x, t ) y ( x , t ) (波具有空间的周期性)
x1 x2 x (t1 ) (t1 ) x2 x1 2 π c c c
比较得
2.50 -1 0.01 -1 y (5cm ) cos 2π [( s )t ( cm ) x] 2 2
2cm 2 1 200 cm u 250 cm s T s 0.8 s T 0.01 2.5
6-3 机械波的波动方程 例2 一平面波在 t = 0 时的波形如图Ⅰ所 示, 0.5s 后波形变为 Ⅱ,且T>1s, 求该波 的波动方程.

x
6-3 机械波的波动方程
第六章 机械波
例3 一平面简谐波以速度 c 20m / s 沿直线传播,波线 上点 A 的简谐运动方程: y A (3 102 m) cos(4 π s 1 )t
8m
c 5m
B
9m
C
oA
D
x
1)以 A 为坐标原点,写出波动方程
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2、有连续的介质—弹性介质.
波源

+
弹性作用

介质

注意
波是运动状态的传播,介质的
质点并不随A 波传播.
3
二、横波和纵波
(1)横波:质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. 如绳波(机械横波仅在固体中传播)、电磁波
➢ 特征:具有交替出现A的波峰和波谷.
4
(2) 纵波:质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. 如声波(纵波可在固体、液体和气体中传播)
大学物理学电子教案
机械波、波动方程
13-1 机械波的基本概念 13-2 平面简谐波的波动方程
A
1
第十三章
机械波和电磁波
波动是振动的传播过程. 振动是激发波动的波源.
机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 波动
电磁波 交变电磁场在空间的传播.
A
2
13-1 机械波的基本概念
一、机械波产生的条件 机械波:机械振动在弹性介质中的传播. 产生条件:1、有做机械振动的物体,即波源;
➢ 特征:具有交替出现的密部和疏部.
注:生活中常见的水波不是简单的横波或者纵波,情况比较复杂
A
5
三、波线和波面
波场--波传播到的空间。 波线(波射线)--代表波的传播方向的射线。 波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。 波前(波阵面)--某时刻波源最初的振动状态
传到的波面。
各向同性均匀介质中,波线恒与波面垂直. 沿波线方向各质点的振动相位依次落后。
Ox*
A
点 P 比点 O 落后的相位 pO
点 P振p 动 方2程πx2π yT pxA u A cou xs(tux)
15
若波源(原点)振动初位相不为零 y0A cots(0)
yAcos[(t ux)0]

yAco2s([T t x)0]
yAco2s[t2 x)0]
yAco2s([utx)0]A co k (u s [tx) 0]
t x 时刻O处质点的振动状态
u p点的振动方程:
y
Acos(t
x)
u
沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
x
p
沿着波传播方向,各质点的振动依次落后于波源振动.
x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u
A
14
沿x轴负向传播的 平面简谐波的波动方程
相位落后法
y Acos(t x)
A y u
u
P
x
k 2
波矢,表示在2 长度内所具有的完整波的
数目。
A
16
质点的振动速度,加速度
vy A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x)]
A
17
二、波动方程的物理意义 y
T
yAco[s(tu x)0] O
1、如果给定x,即x=x0
t T
则y=y(t) 为x0处质点的振动方程
A
6
波前
波面
*
球面波
波线
A
平面波
7
四、描述波动的几个物理量
1、波速 u 振动状态(即位相)在单位时间内传播 的距离称为波速 ,也称之相速
在固体媒质中横波波速为 u
G
在固体媒质中纵波波速为 u //
E
G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度
在同一种固体媒质中,横波波速比纵波波速小些
A
8
在液体和气体只能传播纵波,其波速为:
u //
B
B为介质的容变弹性模量
为密度
A
9
2、波的周期和频率 波的周期:一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间,用T表示。
波的频率:单位时间内通过介质中某固定点完整波
的数目,用表示。
3、波长
T 2 1
同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离。
T u u
介质决定 波源决定
A
10
例1 在室温下,已知空气中的声速 u 水中的声速 u 2 为1450 m/s ,求频率为200
1 为340 m/s, Hz和2000 Hz
的声波在空气中和水中的波长各为多少?


u
,频率为200
Hz和2000
Hz
的声波在
空气中的波长
1u1 1324m 0H 00 s1z1.7m
2
u1
2
0.17m
在水中的波长
1u1 2124m 05 H 0 s01 z7A.25 m2
u2
2
0.725m
11
13-2 平面简谐波的波动方程
波动方程:描述介质中各质点的位移随时间的变化关系
yy(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
➢ 简谐波:在均匀的、无吸收的介质中,波源作 简谐运动时,在介质中所形成的波.
xy0(处t质) 点A 的c振o 动 初s t 相(2 为x0 2 x00)0
2 x 0
为x0处质点落后于原点的位相
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
是波在空间上的周期性A 的标志
18
波线上各点的简谐运动图
A
19
同一波线上任意两点的振动位相差
2 1 x 2 x 12 x2
2y 1 2y x2 u2 t2
平面波的波动 微分方程
A
23
小结
求解波动方程方法:
➢ 平面简谐波:波面为平面的简谐波.
A
12
一、平面简谐波的波动方程
一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播, x轴即为某一波线
设原点振动表达式: st
y表示该处质点偏离平衡位置的位移 x为p点在x轴的坐标
A
13
时间推迟方法
yu
O点振动状态传到p点需用
t
x u
Ox
t 时刻p处质点的振动状态重复
A
21
y (x x ,t t) y (x ,t)
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
u t tt
O
x
xx
A
22
三、平面波的波动微分方程
yAco[s(tu x)0]
求t 的二阶导数
t22 yA 2co(st [u x)0]
求x的二阶导数
2y
2
x
1 2y
x 2 A u 2co(ts u [)0 ]u 2 t2
t时刻的波形方程
y(x)Aco[s(tu x)0]
t+t时刻的波形方程
y(x)Aco [(sttu x)0]
y
u t tt
O
x
xx
t时刻,x处的某个振动状态经过t ,传播了x的距离
y (x x ,tt) A Ac co[ [ o s( (tt su xt) x 0u ]u t)0 ]
y (x x ,t t) y (x ,t)
2、如果给定t,即t=t0 则y=y(x)
yAco[s(t0u x)0] Y
u
表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布
x1 x2 X
,即给定了t0 时刻的波形
同一质点在相邻两时刻的振动位相差
21(t2t1) A T t2
T是波在时间上的 周期性的标志20
3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
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