第16章 连续时间美式期权定价模型.

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《期权定价模型》课件

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置比例。
03
投资组合绩效评估
通过期权定价模型计算投资组合 的绩效指标,评估投资组合表现

02
投资组合调整
根据市场走势和投资者需求,调 整投资组合中的期权和其他资产

04
投资组合再平衡
定期或不定期地重新调整投资组 合,以保持其与投资者风险偏好
和投资目标的匹配。
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感谢您的观看
02
期权定价模型简介
几种常见的期权定价模型
Black-Scholes模型
二叉树模型
基于一系列假设条件,通过随机微分方程 来描述期权价格的运动过程,并给出了欧 式期权价格的解析解。
一种离散时间模型,通过模拟标的资产价 格的上升和下降来计算期权价格,适用于 美式期权和欧式期权。
三叉树模型
有限差分模型
市场中不存在可以通过买 卖标的资产和衍生品来获 得无风险利润的策略。
市场中存在足够的标的资 产供买卖,且交易成本为 零。
即投资者可以以一个固定 的无风险利率无限借贷。
即标的资产价格的波动率 在整个期权存续期内保持 不变。
定价模型的适用范围
欧式期权:适用于只能在到期 日行权的期权。
美式期权:适用于在到期日之 前任何时间都可以行权的期权

股票期权、期货期权、利率期 权等:适用于各种类型的金融 衍生品。
长期期权、短期期权:适用于 不同存续期的期权。
03
Black-Scholes模型
模型的基本假设
假设1
股票价格变动符合几何布朗运 动,即股票价格连续变动,并
且其收益率服从正态分布。
假设2
市场无摩擦,即没有交易费用 和税收,所有证券都可以无限 分割。

金融衍生工具课件:美式期权定价

金融衍生工具课件:美式期权定价
CBlack (t,T ) max[CBS (t, t1), CBS (t,T )]
金融衍生工具
7
第二节 美式期权定价的分析近似类模型
➢ Barone-Adesi和Whaley(1987)近似 ➢ 其他分析近似类模型
金融衍生工具
8
Barone-Adesi和Whaley(1987)近似
➢ Barone-Adesi和Whaley(1987)基于由MacMilan(1986)提出的二次
金融衍生工具
14
已知红利支付率
➢ 唯一可能提前执行的时间点在第二阶段末除权日前的瞬间,我们接下来就分 析第二阶段末除权日前的瞬间各点的提前执行决策,即二叉树图中的B、C、 D各点。以B点为例,若不提前执行美式期权,则期权的价值为6.58。若在B 点提前执行美式买权,则期权的价值为35.90/0.95-30=7.79,大于6.58。故在B 点,投资者应该选择提前执行美式买权。同理,对于C点和D点,我们可以运 用相同的分析方法。在C点,若提前执行,则期权的价值为0;若不提前执行, 期权的价值为1.42。故投资者不会选择提前执行美式买权。在D点,期权处于 虚值状态,投资者不会提前执行,期权的价值为0。
金融衍生工具
4
红利支付
➢ 对于支付红利的股票,美式买权可以视为一系列欧式买权的复合。在任意两 个除权日之间,美式买权都不会被提前执行(理由同上)。在除权日前的瞬 间,投资者将判断是否执行该期权。若执行美式买权,则该期权的存续期中 止;若不执行,则可能的执行时点将是下一个除权日前的瞬间;这样不断往 下,直到期权在最后到期日被执行(等同于欧式期权)。
金融衍生工具
20
➢ 对以于给u 不出 d支一1 付种红可利行的的股参票数,估当计方案的:高t 阶小量可忽略时,使用限制条件

期权定价模型

期权定价模型

期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一,它通过考虑期权的各项特性,将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来,从而确定期权的公平价格。

在期权定价模型中,常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型(Black-Scholes Model)和它的改进模型,如布莱克-斯科尔斯-默顿模型(Black-Scholes-Merton Model)。

这些模型基于一些假设,包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。

布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一,它将期权价格视为标的资产价格的函数,通过假设标的资产价格服从几何布朗运动,并应用风险中性估计,推导出了一个偏微分方程,即著名的布莱克-斯科尔斯方程。

利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。

然而,布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制,例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件,并且假设标的资产价格服从几何布朗运动,这些假设在现实市场中并不总是成立。

因此,为了更准确地定价期权,学者们提出了一系列改进的模型。

其中,布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。

该模型引入了对标的资产价格波动率的估计,通过蒙特卡洛模拟或数值方法,可以计算出更加准确的欧式期权价格。

此外,还有许多其他的改进模型,如跳跃扩散模型、随机波动率模型等,针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。

总之,期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具,它通过考虑期权的各项特性和相关因素,计算出期权的公平价格。

布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型,但也存在一些假设和限制。

为了更精确地定价期权,学者们提出了一系列改进模型,以适应不同市场和期权特性的需求。

在期权定价领域,除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外,还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。

这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等,它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。

金融学中的期权定价模型

金融学中的期权定价模型

金融学中的期权定价模型在金融学领域中,期权是一种金融工具,赋予持有人在未来某个特定时间以特定价格购买或出售标的资产的权利。

期权定价模型是为了确定期权合理价格的数学模型。

本文将介绍金融学中常用的期权定价模型,包括布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型。

布莱克-斯科尔斯模型(Black-Scholes Model)是最为著名和广泛使用的期权定价模型之一。

该模型于1973年由费舍尔·布莱克(Fisher Black)和米伦·斯科尔斯(Myron Scholes)共同提出,并获得了1997年诺贝尔经济学奖。

布莱克-斯科尔斯模型基于一系列假设,包括标的资产价格服从随机几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本等。

根据这些假设,该模型通过偏微分方程推导出了期权的定价公式。

该公式可以用来计算欧式期权的价格,在交易中发挥了重要的作用。

风险中性定价模型(Risk-Neutral Pricing Model)是另一种常用的期权定价模型。

该模型的基本原理是假设市场参与者对风险持中立态度,即市场对未来价格的期望值等于当前价格。

根据这个假设,风险中性定价模型通过建立与衍生品价格相关的风险中性测度,将期权的定价问题转化为风险中性测度下的期望值计算。

相对于布莱克-斯科尔斯模型,风险中性定价模型更加灵活,可以应用于更复杂的市场情况,并且可以解决了一些布莱克-斯科尔斯模型无法解决的问题。

除了布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型,金融学中还有其他的期权定价模型,如扩散模型、二叉树模型和蒙特卡洛模拟等。

这些模型都有各自的优势和适用范围,可以根据具体情况选择合适的模型进行期权定价。

需要注意的是,期权定价模型只是一种理论框架,模型的有效性和适用性需要在实践中进行验证。

实际应用中,投资者还需要考虑市场流动性、实际交易成本、波动率预测等因素,并结合自身的投资策略进行决策。

总结而言,金融学中的期权定价模型是为了计算期权的合理价格而设计的数学模型。

美式期权定价方法综述

美式期权定价方法综述

美式期权定价方法综述【摘要】本文介绍了几种主要的美式期权定价方法。

其中,对叉树法、蒙特卡洛法和有限差分法进行了较详细的分类综述。

最后,简单介绍了有限元法,近似解析公式法和提前执行权利金法在美式期权定价方面的应用。

【关键词】美式期权;叉树法;蒙特卡洛;有限差分1 叉树方法叉树方法是将期权的基础资产价格过程在风险中性条件下离散化,在利用动态规划的方法求解该期权的价格。

该方法由Cox,Ross和Rubinstein于1979年提出,因此我们将该模型简称为CRR模型。

Hsia(1983)证明在中心极限定理及某些参数下,二叉树模型将收敛为连续的BS模型。

二叉树方法简单易行,迄今已被广泛扩展。

Hull和White(1988)利用控制变异来修正二叉树模型,并用于美式期权定价,发现此法收敛速度更快。

Breen(1991)通过修正二叉树模型发展出加速二叉树模型,研究表明时间间隔固定时,此法可加速二叉树收敛,并提高精确性。

Boyle(1986)发展出三叉树模型,即一段时间内股价可能上涨,下跌之外或持平。

三叉树定价原理与二叉树类似,因而适用于美式及欧式期权定价,且资产预期价格变动或投资者的风险偏好差异不会影响期权价格。

Rubinstein (2000)比较了三叉树与二叉树模型,发现前者的优越性在于比后者多一个自由度,使股价变化与时间分割相互独立。

2 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是使用计算机来模拟基础资产价格变动的随机过程,并求期权价格的方法。

Hull和White(1993)提出蒙特卡洛法时,认为只适用于欧式期权定价。

Tilley(1993)则提出用蒙特卡洛法解决美式期权的提前执行,通过记录基础资产价格路径,并比较提前执行收益与期权价格,判断是否提前执行。

此后学者对这一方法提出新扩展,较为著名的有Barraquand和Martineau(1995)提出的BM模型,和Raymar和Zwecher(1998)提出的RZ模型。

两个模型的提前执行决策都是比较执行价和持有价,但分隔区域的数量不足会造成每一区域持有价格的估计偏差。

简单期权的连续时间模型定价

简单期权的连续时间模型定价

5.13
B-S公式的基本假设
股票价格遵循“几何布朗运动”的随机过程 不存在交易费用和税收 交易连续进行,股票高度可分,股票不支付红利 不存在无风险套利机会 投资者可以在期权生命期内以无风险利率r无限量借入或
贷出资金 允许卖空标的证券 以欧式期权为前提
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5.24
参考书目
[1] 约翰霍尔著,张陶伟译:《期权、期货和其他衍生品 (第三版)》,华夏出版社2000年
[2] 邵宇著:《微观金融学及其数学基础》,清华大学出 版社,2003年
[3] 郑振龙著:《金融工程》,高等教育出版社,2003年
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第五章
简单期权的连续时间模型定价
本章内容提要
布莱克-斯克尔斯公式的提出与发展 随机过程介绍 马尔科夫过程、维纳过程、伊藤过程 股票价格的行为模式 伊藤引理
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5.2
布莱克-斯克尔斯公式的提出与发展
Myron Scholes和Fischer Black发表题为“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”一文,提出了一个连续时 间模型条件下复杂的期权定价公式
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
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5.11
股票价格的行为模式
一个合理的描述股价运动的形式是
dS / S dt dz
上式被称为几何布朗运动 离散处理
S / S t t
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期权定价的连续模型及BS公式

期权定价的连续模型及BS公式

期权定价的连续模型及BS公式期权定价是金融学中一个重要的问题,它涉及到市场上期权的价格如何形成以及如何计算的问题。

在期权定价的研究中,连续模型和BS公式是常用的工具和方法之一连续模型是指在对期权定价进行建模时,假设资产价格(或指数)是连续的、随机的过程。

这些模型通常是基于随机微分方程的形式,最常见的连续模型是几何布朗运动模型和扩散模型。

其中几何布朗运动是一个经典的连续模型,它是由英国数学家罗伯特·布莱利·布朗提出的。

几何布朗运动的数学表达式是一个随机微分方程,即:dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t其中,S_t是资产价格(或指数),\mu是资产的预期收益率,\sigma是资产价格的波动率,dW_t是布朗运动的增量。

这个方程描述了资产价格的变化情况,包括预期收益率和波动率对价格变化的影响。

通过这个方程,可以计算出期权的价格。

另一个常用的连续模型是扩散模型。

扩散模型是在几何布朗运动的基础上进行扩展的模型,它考虑了资产的波动率是随时间变化的情况。

在扩散模型中,资产价格的波动率是一个随机过程,即:dS_t = \mu S_t dt + \sigma_t S_t dW_t其中的\sigma_t是时间t上的波动率。

这个模型可以更准确地描绘资产价格的变化情况,特别适用于对期限较长的期权进行定价。

BS(Black-Scholes)公式是一个基于几何布朗运动的连续模型的定价公式。

它是由美国经济学家费希尔·布莱克和美国经济学家默顿·米勒·施尔斯在1973年提出的,被广泛应用于期权定价。

BS公式的数学表达式为:C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)其中,C是看涨期权的价格,S_0是资产的当前价格,N(\cdot)是标准正态分布函数,d_1是一个与标准正态分布相关的变量,d_2是另一个与标准正态分布相关的变量,X是期权的执行价格,r是无风险利率,T是期权的时间到期。

期权定价的连续模型及BS公式

期权定价的连续模型及BS公式
调整。
2020/10/8
可以在c 和k 之间建立一个关系式,使得 cWk 的方差
等于 2T
即令: Var(cWk ) c2Var(Wk ) c2k 2T
于是式(5-6)
ST S0eT eWT e 2T / 2
其中 WT ~ N (0,T )
20120/10/8
对数正态模型(为什么?)
为能对模型进行标准正态变换,并对不确定性进行合并。
对 S1 进行重新定义:
S1 e e t cZ1c2 / 2S0
为什么?
210220/10/8
随机变量Z 的一个重要等式
c2
E ecZ e 2
(5-5)
于是
E exp(cZ c2 / 2) 1
E S1 et S0
第二个因素表示的随机变量的漂移率为零
20520/10/8
特别注意:
ln
St S0
Bt
2
2
t
Bt
2
2
t
~
N
2
2
t,
2t
目的:对期权进行定价
20620/10/8
几何布朗运动参数估计:
波动率 漂移率
思路:用样本均值和方差来代替总体的均值和方差
若已知在一段较长时间[0,T]内的股价数据 ,这段时间由n个
长度相等的子区间 t 所构成,如果已知第 i(i 0,1, , n) 个
3月21日 5.27 5.22 5.29 5.26 5.27 5.27 5.27 5.26
3月22日 5.3 5.28 5.31 5.43 5.46 5.46 5.53 5.56
3月23日 5.6 5.68 5.69 5.69 5.67 5.61 5.68 5.68

Black-Scholes期权定价模型和特性

Black-Scholes期权定价模型和特性

Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型,它被用来计算欧式期权的价格。

该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克(Fischer Black)和莱蒙德·斯科尔斯(Myron Scholes)于1973年开发的,并获得了1997年诺贝尔经济学奖。

Black-Scholes模型基于一些假设,包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。

它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。

Black-Scholes模型的公式如下:C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中,C代表期权的买入价格,P代表期权的卖出价格,S代表标的资产的当前价格,X代表期权的行权价格,r代表无风险利率,T代表期权的时间,在期权到期日之间的年份,N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。

Black-Scholes模型的特性有以下几点:1. 理论完备性:Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型,可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。

它提供了一种可行的方法,用来解决期权定价的问题。

2. 自洽性:Black-Scholes模型是自洽的,意味着如果市场满足了模型的所有假设条件,那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。

3. 敏感性分析:Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。

通过改变模型中的参数,例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等,我们可以研究它们如何影响期权的价格。

4. 适用性:Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价,包括股票期权、货币期权和商品期权等。

然而,对于美式期权和一些特殊类型的期权,Black-Scholes模型可能不适用。

期权定价的连续模型(PPT 90张)

期权定价的连续模型(PPT 90张)
股票的初始价格; 漂移因子(复利因子); 随机因子;
e kt
e cW k
e
2019/2/25
kc 2 / 2
修正因子。
14
第二节
特别注意:
离散模型
模型(5-6)尽管也是一种离散模型, 但比二叉树模型具有更丰富的意义。
W t c c/ 2 1 因为 S eee S 1 0
2
2019/2/25
36
第四节 Black-Scholes公式

从BS微分方程中我们可以发现:衍生证券的价值决定公式中出 现的变量为标的证券当前市价(S)、时间(t)、证券价格的 波动率(σ)和无风险利率r,它们全都是客观变量,独立于主 观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标 的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
2019/2/25
26
第三节 连续模型的分析
第一步 计算时间序列值:
U ln S ln S i i 1 i
由于
(5-9) UB t B / 2 t i t i 1 i
2

2019/2/25
27
第三节 连续模型的分析
应该注意到:
B B , i i d , 且 B B ~ N 0 , t t t t t i 1 i i 1 i
上式是下列微分方程的解:
dS S dt
T 5-2) ST ( ) e S 0 (
2019/2/25
6
第二节
离散模型
在式(5-1)中,如果令 0 即可得到上述微分方程,这是一个确定性的公式。 然而,股价并不具有公式(5-2)所示的可预测性和确定性。 (0 ,1 ) 令随机变量 Z~N 定义 其中, Z1 ~ N(0,1)

[考研专业课课件] 赫尔《期货、期权及其他衍生产品》 课件 第16章 股指期权与货币期权

[考研专业课课件] 赫尔《期货、期权及其他衍生产品》 课件 第16章  股指期权与货币期权
数期权都是采用现金结算而不是交割指数所包含 的证券。
(1)证券组合保险 证券组合管理者可以用指数期权控制他们 的价格风险。假设一种指数的价值为S0,一个 管理者经营一种完全分散化的证券组合,该证
券组合的β值为1.0,这意味着组合的收益率
反映了指数的收益率。 (2)证券组合β值不为1.0时的情形
如果证券组合的回报率并不等于指数的回
反映了某种特殊行业股票的行情。
报刊上指数期权行情报价表示的是前一个交 易日的最后成交价格。主要的指数期权有道·琼
斯工业平均指数(DJX)期权、S&P 500指数(SPX)
期权、纳斯达克100指数(NDX)期权和S&P 100指 数(OEX)期权等。其中,S&P500指数期权是欧式
的,而其他主要市场指数期权是美式的。所有指
范围远期合约(range forward contract)
是标准远期合约的变形,这一合约可用于对冲
外汇风险。考虑某家美国公司,该公司得知在 3个月后将接受100万英镑。假定3个月期的远 期汇率为每英镑 1.52美元。这家公司可以进 入远期合约短头寸来锁定汇率,在远期合约中 这家公司在3个月时将卖出100万英镑。这样做 公司能够确定在3个月后付出100万英镑的同时 收入152万美元。
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第16章 股指期权与货币期权
第16章 股指期权与货币期权
16.1
• •
本章重难点
股指期权的定价公式、性质及应用 货币期权的定价公式及应用
16.2
一、股指期权
重难点导学
在美国,有一些交易所交易股指期权。一些 指数反映了美国股票市场整体的走向,另一些则
我们也可以通过考虑以下两个证券组合来

布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型

布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
∂f
5
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 式(12. 1)的两边同吋乘上 着买入 ,并将两式相减消去dz,实际上意味
单位的股票,并卖空1单位的期权,可以构造出一个短期
内没有不确定性的投资组合。而在一个无套利的市场中,一个没 有不确定性的投资组合必然只能获得无风险利率的收益。这样在 数学上,就可以从(12. 1)和(12. 2)的联立方程组中解出一个 期权价格所满足的偏微分方程,求解这一方程,就得到了期权价 格的最终公式。 • 以上就是斯权定价模型推导过程的基本思路,理解这一思路,将 有助于在下面看似无关的数学推导中不会迷失方向。
(12.2)
4
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 观察式(12. 2)会发现影响期权价格的随机因素也完全体现 在等式右边的第二项中的dz上.这与我们的直觉是一致的: 股票价格及其衍生产品——期权价格都只受到同一种不确定 性的影响,其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也 就是对随机因素变化的反应程度不同。 • 如果式(12. 1)两边同时乘以 并与式(12. 2)相减,则可 ∂S 以消去dz项。

• •
dz = ε
dt
(12. 4)
10
标准布朗运动
� 那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机 因素呢? � 首先,维纳过程中用 ε 即标准正态分布的随机变量来反 映变量变化的随机特征。 现实生活中很多变量的分布都 近似于正态分布,加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场 也不例外,经验事实证明,股票价格的连续复利收益率 近似地服从正态分布。
(12.1)
等式右边的第二项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因 素。根据数学家伊藤(K. Ito)提出的伊藤引理(Ito Lemma)可 知,当股票价格服从式 (12. 1)时,作为股票衍生产品的期权价 格将服从

期权定价模型介绍

期权定价模型介绍

期权定价模型介绍期权是指其中一方在合约规定的时间内,以合约规定的价格购买(或出售)一定数量的标的资产的权利。

期权作为一种金融衍生品,其价格可以由期权定价模型来确定。

期权定价模型的目标是为了找出一个公平的价格,使买方和卖方在交易中没有不利的地位。

最早的期权定价模型是1973年由Black、Scholes和Merton提出的Black-Scholes-Merton模型(BSM模型)。

该模型假设市场中不存在无风险套利的机会,并且标的资产的价格满足几何布朗运动。

BSM模型使用了随机微分方程与偏微分方程的方法,利用股票价格、期权执行价格、无风险利率、标的资产波动率以及到期时间等变量来计算期权的价格。

BSM模型的基本原理是将期权的价值分解为两个部分:delta和vega。

Delta表明期权价格对标的资产价格的变动的敏感度,而vega则表明期权价格对波动率的变动的敏感度。

BSM模型通过动态对冲策略来调整delta的大小,并通过对冲操作来避免无风险套利的机会。

BSM模型的假设条件是非常严格的,因此它并不适用于所有的情况。

后续的研究对BSM模型进行了改进和扩展,提出了多种不同的期权定价模型。

其中比较有代表性的是二叉树模型、蒙特卡洛模型和波动率曲面模型等。

二叉树模型使用一个二叉树来模拟标的资产价格的随机过程。

从根节点开始,每一步向上或向下移动,直到到达期权到期日。

通过计算每一步的价格和概率,可以得到到期时期权的价值。

二叉树模型相对于BSM模型的优势是更加灵活,可以处理更加复杂的市场情况。

蒙特卡洛模型通过模拟大量的随机路径来估计期权的价格。

在每一个时间步骤上,生成一个随机数,根据随机数和标的资产价格的变动方程计算出未来的价格。

重复这一过程,最终可以得到到期时期权的价值的分布。

蒙特卡洛模型的优势是可以处理更加复杂的市场情况,但计算量较大。

波动率曲面模型使用波动率曲面来刻画标的资产价格波动率与期限之间的关系。

该模型认为波动率并不是恒定的,而是根据期限的不同而变化的。

美式期权价格公式

美式期权价格公式

美式期权价格公式美式期权是一种可以在到期日前任意时间行使的期权合约,与欧式期权相比,具有更高的灵活性。

因此,为了计算美式期权的价格,我们需要使用不同的公式。

美式期权的价格可以通过两种方法进行计算:理论定价方法和模拟方法。

下面我们将介绍具体的美式期权定价公式,包括Black-Scholes期权定价模型、树模型(二叉树和三叉树)和蒙特卡洛模拟方法。

1. Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是最常见的对欧式期权进行定价的模型。

然而,对于美式期权,Black-Scholes模型并不适用。

美式期权的特点是可以在到期日前任意时间行使,因此在到期前,股价可能会有剧烈波动。

这种情况下,使用Black-Scholes模型来计算美式期权的价格会导致低估。

2.树模型(二叉树和三叉树)树模型是一种常用的计算美式期权价格的方法。

树模型基于假设股价会按照指数过程增长,并根据风险中性概率构建一个期权价格的二叉或三叉树。

对于二叉树模型,可以根据不同的参数(股价、期权价格、无风险利率等)构建一棵二叉树,并通过回溯计算每个节点的期权价格。

通过比较每个节点的预期回报和早期执行的收益,可以决定何时行使期权。

类似地,三叉树模型也是一种计算美式期权价格的有效方法。

三叉树模型在二叉树模型的基础上增加了一个附加节点,使得股价有三种可能的变动。

这样可以更准确地估计股价的变动范围,提高美式期权价格的准确性。

3.蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的计算美式期权价格的方法。

该方法通过生成大量的随机路径,以确定期权价格的期望值。

在蒙特卡洛模拟中,我们首先需要设定一个股价的路径模型,如几何布朗运动模型。

然后,通过生成多条随机路径,计算每条路径对应的期权价格,并取平均值作为期权价格的估计值。

蒙特卡洛模拟方法的优点在于可以处理复杂的期权合约和多种因素的影响,但由于需要生成大量路径进行模拟,计算速度可能较慢。

期权定价模型

期权定价模型

期权定价模型期权定价模型是金融学中一种重要的定价工具,用于估计期权的合理价值。

期权是金融衍生品的一种,它为买方提供了在未来某个时间以特定价格购买或出售标的资产的权利,而无需承担义务。

期权定价模型的主要目的是通过考虑不同的因素,如标的资产价格、行权价格、到期时间、无风险利率、波动率等,来计算期权的合理价格。

传统上,期权定价模型主要分为两类:基于风险中性定价(Risk-neutral pricing)的模型和基于实物资产价格和风险度量的模型。

其中,最著名的模型包括布莱克-斯科尔斯(Black-Scholes)期权定价模型和它的变体。

布莱克-斯科尔斯期权定价模型是由费希尔·布莱克、默顿·米勒和罗伯特·斯科尔斯于20世纪70年代提出的。

该模型基于以下几个假设:1)市场是完全的,不存在交易费用和税收;2)资产的价格满足几何布朗运动;3)没有风险套利机会;4)无风险利率和波动率是已知且恒定的。

根据布莱克-斯科尔斯模型,期权的定价公式如下:C = S(t)e^(-qt)N(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - S(t)e^(-qt)N(-d1)其中,C表示买方购买的看涨期权的价格,P表示买方购买的看跌期权的价格,S(t)为资产在当前时间的价格,X为行权价格,r为无风险利率,t为到期时间,q为股息率,N(d1)和N(d2)为标准正态分布的累积分布函数,d1和d2的计算公式如下:d1 = (ln(S(t)/X) + (r - q + σ^2/2)t) / (σsqrt(t))d2 = d1 - σsqrt(t)其中,σ为资产的波动率。

布莱克-斯科尔斯模型的优点是计算简单,结果直观易懂。

然而,该模型的假设有时不符合实际情况,特别是在市场不完全时。

因此,研究人员开发了各种变体模型,以修正或扩展布莱克-斯科尔斯模型的假设。

此外,还有其他的期权定价模型,如二叉树模型、蒙特卡洛模拟、期权隐含波动率等。

BlackScholes期权定价模型

BlackScholes期权定价模型

12
几何布朗运动的深入分析(2)

S 但是,在一个较长的时间T后,S 不再具有正
态分布的性质:

多期收益率的乘积问题 因此,尽管σ 是短期内股票价格百分比收益率的标 准差,但是在任意时间长度T后,这个收益率的标 准差却不再是 T 。股票价格的年波动率并不是 一年内股票价格百分比收益率变化的标准差。
其中,z遵循一个标准布朗运动,a、b是变量x和t的函数, 变量x的漂移率为a,方差率为b2都随时间变化。这就是伊藤 过程。

Ito引理

若变量x遵循伊藤过程,则变量x和t的函数G将遵循如下过程:
G G 1 2G 2 G dG ( a b )dt bdz x t 2 x 2 x 其中,z遵循一个标准布朗运动。由于a
2013-7-20
2
为什么要研究证券价格所遵循的随机 过程?



期权是衍生工具,使用的是相对定价法,即相 对于证券价格的价格,因此要为期权定价首先 必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时,未来标的 资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化, 在现实中,资产价格总是随机变化的。需要了 解其所遵循的随机过程。 研究变量运动的随机过程,可以帮助我们了解 在特定时刻,变量取值的概率分布情况。

多期收益率问题:


交叉汇率问题:



连续复利收益率的问题:尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现;但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值,因为对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
和b都是x和t的函 数,因此函数G也遵循伊藤过程,它的漂移率为 方差率为 2

期权定价的Black-Scholes-Merton模型

期权定价的Black-Scholes-Merton模型




ƒ S
mS

ƒ t

½
2ƒ S 2
s2S
2
dt

ƒ S
sS
dz
W e set up a portfolio consisting of
1: derivative
+ ƒ : shares S
22
Black-Scholes 微分方程的推导
The value of the portfolio is given by ƒ ƒ S S
函数的过d程x 。a数x,学td表t 达b式x为,t:dz
其中,参数a和b是标的变量 x 和 t 的函数。
股票价格的 Itoˆ 过程
dS mSdt sSdz
其中,m是期望收益率,s是波动率。 等价地,离散时间过程表示为
DS mSDt sS Dt蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是一种工具,可用来评估在 未来某个时期可能实现的各种不同损益的 可能性。它是通过模拟市场价格和波动率 的变动,得到在某个指定时期该证券组合 盈亏的整个概率分布。对于包含许多不同 标的资产的证券组合,在已知这些标的资 产之间相关性的条件下,蒙特卡罗模拟可 用于评估该组合的风险。
N(d 1)e– qT 支付股息率为q 的欧式看跌期权的delta值为
e– qT [N (d 1) – 1]
39
Delta对冲
对冲策略要不断的调整,这种调整过程被 称为再平衡
Delta对冲一个书面的期权涉及到“买高, 卖低” 交易规则
40
运用期货的Delta对冲
期货合约的delta值是现货交易合约的e(r-q)T倍 因此用于delta对冲期货合约的头寸是对应现

数理金融学第章连续时间金融初步:期权定价PPT课件

数理金融学第章连续时间金融初步:期权定价PPT课件
空头:卖了以一定价格出售某种资 产的权利。希望标的资产价格上升, 因为价格上升多方不会履约,则空 头赚取期权费。
7
(2)按合约是否可以提前执行(Settlement)
欧式期权(European option):只有在到期日那天 才可以实施的期权。
美式期权(American option ):有效期内任一交易 日都可以实施的期权。
假设t时刻,股票买权和卖权的价格分别是 ct和pt,两个期权的执行价格都是X=St(t 时刻股票的价格),到期日股票价格为ST。 则到期日的收益为
R= max(0,ST-X)-max(0, X -ST)- (ct-pt) =ST-X-ct+pt =ST- St -ct+pt
2020/1/10
26
股票
2020/1/10
模仿股票与实际股 票还是有所区别!
模仿股票
27
7.1.6 期权的作用与本质
(1)套期保值(Hedge)
利用期权损益的不对称性可以对资产进行保值。 期权的多头方相当于购买了一个保险,期权费 相当于保险费。
例:假设A公司的股票当前价格为每股60元, 投资者B估计股票A将上涨。投资者要购买 10000股的股票(10份期权合约)。那么,他 有两个策略可以选择。
若股票大幅下跌,策略2的损失锁定为30000元,策略 1的损失却是无法预期的。
2020/1/10
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(ห้องสมุดไป่ตู้)高杠杆(Leverage)的投资
例4:A公司股票现价为60元/股,其未来 3个到期的看涨期权的期权费为2元/股,若 预期到期日的股票价格为63元,投资者持 有6000元,则两种投资策略下的损益为:
2020/1/10
5
7.1.2 期权合约的种类

连续模型期权定价

连续模型期权定价

连续时间模型期权定价股票价格服从几何布朗运动:
比较:
连续时间模型期权定价连续:
离散:
一、预备知识:
1、在连续的时间模型中:
2、伊藤过程
●伊藤-德布林的微分形

●利用伊藤-德布林的微分形式进行计

二、期权价值演化
同离散模型一样,考虑欧式看涨期权的定价。

看涨期权在任何时刻的价值依赖于时间,(更确切地,是离到期日尚余的时间)和该时刻的股价,当然还依赖于模型参数以及合约中敲定价格K.
要使上式成立,可得到以下两个式子
第五章:风险中性定价•引入的风险中性测度
连续时间模型期权定价
贴现股价
未贴现股价
连续时间模型期权定价
折现资产组合:

可得0(t)(t)(0)(u)(u)(u)(u)d (u)
t D X X D S W σ=+∆⎰,
P 而在下 0t Δu σ
u D u S u d W(u
是伊藤积分,所以 D(t X(t 是鞅。

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一般情况下,国库券以政府为担保,价格受随机因素 的影响较少,波动也较少,因此,买国库券属于无风 险投资。而股票的价格受随机因素的影响较大,波动 也较大,因此,买股票属于风险投资。单位国库券的 价格和股票的价格分别用下列模型表示: Bt ert (16-10)
St S0e t W
(16-11) 其中: B 为 t 时刻单位国债的价格; St 为 t 时刻股 t 票的价格,元/股; S0 为零时刻股票的价格,元/股; r 为国债利率,又称为无风险利率;

分别把上述公式代入伊滕公式,可以求出随机过程 (16-12)的随机微分方程:
1 2 dZ t Z t [( r )dt dW ] 2
其中:
Zt Z 0e X t
X t ( r )t W


令 f ( X t ) Z 0e X 伊滕公式的一般形式为:
t

因为
1 '' dZ t f ( X t )dX t f ( X t )d 2 X t 2
'
f ' ( X t ) f '' ( X t ) Z0e Xt Zt

公式(16-5)两边同除以 S0 ,并取对数得到: St (16-7) ln( ) t W S0
对数收益率服从下列形式的正态分布
ln( St ) ~ N ( t , 2t ) S0

(16-9)

方程(16-5)是描述股票价格变化的合理模型。
16.3 无套利机会股票价格模型
S0





通过上面的分析,股票价格过程 St 可以用下列形式的 随机过程来描述 (16-4) t W St S0e 或 (16-5) St S0 exp(t W ) 其中: W 为 P 测度下的标准维纳(Wiener)过 程, W ~ N (0, t )。 (16-6) W t ~ N (0,1) 。 其中: 为标准正态分布变量,
dXt ( r )dt dW
d 2 X t [( r )dt dW]2
( r )2 (dt)2 2( r )dtdW 2 (dW)2

2 2 ( dW ) dt, 高级无穷小项 和 ,另外 dtdW 0 (dt) 0 因此 d 2 X t 2dt


由此可见,用公式(16-2)表示t时刻股票价格的期望 值是合理的。把式(16-2)两边同除以 S ,并取对数 0 得到: (16-3) St ln( ) t
其中 ln(St / S0 ) 是持股 t 年的对数收益率,而不是年 收益率,年收益率为 。 2 2 假设 是单位时间内股票对数收益率的方差,则 t 为 t 年内收益率 ln(St / S0 ) 的方差。只有在公式(16-3) 中加入随机项,才能真实全面地反映股票价格的变化。
16.1 美式期权定价模型概述


1973年,Fischer Black、Myron Scholes和Robert Merton在欧式股票期权定价模型研究中,取得突破性 进展。提出不派息(和派息)股票期权定价模型,又 称为Black-Scholes模型。该模型的提出为股票期权定 价提供了理论依据,同时也促进了20世界80年代和90 年代金融工程的发展。为了表彰他们对人类所做出的 贡献,Myron Scholes和Robert Merton于1997年获得 诺贝尔经济学奖。遗憾的是Fischer Black于1995年逝 世。 Cox、Ross和 Rubinstein(1979)提出的二叉树模型, 成为美式期权定价的主流模型。为了提高二叉树的收 敛速度,Hull和White(1994)提出三叉树模型。 Boyle(1977)提出蒙特卡罗模拟模型。Brennan和 Schwartz(1978)提出有限差分模型。Duan(1995)提出 GARCH(广义自回归条件异方差)模型。
第16章 连续时间美式期权定价模型

16.1 美式期权定价模型概述 16.2 股票价格行为模型 16.3 无套利机会股票价格模型 16.4 美式看涨期权定价模型 16.5 美式看跌期权定价模型

因为美式期权没有固定的执行时间,学 者很难用解析模型为美式期权定价。本 章主要介绍作者2008年提出的连续时间 美式期权定价模型。内容包括股票价格 行为模型,连续时间美式期权定价模型。




对股票价格贴现后得到 t 时刻股票价格的现值: Z t Bt1St 即 Zt Z0e( r )t W (16-12) 其中:随机变量 Zt 零时刻的值等于随机变量零时刻的 值 St ,即 Z0 S0 。 下面推导式(16-12)的微分形式。我们可以把式 (16-12)写成下列形式:
16.2 股票价格行为模型





假设股票的价格波动为零,而且不派息。如果投资者 的期望收益率为 ,零时刻的股票价格为 S0 ,则持 股 t 年股票价格的期望值 St 应为: (16-1) St S0 (1 )t 公式(16-1)与银行存款本金和利息的计算公式完全 相同。 S0 为本金; 为银行存款利率; t为存款年 限; St 为 t 年后的本金和利息。为了数学处理上的 方便,我们采用连续复利形式,则模型(16-1)变为: (16-2) St S0 e t 从公式(16-2)中我们可以看出,当股票的价格波动 为零时,股票价格的期望值以年利率为的复利形式增 长,与银行存款有究,作者已经研制出不派息连续 时间美式期权定价模型(2008),在此基础上 又提出连续时间美式外汇期权定价模型 (2009),这两个模型的复杂程度与BS模型相 似。通过实证研究,这两个模型的计算结果与 二叉树模型相比,看涨期权的最大相对误差仅 为2.47%,看跌期权的最大误差仅为-0.6545%。
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