第16章 连续时间美式期权定价模型.

公式（16-5）两边同除以 S0 ，并取对数得到： St （16-7） ln( ) t W S0
对数收益率服从下列形式的正态分布
ln( St ) ~ N ( t , 2t ) S0

（16-9）

方程（16-5）是描述股票价格变化的合理模型。
16.3 无套利机会股票价格模型
第16章 连续时间美式期权定价模型

16.1 美式期权定价模型概述 16.2 股票价Байду номын сангаас行为模型 16.3 无套利机会股票价格模型 16.4 美式看涨期权定价模型 16.5 美式看跌期权定价模型

因为美式期权没有固定的执行时间，学 者很难用解析模型为美式期权定价。本 章主要介绍作者2008年提出的连续时间 美式期权定价模型。内容包括股票价格 行为模型，连续时间美式期权定价模型。




对股票价格贴现后得到 t 时刻股票价格的现值： Z t Bt1St 即 Zt Z0e( r )t W （16-12） 其中：随机变量 Zt 零时刻的值等于随机变量零时刻的 值 St ，即 Z0 S0 。 下面推导式（16-12）的微分形式。我们可以把式 （16-12）写成下列形式：


一般情况下，国库券以政府为担保，价格受随机因素 的影响较少，波动也较少，因此，买国库券属于无风 险投资。而股票的价格受随机因素的影响较大，波动 也较大，因此，买股票属于风险投资。单位国库券的 价格和股票的价格分别用下列模型表示： Bt ert （16-10）
St S0e t W
（16-11） 其中： B 为 t 时刻单位国债的价格； St 为 t 时刻股 t 票的价格，元/股； S0 为零时刻股票的价格，元/股； r 为国债利率，又称为无风险利率；
16.2 股票价格行为模型





假设股票的价格波动为零，而且不派息。如果投资者 的期望收益率为 ，零时刻的股票价格为 S0 ，则持 股 t 年股票价格的期望值 St 应为： （16-1） St S0 (1 )t 公式（16-1）与银行存款本金和利息的计算公式完全 相同。 S0 为本金； 为银行存款利率； t为存款年 限； St 为 t 年后的本金和利息。为了数学处理上的 方便，我们采用连续复利形式，则模型（16-1）变为： （16-2） St S0 e t 从公式（16-2）中我们可以看出，当股票的价格波动 为零时，股票价格的期望值以年利率为的复利形式增 长，与银行存款有相同的增长方式。
S0





通过上面的分析，股票价格过程 St 可以用下列形式的 随机过程来描述 （16-4） t W St S0e 或 （16-5） St S0 exp(t W ) 其中： W 为 P 测度下的标准维纳（Wiener）过 程， W ~ N (0, t )。 （16-6） W t ~ N (0,1) 。 其中： 为标准正态分布变量，

分别把上述公式代入伊滕公式，可以求出随机过程 （16-12）的随机微分方程：
1 2 dZ t Z t [( r )dt dW ] 2
16.1 美式期权定价模型概述


1973年，Fischer Black、Myron Scholes和Robert Merton在欧式股票期权定价模型研究中，取得突破性 进展。提出不派息（和派息）股票期权定价模型，又 称为Black-Scholes模型。该模型的提出为股票期权定 价提供了理论依据，同时也促进了20世界80年代和90 年代金融工程的发展。为了表彰他们对人类所做出的 贡献，Myron Scholes和Robert Merton于1997年获得 诺贝尔经济学奖。遗憾的是Fischer Black于1995年逝 世。 Cox、Ross和 Rubinstein(1979)提出的二叉树模型， 成为美式期权定价的主流模型。为了提高二叉树的收 敛速度，Hull和White（1994）提出三叉树模型。 Boyle(1977)提出蒙特卡罗模拟模型。Brennan和 Schwartz(1978)提出有限差分模型。Duan(1995)提出 GARCH（广义自回归条件异方差）模型。
其中:
Zt Z 0e X t
X t ( r )t W


令 f ( X t ) Z 0e X 伊滕公式的一般形式为：
t

因为
1 '' dZ t f ( X t )dX t f ( X t )d 2 X t 2
'
f ' ( X t ) f '' ( X t ) Z0e Xt Zt


由此可见，用公式（16-2）表示t时刻股票价格的期望 值是合理的。把式（16-2）两边同除以 S ，并取对数 0 得到： （16-3） St ln( ) t
其中 ln(St / S0 ) 是持股 t 年的对数收益率，而不是年 收益率，年收益率为 。 2 2 假设 是单位时间内股票对数收益率的方差，则 t 为 t 年内收益率 ln(St / S0 ) 的方差。只有在公式（16-3） 中加入随机项，才能真实全面地反映股票价格的变化。

经过多年的研究，作者已经研制出不派息连续 时间美式期权定价模型（2008）,在此基础上 又提出连续时间美式外汇期权定价模型 （2009），这两个模型的复杂程度与BS模型相 似。通过实证研究，这两个模型的计算结果与 二叉树模型相比，看涨期权的最大相对误差仅 为2.47%，看跌期权的最大误差仅为-0.6545%。
dXt ( r )dt dW
d 2 X t [( r )dt dW]2
( r )2 (dt)2 2( r )dtdW 2 (dW)2

2 2 ( dW ) dt， 高级无穷小项 和 ，另外 dtdW 0 (dt) 0 因此 d 2 X t 2dt