机微分方程的欧拉算法_郭小林

　[收稿日期]2005-02-28

　[基金项目]安徽省高等学校自然科学研究项目(2005K J051)

第22卷第3期大　学　数　学

V ol .22,№.3

2006年6月

COLLEGE M A TH EM A TICS

Jun .2006

随机微分方程欧拉格式算法分析

郭小林

(安徽财经大学计算机系,蚌埠233041)

[摘　要]首先给出了线性随机微分方程的欧拉格式算法,然后给出了非线性随机微分方程变步长的欧拉格式算法,接着讨论了其对初值的连续依赖性和收敛性.

[关键词]随机微分方程;欧拉格式;对初值的连续依赖性;收敛性

[中图分类号]O 211.63 [文献标识码]A [文章编号]1672-1454(2006)03-0094-06

1　引 言

随机微分方程在描述现象中起着重要的作用.当使用随机微分方程解决问题时,我们常常是先把随机微分方程离散化为随机差分方程,然后利用随机差分方程进行计算或模拟.在所有离散化的方法中,欧拉格式是最基本且最重要的一种[1-7].在文[3]中,Vlad Bally 和Denis Talay 研究了关于随机微分方程

d x t =b (x t )d t +σ(x t )d w t

的欧拉格式,其算法格式为

x n (p +1)h =x n

ph +b (x n ph )h +σ(x n ph )(w (p +1)h -w ph ),

其中h 为固定步长,p =0,1,2,….当ph ≤t ≤(p +1)h 时,x n

t 被定义为

x n

t =x n

ph +b (x n

ph )(t -ph )+σ(x n

ph )(w t -w p h ),

其中w t 是布朗运动.在文[7]中,No rbert H ofmann 给出了随机微分方程(1)的欧拉格式

y n +1=y n +a (t n ,y n )h +b (t n ,y n )h ξn ,

其中h 是固定步长,ξn 满足P (ξn =±1)=

1

2

,且当i ≠j 时,ξi 与ξj 相互独立,i ,j =1,2,…,n .然而,维纳过程不能用一个两点分布很好地近似,因此,在本文中,我们将给出变步长的欧拉格式.

下文结构如下:在第二节中给出线性随机微分方程的欧拉格式;第三节中给出非线性随机微分方程的变步长欧拉格式.

2　线性随机微分方程的欧拉格式

考虑线性随机微分方程

d x t =[a (t )x t +f (t )]d t +[b (t )x t +g (t )]d B t ,

(1)其中a (t ),b (t ),f (t )和g (t )均可积,B t 为一维布朗运动,则其欧拉格式为

y t n +1=y t n +[a (t n )y t n +f (t n )]h +[b (t n )y t n +g (t n )]h ξn ,

(2)

其中ξn ～N (0,1)满足:当i ≠j 时,ξi 与ξj 相互独立,对任意n ∈N ,h ≡Δt n =t n +1-t n .

定理1　对于线性随机微分方程(1)和其欧拉格式(2),我们有:当h※0时,E(y t

n )※E(x t

n

)且

E(y2t

n )※E(x2t

n

).

证　由

d(e-∫a(t)d t x t)=e-∫a(t)d t(d x t-a(t)x t d t)=e-∫a(t)d t[f(t)d t+(b(t)x t+g(t))d B t],

得

e-∫t t0a(s)d s x t=x0+∫t t0e-∫s t0a(z)d z f(s)d s+∫t t0e-∫s t0a(z)d z[b(s)x s+g(s)]d B s,

其中x0=x t

.因此,

x t=e∫t t0a(s)d s x0+∫t t0e-∫s t0a(z)d z f(s)d s+∫t t0e-∫s t0a(z)d z[b(s)x s+g(s)]d B s.(3)由(3)得

E(x t)=e∫t t0a(s)d s E(x0)+∫t t0e∫t s a(z)d z f(s)d s

和

E(x2t)=e2∫t t0a(s)d s E(x20)+∫t t0e-∫s t0a(z)d z f(s)d s2+∫t t0e-2∫s t0a(z)d z[b2(s)E(x2s)+2b(s)g(s)E(x s)+g2(s)]d s +2∫t t0e-∫s t0a(z)d z f(s)d s E(x0).

令h(t)=e-∫t t0a(s)d s,y t=h2(t)E(x2t),则

y t=y0+∫t t0h(s)f(s)d s2+∫t t0b2(s)y s d s+2E(x0)∫t t0h(s)b(s)g(s)d s

　+2∫t t0h(s)b(s)g(s)∫s t0h(z)f(z)d z+∫t t0h2(s)g2(s)d s+2E(x0)∫t t0h(s)f(s)d s.

记

G(t)=∫t t0h(s)f(s)d s2+2E(x0)∫t t0h(s)b(s)g(s)d s+2∫t t0h(s)b(s)g(s)∫s t0h(z)f(z)d z +∫t t0h2(s)g2(s)d s+2E(x0)∫t t0h(s)f(s)d s,

则y t=y0+∫t t0b2(s)y s d s+G(t),因此

d y t

d t

=b2(t)y t+G′(t),

其中

G′(t)=h2(t)2f(t)∫t t0e∫t s a(z)d z f(s)d s+2E(x0)b(t)g(t)e∫t t0a(s)d s

　+2b(t)g(t)∫t t0e∫t s a(z)d z f(s)d s+2E(x0)f(t)e∫t t0a(s)d s+g2(t).

进一步,我们可以得到

y t=e∫t t0b2(s)d s∫t t0G′(s)e-∫s t0b2(z)d z d s+c,

因此

E(x2t)=e∫t t0[2a(s)+b2(s)]d s∫t t0G′(s)e-∫s t0b2(z)d z d s+c.

由E(x20)=c得

E(x2t)=e∫t t0[2a(s)+b2(s)]d s∫t t0G′(s)e-∫s t0b2(z)d z d s+E(x20),

因此

E(x2t

n )=2E(x0)∫t n t0[b(t)g(t)+f(t)]e∫t t0a(s)d s·e∫t n t[2a(s)+b2(s)]d s

95

第3期 郭小林:随机微分方程欧拉格式算法分析